2013高考数学一轮同步训练文科 36简单的三角恒等变换

2013高考数学一轮同步训练文科 36简单的三角恒等变换

第六节 简单的三角恒等变换 强化训练 ‎1.设f(tanx)=tan2x,则f(2)等于( ) A. B.- C.- D.4 答案: B 解析:∵f(tanx)=tan2x=,‎ ‎∴f(2)= =-.‎ ‎2.若函数f(x)=sin2x- (x∈R),则f(x)是( ) A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为π的偶函数 答案: D 解析:原式=-=-cos2x, T===π.‎ ‎3.已知sinα=,α∈(,π),tan(π-β)= ,则tan(α-2β)= . 答案: 解析:∵sinα=,α∈(,π), ‎∴cosα=-,则tanα=-. 又tan(π-β)= ,可得tanβ=-, tan2β===-. tan(α-2β)= ==.‎ ‎4.函数y=sinx-cosx(x∈R)的最大值为 . 答案: 解析:y=sinx-cosx=(sinx-cosx)=sin(x-φ). 其中tanφ=,即y的最大值为.‎ ‎5.求值: . 解:原式的分子 ‎=2sin20°+‎ ‎=2sin20°+=‎ ‎===, 原式的分母=+=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎===, 所以,原式=1.‎ 见课后作业A 题组一 简单的三角恒等变换 ‎1.若sinα<0且tanα>0,则α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案: C 解析:sinα<0,则α是第三、四象限角；‎ tanα>0,则α是第一、三象限角；‎ ‎∴α是第三象限角.‎ ‎2.已知x∈(-,0),cosx=,则tan2x等于( ) A. B.- C. D.-‎ 答案:D 解析:x∈(-,0),cosx=,sinx=-,tanx=-,tan2x==-.‎ ‎3.已知cos2θ=,则sin4θ+cos4θ的值为( ) A. B. C. D.-1 答案: B 解析:sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ ‎=1-(1-cos22θ)=.‎ ‎4.函数y=|sinx+cosx|的最小正周期是( ) A. B. C.π D.2π 答案: C 解析:原式=|sin(x+)|=|sin(x+)|,T=π.‎ ‎5.函数y=的最小正周期是( ) A. B. C.π D.2π 答案: B 解析:y==cos4x,T==.‎ ‎6.若cosθ=,sinθ<0,则tan等于( ) A. B.3 C. - D. 答案: C 解析:∵cosθ=,sinθ<0, ‎∴sinθ=-,tanθ==-‎ 且θ∈(2kπ+,2kπ+2π),‎ 即∈(kπ+,kπ+π). tanθ==-,‎ 即tan=-.‎ ‎7.若=,则cosα+sinα的值为( ) A.- B.- C. D. 答案: C 解析:∵=, ‎∴=. ‎=, 即cosα+sinα=.‎ ‎8.设α∈(,),β∈(0,),cos(α-)=,sin(+β)=,则sin(α+β)= . 答案: 解析:α∈(,),α-∈(0,), 又cos(α-)= , ‎∴sin(α-)= ,β∈(0, ). ‎∴+β∈(,π),sin(+β)= . ‎∴cos(+β)=-. ‎∴sin(α+β)=sin［(α-)+(+β)-］ ‎=-cos［(α-)+(+β)］ ‎=-cos(α-)·cos(+β)+sin(α-)·sin(+β) ‎=-×(-)+ ×=，‎ 即sin(α+β)=.‎ ‎9. (2011安徽高考，文15改编)设f(x)=asin2x+bcos2x,其中a,b∈R,ab≠0，若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立,则：‎ ‎①f()=0， ‎②|f()|<|f()|， ‎③f(x)既不是奇函数也不是偶函数， ‎④f(x)的单调递增区间是［kx+,kπ+］(k∈Z)，以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号).‎ 答案:①③ 解析:f(x)=asin2x+bcos2x=sin(2x+φ)≤,又|f()|=|asin+bcos|=|a+b|≥0,由题意f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立，则≤|a+b|对一切x∈R恒成立，即a2+b2≤a2+b2+ab恒成立，a2+3b2≤2ab恒成立.而a2+3b2≥2ab,所以a2+3b2=2ab,此时a=b.所以f(x)=bsin2x+bcos2x=2bsin(2x+). ‎①f()=2bsin(+)=0,故①正确; ‎②|f()|=|2bsin(+)|=|2bsin()|=|2b|sin(), ‎|f()|=|2bsin(+)|=|2bsin()|=|2b|sin(),‎ 所以|f()|=|f()|,②错误； ‎③f(-x)≠±f(x),所以③正确； ‎④由题知f(x)=bsin2x+bcos2x=2bsin(2x+),当b>0时，由2kπ-≤2x+≤2kπ+,知kπ-≤x≤kπ+，所以④不正确.‎ ‎10.化简f(x)=cos(+2x)+cos(-2x)+2sin(+2x)(x∈R,k∈Z),并求函数f(x)的值域和最小正周期. 解:f(x)=cos(2kπ++2x)+cos(2kπ--2x)+2sin(+2x)‎ ‎=2cos(+2x)+2sin(+2x) ‎=4cos2x. 函数f(x)的值域为［-4,4］; 函数f(x)的周期T==π.‎ ‎11.已知函数f(x)=sin(x+)+sin(x-)+acosx+b(a,b∈R,且均为常数).‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期. ‎(2)若f(x)在区间［-,0］上单调递增,且恰好能够取到f(x)的最小值2,试求a,b的值. 解:(1)f(x)=sin(x+)+sin(x-)+acosx+b ‎=2sinxcos+acosx+b ‎=sinx+acosx+b ‎=sin(x+θ)+b. ‎(其中θ由下面的两式所确定:sinθ=,cosθ=)‎ 所以函数f(x)的最小正周期为2π. ‎(2)由(1)可知f(x)的最小值为-+b,‎ 所以-+b=2. 另外,由f(x)在区间［-,0］上单调递增,可知f(x)在区间［-,0］上的最小值为f(-).‎ 所以f(-)=-+b=2. 解之得,a=-1,b=4.‎