济南市中考数学试题及答案

济南市中考数学试题及答案

1 山东省济南市 2018 年学业水平考试数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 1．（2018 济南，1，4 分）4 的算术平方根是（ ） A．2 B．－2 C．±2 D． 2 2．（2018 济南，2，4 分）如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 3．（2018 济南，3，4 分）2018 年 1 月，“墨子号”量子卫星实现了距离达 7600 千米的洲际 量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力．数字 7600 用科学 记数法表示为（ ） A．0.76×104 B．7.6×103 C．7.6×104 D．76×102 4．（2018 济南，4，4 分）“瓦当”是中国古建筑装饰××头的附件，是中国特有的文化艺术遗 产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 5．（2018 济南，5，4 分）如图，AF 是∠BAC 的平分线，DF∥AC，若∠1＝35°，则∠BAF 的度数为（ ） A．17.5° B．35° C．55° D．70° 6．（2018 济南，6，4 分）下列运算正确的是（ ） A．a2＋2a＝3a3 B．(－2a3)2＝4a5 C．(a＋2)(a－1)＝a2＋a－2 D．(a＋b)2＝a2＋b2 7．（2018 济南，7，4 分）关于 x 的方程 3x－2m＝1 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ） A．m＜－1 2 B．m＞－1 2 C．m＞1 2 D．m＜1 2 8．（2018 济南，8，4 分）在反比例函数 y＝－2 x图象上有三个点 A（x1，y1）、B（x2，y2）、 C（x3，y3），若 x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2 正面 1 A B C D F 2 9．（2018 济南，9，4 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上， 将△ABC 绕点 P 顺时针方向旋转 90°，得到△A′B′C′，则点 P 的坐标为（ ） A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1） 10．（2018 济南，10，4 分）下面的统计图大致反应了我国 2012 年至 2017 年人均阅读量的 情况．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ） A．与 2016 年相比，2017 年我国电子书人均阅读量有所降低 B．2012 年至 2017 年，我国纸质书的人均阅读量的中位数是 4.57 C．从 2014 年到 2017 年，我国纸质书的人均阅读量逐年增长 D．2013 年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的 1.8 倍还多 11．（2018 济南，11，4 分）如图，一个扇形纸片的圆心角为 90°，半径为 6．如图 2，将这 张扇形纸片折叠，使点 A 与点 O 恰好重合，折痕为 CD，图中阴影为重合部分，则阴 影部分的面积为（ ） A．6π－9 2 3 B．6π－9 3 C．12π－9 2 3 D．9π 4 x y –1–2–3–4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 B C A A' C' B' O 阅读量/本 年份 电子书 纸质书 201720162015201420132012O 6 2 3 4 5 4.39 4.77 4.56 4.58 4.65 4.66 2.35 2.48 3.22 3.26 3.21 3.12 A B C D O(A) A BO 3 12．（2018 济南，11，4 分）若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把 点 M 叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，－2）都是“整点”．抛物线 y＝mx2－4mx＋4m －2(m＞0)与 x 轴交于点 A、B 两点，若该抛物线在 A、B 之间的部分与线段 AB 所围成 的区域（包括边界）恰有七个整点，则 m 的取值范围是（ ） A．1 2≤m＜1 B．1 2＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13．（2018 济南，13，4 分）分解因式：m2－4＝____________； 14．（2018 济南，14，4 分）在不透明的盒子中装有 5 个黑色棋子和若于个白色做子，每个 棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑包棋子的概率是1 4，则白色棋子的个 数是＝____________； 15．（2018 济南，15，4 分）一个正多边形的每个内角等于 108°，则它的边数是＝ ____________； 16．（2018 济南，16，4 分）若代数式x－2 x－4的值是 2，则 x＝____________； 17．