广东省广州市海珠区中考数学一模试卷

广东省广州市海珠区中考数学一模试卷

‎2017年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分.下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）‎ ‎1．（3分）如果向东走50m记为50m，那么向西走30m记为（　　）‎ A．﹣30m B．|﹣30|m C．﹣（﹣30）m D．m ‎2．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）如图，点A．B．C在⊙D上，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为（　　）‎ A．110° B．140° C．35° D．130°‎ ‎4．（3分）如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．3x2•4x2=12x2 B．（y≠0）‎ C．2（x≥0，y≥0） D．xy2÷（y≠0）‎ ‎6．（3分）下列命题中，假命题是（　　）‎ A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 ‎7．（3分）下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　）‎ A．y= B．y=﹣x+5 C．y=x D．y=（x＜0）‎ ‎8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=1，则AC的长是（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎9．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，顶点为（4，6），则下列说法错误的是（　　）‎ A．b2＞4ac B．ax2+bx+c≤6‎ C．若点（2，m）（5，n）在抛物线上，则m＞n D．8a+b=0‎ ‎10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为，点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分．）‎ ‎11．（3分）在不透明口袋内有形状．大小．质地完全一样的5个小球，其中红球3个，白球2个，随机抽取一个小球是红球的概率是　 　．‎ ‎12．（3分）分解因式：3x2﹣6xy=　 　．‎ ‎13．（3分）某饮料店为了解本店一种罐装饮料上半年的销售情况，随机调查了6天该种饮料的日销售情况，结果如下（单位：罐）：33，28，32，25，24，30，这6天销售量的中位数是　 　．‎ ‎14．（3分）某公司制作毕业纪念册的收费如下：设计费与加工费共1000元，另外每册收取材料费4元，则总收费y与制作纪念册的册数x的函数关系式为　 　．‎ ‎15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC．BC是⊙O的弦，直径DE⊥BC于点M．若点E在优弧上，AC=8，BC=6，则EM=　 　．‎ ‎16．（3分）若一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相同的实数根，则a2﹣b2+5的最小值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）‎ ‎17．（9分）（1）解不等式组 ‎（2）解方程．‎ ‎18．（9分）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．‎ 求证：△ACE≌△ACF．‎ ‎19．（10分）已知A=（﹣）•‎ ‎（1）化简A；‎ ‎（2）若x满足x2﹣2x﹣8=0，求A的值．‎ ‎20．（10分）中央电视台举办的“中国诗词大会”节目受到中学生的广泛关注．某中学为了解该校九年级学生对观看“中国诗词大会”节目的喜爱程度，对该校九年级部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图．在条形图中，从左向右依次为：A 级（非常喜欢），B 级（较喜欢），C 级（一般），D 级（不喜欢）．请结合两幅统计图，回答下列问题：‎ ‎（1）本次抽样调查的样本容量是　 　，表示“D级（不喜欢）”的扇形的圆心角为　 　°；‎ ‎（2）若该校九年级有200名学生．请你估计该年级观看“中国诗词大会”节目B 级（较喜欢）的学生人数；‎ ‎（3）若从本次调查中的A级（非常喜欢）的5名学生中，选出2名去参加广州市中学生诗词大会比赛，已知A级学生中男生有3名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选出的2名学生中至少有1名女生的概率．‎ ‎21．（12分）某小区为更好的提高业主垃圾分类的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需580元，且每个温馨提示牌比垃圾箱便宜40元．‎ ‎（1）问购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？‎ ‎（2）如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，费用不超过8000元，问最多购买垃圾箱多少个？‎ ‎22．（12分）如图，在△ABC 中，∠C=90°‎ ‎（1）利用尺规作∠B 的角平分线交AC于D，以BD为直径作⊙O交AB于E（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）综合应用：在（1）的条件下，连接DE ‎①求证：CD=DE；‎ ‎②若sinA=，AC=6，求AD．‎ ‎23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2=（c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．