版高考数学理离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的均值与方差二轮考点专练

版高考数学理离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的均值与方差二轮考点专练

考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差 一、选择题 ‎1. （2013·广东高考理科·Ｔ4）已知离散型随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p 则X的数学期望E（x）=（ ）‎ A. B. 2 C. D 3‎ ‎【解题指南】本题考查离散型随机变量的期望公式，可以直接代入计算.‎ ‎【解析】选A. .‎ ‎2. （2013·湖北高考理科·Ｔ9）如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均E(X)=（ ）‎ A. B. C. D ‎【解题指南】先求分布列，再求E(X)。‎ ‎【解析】选B. E(X)=‎ 二、填空题 ‎3.（2013·上海高考理科·T10）设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差 ‎【解析】，．‎ ‎【答案】.‎ ‎4.（2013·上海高考文科·T6）‎ 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 .‎ ‎【解析】 ‎ ‎【答案】 78.‎ 三、解答题 ‎5. （2013·四川高考理科·Ｔ18） 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生．‎ ‎(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3)；‎ ‎(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 甲的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 027‎ ‎376‎ ‎697‎ 乙的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 051‎ ‎696‎ ‎353‎ 当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.‎ ‎(Ⅲ)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.‎ ‎【解题指南】求解本题的关键是理解题意,并且弄清框图的功能,找到随机变量可能的取值,列出分布列再求数学期望.‎ ‎【解析】(Ⅰ)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.‎ 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出的y=1,故P1=;‎ 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出的y=2,故P2=;‎ 当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出的y=3,故P3=.‎ 所以输出y的值为1的概率是,输出y的值为2的概率是,输出y的值为3的概率是.‎ ‎(Ⅱ) 当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:‎ 输出y的值为1的频率 输出y的值为2的频率 输出y的值为1的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. ‎ ‎(Ⅲ)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(=0)=C30()0()3=,‎ P(=1)=C31()1()2=,‎ P(=2)=C32()2()1=,‎ P(=3)=C33()3()0=.‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以,E=0´+1´+2´+3´=1,即的数学期望为1.‎ ‎6. （2013·四川高考文科·Ｔ18） 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生。‎ ‎（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；‎ ‎(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 甲的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 027‎ ‎376‎ ‎697‎ 乙的频数统计表(部分)‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2 100‎ ‎1 051‎ ‎696‎ ‎353‎ 当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大。‎ ‎【解题指南】求解本题的关键是证明理解题意，并且弄清框图的功能，在第(Ⅱ)问中应比较频率的趋势与概率进行判断.‎ ‎【解析】(Ⅰ)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.‎ 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1=;‎ 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2=;‎ 当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3=.‎ 所以输出y的值为1的概率是,输出y的值为2的概率是,输出y的值为3的概率是.‎ ‎(Ⅱ) 当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:‎ 输出y的值为1的频率 输出y的值为2的频率 输出y的值为1的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.‎ ‎7.(2013·天津高考理科·T16)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).‎ ‎(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.‎ ‎(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎【解题指南】(1)根据组合数原理求出符合条件的取法及总取法,再求概率.‎ ‎(2)根据随机变量X所有可能取值列出分布列,求数学期望.‎ ‎【解析】(1)设“取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片”为事件A,则 所以，取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率为. ‎ ‎(2)设随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ 所以随机变量X的分布列是 ‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 随机变量X的分布列和数学期望 ‎8.(2013·浙江高考理科·T19)‎ 设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.‎ ‎(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列.‎ ‎(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)= ,D(η)= ,求a∶b∶c.‎ ‎【解题指南】(1)在分析取到两球的颜色时,要注意是有放回地抽取,即同一个球可能两次都能抽到;(2)根据计算数学期望与方差的公式计算,寻找a,b,c之间的关系.