全国高考文科数学2卷 精美解析版

全国高考文科数学2卷 精美解析版

2018 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 II 卷） 文科数学 2018.7.1 本试卷 4 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1． （ ） A． B． C． D． 1．【解析】 ，故选 D． 2．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．【解析】 ，故选 C． 3．函数 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 3．【解析】 ，即 为奇函数，排除 A；由 排除 D；由 排除 C，故选 B． =+ i)32(i 2i3 − 2i3 + 2i3 −− 2i3 +− i233i2i)32(i +−=−=+ }7,5,3,1{=A }5,4,3,2{=B =BA  }3{ }5{ }5,3{ }7,5,4,3,2,1{ }5,3{=BA  2)( x eexf xx −−= O 1 1 x y O 1 1 x y O 1 1 x y O 1 1 x y )()( 2 xfx eexf xx −=−=− − )(xf 01)1( >−= eef )1(1)1)(1)(1(16 1 16)4( 2 2 44 feeeeeeeeeef =−>−++=+= − 4．已知向量 满足 ， ，则 （ ） A．4 B．3 C．2 D．0 4．【解析】 ，故选 B． 5．从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（ ） A． B． C． D． 5．【解析】记 2 名男同学为 和 3 名女同学为 ，从中任选 2 人： ，共 10 种情况．选中的 2 人都是女同学为： ，共 3 种情况，则选中的 2 人都是女同学 的概率为 ，故选 D． 6．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 6．【解析】离心率 ，所以 ，渐近线方程为 ，故选 A． 7．在 中， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 7．【解析】 ， 由余弦定理得 ， 故选 A． 8．为计算 ，设计了右侧的 程序框图，则在空白框中应填入（ ） A． B． C． D． 8．【解析】依题意可知空白框中应填入 ．第 1 次循环： ；第 2 次循环： ； ；第 50 次循环： ，结 束循环得 ，所以选 B． ba, 1=a 1−=⋅ba =−⋅ )2( baa 3122)2( 2 =+=⋅−=−⋅ baabaa 6.0 5.0 4.0 3.0 ba, CBA ,, ,,,,,,,, ABbCbBbAaCaBaAab BCAC, BCACAB ,, 3.0 )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x 3 xy 2±= xy 3±= xy 2 2±= xy 2 3±= 33 2 22 2 2 =+=⇒== a ba a c a ce 2= a b xy 2±= ABC∆ 5 5 2cos =C 1=BC 5=AC =AB 24 30 29 52 5 312cos2cos 2 −=−= CC 24cos222 =⋅⋅−+= CACBCACBCAB 100 1 99 1 4 1 3 1 2 11 −++−+−= S 1+= ii 2+= ii 3+= ii 4+= ii 2+= ii 3,2 1,1 === iTN 5,4 1 2 1,3 11 =+=+= iTN  101,100 1 4 1 2 1,99 1 3 11 =+++=+++= iTN  100 1 99 1 4 1 3 1 2 11 −++−+−= S 0,0 == TN 100kk l C BA, 8=AB l A B C M O P A B C M O P （2）求过点 且与 的准线相切的圆的方程． 20．【解析】（1）焦点 为 ，则直线 ， 联立方程组 ，得 ， 令 ，则 ， ． 根据抛物线的定义得 ， 即 ，解得 （舍去 ）， 所以 的方程为 ； （2）设弦 的中点为 ，由（1）知 ，所以 的坐标为 ， 则弦 的垂直平分线为 ，令所求圆的圆心为 ，半径为 ， 根据垂径定理得 ， 由圆与准线相切得 ，解得 或 ． 则所求圆的方程为： 或 ． 21．（12 分） 已知函数 ． （1）若 ，求 的单调区间； （2）证明： 只有一个零点． 21．