高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧

高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧

高考数学考点归纳之解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．考点一回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例]　如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.[解题观摩]　由已知，得F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得解得a2＝2，故a＝.所以双曲线C2的离心率e＝＝.[答案]　D本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2 |的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．　　　　[对点训练]1.如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)A.B.C.D.解析：选A　由题意可得＝＝＝＝.2．抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值为________．解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋m)2＋y＝(xP＋m)2＋4mxP，则2＝＝≥＝(当且仅当xP＝m时取等号)，所以≥，所以的最小值为.答案：考点二设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例]　已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为(　　) A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1[解题观摩]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，①－②得＋＝0，所以kAB＝＝－＝.又kAB＝＝，所以＝.又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为＋＝1.[答案]　D(1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．　　　　[对点训练]1．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　) A.B.C.D.解析：选A　设OE的中点为G，由题意设直线l的方程为y＝k(x＋a)，分别令x＝－c与x＝0得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka，由△OBG∽△FBM，得＝，即＝，整理得＝，所以椭圆C的离心率e＝.2．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴＋＝0，∴＝－·.∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－＝－，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.即椭圆C的离心率e＝. 答案：考点三巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例]　设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞.[解题观摩]　法一：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得消去y0并整理，得x＝.①由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.又a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|＞.法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)． 由点P在椭圆上，得＋＝1.因为a＞b＞0，kx0≠0，所以＋＜1，即(1＋k2)x＜a2.②由|AP|＝|OA|及A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，于是x0＝，代入②，得(1＋k2)·＜a2，解得k2＞3，所以|k|＞.法三：设P(acosθ，bsinθ)(0≤θ＜2π)，则线段OP的中点Q的坐标为.|AP|＝|OA|⇔AQ⊥OP⇔kAQ×k＝－1.又A(－a,0)，所以kAQ＝，即bsinθ－akAQcosθ＝2akAQ.从而可得|2akAQ|≤＜a，解得|kAQ|＜，故|k|＝＞.求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．　　　　[对点训练]　设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l的方程为x＝ty＋m， A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，则有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，可得线段AB的中点M(2t2＋m,2t)，而由题意可得直线AB与直线MC垂直，即kMC·kAB＝－1，可得·＝－1，整理得m＝3－2t2(当t≠0时)，把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3，又由于圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝2＝r，而由0＜t2＜3可得2＜r＜4.故r的取值范围为(2,4)．考点四数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例]　已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩]　设双曲线的左焦点为F1，根据双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|，则△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋2a＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋2a， 由于|AF|＋2a是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|＋|PF1|最小，即P，A，F1共线，由于A(0,6)，F1(－3,0)，则直线AF1的方程为＋＝1，即x＝－3，代入双曲线方程整理可得y2＋6y－96＝0，解得y＝2或y＝－8(舍去)，所以点P的纵坐标为2，所以＝×6×6－×6×2＝12.[答案]　12要求△APF的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P的位置，通过求解点P的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．　　　　[对点训练]1．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是(　　)A.B.C.D.解析：选C　如图所示，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN |，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝＝，又c＝＝＝1，所以此时△FMN的面积S＝×2×＝.故选C.2．设P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝(　　)A．4B.5C．6D．7解析：选C　由题意得，圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r1＝2；圆C2：(x－4)2＋y2＝1的圆心为(4,0)，半径为r2＝1.设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1(－4,0)，F2(4,0)．如图所示，连接PF1，PF2，F1M，F2N，则|PF1|－|PF2|＝2.又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM|－|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5.又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6.故选C.考点五妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例]　如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩]　把y＝代入椭圆＋＝1， 可得x＝±a，则B，C，而F(c,0)，则FB＝，FC＝，又∠BFC＝90°，故有FB·FC＝·＝c2－a2＋b2＝c2－a2＋(a2－c2)＝c2－a2＝0，则有3c2＝2a2，所以该椭圆的离心率e＝＝.[答案]　本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．　　　　[对点训练]设直线l是圆O：x2＋y2＝2上动点P(x0，y0)(x0y0≠0)处的切线，l与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，则∠AOB为(　　)A．90°B.60°C．45°D．30°解析：选A　∵点P(x0，y0)(x0y0≠0)在圆O：x2＋y2＝2上，∴x＋y＝2，圆在点P(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝2.