最新中考数学复习专题特殊平行四边形

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最新中考数学复习专题特殊平行四边形

‎2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》‎ ‎ ‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.下列性质中,菱形具有而平行四边形不具有的性质是(  )‎ A.对边平行且相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角互补 ‎2.能判定一个四边形是菱形的条件是(  )‎ A.对角线互相平分且相等 B.对角线互相垂直且相等 C.对角线互相垂直且对角相等 D.对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角 ‎3.矩形具有而菱形不一定具有的性质是(  )‎ A.对边分别相等 B.对角分别相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 ‎4.以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是(  )‎ A.AB=CD,AD=BC,∠A=90° B.OA=OB=OC=OD C.AB=CD,AB∥CD,AC=BD D.AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD ‎5.顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形,那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是 ‎(  )‎ A.相等 B.互相垂直 C.相等且互相垂直 D.相等且互相平分 ‎6.已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm,则菱形的边长是(  )‎ A.12cm B.10cm C.7cm D.5cm ‎7.如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,以A为圆心,AB长为半径画弧交AD于F,若BF=12,AB=10,则AE的长为(  )‎ A.16 B.15 C.14 D.13‎ ‎8.如图,E,G,F,H分别是矩形ABCD四条边上的点,EF⊥GH,若AB=2,BC=3,则EF:GH=(  )‎ A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.无法确定 ‎9.如图:点P是Rt△ABC斜边AB上的一点,PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,BC=15,AC=20,则线段EF的最小值为(  )‎ A.12 B.6 C.12.5 D.25‎ ‎10.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,点E为垂足,连接DF,则∠CDF为(  )‎ A.80° B.70° C.65° D.60°‎ ‎11.如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC的度数为(  )‎ A.55° B.50° C.45° D.35°‎ ‎12.如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:‎ ‎①FB⊥OC,OM=CM;‎ ‎②△EOB≌△CMB;‎ ‎③四边形EBFD是菱形;‎ ‎④MB:OE=3:2.‎ 其中正确结论的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎ ‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二.填空题(共6小题)‎ ‎13.如图,菱形纸片ABCD,∠A=60°,P为AB中点,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP所在的直线上,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC等于   度.‎ ‎14.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y=‎ 的图象经过A,B两点,则菱形ABCD的面积为   .‎ ‎15.如图:在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则DE的长是   .‎ ‎16.平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=2AD,E、F、G分别是OC、OD,AB的中点.下列结论:①EG=EF; ②△EFG≌△GBE; ③FB平分∠EFG;④EA平分∠GEF;⑤四边形BEFG是菱形.其中正确的是   .‎ ‎17.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点E是BC上一点,且AB=BE,∠1=15°,则∠2=   .‎ ‎18.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上的动点,PE⊥AC,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为   .