2020-2021学年高考数学（理）考点：命题及其关系、充分条件与必要条件

2020-2021学年高考数学（理）考点：命题及其关系、充分条件与必要条件

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎ ‎ ‎1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 概念方法微思考 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．‎ 提示　若AB，则p是q的充分不必要条件；‎ 若A⊇B，则p是q的必要条件；‎ 若AB，则p是q的必要不充分条件；‎ 若A＝B，则p是q的充要条件；‎ 若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎1．（2020•天津）设，则“”是“”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由，解得或，‎ 故”是“”的充分不必要条件，‎ 故选．‎ ‎2．（2020•上海）命题：存在且，对于任意的，使得（a）；‎ 命题单调递减且恒成立；‎ 命题单调递增，存在使得，‎ 则下列说法正确的是　　‎ A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 ‎ C．，都是的充分条件 D．，都不是的充分条件 ‎【答案】C ‎【解析】对于命题：当单调递减且恒成立时，‎ 当时，此时，‎ 又因为单调递减，‎ 所以 又因为恒成立时，‎ 所以（a），‎ 所以（a），‎ 所以命题命题，‎ 对于命题：当单调递增，存在使得，‎ 当时，此时，（a），‎ 又因为单调递增，‎ 所以，‎ 所以（a），‎ 所以命题命题，‎ 所以，都是的充分条件，‎ 故选．‎ ‎3．（2020•北京）已知，，则“存在使得”是“”的　　‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】当，为偶数时，，此时，‎ 当，为奇数时，，此时，即充分性成立，‎ 当，则，或，，即，即必要性成立，‎ 则“存在使得”是“”的充要条件，‎ 故选．‎ ‎4．（2020•浙江）设集合，，，，，中至少有2个元素，且，满足：‎ ‎①对于任意的，，若，则；‎ ‎②对于任意的，，若，则．下列命题正确的是　　‎ A．若有4个元素，则有7个元素 ‎ B．若有4个元素，则有6个元素 ‎ C．若有3个元素，则有5个元素 ‎ D．若有3个元素，则有4个元素 ‎【答案】A ‎【解析】取：，2，，则，4，，，2，4，，4个元素，排除．‎ ‎，4，，则，16，，，4，8，16，，5个元素，排除；‎ ‎，4，8，则，16，32，64，，，4，8，16，32，64，，7个元素，排除；‎ 故选．‎ ‎5．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线，，．则“，，共面”是“，，两两相交”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】空间中不过同一点的三条直线，，，若，，在同一平面，则，，相交或，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．‎ 而若“，，两两相交”，则“，，在同一平面”成立．‎ 故，，在同一平面”是“，，两两相交”的必要不充分条件，‎ 故选．‎ ‎6．（2020•上海）“”是“”的　　‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】（1）若，则，‎ ‎ “ “是“ “的充分条件；‎ ‎（2）若，则，得不出，‎ ‎ “”不是“”的必要条件，‎ ‎ “”是“”的充分非必要条件．‎ 故选．‎ ‎7．（2019•天津）设，则“”是“”的　　‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，，‎ ‎，，‎ 推不出，‎ ‎，‎ 是的必要不充分条件，‎ 即是的必要不充分条件．‎ 故选．‎ ‎8．（2019•天津）设，则“”是“”的　　‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，，‎ 推不出，‎ ‎，‎ 是的必要不充分条件，‎ 即是的必要不充分条件 故选．‎ ‎9．（2019•新课标Ⅲ）记不等式组表示的平面区域为．命题，；命题，．下面给出了四个命题 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ 这四个命题中，所有真命题的编号是　　‎ A．①③ B．①② C．②③ D．③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出等式组的平面区域为．在图形可行域范围内可知：‎ 命题，；是真命题，则假命题；‎ 命题，．是假命题，则真命题；‎ 所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：‎ ‎①真；②假；③真；④假；‎ 故答案①③真，正确．‎ 故选．‎ ‎10．（2019•新课标Ⅱ）设，为两个平面，则的充要条件是　　‎ A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 ‎ C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 ‎【答案】B ‎【解析】对于，内有无数条直线与平行，或；‎ 对于，内有两条相交直线与平行，；‎ 对于，，平行于同一条直线，或；‎ 对于，，垂直于同一平面，或．‎ 故选．‎ ‎11．（2019•北京）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的　　‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】点，，不共线，‎ ‎，，‎ 当与的夹角为锐角时，，‎ ‎ “与的夹角为锐角” “”，‎ ‎“” “与的夹角为锐角”，‎ 设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件．‎ 故选．‎ ‎12．（2019•浙江）若，，则“”是“”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，，，‎ ‎，，即，‎ 若，，则，‎ 但，‎ 即推不出，‎ 是的充分不必要条件 故选．‎ ‎13．（2019•北京）设函数为常数），则“”是“为偶函数”的　　‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】设函数为常数），‎ 则“” “为偶函数”，‎ ‎“为偶函数” “”，‎ 函数为常数），‎ 则“”是“为偶函数”的充分必要条件．‎ 故选．‎ ‎14．（2019•上海）已知、，则“”是“”的　　‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】等价，，得“”，‎ ‎ “”是“”的充要条件，‎ 故选．‎ ‎15．（2018•天津）设，则“”是“”的　　‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由，得，则，‎ 反之，由，得或，‎ 则或．