高考数学理二轮专练三高档小题目二
高档小题(二)
1.已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R},若存在a∈R,使得集合A中所有整数元素之和为28,则实数a的取值范围是( )
A.[9,10) B.[7,8)
C.(9,10) D.[7,8]
2.(2013·济南市高考模拟考试)一个几何体的三视图如图所示,则它的体积为( )
A. B.
C.20 D.40
3.已知斜率为2的直线l过抛物线y2=ax的焦点F,且与y轴相交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )
A.y2=4x B.y2=8x
C.y2=4x或y2=-4x D.y2=8x或y2=-8x
4.(2013·河南省洛阳市高三年级统一考试)设F1、F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P,T为切点,M为线段F1P的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|等于( )
A.4 B.3
C.2 D.1
5.(2013·石家庄市高三模拟考试)[x]表示不超过x的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5,已知f(x)=x-[x](x∈R),g(x)=log4(x-1),则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.(2013·山西省高三上学期诊断考试)已知一个数列{an}的各项是1或2,首项为1,且在第k个1和第(k+1) 个1之间有(2k-1)个2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,则前2 012项中1的个数为( )
A.44 B.45
C.46 D.47
7.(2013·河北省普通高中高三教学质量检测)已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=1,a2=3,记Sn=a1+a2+…+an,则下列结论正确的是( )
A.a100=-1,S100=5 B.a100=-3,S100=5
C.a100=-3,S100=2 D.a100=-1,S100=2
8.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),已知f(x+1)是偶函数,(x-1)f′(x)<0.若x1
2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A.f(x1)f(x2) D.不确定
9.(2013·安徽省“江南十校”高三联考)对于集合{a1,a2,…,an}和常数a0,定义:ω=为集合{a1,a2,…,an}相对a0的“正弦方差”,则集合{,,}相对a0的“正弦方差”为( )
A. B.
C. D.与a0有关的一个值
10.已知函数f(x)满足f(x+1)=-,且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是( )
A.[,) B.(0,)
C.(0,] D.(,)
11.已知实数x,y满足,如果目标函数z=x-y的最小值的取值范围是[-2,-1],则目标函数的最大值的取值范围是________.
12.(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为________.
13.(2013·福建省普通高中毕业班质量检查)观察下列等式:
+=1;
+++=12;
+++++=39;
…
则当m0,则△ABC为钝角三角形.
4.(2013·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)对于定义在区间D上的函数f(x),若满足对∀x1,x2∈D且x11.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为=28,因此由集合A中所有整数元素之和为28得7≤a<8,即实数a的取值范围是[7,8).
2.【解析】选B.该空间几何体是一个四棱锥,其直观图如图所示.其体积为××(1+4)×4×4=.
3.【解析】选D.抛物线的焦点坐标是(,0),直线l的方程是y=2(x-),令x=0,得y=-,故A(0,-),所以△OAF的面积为×||×|-|=,由题意,得=4,解得a=±8.故抛物线方程是y2=8x或y2=-8x.故选D.
4.【解析】选D.连接PF2、OT(图略),则有|MO|=|PF2|=(|PF1|-2a)=(|PF1|-6),|MT|=|PF1|-|F1T|=|PF1|-=|PF1|-4,于是有|MO|-|MT|=(|PF1|-3)-(|PF1|-4)=1,故选D.
5.【解析】选B.作出函数f(x)与g(x)的图象如图所示,发现有2个不同的交点,故选B.
6.【解析】选B.依题意得,第k个1和它后面(2k-1)个2的个数之和为2k,按这个要求分组,每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列,该数列的前n项和等于=n(n+1).注意到2 012=44×45+32,因此在题中的数列中,前2 012项中共有45个1,故选B.
7.【解析】选A.依题意an+2=an+1-an=-an-1,即an+3=-an,an+6=-an+3=an,故数列{an}是以6为周期的数列,a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a4)+(a2+a5)+(a3+a6)=0.注意到100=6×16+4,因此有a100=a4=-a1=-1,S100=16(a1+a2+…+a6)+(a1+a2+a3+a4)=a2+a3=a2+(a2-a1)=2×3-1=5,故选A.
8.【解析】选C.由题可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数,由x12,可知x2>1,x2>2-x1.若2-x1>1,则f(x2)1,此时x1f(x2);若x1=1,根据函数性质x=1时函数取得最大值,也有f(x1)>f(x2).
9.【解析】选A.集合{,,}相对a0的“正弦方差”ω=
=
=
===.
10.【解析】选C.由f(x+1)=-得,f(x+2)=-=f(x),所以函数f(x)是周期为2的周期函数,又因为函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称.令g(x)=f(x)-k(x+1)=0,得函数f(x)=k(x+1),令函数y=k(x+1),显然此函数过定点(-1,0),作出函数f(x)和函数y=k(x+1)的图象,如图,当直线y=k(x+1)过点C(3,1)时与函数f(x)的图象有4个交点,此时直线y=k(x+1)的斜率为k==,所以要使函数g(x)=f(x)-k(x+1)有4个零点,则直线的斜率k满足00在x∈[1,+∞)上恒成立,所以x2>在x∈[1,+∞)上恒成立,所以1>,解得m<-或m>(舍去),故m<-.
3.【解析】∵内角A、B、C成等差数列,∴A+C=2B.又A+B+C=π.∴B=,故①正确;对于②,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B=a2+c2-ac.又b2=ac,
∴a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,∴a=c,又B=,
∴△ABC为等边三角形;对于③,∵b2=a2+c2-2accos B=4c2+c2-2c2=3c2,
∴b=c,此时满足a2=b2+c2,说明△ABC是直角三角形;对于④,c2=bccos A+accos B+abcos C=ac+b(ccos A+acos C)=ac+b2=ac+a2+c2-ac,化简得c=2a,又b2=a2+c2-ac=3a2,∴b=a,此时有a2+b2=c2,∴C=,B=,A=,∴3A=C成立;对于⑤,tan A+tan C=tan(A+C)·(1-tan Atan C),∵A+C=,∴tan A+tan C=-+tan Atan C,∵tan A+tan C+=tan A tan C>0,又在△ABC中,A、C不能同为钝角,∴A、C都是锐角,∴△ABC为锐角三角形.
【答案】①②④
4.【解析】f(0)=1,f(x)+f(1-x)=1,令x=1得,f(1)=0,即0=f(1)≤f(x)≤f(0)=1,①正确;令x=得,f()=,令x=,得f()=1-f()≤f(),得f()≥,又f(x)≤-2x+1在x∈[0,]上恒成立,所以f()≤-+1=,所以f()=,结合“非增函数”的定义可知,当x∈[,
eq f(1,2)]时,f(x)=,即②错;对于③,显然f()+f()=1,又当x∈[,]时,f(x)=,所以f()=f()=,又f()+f()=1,所以f()=,即③正确;对于④,令f(x)=t,不等式左边为f(t),右边为f(x),当x∈[0,]时,t=f(x)∈[,1],f(t)∈[0,],f(t)≤f(x),即④正确.
【答案】①③④