高考理科数学二轮专题复习大题之统计与概率

高考理科数学二轮专题复习大题之统计与概率

大题专题四《统计与概率——18或19题》‎ ．（2012年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.‎ ‎(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率: ‎ ‎(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: ‎ ‎(Ⅲ)用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.‎ ．（2012年高考（新课标理））某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝元的价格出售,‎ 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.‎ ‎(1)若花店一天购进枝玫瑰花,求当天的利润(单位:元)关于当天需求量(单位:枝,)的函数解析式. ‎ ‎(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.‎ ‎(i)若花店一天购进枝玫瑰花,表示当天的利润(单位:元),求的分布列,数学期望及方差;‎ ‎(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.‎ ．（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.‎ ‎(Ⅰ)求X的分布列;‎ ‎(Ⅱ)求X的数学期望E(X).‎ ．（2012年高考（陕西理））某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:‎ 从第一个顾客开始办理业务时计时.‎ ‎(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;‎ ‎(2)表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求的分布列及数学期望.‎ ．（2012年高考（山东理））先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 ‎,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.‎ ‎(Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率;‎ ‎(Ⅱ)求该射手的总得分的分布列及数学期望.‎ ．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.‎ ‎(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?‎ ‎(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望和方差.‎ 附: ‎ ．（2012年高考（湖南理））某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;‎ ‎(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率. (注:将频率视为概率)‎ ．（2012年高考（广东理））某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:、、、、、.‎ ‎(Ⅰ)求图中的值;‎ ‎(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.‎ ．（2012年高考（北京理））近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;‎ ‎(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;‎ ‎(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,其中,.当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值.‎ ‎(注:方差,其中为的平均数)‎ ．（2012年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道类试题和一道类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有道 试题,其中有道类型试题和道类型试题,以表示两次调题工作完成后,试题库中类试题的数量.‎ ‎(Ⅰ)求的概率;‎ ‎(Ⅱ)设,求的分布列和均值(数学期望).‎ ．（2013年广东省数学（理）卷）某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第11题图 ‎(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值;‎ ‎(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人;‎ ‎(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率.‎ ．（2013年辽宁数学（理）试题）现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.‎ ‎(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;‎ ‎(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数,求的分布列和数学期望.‎ ．（2013年湖南卷（理））某人在如图4所示的直角边长为‎4米 的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过‎1米.‎ ‎(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好 “相近”的概率;‎ ‎(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.‎ ．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t该产品获利润元,未售出的产品,每t亏损元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了t该农产品,以(单位:t,)表示下一个销售季度内的市场需求量,(单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.‎ ‎(Ⅰ)将表示为的函数;‎ ‎(Ⅱ)根据直方图估计利润不少于57000元的概率;‎ ‎(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若,则取,且的概率等于需求量落入的概率),求利润的数学期望.‎ ．（2013年江西卷（理））小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为.若就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.‎ ‎(1) 求小波参加学校合唱团的概率； ‎ ‎(2) 求的分布列和数学期望.‎ ．（2013年湖北卷（理））假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为.‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(参考数据:若, 有,‎ ‎, .)‎ ‎(II)某客运公司用.两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,.两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求型车不多于型车7辆.若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备型车.型车各多少辆?‎ ．（2013年新课标1（理））‎ 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.‎ 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立 ‎(1)求这批产品通过检验的概率;‎ ‎(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.‎ ．（2013年四川卷（理））某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生.‎ ‎(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率;‎ ‎(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行次后,统计记录了输出的值为的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.‎ 甲的频数统计表(部分) ‎ 运行次数 输出的值为的频数 输出的值为的频数 输出的值为的频数 乙的频数统计表(部分)‎ 运行次数 输出的值为的频数 输出的值为的频数 输出的值为的频数 当时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大;‎ ‎(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出的值为2的次数的分布列及数学期望.‎ ‎19、(2014广东) 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：‎ 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：‎ ‎（1）确定样本频率分布表中和的值；‎ ‎（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；‎ ‎（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.‎ ‎20. (2014新课标II) 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，‎ ‎21. (2014新课标I) 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.‎ ‎(i) 利用该正态分布，求；‎ ‎（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.