‎ 即“”是“”的充分不必要条件．‎ 故选．‎ ‎16．（2018•天津）设，则“”是“”的　　‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由可得，解得，‎ 由，解得，‎ 故“”是“”的充分不必要条件，‎ 故选．‎ ‎17．（2018•上海）已知，则“”是“”的　　‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，则“” “”，‎ ‎“” “或”，‎ ‎ “”是“”的充分非必要条件．‎ 故选．‎ ‎18．（2018•浙江）已知平面，直线，满足，，则“”是“”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ 当时，成立，即充分性成立，‎ 当时，不一定成立，即必要性不成立，‎ 则“”是“”的充分不必要条件．‎ 故选．‎ ‎19．（2018•北京）设，，，是非零实数，则“”是“，，，成等比数列”的　　‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若，，，成等比数列，则，‎ 反之数列，，1，1．满足，‎ 但数列，，1，1不是等比数列，‎ 即“”是“，，，成等比数列”的必要不充分条件．‎ 故选．‎ ‎20．（2018•北京）设，均为单位向量，则“”是“”的　　‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】 “”‎ 平方得，‎ 即，‎ 即，‎ 则，即，‎ 反之也成立，‎ 则“”是“”的充要条件，‎ 故选．‎ ‎21．（2018•上海）设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的　　‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】数列，，，是递增数列，但不是递增数列，即充分性不成立，‎ 数列1，1，1，，满足是递增数列，但数列1，1，1，，不是递增数列，即必要性不成立，‎ 则“是递增数列”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件，‎ 故选．‎ ‎22．（2020•新课标Ⅲ）关于函数有如下四个命题：‎ ‎①的图象关于轴对称．‎ ‎②的图象关于原点对称．‎ ‎③的图象关于直线对称．‎ ‎④的最小值为2．‎ 其中所有真命题的序号是_________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】对于①，由可得函数的定义域为，，故定义域关于原点对称，由；‎ 所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以①错②对；‎ 对于③，由，所以该函数关于对称，③对；‎ 对于④，令，则，，，由双勾函数的性质，可知，，，，所以无最小值，④错；‎ 故答案为：②③．‎ ‎23．（2020•新课标Ⅱ）设有下列四个命题：‎ ‎：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．‎ ‎：过空间中任意三点有且仅有一个平面．‎ ‎：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．‎ ‎：若直线平面，直线平面，则．‎ 则下述命题中所有真命题的序号是_________．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】设有下列四个命题：‎ ‎：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．根据平面的确定定理可得此命题为真命题，‎ ‎：过空间中任意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为假命题，‎ ‎：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，‎ ‎：若直线平面，直线平面，则．由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；‎ 由复合命题的真假可判断①为真命题，②为假命题，③为真命题，④为真命题，‎ 故真命题的序号是：①③④，‎ 故答案为：①③④．‎ ‎24．（2018•北京）能说明“若对任意的，都成立，则在，上是增函数”为假命题的一个函数是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】例如，‎ 尽管对任意的，都成立，‎ 当，上为增函数，在，为减函数，‎ 故答案为：．‎ ‎25．（2018•北京）能说明“若，则”为假命题的一组，的值依次为_________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】当，时，满足，但为假命题，‎ 故答案可以是，，‎ 故答案为：，．‎ 强化训练 ‎1．（2020•重庆模拟）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的的纵坐标，则是的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的焦点为，，，设，，‎ 抛物线上一点的的纵坐标，点的横坐标，‎ 由，得，‎ 是的充分条件，‎ 若，则，，‎ ‎，解得或，‎ 不是的必要条件，‎ 是的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎2．（2020•天津二模）设，，则“”是“”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，，由，不一定有或取负值时，对数式无意义），‎ 反之，由，一定有．‎ 故“”是“”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎3．（2019•中卫一模）命题“若，则且”的逆否命题是　　‎ A．若，则且” B．若，则或” ‎ C．若且，则 D．若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】命题“若，则且”的逆否命题是“若或，则”，‎ 故选D．‎ ‎4．（2020•双流区校级模拟）命题“若的三个内角构成等差数列，则必有一内角为”的否命题　　‎ A．与原命题真假相异 ‎ B．与原命题真假相同 ‎ C．与原命题的逆否命题的真假不同 ‎ D．与原命题的逆命题真假相异 ‎【答案】B ‎【解析】原命题“若的三个内角构成等差数列，则必有一内角为”；‎ 若，，成等差数列，则，又；解得；故其为真命题；‎ 否命题：“若的三个内角不能构成等差数列，则任意内角均不为”‎ 根据互为逆否命题的两命题同真假，否命题与逆命题互为逆否命题，即可以研究其逆命题的真假；‎ 逆命题为：若有一内角为，则的三个内角构成等差数列”；‎ 若有一内角为，不妨设，则；所以；即的三个内角构成等差数列；‎ 所以其逆命题为真；‎ 则否命题为真；‎ 故选B．‎ ‎5．（2020•重庆模拟）已知命题：“若对任意的都有，则”，则命题的否命题为　　‎ A．若存在使得，则 ‎ B．若存在使得，则 ‎ C．若，则存在使得 ‎ D．