（2018 济南，17，4 分）A、B 两地相距 20km，甲乙两人沿同一条路线从 A 地到 B 地．甲先出发，匀速行驶，甲出发 1 小时后乙再出发，乙以 2km/h 的速度度匀速行驶 1 小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开 A 地的距离 s （km）与时间 t（h）的关系如图所示，则甲出发____________小时后和乙相遇． 18．（2018 济南，18，4 分）如图，矩形 EFGH 的四个顶点分别在矩形 ABCD 的各条边上， AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△ DHE；③tan∠BFG＝1 2；④矩形 EFGH 的面积是 4 3．其中一定成立的是 ____________．（把所有正确结论的序号填在横 线上） 三、解答题（本大题共 9 小题，共 78 分） 19．（2018 济南，19，6 分） 计算：2－1＋│－5│－sin30°＋(π－1)0． y/km t/h 乙 甲 5 20 O 1 4 H D CG EA B F 4 20．（2018 济南，20，6 分） 解不等式组：{3x＋1＜2x＋3 ① 2x＞ ② ) 21．（2018 济南，21，6 分） 如图，在□ABCD 中，连接 BD，E 是 DA 延长线上的点，F 是 BC 延长线上的点，且 AE ＝CF，连接 EF 交 BD 于点 O． 求证：OB＝OD． 22．（2018 济南，22，8 分） 本学期学校开展以“感受中华传统买德”为主题的研学部动，组织 150 名学生多观历史 好物馆和民俗晨览馆，每一名学生只能参加其中全顺活动，共支付票款 2000 元，票价信息 如下： （1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？ （2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？ O FC E D B A 地点 票价 历史博物馆 10 元/人 民俗展览馆 20 元/人 5 23．（2018 济南，23，8 分） 如图 AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点 A，BP 与⊙O 相较于点 D，C 为⊙O 上的 一点，分别连接 CB、CD，∠BCD＝60°． (1)求∠ABD 的度数； (2)若 AB＝6，求 PD 的长度． 24．（2018 济南，24，10 分） 某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这 四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结 果整理后绘制例图 1 、图 2 两幅均不完整的统计图表． 请您根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计表中的 a＝________，b＝_______； P D O A B C 25%A B C D 0.45 0.25 1 b 合计 频率频数（人数）校本课程 A B C D 36 16 8 a 最受欢迎的校本课程问卷调查 您好！这是一份关于您最喜欢的校本课程 问卷调查表，请在表格中选择一个（只能选一 个）您最喜欢的课程选项，在其后空格内打“√”， 非常感谢您的合作． 陶艺制作 诗歌欣赏 数学史 “3D”打印 D C B A 校本课程选项 6 （2）“D”对应扇形的圆心角为_______度； （3）根据调查结果，请您估计该校 2000 名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数； （4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一 门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率． 25．（2018 济南，25，10 分） 如图，直线 y＝ax＋2 与 x 轴交于点 A(1，0)，与 y 轴交于点 B(0，b)．将线段 AB 先向 右平移 1 个单位长度、再向上平移 t（t＞0）个单位长度，得到对应线段 CD，反比例函数 y ＝k x（x＞0）的图象恰好经过 C、D 两点，连接 AC、BD． (1)求 a 和 b 的值； (2)求反比例函数的表达式及四边形 ABDC 的面积； (3)点 N 在 x 轴正半轴上，点 M 是反比例函数 y＝k x（x＞0）的图象上的一个点，若 △CMN 是以 CM 为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点 M 的坐标． 第 25 题图 第 25 题备用图 x y D CB AO x y D CB AO 7 26．（2018 济南，26，12 分） 在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以 CA 为边在∠ACB 的另一侧作∠ACM＝∠ ACB，点 D 为射线 BC 上任意一点，在射线 CM 上截取 CE＝BD，连接 AD、DE、AE． （1）如图 1，当点 D 落在线段 BC 的延长线上时，直接写出∠ADE 的度数； （2）如图 2，当点 D 落在线段 BC（不含边界）上时，AC 与 DE 交于点 F，请问（1） 中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若 AB＝6，求 CF 的最大值． 