甘肃省天水市中考数学试卷含答案

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甘肃省天水市中考数学试卷含答案

‎2017年甘肃省天水市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)‎ ‎1.若x与3互为相反数,则|x+3|等于(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎2.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成,它的俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.下列运算正确的是(  )‎ A.2x+y=2xy B.x•2y2=2xy2 C.2x÷x2=2x D.4x﹣5x=﹣1‎ ‎4.下列说法正确的是(  )‎ A.不可能事件发生的概率为0‎ B.随机事件发生的概率为 C.概率很小的事件不可能发生 D.投掷一枚质地均匀的硬币1000次,正面朝上的次数一定是500次 ‎5.我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量,相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量.把130 000 000kg用科学记数法可表示为(  )‎ A.13×107kg B.0.13×108kg C.1.3×107kg D.1.3×108kg ‎6.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cosB的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.关于的叙述不正确的是(  )‎ A. =2‎ B.面积是8的正方形的边长是 C.是有理数 D.在数轴上可以找到表示的点 ‎8.下列给出的函数中,其图象是中心对称图形的是(  )‎ ‎①函数y=x;②函数y=x2;③函数y=.‎ A.①② B.②③ C.①③ D.都不是 ‎9.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S阴影=(  )‎ A.2π B.π C.π D.π ‎10.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4cm,∠B=30°,点P从点B出发,以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止,同时点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止,若△BPQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是(  )‎ A. ‎ B.‎ ‎ C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)‎ ‎11.若式子有意义,则x的取值范围是   .‎ ‎12.分解因式:x3﹣x=   .‎ ‎13.定义一种新的运算:x*y=,如:3*1==,则(2*3)*2=   .‎ ‎14.如图所示,在矩形ABCD中,∠DAC=65°,点E是CD上一点,BE交AC于点F,将△BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C′处,则∠AFC′=   .‎ ‎15.观察下列的“蜂窝图”‎ 则第n个图案中的“”的个数是   .(用含有n的代数式表示)‎ ‎16.如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为   米.‎ ‎17.如图所示,正方形ABCD的边长为4,E是边BC上的一点,且BE=1,P是对角线AC上的一动点,连接PB、PE,当点P在AC上运动时,△PBE周长的最小值是   .‎ ‎18.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:‎ ‎①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);④当1<x<4时,有y2>y1;⑤x(ax+b)≤a+b,其中正确的结论是   .(只填写序号)‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共3小题,共28分)‎ ‎19.(1)计算:﹣14+sin60°+()﹣2﹣(π﹣)0‎ ‎(2)先化简,再求值:(1﹣)÷,其中x=﹣1.‎ ‎20.一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处,它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处,若轮船继续沿正东方向航行,求轮船航行途中与灯塔P的最短距离.(结果保留根号)‎ ‎21.八年级一班开展了“读一本好书”的活动,班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查,问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型,每位同学仅选一项,根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.