2005全国高考数学2试卷与答案

2005全国高考数学2试卷与答案

‎2005年普通高等学校招生全国统一考试 数学（全国2理科卷）试题精析详解 一、选择题（5分12=60分）‎ ‎（1）函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是 ‎（A） （B） （C）π （D）2π ‎ ‎【思路点拨】本题考查三角函数的化简和绝对值的概念和数形结合的思想.‎ ‎【正确解答】，f(x)的最小正周期为.‎ 选C ‎【解后反思】三角函数的周期可以从图象上进行判断，但是一个周期函数加绝对值后的周期不一定减半.如的最小正周期为，但是，的最小正周期也是，因此，对函数的性质的运用必须从定义出发，要学会用定义来研究问题.‎ ‎（2）正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点.那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是 ‎（A）三角形 （B）四边形 ‎（C）五边形 （D）六边形 ‎【思路点拨】本题考查平面的作法和空间想象能力，根据公理1可从P、Q在面内作直线，根据公理2，得到面与各棱的交点，与棱相交必与棱所在的两个面都有交线段.‎ ‎【正确解答】画图分析.作直线PQ交CB的延长线于E，交CD的延长F，作直线ER交的延长线于G，交于S，作直线GF交于H，交 H，连结PS,RT,HQ，则过P、Q、R的截面图形为六边形PQHTRS，‎ 故选D.‎ ‎【解后反思】要理解立体几何中的三个公理及3个推论是确定平面的含义，但不必深入研究..‎ ‎（3）函数y=－1（x≤0）的反函数是 ‎（A）y=(x≥－1) （B）y=－(x≥－1)‎ ‎（C）y=(x≥0) （D）y=－(x≥0)‎ ‎【思路点拨】本题考查反函数的求法.要求反函数的三步曲（一是反解、二是x、y对调，三是求出反函数的定义域，即原函数的值域）进行，或用互为反函数的性质处理.‎ ‎【正确解答】解法1：由y=－1，且x≤0，解得，其中，.‎ 则所求反函数为y=－(x≥－1).‎ 解法2：分析定义域和值域，用排除法.选B.‎ ‎【解后反思】选择题中考查反函数的解法时，一般只需验证定义域和值域即可，以达到快速高效之目的，因此，深刻理解互为反函数的概念和性质是关键，并要注意在求出反函数后注明定义域，这是求反函数必不可少的一步.‎ ‎（4）已知函数在（－，）内是减函数，则 ‎（A）0＜ω≤1 （B）－1≤ω＜0‎ ‎（C）ω≥0 （D）ω≤－1‎ ‎【思路点拨】本题考查参数对于函数性质的影响.‎ ‎【正确解答】由正切函数的性质，正切函数在（－，）上是增函数，而在（－，）内是减函数，所以，即.选B ‎【解后反思】学生在解题过程中只注意到，而容易忽略的符号对函数单调性的影响.‎ ‎(5)设a、b、c、d∈R，若为实数，则 ‎（A）bc+ad≠0 （B）bc－ad≠0‎ ‎（C）bc－ad＝0 （D）bc+ad=0‎ ‎【思路点拨】本题考查复数定义和复数除法运算法则.‎ ‎【正确解答】，由为实数，‎ 所以bc-ad=0.选C ‎【解后反思】理解复数除法计算和乘法本质是分母实数化，有助于提高运算速度.‎ ‎（6）已知双曲线＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【思路点拨】本题主要考查双曲线的基础知识，只要依据分析双曲线的相关几何性质进行等价转化即可.‎ ‎【正确解答】由题意知，，，，设为左焦点，为右焦点，则 ‎，设所求距离为，‎ 则由，得.‎ 选C ‎【解后反思】利用面积相等来求点到直线的距离应用较广，应引起重视. ‎ ‎（7）锐角三角形的内角A、B满足tanA－=tanB,则有 ‎（A）sin2A－cosB=0 （B）sin2A+cosB=0‎ ‎（C）sin2A－sinB=0 （D）sin2A+sinB=0‎ ‎【思路点拨】解斜三角形问题必须注意题目所设置的情况，从已知等式的左边进行化简，产生2A、B的三角函数之间的关系.‎ ‎【正确解答】‎ 是锐角三角形，，而，即.选A.‎ ‎【解后反思】解三角函数问题时，要注意角的唯一性，也就是说要将角化到同一单调区间内进行求解.这是难点也是关键之处.起‎ ‎（8）已知点A（，1），B（0，0），C（，0）.设∠‎ BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中λ等于 ‎（A）2 （B） （C）－3 （D）－‎ ‎【思路点拨】本题考查平面向量的基础知识，可根据点的特殊位置，利用角平分线的性质，就可求E点坐标.‎ ‎【正确解答】由题意可知是直角三角形且，，‎ ‎，，，.选C ‎【解后反思】灵活运用相关知识是解决问题的有效手段，本题可用向量法，也可由坐标法、都要求出点C坐标，但相对来说，用平几知识比较方便.