第 26 题图 1 第 26 题图 2 M M F E C E C A B A B DD 8 27．（2018 济南，27，12 分） 如图 1，抛物线 y＝ax2＋bx＋4 过 A(2，0)、B(4，0)两点，交 y 轴于点 C，过点 C 作 x 轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为 D，连接 AC、BC．点 P 是该抛物线上一动 点，设点 P 的横坐标为 m（m＞4）． (1)求该抛物线的表达式和∠ACB 的正切值； (2)如图 2，若∠ACP＝45°，求 m 的值； (3)如图 3，过点 A、P 的直线与 y 轴于点 N，过点 P 作 PM⊥CD，垂足为 M，直线 MN 与 x 轴交于点 Q，试判断四边形 ADMQ 的形状，并说明理由． 第 27 题图 1 第 27 题图 2 第 27 题图 3 x y x y x y Q M N D A B C O P D A B C O D A B C O P 9 山东省济南市 2018 年学业水平考试数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 1．（2018 济南，1，4 分）4 的算术平方根是（ ） A．2 B．－2 C．±2 D． 2 【答案】A 2．（2018 济南，2，4 分）如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 3．（2018 济南，3，4 分）2018 年 1 月，“墨子号”量子卫星实现了距离达 7600 千米的洲际 量子密钥分发，这标志着“墨子号”具备了洲际量子保密通信的能力．数字 7600 用科学 记数法表示为（ ） A．0.76×104 B．7.6×103 C．7.6×104 D．76×102 【答案】B 4．（2018 济南，4，4 分）“瓦当”是中国古建筑装饰××头的附件，是中国特有的文化艺术遗 产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【答案】D 5．（2018 济南，5，4 分）如图，AF 是∠BAC 的平分线，DF∥AC，若∠1＝35°，则∠BAF 的度数为（ ） A．17.5° B．35° C．55° D．70° 【答案】B 6．（2018 济南，6，4 分）下列运算正确的是（ ） A．a2＋2a＝3a3 B．(－2a3)2＝4a5 正面 1 A B C D F 10 C．(a＋2)(a－1)＝a2＋a－2 D．(a＋b)2＝a2＋b2 【答案】C 7．（2018 济南，7，4 分）关于 x 的方程 3x－2m＝1 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ） A．m＜－1 2 B．m＞－1 2 C．m＞1 2 D．m＜1 2 【答案】B 8．（2018 济南，8，4 分）在反比例函数 y＝－2 x图象上有三个点 A（x1，y1）、B（x2，y2）、 C（x3，y3），若 x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2 【答案】C 9．（2018 济南，9，4 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上， 将△ABC 绕点 P 顺时针方向旋转 90°，得到△A′B′C′，则点 P 的坐标为（ ） A．（0，4） B．（1，1） C．（1，2） D．（2，1） 【答案】C 10．（2018 济南，10，4 分）下面的统计图大致反应了我国 2012 年至 2017 年人均阅读量的 情况．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ） A．与 2016 年相比，2017 年我国电子书人均阅读量有所降低 B．2012 年至 2017 年，我国纸质书的人均阅读量的中位数是 4.57 C．从 2014 年到 2017 年，我国纸质书的人均阅读量逐年增长 D．2013 年我国纸质书的人均阅读量比电子书的人均阅读量的 1.8 倍还多 x y –1–2–3–4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 B C A A' C' B' O 11 【答案】B 11．（2018 济南，11，4 分）如图，一个扇形纸片的圆心角为 90°，半径为 6．如图 2，将这 张扇形纸片折叠，使点 A 与点 O 恰好重合，折痕为 CD，图中阴影为重合部分，则阴 影部分的面积为（ ） A．6π－9 2 3 B．6π－9 3 C．12π－9 2 3 D．9π 4 【答案】A 12．（2018 济南，11，4 分）若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把 点 M 叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，－2）都是“整点”．抛物线 y＝mx2－4mx＋ 4m－2(m＞0)与 x 轴交于点 A、B 两点，若该抛物线在 A、B 之间的部分与线段 AB 所围 成的区域（包括边界）恰有七个整点，则 m 的取值范围是（ ） A．1 2≤m＜1 B．1 2＜m≤1 C．1＜m≤2 D．