高考数学Ι轮及其练习精析定积分与微积分的基本定理

高考数学Ι轮及其练习精析定积分与微积分的基本定理

第4讲 定积分与微积分的基本定理 ‎★ 知 识 梳理 ★‎ ‎ ‎ ‎1、定积分概念 定积分定义：如果函数在区间上连续，用分点，将区间等分成几个小区间，在每一个小区间上任取一点，作和，当时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里、分别叫做积分的下限与上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.‎ ‎2、定积分性质 ‎（1）； ‎ ‎（2） ‎（3） ‎3、微积分基本定理 一般地，如果是在上有定义的连续函数，是在上可微，并且，则，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，常常把，记作，即.‎ ‎4．、常见求定积分的公式 ‎（1） （2）（C为常数）‎ ‎（3） （4） ‎（5） （6） ‎（7） ‎★ 重 难 点 突 破 ★‎ ‎1.重点：定积分的计算和简单应用。‎ ‎2.难点：利用定积分求平面区域围成的面积 ‎3.重难点：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.‎ ‎ （1）弄清定积分与导数之间的关系 问题1.一物体按规律做直线运动，式中为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例常数为），试求物体由运动到时，阻力所做的功.‎ 解析：要求变力所做的功，必须先求出变力对位称的变化函数，这里的变力即媒质阻力，然后根据定积分可求阻力所做之功.‎ 解因为物体的速度 所以媒质阻力 当时，，当时，， 阻力所做功 ‎　　　　　　　　　　　　　　　 ‎（2）掌握定积分在求曲边梯形面积的方法.‎ 问题2. 求由抛物线与直线及所围成图形的面积.‎ y 解析：作出及的图形如右：‎ ‎6‎ 解方程组 得 x 解方程组 得 ‎6‎ ‎2‎ O 所求图形的面积 ‎ ‎★ 热 点 考 点 题 型 探 析★‎ 考点1: 定积分的计算 题型1.计算常见函数的定积分 例1. 求下列定积分 ‎（1） （2） （3） ‎【解题思路】根据微积分基本定理，只须由求导公式找出导数为，，的函数就可，这就要求基本求导公式非常熟悉.‎ 解：（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎（3） ‎【名师指引】简单的定积分计算只需熟记公式即可.‎ 题型2:换元法求定积分 例2.计算: ‎【解题思路】：我们要直接求的原函数比较困难，但我们可以将先变式化为，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行.‎ 解析： ‎ ‎【名师指引】较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.‎ 题型3:计算分段函数定积分 例3. 求 ‎【解题思路】：首先是通过绝对值表示的分段函数，同时又是函数复合函数 与的运算式，所以我们在计算时必须先把积分区间分段，再换元积分或奏变量完成.‎ 解析： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【名师指引】若被积函数含绝对值，往往化成分段函数分段积分，注意本题中，这实际是一种奏变量的思想，复合函数的积分通常可以奏变量完成，也可以换元完成.‎ 题型4:定积分的逆运算 例4. 已知求函数的最小值.‎ ‎【解题思路】：这里函数、都是以积分形式给出的，我们可以先用牛顿莱布尼兹公式求出与，再用导数求法求出的最小值.‎ 解析： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，最小=1‎ ‎ 当时，最小=1‎ ‎【名师指引】这是一道把积分上限函数、二次函数最值，参数混合在一起综合题，重点是要分清各变量关系. 积分、导数、函数单调些，最值、解析式交汇出题是近几年高考命题热点，把它们之间的相互关系弄清是我们解此类问题的关键。‎ ‎【新题导练】.‎ ‎1．(广东省揭阳二中2010届高三上学期期中考试)计算： ‎ 解析:8‎ ‎2. .设 则=（ ）‎ A. B. C. D.不存在 解析选C 考点2: 定积分的应用 题型1.求平面区域的面积 例1 求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.‎ ‎【解题思路】：因为在上，，其图象在轴上方；在上，其图象在轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积.‎ y 解析：作出在上的图象如右 Л ‎0‎ x ‎ 与轴交于0、、，所 ‎2Л 求积 ‎【名师指引】利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：‎ 第一步：画出图形，确定图形范围 第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限 第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置 第四步：计算定积分，求出平面图形面积 题型2.物理方面的应用 例2. 汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？‎ ‎【解题思路】‎ 汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式.‎ 解析：由题意，千米/时米/秒 ，令得15－3t=0，t=5，即5秒时，汽车停车.‎ 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 公里 答：汽车走了0.0373公里.‎ ‎【名师指引】t v a b o V=v(t)‎ 若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为，由定积分的物理意义可知，作变速运动物体在时间 内的路程s是曲边梯形（阴影部分）的面积，‎ 即路程；如果 时，则路程.‎ ‎★ 抢 分 频 道 ★‎ 基础巩固训练 ‎1. （2010年广东北江中学高三第二次月考）= ‎ ‎2. (2008学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题) ．‎ ‎3. = ‎ ‎4. 已知,当= 时, .恒成立 ‎5. 求曲线，及所围成的平面图形的面积.‎ 思路分析：图形由两部分构成，第一部分在区间上，，及围成，第一部分在上由与围成，所以所求面积应为两部分面积之和.‎ y=x2‎ y=2x y 解：作出，及的图如右 B(2,4)‎ 解方程组 得 A(1,1)‎ y=x ‎2‎ ‎1‎ x o 解方程组 得 所求面积 ‎ ‎ ‎ 答：此平面图形的面积为 综合拔高训练 ‎6. 设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且 f′（x）=2x+2.‎ ‎（1）求y=f（x）的表达式；‎ ‎（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.‎ ‎（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.‎ 解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，‎ 又已知f′（x）=2x+2‎ ‎∴a=1，b=2.‎ ‎∴f（x）=x2+2x+c 又方程f（x）=0有两个相等实根，‎ ‎∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.‎ 故f（x）=x2+2x+1.‎ ‎（2）依题意，有所求面积=.‎ ‎（3）依题意，有，‎ ‎∴，－t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，‎ ‎∴2（t－1）3=－1，于是t=1－.‎ ‎7. 抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．‎ ‎．解 依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以(1)‎ 又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，‎ 由方程组 得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．‎ 于是代入（1）式得：‎ ，；　‎ 令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且．‎ ‎8. 设直线与抛物线所围成的图形面积为S,它们与直线围成的面积为T, 若U=S+T达到最小值,求值;并求此时平面图形绕轴一周所得旋转体的体积.‎ y=ax y=x2‎ ‎1‎ a ‎1‎ a y=x2‎ y=ax 图2‎ 图1‎ 故函数无最小值。‎ 当时，显然无最小值。‎