‎ ‎（9）已知集合M＝{x｜x2－3x－28≤0}，N={x|x2－x－6＞0 }，则M∩N为 ‎（A）{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7} 　（B）{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}‎ ‎（C）｛x|x≤－2或x＞3｝ （D）{x|x＜－2或x≥3＝‎ ‎【思路点拨】本题考查不等式的解法和集合的运算，可采用直接法，化简两集合时要注意不等式中的等号情形，防止漏点或产生多余的点.‎ ‎【正确解答】，，‎ ‎.选A ‎【解后反思】四个二次（一元二次不等式、一元二次方程、二次函数、二次三项式）始终是高考中考查覆盖面最大的代数知识.它们之间的等价转换要借助数形结合思想处理，必须牢固地掌握.‎ ‎（10）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位），设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为 ‎（A）（－2，4） （B）（－30，25） （C）（10，－5） （D）（5，－10）‎ ‎【思路点拨】本题利用物理知识考查向量坐标公式的由来，借助图形正确地找出经过t秒后点的C的位置.‎ ‎【正确解答】由题意可得t秒后点P的坐标为，t=5时，P点坐标为（10，－5）.选C.‎ ‎【解后反思】数学学科中各个知识点都是有定义的.定义的理解与掌握是解决一切问题的基础的基础，回归定义，理解定义是学习数学的起点，也是落脚点.‎ ‎(11)如果a1，a2，…a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则 ‎（A）a1a8＞a4a5 （B）a1a8＜a4a5 （C）a1+a8＞a4+a5 （D）a1a8=a4a5‎ ‎【思路点拨】本题考查等差数列的基础知识和化归思想，最有效的办法是将数列的通项转化为首项及公差来探索其大小.‎ ‎【正确解答】由得，（）‎ 选B ‎【解后反思】灵活运用等差数列的性质可简化运算，而对于本题等差数列来说，一般方法，即转化为首项和公差处理，是最基本的方法，要牢固掌握.‎ ‎(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ‎（A） （B）2+ （C） （D）‎ ‎【思路点拨】本题考查正四面体的性质和空间想象能力，恰当地对几何体进行分割，确定钢球的球心的位置是一关键.‎ ‎【正确解答】由题意可知，四个球心为顶点的小正四面体与原正四面体有公共中心，当正四面体的表面积最小时，四个钢球的圆心在正四面体内也构成一个小正四面体，且两个正四面体有相同的中心.把4个小球的球心连起来，得到棱长为2的正四面体，且该四面体的中心与原四面体的中心是同一点.先求任意正四面体的中心到侧面的距离与高之比：连接中心与4个顶点，得到4个正三棱锥.底面积相等，由等体积法知，所以，该比为.而棱长为a的正四面体的高为，所以，棱长为2的正四面体，高为，现在将其中心到侧面的距离4，得到这个正四面体的高的最小值为，选C.‎ ‎【解后反思】选择适当的截面，把立几问题平面化(降维)是解决此类问题的基本思路.‎ 二、填空题（4分4= 16分）‎ ‎(13)圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为______________.‎ ‎【思路点拨】本题考查点到直线的距离公式和圆的方程的求法，只要求出点到直线的距离就求出了圆的半径.‎ ‎【正确解答】圆心（1，2）到直线的距离为圆的半径，所以.‎ 所以圆的方程为.‎ ‎【解后反思】解析几何主要是以代数方法研究几何问题，但并不能忽视几何性质，更确切地来说，要充分挖掘其几何性质，才能使问题解决更快、更活，如直线和圆相切，就有多种研究方法，请学习时认真总结.‎ ‎(14)设α为第四象限的角，若，则tan2α=_______________.‎ ‎【思路点拨】本题考查三角变换能力，需要学习和体会三角变换的技巧，达到角和函数的统一.‎ ‎【正确解答】‎ ‎，因为，所以，又，所以.‎ ‎【解后反思】适当选择三角公式可以使问题得到简化.三角函数求值主要是考虑的是角和函数的差异，同时要注意由角的范围来确定三角函数值的符号. ‎ ‎(15)在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有__________个.‎ ‎【思路点拨】本题考查排列组合的基础知识及转化能力，注意分类讨论思想的运用.‎ ‎【正确解答】解法1：数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数共有个，能被5整除的没有重复数字的四位数共有个，所以不能被5整除的数共有192个.‎ 解法2：因为不能被5整除的四位数中，其末位不是5的倍数，所以，不能被5整除的四位数共有：个.‎ ‎【解后反思】“不能…”‎ 通常用减法可简化运算，在本题中偏偏反其道而行之.慎之！同时，解排列组合问题时要正确运用加乘原理，应把复杂的问题分成简单问题（分步、分类）做到既不重复又不遗漏.‎ ‎（16）下面是关于三棱锥的四个命题：‎ ① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.