‎ ‎ 类别 ‎ 频数(人数)‎ ‎ 频率 ‎ 小说 ‎ ‎ ‎ 0.5‎ ‎ 戏剧 ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ 散文 ‎ 10‎ ‎ 0.25‎ ‎ 其他 ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ 合计 ‎ ‎ ‎ 1‎ 根据图表提供的信息,解答下列问题:‎ ‎(1)八年级一班有多少名学生?‎ ‎(2)请补全频数分布表,并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比;‎ ‎(3)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类,现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组,请用画树状图或列表法的方法,求选取的2人恰好是乙和丙的概率.‎ ‎ ‎ 四、解答题(共50分)‎ ‎22.如图所示,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(2,4),B(﹣4,n)两点.‎ ‎(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式;‎ ‎(2)过点B作BC⊥x轴,垂足为点C,连接AC,求△ACB的面积.‎ ‎23.如图,△ABD是⊙O的内接三角形,E是弦BD的中点,点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A,连接OE延长与圆相交于点F,与BC相交于点C.‎ ‎(1)求证:BC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径为6,BC=8,求弦BD的长.‎ ‎24.天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元,‎ ‎(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?‎ ‎(2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?‎ ‎25.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.‎ ‎(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;‎ ‎(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长.‎ ‎26.如图所示,在平面直角坐标系中xOy中,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.‎ ‎(1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴;‎ ‎(2)求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示);‎ ‎(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值;‎ ‎(4)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2017年甘肃省天水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)‎ ‎1.若x与3互为相反数,则|x+3|等于(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【考点】15:绝对值;14:相反数.‎ ‎【分析】先求出x的值,进而可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵x与3互为相反数,‎ ‎∴x=﹣3,‎ ‎∴|x+3|=|﹣3+3|=0.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎2.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成,它的俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】U2:简单组合体的三视图.‎ ‎【分析】找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.‎ ‎【解答】解:从上面看易得横着的“”字,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎3.下列运算正确的是(  )‎ A.2x+y=2xy B.x•2y2=2xy2 C.2x÷x2=2x D.4x﹣5x=﹣1‎ ‎【考点】4H:整式的除法;35:合并同类项;49:单项式乘单项式.‎ ‎【分析】直接利用合并同类项法则和整式的乘除运算法则分别化简求出答案.‎ ‎【解答】解:A、2x+y无法计算,故此选项错误;‎ B、x•2y2=2xy2,正确;‎ C、2x÷x2=,故此选项错误;‎ D、4x﹣5x=﹣x,故此选项错误;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.下列说法正确的是(  )‎ A.不可能事件发生的概率为0‎ B.随机事件发生的概率为 C.概率很小的事件不可能发生 D.投掷一枚质地均匀的硬币1000次,正面朝上的次数一定是500次 ‎【考点】X3:概率的意义.‎ ‎【分析】根据不可能事件是指在任何条件下不会发生,随机事件就是可能发生,也可能不发生的事件,发生的机会大于0并且小于1,进行判断.