安徽省宿州市高考数学一模试卷理科

安徽省宿州市高考数学一模试卷理科

‎2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（　　）‎ A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]‎ ‎2．（5分）已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），复数为z的共轭复数，则=（　　）‎ A．﹣2i B．2i C．4﹣2i D．4+2i ‎3．（5分）已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎5．（5分）设，，，则a，b，c三个数从大到小的排列顺序为（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b ‎6．（5分）若函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎7．（5分）将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（　　）‎ A．81π B．33π C．56π D．41π ‎9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（　　）‎ A． B．g（x）=2sin2x C． D．‎ ‎10．（5分）已知函数 ‎，g（x）=﹣f（﹣x），则方程f（x）=g（x）的解的个数为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎11．（5分）已知抛物线C：y2=8x，圆F：（x﹣2）2+y2=4，直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是（　　）‎ A．|M1M3|•|M2M4| B．|FM1|•|FM4| C．|M1M2|•|M3M4| D．|FM1|•|M1M2|‎ ‎12．（5分）已知l1，l2分别是函数f（x）=|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13．（5分）已知向量满足，，且，则向量与向量的夹角为　 　．‎ ‎14．（5分）（x﹣2y+y2）6的展开式中，x2y5的系数为　 　．‎ ‎15．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于1，则a的值为　 　．‎ ‎16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=c，sinB+sin（A﹣C）=sin2A，若O为△ABC所在平面内一点，且O，C在直线AB的异侧，OA=2OB=2，则四边形OACB面积的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17．（12分）在数列{an}中，a1=1，．‎ ‎（Ⅰ）设，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∠PDC=90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）当直线PB与底面ABCD成30°角时，求二面角B﹣CE﹣P的余弦值．‎ ‎19．（12分）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度（含4200度），执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度．‎ 某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如表：‎ 用户编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 年用电量（度）‎ ‎1000‎ ‎1260‎ ‎1400‎ ‎1824‎ ‎2180‎ ‎2423‎ ‎2815‎ ‎3325‎ ‎4411‎ ‎4600‎ ‎（Ⅰ）试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？‎ ‎（Ⅱ）现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；‎ ‎（Ⅲ）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率，O为坐标原点，圆与直线AB相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥DC．记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，试问k1•k2是否为定值？证明你的结论．‎ ‎21．（12分）已知函数，函数g（x）=﹣2x+3．‎ ‎（Ⅰ）判断函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若﹣2≤a≤﹣1时，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．‎ ‎　‎ 选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）把直线l与x轴的交点记为A，求|AP|•|AQ|的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）≤5在x∈[1，4]上恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（　　）‎ A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]‎ ‎【解答】解：A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4}，‎ B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x＞2}={x|x＞2或x＜﹣1}，‎ 则A∩B={x|2＜x≤4}，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），复数为z的共轭复数，则=（　　）‎ A．﹣2i B．2i C．