湖北高考理科数学试卷答案解析

湖北高考理科数学试卷答案解析

2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（理工类） 【34】（A，湖北，理 1）在复平面内，复数 （ 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点名称 数系的扩充与复数的概念 【34】（A，湖北，理 1）D 解析： ，则 ，其对应点 Z（1，－1）位于第四象限. 【1】（A，湖北，理 2）已知全集为 ，集合 ， ，则 A． B． C． D． 考点名称 集合 【1】（A，湖北，理 2）C 解析：∵ ， ，∴ . 【2】（A，湖北，理 3 文 3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题 p 是“甲降落在指定范 围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A． ∨ B． ∨ C． ∧ D． ∨ 考点名称 常用逻辑语句 【2】（A，湖北，理 3 文 3）A 解析：因为 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则 是“没有降落在指定范围”， 是“乙 没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ∨ . 【6】（B，湖北，理 4 文 6）将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得 到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是 A． B． C． D． 考点名称 三角函数及其图象与性质 【6】（B，湖北，理 4 文 6）B 解析：因为 可化为 （x∈R），将它向左平移 个单位得 ，其图像关于 y 轴对称. 2i 1 iz = + i i1i)i(1i1 i2 +=−=+=z i1−=z R 1{ ( ) 1}2 xA x= ≤ 2{ 6 8 0}B x x x= − + ≤ A B =R  { 0}x x ≤ { 2 4}x x≤ ≤ { 0 2 4}x x x≤ < >或 { 0 2 4}x x x< ≤ ≥或 4,20862 ><⇔>+− xxxx 012 1 ≥⇔≤     x x A B =R  { 0 2 4}x x x≤ < >或 ( )p¬ ( )q¬ p ( )q¬ ( )p¬ ( )q¬ p q p− q− ( )p¬ ( )q¬ 3cos sin ( )y x x x= + ∈R ( 0)m m > π 12 π 6 π 3 5π 6 3cos sin ( )y x x x= + ∈R )6cos(2 π−= xy π 6 xxy cos26)6(cos2 =    −+= ππ 【17】（B，湖北，文 2 理 5）已知 ，则双曲线 ： 与 ： 的 A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 考点名称 圆锥曲线及其标准方程 【17】（B，湖北，文 2 理 5）D 解析：对于双曲线 C1，有 ， . 对于双曲线 C2，有 ， .即这两双曲线的离心率相等. 【7】（B，湖北，理 6 文 7）已知点 、 、 、 ，则向量 在 方向上的投 影为 A． B． C． D． 考点名称 平面向量的概念及其运算 【7】（A，湖北，理 6 文 7）A 解析： =（2,1）， =（5,5），则向量 在向量 方向上的射影为 . 【31】（C，湖北，理 7）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 （t 的单位：s，v 的单位：m/s）行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是 A． B． C． D． 考点名称 定积分与微积分基本定理 【31】（C，湖北，理 7）C 解析：令 =0，解得 t ＝4 或 t＝ （不合题意，舍去），即汽车经过 4 秒中后停止，在此期 间汽车继续行驶的距离为 ＝ . 