‎ ‎【解答】解:A、不可能事件发生的概率为0,故本选项正确;‎ B、随机事件发生的概率P为0<P<1,故本选项错误;‎ C、概率很小的事件,不是不发生,而是发生的机会少,故本选项错误;‎ D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次,是随机事件,正面朝上的次数不确定是多少次,故本选项错误;‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎5.我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量,相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量.把130 000 000kg用科学记数法可表示为(  )‎ A.13×107kg B.0.13×108kg C.1.3×107kg D.1.3×108kg ‎【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<‎ ‎10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:130 000 000kg=1.3×108kg.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cosB的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】KQ:勾股定理;T1:锐角三角函数的定义.‎ ‎【分析】先设小正方形的边长为1,然后找个与∠B有关的RT△ABD,算出AB的长,再求出BD的长,即可求出余弦值.‎ ‎【解答】解:设小正方形的边长为1,则AB=4,BD=4,‎ ‎∴cos∠B==.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎7.关于的叙述不正确的是(  )‎ A. =2‎ B.面积是8的正方形的边长是 C.是有理数 D.在数轴上可以找到表示的点 ‎【考点】27:实数.‎ ‎【分析】=2,‎ 是无理数,可以在数轴上表示,还可以表示面积是8的正方形的边长,由此作判断.‎ ‎【解答】解:A、=2,所以此选项叙述正确;‎ B、面积是8的正方形的边长是,所以此选项叙述正确;‎ C、=2,它是无理数,所以此选项叙述不正确;‎ D、数轴既可以表示有理数,也可以表示无理数,所以在数轴上可以找到表示的点;所以此选项叙述正确;‎ 本题选择叙述不正确的,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8.下列给出的函数中,其图象是中心对称图形的是(  )‎ ‎①函数y=x;②函数y=x2;③函数y=.‎ A.①② B.②③ C.①③ D.都不是 ‎【考点】G2:反比例函数的图象;F4:正比例函数的图象;H2:二次函数的图象;R5:中心对称图形.‎ ‎【分析】函数①③是中心对称图形,对称中心是原点.‎ ‎【解答】解:根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形.‎ 故选C ‎ ‎ ‎9.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S阴影=(  )‎ A.2π B.π C.π D.π ‎【考点】M5:圆周角定理;M2:垂径定理;MO:扇形面积的计算.‎ ‎【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2,然后由圆周角定理知∠DOE=60°,然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度,最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC.‎ ‎【解答】解:如图,假设线段CD、AB交于点E,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,‎ ‎∴CE=ED=2,‎ 又∵∠BCD=30°,‎ ‎∴∠DOE=2∠BCD=60°,∠ODE=30°,‎ ‎∴OE=DE•cot60°=2×=2,OD=2OE=4,‎ ‎∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE•CE=﹣2+2=.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4cm,∠B=30°,点P从点B出发,以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止,同时点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止,若△BPQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】E7:动点问题的函数图象.‎ ‎【分析】作AH⊥BC于H,根据等腰三角形的性质得BH=CH,利用∠B=30°可计算出AH=AB=2,BH=AH=2,则BC=2BH=4,利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s,Q点运动到C需8s,然后分类讨论:当0≤x≤4时,作QD⊥BC于D,如图1,BQ=x,BP=x,DQ=BQ=x,利用三角形面积公式得到y=x2;当4<x≤8时,作QD⊥BC于D,如图2,CQ=8﹣x,BP=4,DQ=CQ=(8﹣x),利用三角形面积公式得y=﹣x+8,于是可得0≤x≤4时,函数图象为抛物线的一部分,当4<x≤8时,函数图象为线段,则易得答案为D.