‎ ‎【解析】(1)由题意得,ξ=2,3,4,5,6,‎ 故 ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ 所以的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（Ⅱ）由题意知的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 ‎ 化简得，解得 所以.‎ ‎9. （2013·重庆高考理科·Ｔ18）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个篮球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：‎ 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 ‎3红1蓝 ‎200元 二等奖 ‎3红0蓝 ‎50元 三等奖 ‎2红1蓝 ‎10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．‎ ‎（Ⅰ）求一次摸球恰好摸到1个红球的概率；‎ ‎（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望．‎ ‎【解题指南】首先设出相应的事件,根据古典概型的公式求出恰好摸到一个红球的概率,然后再求出相应事件的概率列出分布列求出期望.‎ ‎【解析】设表示摸到个红球,表示摸到个蓝球,则与独立.‎ ‎（Ⅰ）恰好摸到1个红球的概率为 ‎（Ⅱ）的所有可能值为,且 综上知,的分布列为 ‎ 从而有(元).‎ ‎10. （2013·湖南高考理科·Ｔ18）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.‎ ‎(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;‎ ‎(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.‎ ‎【解题指南】(1)本三角形地共有15株作物,其中内部3株,边界12株,结合题意求解相应概率.‎ ‎(2)先弄清15株满足相应年产量的各有多少株,然后求出对应的概率,写出分布列再求期望.‎ ‎【解析】(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.‎ 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为.‎ ‎(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.‎ 因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),‎ P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),‎ 所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可,记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k=1,2,3,4),则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.‎ 由P(X=k)=得P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= =,P(X=4)= =,‎ 故所求的分布列为 Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ P 所求的数学期望为 ‎.‎ ‎11. （2013·江西高考理科·Ｔ18）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.‎ ‎(1)求小波参加学校合唱团的概率；‎ ‎(2)求X的分布列和数学期望.‎ ‎【解题指南】(1)将基本事件总数求出，然后找所求概率事件的基本事件数，由古典概型公式求得结果；（2）先确定X的可能取值，然后再计算各个概率值即得分布列，最后计算期望值.‎ ‎【解析】（1）从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有种，时，两向量夹角为直角共有8种情形.所以小波参加学校合唱团的概率为.‎ ‎(2)两向量数量积的所有可能取值为-2，-1,0,1.‎ 时，共有2种情形，时，有10种情形，有8种情形.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎ .‎ ‎12. （2013·山东高考理科·Ｔ19）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立. （Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率  （Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望.‎ ‎【解题指南】（Ⅰ）本题考查了相互独立事件的概率；（Ⅱ）本题考查的是随机变量的分布列及数学期望，先列出X的所有值，并求出每个X值所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望.‎ ‎【解析】（Ⅰ）记“甲队以3:0胜利”为事件A1，“甲队以3:1胜利”为事件A2，“甲队以3:2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，‎ 故， ， ，‎ 所以甲队以3:0胜利、以3:1胜利的概率都为，甲队以3:2胜利的概率为.‎ ‎（Ⅱ）设“乙队以3:2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，‎ 所以.‎ 由题意，随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3，‎ 根据事件的互斥性得 ‎,‎ 又,‎ ‎,‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E=.‎ ‎13.（2013·北京高考理科·Ｔ16）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天 ‎（1）求此人到达当日空气重度污染的概率 ‎（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。‎ ‎（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎【解题指南】（1）这是古典概型的概率计算问题，分别求出基本事件空间的基本事件总数、所求事件包含的基本事件总数，作比即可求出概率。‎ （2） 天数的可能取值为0，1，2，列出分布列，再求期望。‎ （3） 从图中找一找哪三天的波动最大，则方差也就最大。‎ ‎【解析】（1）某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，共有13种可能。到达当日空气重度污染有2种可能。所以概率为。‎ ‎（2）X可能取值为0，1，2.分布列如下 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎。‎ ‎（3）5，6，7三天。‎ ‎14.(2013·福建高考理科·T16)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.‎ ‎(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率.‎ ‎(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?‎ ‎【解析】(1)由已知得:小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A,则A事件的对立事件为“X=5”,‎ 因为,‎ 所以P(A)=1-P(X=5)= ,‎ 所以这两人的累计得分X≤3的概率为.‎ ‎(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2),‎ 由已知: ，,‎ 所以,,‎ 所以E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= ,‎ 因为E(2X1)>E(3X2),‎ 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.