【21】（B，湖北，理 8）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积 分别记为 ， ， ， ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有 A． B． C． D． π0 4 θ< < 1C 2 2 2 2 1cos sin x y θ θ− = 2C 2 2 2 2 2 1sin sin tan y x θ θ θ− = 1sincos 222 =+= θθc θcos 1== a ce θθθθθ 222222 tansecsin)tan1(sin =⋅=+=c θθ θ cos 1 sin tan === a ce ( 1, 1)A − (1, 2)B ( 2, 1)C − − (3, 4)D AB CD 3 2 2 3 15 2 3 2 2 − 3 15 2 − AB CD AB CD 2 23 25 5152 55 )5,5()1,2(cos 22 =×+×= + ⋅=⋅= CD CDABAB θ 25( ) 7 3 1v t t t = − + + 1 25ln5+ 118 25ln 3 + 4 25ln5+ 4 50ln 2+ 25( ) 7 3 1v t t t = − + + 3 8− ∫∫ ++−= 4 0 4 0 d)1 2537(d)( tttttv 4 0 2 )1ln(252 37      ++−= ttt 5ln254 + 1V 2V 3V 4V 1 2 4 3V V V V< < < 1 3 2 4V V V V< < < 2 1 3 4V V V V< < < 2 3 1 4V V V V< < < 考点名称 空间几何体与三视图 【21】（B，湖北，理 8） C 解析：显然 ，所以 B 不正确. 又 ， ， ， ，从而 . 【26】（B，湖北，理 9）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体. 经过 搅 拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为 ，则 的均值 A． B． C． D． 考点名称 统计 【26】（B，湖北，理 9）B 125 个同样大小的小正方体的面数共有 125×6=750，涂了油漆的面数有 25×6=150. 每一个小正方体的一个面涂漆的频率为 ，则它的涂漆面数为 的均值 . 【29】（C，湖北，理 10）已知 为常数，函数 有两个极值点 ， ，则 A． ， B． ， C． ， D． ， 考点名称 导数及其应用 【29】（C，湖北，理 10）D 解析： ，由 由两个极值点，得 有两个不等的实数解，即 有两个实数解，从而直线 与曲线 有两个交点. 过点（0，－1）作 的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率 ，切线方程为 . 切点在切线上，则 ， 又切点在曲线 上，则 ，即切点为（1，0），切线方程为 . 再由直线 32 VV < ππ 3 7)1212(3 22 1 =×++=V ππ 221 2 2 =⋅⋅=V 823 3 ==V 3 28)2424(3 1 22 4 =×++=V 2 1 3 4V V V V< < < X X ( )E X = 126 125 6 5 168 125 7 5 5 1 750 150 = X ( )E X = 5 665 1 =× a ( ) (ln )f x x x ax= − 1x 2 1 2( )x x x< 1( ) 0f x > 2 1( ) 2f x > − 1( ) 0f x < 2 1( ) 2f x < − 1( ) 0f x > 2 1( ) 2f x < − 1( ) 0f x < 2 1( ) 2f x > − axxxf 21ln)(' −+= ( ) (ln )f x x x ax= − 0)(' =xf 12ln −= axx 12 −= axy xy ln= xy ln= 0 1 xk = 11 0 −= xxy 01 0 0 0 =−= x xy xy ln= 10ln 00 =⇒= xx 1−= xy 第 8 题图 第 9 题图 与曲线 有两个交点.，知直线 位于两直线 和 之间，如图所示， 其斜率 2a 满足：0＜2a＜1，解得 0＜a＜ . .则这函数的两个极点 满足 ，所以 ，而 ，即 ，所以 . 【26】（A，湖北，理 11）从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 至 350 度之间， 频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中 的值为_________； （Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间 内的户数为_________. 考点名称 统计 【26】（A，湖北，理 11）（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70 解析：（Ⅰ） ＝0.0044； （Ⅱ）用电量落在区间 内的户数为 . 【24】（A，湖北，理 12）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程 序，输出的结果 _________. 考点名称 算法初步与框图 【24】（A，湖北，理 12）5 解析：已知初始值 ，∵ ，则执行程序， 得 ；因为 ，则执行程序，得 ； ，则第三次执行程序，得 ；∵ ， 则第四次执行程序，得 ；∵ ，执行输出 i， . 