‎ ‎【解答】解:作AH⊥BC于H,‎ ‎∵AB=AC=4cm,‎ ‎∴BH=CH,‎ ‎∵∠B=30°,‎ ‎∴AH=AB=2,BH=AH=2,‎ ‎∴BC=2BH=4,‎ ‎∵点P运动的速度为cm/s,Q点运动的速度为1cm/s,‎ ‎∴点P从B点运动到C需4s,Q点运动到C需8s,‎ 当0≤x≤4时,作QD⊥BC于D,如图1,BQ=x,BP=x,‎ 在Rt△BDQ中,DQ=BQ=x,‎ ‎∴y=•x•x=x2,‎ 当4<x≤8时,作QD⊥BC于D,如图2,CQ=8﹣x,BP=4‎ 在Rt△BDQ中,DQ=CQ=(8﹣x),‎ ‎∴y=•(8﹣x)•4=﹣x+8,‎ 综上所述,y=.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)‎ ‎11.若式子有意义,则x的取值范围是 x≥﹣2且x≠0 .‎ ‎【考点】72:二次根式有意义的条件;62:分式有意义的条件.‎ ‎【分析】分式中:分母不为零、分子的被开方数是非负数.‎ ‎【解答】解:根据题意,得 x+2≥0,且x≠0,‎ 解得x≥﹣2且x≠0.‎ 故答案是:x≥﹣2且x≠0.‎ ‎ ‎ ‎12.分解因式:x3﹣x= x(x+1)(x﹣1) .‎ ‎【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.‎ ‎【分析】本题可先提公因式x,分解成x(x2﹣1),而x2﹣1可利用平方差公式分解.‎ ‎【解答】解:x3﹣x,‎ ‎=x(x2﹣1),‎ ‎=x(x+1)(x﹣1).‎ 故答案为:x(x+1)(x﹣1).‎ ‎ ‎ ‎13.定义一种新的运算:x*y=,如:3*1==,则(2*3)*2= 2 .‎ ‎【考点】1G:有理数的混合运算.‎ ‎【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果.‎ ‎【解答】解:根据题中的新定义得:(2*3)*2=()*2=4*2==2,‎ 故答案为:2‎ ‎ ‎ ‎14.如图所示,在矩形ABCD中,∠DAC=65°,点E是CD上一点,BE交AC于点F,将△BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C′处,则∠AFC′= 40° .‎ ‎【考点】PB:翻折变换(折叠问题);LB:矩形的性质.‎ ‎【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD,再根据翻折变换的性质判断出四边形BCEC′是正方形,根据正方形的性质可得∠BEC=45°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BFC,再根据翻折变换的性质可得∠BFC′=∠BFC,然后根据平角等于180°列式计算即可得解.‎ ‎【解答】解:∵矩形ABCD,∠DAC=65°,‎ ‎∴∠ACD=90°﹣∠DAC=90°﹣65°=25°,‎ ‎∵△BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C′处,‎ ‎∴四边形BCEC′是正方形,‎ ‎∴∠BEC=45°,‎ 由三角形的外角性质,∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°,‎ 由翻折的性质得,∠BFC′=∠BFC=70°,‎ ‎∴∠AFC′=180°﹣∠BFC﹣∠BFC′=180°﹣70°﹣70°=40°.‎ 故答案为:40°.‎ ‎ ‎ ‎15.观察下列的“蜂窝图”‎ 则第n个图案中的“”的个数是 3n+1 .(用含有n的代数式表示)‎ ‎【考点】38:规律型:图形的变化类.‎ ‎【分析】根据题意可知:第1个图有4个图案,第2个共有7个图案,第3个共有10个图案,第4个共有13‘个图案,由此可得出规律.‎ ‎【解答】解:由题意可知:每1个都比前一个多出了3个“”,‎ ‎∴第n个图案中共有“”为:4+3(n﹣1)=3n+1‎ 故答案为:3n+1‎ ‎ ‎ ‎16.如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为 5 米.‎ ‎【考点】SA:相似三角形的应用.‎ ‎【分析】易得:△ABM∽△OCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.‎ ‎【解答】解:根据题意,易得△MBA∽△MCO,‎ 根据相似三角形的性质可知=,即=,‎ 解得AM=5m.则小明的影长为5米.‎ ‎ ‎ ‎17.如图所示,正方形ABCD的边长为4,E是边BC上的一点,且BE=1,P是对角线AC上的一动点,连接PB、PE,当点P在AC上运动时,△PBE周长的最小值是 6 .‎ ‎【考点】PA:轴对称﹣最短路线问题;LE:正方形的性质.‎ ‎【分析】根据两点之间线段最短和点B和点D关于AC对称,即可求得△PBE周长的最小值,本题得以解决.‎ ‎【解答】解:连接DE于AC交于点P′,连接BP′,则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值,‎ ‎∵BE=1,BC=CD=4,‎ ‎∴CE=3,DE=5,‎ ‎∴BP′+P′E=DE=5,‎ ‎∴△PBE周长的最小值是5+1=6,‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ ‎18.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:‎ ‎①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);④当1<x<4时,有y2>y1;⑤x(ax+b)≤a+b,其中正确的结论是 ②⑤ .(只填写序号)‎ ‎【考点】HC:二次函数与不等式(组);H4:二次函数图象与系数的关系;HA:抛物线与x轴的交点.