‎ ‎ ‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三.解答题(共6小题)‎ ‎19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,AE∥CD,CE∥AB,连接DE交AC于点O.‎ ‎(1)证明:四边形ADCE为菱形.‎ ‎(2)BC=6,AB=10,求菱形ADCE的面积.‎ ‎20.已知,如图,BD为平行四边形ABCD的对角线,O为BD的中点,EF⊥BD于点O,与AD、BC分别交于点E、F.试判断四边形BFDE的形状,并证明你的结论.‎ ‎21.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,DE⊥AC于点E,DG⊥AB于点G,EK⊥AB于点K,GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F.‎ 求证:GE与FD互相垂直平分.‎ ‎22.如图:在△ABC中,CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD,AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,直线EF分别交AB、AC于M、N.‎ ‎(1)求证:四边形AECF为矩形;‎ ‎(2)试猜想MN与BC的关系,并证明你的猜想;‎ ‎(3)如果四边形AECF是菱形,试判断△ABC的形状,直接写出结果,不用说明理由.‎ ‎23.如图:矩形ABCD中,AB=2,BC=5,E、P分别在AD、BC上,且DE=BP=1.‎ ‎(1)判断△BEC的形状,并说明理由?‎ ‎(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形?并证明你的判断;‎ ‎(3)求四边形EFPH的面积.‎ ‎24.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.‎ ‎(1)求证:BD=DF;‎ ‎(2)求证:四边形BDFG为菱形;‎ ‎(3)若AG=13,CF=6,求四边形BDFG的周长.‎ ‎ ‎ ‎2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.下列性质中,菱形具有而平行四边形不具有的性质是(  )‎ A.对边平行且相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角互补 ‎【解答】解:A、平行四边形的对边平行且相等,所以A选项错误;‎ B、平行四边形的对角线互相平分,所以B选项错误;‎ C、菱形的对角线互相垂直,平行四边形的对角线互相平分,所以C选项正确;‎ D、平行四边形的对角相等,所以D选项错误.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎2.能判定一个四边形是菱形的条件是(  )‎ A.对角线互相平分且相等 B.对角线互相垂直且相等 C.对角线互相垂直且对角相等 D.对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角 ‎【解答】解:∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形.‎ ‎∴A、B、D都不正确.‎ ‎∵对角相等的四边形是平行四边形,而对角线互相垂直的平行四边形是菱形.‎ 故C正确.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎3.矩形具有而菱形不一定具有的性质是(  )‎ A.对边分别相等 B.对角分别相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 ‎【解答】解:矩形的性质有:①矩形的对边相等且平行,②‎ 矩形的对角相等,且都是直角,③矩形的对角线互相平分、相等;‎ 菱形的性质有:①菱形的四条边都相等,且对边平行,②菱形的对角相等,③菱形的对角线互相平分、垂直,且每一条对角线平分一组对角;‎ ‎∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎4.以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是(  )‎ A.AB=CD,AD=BC,∠A=90° B.OA=OB=OC=OD C.AB=CD,AB∥CD,AC=BD D.AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD ‎【解答】解:如图:‎ A、∵AB=CD,AD=BC,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∵∠BAD=90°,‎ ‎∴四边形ABCD是矩形,故本选项错误;‎ B、∵OA=OB=OC=OD,‎ ‎∴AC=BD,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴四边形ABCD是矩形,故本选项错误;‎ C、∵AB=CD,AB∥CD,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∵AC=BD,‎ ‎∴四边形ABCD是矩形,故本选项错误;‎ D、∵AB∥CD,AB=CD,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,‎ 根据OA=OC,OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形,故本选项正确;‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎5.顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形,那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是 ‎(  )‎ A.相等 B.互相垂直 C.相等且互相垂直 D.相等且互相平分 ‎【解答】解:因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系:‎ ‎①原四边形对角线相等,所得的四边形是菱形;‎ ‎②原四边形对角线互相垂直,所得的四边形是矩形;‎ ‎③原四边形对角线既相等又垂直,所得的四边形是正方形;‎ ‎④原四边形对角线既不相等又不垂直,所得的四边形是平行四边形.‎ 因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形,所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎6.已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm,则菱形的边长是(  )‎ A.12cm B.10cm C.7cm D.5cm ‎【解答】解:如图:∵菱形ABCD中BD=8cm,AC=6cm,‎ ‎∴OD=BD=4cm,OA=AC=3cm,‎ 在直角三角形AOD中AD===5cm.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎7.如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,以A为圆心,AB长为半径画弧交AD于F,若BF=12,AB=10,则AE的长为(  )‎ A.16 B.15 C.14 D.13‎ ‎【解答】解:连结EF,AE与BF交于点O,如图,‎ ‎∵AO平分∠BAD,‎ ‎∴∠1=∠2,‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎∴AF∥BE,‎ ‎∴∠1=∠3,‎ ‎∴∠2=∠3,‎ ‎∴AB=EB,‎ 同理:AF=BE,‎ 又∵AF∥BE,‎ ‎∴四边形ABEF是平行四边形,‎ ‎∴四边形ABEF是菱形,‎ ‎∴AE⊥BF,OB=OF=6,OA=OE,‎ 在Rt△AOB中,由勾股定理得:OA===8,‎ ‎∴AE=2OA=16.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.如图,E,G,F,H分别是矩形ABCD四条边上的点,EF⊥GH,若AB=2,BC=3,则EF:GH=(  )‎ A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.无法确定 ‎【解答】解:‎ 过F作FM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,‎ 则∠4=∠5=90°=∠AMF ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AD∥BC,AB∥CD,∠A=∠D=90°=∠AMF,‎ ‎∴四边形AMFD是矩形,‎ ‎∴FM∥AD,FM=AD=BC=3,‎ 同理HN=AB=2,HN∥AB,‎ ‎∴∠1=∠2,‎ ‎∵HG⊥EF,‎ ‎∴∠HOE=90°,‎ ‎∴∠1+∠GHN=90°,‎ ‎∵∠3+∠GHN=90°,‎ ‎∴∠1=∠3=∠2,‎ 即∠2=∠3,∠4=∠5,‎ ‎∴△FME∽△HNG,‎ ‎∴==‎ ‎∴EF:GH=AD:CD=3:2.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎9.如图:点P是Rt△ABC斜边AB上的一点,PE⊥AC于E,PF⊥‎ BC于F,BC=15,AC=20,则线段EF的最小值为(  )‎ A.12 B.6 C.12.5 D.25‎ ‎【解答】解:如图,连接CP.‎ ‎∵∠C=90°,AC=3,BC=4,‎ ‎∴AB===25,‎ ‎∵PE⊥AC,PF⊥BC,∠C=90°,‎ ‎∴四边形CFPE是矩形,‎ ‎∴EF=CP,‎ 由垂线段最短可得CP⊥AB时,线段EF的值最小,‎ 此时,S△ABC=BC•AC=AB•CP,‎ 即 ×20×15=×25•CP,‎ 解得CP=12.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,点E为垂足,连接DF,则∠CDF为(  )‎ A.80° B.70° C.65° D.60°‎ ‎【解答】解:如图,连接BF,‎ 在△BCF和△DCF中,‎ ‎∵CD=CB,∠DCF=∠BCF,CF=CF ‎∴△BCF≌△DCF ‎∴∠CBF=∠CDF ‎∵FE垂直平分AB,∠BAF=×80°=40°‎ ‎∴∠ABF=∠BAF=40°‎ ‎∵∠ABC=180°﹣80°=100°,∠CBF=100°﹣40°=60°‎ ‎∴∠CDF=60°.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎11.