【 13 】（ C ， 湖 北 ， 理 13 ） 设 ， 且 满 足 ： ， ， 则 _________. 考点名称 【13】（C，湖北，理 13） 解析： 【39】（湖北理 14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数 1，3，6，10， ， 第 个三角形数为 . 记第 个 边形数为 ，以下列出了部分 k 边形数中第 个数的表达式： 12 −= axy xy ln= 12 −= axy 0=y 1−= xy 2 1 21, xx 21 10 xx <<< )()1()( 21 xffxf << )0,2 1()1( −∈−= af )()( 21 xfaxf <−< 2 1)(,0)( 21 −>< xfxf x [100,250) )]0012.00024.020036.00060.0(501[50 1 +×++−=x [100,250) 7010050)0044.00060.00036.0( =××++ i = 1,10 == ia 410 ≠=a 2,5 == ia 45 ≠=a 3,16 == ia 416 ≠=a 4,8 == ia 48 ≠=a 5,4 == ia 4=a 5=i , ,x y z ∈R 2 2 2 1x y z+ + = 2 3 14x y z+ + = x y z+ + = 3 14 7  n 2( 1) 1 1 2 2 2 n n n n + = + n k ( , ) ( 3)N n k k ≥ n 否 1i i= + ?4a = 10, 1a i= = 开始 是 结束 a 是奇数 ? 3 1a a= + 2 aa = 是 否 输出 i 第 11 题图 第 12 题图 三角形数 ， 正方形数 ， 五边形数 ， 六边形数 ， ……………………………………… 可以推测 的表达式，由此计算 _________. 考点名称 创新与拓展 【13】（C，湖北，理 13）1000 解析：三角形数 ， 正方形数 = ， 五边形数 = ， 六边形数 = = ， ……………………………………… 推测 k 边形 . 所以 . 【37】（B，湖北，理 15）如图，圆 上一点 在直径 上的射影为 ，点 在半径 上的射影为 ．若 ，则 的值为_________． 考点名称 选修 4-1：几何证明选讲 【37】（B，湖北，理 15）8 解析：根据题设，易知 ， Rt△ODE∽Rt△DCE∽Rt△OCD，∴ ，即 CO=3OD=9OE， 在 Rt△ODE 中， ， 21 1( ,3) 2 2N n n n= + 2( ,4)N n n= 23 1( ,5) 2 2N n n n= − 2( ,6) 2N n n n= − ( , )N n k (10,24)N = 21 1( ,3) 2 2N n n n= + 2( ,4)N n n= nn )2 1 2 1()2 1 2 1( 2 2 12 −++  个 23 1( ,5) 2 2N n n n= − nn )2 1 2 1 2 1()2 1 2 1 2 1( 2 2 13 −−+++  个 2( ,6) 2N n n n= − nn )2 1 2 1 2 1 2 1()2 1 2 1 2 1 2 1( 2 12 2 2 14    − −−−++++ 个个 =),( knN nn kk )2 1...2 1 2 1 2 1 2 1()2 1 2 1...2 1 2 1( 2 1)4( 2 2 1)2(      −−− −−−−−+++++ 个个 nknk )4(2 1)2(2 1 2 −−−= 1000100110010)424(2 110)224(2 1)24,10( 2 =−=×−×−×−×=N O C AB D D OC E 3AB AD= CE EO DOAOOC 3== 1 3=== OD OC DE CD OE OD 222222 89 OEOEOEOEDODE =−=−= OD E BA 第 15 题图 C 在 Rt△CDE 中， ，即 ，∴ . 【36】（A，湖北，理 16） 在直角坐标系 中，椭圆 的参数方程为 （ 为参数， ）. 在 极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴 为极轴）中，直线 与圆 的极坐标方程分别为 （m 为非零常数） 与 . 若直线 经过椭圆 的焦点，且与圆 相切，则椭圆 的离心率为_________. 考点名称 选修 4-4：坐标系与参数方程 【36】（A，湖北，理 16） 椭圆 C 的方程可以化为 ，圆 O 的方程可化为 ，直线 l 的 方 程 可 化 为 ， 因 为 直 线 l 经 过 椭 圆 的 焦 点 ， 且 与 圆 O 相 切 ， 则 ， ， ，所以椭圆的离心率 . 【 10 】（ B ， 湖 北 ， 理 17 ） 在 △ 中 ， 角 ， ， 对 应 的 边 分 别 是 ， ， . 