北京高考数学理科真题

北京高考数学理科真题

‎2015年北京高考数学（理科）真题 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第一部分（选择题共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．复数 A． B． C． D．‎ ‎2．若，满足则的最大值为 A．0 B．1 C． D．2‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A． B． C． D．‎ ‎4．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 A． B． C． D．5‎ ‎6．设是等差数列. 下列结论中正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎7．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是 A． B．‎ C． D．‎ ‎8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 第二部分（非选择题　共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎10．已知双曲线的一条渐近线为，则 ．‎ ‎11．在极坐标系中，点到直线的距离为 ．‎ ‎12．在中，，，，则 ．‎ ‎13．在中，点，满足，．若，则 ； ．‎ ‎14．设函数 ‎ ①若，则的最小值为 ；‎ ‎②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎15．（本小题13分）‎ 已知函数．‎ ‎(Ⅰ) 求的最小正周期；‎ ‎(Ⅱ) 求在区间上的最小值．‎ ‎16．（本小题13分）‎ ‎，两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：‎ 组：10，11，12，13，14，15，16‎ 组：12，13，15，16，17，14，‎ 假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．‎ ‎(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；‎ ‎(Ⅱ) 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；‎ ‎(Ⅲ) 当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）‎ ‎17．（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．‎ ‎(Ⅰ) 求证：；‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的余弦值；‎ ‎(Ⅲ) 若平面，求的值．‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题13分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，；‎ ‎（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．‎ ‎19．（本小题14分）‎ 已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（本小题13分）‎ 已知数列满足：，，且．‎ 记集合．‎ ‎（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；‎ ‎（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；‎ ‎（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．‎ ‎（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）‎ ‎ ‎