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文档介绍
2014备考2013高考数学文真题含部分模拟新题分类汇编—N单元 选修4系列 含解析
N单元 选修4系列 N1选修4-1 几何证明选讲 21.N1[2013·江苏卷] A.[选修4-1:几何证明选讲] 如图1-1所示,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC=2OC. 求证:AC=2AD.[来源:学|科|网Z|X|X|K] 图1-1 证明:联结OD,因为AB和BC分别与圆O相切于点D,C, 所以∠ADO=∠ACB=90°.[来源:Z+xx+k.Com] 又因为∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB, 所以=. 又BC=2OC=2OD. 故AC=2AD. N2[2013·江苏卷] B.[选修4-2:矩阵与变换] 已知矩阵A= 0,2),B=1,0) 2,6),求矩阵A-1B. 解:设矩阵A的逆矩阵为a,c) b,d), 则-1,0) 0,2)a,c) b,d)=1,0) 0,1). 即-a,2c) -b,2d)=1,0) 0,1),[来源:学科网ZXXK] 故a=-1,b=0,c=0,d=, 从而A的逆矩阵为A-1= 0,))). 所以A-1B= 0,)))1,0) 2,6)=-1,0) -2,3). N3[2013·江苏卷] C.[选修4-4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数),试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标. 解:因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0. 同理得到曲线C的普通方程为y2=2x. 联立方程组解得公共点的坐标为(2,2),,-1. N4[2013·江苏卷] [来源:学|科|网] D.[选修4-5:不等式选讲] 已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b. 证明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b). 因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0. 从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即2a3-b3≥2ab2-a2b.[来源:学科网ZXXK] 22.N1[2013·辽宁卷] 选修4-1:几何证明选讲 如图1-6,AB为⊙O直径,直线CD与⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,联结AE,BE,证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD·BC. 图1-6 22.解:证明:(1)由直线CD与⊙O相切,得∠CEB=∠EAB.由AB为⊙O的直径,得AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=. 又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=, 从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB.[来源:Z*xx*k.Com] (2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF. 类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF. 又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故FE2=AF·BF. 所以EF2=AD·BC.[来源:Z。xx。k.Com] B.N1[2013·陕西卷] (几何证明选做题)如图1-4所示,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE=________. 图1-4 [解析] 利用已知图形关系可得∠BCE=∠PED=∠BAP,可得△PDE∽△PEA,可得=,而PD=2DA=2,则PA=3,则PE2=PA·PD=6,PE=. 22.N1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-1:几何证明选讲如图1-6,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.[来源:学,科,网] (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径. 图1-6 22.解:(1)联结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°, 由勾股定理可得DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故DG是BC的中垂线,所以BG=. 设DE的中点为O,联结BO,则∠BOG=60°, 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°, 所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于. 13.N1[2013·天津卷] 如图1-2所示,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为________. 图1-2 13. [解析] 联结AC.由圆内接梯形的性质得,∠DCB=∠ABE,∠DAB+∠DCB=180°,∠ABC+∠DCB=180°,∴∠DAB=∠ABC,∠DAB+∠ABE=180°,又∵∠ADB=∠ACB,∴∠CAB=∠DBA,又∠ADB=∠ABD,∴∠BAC=∠BCA,∴BC=AB=5.由切割线定理得AE2=BE·EC=4×(4+5)=36, 由cos∠ABE=-cos∠DAB, 得-=, 即-=,解之得BD=. 22.N1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-1:几何证明选讲 如图1-10,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆. (1)证明:CA是△ABC外接圆的直径; (2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值. 图1-10 22.解:(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径. 图1-11 (2)联结CE,因为∠CBE=90°, 所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE, 由DB=BE,有CE=DC. 又BC2=DB·BA=2DB2, 所以CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而DC2=DB·DA=3DB2,[来源:学§科§网Z§X§X§K] 故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为. 15.N1[2013·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-3,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED=________. 图1-3 15. [解析] AB=,BC=3AC==2 ,∵AB2=AE·AC,∴AE=.又∵tan∠ACB==,∴∠ACB=,故∠EAD=.在△AED中,由余弦定理得ED2=AE2+AD2-2AE·ADcos ∠EAD=+9-2××3cos =,故ED=. N2 选修4-2 矩阵 N3 选修4-4 参数与参数方程 [来源:学&科&网Z&X&X&K] 14.N3[2013·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为________. 14.(θ为参数) [解析] 将曲线C的极坐标方程ρ=2cos θ化为普通方程为(x-1)2+y2=1,则其参数方程为(θ为参数). 11.N3[2013·湖南卷] 在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:(s为参数)和直线l2:(t为参数)平行,则常数a的值为________. 11.4 [解析] l1:即x-2y-1=0,l2:即2x-ay-a=0.由两直线平行,得=≠,解得a=4. 23.N3[2013·辽宁卷] 选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcosθ-=2 . (1)求C1与C2交点的极坐标; (2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值. 23.解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4. 直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0. 解得[来源:Zxxk.Com] 所以C1与C2交点的极坐标为4,,2 ,. 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0. 由参数方程可得y=x-+1. 所以解得a=-1,b=2. 23.N3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-4:坐标系与参数方程 已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点. (1)求M的轨迹的参数方程; (2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点. 23.解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α ,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π). (2)M点到坐标原点的距离[来源:学*科*网] d==(0<α<2π). 当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点. C.N3[2013·陕西卷] (坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________. (1,0) [解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为:y2=4x,为抛物线,其焦点坐标为(1,0). 23.N3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).[来源:学科网ZXXK] 23.解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 将代入x2+y2-8x-10y+16=0, 得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以C1的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0, 由解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为,. N4选修4-5 不等式选讲 21.B12,N4[2013·湖北卷] 设a>0,b>0,已知函数f(x)=. (1)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性; (2)当x>0时,称f(x)为a,b关于x的加权平均数. (i)判断f(1),f,f是否成等比数列,并证明f≤f; (ii)a,b的几何平均数记为G,称为a,b的调和平均数,记为H.若H≤f(x)≤G,求x的取值范围. 21.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞), f′(x)==. 当a>b时,f′(x)>0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递增; 当a<b时,f′(x)<0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递减. (2)(i)计算得f(1)=>0,f=>0, f=>0. 故f(1)f=·=ab=,即 f(1)f=.① 所以f(1),f,f成等比数列. 因≥,即f(1)≥f,结合①得f≤f. (ii)由(i)知f=H,f=G,故由H≤f(x)≤G, 得f≤f(x)≤f.② 当a=b时,f=f(x)=f=a. 这时,x的取值范围为(0,+∞); 当a>b时,0<<1,从而<,由f(x)在(0,+∞)上单调递增与②式,得≤x≤,即x的取值范围为; 当a<b时,>1,从而>,由f(x)在(0,+∞)上单调递减与②式, 得≤x≤,即x的取值范围为. 24.N4[2013·辽宁卷] 选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1. (1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值. 24.解:(1)当a=2时,f(x)+|x-4|= 当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1; 当2查看更多
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