圆的中考专题精讲

圆的中考专题精讲

中考冲刺专题——圆 一、知识梳理 ‎ 知识点1 圆的有关概念 （1） 圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小.等圆或同圆的半径都相等.‎ （2） 弦：圆上任意两点之间的线段.直径是圆中最长的弦.‎ （3） 弧：圆上任意两点之间的部分.完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等）.‎ （4） 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.‎ （5） 经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆.‎ 知识点2 圆的有关性质 ‎ ‎ （1）圆是中心对称图形，也是轴对称图形.‎ ‎(2) 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.‎ ‎(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧.‎ ‎(4) 圆周角的性质：① 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半 ‎ ②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.‎ 知识点3 与圆有关的位置关系 ‎（1）点与圆的位置关系：圆的半径为r ,点到圆心的距离为d ，‎ ‎①点在圆内；②点在圆上；③点在圆外.‎ ‎（2）直线与圆的位置关系:圆的半径为r , 圆心到直线l的距离为d,‎ ‎①直线l与圆相交；②直线l与圆相切；③直线l与圆相离.‎ ‎（3）圆与圆的位置关系: 两个圆的半径分别为R，r ,圆心距为d，‎ ‎①两圆外离；②两圆外切；‎ ‎③两圆相交；④两圆内切；‎ ‎⑤两圆内含.‎ ‎（4）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.‎ ‎（5）切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线.‎ ‎（6）切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长.‎ ‎（7）切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角.‎ ‎（8）三角形的内心：是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等.‎ ‎（9）证切线的两种方法：①当直线与圆有交点字母时，连接，证垂直；②当直线与圆无交点字母时，作垂直，证.‎ 知识点4 圆中的计算 ‎（1）弧长公式：.‎ ‎（2）扇形面积： 或 .‎ ‎（3）圆锥的侧面积：（ｒ指底面圆的半径，l指母线长）.‎ 二、典型例题讲解及课堂训练 ‎（一）圆的有关性质 ‎【例1】（2013滨州）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切．若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（　　）‎ ‎ A.（﹣4，5） B.（﹣5，4）‎ ‎ C.（5，﹣4） D.（4，﹣5）‎ 课堂训练题 如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM∶OD=3∶5．则AB的长是（　　）‎ A.2cm B.3cm ‎ ‎ C.4cm D.2cm ‎【例2】（孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是( )‎ A．15° B．30° C．45° D．60° ‎ A B C O 课堂训练题 ‎(南京)如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，‎ 则等边三角形的边长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ E A B C D O ‎【例3】如图，内接于圆O，，，是圆的直径， 交于点，连接，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 课堂训练题 如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50o，则∠C的度数是（ ）‎ A.50o B.40o C.30o D.25o ‎【例4】如图，正方形中，是边上一点，以为圆心、为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆弧外切，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 课堂训练题 x y O ‎1‎ ‎1‎ B A 如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为（ ） ‎ A．　　　 B． ‎ ‎ C． D． ‎ 课堂训练题 如图 ，⊙O是正方形 ABCD的外接圆，点 P 在⊙O上，则∠APB等于（ ）‎ A． 30° B． 45° ‎ ‎ C． 55° D． 60° ‎ ‎【例6】（浙江金华）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）‎ A．点（0，3） B．点（2，3）‎ C．点（5，1） D．点(6，1)‎ ‎【例7】（甘肃兰州） 已知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ）‎ ‎ A．外离 B．内切 C．相交 D．外切 ‎【例8】(2010江苏苏州)如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）‎ A．2 B．1 ‎ ‎ C． D．‎ ‎、课堂训练题 C A B D O F E ‎（山东威海）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15㎝．已知⊙O的半径等于3㎝，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在平行四边形ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程． ‎ ‎【例9】（年兰州）如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O-C-D-O的路线作匀速运动.设运动时间为秒, ∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是( ).‎ 课堂训练题 ‎ ‎ 如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=，DE=，下列中图象中，能表示与的函数关系式的图象大致是（ ） ‎ ‎【‎ 三、 课后自我检测 A类题（10道题）：‎ ‎1.（浙江绍兴）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径，截面圆圆心到水面的距离是6，则水面宽是（ ）‎ ‎ A.16 B.10 C.8 D.6‎ A O C B ‎3.（ 重庆）如图，△是⊙的内接三角形，若，则的度数等于（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ ‎4.