北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(三)

北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(三)

学科：数学 教学内容：导数与微分经点答疑（三） 例8设 思路启迪利用三角函数的关系，将secx写成 ，再利用商的求导法则及cosx的导数公式即可求出 规范解法 由上例得 类似地可得 例9设 规范解法 y＝sin2x＝2sinxcosx．由法则2得 从上面的例子可以看出，y＝sin2x是一个复合函数，它由两个函数y＝sinu与u＝2x复合 而成，sin2x的导数是2cos2x而不是cos2x，那么sin2x的导数与sinu的导数和u＝2x的导数是 什么关系呢？由于 ，而 ，即y对x的导数等于y对中间变量u的导数再乘以中间变量u对x的导数．一般地，我们有复 合函数的求导法则（4） 法则（4）设函数 在点x可导，函数y＝f（u）在其对应点 .y,xsecy ′= 求 xcos 1 ( ) .xsec ′ 得由法则由于 31 ,xcosxsec = ( ) ( ) ( ) ( ) .xtanxsec xcos xsin xcos xcosxcos xcosy == ′⋅−′ = ′     =′ 2 2 111 ( ) .xtanxsecxsec)11( =′公式 ( ) .xcotxcscxcsc)12( −=′公式 .y,xsiny ′= 求2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .x2cos2xsinxcos2 xcosxsinxcosxsin2xcosxsin2 xcosxsin2x2siny 22 =−=     ′+′=′= ′=′=′ 2dx du,ucosdu dy == yx2cos22ucosdx du du dy ′==⋅=⋅ ( )xu ψ= ( )xu ψ= 也可导，则复合函数 在点x可导，且y对x的导数 等于y对中间变量的导数再乘以中间变量对自变量x的导数．即： 证明：设自变量x有增量△x（△x≠0）时，中间变量u和函数y分别有相应增量△u与△ y，由于 在x处可导，从而连续，即有 ． 重复应用法则（4），我们可以把复合函数求导法则推广到多次（有限次）复合的情形 ，如设 [注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简 单函数”复合而成．这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数．因为导数基本 公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函数是幂函数的线性组合，其导数也易求．然 后再利用复合函数的求导法则和导数的基本公式即可．如果“分解”得不彻底，即“分解 ”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误 ．] 例10 思路启迪该函数可以分解成 两个函数，对于这两个函数的导数可利用公式．只要正确运用复合函数求导法则及相应公 式即可． 规范解法设u＝4x－1,则 可看作是由 复合而成的，由复合函数的求导法则得： 例11 规范解法设u＝cosx,则 可看作是由 ( )[ ]xfy ψ= dx dy .dx du du dy dx dy ⋅= ( )xu ψ= 0ulim 0x =∆ →∆ .dx du du dy dx dy ,dx du du dy x ulimu ylimx ylimdx dy x u u y x y xux ⋅= ⋅=∆ ∆⋅∆ ∆=∆ ∆= ∆ ∆⋅∆ ∆=∆ ∆ →∆→∆→∆ 即 有由 000 ( ) ( ) ( ).,, xvuufy ψ=υψ== ( )[ ]{ } .dx dv dv du du dy dx dy 导数是：xψψf则重合函数y ⋅⋅= = ( ) .dx dy,xy 求214 −= 1x4uuy 2 −== 与 ( )21x4y −= 1x4uuy 2 −== 与 ( ) ( ) ( ).1x48 4u21x4udx du du dy dx dy 2 −= ⋅=′−⋅′=⋅= .dx dy,xcosy 求2= xcosy 2= 2uy = 与u＝cosx复合而成，由复合函数的求导法则得 例12 思路启迪函数y＝sinlnx是由函数y＝sinu与u＝lnx复合构成．