‎ ‎【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可.‎ ‎【解答】解:由图象可知:a<0,b>0,c>0,故abc<0,故①错误.‎ 观察图象可知,抛物线与直线y=3只有一个交点,故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,故②正确.‎ 根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(﹣2,0),故③错误,‎ 观察图象可知,当1<x<4时,有y2<y1,故④错误,‎ 因为x=1时,y1有最大值,所以ax2+bx+c≤a+b+c,即x(ax+b)≤a+b,故⑤正确,‎ 所以②⑤正确,‎ 故答案为②⑤.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共3小题,共28分)‎ ‎19.(1)计算:﹣14+sin60°+()﹣2﹣(π﹣)0‎ ‎(2)先化简,再求值:(1﹣)÷,其中x=﹣1.‎ ‎【考点】6D:分式的化简求值;2C:实数的运算;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】(1)根据实数的运算法则计算即可;‎ ‎(2)原式利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:(1)﹣14+sin60°+()﹣2﹣(π﹣)0=﹣1+2×+4﹣1=5;‎ ‎(2)(1﹣)÷=×=,‎ 当x=﹣1时,‎ 原式=.‎ ‎ ‎ ‎20.一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处,它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处,若轮船继续沿正东方向航行,求轮船航行途中与灯塔P的最短距离.(结果保留根号)‎ ‎【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题;KU:勾股定理的应用.‎ ‎【分析】利用题意得到AC⊥PC,∠APC=60°,∠BPC=45°,AP=20,如图,在Rt△APC中,利用余弦的定义计算出PC=10,利用勾股定理计算出AC=10,再判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=10,然后计算AC﹣BC即可.‎ ‎【解答】解:如图,AC⊥PC,∠APC=60°,∠BPC=45°,AP=200,‎ 在Rt△APC中,∵cos∠APC=,‎ ‎∴PC=20•cos60°=10,‎ ‎∴AC==10,‎ 在△PBC中,∵∠BPC=45°,‎ ‎∴△PBC为等腰直角三角形,‎ ‎∴BC=PC=10,‎ ‎∴AB=AC﹣BC=10﹣10(海里).‎ 答:轮船航行途中与灯塔P的最短距离是(10﹣10)海里.‎ ‎ ‎ ‎21.八年级一班开展了“读一本好书”的活动,班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查,问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型,每位同学仅选一项,根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.‎ ‎ 类别 ‎ 频数(人数)‎ ‎ 频率 ‎ 小说 ‎ ‎ ‎ 0.5‎ ‎ 戏剧 ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ 散文 ‎ 10‎ ‎ 0.25‎ ‎ 其他 ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ 合计 ‎ ‎ ‎ 1‎ 根据图表提供的信息,解答下列问题:‎ ‎(1)八年级一班有多少名学生?‎ ‎(2)请补全频数分布表,并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比;‎ ‎(3)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类,现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组,请用画树状图或列表法的方法,求选取的2人恰好是乙和丙的概率.‎ ‎【考点】X6:列表法与树状图法;V7:频数(率)分布表;VB:扇形统计图.‎ ‎【分析】(1)用散文的频数除以其频率即可求得样本总数;‎ ‎(2)根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可;‎ ‎(3)画树状图得出所有等可能的情况数,找出恰好是丙与乙的情况,即可确定出所求概率.‎ ‎【解答】解:(1)∵喜欢散文的有10人,频率为0.25,‎ ‎∴总人数=10÷0.25=40(人);‎ ‎(2)在扇形统计图中,“其他”类所占的百分比为×100%=15%,‎ 故答案为:15%;‎ ‎(3)画树状图,如图所示:‎ 所有等可能的情况有12种,其中恰好是丙与乙的情况有2种,‎ ‎∴P(丙和乙)==.‎ ‎ ‎ 四、解答题(共50分)‎ ‎22.如图所示,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(2,4),B(﹣4,n)两点.‎ ‎(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式;‎ ‎(2)过点B作BC⊥x轴,垂足为点C,连接AC,求△ACB的面积.‎ ‎【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题.