若，则存在使得 ‎【答案】B ‎【解析】否命题是条件、结论都否定，‎ ‎“若对任意的都有，则”的否命题为“若存在使得，则．‎ 故选B．‎ ‎6．（2019秋•信阳期末）某种食品的广告词是：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果可大了，原来这句话的等价命题是　　‎ A．不拥有的人们不一定幸福 B．不拥有的人们可能幸福 ‎ C．拥有的人们不一定幸福 D．不拥有的人们就不幸福 ‎【答案】D ‎【解析】“幸福的人们都拥有”‎ 我们可将其化为：‎ 如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品 它的逆否命题为：如果这个没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的 即“不拥有的人们就不幸福”‎ 故选D．‎ ‎7．（2019•绵阳模拟）已知命题，使得；命题，，则下列命题为真命题的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】命题，使得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 命题为假命题，‎ 命题，，是真命题，‎ 为假命题，为假命题，为假命题，真命题，‎ 故选D．‎ ‎8．（2020•新华区校级模拟）使不等式成立的一个必要不充分条件是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，不等式即，不等式的解集为，；‎ 依次分析选项：‎ 对于，，不等式的解集为，，是不等式成立的必要不充分条件，符合题意；‎ 对于，，不等式的解集为，，不是使不等式成立的必要不充分条件，不符合题意；‎ 对于，，解可得，即不等式的解集为，，是不等式成立的充分不必要条件，不符合题意；‎ 对于，，变形可得，解可得或，即不等式的解集为，，，是不等式成立的充分不必要条件，不符合题意；‎ 故选A．‎ ‎9．（2020•沈阳三模）已知条件，条件，则是的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ ‎，‎ 条件条件，‎ 条件成立时，条件不一定成立，‎ 例如，时，条件成立，条件不成立，‎ 是的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎10．（2020•河南模拟）“”是“”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，不等式或，解可得或，即不等式的解集为或，‎ ‎，解可得，即不等式的解集为，‎ 又由或，‎ 则“”是“”的必要不充分条件；‎ 故选B．‎ ‎11．（2020•梅河口市校级模拟）已知，，则是的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】解不等式可得，或，‎ 解不等式可得，‎ 故，解集对应的集合分别为：，．‎ 是的的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎12．（2020•济宁模拟）设，是非零向量，“”是“”的　　‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】可知，是非零向量，若，则；‎ ‎，是非零向量，若，则；‎ 则“”是“”的充分必要条件，‎ 故选C．‎ ‎13．（2020•湖北模拟）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，若且，则“”是“”的　　‎ A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 ‎ C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条 ‎【答案】C ‎【解析】且，可得或内，‎ 但由且，可推出，‎ 故”是“”的必要而不充分条件，‎ 故选C．‎ ‎14．（2020•西湖区校级模拟）已知圆，直线过点且倾斜角为，则“”是“直线与圆相切”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】直线过点且倾斜角为，‎ 当时，此时直线方程为，‎ 直线与圆相切，‎ ‎，‎ 整理可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，此时直线为方程为，此时满足与圆相切；‎ ‎ “”是“直线与圆相切”的充分不必要条件，‎ 故选A．‎ ‎15．（2020•衡水模拟）已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】的方程为，表示以为圆心、半径的圆．‎ 圆心到直线的方程为的距离为，解得；‎ 当时，直线与圆相切；反之，当直线与圆相切时，，‎ ‎ “”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎16．（2020•鼓楼区校级模拟）已知，是两条不同的直线，是一个平面，且，“”是“”的　　‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当，且，则或，‎ 当，且，则，‎ 故，“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选A．‎ ‎17．（2020•兴庆区校级模拟）已知，是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，，，，则“与为异面直线”是“”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，，，，‎ 若与为异面直线，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，‎ 则有，满足充分性；‎ 反之，若，，，，，则与平行或异面，故不满足必要性．‎ 则“与为异面直线”是“”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎18．（2020•新乡三模）已知，，则“”是“”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】若，根据得，；‎ 根据，得出；‎ 若，根据得，；‎ 根据，得出，‎ ‎ “”是“”的既不充分也不必要条件．‎ 故选D．‎ ‎19．（2020•涪城区校级模拟）已知、是两个不同的平面，、是两条不重合的直线，命题：若，，则；命题：若，，，则，则下列命题为真命题的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，命题：若，，则或，命题为假命题，‎ 对于命题，若，，，则与平面不一定垂直，命题为假命题，‎ 则、、都是假命题，为真命题；‎ 故选C．‎ ‎20．（2020•来宾模拟）已知命题：对任意，总有；命题：“”是“‎ ‎”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数函数的性质可知，对任意，总有成立，即为真命题，‎ ‎：“”是“”的充分不必要条件，即为真命题，‎ 则为真命题，为假命题，为假命题，为假命题．‎ 故选A．‎