已 知 . （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若△ 的面积 ， ，求 的值. 考点名称 解三角形 【10】（B，湖北，理 17）（Ⅰ）由 ，得 , 即 ，解得 或 （舍去）. 因为 ，所以 . （Ⅱ）由 得 . 又 ，知 . 由余弦定理得 故 . 又由正弦定理得 . 【19】（B，湖北，理 18）已知等比数列 满足： ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由. 考点名称 等比数列 222222 89 DEDEDEDECDCE =−=−= 264OE= 642 2 = EO CE 8= EO CE xOy C cos , sin x a y b ϕ ϕ =  = ϕ 0a b> > xOy l O π 2sin( )4 2 mρ θ + = bρ = l C O C 6 3 12 2 2 2 =+ b y a x 222 byx =+ myx =+ mc = mb 2 2= mmma 2 6 2 2 2 =+= 3 6 2 6 === m m a ce ABC A B C a b c cos2 3cos( ) 1A B C− + = ABC 5 3S = 5b = sin sinB C cos2 3cos( ) 1A B C− + = 22cos 3cos 2 0A A+ − = (2cos 1)(cos 2) 0A A− + = 1cos 2A = cos 2A = − 0 πA< < π 3A = 1 1 3 3sin 5 3,2 2 2 4S bc A bc bc= = ⋅ = = 20bc = 5b = 4c = 2 2 2 2 cos 25 16 20 21,a b c bc A= + − = + − = 21a = 2 2 20 3 5sin sin sin sin sin 21 4 7 b c bcB C A A Aa a a = ⋅ = = × = { }na 2 3| | 10a a− = 1 2 3 125a a a = { }na m 1 2 1 1 1 1 ma a a + + + ≥ m 【19】（B，湖北，理 18）（Ⅰ）设等比数列 的公比为 q，则由已知可得 解得 或 故 ，或 . （Ⅱ）若 ，则 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列， 从而 . 若 ，则 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列， 从而 故 . 综上，对任何正整数 ，总有 . 故不存在正整数 ，使得 成立. 【23】（B，湖北，理 19）如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的 点，直线 平面 ， ， 分别是 ， 的中点. （Ⅰ）记平面 与平面 的交线为 ，试判断直线 与平面 的位置 关系，并加以证明； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 l 与圆 的另一个交点为 ，且点 Q 满足 . 记直线 与平面 所成的角为 ，异面直线 与 所成的角 为 ，二面角 的大小为 ，求证： . 考点名称 空间向量与立体几何 【23】（B，湖北，理 19）（Ⅰ）直线 ∥平面 ，证明如下： 连接 ，因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ∥ . 又 平面 ，且 平面 ，所以 ∥平面 . 而 平面 ，且平面 平面 ，所以 ∥ . 因为 平面 ， 平面 ，所以直线 ∥平面 . （Ⅱ）（综合法）如图 1，连接 ，由（Ⅰ）可知交线 即为直线 ，且 ∥ . 因为 是 的直径，所以 ，于是 . 已知 平面 ，而 平面 ，所以 . { }na 3 3 1 2 1 1 125, | | 10, a q a q a q  = − = 1 5,3 3, a q  =  = 1 5, 1. a q = −  = − 15 33 n na −= ⋅ 15 ( 1)n na −= − ⋅ − 15 33 n na −= ⋅ 11 3 1( )5 3 n na −= ⋅ 1{ } na 3 5 1 3 1 3 1[1 ( ) ]1 9 1 95 3 [1 ( ) ] 11 10 3 101 3 m m m n na= ⋅ − = = ⋅ − < < − ∑ 1( 5) ( 1)n na −= − ⋅ − 11 1 ( 1)5 n na −= − − 1{ } na 1 5 − 1− 1 1 , 2 1 ( ),1 5 0 2 ( ). m n n m k k a m k k + = + − = − ∈=   = ∈ ∑ N N, 1 1 1 m n na= <∑ m 1 1 1 m n