‎ ‎（1）求一次函数和反比例函数的解析式； ‎ ‎（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；‎ ‎（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎24．（14分）抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线上有一动点P ‎ ‎（1）若A（﹣2，0），C（0，﹣4）‎ ‎①求抛物线的解析式；‎ ‎②在①的情况下，若点P在第四象限运动，点D（0，﹣2），以BD、BP为邻边作平行四边形BDQP，求平行四边形BDQP面积的取值范围．‎ ‎（2）若点P在第一象限运动，且a＜0，连接AP、BP分别交y轴于点E、F，则问是否与a，c有关？若有关，用a，c表示该比值；若无关，求出该比值．‎ ‎25．（14分）如图：AD与⊙O相切于点D，AF经过圆心与圆交于点E、F，连接DE、DF，且EF=6，AD=4．‎ ‎（1）证明：AD2=AE•AF；‎ ‎（2）延长AD到点B，使DB=AD，直径EF上有一动点C，连接CB交DF于点G，连接EG，设∠ACB=α，BG=x，EG=y．‎ ‎①当α=900时，探索EG与BD的大小关系？并说明理由；‎ ‎②当α=1200时，求y与x的关系式，并用x的代数式表示y．‎ ‎　‎ ‎2017年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分.下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）‎ ‎1．（3分）如果向东走50m记为50m，那么向西走30m记为（　　）‎ A．﹣30m B．|﹣30|m C．﹣（﹣30）m D．m ‎【考点】11：正数和负数；14：相反数；15：绝对值．菁优网版权所有 ‎【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．‎ ‎【解答】解：向东走50m记为50m，那么向西走30m记为﹣30m，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】R5：中心对称图形．菁优网版权所有 ‎【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．‎ ‎【解答】解：由中心对称图形的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）如图，点A．B．C在⊙D上，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为（　　）‎ A．110° B．140° C．35° D．130°‎ ‎【考点】M5：圆周角定理．菁优网版权所有 ‎【分析】根据圆周角定理计算即可．‎ ‎【解答】解：由圆周角定理得，∠ADC=2∠ABC=140°，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有 ‎【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形．从几何体上面看，是左边2个，右边1个正方形．‎ ‎【解答】解：从几何体上面看，是左边2个，右边1个正方形．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．3x2•4x2=12x2 B．（y≠0）‎ C．2（x≥0，y≥0） D．xy2÷（y≠0）‎ ‎【考点】78：二次根式的加减法；49：单项式乘单项式；66：约分；6A：分式的乘除法．菁优网版权所有 ‎【分析】分别利用二次根式加减运算法则以及结合分式除法运算法则分别化简求出答案．‎ ‎【解答】解：A、3x2•4x2=12x4，故此选项错误；‎ B、无法化简，故此选项错误；‎ C、2+3无法计算，故此选项错误；‎ D、xy2÷（y≠0），正确，符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及分式的除法运算和单项式乘以单项式等知识，正确掌握运算法则是解题关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）下列命题中，假命题是（　　）‎ A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 ‎【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有 ‎【分析】利用平行四边形及矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．‎ ‎【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题；‎ B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题；‎ C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故错误，是假命题；‎ D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及矩形的判定定理，难度不大．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　）‎ A．y= B．y=﹣x+5 C．y=x D．y=（x＜0）‎ ‎【考点】G4：反比例函数的性质；F5：一次函数的性质；H3：二次函数的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．