‎ 附：≈12.2.‎ 若～，则=0.6826，=0.9544.‎ ‎22. (2014陕西) 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎（1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列；‎ ‎（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.‎ ‎23.(2014安徽)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛。假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为 ‎，各局比赛结果相互独立。‎ ‎（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；‎ ‎（Ⅱ）记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．‎ ‎24. (2014北京) 李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：‎ ‎（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.‎ ‎（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过，一场不超过的概率.‎ ‎（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）‎ ‎25. (2014湖南) 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.‎ ‎(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;‎ ‎(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.‎ ‎26．(2014天津) 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.‎ ‎（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；‎ ‎（Ⅱ）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎27、(2014四川) 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得分，出现两次音乐获得分，出现三次音乐获得分，没有出现音乐则扣除分（即获得 分）。设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立。‎ ‎（Ⅰ）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；‎ ‎（Ⅱ）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？‎ ‎（Ⅲ）玩这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。‎ ‎28.（2014辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.‎ ‎（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.‎ ‎29．(2014湖北) 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.‎ ‎（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；‎ 年入流量X ‎40＜X＜80‎ ‎80≤X≤120‎ X＞120‎ 发电机最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元. 欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ ‎30.（2014福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.‎ ‎（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ‎ ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ‎ ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;‎ ‎（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.‎ 【答案】 依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件,则. ‎ ‎(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为. ‎ ‎(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件,则,由于与互斥,故 ‎ ‎ ‎ 所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. ‎ ‎(3)的所有可能的取值为,由于与互斥,与互斥,故 ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 随机变量的数学期望. ‎ 【解析】(1)当时, ‎ 当时, ‎ 得: ‎ ‎(2) (i) 可取,, ‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(ii) 购进17枝时,当天的利润为 ‎ ‎ 得:应购进17枝 ‎ 【解析】 (Ⅰ) X的可能取值有:3,4,5,6. ‎ ‎; ; ‎ ‎; . ‎ 故,所求X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为: E(X)=. ‎ 解析:设表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得的分布列如下:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎(1)表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A对应三种情形: ‎ ‎①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟. ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎(2)解法一 所有可能的取值为 ‎ 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, ‎ 所以 ‎ 对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟. ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟, ‎ 所以 ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ ‎ ‎ 解法二 所有可能的取值为 ‎ 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, ‎ 所以 ‎ 对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟, ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ ‎ ‎ 解析:(Ⅰ); ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎, ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=. ‎ 【答案及解析】 ‎ ‎(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下: ‎ ‎ ‎ 由2×2列联表中数据代入公式计算,得: ‎ 因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关. ‎ ‎(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为,由题意, ‎ ‎,从而X的分布列为: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 【解析】(1)由已知,得所以 ‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布为 ‎ X ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ P X的数学期望为 ‎ ‎. ‎ ‎(Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,为该顾客前面第位顾客的结算时间,则 ‎ ‎. ‎ 由于顾客的结算相互独立,且的分布列都与X的分布列相同,所以 ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率为. ‎ 解析:(Ⅰ)由,解得. ‎ ‎(Ⅱ)分数在、的人数分别是人、人.所以的取值为0、1、2. ‎ ‎,,,所以的数学期望是. ‎ 【解析】 (1)由题意可知: ‎ ‎(2)由题意可知: ‎ ‎(3)由题意可知:,因此有当,,时,有. ‎ 【解析】(I)表示两次调题均为类型试题,概率为 ‎ ‎(Ⅱ)时,每次调用的是类型试题的概率为 ‎ 随机变量可取 ‎ ‎,,‎ ‎ ‎ ‎11.【答案】解:(1)由题意可知,样本均值 ‎ ‎(2)样本6名个人中日加工零件个数大于样本均值的工人共有2名, ‎ 可以推断该车间12名工人中优秀工人的人数为: ‎ ‎(3)从该车间12名工人中,任取2人有种方法, ‎ 而恰有1名优秀工人有 ‎ 所求的概率为: ‎ ‎12.【答案】‎ ‎13.