‎ ② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.‎ ③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.‎ ④ 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是_____________________.(写出所有真命题的编号)‎ ‎【思路点拨】本题考查三棱锥的基础知识和逻辑推理能力，理解顶点在三棱锥底面上的射影与底面三角形的关系就可解决.‎ ‎【正确解答】如图，三棱锥中，作平面于O，作于D，作于E，作于F，连结OD,OE,OF，则分别是侧面与底面所成的二面角的平面角.‎ ‎①是正确的.因为侧面与底面所成的二面角都相等，所以，OD=OE=OF，即O是的中心，且底面是等边三角形，②是错误的.如，③是错误的. 如果顶点在底面上的投影是底面正三角形的旁心，也是可以得出侧面积相等的结论，④是正确的. 侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面的投影是底面三角形的外心；侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面的投影是底面三角形的内心，外心与内心重合的三角形是正三角形，且是三角形的中心，故填①、④.‎ ‎【解后反思】必须深刻掌握正棱锥的定义（底面是正三角形，顶点在底面上的射影是三角形中心的三棱锥是正三棱锥）及其等价条件.‎ 三、解答题(共6小题，共74分) ‎ ‎（17）（本小题满分12分）设函数f(x)=2|x+1|-|x-1| ,求使f(x)≥2的x取值范围.‎ ‎【思路点拨】本题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和运算能力.关键是去掉绝对值，根据进行分类讨论.‎ ‎【正确解答】由于在R上是增函数，等价于 ‎ ①‎ ‎（1）当时，，所以①式恒成立.‎ ‎（2）当时，，①式化为，即.‎ ‎（2）当时，，①式无解，‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【解后反思】含有绝对值的问题的处理通常是去掉绝对值，其方法一般地有两种，一是讨论，二是平方.考虑到本题含有两个绝对值，讨论法较宜.‎ ‎（18）（本小题满分12分）已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列，又bn=,n=1,2,3….‎ ‎(Ⅰ)证明为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）如果无穷等比数列各项的和S=,求数列{an}的首项a1和公差d.‎ ‎(注：无穷数列各项的和，即当n→∞时数列前n项和的极限).‎ ‎【思路点拨】本题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力.本题第(Ⅰ)问可利用等差、等比的转化关系得以解决，难点是第（Ⅱ）问中理解题目后的注，要理解之含义.‎ ‎【正确解答】（1）证明：成等差数列，‎ ‎，即，‎ 又设等差数列的公差为，则，‎ 这样 ，从而 ‎，，，‎ ‎.‎ 这时，是首项，公比为的等比数列.‎ ‎（2）解：如果无穷等比数列的公比，则当时其前 项和的极限不存在.因而，这时公比，，这样的前项和，‎ 则，‎ 由得公差，首项.‎ ‎【解后反思】若正项数列是等比数列，则（且）是等差数列，若数列是等差数列，则数列（且）是等比数列，反之亦然.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 甲、乙两队进行一场排球比赛、根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布和数学期望.（精确0.0001）‎ ‎【思路点拨】本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，理解比赛规则和互斥事件是正确理解和解决本题的难点，如打3局比赛结束，即甲3：0赢乙，即打3场甲均赢乙.‎ ‎【正确解答】单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4.‎ 比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而 ‎，‎ 比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜，因而 ‎，‎ 比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局，乙队胜2局，第五局甲胜或乙胜，因而 ‎.‎ 所以的概率分布为 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.28‎ ‎0.3744‎ ‎0.3456‎ 的期望.