‎ ‎【解答】解：A、∵函数y=中，k=3＞0，∴在每一象限内y随x增大而减小，故本选项错误；‎ B、∵函数y=﹣x+5中，k=﹣1＜0，∴y随x增大而减小，故本选项错误；‎ C、∵函数y=x中，k=＞0，∴y随x增大而增大，故本选项正确；‎ D、∵函数y=x2（x＜0）中，a=＞0，∴函数的开口向上，在对称轴的左侧y随x增大而减小，故本选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是反比例函数、一次函数和二次函数的性质，熟知它们的增减性是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=1，则AC的长是（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎【考点】‎ KO：含30度角的直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质；KQ：勾股定理．菁优网版权所有 ‎【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质求出AD=CD，推出∠ACD=∠A=30°，求出∠DCB，即可求出BD、BC，根据含30°角的直角三角形性质求出AC即可．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，‎ ‎∴∠ACB=60°，‎ ‎∵DE垂直平分斜边AC，‎ ‎∴AD=CD，‎ ‎∴∠ACD=∠A=30°，‎ ‎∴∠DCB=60°﹣30°=30°，‎ 在Rt△DBC中，∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1，‎ ‎∴CD=2BD=2，‎ 由勾股定理得：BC==，‎ 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=，‎ ‎∴AC=2BC=2，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出BC的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，顶点为（4，6），则下列说法错误的是（　　）‎ A．b2＞4ac B．ax2+bx+c≤6‎ C．若点（2，m）（5，n）在抛物线上，则m＞n D．8a+b=0‎ ‎【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有 ‎【分析】分别根据抛物线与x轴的交点个数、函数的最大值、函数的增减性和对称轴逐一判断可得．‎ ‎【解答】解：A、由抛物线与x轴有2个交点可知b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故此选项正确；‎ B、由抛物线的顶点坐标为（4，6）知函数的最大值为6，则ax2+bx+c≤6，故此选项正确；‎ C、由抛物线对称轴为x=4且开口向下知离对称轴水平距离越大函数值越小，则m＜n，故此选项错误；‎ D、由对称轴x=﹣=4知，b=﹣8a，即8a+b=0，故此选项正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上，a＜0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为，点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；D5：坐标与图形性质．菁优网版权所有 ‎【分析】作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，则此时PA+PC的值最小，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，则此时PA+PC的值最小，‎ ‎∵DP=PA，‎ ‎∴PA+PC=PD+PC=CD，‎ ‎∵B，‎ ‎∴AB=，OA=，‎ ‎∵∠OAB=90°，‎ ‎∴∠B=∠AOB=45°，‎ 由勾股定理得：OB=AD=2，‎ ‎∵C（1，0），‎ ‎∴CD=，‎ 即PA+PC的最小值是 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的内角和定理，勾股定理，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分．）‎ ‎11．（3分）在不透明口袋内有形状．大小．质地完全一样的5个小球，其中红球3个，白球2个，随机抽取一个小球是红球的概率是　　．‎ ‎【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有 ‎【分析】用红球的个数除以总球的个数，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵共有5个小球，其中红球3个，白球2个，‎ ‎∴随机抽取一个小球是红球的概率是；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）分解因式：3x2﹣6xy=　3x（x﹣2y）　．‎ ‎【考点】53：因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有 ‎【分析】直接找出公因式提取进而得出答案．‎ ‎【解答】解：3x2﹣6xy=3x（x﹣2y）．‎ 故答案为：3x（x﹣2y）．‎ ‎【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）某饮料店为了解本店一种罐装饮料上半年的销售情况，随机调查了6天该种饮料的日销售情况，结果如下（单位：罐）：33，28，32，25，24，30，这6天销售量的中位数是　29　．‎ ‎【考点】W4：中位数．菁优网版权所有 ‎【分析】根据中位数的定义解答即可．‎ ‎【解答】解：6个数从小到大分别是24，25，28，30，32，33，最中间的数为第3个数和第4个数，它们是28和30，‎ 所以这6天销售量的中位数是（28+30）÷2=29．‎ 故答案为：29．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）某公司制作毕业纪念册的收费如下：设计费与加工费共1000元，另外每册收取材料费4元，则总收费y与制作纪念册的册数x的函数关系式为　y=4x+1000　．‎ ‎【考点】E3：函数关系式．