由及x＋y＝2得(3x－4)x2－4x0x＋8－2x＝0.∵切线l与双曲线交于不同的两点A，B，且0＜x＜2，∴3x－4≠0，且Δ＝16x－4(3x－4)·(8－2x)＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.∵OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(2－x0x1)(2－x0x2)＝x1x2＋[4－2x0(x1＋x2)＋xx1x2]＝＋ eqlc[ c](avs4alco1(4－f(8xoal(2,0),3xoal(2,0)－4)＋f(xoal(2,0)(8－2xoal(2,0)),3xoal(2,0)－4)))＝0，∴∠AOB＝90°.考点六巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例]　已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点．(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩]　(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.解得x1＝－2，x2＝－，所以M.(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2)，联立方程化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.则xA＋xM＝，xM＝－xA－＝2－＝.同理，可得xN＝.由(1)知若存在定点，则此点必为P.证明如下： 因为kMP＝＝＝，同理可得kPN＝.所以直线MN过x轴上的一定点P.本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出xM＝，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．　　　　[对点训练]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P，左、右焦点分别为F1，F2.(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．解：(1)由＝，得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2，将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，故所求椭圆方程为＋＝1.(2)由(1)可知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的内切圆半径为r0， 则有y1＋y2＝，y1y2＝，r0＝，＝r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|)＝r0·4a＝×8×＝，所以＝，解得t2＝1，因为所求圆与直线l相切，所以半径r＝＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.1．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝＋，则r＝(　　)A．2　　　　　　　　B.C．2D.解析：选B　已知＝＋，两边平方化简得·＝－r2，所以cos∠AOB＝－，所以cos＝， 又圆心O(0,0)到直线的距离为＝，所以＝，解得r＝.2．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D．1解析：选C　如图所示，设P(x0，y0)(y0＞0)，则y＝2px0，即x0＝.设M(x′，y′)，由＝2，得化简可得∴直线OM的斜率k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)．故直线OM的斜率的最大值为.3．(2019·惠州调研)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2＋y2＝4相交所得的弦长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为(　　)A．5B.4C．3D．2解析：选C　由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d＝＝，所以m2＋n2＝≥2|mn|，当且仅当m＝n时等号成立．所以|mn|≤，又A，B ，所以△AOB的面积S＝≥3，故△AOB面积的最小值为3.4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)A．(1,3]B.[3，＋∞)C．(0,3)D．(0,3]解析：选A　根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上，得|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m－n＝2a，m2＝8an，∴m2－4mn＋4n2＝0，∴m＝2n，则n＝2a，m＝4a，依题得|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|，∴2c≤4a＋2a，∴e＝≤3，又e＞1，∴1＜e≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ(λ＞1)，则λ的值为(　　)A．5B.4C.D.解析：选B　根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝λ，得＝λ，故－y1＝λy2，即λ＝－.设直线AB的方程为y＝，联立直线与抛物线方程，消去x，得y2－py－p2＝0.故y1＋y2＝p，y1y2＝－p2，则＝＋＋2＝－， 即－λ－＋2＝－.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C：＋y2＝1，过椭圆上一点A(0,1)作直线l交椭圆于另一点B，P为线段AB的中点，若直线AB，OP的斜率存在且不为零，则kABkOP＝________.解析：法一：(特殊值法)取B，则P，则kAB＝，kOP＝，故kAB·kOP＝×＝－.法二：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立方程消去y得，(1＋4k2)x2＋8kx＝0，得xB＝，即B.则P，∴kAB＝k，kOP＝－，∴kAB·kOP＝－.法三：(点差法)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(x0，y0)，则两式相减得＋y－y＝0，化简得·＝－，即·＝－， ∴kAB·kOP＝－.答案：－7．已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则·的最小值为________．解析：由题意，设A(cosθ，sinθ)，P(x，x＋2)，则B(－cosθ，－sinθ)，∴＝(cosθ－x，sinθ－x－2)，＝(－cosθ－x，－sinθ－x－2)，∴·＝(cosθ－x)(－cosθ－x)＋(sinθ－x－2)·(－sinθ－x－2)＝x2＋(x＋2)2－cos2θ－sin2θ＝2x2＋4x＋3＝2(x＋1)2＋1，当且仅当x＝－1，即P(－1，1)时，·取最小值1.答案：18．(2019·武汉调研)已知A，B分别为椭圆＋＝1(0＜b＜3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线y＝x的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程＋＝1(0＜b＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，A(－3,0)，B(3,0)，设P(x0，y0)，Q(x0，－y0)，则＋＝1，kAP＝m＝，kBQ＝n＝，∴mn＝＝，∴＝，∴直线y＝x＝x，即x－3y＝0.又点A到直线y＝x的距离为1，∴＝＝1，解得b2＝，∴c2＝a2－b2＝，∴e＝＝＝. 答案：9．已知椭圆C：＋y2＝1的右顶点为A，上顶点为B.设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．解：由题意知，A(2,0)，B(0,1)，设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，所以直线PA的方程为y＝(x－2)，令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋，直线PB的方程为y＝x＋1，令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋，所以四边形ABNM的面积S＝|AN||BM|＝＝＝＝2，从而四边形ABNM的面积为定值．10．已知离心率为的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，过F且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|＝.(1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(－1,0)，求k的值．解：(1)设焦距为2c，∵e＝＝，a2＝b2＋c2，∴＝.由题意可知＝，∴b＝1，a＝，∴椭圆的方程为＋y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，解得k2＞1.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.若以CD为直径的圆过E点，则·＝0，即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝－＋5＝0，解得k＝，满足k2＞1，所以k＝.