这里写出中间变量u只是为 了初学者正确使用复合函数求导法则，其实，在复合函数求导法则运用熟练以后，中间变 量就不必再写出来，但复合关系一定要清楚，并且心中记住复合函数求导的过程． 规范解法 例13 思路启迪函数 规范解法 例14 思路启迪该函数是由两个函数 复合而成，求y对x的导数，先求y对u即对求导，再乘以u即 对x的导数． ( ) ( ) ( ) .x2sinxsinxcos2xcosu2xcosudx du du dy dx dy 2 −=−=′=′′=⋅= .y.xlnsiny ′= 求 ( )′=′ xlnsiny ( ) .x xlncos xxlncos xlnxlncos =⋅= ′⋅= 1 .y,xcotarcy ′= 求1 .xuucotarcyxcotarcy 复合而成与是由函数 11 === ′     =′ xcotarcy 1 .x x x x x 2 2 2 2 1 1 1 11 1 1 11 1 += −⋅ + −=     ⋅     + −= .dx dy,xay 求22 −= 22 xauuy −== 与 22 xa − 思路启迪利用恒等式 将写成 ，则 可看用由 与 两个函数复合而成． 求由多个函数经多次复合而成的复合函数的导数时，就要多次地应用复合函数求导法 则． ． 分析上例，怎样逐次地应用复合函数的求导法则呢？应先对给定的函数进行分析，当 取什么函数作为中间变量（不必写出，心中清楚）时，给定的函数对此中间变量求导并利 用导数公式．本例是把 看作中间变量，给定的函数就可应用幂函数的导数公式，根据复合函数求导法则，有： ( ) . xa x xa2 x2 xa2 xaxadx dy 2222 22 22 22 − −= − −= − ′−= ′    −=规范解法 .dx dy,xtany15 2 求例 = .xuutanyxtany,xu 两个函数复合而成与可看作由函数则令思路启迪 222 ==== ( ) ( ) ( ) ( ).xsecx2 xxsecxtandx dy 22 2222 = ′⋅=′=规范解法 ( ).xy16 为任意实例 α= α ,NlneN = xlneα xlney α= uey = xlnau = xlnexy αα ==规范解法 ( ) ( ) .xxxxlneedx dy 1xlnxln −αααα α=α⋅=′α⋅=′=∴ ( ) .dx dy,1xsiny17 22 求例 += ( ) 1xsinu,uy1xsiny,1x,sinu 22222 +=υυ==+=+=υυ= 与可看作由则令思路启迪 三个函数复合而成 ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ).1x2sinx2 1x1xcos1xsin2 1xsin1xsin21xsindx dy 2 222 2222 += ′+++= ′++=′+=规范解法 ( )1xsin 2 + ( ) ( )[ ] x 'xsinxsiny 112 22 +⋅+=′ 这时中间变量仍是变量x的复合函数，重复刚才所说的方法，本例是把 看作中间变量，可利用正弦函数的导数公式，由复合函数的求导法则有： 逐次地作下去，直至最后一个中间变量对x求导数为止（本例最后一个中间变量即为 ）． 从上面分析看到，要逐次地应用复合函数求导法则，关键在于选择中间变量，选择的 原则是某个函数做中间变量时，给定的函数变可应用导数公式． 思路启迪 可看作 复合而成，而 是由x与 两个函数的和所构成， 可看作是与 复合而成． 规范解法 1x 2 + ( ) ( ) ( ) ;xxcosxsiny x '1112 222 +⋅++=′ 1x 2 + .y,ey xsin ′= 求例 12 18 .xsinexxxcosxsine xsinxsine xsiney .xt,tsin,u,eyey x sin x sin sin sin usin x x x 211112 112 1 1 1 2 1 2 2 12 12 12 ⋅⋅−= ′     ⋅⋅⋅= ′     ⋅⋅= ′     ⋅=′ ===== 规范解法 复合而成可看作是由思路启迪 υυ ( ) .xcotx xxcosxsin xsinxsiny .x,sinu,ulnyxsinlny .y,xsinlny 2 2 2 2 2 22 2 2 21 1 19 ⋅= ⋅= ′⋅=′ ==== ′= 规范解法 复合而成可看作思路启迪 求例 υυ ( ) .y，求1xxlny例20 2 ′++=    ++= 1xxlny 2 1xxu,ulny 2 ++== 1xxu 2 ++= 1x 2 + 1x 2 + 1xt 2 += 思路启迪由于x≠0与x＝0时函数的结构不相同，因此 须用导数定义求解法． ( ) . 