如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC的度数为(  )‎ A.55° B.50° C.45° D.35°‎ ‎【解答】解:延长PF交AB的延长线于点G.如图所示:‎ 在△BGF与△CPF中,,‎ ‎∴△BGF≌△CPF(ASA),‎ ‎∴GF=PF,‎ ‎∴F为PG中点.‎ 又∵由题可知,∠BEP=90°,‎ ‎∴EF=PG,‎ ‎∵PF=PG,‎ ‎∴EF=PF,‎ ‎∴∠FEP=∠EPF,‎ ‎∵∠BEP=∠EPC=90°,‎ ‎∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF,即∠BEF=∠FPC,‎ ‎∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴AB=BC,∠ABC=180°﹣∠A=70°,‎ ‎∵E,F分别为AB,BC的中点,‎ ‎∴BE=BF,∠BEF=∠BFE=(180°﹣70°)=55°,‎ ‎∴∠FPC=55°;‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎12.如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:‎ ‎①FB⊥OC,OM=CM;‎ ‎②△EOB≌△CMB;‎ ‎③四边形EBFD是菱形;‎ ‎④MB:OE=3:2.‎ 其中正确结论的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解答】解:连接BD,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AC=BD,AC、BD互相平分,‎ ‎∵O为AC中点,‎ ‎∴BD也过O点,‎ ‎∴OB=OC,‎ ‎∵∠COB=60°,OB=OC,‎ ‎∴△OBC是等边三角形,‎ ‎∴OB=BC=OC,∠OBC=60°,‎ 在△OBF与△CBF中 ‎∴△OBF≌△CBF(SSS),‎ ‎∴△OBF与△CBF关于直线BF对称,‎ ‎∴FB⊥OC,OM=CM;‎ ‎∴①正确,‎ ‎∵∠OBC=60°,‎ ‎∴∠ABO=30°,‎ ‎∵△OBF≌△CBF,‎ ‎∴∠OBM=∠CBM=30°,‎ ‎∴∠ABO=∠OBF,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴∠OCF=∠OAE,‎ ‎∵OA=OC,‎ 易证△AOE≌△COF,‎ ‎∴OE=OF,‎ ‎∴OB⊥EF,‎ ‎∴四边形EBFD是菱形,‎ ‎∴③正确,‎ ‎∵△EOB≌△FOB≌△FCB,‎ ‎∴△EOB≌△CMB错误.‎ ‎∴②错误,‎ ‎∵∠OMB=∠BOF=90°,∠OBF=30°,‎ ‎∴MB=,OF=,‎ ‎∵OE=OF,‎ ‎∴MB:OE=3:2,‎ ‎∴④正确;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共6小题)‎ ‎13.如图,菱形纸片ABCD,∠A=60°,P为AB中点,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP所在的直线上,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC等于 75 度.‎ ‎【解答】解:连接BD,‎ ‎∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,‎ ‎∴△ABD为等边三角形,∠ADC=120°,∠C=60°,‎ ‎∵P为AB的中点,‎ ‎∴DP为∠ADB的平分线,即∠ADP=∠BDP=30°,‎ ‎∴∠PDC=90°,‎ ‎∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°,‎ 在△DEC中,∠DEC=180°﹣(∠CDE+∠C)=75°.‎ 故答案为:75.‎ ‎ ‎ ‎14.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y=的图象经过A,B两点,则菱形ABCD的面积为 4 .‎ ‎【解答】解:过点A作x轴的垂线,与CB的延长线交于点E,‎ ‎∵A,B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3,1,‎ ‎∴A,B横坐标分别为1,3,‎ ‎∴AE=2,BE=2,‎ ‎∴AB=2,‎ S菱形ABCD=底×高=2×2=4,‎ 故答案为4.‎ ‎ ‎ ‎15.如图:在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则DE的长是 3 .‎ ‎【解答】解:如图,连接CE,‎ ‎,‎ 设DE=x,则AE=8﹣x,‎ ‎∵OE⊥AC,且点O是AC的中点,‎ ‎∴OE是AC的垂直平分线,‎ ‎∴CE=AE=8﹣x,‎ 在Rt△CDE中,‎ x2+42=(8﹣x)2‎ 解得x=3,‎ ‎∴DE的长是3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎16.平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=2AD,E、F、G分别是OC、OD,AB的中点.下列结论:①EG=EF; ②△EFG≌△GBE; ③FB平分∠‎ EFG;④EA平分∠GEF;⑤四边形BEFG是菱形.其中正确的是 ①②④ .