‎ ‎【分析】(1)将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式,据此求得点B坐标,根据A、B两点坐标可得直线解析式;‎ ‎(2)根据点B坐标可得底边BC=2,由A、B两点的横坐标可得BC边上的高,据此可得.‎ ‎【解答】解:(1)将点A(2,4)代入y=,得:m=8,‎ 则反比例函数解析式为y=,‎ 当x=﹣4时,y=﹣2,‎ 则点B(﹣4,﹣2),‎ 将点A(2,4)、B(﹣4,﹣2)代入y=kx+b,‎ 得:,‎ 解得:,‎ 则一次函数解析式为y=x+2;‎ ‎(2)由题意知BC=2,‎ 则△ACB的面积=×2×6=6.‎ ‎ ‎ ‎23.如图,△ABD是⊙O的内接三角形,E是弦BD的中点,点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A,连接OE延长与圆相交于点F,与BC相交于点C.‎ ‎(1)求证:BC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径为6,BC=8,求弦BD的长.‎ ‎【考点】MD:切线的判定.‎ ‎【分析】(1)连接OB,由垂径定理的推论得出BE=DE,OE⊥BD, =,由圆周角定理得出∠BOE=∠A,证出∠OBE+∠DBC=90°,得出∠OBC=90°即可;‎ ‎(2)由勾股定理求出OC,由△OBC的面积求出BE,即可得出弦BD的长.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OB,如图所示:‎ ‎∵E是弦BD的中点,‎ ‎∴BE=DE,OE⊥BD, =,‎ ‎∴∠BOE=∠A,∠OBE+∠BOE=90°,‎ ‎∵∠DBC=∠A,‎ ‎∴∠BOE=∠DBC,‎ ‎∴∠OBE+∠DBC=90°,‎ ‎∴∠OBC=90°,‎ 即BC⊥OB,‎ ‎∴BC是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:∵OB=6,BC=8,BC⊥OB,‎ ‎∴OC==10,‎ ‎∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC,‎ ‎∴BE===4.8,‎ ‎∴BD=2BE=9.6,‎ 即弦BD的长为9.6.‎ ‎ ‎ ‎24.天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车,计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元,‎ ‎(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?‎ ‎(2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?‎ ‎【考点】CE:一元一次不等式组的应用;9A:二元一次方程组的应用.‎ ‎【分析】(1)设购买A型公交车每辆需x万元,购买B型公交车每辆需y万元,根据“A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元”列出方程组解决问题;‎ ‎(2)设购买A型公交车a辆,则B型公交车(10﹣a)辆,由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可.‎ ‎【解答】解:(1)设购买A型公交车每辆需x万元,购买B型公交车每辆需y万元,由题意得 ‎,‎ 解得,‎ 答:购买A型公交车每辆需100万元,购买B型公交车每辆需150万元.‎ ‎(2)设购买A型公交车a辆,则B型公交车(10﹣a)辆,由题意得 ‎,‎ 解得:≤a≤,‎ 因为a是整数,‎ 所以a=6,7,8;‎ 则(10﹣a)=4,3,2;‎ 三种方案:‎ ‎①购买A型公交车6辆,则B型公交车4辆:100×6+150×4=1200万元;‎ ‎②购买A型公交车7辆,则B型公交车3辆:100×7+150×3=1150万元;‎ ‎③购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆:100×8+150×2=1100万元;‎ 购买A型公交车8辆,则B型公交车2辆费用最少,最少总费用为1100万元.‎ ‎ ‎ ‎25.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△‎ DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.‎ ‎(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;‎ ‎(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长.‎ ‎【考点】S9:相似三角形的判定与性质;KD:全等三角形的判定与性质;KW:等腰直角三角形;R2:旋转的性质.