天津市中考数学试卷与详细解析

天津市中考数学试卷与详细解析

‎2012年天津市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）（2012•天津）2cos60°的值等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 特殊角的三角函数值．137434 ‎ 分析：‎ 根据60°角的余弦值等于进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：2cos60°=2×=1．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2012•天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形．137434 ‎ 分析：‎ 根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解．‎ 解答：‎ 解：根据中心对称的定义可得：A、C、D都不符合中心对称的定义．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查中心对称的定义，属于基础题，注意掌握基本概念．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2012•天津）据某域名统计机构公布的数据显示，截至‎2012年5月21日，我国“．NET”域名注册量约为560000个，居全球第三位，将560000用科学记数法表示应为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎560×103‎ B．‎ ‎56×104‎ C．‎ ‎5.6×105‎ D．‎ ‎0.56×106‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．137434 ‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于560000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．‎ 解答：‎ 解：560 000=5.6×105．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•贺州）估计的值在（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2到3之间 B．‎ ‎3到4之间 C．‎ ‎4到5之间 D．‎ ‎5到6之间 考点：‎ 估算无理数的大小．137434 ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出的范围．‎ 解答：‎ 解：∵2=＜=3，‎ ‎∴3＜＜4，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2012•天津）为调查某校2000名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该校喜爱体育节目的学生共有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎300名 B．‎ ‎400名 C．‎ ‎500名 D．‎ ‎600名 考点：‎ 扇形统计图；用样本估计总体．137434 ‎ 分析：‎ 根据扇形图可以得出该校喜爱体育节目的学生所占比例，进而得出该校喜爱体育节目的学生数目．‎ 解答：‎ 解：根据扇形图可得：‎ 该校喜爱体育节目的学生所占比例为：1﹣5%﹣35%﹣30%﹣10%=20%，‎ 故该校喜爱体育节目的学生共有：2000×20%=400，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了扇形图的应用，该校喜爱体育节目的学生所占比例进而求出具体人数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2012•天津）将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 平行四边形 B．‎ 矩形 C．‎ 菱形 D．‎ 正方形 考点：‎ 旋转对称图形．137434 ‎ 分析：‎ 根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件，结合选项即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题主要考查了旋转对称图形旋转的最小的度数的计算方法，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2012•天津）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．137434 ‎ 分析：‎ 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．‎ 解答：‎ 解：从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为1，2；从左面看可得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从上面看可得从上到下2行正方形的个数依次为1，2，故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 正方形的性质；勾股定理．137434 ‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DE=DG，所以可以求出DE，进而得到DG的长．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，‎ ‎∴DM=AD=DC=1，‎ ‎∴CM==，‎ ‎∴ME=MC=，‎ ‎∵ED=EM﹣DM=﹣1，‎ ‎∵四边形EDGF是正方形，‎ ‎∴DG=DE=﹣1．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，属于基础题目．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2012•天津）某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴‎360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 汽车在高速公路上的行驶速度为‎100km/h ‎　‎ B．‎ 乡村公路总长为‎90km ‎　‎ C．‎ 汽车在乡村公路上的行驶速度为‎60km/h ‎　‎ D．‎ 该记者在出发后4.5h到达采访地 考点：‎ 函数的图象．137434 ‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，即可得出正确答案．‎ 解答：‎ 解：A、汽车在高速公路上的行驶速度为180÷2=90（km/h），故本选项错误；‎ B、乡村公路总长为360﹣180=180（km），故本选项错误；‎ C、汽车在乡村公路上的行驶速度为（270﹣180）÷（3.5﹣2）=90÷1.5=60（km/h），故本选项正确；‎ D、2+（360﹣180）÷[（270﹣180）÷1.5]=2+3=5h，故该记者在出发后5h到达采访地，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2012•天津）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：‎ ‎①x1=2，x2=3；②m＞﹣；③二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．