高考数学考点归纳之三角函数的图象与性质

高考数学考点归纳之三角函数的图象与性质

高考数学考点归纳之三角函数的图象与性质一、基础知识1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)“五点法”作图原理：在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).函数y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z在(k∈Z)上是递增函数 )上是递减函数)上是递减函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是对称性对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z)对称中心是(k∈Z)三角函数性质的注意点(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tanx无单调递减区间；y＝tanx在整个定义域内不单调．(2)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆.二、常用结论1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．2．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．第一课时　三角函数的单调性[典例]　(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．[解]　(1)由题意，f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2＝－2sin，故f＝－2sin＝－2sin＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2sin.则f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．[题组训练] 1．函数y＝|tanx|在上的单调递减区间为________．解析：作出y＝|tanx|的示意图如图，观察图象可知，y＝|tanx|在上的单调递减区间为和.答案：，2．函数g(x)＝－cos的单调递增区间为________．解析：g(x)＝－cos＝－cos，欲求函数g(x)的单调递增区间，只需求函数y＝cos的单调递减区间．由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．因为x∈，所以函数g(x)的单调递增区间为，.答案：， 3．(2019·金华适应性考试)已知函数f(x)＝cos2x－2sin2(x－α)，其中0<α<，且f＝－－1.(1)求α的值；(2)求f(x)的最小正周期和单调递减区间．解：(1)由已知得f＝－－2sin2＝－－2cos2α＝－－1，整理得cos2α＝.因为0<α<，所以cosα＝，α＝.(2)由(1)知，f(x)＝cos2x－2sin2＝cos2x－1＋cos＝cos2x＋sin2x－1＝2sin－1.易知函数f(x)的最小正周期T＝π.令t＝2x＋，则函数f(x)可转化为y＝2sint－1.显然函数y＝2sint－1与y＝sint的单调性相同，当函数y＝sint单调递减时，2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．[典例]　(1)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)A.　　　　　　　　B.C.D.(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．[解析]　(1)当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，所以函数f(x)的值域为.(2)依题意，f(x)＝sin2x＋cosx－＝－cos2x＋cosx＋＝－2＋1，因为x∈，所以cosx∈[0,1]，因此当cosx＝时，f(x)max＝1. [答案]　(1)B　(2)1[变透练清]1.若本例(1)中函数f(x)的解析式变为：f(x)＝3cos，则f(x)在区间上的值域为________．解析：当x∈时，2x－∈，cos∈，故f(x)＝3cos∈.答案：2.若本例(2)中函数f(x)的解析式变为：函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinxcosx，则f(x)的最大值为________．解析：设t＝sinx＋cosx(－≤t≤)，则sinxcosx＝，y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1，当t＝时，y＝t＋t2－取最大值为＋.故f(x)的最大值为.答案：3．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________． 解析：由x∈，知x＋∈.∵x＋∈时，f(x)的值域是，∴由函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π.答案：考点三　根据三角函数单调性确定参数[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D．π(2)若f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．[解析]　(1)f(x)＝cosx－sinx＝－sin，当x∈，即x－∈时，y＝sin单调递增，则f(x)＝－sin单调递减．∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，∴[－a，a]⊆，∴00)，所以ωx∈，因为f(x)＝2sinωx在上是增函数，所以故0<ω≤.法二：画出函数f(x)＝2sinωx(ω>0)的图象如图所示．要使f(x)在上是增函数，需即0<ω≤.[答案]　(1)A　(2)[解题技法]已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法(1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．(3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解． [题组训练]1．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则f＝________.解析：由题意知＝－＝，故T＝π，所以ω＝＝2，又因为f＝1，所以sin＝1.因为|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin.故f＝sin＝cos＝.答案：2．（2019·贵阳检测）已知函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：由0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.解析：法一：由于函数f(x)＝sinωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.法二：由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝，解得ω＝.答案：11．已知函数f(x)＝sin.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)因为当x∈时，≤2x＋≤， 所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.12．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论函数f(x)在上的单调性．解：(1)因为函数f(x)＝sin2x－cos2x－＝sin－，所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．B级1．已知函数f(x)＝2sin，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是________(用“<”表示)．解析：函数f(x)＝2sin＝2sin， a＝f＝2sin，b＝f＝2sin，c＝f＝2sin＝2sin，因为y＝sinx在上单调递增，且<<，所以sin0)，f＝f，且f(x)在上单调递减，则ω＝________.解析：由f＝f，可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，∴ω＋＝＋kπ，k∈Z，∴ω＝1＋4k，k∈Z，又∵f(x)在上单调递减，∴≥π－＝，T≥π，∴≥π，∴ω≤2，又∵ω＝1＋4k，k∈Z，∴当k＝0时，ω＝1.答案：13．已知函数f(x)＝asin＋a＋b. (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若x∈[0，π]，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)因为0≤x≤π，所以≤x＋≤，所以－≤sin≤1，依题意知a≠0.①当a>0时，有所以a＝3－3，b＝5.②当a<0时，有所以a＝3－3，b＝8.综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.第二课时　三角函数的周期性、奇偶性及对称性[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　) A.　　　　　　　　　B.C．πD．2π(2)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足10)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　) A．关于点对称　　B．