‎ ‎【分析】(1)由△ABC是等腰直角三角形,易得∠B=∠C=45°,AB=AC,又由AP=AQ,E是BC的中点,利用SAS,可证得:△BPE≌△CQE;‎ ‎(2)由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,易得∠B=∠C=∠DEF=45°,然后利用三角形的外角的性质,即可得∠BEP=∠EQC,则可证得:△BPE∽△CEQ;根据相似三角形的对应边成比例,即可求得BE的长,即可得BC的长,‎ ‎【解答】(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠B=∠C=45°,AB=AC,‎ ‎∵AP=AQ,‎ ‎∴BP=CQ,‎ ‎∵E是BC的中点,‎ ‎∴BE=CE,‎ 在△BPE和△CQE中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△BPE≌△CQE(SAS);‎ ‎(2)解:连接PQ,‎ ‎∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,‎ ‎∴∠B=∠C=∠DEF=45°,‎ ‎∵∠BEQ=∠EQC+∠C,‎ 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,‎ ‎∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,‎ ‎∴∠BEP=∠EQC,‎ ‎∴△BPE∽△CEQ,‎ ‎∴=,‎ ‎∵BP=2,CQ=9,BE=CE,‎ ‎∴BE2=18,‎ ‎∴BE=CE=3,‎ ‎∴BC=6.‎ ‎ ‎ ‎26.如图所示,在平面直角坐标系中xOy中,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.‎ ‎(1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴;‎ ‎(2)求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示);‎ ‎(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值;‎ ‎(4)设P是抛物线对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.‎ ‎【考点】HF:二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)解方程即可得到结论;‎ ‎(2)根据直线l:y=kx+b过A(﹣1,0),得到直线l:y=kx+k,解方程得到点D的横坐标为4,求得k=a,得到直线l的函数表达式为y=ax+a;‎ ‎(3)过E作EF∥y轴交直线l于F,设E(x,ax2﹣2ax﹣3a),得到F(x,ax+a),求出EF=ax2﹣3ax﹣4a,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论;‎ ‎(4)令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a,即ax2﹣3ax﹣4a=0,得到D(4,5a),设P(1,m),①若AD是矩形ADPQ的一条边,②若AD是矩形APDQ的对角线,列方程即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)当y=0时,ax2﹣2ax﹣3a=0,‎ 解得:x1=﹣1,x2=3,‎ ‎∴A(﹣1,0),B(3,0),‎ 对称轴为直线x==1;‎ ‎(2)∵直线l:y=kx+b过A(﹣1,0),‎ ‎∴0=﹣k+b,‎ 即k=b,‎ ‎∴直线l:y=kx+k,‎ ‎∵抛物线与直线l交于点A,D,‎ ‎∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k,‎ 即ax2﹣(2a+k)x﹣3a﹣k=0,‎ ‎∵CD=4AC,‎ ‎∴点D的横坐标为4,‎ ‎∴﹣3﹣=﹣1×4,‎ ‎∴k=a,‎ ‎∴直线l的函数表达式为y=ax+a;‎ ‎(3)过E作EF∥y轴交直线l于F,设E(x,ax2﹣2ax﹣3a),‎ 则F(x,ax+a),EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a,‎ ‎∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF=(ax2﹣3ax﹣4a)(x+1)﹣(ax2﹣3ax﹣4a)x=(ax2﹣3ax﹣4a)=a(x﹣)2﹣a,‎ ‎∴△ACE的面积的最大值=﹣a,‎ ‎∵△ACE的面积的最大值为,‎ ‎∴﹣a=,‎ 解得a=﹣;‎ ‎(4)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形,‎ 令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a,即ax2﹣3ax﹣4a=0,‎ 解得:x1=1,x2=4,‎ ‎∴D(4,5a),‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x=1,‎ 设P(1,m),‎ ‎①若AD是矩形ADPQ的一条边,‎ 则易得Q(﹣4,21a),‎ m=21a+5a=26a,则P(1,26a),‎ ‎∵四边形ADPQ是矩形,‎ ‎∴∠ADP=90°,‎ ‎∴AD2+PD2=AP2,‎ ‎∴52+(5a)2+32+(26﹣5a)2=22+(26a)2,‎ 即a2=,‎ ‎∵a<0,‎ ‎∴a=﹣,‎ ‎∴P(1,﹣);‎ ‎②若AD是矩形APDQ的对角线,‎ 则易得Q(2,﹣3a),‎ m=5a﹣(﹣3a)=8a,则P(1,8a),‎ ‎∵四边形APDQ是矩形,‎ ‎∴∠APD=90°,‎ ‎∴AP2+PD2=AD2,‎ ‎∴(﹣1﹣1)2+(8a)2+(1﹣4)+(8a﹣5a)2=52+(5a)2,‎ 即a2=,‎ ‎∵a<0,‎ ‎∴a=﹣,‎ ‎∴P(1,﹣4),‎ 综上所述,点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形,点P(1,﹣)或(1,﹣4).‎ ‎ ‎ ‎2017年7月2日
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