中考全等三角形专题种辅助线的作法

中考全等三角形专题种辅助线的作法

全等三角形问题中常见的辅助线的作法 ‎【三角形辅助线做法】‎ 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。‎ 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。‎ 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 ‎ 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。‎ ‎1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 ‎2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 ‎3.角平分线在三种添辅助线 ‎4.垂直平分线联结线段两端 ‎5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，‎ ‎6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形 ‎7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。‎ ‎8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。‎ 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。‎ 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．‎ 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．‎ 3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂 线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。‎ 1) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”‎ 2) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．‎ 3) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。‎ 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．‎ 一、倍长中线（线段）造全等 例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.‎ 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.‎ 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.‎ 应用：‎ ‎1、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．‎ ‎（1）如图① 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，‎ 线段AM与DE的数量关系是 ；‎ ‎（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．‎ 二、截长补短 ‎1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC ‎2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。 ‎ ‎3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，‎ 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP ‎4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，‎ 求证： ‎ ‎ ‎ ‎5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC 应用：‎ 三、平移变换 例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.‎ 例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.‎ 四、借助角平分线造全等 ‎1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD ‎2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. ‎ ‎（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.‎ 应用：‎ ‎1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：‎ ‎（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；‎ ‎(第23题图)‎ O P A M N E B C D F A C E F B D 图①‎ 图②‎ 图③‎ ‎（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。‎ 五、旋转 例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.‎ ‎ ‎ 例2 D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。‎ （1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。‎ （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。‎ 例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；‎ 应用：‎ ‎1、已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．‎ 当绕点旋转到时（如图1），易证．‎ 当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．‎ ‎（图1）‎ ‎（图2）‎ ‎（图3）‎ ‎2、已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.‎ ‎(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;‎ ‎(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.‎ ‎3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．‎ 图1 图2 图3‎ ‎（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； ‎ ‎（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； ‎ ‎（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，‎ 若AN=，则Q= （用、L表示）．‎ ‎ 参考答案与提示 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.‎ 解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知 AB-BE <2ADBF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA 例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.‎ 证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN. ‎ ‎∵BD=CE,‎ ‎∴DM=EM,‎ ‎∴△DMN≌△EMA(SAS),‎ ‎∴DN=AE,‎ 同理BN=CA.‎ 延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,‎ 相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,‎ 各减去DP,得BN+AB>DN+AD,‎ ‎∴AB+AC>AD+AE。‎ 四、借助角平分线造全等 ‎1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =AC 证明L(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度,‎ 则∠BAC+∠BCA=120度;‎ AD,CE均为角平分线,‎ 则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;‎ ‎∠AOC=120度.‎ 在AC上截取线段AF=AE,连接OF.‎ 又AO=AO;∠OAE=∠OAF ‎.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),‎ OE=OF;AE=AF; ‎ ‎∠AOF=∠AOE=60度.‎ 则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;‎ 又CO=CO;∠OCD=∠OCF.‎ 故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),‎ OD=OF;CD=CF.‎ OE=OD DC+AE=CF+AF=AC.‎ ‎2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. ‎ ‎（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.‎ 解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DC DG垂直平分BC，故BD＝DC 由于AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有 ED＝DF 故RT△DBE≌RT△DFC（HL）‎ 故有BE＝CF。