na= <∑ m 1 2 1 1 1 1 ma a a + + + ≥ AB O C O ,A B PC ⊥ ABC E F PA PC BEF ABC l l PAC O D 1 2DQ CP=  PQ ABC θ PQ EF α E l C− − β sin sin sinθ α β= l PAC EF E F PA PC EF AC EF ⊄ ABC AC ⊂ ABC EF ABC EF ⊂ BEF BEF  ABC l= EF l l ⊄ PAC EF ⊂ PAC l PAC BD l BD l AC AB O AC BC⊥ l BC⊥ PC ⊥ ABC l ⊂ ABC PC l⊥ 第 19 题图 第 19 题解答图 1 而 ，所以 平面 . 连接 ， ，因为 平面 ，所以 . 故 就是二面角 的平面角，即 . 由 ，作 ∥ ，且 . 连接 ， ，因为 是 的中点， ，所以 ， 从而四边形 是平行四边形， ∥ . 连接 ，因为 平面 ，所以 是 在平面 内的射影， 故 就是直线 与平面 所成的角，即 . 又 平面 ，有 ，知 为锐角， 故 为异面直线 与 所成的角，即 ， 于是在 △ ， △ ， △ 中，分别可得 ， ， ， 从而 ，即 . （Ⅱ）（向量法）如图 2，由 ，作 ∥ ，且 . 连接 ， ， ， ， ，由（Ⅰ）可知交线 即为直线 . 以点 为原点，向量 所在直线分别为 轴，建立如图所 示的空间直角坐标系，设 ，则有 , . 于是 ， ， ， 所以 ，从而 . 又取平面 的一个法向量为 ，可得 ， 设平面 的一个法向量为 ， 所以由 可得 取 . 于是 ，从而 . PC BC C= l ⊥ PBC BE BF BF ⊂ PBC l BF⊥ CBF∠ E l C− − CBF β∠ = 1 2DQ CP=  DQ CP 1 2DQ CP= PQ DF F CP 2CP PF= DQ PF= DQPF PQ FD CD PC ⊥ ABC CD FD ABC CDF∠ PQ ABC CDF θ∠ = BD ⊥ PBC BD BF⊥ BDF∠ BDF∠ PQ EF BDF α∠ = Rt DCF Rt FBD Rt BCF sin CF DF θ = sin BF DF α = sin CF BF β = sin sin sinCF BF CF BF DF DF α β θ= ⋅ = = sin sin sinθ α β= 1 2DQ CP=  DQ CP 1 2DQ CP= PQ EF BE BF BD l BD C , ,CA CB CP   , ,x y z , , 2CA a CB b CP c= = = (0, 0, 0), ( , 0, 0), (0, , 0), (0, 0, 2 ), ( , , )C A a B b P c Q a b c 1( , 0, ), (0, 0, )2E a c F c 1( , 0, 0)2FE a= ( , , )QP a b c= − − (0, , )BF b c= − 2 2 2 | |cos | | | | FE QP a FE QP a b c α ⋅= = ⋅ + +     2 2 2 2 2 2 sin 1 cos b c a b c α α += − = + + ABC (0, 0, 1)=m 2 2 2 | |sin | | | | QP c QP a b c θ ⋅= = ⋅ + +   m m BEF ( , , )x y z=n 0, 0, FE BF  ⋅ = ⋅ =   n n 1 0,2 0. ax by cz  = − + = (0, , )c b=n 2 2 | || cos | | | | | b b c β ⋅= =⋅ + m n m n 2 2 2 sin 1 cos c b c β β= − = + 第 19 题解答图 2 故 ，即 . 【40】（B，湖北，理 20）假设每天从甲地去乙地的旅客人数 是服从正态分布 的随机变量. 记 一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 . （Ⅰ）求 的值； （参考数据：若 ～ ，有 ， ， .） （Ⅱ）某客运公司用 、 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. 、 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元 /辆. 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 型车不多于 型车 7 辆. 若每天要以不 小于 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 型车、 型车各多少辆? 考点名称 随机变量及其分布，简单的线性规划 【40】（B，湖北，理 20）（Ⅰ）由于随机变量 服从正态分布 ，故有 ， . 