‎ ‎【解答】解:令GF和AC的交点为点P,如图所示:‎ ‎∵E、F分别是OC、OD的中点,‎ ‎∴EF∥CD,且EF=CD,‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎∴AB∥CD,且AB=CD,‎ ‎∴∠FEG=∠BGE(两直线平行,内错角相等),‎ ‎∵点G为AB的中点,‎ ‎∴BG=AB=CD=FE,‎ 在△EFG和△GBE中,,‎ ‎∴△EFG≌△GBE(SAS),即②成立,‎ ‎∴∠EGF=∠GEB,‎ ‎∴GF∥BE(内错角相等,两直线平行),‎ ‎∵BD=2BC,点O为平行四边形对角线交点,‎ ‎∴BO=BD=BC,‎ ‎∵E为OC中点,‎ ‎∴BE⊥OC,‎ ‎∴GP⊥AC,‎ ‎∴∠APG=∠EPG=90°‎ ‎∵GP∥BE,G为AB中点,‎ ‎∴P为AE中点,即AP=PE,且GP=BE,‎ 在△APG和△EGP中,,‎ ‎∴△APG≌△EPG(SAS),‎ ‎∴AG=EG=AB,‎ ‎∴EG=EF,即①成立,‎ ‎∵EF∥BG,GF∥BE,‎ ‎∴四边形BGFE为平行四边形,‎ ‎∴GF=BE,‎ ‎∵GP=BE=GF,‎ ‎∴GP=FP,‎ ‎∵GF⊥AC,‎ ‎∴∠GPE=∠FPE=90°‎ 在△GPE和△FPE中,,‎ ‎∴△GPE≌△FPE(SAS),‎ ‎∴∠GEP=∠FEP,‎ ‎∴EA平分∠GEF,即④成立.‎ 故答案为:①②④.‎ ‎ ‎ ‎17.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点E是BC上一点,且AB=BE,∠1=15°,则∠2= 30° .‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠ABC=∠BAD=90°,OB=OD,OA=OC,AC=BD,‎ ‎∴OB=OC,OB=OA,‎ ‎∴∠OCB=∠OBC,‎ ‎∵AB=BE,∠ABE=90°,‎ ‎∴∠BAE=∠AEB=45°,‎ ‎∵∠1=15°,‎ ‎∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°,‎ ‎∴∠OBC=∠OCB=30°,‎ ‎∴∠AOB=30°+30°=60°,‎ ‎∵OA=OB,‎ ‎∴△AOB是等边三角形,‎ ‎∴AB=OB,‎ ‎∵∠BAE=∠AEB=45°,‎ ‎∴AB=BE,‎ ‎∴OB=BE,‎ ‎∴∠OEB=∠EOB,‎ ‎∵∠OBE=30°,∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°,‎ ‎∴∠OEB=75°,‎ ‎∵∠AEB=45°,‎ ‎∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°,‎ 故答案为:30°.‎ ‎ ‎ ‎18.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上的动点,PE⊥AC,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为  .‎ ‎【解答】解:连接OP,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠DAB=90°,AC=2AO=2OC,BD=2BO=2DO,AC=BD,‎ ‎∴OA=OD=OC=OB,‎ ‎∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC=S矩形ABCD=×6×8=12,‎ 在Rt△BAD中,由勾股定理得:BD===10,‎ ‎∴AO=OD=5,‎ ‎∵S△APO+S△DPO=S△AOD,‎ ‎∴×AO×PE+×DO×PF=12,‎ ‎∴5PE+5PF=24,‎ PE+PF=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共6小题)‎ ‎19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,AE∥CD,CE∥AB,连接DE交AC于点O.‎ ‎(1)证明:四边形ADCE为菱形.‎ ‎(2)BC=6,AB=10,求菱形ADCE的面积.‎ ‎【解答】证明:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,‎ ‎∴CD=AB=AD,‎ 又∵AE∥CD,CE∥AB ‎∴四边形ADCE是平行四边形,‎ ‎∴平行四边形ADCE是菱形;‎ ‎(2)在Rt△ABC中,AC===8.‎ ‎∵平行四边形ADCE是菱形,‎ ‎∴CO=OA,‎ 又∵BD=DA,‎ ‎∴DO是△ABC的中位线,‎ ‎∴BC=2DO.‎ 又∵DE=2DO,‎ ‎∴BC=DE=6,‎ ‎∴S菱形ADCE===24.‎ ‎ ‎ ‎20.已知,如图,BD为平行四边形ABCD的对角线,O为BD的中点,EF⊥BD于点O,与AD、BC分别交于点E、F.试判断四边形BFDE的形状,并证明你的结论.‎ ‎【解答】答:四边形BFDE的形状是菱形,‎ 理由如下:‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,OB=OD,‎ ‎∵∠EDO=∠FBO,∠OED=∠OFB,‎ ‎∴△OED≌△OFB,‎ ‎∴DE=BF,‎ 又∵ED∥BF,‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形,‎ ‎∵EF⊥BD,‎ ‎∴▱BEDF是菱形.‎ ‎ ‎ ‎21.