1x 1 1x x1 1xx 1 1x 1x2 11 1xx 1 1xx 1xx 1y 2 22 2 22 2 2 + =         + + ++ =         ′+ + + ++ = ′    ++⋅ ++ =′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )复合而成.xlnfxg与u，可看作e则e,exf让y思路启迪 .y求,xf0.设yx均可导，且fx与gx已知f例21 uxlnfxgxlnfxgxg xg === ′=> ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ln 1ln ln ln ln     ′+′=     ′⋅+′= ′=′ xf xfxgxfxgxf xfxfxgxfxge xfxgey xg xfxg xfxg规范解法 ( ) ( ).xf .0x0 ,0x e1 x xf22 x 1 ′      = ≠ += 求设例 ( )0f ′ [注：一般情况求分段函数的导函数可以按照以下步骤来完成． ①若函数在各段开区间为可导，应分别求出它在各区间内的导数． ②判断分段点处的可导性． （Ⅰ）若函数在点不连续，则它在点不可导． （Ⅱ）若函数在点连续，按分段点左、右侧的不同解析式分别求出其左、右导数． 当左、右导数存在并且相等时，则函数在点可导； 当左、右导数存在，但不相等；或其中至少有一个导数不存在，则在点就不可导]． 例23证明可导的偶函数的导函数为奇函数，而可导的奇函数的导函数为偶数．并对这 个事实加以几何解释． 思路启迪要证明一个函数是奇数，需证明 ，有f（－x）＝－f（x）,而要证明一个函数是偶函数，需证明f（－x）＝f（x）． 规范证法设f（x）为偶函数，则对x∈R有f（－x）＝f（x）， 同理可证：可导的奇函数的导函数为偶函数． 这个事实说明：凡对称于Oy轴的图形，其对称点的切线也关于Oy轴对称；凡关于原点 对称的图形，其对称点的切线相互平行． 思路启迪 是由sinnx与 两个函数所构成；而 是由sinu与u＝nx复合而成； 是由与 复合而成． ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )         = ≠       +      ++ =′ =+′≠−′ = + =−+=+′ = + =−+=−′=       +      −+ =       + ⋅−+ ′≠ ++ −− →→ →→ 0.x不存在 0,x e1 ex 111 xf 0处不可导.于是：在xx故f,00f00f因为 0, e1 1limΔx 0fΔx0flim00f 1, e1 1limΔx 0fΔx0flim00f0时，当x ; e1 ex 111 e1 ex 1xe1 xf0时，当x规范解法 2 x 1 x 1 Δx 10Δx0Δx Δx 10Δx0Δx x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 Rx∈∀ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .xf .xfxf,xfxf： 是奇函数故 即两端求导即 ′ ′−=−′′=−′− ( ) .y，求n为常数xsinnxsiny例24 n ′= xsinnxsin n xsin n nxsin xsin n xsin=υ 规范解法 例25设函数 讨论：（1）n取何值时，f（x）在x＝0连续。 （2）n取何值时，f（x）在x＝0可导． 思路启迪要使函数f（x）在点连续，需使 要使函数f（x）在点可导，需使极限 存在，只要能紧扣函数的连续与可导的这两个定义，本题将会迎刃而解． 此极限当n－1>0时存在，因此n≥2时，f（x）在x＝0可导，此时， ． 可以看出，反函数x＝lny对y的导数，等于直接函数 对于x的导数的倒数；反之亦然．