由正态分布的对称性，可得 . （Ⅱ）设 型、 型车辆的数量分别为 辆，则相应的营 运成本为 . 依题意, 还需满足： . 由 （ Ⅰ ） 知 ， ， 故 等价于 . 于是问题等价于求满足约束条件 且使目标函数 达到最小的 . 作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为 . 由图可知，当直线 经过可行域的点 P 时，直线 在 y 轴上截距 最小，即 z 取得最小值. 故应配备 型车 5 辆、 型车 12 辆. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sinb c c c a b c b c a b c α β θ+= ⋅ = = + + + + + sin sin sinθ α β= X 2(800, 50 )N 0p 0p X 2( , )N µ σ ( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 2 2 ) 0.9544P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 3 3 ) 0.9974P Xµ σ µ σ− < ≤ + = A B A B B A 0p A B X 2(800, 50 )N 800µ = 50σ = (700 900) 0.9544P X< ≤ = 0 ( 900) ( 800) (800 900)p P X P X P X= ≤ = ≤ + < ≤ 1 1 (700 900) 0.97722 2 P X= + < ≤ = A B , x y 1600 2400x y+ , x y 021, 7, ( 36 60 )x y y x P X x y p+ ≤ ≤ + ≤ + ≥ 0 ( 900)p P X= ≤ 0( 36 60 )P X x y p≤ + ≥ 36 60 900x y+ ≥ 21, 7, 36 60 900, , 0 , , x y y x x y x y x y + ≤  ≤ + + ≥  ≥ ∈ N， 1600 2400z x y= + ,x y (5,12), (7,14), (15,6)P Q R 1600 2400z x y= + 1600 2400z x y= + 2400 z A B 第 20 题解答图 【16】（C，湖北，理 21）如图，已知椭圆 与 的中心在坐标原点 ，长 轴均为 且在 轴上，短轴长分别为 ， ，过原点且不与 轴 重合的直线 与 ， 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D．记 ，△ 和△ 的面积分别为 和 . （Ⅰ）当直线 与 轴重合时，若 ，求 的值； （Ⅱ）当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ？ 并说明理由． 考点名称 直线与圆锥曲线 【16】（C，湖北，理 21）依题意可设椭圆 和 的方程分别为 ： ， ： . 其中 ， （Ⅰ）解法 1：如图 1，若直线 与 轴重合，即直线 的方程为 ，则 ， ，所以 . 在 C1 和 C2 的方程中分别令 ，可得 ， ， ， 于是 . 若 ，则 ，化简得 . 由 ，可解得 . 故当直线 与 轴重合时，若 ，则 . 解法 2：如图 1，若直线 与 轴重合，则 ， ； ， . 所以 . 若 ，则 ，化简得 . 由 ，可解得 . 故当直线 与 轴重合时，若 ，则 . 1C 2C O MN x 2m 2 ( )n m n> x l 1C 2C m n λ = BDM ABN 1S 2S l y 1 2S Sλ= λ λ 1 2S Sλ= 1C 2C 1C 2 2 2 2 1x y a m + = 2C 2 2 2 2 1x y a n + = 0a m n> > > 1.m n λ = > l y l 0x = 1 1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD= ⋅ = 2 1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB= ⋅ = 1 2 | | | | S BD S AB = 0x = Ay m= By n= Dy m= − | || | 1 | | | | 1 B D A B y yBD m n AB y y m n λ λ − + += = =− − − 1 2 S S λ= 1 1 λ λλ + =− 2 2 1 0λ λ− − = 1λ > 2 1λ = + l y 1 2S Sλ= 2 1λ = + l y | | | | | |BD OB OD m n= + = + | | | | | |AB OA OB m n= − = − 1 1 1| | | | | |2 2S BD OM a BD= ⋅ = 2 1 1| | | | | |2 2S AB ON a AB= ⋅ = 1 2 | | 1 | | 1 S BD m n S AB m n λ λ + += = =− − 1 2 S S λ= 1 1 λ λλ + =− 2 2 1 0λ λ− − = 1λ > 2 1λ = + l y 1 2S Sλ= 2 1λ = + O x y B A 第 21 题图 C D M N O x y B A 第 21 题解答图 1 C D M N O x y B A 第 21 题解答图 2 C D M N （Ⅱ）解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 . 