高考数学考点归纳之 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

高考数学考点归纳之 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

高考数学考点归纳之直线的倾斜角、斜率与直线的方程一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tanα.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.　3．直线方程的五种形式　　名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；(3)y轴的方程为x＝0；(4)x轴的方程为y＝0.[典例]　(1)直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)A.　　　　　　　　B.C.D.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．[解析]　(1)直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2·cosα∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.(2)设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－]．故直线l斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．[答案]　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)[变透练清]1.若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A(cosθ，sin2θ)，B(0,1)，则直线AB的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cosθ≠0，则斜率k＝tanα＝＝－cosθ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB的倾斜角的取值范围是∪.答案：∪2.若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，则直线l斜率的取值范围为________．解析：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1＋k)(－＋k)≤0，即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤. 即直线l的斜率的取值范围是.答案：3．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：4[典例]　(1)若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________________．[解析]　(1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－，此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.②当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0. (2)由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0.(3)设C(x0，y0)，则M，N.因为点M在y轴上，所以＝0，所以x0＝－5.因为点N在x轴上，所以＝0，所以y0＝－3，即C(－5，－3)，所以M，N(1,0)，所以直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0.[答案]　(1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0(2)x－y＋6＝0　(3)5x－2y－5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是的直线方程是________________．解析：由题知，倾斜角为或，所以斜率为1或－1，直线方程为y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.答案：x－y＋1＝0或x＋y－3＝02．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________________． 解析：设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.答案：2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0[典例]　已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l的方程．[解]　设A(a,0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝＋≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为(　　)A．1　　　　　　　　　　B．2C．4D．8解析：选C　∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，∴a＋b＝ab，即＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与A(－1,0)，B(1,0)两点连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是(　　)A．[－，]B.∪C.∪D.解析：选C　设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3. 联立得x2＋x＋6＝0(m≠0)，则Δ＝2－24≥0，即m2≥，解得m≤－或m≥.∴实数m的取值范围是∪.1．(2019·合肥模拟)直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是(　　)A.　　　　　　　　　　　B.C．－D．－解析：选A　设直线l的斜率为k，则k＝－＝.2．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)A.x－y＋1＝0B.x－y－＝0C.x＋y－＝0D.x＋y＋＝0解析：选D　由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.3．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　)A．2x＋y－12＝0B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0D．2x－y＋8＝0解析：选C　由题知M(2,4)，N(3,2)，则中位线MN所在直线的方程为＝，整理得2x＋y－8＝0.4．方程y＝ax－表示的直线可能是(　　) 解析：选C　当a＞0时，直线的斜率k＝a＞0，在y轴上的截距b＝－＜0，各选项都不符合此条件；当a＜0时，直线的斜率k＝a＜0，在y轴上的截距b＝－＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)A．3x－y－6＝0B．3x＋y＋6＝0C．3x－y＋6＝0D．3x＋y－6＝0解析：选C　因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.6．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线x－y＝3的倾斜角的2倍，则(　　)A．m＝－，n＝1B．m＝－，n＝－3C．m＝，n＝－3D．m＝，n＝1解析：选D　对于直线mx＋ny＋3＝0，令x＝0得y＝－，即－＝－3，n＝1.因为x－y＝3的斜率为60°，直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角是直线x－y＝3的2倍，所以直线mx＋ny＋3＝0的倾斜角为120°，即－＝－，m＝.7．当00，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．8．若直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为(　　)A．x－2y＋4＝0B．x－2y＋8＝0C．2x－y＋4＝0D．2x－y＋8＝0解析：选B　由l的方程，得A，B(0,2＋4k)．依题意得解得k＞0.因为S＝|OA|·|OB|＝·|2＋4k|＝·＝≥(2×8＋16)＝16，当且仅当16k＝，即k＝时等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0.9．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________________．解析：由A，B两点得kAB＝，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.答案：2x＋y－14＝010．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________________．解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tanα＝，所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0. 答案：4x－3y－4＝011．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，直线l在x轴上的截距为1－，令－3<1－<3，解不等式得k>或k<－1.答案：(－∞，－1)∪12．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，由已知，得(3k＋4)＝±6，解得k1＝－或k2＝－.故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.