4﹣2i D．4+2i ‎【解答】解：由z=1﹣i，得，‎ 则==．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S=++…+的值，‎ 可得：S=++…+‎ ‎=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【解答】解：P为双曲线左支上的一点，‎ 则由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|=2a，‎ 由|PF2|=2|PF1|，则|PF2|=4a，|PF1|=2a，‎ ‎∵M是PF1的中点，且OM⊥PF1‎ ‎∴由△PF1F2为直角三角形，则|PF2|2+|=|PF2|2，=|F1F2|2．‎ ‎∴5a2=c2‎ 即有e=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设，，，则a，b，c三个数从大到小的排列顺序为（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b ‎【解答】解：b===＞ln=ln=a，‎ a=＞=c．‎ ‎∴b＞a＞c．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+）为奇函数，‎ 故有θ+=kπ，‎ 即：θ=kπ﹣（k∈Z），可淘汰A、C选项，‎ 然后分别将B和C选项代入检验，‎ 易知当θ=时，‎ f（x）=﹣2sin2x其在区间[﹣，0]上递减，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，‎ 基本事件总数n==90，‎ 每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m==36，‎ ‎∴每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为p===．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（　　）‎ A．81π B．33π C．56π D．41π ‎【解答】解：由三视图还原原几何体如图：‎ 该几何体为四棱锥，下底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD为等腰三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．‎ 棱锥的高为1，设三角形PAD的外心为G，则=2PG，‎ ‎∴PG=．再设该四棱锥外接球的半径为R，则 则该几何体的外接球的表面积为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（　　）‎ A． B．g（x）=2sin2x C． D．‎ ‎【解答】解：由题设图象知，A=2，周期T=4（x0+π﹣x0）=4π，‎ ‎∴ω==．‎ ‎∵点（0，1）在函数图象上，‎ ‎∴2sin（φ）=1，即sin（φ）=．‎ 又∵0＜φ＜，‎ ‎∴φ=．‎ 故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），将图象横坐标缩短到原来的，可得2sin（2x+），‎ 再向右平移个单位，可得2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x），‎ 即 g（x）=2sin（2x），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数，g（x）=﹣f（﹣x），则方程f（x）=g（x）的解的个数为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【解答】解：函数的图象如图所示，‎ 由g（x）=﹣f（﹣x），可得g（x）和f（x）的图象关于原点对称，‎ 作出y=g（x）的图象，‎ 可得y=f（x）和y=g（x）的图象有4个交点，‎ 则方程f（x）=g（x）的解的个数为4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知抛物线C：y2=8x，圆F：（x﹣2）2+y2=4，直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是（　　）‎ A．|M1M3|•|M2M4| B．|FM1|•|FM4| C．|M1M2|•|M3M4| D．|FM1|•|M1M2|‎ ‎【解答】解：分别设M1，M2，M3，M4四点横坐标为x1，x2，x3，x4，‎ 由y2=8x可得焦点F（2，0），准线 l0：x=﹣2．‎ 由定义得：|M1F|=x1+2，‎ 又∵|M1F|=|M1M2|+2，‎ ‎∴|M1M2|=x1，‎ 同理：|M3M4|=x4，‎ 将y=k（x﹣2）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，‎ ‎∴x1x2=4，‎ ‎∴|M1M2|•|M3M4|=4‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知l1，l2分别是函数f（x）=|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞）‎ ‎【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），‎ 当0＜x＜1时，f′（x）=﹣，当x＞1时，f′（x）=，‎ ‎∴l1的斜率k1=﹣，l2的斜率k2=，‎ ‎∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，‎ ‎∴k1•k2=﹣•=﹣1，即x1x2=1．‎ 直线l1：y=﹣（x﹣x1）﹣lnx1，l2：y=（x﹣x2）+lnx2．‎ 取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），‎ ‎|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．‎ 联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，‎ ‎∴S△PAB=|AB|•|xP|=×2×=，‎ ‎∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，‎ ‎∴x1+＞1+1=2，则0＜＜，‎ ‎∴0＜＜1．