【解析】（1） 时， ，则 ， 由 得 ； 由 得 ， 所以 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ． （2）因为 恒成立，所以要证明 只有一个零点等价于证明方程 ， 即证明直线 与曲线 只有一个交点． BA, C F )0,1( )1(: −= xkyl    = −= xy xky 4 )1( 2 0)42( 2222 =++− kxkxk ),(),,( 2211 yxByxA 2 2 21 42 k kxx +=+ 121 =xx 8221 =++= xxAB 642 2 2 =+ k k 1=k 1−=k l 1−= xy AB M 32 21 =+ xx M )2,3( AB 5+−= xy )5,( mm − r 34122 2 15 2 2 22 +−=     −+−+     = mmmmABr 341221 2 +−=+ mmm 3=m 11=m 16)2()3( 22 =−+− yx 144)6()11( 22 =++− yx )1(3 1)( 23 ++−= xxaxxf 3=a )(xf )(xf 3=a )1(33 1)( 23 ++−= xxxxf 36)( 2 −−=′ xxxf 036)( 2 >−−=′ xxxf ),323()323,( +∞+−−∞∈ x 036)( 2 <−−=′ xxxf )323,323( +−∈x 3=a )(xf ),323(),323,( +∞+−−∞ )323,323( +− 012 >++ xx )(xf axx x =++ )1(3 2 3 ay = )1(3)( 2 3 ++= xx xxg xFO A B y －1 所以 在 上为单调递增的函数，所以直线 与曲线 只有一个交点，得证． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在 直 角 坐 标 系 中 ， 曲 线 的 参 数 方 程 为 为 参 数 ， 直 线 的 参 数 方 程 为 为参数 （1）求 和 的直角坐标方程； （2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率． 22．【解析】（1）消去参数 ，得 的直角坐标方程为 ； 消去参数 ，得 的直角坐标方程为 ； （ 的直角坐标方程也可写成： 或 ．） （2）方法 1：将 的参数方程： 为参数 代入 得： ，即 ， 由韦达定理得 ， 依题意，曲线 截直线 所得线段的中点对应 ，即 ，得 ． 因此 的斜率为 ． 方法 2：令曲线 与直线 的交点为 ， 则由 得 ，其中 ． 所以 ，即 的斜率为 ． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 设函数 ． [ ] 0)1(3 2)1( )1(3 )32( )1(9 )12(3)1(9)( 22 22 22 22 22 322 >++ ++=++ ++=++ +−++=′ xx xx xx xxx xx xxxxxxg )(xg R ay = )(xgy = xOy C θθ θ (sin4 cos2    = = y x ) l tty tx (sin2 cos1    += += α α ) C l C l )2,1( l θ C 1164 22 =+ yx t l 0cos2sincossin =+−⋅−⋅ αααα yx l )2(2)1(tan παα ≠+−= xy 1=x l tty tx (sin2 cos1    += += α α ) 1164: 22 =+ yxC ( ) ( ) 16sin2cos14 22 =+++ αα tt ( ) ( ) 08sincos24cos31 22 =−+++ tt ααα ( ) α αα 221 cos31 sincos24 + +−=+ tt C l 02 21 =+ tt 0sincos2 =+ αα 2tan −=α l 2− C l ),(),,( 2211 yxByxA       =+ =+ 1164 1164 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx ( )( ) ( )( ) 0164 21212121 =+−++− yyyyxxxx 4,2 2121 =+=+ yyxx 2042 21 212121 −=− −⇒=−+− xx yyyyxx l 2− 25)( −−+−= xaxxf （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ，求 的取值范围． 23．【解析】（1） 时， ， 时， ，解得 ； 时， ，解得 ； 时， ，解得 ， 综上所述，当 时，不等式 的解集为 ． （2） ，即 ， 又 ， 所以 ，等价于 或 ， 解得 的取值范围为 或 ． 1=a 0)( ≥xf 1)( ≤xf a 1=a 215)( −−+−= xxxf 1−≤x 042215)( ≥+=−+++= xxxxf 12 −≤≤− x 21 <<− x 02215)( ≥=−+−−= xxxf 21 <<− x 2≥x 062215)( ≥+−=+−−−= xxxxf 32 ≤≤ x 1=a 0)( ≥xf ]3,2[− 125)( ≤−−+−= xaxxf 42 ≥−++ xax 222 +=+−+≥−++ axaxxax 42 ≥+a 42 ≥+a 42 −≤+a a 2|{ ≥aa }6−≤a