‎ 其中，正确结论的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点；一元二次方程的解；根的判别式；根与系数的关系．137434 ‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6﹣m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．‎ 解答：‎ 解：一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m化为一般形式得：x2﹣5x+6﹣m=0，‎ ‎∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，‎ ‎∴b2﹣‎4ac=（﹣5）2﹣4（6﹣m）=‎4m+1＞0，‎ 解得：m＞﹣，故选项②正确；‎ ‎∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，‎ ‎∴x1+x2=5，x1x2=6﹣m，‎ 而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；‎ 二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m=x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m=x2﹣5x+（6﹣m）+m=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），‎ 令y=0，可得（x﹣2）（x﹣3）=0，‎ 解得：x=2或3，‎ ‎∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．‎ 综上所述，正确的结论有2个：②③．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎11．（3分）（2013•湘潭）|﹣3|=　3　．‎ 考点：‎ 绝对值．137434 ‎ 分析：‎ 根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：|﹣3|=3．‎ 故答案为：3．‎ 点评：‎ 此题主要考查了绝对值的性质，正确记忆绝对值的性质是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2012•天津）化简的结果是　　．‎ 考点：‎ 分式的加减法．137434 ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减计算，然后约分即可得解．‎ 解答：‎ 解：﹣，‎ ‎=，‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题主要考查了同分母分式的加减运算，是基础题，比较简单，注意要约分．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2012•天津）袋子中装有5个红球和3个黑球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机的摸出一个球，则它是红球的概率是　　．‎ 考点：‎ 概率公式．137434 ‎ 分析：‎ 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．‎ 解答：‎ 解；袋中球的总数为：5+3=8，‎ 取到红球的概率为：；‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2012•天津）将正比例函数y=﹣6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是　y=﹣6x+1（答案不唯一）　（写出一个即可）．‎ 考点：‎ 一次函数图象上点的坐标特征．137434 ‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 根据“上加下减”的原则在函数解析式后加一个大于0的数即可．‎ 解答：‎ 解：“上加下减”的原则可知该函数的解析式可以是：y=﹣6x+1（答案不唯一）．‎ 故答案为：y=﹣6x+1（答案不唯一）．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的性质，只要比例系数k相同，则直线平行，保证k不变的条件下，b的正负决定平移的方向．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2012•天津）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠CAB=55°，则∠ADC的大小为　35　（度）．‎ 考点：‎ 圆周角定理．137434 ‎ 分析：‎ 由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，∠ACB=90°，又由直角三角形的两锐角互余，即可求得∠B的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵∠CAB=55°，‎ ‎∴∠B=90°﹣∠CAB=35°，‎ ‎∴∠ADC=∠B=35°．‎ 故答案为：35°．‎ 点评：‎ 此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2012•天津）若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为　　．‎ 考点：‎ 正多边形和圆．137434 ‎ 分析：‎ 首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为24，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．‎ 解答：‎ 解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，‎ ‎∴∠BOC=×360°=60°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∵正六边形ABCDEF的周长为24，‎ ‎∴BC=24÷6=4，‎ ‎∴OB=BC=4，‎ ‎∴BM=BC=2，‎ ‎∴OM==2，‎ ‎∴S△OBC=×BC×OM=×4×2=4，‎ ‎∴该六边形的面积为：4×6=24．‎ 故答案为：24．‎ 点评：‎ 此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2012•天津）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为　　．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．137434 ‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 连接AE，BE，DF，CF，可证明三角形AEB是等边三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理即可求出边AB上的高线，同理可求出CD边上的高线，进而求出EF的长．