根据对称性， 不妨设直线 ： ， 点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则 因为 ， ，所以 . 又 ， ，所以 ，即 . 由对称性可知 ，所以 ， ，于是 . ① 将 的方程分别与 C1，C2 的方程联立，可求得 ， . 根据对称性可知 ， ，于是 . ② 从而由①和②式可得 . ③ 令 ，则由 ，可得 ，于是由③可解得 . 因为 ，所以 . 于是③式关于 有解，当且仅当 ， 等价于 . 由 ，可解得 ， 即 ，由 ，解得 ，所以 当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ； 当 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 . 解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 . 根据对称性， 不妨设直线 ： ， 点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则 因为 ， ，所以 . 1 2S Sλ= l ( 0)y kx k= > ( , 0)M a− ( , 0)N a l 1d 2d 1 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k − −= = + + 2 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k −= = + + 1 2d d= 1 1 1 | |2S BD d= 2 2 1 | |2S AB d= 1 2 | | | | S BD S AB λ= = | | | |BD ABλ= | | | |AB CD= | | | | | | ( 1) | |BC BD AB ABλ= − = − | | | | | | ( 1) | |AD BD AB ABλ= + = + | | 1 | | 1 AD BC λ λ += − l 2 2 2A amx a k m = + 2 2 2B anx a k n = + C Bx x= − D Ax x= − 2 2 2 2 2 2 22 1 | | 2| | | | 21 | | A D A BB C k x x xAD m a k n BC x n a k mk x x + − += = = ++ − 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) a k n a k m λ λ λ + +=+ − 1 ( 1)t λ λ λ += − m n> 1t ≠ 2 2 2 2 2 2 ( 1) (1 ) n tk a t λ −= − 0k ≠ 2 0k > k 2 2 2 2 2 ( 1) 0(1 ) n t a t λ − >− 2 2 2 1( 1)( ) 0t t λ− − < 1λ > 1 1tλ < < 1 1 1( 1) λ λ λ λ +< <− 1λ > 1 2λ > + 1 1 2λ< ≤ + 1 2S Sλ= 1 2λ > + 1 2S Sλ= 1 2S Sλ= l ( 0)y kx k= > ( , 0)M a− ( , 0)N a l 1d 2d 1 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k − −= = + + 2 2 2 | 0 | 1 1 ak akd k k −= = + + 1 2d d= 又 ， ，所以 . 因为 ，所以 . 由点 ， 分别在 C1，C2 上，可得 ， ，两式相减可得 ， 依题意 ，所以 . 所以由上式解得 . 因为 ，所以由 ，可解得 . 从而 ，解得 ，所以 当 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 ； 当 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 . 【40】（湖北理 22）设 是正整数， 为正有理数. （Ⅰ）求函数 的最小值； （Ⅱ）证明： ； （Ⅲ）设 ，记 为不小于 的最小整数，例如 ， ， . 