高考数学专题复习 三角换元法

高考数学专题复习 三角换元法

三角换元法 摘要：本文归纳总结了三角换元法的基本用法，以常见例题的形式讲述了三角换元法在解题过程中的具体应用。‎ 大家知道，换元法的实质是通过换元将原来比较复杂的、非标准的形式转化为简单的、标准的形式，以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索。具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式总是可以转化为、或的形式，其中t为变量，k为非负常量。现对于此类问题归纳如下：‎ ‎1．形如的形式，其中f是x和的代数函数。令此时，或令 同理，‎ ‎2．形如的形式，其中f是x和的代数函数。令此时，或令 ‎。‎ ‎3．形如的形式，其中f是x和的代数函数。令此时，或令 其中。‎ 注：上面替换中应注意，t的范围应满足：‎ ‎1°根式中变量的取值要求。‎ ‎2°二次根式的化简唯一。‎ 以上是常见的用法，其具体应用现分类介绍如下：‎ 一、 三角换元法在解方程及解不等式中的应用。‎ 例1． 解方程：‎ 解：该方程的根必然为正（否则左负右正），所以设，则方程变为 变形整理得：‎ ‎ ∴ 或 ‎ ∵ ‎ ‎ ∴ ‎ 故 应舍去，由得 ‎ 当时，得，∴ ‎ ‎ 当时，得，∴ ‎ 故原方程的根为 或 ‎ 说明：此题关键是去掉根式，易联想到的形式，换元也就水到渠成了。‎ 例1． 解方程组。‎ 解：由题意知则设其中那么 此时 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ∴ 从而 ‎ 所以方程组的解为 说明：题目的实质是在圆上找一点，使其纵坐标之和为定值，注意到半径与定值的大小关系，设参数时角的范围可适当缩小。‎ 例1． 实数满足，且 当时，求的取值范围。‎ 解：此题直接求解较难，若令由可得，于是问题转化为：“已知，且求的取值范围”，再做三角变换，令，‎ 则 ‎ ‎ ‎ 由得 ‎ ∴ ‎ ‎∴当时，‎ ‎ 当或时， ‎ ‎∴ ‎ 故 的取值范围是。‎ 说明：本题条件较为复杂，解题方向不明确，所以通过有理代换，三角代换揭示了问题的几何意义。‎ 一、 三角换元法在证明中的应用 例2． 若则。‎ 证明：设 ‎ ∵‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎ 说明：题目综合难度较大，但通过换元后利用单调性巧证，题目的关键在于放缩之后利用 ‎ ，为解题带来了便利。‎ 例1． 已知，求证： 。‎ 证明：由于，可设 ‎ ‎ ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中等号在 时成立。‎ 故 。‎ 说明：含有条件不等式的证明因题而异，此题换元思想的来源在于和 的类比联想。当然此题也可以采用整体换元。‎ 例2． 设，求证：‎ ‎ 。‎ 证明： ∵，‎ 故可设 ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ 即 ‎ ‎ 两边同乘以就得所证之式。‎ ‎ 说明：此题换元思想在于：在非直角三角形中，其中三个内角的正切之间有关系式，它虽然没有正式提出来，但相当重要。‎ ‎ 三．三角换元法在解析几何中的应用。‎ ‎ 例7．一条直线过点P（3，2）与 轴的正半轴交于A 、B两点，若的面积最小（O为原点），求此时直线的方程。‎ P（3，2）‎ X O Y ‎ 解：设,则 ‎，那么 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当时，即取最小值12。‎ ‎ ∴ ‎ 故 直线方程为。‎ 说明：此题已知直线上的点坐标，求其方程，在于求出其斜率，即。因此三角思想由此而生，换元也顺理成章。‎ 例1． 在椭圆上求点使取最小。‎ 解：设则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，，点P坐标为或时，。‎ 当时，点P坐标为时，。‎ 说明：此题若直接求解显得生硬，而且很繁，联想椭圆的参数方程，运用三角函数性质来解就简单了许多。‎ 例8。已知点P在圆A：上运动，Q点在椭圆上运动，求 的最大值及此时P、Q点的坐标。‎ 解：在椭圆上任取一点记为Q，连接QA（A为圆心）并延长交圆于P ，在圆A上取异于点P的任一点P，易知 ‎ 于是问题转化为求定点到椭圆上动点Q的最大值问题，设则 ‎， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，最大。此时，，‎ ‎ ∴Q点的坐标为（。‎ 下面求此时P点的坐标 ‎ ∵ ‎ ‎ ∴直线AQ方程为与已知圆A方程联立易求出P点的坐标为 ‎。‎ 说明：此题同例8一样，运用参数方程回避了大量复杂运算。‎ 四．三角换元法在求函数最值中的应用 例10．求函数的值域。‎ 解：所给函数可化为 ‎ ‎ 令 ，则 ‎ ‎ ‎ ‎ 其中， 所以， 因此，‎ 即，故值域为。‎ 说明：此题目有两个根式，平方去根号需两次，很繁，而采用换元法去根号使得题目变得简单易做。‎ 例11．已知，求的最大值。‎ 解：设，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∵ ‎ ‎ ∴ ‎ 故 ‎ 说明：题目中与去根号暗示了三角换元法和利用来解题。‎ 例12．求函数在上的最小值。‎ ‎ 解：令，则 ‎ ‎ ‎ 此时的最小值即归结为求 在 上的最小值，易知 在此区间上为减函数，而为增函数。故在时，取最小值。‎ ‎∴ 。‎ ‎ 说明：去根号采用三角换元。‎ 例13．求函数在上的最大值。‎ ‎ 解：令，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∵ 且 ‎ ∴ ‎ ‎ ∴ ‎ 说明：此题同样式为去根号而换元，但在题目的处理中则显示了对三角知识的灵活运用，不仅有万能公式，而且用到二倍角公式，三角函数有界性等知识，因此需仔细观察然后用代换。‎ 例14．设，求函数的最大值。‎ 解： ∵‎ ‎ ∴ 以为边可作成直角三角形，因此可设 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 当时，等号成立，此时（即）有 ‎ ‎ ‎ 说明：此题抓住题目结构的内在特点，构造直角三角形，设元代换。‎ 通过上面的例题可以看出，三角换元法的使用是有一定范围的，它只适用于具有某些特点的式子，如前文所提及的式子时，可以考虑使用此法，但应用此法是否能够解决问题，还必须进一步考虑能否引进三角函数，例如要设时，必须满足，否则就不能引进。进行三角换元以后，如果能利用三角知识解决问题，此法可行，否则还得另觅新路。‎ ‎ 参考资料：‎ ‎ 1．«数学问题化归理论与方法» 喻平 广西师范大学出版社 1999。8‎ ‎ 2．«解题与证题指导» 中学数学教学文摘 浙江人民出版社 1982。5‎ ‎ 3．“函数值域又一求法” 卢剑春 ‎ ‎«数学教学通讯» 2000。1‎ ‎ ‎