‎ ‎15. （2013·陕西高考理科·Ｔ19）‎ 在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.‎ ‎(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率.‎ ‎(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列和数学期望.‎ ‎【解题指南】利用相互独立事件的概率乘法公式即可得解;通过确定随机变量X的取值,求随机变量X的分布列,求随机变量X的数学期望三步完成.‎ ‎【解析】(1) 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手。‎ 观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为。‎ 所以P(A) = .‎ 因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为.‎ ‎(2) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2,3.‎ 观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙、丙选中3号歌手的概率为。‎ 当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P(X = 0) = .‎ 当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1，P(X = 1) = .‎ 当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X=2，P(X = 2) = .‎ 当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X=3，P(X =3) = .‎ X的分布列如下表：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以，数学期望.‎ ‎16. （2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ19）‎ 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量.T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. ‎ ‎（1）将T表示为x的函数 ‎（2）根据直方图估计利润T，不少于57000元的概率；‎ ‎（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，‎ 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入的频率），求T的数学期望。‎ ‎【解题指南】（1）依题意，可求得T关于x的分段函数;‎ ‎(2)由频率分布直方图可知，知利润T不少于57000元当且仅当用频率估计概率，可概率的估计值；‎ ‎（3）由分布列，代入期望公式，得所求.‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 当时，‎ 所以 ‎ ‎（2）由（1）知利润T不少于57000元当且仅当 由直方图知需求量的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.‎ ‎ (3)依题意可得T的分布列为 T ‎45000‎ ‎53000‎ ‎61000‎ ‎65000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以 ET＝‎ ‎17. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ19）一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.‎ 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立 ‎（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.‎ ‎【解题指南】（Ⅰ）由事件的独立性和互斥性，并结合产品通过检验的情形确定这批产品通过检验的概率；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，先确定的可能取值，然后求出相应的概率，列出分布列利用期望公式求出期望.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的4件产品全是优质品为事件,第二次取出的1件产品是优质品为事件，这批产品通过检验为事件.依题意有，且A1B1与A2B2互斥,所以 ‎.‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为，，, ‎ 所以的分布列为 ‎（元）‎ ‎18.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ20）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.‎ ‎（I）求第局甲当裁判的概率；‎ ‎（II）表示前局中乙当裁判的次数，求的数学期望.‎ ‎【解析】（I）记表示事件“第2局结果为甲胜”，‎ 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，‎ 表示事件“第4局甲当裁判”.则..‎ 方法一：（II）的可能值为 记表示事件“第3局乙和丙参加比赛时，结果为乙胜丙”，‎ 表示事件“第1局结果为乙胜丙”，‎ 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，‎ 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”，‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 方法二：（II）由于第一局甲当裁判，乙可能当裁判次数的可能值为0,1,2‎ 当裁判次数为0：‎ 乙第一局，第二局与第三局赢，第四局决定第五局裁判权，所以不用管第四局输赢.‎ 所以.‎ 当裁判次数为1：有三种情况 第一局乙输，第二局乙当裁判，第三局乙赢，概率为；‎ 第一局乙赢，第二局乙输，第三局当裁判，概率为 第一局乙赢，第二局乙赢，第三局乙输，第四局当裁判概率为。‎ 所以.当裁判次数为2：‎ 第一局乙输，第二局当裁判，第三局乙输，第四局当裁判.‎ 所以.‎ 的分布列为 所以.‎ ‎19.（2013·辽宁高考理科·Ｔ19）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答。‎ 求张同学至少取到1道乙类题的概率；‎ 已知所取到的3道题中有2道甲类题，1道乙类题。设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立。用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望。‎ ‎【解题指南】诸如“至少有一个”等问题，可以结合对立事件的概率来求解；对于随机变量的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时对应的事件及其概率，列出其分布列，正确应用均值公式进行计算 ‎【解析】记事件“张同学所取的3道题至少取到1道乙类题”；则“张同学所取的3道题全为甲类题”；‎ 事件“张同学所取的3道题全为甲类题”共有种取法；而“从10道题中任取3道题”共有种取法；‎ 所以故 所以张同学至少取到1道乙类题的概率为 张同学答对题的个数的可能值为0，1，2，3.‎ 表示张同学没有答对一道题，;‎ 表示张同学答对一道题，包含以下两种可能，“答对一道甲类题”、“答对一道乙类题”，‎ 因此;‎ 表示张同学答对二道题，包含以下两种可能，“答对二道甲类题”、“答对一道甲类题和一道乙类题”，‎ 因此;‎ 表示张同学所取得的三道题全部答对，‎ 因此;‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故的数学期望为