高考数学考点归纳之解三角形的实际应用

高考数学考点归纳之解三角形的实际应用

高考数学考点归纳之解三角形的实际应用一、基础知识测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角▲正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡度坡面与水平面的夹角叫做坡角(α)；坡面的垂直高度(h)与水平宽度(l)的比(i)叫做坡度　▲相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似． [典例]　如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.[解析]　在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600(m)．在△ACD中，∵tan∠DAC＝＝，∴CD＝600×＝600(m)．[答案]　600[解题技法]　测量高度问题的3个注意点(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[题组训练]1.如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶P处的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为10m，则树的高度h为(　　)A．(5＋5)m　　　　　　B．(30＋15)mC．(15＋30)mD．(15＋3)m解析：选A　在△PAB中，由正弦定理，得＝，因为sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝，所以PB＝5(＋)(m)，所以该树的高度h＝PBsin45°＝(5＋5)m. 2.如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为(　　)A．700mB．640mC．600mD．560m解析：选C　根据题意，可得在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝400(m)，所以AM＝＝400(m)．因为在△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理，得AC＝＝＝400(m)，在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400×＝600(m)．[典例]　(2018·保定模拟)如图，某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为8海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，则C与D的距离为(　　)A．20海里　　　　　　　　B．8海里C．23海里D．24海里[解析]　在△ABD中，因为灯塔B在A的北偏东75°方向上，距离为12海里，游轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B，B在南偏东60°方向上，所以B＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理＝， 可得AD＝＝＝24(海里)．在△ACD中，AD＝24(海里)，AC＝8(海里)，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝192.所以CD＝8(海里)．[答案]　B[解题技法]　测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．[题组训练]1．一艘船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　)A．15kmB．30kmC．45kmD．60km解析：选B　作出示意图如图所示，依题意有AB＝15×4＝60(km)，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得＝，解得BM＝30(km)．2.如图，为了测量两座山峰上P，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________m.解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.∵∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又∵PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.在Rt△PAB中，PA＝AB·tan60°＝900(m)，故PQ＝900(m)，∴P，Q两点间的距离为900(m)．答案：900[典例]　游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1040m，BC＝500m，则sin∠BAC等于________．[解析]　依题意，设乙的速度为xm/s，则甲的速度为xm/s，因为AB＝1040m，BC＝500m，所以＝，解得AC＝1260m.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠BAC＝＝＝，所以sin∠BAC＝＝＝. [答案]　[解题技法]　测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．[题组训练]1.甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝(　　)A．15°　　　　　　　　B．30°C．45°D．60°解析：选B　设两船在C处相遇，则由题意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，由正弦定理得＝＝，所以sin∠BAC＝.又因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.所以甲船应沿北偏东30°方向前进．2.如图，甲船在海面上行驶，当甲船位于A处时，在其正东方向相距40海里的B处，有一艘游艇遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距20海里的C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为________．解析：连接BC(图略)，根据余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝1600＋400－2×40×20cos(90°＋30°)＝2800.由题可知，∠ACB即为角θ，又∵＝，∴ ＝，∴sin2θ＝1600××＝，∴sinθ＝.答案：1．在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　)A.km　　　　　　　　B.kmC.kmD．2km解析：选A　如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，∴AC＝2×＝(km)．2.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)(　　)A．8.4kmB．6.6kmC．6.5kmD．5.6km解析：选B　因为AB＝1000×＝(km)，所以BC＝·sin30°＝(km)．所以航线离山顶的高度h＝BC·sin75°＝×sin75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4(km)．所以山高为18－11.4＝6.6(km)． 3.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84m，则塔高CD为(　　)A．24mB．12mC．12mD．36m解析：选C　设塔高CD＝xm，则AD＝xm，DB＝xm.又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，由余弦定理，得842＝x2＋(x)2－2·x2cos150°，解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12m.4.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，则该扇形的半径的长度为(　　)A．50mB．50mC．50mD．50m解析：选B　设该扇形的半径为r，连接CO，如图所示．由题意，得CD＝150(m)，OD＝100(m)，∠CDO＝60°，在△CDO中，由余弦定理得，CD2＋OD2－2CD·OD·cos60°＝OC2，即1502＋1002－2×150×100×＝r2，解得r＝50(m)．5.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20nmile的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30min后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75° 的方向上，则海轮的速度为________nmile/min.解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝10(nmile)，所以海轮航行的速度为＝(nmile/min)．答案：6.某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB＝24×＝6(km)，在△ABS中，∠BAS＝30°，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，∴BS＝＝3(km)．答案：37.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．解：(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝(2－2)nmile，BC＝4nmile，根据余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC ＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，所以AC＝2.故AC的长为2nmile.(2)由正弦定理得，sin∠CAB＝＝＝，所以∠CAB＝45°.8.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100m和BN＝200m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tanθ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100.连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，∴BQ＝100，cosθ＝.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100)2，∴BA＝100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100m.