菁优网版权所有 ‎【分析】根据题意可知：总收费=册数×单价+其余费用，列出函数关系是即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知：y=4x+1000‎ 故答案为：y=4x+1000‎ ‎【点评】本题考查函数关系式，解题的关键是正确理解题意，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC．BC是⊙O的弦，直径DE⊥BC于点M．若点E在优弧上，AC=8，BC=6，则EM=　9　．‎ ‎【考点】M5：圆周角定理；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．菁优网版权所有 ‎【分析】根据垂径定理得到CM=BM，根据相似三角形的性质得到OM=4，根据勾股定理得到AB=10，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：∵直径DE⊥BC于点M．‎ ‎∴CM=BM，‎ ‎∵AO=OB，‎ ‎∴OM∥AC，‎ ‎∴△BOM∽△BAC，‎ ‎∴，‎ ‎∴OM=4，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠C=90°，‎ ‎∴AB=10，‎ ‎∴OE=5，‎ ‎∴EM=9，‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）若一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相同的实数根，则a2﹣b2+5的最小值为　1　．‎ ‎【考点】AA：根的判别式；AE：配方法的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出△=b2﹣4a=0，即b2=4a，将其代入a2﹣b2+5中，利用配方法即可得出a2﹣b2+5的最小值．‎ ‎【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相同的实数根，‎ ‎∴△=b2﹣4a=0，‎ ‎∴b2=4a，‎ ‎∴a2﹣b2+5=a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1≥1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查了跟的判别式以及配方法的应用，由方程有两个相等的实数根找出b2=4a是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）‎ ‎17．（9分）（1）解不等式组 ‎（2）解方程．‎ ‎【考点】B3：解分式方程；CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可；‎ ‎（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 由①得：x＜1，‎ 由②得：x≥﹣3，‎ 则此不等式组的解集为﹣3≤x＜1；‎ ‎（2）去分母得：2（x+1）=x﹣3，‎ 去括号得：2x+2=x﹣3，‎ 解得：x=﹣5，‎ 检验：当x=﹣5时，（x+1）（x﹣3）≠0，‎ 则x=﹣5为原方程的解．‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（9分）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．‎ 求证：△ACE≌△ACF．‎ ‎【考点】L8：菱形的性质；KB：全等三角形的判定．菁优网版权所有 ‎【分析】根据菱形对角线的性质，可知一条对角线平分一组对角，即∠FAC=∠EAC，再根据边角边即可证明△ACE≌△ACF．‎ ‎【解答】证明：∵AC是菱形ABCD的对角线，‎ ‎∴∠FAC=∠EAC，‎ 在△ACE和△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACE≌△ACF（SAS）．‎ ‎【点评】本题考查了菱形对角线的性质即一条对角线平分一组对角，以及全等三角形的判定方法，难度适中．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）已知A=（﹣）•‎ ‎（1）化简A；‎ ‎（2）若x满足x2﹣2x﹣8=0，求A的值．‎ ‎【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据分式的运算法则化简；‎ ‎（2）将x的值求出后，然后代入求值即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）‎ ‎（2）‎ 要使A有意义，x≠0，x+2≠0，x﹣2≠0‎ ‎∴x≠0，x≠﹣2，x≠2‎ 当x=4时，‎ ‎【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）中央电视台举办的“中国诗词大会”节目受到中学生的广泛关注．某中学为了解该校九年级学生对观看“中国诗词大会”节目的喜爱程度，对该校九年级部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图．在条形图中，从左向右依次为：A 级（非常喜欢），B 级（较喜欢），C 级（一般），D 级（不喜欢）．请结合两幅统计图，回答下列问题：‎ ‎（1）本次抽样调查的样本容量是　50　，表示“D级（不喜欢）”的扇形的圆心角为　21.6　°；‎ ‎（2）若该校九年级有200名学生．请你估计该年级观看“中国诗词大会”节目B 级（较喜欢）的学生人数；‎ ‎（3）若从本次调查中的A级（非常喜欢）的5名学生中，选出2名去参加广州市中学生诗词大会比赛，已知A级学生中男生有3名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选出的2名学生中至少有1名女生的概率．