一般地，我们有（反函数求导法则） 法则（5）若函数y＝f（x）在点x处有导数 ，且 ，则它的反函数 在相应点上也有导数，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .x1nsinxsinn xcosnxsinxsinnxcosxsinn xsinnxsinxsinnxsin xsinnxsiny 1n 1n nn n += ⋅+⋅⋅= ′+⋅′= ′=′ − − ( ) ( )    = ≠= 0.x0 ，n为正整数0xx 1sinxxf n ( ) .0,)3( 连续在取何值时 =′ xxfn ( ) ( ).xfxflim 0xx 0 = → ( ) ( ) x xfxxflim 00 0x ∆ −∆+ →∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ,x 1sinxlim0x 0fxflim(2)考察极限： 0连续，均在xx正整数，f因此，对于n取任意的 .0f0x 1sinxlim数时，均有(1)当n为任意正整规范解法 1n 0x0x n 0x − →→ → =− − = ==⋅ ( ) 00f =′ ( ) ( ) ( ) ( ) 和(8)有lny.由公式(6)的反函数是xe我们知道，函数y 0连续.在xxf3时，因此，n0,2需使n,0f0xflim欲使 .x 1cosxx 1sinnnx 1 x 1cosxx 1sinnxxf0时，(3)当x x 0x 2n1n 2 n1n == =′≥>−′==′ −⋅=−⋅+⋅=′≠ → −−− .11 x x eydy dxedx dy === 和 xey = ( )xf ′ ( ) 0≠′ xf ( ) ( )yyfx ψ== −1 证明：设x有增量△x≠0，相应地y的增量为△y（△y≠0）,由于y＝f（x）在点x可导 ，从而连续．因此 故有 例26求y＝arcsinx的导数． 同理可得： 思路启迪函数 可以看作y＝arccotu与 两个函数复合而成．借助复合函数数求导法则及前面的公式即可求出． ( )[ ] ( ) ( ).11 xfyyf ′=ψ′=′− . x yy x,ylim x ∆ ∆=∆ ∆=∆ →∆ 10 0 又 ( ) ( ).1 lim 11limlim 0 00 xf x y x yy xy x xy ′= ∆ ∆= ∆ ∆=∆ ∆=ψ′ →∆ →∆→∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . x1 1arcsinx公式(13) ，于是得 x1 1arcsinx ，根号前正号0,因cosyx1ysin1又cosy .cosy 1 siny 1arcsinx 0,cosysiny因为 的反函数，2 πy2 πsiny是函数x1x1arcsinxy规范解法 cosy.sinysiny，对y导数由于函数x思路启迪 2 2 22 − =′ − =′∴ >−=−= =′=′∴ >=′      <<−=<<−= =′= ( ) ( ) ( ) .xxcotarc)( .xxarctan)( . x xarccos)( 2 2 2 1 116 1 115 1 114 +−=′ +=′ − −=′ 公式 公式 公式 .y,x 1cotarcy27 ′= 求设例 x 1cotarcy = x 1u = . x1 1 x 1 x1 x x 1 x 11 1y 222 2 2 + =−⋅ + −= ′     ⋅     + −=′规范解法 前面，我们不仅把所有的基本初等函数的导数（作为我们的公式）都求了出来，而且 还给出了函数的和、差、积、商的求导法则与复合函数的求导法则，因此，现在我们可以 说：一切初等函数的求导问题均已解决．事实上，根据初等函数的定义，初等函数是可用 一个式子表示的，而这个式子是由基本初等函数（常数、幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数和反三角函数）经过有限次的四则运算和有限次复合而构成的，所以任何初等函 数的导数都可以利用基本公式和上述求导法则求出来．因此，前面给出的公式和求导法则 ，对于求导运算是非常重要的，我们必须熟练掌握，并能熟练运用．为了便于查阅和记忆 ，现将这些公式和求导法则归纳如下 导数的基本公式： 求导法则： 求导数运算称为微分法，它是微积分学最基本运算之一，这就要求我们熟练地掌握， 为此，首先必须牢记导数公式表；其次，能够熟练地使用求导法则，尤其要掌握好复合函 数求导法则． 10．对不等式可否逐项求导？ 一般地说不行，如在区间（－∞，0）上有 ，但在此区间上不能对此不等式逐项求导，因为在（－∞，0）上，不等式2≤2x是不成立 的． ( ) ( ) ( ) ( ) dx du du dy dx dy,xu,uf④yv υuυu υ u③ uvvuuυ②υuυu① 2 ⋅===′+′= ′      +′=′′±′=′± ϕ ' 1xx2 2 +≤ .x2x2,Rx.1xx,Rx， 2 显然是错误的而对有对再如 <∈∀+<∈∀