‎ 解答：‎ 解：连接AE，BE，DF，CF．‎ ‎∵以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1，‎ ‎∴AB=AE=BE，‎ ‎∴△AEB是等边三角形，‎ ‎∴边AB上的高线为EN=，‎ 延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线，‎ 则EM=1﹣EN=1﹣，‎ ‎∴NF=EM=1﹣，‎ ‎∴EF=1﹣EM﹣NF=﹣1．‎ 故答案为﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是添加辅助线构造等边三角形，利用等边三角形的性质解答即可．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2012•天津）“三等分任意角”是数学史上一个著名问题．已知一个角∠MAN，设∠α=∠MAN．‎ ‎（Ⅰ）当∠MAN=69°时，∠α的大小为　23　（度）；‎ ‎（Ⅱ）如图，将∠MAN放置在每个小正方形的边长为‎1cm的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB=‎2.5cm．现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明做法（不要求证明）　如图，让直尺有刻度一边过点A，设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C，与过点B水平方向的网格线交于点D，保持直尺有刻度的一边过点A，调整点C、D的位置，使CD=‎5cm，画射线AD，此时∠MAD即为所求的∠α．　．‎ 考点：‎ 作图—应用与设计作图．137434 ‎ 专题：‎ 作图题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）根据题意，用69°乘以，计算即可得解；‎ ‎（Ⅱ）利用网格结构，作以点B为直角顶点的直角三角形，并且使斜边所在的直线过点A，且斜边的长度为5，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得斜边上的中线等于AB的长度，再结合三角形的外角性质可知，∠BAD=2∠BDC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BDC=∠MAD，从而得到∠MAD=∠MAN．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）×69°=23°；‎ ‎（Ⅱ）如图，让直尺有刻度一边过点A，设该边与过点B的竖直方向的网格线交于点C，与过点B水平方向的网格线交于点D，保持直尺有刻度的一边过点A，调整点C、D的位置，使CD=‎5cm，画射线AD，此时∠MAD即为所求的∠α．‎ 点评：‎ 本题考查了应用与设计作图，主要利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，使作出的直角三角形斜边上的中线恰好把三角形分成两个等腰三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8小题，满分66分）‎ ‎19．（6分）（2012•天津）解不等式组．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组．137434 ‎ 分析：‎ 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．‎ 解答：‎ 解：‎ 解不等式①，得x＞1．‎ 解不等式②，得x＜2．‎ 故不等式组的解集为：1＜x＜2．‎ 点评：‎ 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2012•天津）已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．‎ ‎（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；‎ ‎（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．137434 ‎ 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y=x的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数y=的图象上，所以2=，解得k=5；‎ ‎（2）由于在反比例函数y=图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k﹣1＞0，求出k的取值范围即可；‎ ‎（3）反比例函数y=图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，故可知x1＞x2．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）‎ ‎∵点P在正比例函数y=x的图象上，‎ ‎∴2=m，即m=2．‎ ‎∴点P的坐标为（2，2）．‎ ‎∵点P在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴2=，解得k=5．‎ ‎（Ⅱ）∵在反比例函数y=图象的每一支上，y随x的增大而减小，‎ ‎∴k﹣1＞0，解得k＞1．‎ ‎（Ⅲ）∵反比例函数y=图象的一支位于第二象限，‎ ‎∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．‎ ‎∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，∴x1＞x2．‎ 点评：‎ 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2012•天津）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．‎ ‎（Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．137434 ‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）根据加权平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数；‎ ‎（Ⅱ）利用样本估计总体的方法，用样本中的平均数×1200即可．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数是：==3.3，‎ 则这组样本数据的平均数是3.3．‎ ‎∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多，‎ ‎∴这组数据的众数是4．‎ ‎∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，=3，‎ ‎∴这组数据的中位数是3；‎ ‎（Ⅱ）∵这组样本数据的平均数是3.3，‎ ‎∴估计全校1200人参加活动次数的总体平均数是3.3，‎ ‎3.3×1200=3960．‎ ‎∴该校学生共参加活动约为3960次．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2012•天津）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．