‎ ‎【考点】X6：列表法与树状图法；V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）用C等级人数除以其百分比可得总人数，用D等级人数占总人数的比例乘以360度可得；‎ ‎（2）用样本中B等级所占比例乘以总人数可得答案；‎ ‎（3）画树状图列出所有等可能结果，利用概率公式求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是17÷34%=50，‎ 表示“D级（不喜欢）”的扇形的圆心角为×360°=21.6°，‎ 故答案为：50，21.6；‎ ‎（2），‎ 答：估计该年级观看“中国诗词大会”节目B 级（较喜欢）的学生人数为100．‎ ‎（3）画树状图如下：‎ 由树状图可以看出，抽取2名学生，共有20种等可能的结果，其中至少有1名女生的结果有14种，‎ ‎∴P（2名学生中至少有1名女生）==．‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，也考查了列表法或画树状图法求概率．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）某小区为更好的提高业主垃圾分类的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需580元，且每个温馨提示牌比垃圾箱便宜40元．‎ ‎（1）问购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？‎ ‎（2）如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，费用不超过8000元，问最多购买垃圾箱多少个？‎ ‎【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据题意可得方程组，根据解方程组，可得答案；‎ ‎（2）根据费用不超过8000元，可得不等式，根据解不等式，可得答案．‎ ‎【解答】‎ ‎（1）解：设购买1个温馨提示牌需要x元，购买1个垃圾箱需要y元，依题意得 ‎，‎ 解得：‎ 答：购买1个温馨提示牌需要60元，购买1个垃圾箱需要100元．‎ ‎（2）解：设购买垃圾箱m个，则购买温馨提示牌（100﹣m）个，依题意得 ‎60（100﹣m）+100m≤8000，‎ 解得m≤50，‎ 答：最多购买垃圾箱50个．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意得出不等关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）如图，在△ABC 中，∠C=90°‎ ‎（1）利用尺规作∠B 的角平分线交AC于D，以BD为直径作⊙O交AB于E（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）综合应用：在（1）的条件下，连接DE ‎①求证：CD=DE；‎ ‎②若sinA=，AC=6，求AD．‎ ‎【考点】N3：作图—复杂作图；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据题意作出图形即可；‎ ‎（2）有BD为⊙O的直径；得到∠BED=90°，根据角平分线的性质即可得到结论；‎ ‎（3）解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，‎ ‎（2）∵BD为⊙O的直径；‎ ‎∴∠BED=90°，‎ 又∵∠C=90°；‎ ‎∴DE⊥AB，DC⊥BC；‎ 又∵BD平分∠ABC；‎ ‎∴DE=DC；‎ ‎（3）在Rt△ADE中，sinA=‎ ‎∵sinA=‎ ‎∴=‎ 设DC=DE=3x，AD=5x ‎∵AC=AD+DC ‎∴3x+5x=6x=‎ AD=5x=5×=‎ ‎【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2=（c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．‎ ‎（1）求一次函数和反比例函数的解析式； ‎ ‎（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；‎ ‎（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】GB：反比例函数综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；‎ ‎（2）利用图象直接得出结论；‎ ‎（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 把B（3，2）代入得：k=6‎ ‎∴反比例函数解析式为：‎ 把C（﹣1，n）代入，得：‎ n=﹣6‎ ‎∴C（﹣1，﹣6）‎ 把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得：‎ 所以一次函数解析式为y1=2x﹣4‎ ‎（2）‎ 由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．‎ ‎（3）y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形 如图，‎ 过B作BP1⊥y轴于P1，‎ ‎∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形 此时，P1（0，2）‎ 过B作BP2⊥AB交y轴于P2‎ ‎∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形 在Rt△P1AB中，‎ 在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB ‎∴‎ ‎∴P2（0，）‎ 综上所述，P1（0，2）、P2（0，）．‎ ‎【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，利用图象确定函数值满足条件的自变量的范围，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解（1）的关键是待定系数法的应用，解（2）的关键是利用函数图象确定x的范围，解（3）的关键是分类讨论．‎ ‎　‎ ‎24．