‎ ‎∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎13．（5分）已知向量满足，，且，则向量与向量的夹角为　　．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴，=2‎ 又∵‎ ‎∴‎ 即 设向量与的夹角为θ 则cosθ==‎ ‎∵θ∈[0，π]‎ ‎∴θ=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（x﹣2y+y2）6的展开式中，x2y5的系数为　﹣480　．‎ ‎【解答】解：通项公式Tr+1=，‎ 令6﹣r=2，解得r=4．‎ ‎∴T5=．‎ 又（y2﹣2y）4=（y2）4﹣•2y+﹣+，‎ ‎∴x2y5的系数为×（﹣•23）=﹣480．‎ 故答案为：﹣480．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于1，则a的值为　1　．‎ ‎【解答】解：当a＜0时，不等式组所表示的平面区域，‎ 如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，‎ 故只能a≥0，‎ 此时不等式组所表示的平面区域如图中的N，区域为三角形区域，‎ 若这个三角形的面积为1，‎ 则AB=2，即点B的坐标为（1，2），‎ 代入y=ax+1得a=1．‎ 故答案为：1；‎ ‎　‎ ‎16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=c，sinB+sin（A﹣C）=sin2A，若O为△ABC所在平面内一点，且O，C在直线AB的异侧，OA=2OB=2，则四边形OACB面积的取值范围是　　．‎ ‎【解答】解：根据sinB+sin（A﹣C）=sin2A，可得sin（A+C）+sin（A﹣C）=sin2A，‎ 可得2sinAcosC=2sinAcosA，即cosC=cosA，那么b=c=a，三角形△ABC时等边三角．‎ 由OA=2OB=2，四边形OACB面积S=AO•OB•sin∠AOB+bcsinA，‎ 则四边形OACB面积S=+sin∠AOB=（5﹣4cos∠AOB）+sin∠AOB=sin∠AOB﹣cos∠AOB ‎=2sin（∠AOB﹣）‎ ‎∵0＜∠AOB＜π ‎∴＜∠AOB﹣‎ 那么：＜2sin（∠AOB﹣）≤2‎ ‎∴OACB面积的取值范围是 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～‎ ‎21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17．（12分）在数列{an}中，a1=1，．‎ ‎（Ⅰ）设，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（I）由已知有 ‎∴，又b1=a1=1，‎ 利用累差叠加即可求出数列{bn}的通项公式：‎ ‎∴（n∈N*）；‎ ‎（II）由（I）知，‎ ‎∴‎ 而，‎ 令①‎ ‎①×2得②‎ ‎①﹣②得=‎ ‎=﹣2+（1﹣n）•2n+1‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∠PDC=90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）当直线PB与底面ABCD成30°角时，求二面角B﹣CE﹣P的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点O，连OE，OC，CA，‎ ‎∵∠ABC=60°，∴△ACD为等边三角形，得AD⊥OC，‎ 又AD⊥CE，∴AD⊥平面COE，得AD⊥OE，‎ 又OE∥PD，∴AD⊥PD，‎ 又∠PDC=90°，∴PD⊥平面ABCD，‎ 又PD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ） 知OE⊥平面ABCD，AD⊥OC，‎ 以OC，OD，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 设菱形ABCD的边长为2，则，，‎ ‎∵直线PB与底面ABCD成30°角，即∠PBD=30°，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 设为平面BCE的一个法向量，‎ 则，令x1=1，则，‎ ‎∴；‎ 设为平面PCE的一个法向量，‎ 则，令x2=1，则，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ 由题可知二面角B﹣CE﹣P的平面角为钝角，‎ 二面角B﹣CE﹣P的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度（含4200度），执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度．‎ 某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如表：‎ 用户编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 年用电量（度）‎ ‎1000‎ ‎1260‎ ‎1400‎ ‎1824‎ ‎2180‎ ‎2423‎ ‎2815‎ ‎3325‎ ‎4411‎ ‎4600‎ ‎（Ⅰ）试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？‎ ‎（Ⅱ）现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；‎ ‎（Ⅲ）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．‎ ‎【解答】解：（I）因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，‎ 第三档电价比第一档电价多0.3元/度，‎ 编号为10的用电户一年的用电量是4600度，‎ 则该户本年度应交电费为：‎ ‎4600×0.5653+（4200﹣2160）×0.05+（4600﹣4200）×0.3=2822.38元．