‎ ‎（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；‎ ‎（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．‎ 考点：‎ 切线的性质；菱形的判定与性质；圆周角定理．137434 ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出∠MAC为直角，再由∠BAC的度数，用∠MAC﹣∠BAC求出∠MAB的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到MA=MB，利用等边对等角可得出∠MAB=∠MBA，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数；‎ ‎（Ⅱ）连接AB，AD，由直径AC垂直于弦BD，根据垂径定理得到A为优弧 的中点，根据等弧对等弦可得出AB=AD，由AM为圆O的切线，得到AM垂直于AC，又BD垂直于AC，根据垂直于同一条直线的两直线平行可得出BD平行于AM，又BD=AM，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADBM为平行四边形，再由邻边MA=MB，得到ADBM为菱形，根据菱形的邻边相等可得出BD=AD，进而得到AB=AD=BD，即△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠D为60°，再利用菱形的对角相等可得出∠AMB=∠D=60°．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，‎ ‎∴∠MAC=90°，又∠BAC=25°，‎ ‎∴∠MAB=∠MAC﹣∠BAC=65°，‎ ‎∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，‎ ‎∴MA=MB，‎ ‎∴∠MAB=∠MBA，‎ ‎∴∠M=180°﹣（∠MAB+∠MBA）=50°；‎ ‎（Ⅱ）如图，连接AD、AB，‎ ‎∵MA⊥AC，又BD⊥AC，‎ ‎∴BD∥MA，又BD=MA，‎ ‎∴四边形MADB是平行四边形，又MA=MB，‎ ‎∴四边形MADB是菱形，‎ ‎∴AD=BD．‎ 又∵AC为直径，AC⊥BD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AB=AD，又AD=BD，‎ ‎∴AB=AD=BD，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴∠D=60°，‎ ‎∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°．‎ 点评：‎ 此题考查了切线的性质，圆周角定理，弦、弧及圆心角之间的关系，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，切线长定理，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2012•天津）如图，甲楼AB的高度为‎123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，求乙楼CD的高度（结果精确到‎0.1m，取1.73）．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．137434 ‎ 分析：‎ 首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．‎ 解答：‎ 解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，‎ 根据题意，∠CAE=45°，∠DAE=30°．‎ ‎∵AB⊥BD，CD⊥BD，‎ ‎∴四边形ABDE为矩形．‎ ‎∴DE=AB=123．‎ ‎ 在Rt△ADE中，tan∠DAE=，‎ ‎∴AE====．‎ ‎ 在Rt△ACE中，由∠CAE=45°，‎ ‎ 得CE=AE=．‎ ‎∴CD=CE+DE=≈335.8．‎ 答：乙楼CD的高度约为‎335.8m．‎ 点评：‎ 考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎24．（8分）（2012•天津）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．‎ 月使用费/元 主叫限定时间/分 主叫超时费/（元/分）‎ 被叫 方式一 ‎58‎ ‎150‎ ‎0.25‎ 免费 方式二 ‎88‎ ‎350‎ ‎0.19‎ 免费 设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：‎ t≤150‎ ‎150＜t＜350‎ t=350‎ t＞350‎ 方式一计费/元 ‎58‎ ‎　0.25t+20.5　‎ ‎108‎ ‎　0.25t+20.5　‎ 方式二计费/元 ‎88‎ ‎88‎ ‎88‎ ‎　0.19t+21.5　‎ ‎（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等？‎ ‎（Ⅲ）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．‎ 考点：‎ 一元一次方程的应用；列代数式．137434 ‎ 专题：‎ 应用题；图表型．‎ 分析：‎ ‎（I）根据两种方式的收费标准进行计算即可；‎ ‎（II）先判断出两种方式相等时t的大致范围，继而建立方程即可得出答案．‎ ‎（III）计算出两种方式在此区间的收费情况，然后比较即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）①当150＜t＜350时，方式一收费：58+0.25（t﹣150）=0.25t+20.5；‎ ‎②当t＞350时，方式一收费：58+0.25（t﹣150）=0.25t+20.5；‎ ‎③方式二当t＞350时收费：88+0.19（t﹣350）=0.19t+21.5．‎ ‎（Ⅱ）∵当t＞350时，（0.25t+20.5）﹣（0.19t+21.5）=0.06t﹣1＞0，‎ ‎∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在150＜t＜350取得．‎ ‎∴列方程0.25t+20.5=88，‎ 解得t=270．‎ 即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等．‎ ‎（Ⅲ）方式二．‎ ‎①当350＜t＜360时，方式一收费﹣方式二收费y=0.25t+20.5﹣0.19t﹣21.5=0.06t﹣1，‎ 当350＜t＜360时，y＞0，即可得方式二更划算．‎ ‎②当t=350时，方式一收费108元，大于方式二收费88元，故方式二划算；‎ ‎③当330＜t＜350时，方式一收费=0.25t+20.5，‎ 此时收费＞103，故此时选择方式二划算．‎ 点评：‎ 此题考查了一元一次方程的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，要将实际问题转化为数学问题来求解．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2012•天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．