【答案】解: (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点. ‎ 从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,共8对格点恰好“相近”. ‎ 所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率 ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)三角形共有15个格点. ‎ 与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4). ‎ ‎ ‎ 与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1). ‎ 与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0), (0,1,) ,(0,2),(0,3,). ‎ 与周围格点的距离不超过‎1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1). ‎ 如下表所示:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ 概率P ‎ ‎ ‎14.【答案】‎ ‎15.【答案】解:(1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有种,时,两向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为. ‎ ‎(2)两向量数量积的所有可能取值为时,有两种情形;时,有8种情形;时,有10种情形.所以的分布列为:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎16.【答案】解:(I) ‎ ‎(II)设配备型车辆,型车辆,运营成本为元,由已知条件得 ‎ ‎,而 ‎ ‎ ‎ 作出可行域,得到最优解. ‎ 所以配备型车5辆,型车12辆可使运营成本最小. ‎ ‎17.【答案】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥,∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+= ‎ ‎(Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且 ‎ P(X=400)=1-=,P(X=500)=,P(X=800)==, ‎ ‎∴X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P ‎ ‎ EX=400×+500×+800×=506.25 ‎ ‎18.【答案】解:变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能. ‎ 当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故; ‎ 当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故; ‎ 当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故 ‎ 当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下：‎ 输出的值为的频率 输出的值为的频率 输出的值为的频率 甲 乙 比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 ‎ ‎(3)随机变量的可能取值为0,1,2,3. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故的分布列为 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎19.【答案】‎ ‎ ‎ ‎20.【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎21.【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 ‎ …………6分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知～，从而 ‎ ………………9分 ‎（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826‎ 依题意知，所以 ………12分 ‎22.【解析】（1）‎ X的分布列如下表：‎ X ‎800‎ ‎2000‎ ‎4000‎ P ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎23.【解析】用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”，则，，=1，2，3，4，5．‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ 故的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎．‎ ‎24.【解析】(I)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.‎ 所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.‎ ‎（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过‎0.6”‎，‎ 事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过‎0.6”‎，‎ 事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过‎0.6”‎。‎ 则C=，A,B独立。‎ 根据投篮统计数据，.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.‎ ‎（Ⅲ）.‎ ‎25. 【解析】 (1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件 为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为.‎ ‎26.（Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件，则 ‎.‎ 所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.‎ ‎（Ⅱ）解：随机变量的所有可能值为0，1，2，3.‎ ‎.‎ 所以，随机变量的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎27.【解析】‎ ‎（Ⅰ）‎ 音乐次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 得分X ‎-200‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ 概率P ‎（Ⅱ）‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎28.【解析】（1）‎ ‎（2）‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ ‎29. （Ⅰ）依题意，,,‎ ‎.‎ 由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为：‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）记水电站年总利润为Y（单位：万元）‎ ‎（1）安装1台发电机的情形.‎ 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，‎ 对应的年利润Y=5000，E(Y)=5000×1=5000.‎ ‎（2）安装2台发电机的情形.‎ 依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-800=4200，‎ 因此P(Y=4200)=P(40＜X＜80)=p1=0.2；当X≥80时，两台发电机运行，‎ 此时Y=5000×2=10000，因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8；‎ 由此得Y的分布列如下 Y ‎4200‎ ‎10000‎ P ‎0.2‎ ‎0.8‎ 所以E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.‎ ‎（3）安装3台发电机的情形.‎ 依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-1600=3400，因此 P(Y=15000)=P(X＞120)=p3=0.1，由此得Y的分布列如下 Y ‎3400‎ ‎9200‎ ‎15000‎ P ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 所以，E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.‎ 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.‎ ‎30. 解：(1)设顾客所获的奖励额为X.‎ ‎(i)依题意，得P(X＝60)＝＝.‎ 即顾客所获的奖励额为60元的概率为，‎ ‎(ii)依题意，得X的所有可能取值为20，60.‎ P(X＝60)＝， P(X＝20)＝＝，‎ 即X的分布列为 X ‎20‎ ‎60‎ P ‎0.5‎ ‎0.5‎ 所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×0.5＋60×0.5＝40(元)．‎ ‎(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.‎ 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.‎ 以下是对两个方案的分析：‎ 对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎100‎ P X1的期望为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，‎ X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.‎ 对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ P X2的期望为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，‎ X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.‎ 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.‎