（14分）抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线上有一动点P ‎ ‎（1）若A（﹣2，0），C（0，﹣4）‎ ‎①求抛物线的解析式；‎ ‎②在①的情况下，若点P在第四象限运动，点D（0，﹣2），以BD、BP为邻边作平行四边形BDQP，求平行四边形BDQP面积的取值范围．‎ ‎（2）若点P在第一象限运动，且a＜0，连接AP、BP分别交y轴于点E、F，则问是否与a，c有关？若有关，用a，c表示该比值；若无关，求出该比值．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）①由A、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；②连接BD、OP，设出P点坐标，利用S△BDP=S△ODP+S△OBP﹣S△BOD可用x表示出四边形BDQP的面积，借助x的取值范围，可求得四边形BDQP面积的取值范围；‎ ‎（2）过点P作PG⊥AB，设A（x1，0），B（x2，0），P（x，y），由△AOE∽△AGP、△BGP∽△BOF，利用相似三角形的性质和一元二次方程根与系数的关系可整理得到=2，再利用三角形的面积可得的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）①∵A（﹣2，0），C（0，﹣4）在抛物线上，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣4；‎ ‎②如图1，连接DB、OP，设P（x，x2﹣4），‎ ‎∵A（﹣2，0），对称轴为y轴，‎ ‎∴B（2，0），‎ ‎∴S△BDP=S△ODP+S△OBP﹣S△BOD=OD•|x|+OB•|x2﹣4|﹣OD•OB=x+4﹣x2﹣2=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∵点P在第四象限运动，‎ ‎∴0＜x＜2，‎ ‎∴当x=时，S△BDP有最大值，当x=2时，S△BDP有最小值0，‎ ‎∴0＜S△BDP≤，‎ ‎∵四边形BDQC为平行四边形，‎ ‎∴S四边形BDQP=2S△BDP，‎ ‎∴0＜S四边形BDQP≤；‎ ‎（2）如图2，过点P作PG⊥AB，设A（x1，0），B（x2，0），P（x，y），‎ ‎∵PG∥y轴，‎ ‎∴△AOE∽△AGP，△BGP∽△BOF，‎ ‎∴=，=，‎ ‎∴=，=，‎ ‎∴+=+==，‎ 当y=0时，可得ax2+c=0，‎ ‎∴x1+x2=0，x1x2=，‎ ‎∴+===，‎ ‎∴OE+OF=2c，‎ ‎∴==2，‎ ‎∴====1，‎ ‎∴的值与a，c无关，比值为1．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、三角形的面积、一元二次方程根与系数的关系、相似三角形的判定和性质、方程思想及转化思想等知识．在（1）②中用x表示出△BDP的面积是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质求得OE+OF=2c是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）如图：AD与⊙O相切于点D，AF经过圆心与圆交于点E、F，连接DE、DF，且EF=6，AD=4．‎ ‎（1）证明：AD2=AE•AF；‎ ‎（2）延长AD到点B，使DB=AD，直径EF上有一动点C，连接CB交DF于点G，连接EG，设∠ACB=α，BG=x，EG=y．‎ ‎①当α=900时，探索EG与BD的大小关系？并说明理由；‎ ‎②当α=1200时，求y与x的关系式，并用x的代数式表示y．‎ ‎【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）直接利用切线的性质得出∠ADE+∠EDO=90°，再利用圆周角定理得出∠ADE=∠ODF，结合相似三角形的判定与性质得出答案；‎ ‎（2）①利用直角三角形的性质得出点C、E、D、G在以点H为圆心，EG为直径的圆上，进而得出EG与BD的大小关系；‎ ‎②首先得出BQ=1，PQ=，GQ=BG﹣BQ=x﹣1，进而利用勾股定理求出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD ‎∵AD是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥AD，即∠ADE+∠EDO=90°，‎ ‎∵EF是直径，‎ ‎∴∠EDF=90°，即∠EDO+∠ODF=90°，‎ ‎∴∠ADE=∠ODF，‎ ‎∵OD=OF，‎ ‎∴∠ODF=∠OFD，‎ ‎∴∠ADE=∠OFD，‎ ‎∴△ADE∽△AFD，‎ ‎∴，‎ 即AD2=AE•AF；‎ ‎（2）解：①当α=90°时，EG＞BD 理由如下：如图2，取EG的中点H，连接CH、DH、CD，‎ ‎∵Rt△EDG、Rt△ECG，点H为EG的中点，‎ ‎∴CH=EH=GH=DH=EG，‎ ‎∴点C、E、D、G在以点H为圆心，EG为直径的圆上，‎ ‎∴EG＞CD，‎ ‎∵Rt△ABC，DB=AD，‎ ‎∴CD=DB=AD=AB，‎ ‎∴EG＞BD；‎ ‎②当α=120°时，‎ 如图3，将△ADE绕着点D旋转180°，得到△BDP，连接GP，过点P作PQ⊥BG，‎ 由（1）AD2=AE•AF得：16=AE•（AE+6），‎ 解得：AE=2或AE=﹣8（舍去），‎ ‎∵△ADE≌△BDP ‎∴ED=DP，AE=BP=2，∠A=∠DBP，‎ ‎∵∠EDF=90°，‎ ‎∴DG垂直平分EP，‎ ‎∴GE=GP=y，‎ ‎∵∠A+∠ABC=180°﹣120°=60°，‎ ‎∴∠DBP+∠ABC=60°，即∠GBP=60°，‎ 在Rt△BPQ中，∠GBP=60°，BP=2，‎ ‎∴BQ=1，PQ=，‎ ‎∴GQ=BG﹣BQ=x﹣1，‎ 在Rt△GPQ中，PQ=，GQ=x﹣1，GP=y，‎ ‎∴PG2=GQ2+PQ2‎ 即y2=（x﹣1）2+（）2，‎ 故y=．‎ ‎【点评】此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质以及勾股定理、直角三角形的性质等知识，正确表示出GQ的长是解题关键．‎ ‎　‎