令 ，求 的值. （参考数据： ， ， ， ） 考点名称 导数，函数的性质，不等式，创新与拓展，交汇与整合 【40】（湖北理 22）（Ⅰ）因为 ，令 ，解得 . 当 时， ，所以 在 内是减函数； 当 时， ，所以 在 内是增函数. 故函数 在 处取得最小值 . （Ⅱ）由（Ⅰ），当 时，有 ，即 ，且等号当且仅当 时成立， 故当 且 时，有 . ① 在①中，令 （这时 且 ），得 . 1 1 1 | |2S BD d= 2 2 1 | |2S AB d= 1 2 | | | | S BD S AB λ= = 2 2 1 | || | | | 1 | | B D A B A BA B k x x x xBD AB x xk x x λ+ − += = =−+ − 1 1 A B x x λ λ += − ( , )A AA x kx ( , )B BB x kx 2 2 2 2 2 1A Ax k x a m + = 2 2 2 2 2 1B Bx k x a n + = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0A B A Bx x k x x a m λ− −+ = 0A Bx x> > 2 2 A Bx x> 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) A B B A m x xk a x xλ −= − 2 0k > 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0( ) A B B A m x x a x xλ − >− 1 A B x x λ< < 11 1 λ λλ +< <− 1 2λ > + 1 1 2λ< ≤ + 1 2S Sλ= 1 2λ > + 1 2S Sλ= n r 1( ) (1 ) ( 1) 1 ( 1)rf x x r x x+= + − + − > − 1 1 1 1( 1) ( 1) 1 1 r r r r rn n n nnr r + + + +− − + −< <+ + x∈R x   x 2 2=   π 4=   3 12  − = −   3 3 3 381 82 83 125S = + + + + S   4 380 344.7≈ 4 381 350.5≈ 4 3124 618.3≈ 4 3126 631.7≈ ( ) ( 1)(1 ) ( 1) ( 1)[(1 ) 1]r rf x r x r r x′ = + + − + = + + − ( ) 0f x′ = 0x = 1 0x− < < ( ) 0f x′ < ( )f x ( 1,0)− 0x > ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ ( )f x 0x = (0) 0f = ( 1, )x∈ − +∞ ( ) (0) 0f x f≥ = 1(1 ) 1 ( 1)rx r x++ ≥ + + 0x = 1x > − 0x ≠ 1(1 ) 1 ( 1)rx r x++ > + + 1x n = 1x > − 0x ≠ 11 1(1 ) 1r r n n + ++ > + 上式两边同乘 ，得 ，即 ② 当 时，在①中令 （这时 且 ），类似可得 ③ 且当 时，③也成立. 综合②，③得 ④ （Ⅲ）在④中，令 ， 分别取值 81，82，83，…，125，得 ， ， ， ……… . 将以上各式相加，并整理得 . 代入数据计算，可得 ， . 由 的定义，得 . 新|课|标|第|一|网 1rn + 1 1( 1) ( 1)r r rn n n r+ ++ > + + 1 1( 1) .1 r r r n nn r + ++ −< + 1n > 1x n = − 1x > − 0x ≠ 1 1( 1) .1 r r r n nn r + +− −> + 1n = 1 1 1 1( 1) ( 1) .1 1 r r r r rn n n nnr r + + + +− − + −< <+ + 1 3r = n 4 4 4 4 33 3 3 33 381 80 81 (82 81 )4 4 − < −（ ）< 4 4 4 4 33 3 3 33 382 81 82 (83 82 )4 4 − < −（ ）< 4 4 4 4 33 3 3 33 383 82 83 (84 83 )4 4 − < < −（ ） 4 4 4 4 33 3 3 33 3125 124 125 (126 125 )4 4 − < < −（ ） 4 4 4 4 3 3 3 33 3125 80 (126 81 )4 4S− < < −（ ） 4 4 3 33 125 80 210.24 − ≈（ ） 4 4 3 33 126 81 210.94 − ≈（ ） S   211S =  