关于点对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称(2)(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．[解析]　(1)因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)，令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)．故f(x)的对称中心为(k∈Z)，对比选项可知B正确．(2)由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z)．∵φ∈，∴φ＝－.[答案]　(1)B　(2)－[解题技法] 三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再把(ωx＋φ)整体看成一个变量，若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.[题组训练]1．若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值为(　　)A.B.C.D.解析：选A　由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.取k＝0，得|φ|的最小值为.2．(2018·长春质检)函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f(0)＝1，则下列结论中正确的是(　　)A．f(φ)＝2B.是f(x)图象的一个对称中心C．φ＝D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴 解析：选A　由f(0)＝1且0<φ<，可得φ＝，故选项C错误；可得f(x)＝2sin，把x＝代入f(x)＝2sin，得f(φ)＝2，选项A正确；f＝2，f(x)取得最大值，选项B错误；而f＝－1，非最值，选项D错误，故选A.3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f的值为________．解析：∵f＝f，∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴，∴f＝±2.答案：2或－2A级1．下列函数中，周期为2π的奇函数为(　　)A．y＝sincos　　　　　B．y＝sin2xC．y＝tan2xD．y＝sin2x＋cos2x解析：选A　y＝sin2x为偶函数；y＝tan2x的周期为；y＝sin2x＋cos2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.2．已知函数f(x)＝sin－1，则f(x)的图象的一条对称轴方程是(　　)A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝ 解析：选A　令3x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝.因此函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x＝.3．(2018·南宁二中、柳州高中联考)同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数；④图象的一个对称中心为”的一个函数是(　　)A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin解析：选C　因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A选项；当x＝时，对于B，y＝sin＝0，对于D，y＝sin＝，因为图象关于直线x＝对称，所以排除B、D选项，对于C，sin＝1，sin＝0，且在上是增函数，故C满足条件．4．函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)满足(　　)A．在上单调递增B．图象关于直线x＝对称C．f＝D．当x＝时有最小值－1解析：选D　由函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，得ω＝2，则f(x)＝cos.当x∈时，2x＋∈，显然此时f(x)不单调递增，故A错误；当x＝ 时，f＝cos＝0，故B错误；f＝cos＝－，故C错误；当x＝时，f＝cos＝cosπ＝－1，故D正确．5．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)A．f(x)在内单调递减B．f(x)在内单调递减C．f(x)在内单调递增D．f(x)在内单调递增解析：选A　由题意知f(x)＝sin.∵f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin.由f(x)＝f(－x)知f(x)是偶函数，因此φ＋＝kπ＋(k∈Z)．又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝cos2x.当0<2x<π，即00，所以0<ω≤2，②由①②得ω＝.7．若函数f(x)＝cos(ω∈N*)的一个对称中心是，则ω的最小值为________．解析：因为f＝0，所以cos＝0，即＋＝＋kπ(k∈Z)，故ω＝2＋6k(k∈Z)，又因为ω∈N*，故ω的最小值为2.答案：28．若函数y＝2sin(3x＋φ)图象的一条对称轴为x＝，则φ＝________.解析：因为y＝sinx图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，所以3×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ＋(k∈Z)． 又因为|φ|<，所以k＝0，故φ＝.答案：9．若函数f(x)＝(ω>0)的最小正周期为π，则f＝________.解析：由题设及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，即f(x)＝，所以f＝＝.答案：10．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．解析：f(x)＝3sin的周期T＝2π×＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为＝2.答案：211．已知函数f(x)＝2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合；(2)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心．解：(1)当sin＝1时，2x－＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，此时函数取得最大值为2. 故f(x)的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为.(2)由2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，即函数f(x)的图象的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z.由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，即对称中心为，k∈Z.12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．解：由f(x)的最小正周期为π，得T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．(1)当f(x)为偶函数时，有φ＝＋kπ(k∈Z)．因为0<φ<，所以φ＝.(2)因为f＝，所以sin＝，即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0<φ<，所以φ＝， 即f(x)＝sin.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．B级1．若函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，且－<φ<，则函数y＝f为(　　)A．奇函数且在内单调递增B．偶函数且在内单调递增C．偶函数且在内单调递减D．奇函数且在内单调递减解析：选D　因为函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.又因为－<φ<，所以φ＝－， 则y＝f＝cos＝cos＝－sin2x，所以该函数为奇函数且在内单调递减，故选D.2．已知函数f(x)＝sin(ω>0，x∈R)．若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为(　　)A.B．2C.D.解析：选D　因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤·，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.3．已知函数f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)因为f(x)＝－cos－cos2x＝sin2x－cos2x ＝2＝2sin，故f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由(1)知h(x)＝2sin.令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，得t＝＋(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t＝或.(3)当x∈时，2x－∈，所以f(x)∈[1,2]．又|f(x)－m|<3，即f(x)－3

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