全国高考理科数学试题及答案全国卷1

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全国高考理科数学试题及答案全国卷1

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)‎ 理科数学(必修+选修Ⅱ)‎ 一、选择题 ‎1.函数的定义域为( )‎ A. B. C. D.‎ 解:C. 由 ‎2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是( )‎ s t O A.‎ s t O s t O s t O B.‎ C.‎ D.‎ 解:A. 根据汽车加速行驶,匀速行驶,减速行驶结合函数图像可知;‎ ‎3.在中,,.若点满足,则( )‎ A. B. C. D.‎ 解:A. 由,,;‎ ‎4.设,且为正实数,则( )‎ A.2 B.‎1 ‎ C.0 D.‎ 解:D.‎ ‎5.已知等差数列满足,,则它的前10项的和( )‎ A.138 B.‎135 ‎ C.95 D.23‎ 解:C. 由;‎ ‎6.若函数的图像与函数的图像关于直线对称,则( )‎ A. B. C. D.‎ 解:B.由;‎ ‎7.设曲线在点处的切线与直线垂直,则( )‎ A.2 B. C. D.‎ 解:D. 由;‎ ‎8.为得到函数的图像,只需将函数的图像( )‎ A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 解:A. ‎ 只需将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.‎ ‎9.设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ 解:D 由奇函数可知,而,则,当时,;当时,,又在上为增函数,则奇函数在上为增函数,.‎ ‎10.若直线通过点,则( )‎ A. B. C. D.‎ 解:D.由题意知直线与圆有交点,则.‎ 另解:设向量,由题意知 由可得 ‎11.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值等于( )‎ A. B. C. D.‎ 解:B.由题意知三棱锥为正四面体,‎ 设棱长为,则,棱柱的高(等于点到底面的距离),故与底面所成角的正弦值为.‎ 另解:设为空间向量的一组基底,的两两间的夹角为,‎ 长度均为,平面的法向量为,‎ ‎,则与底面所成角的正弦值为.‎ ‎12.如图,一环形花坛分成四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )‎ D B C A A.96 B.‎84 ‎ C.60 D.48‎ 解:B.分三类:种两种花有种种法;种三种花有种种法;‎ 种四种花有种种法.共有.‎ 另解:按顺序种花,可分同色与不同色有 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13若满足约束条件则的最大值为 .答案:9‎ 解:可行域如图, 的最大值对应直线截距的最小值.‎ 所以在顶点处取最大值 ‎ ‎ ‎14.已知抛物线的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 .答案:2.‎ 解:由抛物线的焦点坐标为 为坐标原点得,,则 与坐标轴的交点为,则以这三点围成的三角形的面积为 ‎15.在中,,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 .答案:‎ 解:设,则 ‎,.‎ ‎16.等边三角形与正方形有一公共边,二面角的余弦值为,分别是的中点,则所成角的余弦值等于 答案:.‎ 解:设,作,则,‎ 为二面角的平面角,‎ ‎,结合等边三角形 与正方形可知此四棱锥为正四棱锥,‎ 则 ‎,‎ 故所成角的余弦值 另解:以为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,‎ 则点,‎ ‎,‎ 则,‎ 故所成角的余弦值.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 设的内角所对的边长分别为,且.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的最大值.‎ 解:(Ⅰ)在中,由正弦定理及 可得 即,则;‎ ‎(Ⅱ)由得 当且仅当时,等号成立,‎ 故当时,的最大值为.‎ C D E A B ‎18.(本小题满分12分)‎ 四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,‎ ‎,,.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)设与平面所成的角为,求二面角的大小.‎ 解:(1)取中点,连接交于点,‎ ‎,,‎ 又面面,面,‎ ‎. ‎18题图 ,‎ ‎,,即,‎ 面,.‎ ‎(2)在面内过点作的垂线,垂足为.‎ ‎,,面,,‎ 则即为所求二面角的平面角.‎ ‎,,,‎ ‎,则,‎ ‎,即二面角的大小.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.‎ 解:(1)求导:‎ 当时,,,在上递增 当,求得两根为 即在递增,递减,‎ 递增 ‎(2),且解得:‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方法:‎ 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.‎ 方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.‎ ‎(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;‎ ‎(Ⅱ)表示依方案乙所需化验次数,求的期望.‎ 解:(Ⅰ)分别用、表示依甲、乙方案需要化验次,则:‎ ‎ ,,。‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 概率 ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎,‎ 次数 ‎2‎ ‎3‎ 概率 ‎0.6‎ ‎0.4‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)表示依方案乙所需化验次数,的期望为.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向.‎ ‎(Ⅰ)求双曲线的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.‎ 解:(Ⅰ)设,,‎ 由勾股定理可得:‎ 得:,,‎ 由倍角公式,解得,则离心率.‎ ‎(Ⅱ)过直线方程为,与双曲线方程联立 将,代入,化简有 将数值代入,有,解得 故所求的双曲线方程为。‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 设函数.数列满足,.‎ ‎(Ⅰ)证明:函数在区间是增函数;‎ ‎(Ⅱ)证明:;‎ ‎(Ⅲ)设,整数.证明:.‎ 解:(Ⅰ)证明:,‎ 故函数在区间(0,1)上是增函数;‎ ‎(Ⅱ)证明:(用数学归纳法)(i)当n=1时,,,‎ 由函数在区间是增函数,且函数在处连续,则在区间是增函数,,即成立;‎ ‎(ⅱ)假设当时,成立,即 那么当时,由在区间是增函数,得 ‎.而,则,‎ ‎,也就是说当时,也成立;‎ 根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数,恒成立.‎ ‎ (Ⅲ)证明:由.可得 1, 若存在某满足,则由⑵知:‎ 2, 若对任意都有,则 ‎,即成立.‎
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