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,DE⊥AC于点E,DG⊥AB于点G,EK⊥AB于点K,GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F.‎ 求证:GE与FD互相垂直平分.‎ ‎【解答】证明:∵DE⊥AC,DG⊥AB,EK⊥AB,GH⊥AC,‎ ‎∴∠DGB=∠DEC=90°,EK∥DG,DE∥GH,‎ ‎∴四边形DEFG是平行四边形,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C,‎ 在△DGB和△DEC中,‎ ‎,‎ ‎∴△DGB≌△DEC(AAS),‎ ‎∴DG=DE,‎ ‎∵四边形DEFG是平行四边形,‎ ‎∴四边形DEFG是菱形,‎ ‎∴GE与FD互相垂直平分.‎ ‎ ‎ ‎22.如图:在△ABC中,CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD,AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,直线EF分别交AB、AC于M、N.‎ ‎(1)求证:四边形AECF为矩形;‎ ‎(2)试猜想MN与BC的关系,并证明你的猜想;‎ ‎(3)如果四边形AECF是菱形,试判断△ABC的形状,直接写出结果,不用说明理由.‎ ‎【解答】(1)证明:∵AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,‎ ‎∴∠AEC=∠AFC=90°,‎ 又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD,‎ ‎∴∠BCE=∠ACE,∠ACF=∠DCF,‎ ‎∴∠ACE+∠ACF=(∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF)=×180°=90°,‎ ‎∴三个角为直角的四边形AECF为矩形.‎ ‎(2)结论:MN∥BC且MN=BC.‎ 证明:∵四边形AECF为矩形,‎ ‎∴对角线相等且互相平分,‎ ‎∴NE=NC,‎ ‎∴∠NEC=∠ACE=∠BCE,‎ ‎∴MN∥BC,‎ 又∵AN=CN(矩形的对角线相等且互相平分),‎ ‎∴N是AC的中点,‎ 若M不是AB的中点,则可在AB取中点M1,连接M1N,‎ 则M1N是△ABC的中位线,MN∥BC,‎ 而MN∥BC,M1即为点M,‎ 所以MN是△ABC的中位线(也可以用平行线等分线段定理,证明AM=BM)‎ ‎∴MN=BC;‎ 法二:延长MN至K,使NK=MN,‎ 因为对角线互相平分,‎ 所以AMCK是平行四边形,KC∥MA,KC=AM因为MN∥BC,‎ 所以MBCK是平行四边形,MK=BC,‎ 所以MN=BC ‎(3)解:△ABC是直角三角形(∠ACB=90°).‎ 理由:∵四边形AECF是菱形,‎ ‎∴AC⊥EF,‎ ‎∵EF∥AC,‎ ‎∴AC⊥CB,‎ ‎∴∠ACB=90°.即△ABC是直角三角形.‎ ‎ ‎ ‎23.如图:矩形ABCD中,AB=2,BC=5,E、P分别在AD、BC上,且DE=BP=1.‎ ‎(1)判断△BEC的形状,并说明理由?‎ ‎(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形?并证明你的判断;‎ ‎(3)求四边形EFPH的面积.‎ ‎【解答】(1)△BEC是直角三角形:‎ 理由是:‎ ‎∵矩形ABCD,‎ ‎∴∠ADC=∠ABP=90°,AD=BC=5,AB=CD=2,‎ 由勾股定理得:CE===,‎ 同理BE=2,‎ ‎∴CE2+BE2=5+20=25,‎ ‎∵BC2=52=25,‎ ‎∴BE2+CE2=BC2,‎ ‎∴∠BEC=90°,‎ ‎∴△BEC是直角三角形.‎ ‎(2)解:四边形EFPH为矩形,‎ 证明:∵矩形ABCD,‎ ‎∴AD=BC,AD∥BC,‎ ‎∵DE=BP,‎ ‎∴四边形DEBP是平行四边形,‎ ‎∴BE∥DP,‎ ‎∵AD=BC,AD∥BC,DE=BP,‎ ‎∴AE=CP,‎ ‎∴四边形AECP是平行四边形,‎ ‎∴AP∥CE,‎ ‎∴四边形EFPH是平行四边形,‎ ‎∵∠BEC=90°,‎ ‎∴平行四边形EFPH是矩形.‎ ‎(3)解:在Rt△PCD中FC⊥PD,‎ 由三角形的面积公式得:PD•CF=PC•CD,‎ ‎∴CF==,‎ ‎∴EF=CE﹣CF=﹣=,‎ ‎∵PF==,‎ ‎∴S矩形EFPH=EF•PF=,‎ 答:四边形EFPH的面积是.‎ ‎ ‎ ‎24.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.‎ ‎(1)求证:BD=DF;‎ ‎(2)求证:四边形BDFG为菱形;‎ ‎(3)若AG=13,CF=6,求四边形BDFG的周长.‎ ‎【解答】(1)证明:∵∠ABC=90°,BD为AC的中线,‎ ‎∴BD=AC,‎ ‎∵AG∥BD,BD=FG,‎ ‎∴四边形BGFD是平行四边形,‎ ‎∵CF⊥BD,‎ ‎∴CF⊥AG,‎ 又∵点D是AC中点,‎ ‎∴DF=AC,‎ ‎∴BD=DF;‎ ‎(2)证明:∵BD=DF,‎ ‎∴四边形BGFD是菱形,‎ ‎(3)解:设GF=x,则AF=13﹣x,AC=2x,‎ ‎∵在Rt△ACF中,∠CFA=90°,‎ ‎∴AF2+CF2=AC2,即(13﹣x)2+62=(2x)2,‎ 解得:x=5,‎ ‎∴四边形BDFG的周长=4GF=20.‎ ‎ ‎
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