‎ AB+AC＝2AE AE＝（a+b）/2‎ BE=(a-b)/2‎ 应用：‎ ‎1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：‎ ‎（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；‎ ‎(第23题图)‎ O P A M N E B C D F A C E F B D 图①‎ 图②‎ 图③‎ ‎（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。‎ 解：（1）FE与FD之间的数量关系为 ‎（2）答：（1）中的结论仍然成立。‎ 证法一：如图1，在AC上截取，连结FG ‎ ‎∵，AF为公共边，‎ ‎∴‎ ‎∴， ‎ F B E A C D 图 1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ G ‎∵，AD、CE分别是、的平分线 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵及FC为公共边 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 证法二：如图2，过点F分别作于点G，于点H ‎ F B E A C D 图 2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ H G ‎∵，AD、CE分别是、的平分线 ‎∴可得，F是的内心 ‎∴，‎ 又∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴可证 ‎∴ ‎ 五、旋转 例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.‎ ‎ ‎ 证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG 则GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE，AF=AG，‎ 所以三角形AEF全等于AEG 所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90‎ 所以∠EAF=45度 例2 D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。‎ ‎(1)当绕点D转动时，求证DE=DF。‎ ‎(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。‎ 解：(计算数值法)（1）连接DC， ‎ D为等腰斜边AB的中点，故有CD⊥AB，CD＝DA CD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°‎ 由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°‎ 由于 CD⊥AB，有∠CDA＝90°‎ 从而∠CDE＝∠FDA＝‎ 故有△CDE≌△ADF（ASA）‎ 故有DE=DF ‎（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1‎ 例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；‎ 解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CE＝BM ‎∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°， ∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°， ∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°， 又∵BM=CE，BD=CD， ∴△CDE≌△BDM， ∴∠CDE=∠BDM，DE=DM， ∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°， ∵在△DMN和△DEN中，       DM=DE ‎     ∠MDN=∠EDN=60°‎ ‎     DN=DN ‎∴△DMN≌△DEN， ∴MN=NE ‎∵在△DMA和△DEF中，       DM=DE ‎     ∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM)‎ ‎    ∠DAM=∠DFE=30°‎ ‎∴△DMN≌△DEN (AAS)， ∴MA=FE 的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6‎ 应用：‎ ‎1、已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．‎ 当绕点旋转到时（如图1），易证．‎ 当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．‎ ‎（图1）‎ ‎（图2）‎ ‎（图3）‎ 解：（1）∵，，，‎ ‎∴（SAS）；‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，为等边三角形 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）图2成立，图3不成立。‎ 证明图2，延长DC至点K，使，连接BK K A B C D E F M N 图 2‎ 则 ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 图3不成立，AE、CF、EF的关系是 ‎2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.‎ ‎(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;‎ ‎(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.‎ 分析：（1）作辅助线，过点A作于点E，在中，已知，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将绕点A顺时针旋转得到，可得，求PD长即为求的长，在中，可将的值求出，在中，根据勾股定理可将的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根据勾股定理可将PD的值求出；‎ ‎（2）将绕点A顺时针旋转，得到，PD的最大值即为的最大值，故当、P、B三点共线时，取得最大值，根据可求的最大值，此时．‎ E P A D C B 解：（1）①如图，作于点E ‎∵中，，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 在中，‎ ‎∴‎ P′‎ P A C B D E ‎②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将绕点A顺时针旋转得到，，可得，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ 解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB 于G．‎ G F P A C B D E 在中，可得，，‎ 在中，可得，‎ 在中，可得 ‎（2）如图所示，将绕点A顺时针旋转,得到，PD的最大值，即为的最大值 ‎∵中，，，且P、D两点落在直线AB的两侧 ‎∴当、P、B三点共线时，取得最大值（如图）‎ P′‎ P A C B D P′‎ P A C B D 此时，即的最大值为6‎ 此时 ‎3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．‎ 图1 图2 图3‎ ‎（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； ‎ ‎（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； ‎ ‎（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，‎ 若AN=，则Q= （用、L表示）．‎ 分析：（1）如果，，因为，那么，也就有，直角三角形MBD、NCD中，因为，，根据HL定理，两三角形全等。那么，，三角形NCD中，，，在三角形DNM中，，，因此三角形DMN是个等边三角形，因此，三角形AMN的周长 ‎，三角形ABC的周长，因此．‎ ‎（2）如果，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E，使，连接DE．（1）中我们已经得出，，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，，，因此两三角形全等，那么，，．三角形MDN和EDN中，有，，有一条公共边，因此两三角形全等，，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为，因此．Q与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的。‎ ‎（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的，我们做的角，，因此两三角形全等（ASA）．那么，，三角形MDN和NDH中，已知的条件有，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道，因为，因此，因为，那么 ‎，因此，这样就构成了两三角形全等的条件．三角形MDN和DNH就全等了．那么，三角形AMN的周长 ‎．因为，，因此三角形AMN的周长．‎ 解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系：；此时．‎ 图 1‎ N M A D C B ‎（2）猜想：结论仍然成立．‎ 证明：如图2，延长AC至E，使，连接DE ‎∵，且 ‎∴‎ 又是等边三角形 E 图 2‎ N M A D C B ‎∴‎ 在与中 H 图 3‎ N M A D C B ‎∴（SAS）‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 在与中 ‎∴（SAS）‎ ‎∴‎ 故的周长 而等边的周长 ‎∴‎ ‎（3）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若，则（用x、L表示）．‎ 点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。‎