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文档介绍
高考数学考点归纳之平面向量的综合应用
高考数学考点归纳之平面向量的综合应用[典例] (2019·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中,||=12,||=8.若点M,N满足=3,=2,则·=( )A.20 B.15C.36D.6[解析] 法一:由=3,=2知,点M是BC的一个四等分点,且BM=BC,点N是DC的一个三等分点,且DN=DC,所以=+=+,=+=+,所以=-=+-=-,所以·=·=·===36,故选C.法二:不妨设∠DAB为直角,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.则M(12,6),N(8,8),所以=(12,6),=(4,-2),所以·=12×4+6×(-2)=36,故选C.[答案] C[题组训练]1.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形 解析:选A 由(-)·(+-2)=0,得·(+)=0,∵-=,∴(-)·(+)=0,即||=||,∴△ABC是等腰三角形.2.(2018·西安质检)已知P为△ABC所在平面内一点,++=0,||=||=||=2,则△ABC的面积等于( )A.B.2C.3D.4解析:选B 由||=||得,△PBC是等腰三角形,取BC的中点D,连接PD(图略),则PD⊥BC,又++=0,所以=-(+)=-2,所以PD=AB=1,且PD∥AB,故AB⊥BC,即△ABC是直角三角形,由||=2,||=1可得||=,则||=2,所以△ABC的面积为×2×2=2.3.如图,在扇形OAB中,OA=2,∠AOB=90°,M是OA的中点,点P在弧AB上,则·的最小值为________.解析:如图,以O为坐标原点,为x轴的正半轴,为y轴的正半轴建立平面直角坐标系,则M(1,0),B(0,2),设P(2cosθ,2sinθ),θ∈,所以·=(1-2cosθ,-2sinθ)·(-2cosθ,2-2sinθ)=4-2cosθ-4sinθ=4-2(cosθ+2sinθ)=4-2sin(θ+φ),所以·的最小值为4-2. 答案:4-2[典例] (2017·江苏高考)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.[解] (1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-),a∥b,所以-cosx=3sinx.则tanx=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-)=3cosx-sinx=2cos.因为x∈[0,π],所以x+∈,从而-1≤cos≤.于是,当x+=,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.[题组训练]1.已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C三点共线,当k<0时,若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为________.解析:∵=-=(4-k,-7),=-=(6,k-5),且∥,∴(4-k)(k-5)+6×7=0,解得k=-2或k=11.由k<0,可知k =-2,则过点(2,-1)且斜率为-2的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.答案:2x+y-3=02.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为________.解析:由题意,得F(-1,0),设P(x0,y0),则有+=1,解得y=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+y=x+x0+3=+x0+3,对应的抛物线的对称轴方程为x0=-2,因为-2≤x0≤2,故当x0=2时,·取得最大值+2+3=6.答案:6[典例] 已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )A.6 B.7C.8D.9[解析] 由A,B,C在圆x2+y2=1上,且AB⊥BC,知线段AC为圆的直径,设圆心为O,故+=2=(-4,0),设B(a,b),则a2+b2=1且a∈[-1,1],=(a-2,b),所以++=(a-6,b).故|++|=, 所以当a=-1时,|++|取得最大值=7.[答案] B[解题技法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若给出的向量坐标中含有三角函数,求角的大小,解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示,或等式成立的条件等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)若给出的向量坐标中含有三角函数,求向量的模或者向量的其他表达形式,解题思路是利用向量的运算,结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解.[题组训练]1.(2019·南昌模拟)已知a=(cosα,sinα),b=(cos(-α),sin(-α)),那么a·b=0是α=kπ+(k∈Z)的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B ∵a·b=cosα·cos(-α)+sinα·sin(-α)=cos2α-sin2α=cos2α,若a·b=0,则cos2α=0,∴2α=2kπ±(k∈Z),解得α=kπ±(k∈Z).∴a·b=0是α=kπ+(k∈Z)的必要不充分条件.故选B.2.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cosA,sinA).若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为( )A., B., C.,D.,解析:选C 由m⊥n,得m·n=0,即cosA-sinA=0,由题意得cosA≠0,∴tanA=,又A∈(0,π),∴A=.又acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin(A+B)=2RsinC=c(R为△ABC外接圆半径),且acosB+bcosA=csinC,所以c=csinC,所以sinC=1,又C∈(0,π),所以C=,所以B=π--=.A级1.已知向量a=,b=,则|a-b|=( )A.1 B.C.D.解析:选C 因为a-b==(,0),所以|a-b|=,故选C.2.若向量=(1,1),=(-3,-2)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为( )A.B.2C.D.解析:选C 由于F1+F2=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),所以|F1+F2|==.3.(2019·牡丹江第一高级中学月考)已知圆O是△ABC的外接圆,其半径为1,且+=2,AB=1,则·=( ) A.B.3C.D.2解析:选B 因为+=2,所以点O是BC的中点,即BC是圆O的直径,又AB=1,圆的半径为1,所以∠ACB=30°,且AC=,则·=||·||cos∠ACB=3.4.已知向量m=与向量n=(3,sinA+cosA)共线,其中A是△ABC的内角,则角A的大小为( )A.B.C.D.解析:选C 因为m∥n,所以sinA(sinA+cosA)-=0,所以2sin2A+2sinAcosA=3.可化为1-cos2A+sin2A=3,所以sin=1,因为A∈(0,π),所以2A-∈.因此2A-=,解得A=.5.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( )A.-2B.-C.-D.-1解析:选B 如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,), B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2x2+22-,当x=0,y=时,·(+)取得最小值,为-.6.已知向量a=(4,0),b=(2,2),非零向量c满足(a-c)·(b-c)=0,|c|的最大值与最小值分别为m,n,则m-n的值为( )A.1B.3C.2D.4解析:选D 设c=(x,y),因为(a-c)·(b-c)=0,所以(4-x,-y)·(2-x,2-y)=x2+y2-6x-2y+8=0,所以(x-3)2+(y-)2=4,所以满足条件的向量c的终点落在以(3,)为圆心,2为半径的圆上,所以|c|的最大值与最小值分别为m=2+2,n=2-2,所以m-n=4.7.已知△ABC中,D为边BC上的点,且BD=2DC,=x+y,则x-y=________.解析:由向量的加法法则知=+=+=+(-)=+,所以x=,y=,所以x-y=-.答案:-8.设e1,e2,e3为单位向量,且e3=e1+ke2(k>0),若以向量e1,e2为邻边的三角形的面积为,则k=________.解析:设e1,e2的夹角为θ,则由以向量e1,e2为邻边的三角形的面积为,得×1×1×sinθ=,得sinθ=1,所以θ=90°,所以e1·e2=0,从而对e3=e1+ke2两边同时平方得 1=+k2,解得k=或-(舍去),所以k=.答案:9.如图,在△ABC中,O为BC的中点,若AB=1,AC=3,与的夹角为60°,则||=________.解析:·=||·||cos60°=1×3×=,又=(+),所以2=(+)2=(2+2·+2),即2=(1+3+9)=,所以||=.答案:10.在平面直角坐标系中,A(-2,0),B(1,3),O为坐标原点,且=α+β(α+β=1),N(1,0),则||的最小值为________.解析:∵=α+β(α+β=1),∴A,B,M三点共线,∵A(-2,0),B(1,3),∴直线AB的方程为x-y+2=0,∵N(1,0),设点N到直线AB的距离为d,∴d==,∴||的最小值为N到直线AB的距离.答案:11.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解:(1)∵m=,n=(sinx,cosx),m⊥n, ∴m·n=sinx-cosx=0,即sinx=cosx,∴tanx==1.(2)由题意知,|m|==1,|n|==1,m·n=sinx-cosx=sin.而m·n=|m|·|n|·cos〈m,n〉=cos=,∴sin=.又∵x∈,x-∈,∴x-=,∴x=.12.(2019·河南中原名校质检)在△ABC中,⊥,M是BC的中点.(1)若||=||,求向量+2与向量2+的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点,且||=||=,求·+·的最小值.解:(1)设向量+2与向量2+的夹角为θ,则cosθ=,令||=||=a,则cosθ==.(2)∵||=||=,∴||=1,设||=x(0≤x≤1),则||=1-x. 而+=2,∴·+·=·(+)=2·=2||·||cosπ=2x2-2x=22-.∴当x=时,·+·取得最小值,最小值是-.B1.(2019·武汉调研)设A,B,C是半径为1的圆O上的三点,且⊥,则(-)·(-)的最大值是( )A.1+ B.1-C.-1D.1解析:选A 如图,作出,使得+=,则(-)·(-)=2-·-·+·=1-(+)·=1-·,由图可知,当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时,·取得最小值,最小值为-,此时(-)·(-)取得最大值,最大值为1+,故选A.2.在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且·=5,则△ABC的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能解析:选B 如图,在△ABC中,G,O分别为△ABC的重心和外心,取BC的中点D,连接AD,OD,OG,则OD⊥BC,GD=AD,结合=+ ,=(+),·=5,得(+)·=·=-(+)·=5,即-(+)·(-)=5,∴2-2=-30.又BC=5,则||2=||2+||2>||2+||2,结合余弦定理有cosC<0,∴查看更多
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