高考数学考点归纳之平面向量的综合应用

高考数学考点归纳之平面向量的综合应用

高考数学考点归纳之平面向量的综合应用[典例]　(2019·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，||＝12，||＝8.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)A．20　　　　　　　　B．15C．36D．6[解析]　法一：由＝3，＝2知，点M是BC的一个四等分点，且BM＝BC，点N是DC的一个三等分点，且DN＝DC，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝－＝＋－＝－，所以·＝·＝·＝＝＝36，故选C.法二：不妨设∠DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M(12,6)，N(8,8)，所以＝(12,6)，＝(4，－2)，所以·＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.[答案]　C[题组训练]1．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)A．等腰三角形　　　　　　　　　B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形 解析：选A　由(－)·(＋－2)＝0，得·(＋)＝0，∵－＝，∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，∴△ABC是等腰三角形．2．(2018·西安质检)已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于(　　)A.B．2C．3D．4解析：选B　由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD(图略)，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2.3.如图，在扇形OAB中，OA＝2，∠AOB＝90°，M是OA的中点，点P在弧AB上，则·的最小值为________．解析：如图，以O为坐标原点，为x轴的正半轴，为y轴的正半轴建立平面直角坐标系，则M(1,0)，B(0,2)，设P(2cosθ，2sinθ)，θ∈，所以·＝(1－2cosθ，－2sinθ)·(－2cosθ，2－2sinθ)＝4－2cosθ－4sinθ＝4－2(cosθ＋2sinθ)＝4－2sin(θ＋φ)，所以·的最小值为4－2. 答案：4－2[典例]　(2017·江苏高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．[解]　(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cosx＝3sinx．则tanx＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx＝2cos.因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos≤.于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.[题组训练]1．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．解析：∵＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，且∥，∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k<0，可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.答案：2x＋y－3＝02．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．解析：由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则有＋＝1，解得y＝3，因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.答案：6[典例]　已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为(　　)A．6　　　　　　　　B．7C．8D．9[解析]　由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，知线段AC为圆的直径，设圆心为O，故＋＝2＝(－4,0)，设B(a，b)，则a2＋b2＝1且a∈[－1,1]，＝(a－2，b)，所以＋＋＝(a－6，b)．故|＋＋|＝， 所以当a＝－1时，|＋＋|取得最大值＝7.[答案]　B[解题技法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．[题组训练]1．(2019·南昌模拟)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a·b＝0是α＝kπ＋(k∈Z)的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B　∵a·b＝cosα·cos(－α)＋sinα·sin(－α)＝cos2α－sin2α＝cos2α，若a·b＝0，则cos2α＝0，∴2α＝2kπ±(k∈Z)，解得α＝kπ±(k∈Z)．∴a·b＝0是α＝kπ＋(k∈Z)的必要不充分条件．故选B.2．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为(　　)A.，　　　　　　　　B.， C.，D.，解析：选C　由m⊥n，得m·n＝0，即cosA－sinA＝0，由题意得cosA≠0，∴tanA＝，又A∈(0，π)，∴A＝.又acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RsinBcosA＝2Rsin(A＋B)＝2RsinC＝c(R为△ABC外接圆半径)，且acosB＋bcosA＝csinC，所以c＝csinC，所以sinC＝1，又C∈(0，π)，所以C＝，所以B＝π－－＝.A级1．已知向量a＝，b＝，则|a－b|＝(　　)A．1　　　　　　　　　　B.C.D.解析：选C　因为a－b＝＝(，0)，所以|a－b|＝，故选C.2．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)A.B．2C.D.解析：选C　由于F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F1＋F2|＝＝.3．(2019·牡丹江第一高级中学月考)已知圆O是△ABC的外接圆，其半径为1，且＋＝2，AB＝1，则·＝(　　) A.B．3C.D．2解析：选B　因为＋＝2，所以点O是BC的中点，即BC是圆O的直径，又AB＝1，圆的半径为1，所以∠ACB＝30°，且AC＝，则·＝||·||cos∠ACB＝3.4．已知向量m＝与向量n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)A.B.C.D.解析：选C　因为m∥n，所以sinA(sinA＋cosA)－＝0，所以2sin2A＋2sinAcosA＝3.可化为1－cos2A＋sin2A＝3，所以sin＝1，因为A∈(0，π)，所以2A－∈.因此2A－＝，解得A＝.5．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)A．－2B．－C．－D．－1解析：选B　如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)， B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x,－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－.6．已知向量a＝(4,0)，b＝(2,2)，非零向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，|c|的最大值与最小值分别为m，n，则m－n的值为(　　)A．1B．3C．2D．4解析：选D　设c＝(x，y)，因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(4－x，－y)·(2－x,2－y)＝x2＋y2－6x－2y＋8＝0，所以(x－3)2＋(y－)2＝4，所以满足条件的向量c的终点落在以(3，)为圆心，2为半径的圆上，所以|c|的最大值与最小值分别为m＝2＋2，n＝2－2，所以m－n＝4.7．已知△ABC中，D为边BC上的点，且BD＝2DC，＝x＋y，则x－y＝________.解析：由向量的加法法则知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝，所以x－y＝－.答案：－8．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2(k>0)，若以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，则k＝________.解析：设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为邻边的三角形的面积为，得×1×1×sinθ＝，得sinθ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0，从而对e3＝e1＋ke2两边同时平方得 1＝＋k2，解得k＝或－(舍去)，所以k＝.答案：9.如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________.解析：·＝||·||cos60°＝1×3×＝，又＝(＋)，所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.答案：10．在平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(1,3)，O为坐标原点，且＝α＋β(α＋β＝1)，N(1,0)，则||的最小值为________．解析：∵＝α＋β(α＋β＝1)，∴A，B，M三点共线，∵A(－2,0)，B(1,3)，∴直线AB的方程为x－y＋2＝0，∵N(1,0)，设点N到直线AB的距离为d，∴d＝＝，∴||的最小值为N到直线AB的距离.答案：11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值．解：(1)∵m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n， ∴m·n＝sinx－cosx＝0，即sinx＝cosx，∴tanx＝＝1.(2)由题意知，|m|＝＝1，|n|＝＝1，m·n＝sinx－cosx＝sin.而m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉＝cos＝，∴sin＝.又∵x∈，x－∈，∴x－＝，∴x＝.12．(2019·河南中原名校质检)在△ABC中，⊥，M是BC的中点．(1)若||＝||，求向量＋2与向量2＋的夹角的余弦值；(2)若O是线段AM上任意一点，且||＝||＝，求·＋·的最小值．解：(1)设向量＋2与向量2＋的夹角为θ，则cosθ＝，令||＝||＝a，则cosθ＝＝.(2)∵||＝||＝，∴||＝1，设||＝x(0≤x≤1)，则||＝1－x. 而＋＝2，∴·＋·＝·(＋)＝2·＝2||·||cosπ＝2x2－2x＝22－.∴当x＝时，·＋·取得最小值，最小值是－.B1．(2019·武汉调研)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)A．1＋　　　　　　　　　B．1－C.－1D．1解析：选A　如图，作出，使得＋＝，则(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A.2．在△ABC中，BC＝5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且·＝5，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能解析：选B　如图，在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点D，连接AD，OD，OG，则OD⊥BC，GD＝AD，结合＝＋ ，＝(＋)，·＝5，得(＋)·＝·＝－(＋)·＝5，即－(＋)·(－)＝5，∴2－2＝－30.又BC＝5，则||2＝||2＋||2>||2＋||2，结合余弦定理有cosC<0，∴

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