‎ ‎【解后反思】在利用数学知识解决实际问题要理解实际问题与数学知识的内在联系，将实际问题数学化，而在这一过程中，必须认真读题，缜密审题，确切理解，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为数学问题.一般的解题程序：读题（文字语言）建模（数学语言）求解（数学应用）反馈（检验作答）.应用题利用数学知识并不难，难的是理解题意，建立恰当的数学模型.‎ ‎（20）（本小题满分12分）如图、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小.‎ ‎【思路点拨】本题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，此题属中档题.寻找平面PAB内两条相交直线是解决第（1）问的关键，寻找AC在平面EFA内的射影解决第（Ⅱ）问难点，直觉来说，无论是条件还是结论都有运用空间向量的背景，因此，用空间向量来解应是十分简便的.‎ ‎【正确解答】解法1：（1）证法1：连结，，在平面内，‎ ‎，又， ‎ ‎，.为中点，，‎ 由三垂线定理得，所以，在中，，又，‎ ‎，.、为平面内的相交直线，.‎ 证法2：取PA的中点M，连结MD,MF,是PB的中点，是CD的中点，是平行四边形，平面ABCD，，又是等腰直角三角形,而 M 是PA的中点底面ABCD是矩形，‎ ‎，由平面ABCD，得，‎ 又平面APB.‎ ‎（2）不放设，则，，，，‎ 为等腰直角三角形，且，为其斜边中点，，且.‎ 与平面内两条相交直线、都垂直，‎ ‎.‎ 连结交于，作交于，则，‎ 为与平面所成的角，‎ 由可知，，，‎ 由，可知.‎ ‎，所以与平面所成的角为.‎ 解法2：‎ 以为坐标原点，的长为单位，建立如图所示的直角坐标系.‎ ‎（1）证明：设，其中，则 ‎，，，‎ ‎，.‎ ‎，‎ 又，，，.‎ ‎（2）解：由，得，可得，，‎ 异面直线、所成的角为.‎ ‎，‎ 又，为平面内两条相交直线，‎ ‎，与平面所成的角为，‎ 即与平面所成的角为.‎ ‎【解后反思】三垂线定理（或它的逆定理）是立几中的十分重要的定理，在证垂直、求角等方面应用十分广泛，而用向量在求证平行、垂直，求角和距离等方面十分有效.‎ ‎（21）（本小题满分14分）P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上，F为椭圆在y轴上的焦点.已知与共线，与共线，且·=0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.‎ ‎【思路点拨】本题注意考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力和运算能力.引入参数k并用k分别表示，构建关于k的函数，利用函数的性质就不难解决..‎ ‎【正确解答】如图，由条件知和是椭圆的两条弦，相交于焦点，且，直线、中至少有一条存在斜率，不放设的斜率为，又过点，故的方程为 .‎ 将此式代入椭圆方程得 ‎.设两点的坐标分别为，则 ‎，，‎ 从而 ，‎ 亦即 ‎ ‎（1）当时，的斜率为，同上可推得 ‎，‎ 故四边形面积，‎ 令，得 .‎ 因为 ，当时，，，‎ 且是以为自变量的增函数.所以 ‎（2）当时，为长轴，，‎ ‎.‎ 综合（1）（2）知四边形面积的最大值为2，最小值为 ‎【解后反思】1、分清情况讨论（k的存在性）中解题的先决条件，繁琐计算的正确性是顺利解题的保证2、斜率为k的直线与曲线C交于两点，则作为一个模式，应该熟练掌握，便于在解题中快捷运用.3、本题用特殊到一般的思想，即当MN与y轴重合时的情形考察四边形面积，可检验解题的正确性.‎ ‎（22）（本小题满分12分）已知a≥0，函数f(x)=(x2-2ax)ex.‎ ‎（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）设f(x)在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围.‎ ‎【思路点拨】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数函数性质的方法及推理和运算能力.考虑到，因此，第（Ⅰ）问的最小值就等价于求 的极小值，只要利用导数按求极值的步骤进行就可以了，而第（Ⅱ）问f(x)在[-1，1]上是单调函数，实质上就是在[-1，1]上就是或恒成立时求a的取值范围.‎ ‎【正确解答】（1）对函数求导数，得 ‎.‎ 令，得 ，从而 解得 ，，其中，‎ 当变化时，，变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 极大值 极小值 当在处达到极大值，在处达到极小值.‎ 当时，，，在为减函数，在为增函数，‎ 而当时，；当时，，‎ 所以当时，取得最小值.‎ ‎（2）当时，在[-1,1]上为单调函数的充要条件是.‎ 即 ，解得；‎ 综上，在[-1,1]上为单调函数的充要条件为，‎ 即的取值范围是.‎ ‎【解后反思】通过导函数研究可导函数的极值、单调性已成为高考的热点，且有难度增大的趋势.挖掘所产生的的范围是解决本题的关键.另外，恒成立，即比的最小值还要小；恒成立，即比的最大值还要大.‎