（湖北鄂州）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点Ｄ，Ｅ是OＢ上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=,则AG·AF是（ ）‎ Ａ．10　　 　Ｂ．12　　 　Ｃ．16　 　　Ｄ．8‎ ‎5.如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，以M为圆心，2cm长为半径作⊙M，若点M在OB边上运动，则当OM= cm时，⊙M与OA相切.‎ ‎6.（浙江杭州）在平面直角坐标系xOy中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（ ）‎ A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 ‎7.（潍坊）如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为（　　）‎ ‎ A.17π B.32π ‎ C.49π D.80π ‎8.（宿迁）如图，ABC是一个圆锥的左视图，其中AB=AC=5，BC=8，则这个圆锥的侧面积是 ( )‎ A B． C． D．‎ ‎9.（山东滨州）如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM, 连接OM、BC.‎ 求证：（1）△ABC∽△POM;‎ ‎(2)2OA2=OP·BC. ‎ ‎10.（山东莱芜）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.‎ ‎（1）求线段AD的长；‎O D C B A ‎（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.‎ B类题（10道题）：‎ ‎1.（2009年济宁）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . ‎ C D A O P B ‎2.（2011湖北鄂州）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）‎ A．30° B．45° ‎ C．60° D．67.5°‎ ‎3.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=8则∠BOC=（ ）‎ A．130° B．100° C．50° D．65°‎ ‎4.已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为（ ）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎5.如图，两个半径都是4cm的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始按照A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）‎ A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 ‎6.正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为（ ）‎ A．1： B．：2 C．2： D．：1‎ ‎7.（四川凉山）如图，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的体积是 .‎ ‎8.（湖北宜昌）如图,在圆心角为90°的扇形MNK中，动点P从点M出发，沿MNKM运动，最后回到点M的位置.设点P运动的路程为x，P与M两点之间的距离为y，其图象可能是（ ）.‎ ‎9.如图，⊙O的直径为AB，周长为P1，在⊙O内的n个圆心在AB上且依次相外切的等圆，且其中左、右两侧的等圆分别与⊙O内切于A、B，若这n个等圆的周长之和为P2，则P1和P2的大小关系是（ ）‎ A．P1< P2 B．P1= P2 C．P1> P2 D．不能确定 A N C B D E F M O ‎10.（济宁）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF.‎ ‎（1）求证：OD∥BE;‎ ‎(2) 猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由.‎ C类题（10道题）：‎ ‎1.(湖北荆门）如图，在Rt△ABC中，．则△ABC的内切圆半径______．‎ ‎2.（广西）如图，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影面积占圆面积的（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.（山东济南） 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）‎ ‎　A． cm　　　B．cm C． cm　　 　D．1cm ‎4.（山东聊城）将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）‎ 的量角器圆弧（弧AB）对应的中心角（∠AOB）为120º，AO的长为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ） ‎ A．cm2 B．cm2 ‎ ‎ C．cm2 D．cm2‎ ‎5.如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.（浙江省）如图，图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为C1‎ ‎;图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长为C2；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这九个圆的周长为C3；……，依此规律，当正方形边长为2时，则C1+ C2+ C3+…C99+ C100= ‎ ‎ ‎ ‎7.(孝感)如图，在中，，，， A B C 两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.（山西太原）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA-弧AB-BO的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）‎ P A O B s t O s O t O s t O s t A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎9.（山东德州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F．‎ ‎（1）求证：BC与⊙O相切；‎ ‎（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．‎B A C D E G O F ‎10.如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t ‎（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）． ‎ A B N M ‎（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米） ‎ 与时间t（秒）之间的函数表达式； ‎ ‎（2）问点A出发后多少秒两圆相切？ ‎ ‎ ‎