‎ ‎（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；‎ ‎（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．137434 ‎ 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；‎ ‎（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；‎ ‎（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m=，即可求得t的值．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，‎ 在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．‎ ‎∵OP2=OB2+BP2，‎ 即（2t）2=62+t2，‎ 解得：t1=2，t2=﹣2（舍去）．‎ ‎∴点P的坐标为（，6）．‎ ‎（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，‎ ‎∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，‎ ‎∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，‎ ‎∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，‎ ‎∴∠OPB+∠QPC=90°，‎ ‎∵∠BOP+∠OPB=90°，‎ ‎∴∠BOP=∠CPQ．‎ 又∵∠OBP=∠C=90°，‎ ‎∴△OBP∽△PCQ，‎ ‎∴，‎ 由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t，CQ=6﹣m．‎ ‎∴．‎ ‎∴m=（0＜t＜11）．‎ ‎（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，‎ ‎∴∠PEA=∠QAC′=90°，‎ ‎∴∠PC′E+∠EPC′=90°，‎ ‎∵∠PC′E+∠QC′A=90°，‎ ‎∴∠EPC′=∠QC′A，‎ ‎∴△PC′E∽△C′QA，‎ ‎∴，‎ ‎∵PC′=PC=11﹣t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6﹣m，‎ ‎∴AC′==，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴3（6﹣m）2=（3﹣m）（11﹣t）2，‎ ‎∵m=，‎ ‎∴3（﹣t2+t）2=（3﹣t2+t﹣6）（11﹣t）2，‎ ‎∴t2（11﹣t）2=（﹣t2+t﹣3）（11﹣t）2，‎ ‎∴t2=﹣t2+t﹣3，‎ ‎∴3t2﹣22t+36=0，‎ 解得：t1=，t2=，‎ 点P的坐标为（，6）或（，6）．‎ 法二：∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′，‎ ‎∴OC′=PC′=PC=11﹣t，‎ 过点P作PE⊥OA于点E，‎ 则PE=BO=6，OE=BP=t，‎ ‎∴EC′=11﹣2t，‎ 在Rt△PEC′中，PE2+EC′2=PC′2，‎ 即（11﹣t）2=62+（11﹣2t）2，‎ 解得：t1=，t2=．‎ 点P的坐标为（，6）或（，6）．‎ 点评：‎ 此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2012•天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜‎2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在该抛物线上．‎ ‎（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，‎ ‎①求顶点P的坐标；‎ ‎②求的值；‎ ‎（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求的最小值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．137434 ‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式；‎ ‎①将二次函数化为顶点式，即可得到抛物线顶点坐标；‎ ‎②将A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）分别代入解析式，即可求出yA、yB、yC的值，然后计算的值即可；‎ ‎（Ⅱ）根据0＜‎2a＜b，求出x0=＜﹣1，作出图中辅助线：点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1．连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB﹣yC，CD=1．过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），证出Rt△AFA1∽Rt△BCD，得到==1﹣x2，再根据△AEG∽△BCD得到=1﹣x1，然后求出yA、yB、yC、yE的表达式，然后y0≥0恒成立，得到x2≤x1‎ ‎＜﹣1，从而利用不等式求出的最小值．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，‎ 此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10．‎ ‎①∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为P（﹣2，6）．‎ ‎②∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在抛物线y=x2+4x+10上，‎ ‎∴yA=15，yB=10，yC=7．‎ ‎∴==5．‎ ‎（Ⅱ）由0＜‎2a＜b，得x0=＜﹣1．‎ 由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1．‎ 连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB﹣yC，CD=1．‎ 过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），‎ 则∠FAA1=∠CBD．‎ 于是Rt△AFA1∽Rt△BCD．‎ 有，即==1﹣x2．‎ 过点E作EG⊥AA1于点G，‎ 易得△AEG∽△BCD．‎ 有，即=1﹣x1．‎ ‎∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，‎ 得yA=a+b+c，yB=c，yC=a﹣b+c，yE=，‎ ‎∴=1﹣x1．‎ 化简，得，‎ 解得x1=﹣2（x1=1舍去）．‎ ‎∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜﹣1，‎ 则1﹣x2≥1﹣x1，即1﹣x2≥3．‎ ‎∴的最小值为3．‎ 点评：‎ 本题考查了配方法求二次函数顶点坐标，函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质，利用不等式求最值，综合性很强，旨在考查同学们的综合逻辑思维能力，要认真对待．‎ ‎　‎