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文档介绍
全国高考理科数学试题及答案全国卷1
2008年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ) 理科数学(必修+选修Ⅱ) 一、选择题 1.函数的定义域为( ) A. B. C. D. 解:C. 由 2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是( ) s t O A. s t O s t O s t O B. C. D. 解:A. 根据汽车加速行驶,匀速行驶,减速行驶结合函数图像可知; 3.在中,,.若点满足,则( ) A. B. C. D. 解:A. 由,,; 4.设,且为正实数,则( ) A.2 B.1 C.0 D. 解:D. 5.已知等差数列满足,,则它的前10项的和( ) A.138 B.135 C.95 D.23 解:C. 由; 6.若函数的图像与函数的图像关于直线对称,则( ) A. B. C. D. 解:B.由; 7.设曲线在点处的切线与直线垂直,则( ) A.2 B. C. D. 解:D. 由; 8.为得到函数的图像,只需将函数的图像( ) A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位 解:A. 只需将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像. 9.设奇函数在上为增函数,且,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 解:D 由奇函数可知,而,则,当时,;当时,,又在上为增函数,则奇函数在上为增函数,. 10.若直线通过点,则( ) A. B. C. D. 解:D.由题意知直线与圆有交点,则. 另解:设向量,由题意知 由可得 11.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面内的射影为的中心,则与底面所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 解:B.由题意知三棱锥为正四面体, 设棱长为,则,棱柱的高(等于点到底面的距离),故与底面所成角的正弦值为. 另解:设为空间向量的一组基底,的两两间的夹角为, 长度均为,平面的法向量为, ,则与底面所成角的正弦值为. 12.如图,一环形花坛分成四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( ) D B C A A.96 B.84 C.60 D.48 解:B.分三类:种两种花有种种法;种三种花有种种法; 种四种花有种种法.共有. 另解:按顺序种花,可分同色与不同色有 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上. 13若满足约束条件则的最大值为 .答案:9 解:可行域如图, 的最大值对应直线截距的最小值. 所以在顶点处取最大值 14.已知抛物线的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 .答案:2. 解:由抛物线的焦点坐标为 为坐标原点得,,则 与坐标轴的交点为,则以这三点围成的三角形的面积为 15.在中,,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 .答案: 解:设,则 ,. 16.等边三角形与正方形有一公共边,二面角的余弦值为,分别是的中点,则所成角的余弦值等于 答案:. 解:设,作,则, 为二面角的平面角, ,结合等边三角形 与正方形可知此四棱锥为正四棱锥, 则 , 故所成角的余弦值 另解:以为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系, 则点, , 则, 故所成角的余弦值. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 设的内角所对的边长分别为,且. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的最大值. 解:(Ⅰ)在中,由正弦定理及 可得 即,则; (Ⅱ)由得 当且仅当时,等号成立, 故当时,的最大值为. C D E A B 18.(本小题满分12分) 四棱锥中,底面为矩形,侧面底面, ,,. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)设与平面所成的角为,求二面角的大小. 解:(1)取中点,连接交于点, ,, 又面面,面, . 18题图 , ,,即, 面,. (2)在面内过点作的垂线,垂足为. ,,面,, 则即为所求二面角的平面角. ,,, ,则, ,即二面角的大小. 19.(本小题满分12分) 已知函数,. (Ⅰ)讨论函数的单调区间; (Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围. 解:(1)求导: 当时,,,在上递增 当,求得两根为 即在递增,递减, 递增 (2),且解得: 20.(本小题满分12分) 已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验. (Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (Ⅱ)表示依方案乙所需化验次数,求的期望. 解:(Ⅰ)分别用、表示依甲、乙方案需要化验次,则: ,,。 次数 1 2 3 4 概率 0.2 0.2 0.2 0.4 , 次数 2 3 概率 0.6 0.4 . (Ⅱ)表示依方案乙所需化验次数,的期望为. 21.(本小题满分12分) 双曲线的中心为原点,焦点在轴上,两条渐近线分别为,经过右焦点垂直于的直线分别交于两点.已知成等差数列,且与同向. (Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程. 解:(Ⅰ)设,, 由勾股定理可得: 得:,, 由倍角公式,解得,则离心率. (Ⅱ)过直线方程为,与双曲线方程联立 将,代入,化简有 将数值代入,有,解得 故所求的双曲线方程为。 22.(本小题满分12分) 设函数.数列满足,. (Ⅰ)证明:函数在区间是增函数; (Ⅱ)证明:; (Ⅲ)设,整数.证明:. 解:(Ⅰ)证明:, 故函数在区间(0,1)上是增函数; (Ⅱ)证明:(用数学归纳法)(i)当n=1时,,, 由函数在区间是增函数,且函数在处连续,则在区间是增函数,,即成立; (ⅱ)假设当时,成立,即 那么当时,由在区间是增函数,得 .而,则, ,也就是说当时,也成立; 根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数,恒成立. (Ⅲ)证明:由.可得 1, 若存在某满足,则由⑵知: 2, 若对任意都有,则 ,即成立.查看更多