‎ ‎（II）设取到第二阶梯电量的用户数为X，‎ 可知第二阶梯电量的用户有4户，则X可取0，1，2，3，4．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故X的分布列是：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以．‎ ‎（III）由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，‎ 满足X～B（10，），可知（k=0，1.2.3．…10），‎ ‎∵抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，‎ ‎∴，解得，∵k∈N*‎ 所以当k=4时，概率最大，所以k=4．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率，O为坐标原点，圆与直线AB相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥DC．记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，试问k1•k2是否为定值？证明你的结论．‎ ‎【解答】解：（I）直线AB的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0，‎ 由圆O与直线AB相切，得=，‎ 即=，①‎ 设椭圆的半焦距为c，则e==，‎ ‎∴=1﹣e2=，②‎ 由①②得a2=4，b2=1．‎ 故椭圆的标准方程为；‎ ‎（ II）k1•k2=为定值，证明过程如下：‎ 由（I）得直线AB的方程为y=﹣x+1，‎ 故可设直线DC的方程为y=﹣x+m，显然m≠±1．‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2）．‎ 联立消去y得x2﹣2mx+2m2﹣2=0，‎ 则△=8﹣4m2＞0，解得﹣＜m＜，且m≠±1，‎ ‎∴x1+x2=2m，x1x2=2m2﹣2．‎ 由，，‎ 则=，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎==．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数，函数g（x）=﹣2x+3．‎ ‎（Ⅰ）判断函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若﹣2≤a≤﹣1时，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．‎ ‎【解答】解：（I），其定义域为为（0，+∞），‎ ‎=．‎ ‎（1）当a≤0时，F'（x）≥0，函数y=F（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ ‎（2）当a＞0时，令F'（x）＞0，解得；令F'（x）＜0，解得．‎ 故函数y=F（x）在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（II）由题意知t≥0.，‎ 当﹣2≤a≤﹣1时，函数y=f（x）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，‎ 又函数y=g（x）单调递减，所以原问题等价于：当﹣2≤a≤﹣1时，‎ 对任意1≤x1≤x2≤2，不等式f（x2）﹣f（x1）≤t[g（x1）﹣g（x2）]恒成立，‎ 即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意﹣2≤a≤﹣1，1≤x1≤x2≤2恒成立．‎ 记h（x）=f（x）+tg（x）=lnx﹣+（1﹣2t）x+3t，‎ 则h（x）在[1，2]上单调递减．得对任意a∈[﹣2，﹣1]，x∈[1，2]恒成立．‎ 令，a∈[﹣2，﹣1]，则2t≤0在x∈（0，+∞）上恒成立．‎ 则2t﹣1≥（2x+）max，而y=2x+在[1，2]上单调递增，‎ 所以函数y=2x+在[1，2]上的最大值为．‎ 由2t﹣1，解得t．‎ 故实数t的最小值为．‎ ‎　‎ 选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）把直线l与x轴的交点记为A，求|AP|•|AQ|的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），‎ ‎∴直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣y﹣1=0，‎ ‎∵曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为3x2+4y2=12．‎ ‎（II）解法一：在x﹣y﹣1=0中，令y=0，得x=1，则A（1，0），‎ 联立，消去y，得7x2﹣8x﹣8=0．‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），其中x1＜x2，则有x1+x2=，x1x2=﹣．‎ ‎|AP|=|x1﹣1|=﹣（x1﹣1），‎ ‎|AQ|=|x2﹣1|=（x2﹣1），‎ 故|AP|•|AQ|=﹣2（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．‎ 解法二：把，‎ 代入3x2+4y2=12，得14t2+6﹣9=0，‎ 则t1t2=﹣，则|AP|•|AQ|=（﹣2t1）•（2t2）=﹣4t1t2=．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）≤5在x∈[1，4]上恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当m=0时，，‎ 当且仅当，即x=±2时等式成立，‎ 所以，当x=±2时，f（x）min=4．‎ ‎（Ⅱ）当x∈[1，4]时，函数f（x）的最大值为5⇔在x∈[1，4]上恒成立，‎ ‎⇔在x∈[1，4]上恒成立，‎ ‎⇔在x∈[1，4]上恒成立，‎ ‎⇔，且在x∈[1，4]上恒成立，‎ 函数在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增．‎ ‎∵，当且仅当x=2时等式成立，而在x∈[1，4]上是恒成立的．‎ ‎∴2m﹣5≤4∴，即实数m的取值范围是．‎ ‎　‎