1＜m＜2 【答案】B 【解析】 解：∵y＝mx2－4mx＋4m－2＝m(x－2)2－2 且 m＞0, ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，－2)，对称轴是直线 x＝2． 由此可知点(2，0)、点(2，－1)、顶点(2，－2)符合题意． 方法一： ①当该抛物线经过点（1，－1）和（3，－1）时（如答案图 1），这两个点符合题 意． 将（1，－1）代入 y＝mx2－4mx＋4m－2 得到－1＝m－4m＋4m－2．解得 m＝1． 此时抛物线解析式为 y＝x2－4x＋2． 阅读量/本 年份 电子书 纸质书 201720162015201420132012O 6 2 3 4 5 4.39 4.77 4.56 4.58 4.65 4.66 2.35 2.48 3.22 3.26 3.21 3.12 A B C D O(A) A BO 12 由 y＝0 得 x2－4x＋2＝0．解得 x1＝2－ 2≈0.6，x2＝2＋ 2≈3.4． ∴x 轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意． 则当 m＝1 时，恰好有 (1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，－1)、(3，－1)、(2，－1)、(2，－ 2)这 7 个整点符合题意． ∴m≤1．【注：m 的值越大，抛物线的开口越小，m 的值越小，抛物线的开口越大，】 答案图 1(m＝1 时) 答案图 2( m＝1 2时) ②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图 2），这两个点符合题意． 此时 x 轴上的点 (1，0)、(2，0)、(3，0)也符合题意． 将（0，0）代入 y＝mx2－4mx＋4m－2 得到 0＝0－4m＋0－2．解得 m＝1 2． 此时抛物线解析式为 y＝1 2x2－2x． 当 x＝1 时，得 y＝1 2×1－2×1＝－3 2＜－1．∴点(1，－1)符合题意． 当 x＝3 时，得 y＝1 2×9－2×3＝－3 2＜－1．∴点(3，－1) 符合题意． 综上可知：当 m＝1 2时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，－1)、 (3，－1)、(2，－2)、(2，－1)都符合题意，共有 9 个整点符合题意， ∴m＝1 2不符合题． ∴m＞1 2． 综合①②可得：当1 2＜m≤1 时，该函数的图象与 x 轴所围城的区域（含边界）内有 七个整点，故答案选 B． 方法二：根据题目提供的选项，分别选取 m＝1 2，m＝1，m＝2，依次加以验证． ①当 m＝1 2时（如答案图 3），得 y＝1 2x2－2x． 由 y＝0 得 1 2x2－2x＝0．解得 x1＝0，x2＝4． ∴x 轴上的点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)符合题意． x y –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 1 2 O x y –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 1 2 O 13 当 x＝1 时，得 y＝1 2×1－2×1＝－3 2＜－1．∴点(1，－1)符合题意． 当 x＝3 时，得 y＝1 2×9－2×3＝－3 2＜－1．∴点(3，－1) 符合题意． 综上可知：当 m＝1 2时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，－1)、 (3，－1)、(2，－2)、(2，－1)都符合题意，共有 9 个整点符合题意， ∴m＝1 2不符合题．∴选项 A 不正确． 答案图 3( m＝1 2时) 答案图 4(m＝1 时) 答案图 5(m＝2 时) ②当 m＝1 时（如答案图 4），得 y＝x2－4x＋2． 由 y＝0 得 x2－4x＋2＝0．解得 x1＝2－ 2≈0.6，x2＝2＋ 2≈3.4． ∴x 轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意． 当 x＝1 时，得 y＝1－4×1＋2＝－1．∴点(1，－1)符合题意． 当 x＝3 时，得 y＝9－4×3＋2＝－1．∴点(3，－1) 符合题意． 综上可知：当 m＝1 时，点(1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，－1)、(3，－1)、(2，－ 2) 、(2，－1)都符合题意，共有 7 个整点符合题意， ∴m＝1 符合题． ∴选项 B 正确． ③当 m＝2 时（如答案图 5），得 y＝2x2－8x＋6． 由 y＝0 得 2x2－8x＋6＝0．解得 x1＝1，x2＝3． ∴x 轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意． 综上可知：当 m＝2 时，点(1，0)、(2，0)、(3，0)、(2，－2) 、(2，－1)都符合 题意，共有 5 个整点符合题意， ∴m＝2 不符合题． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 13．（2018 济南，13，4 分）分解因式：m2－4＝____________； 【答案】(m＋2)(m－2) 14．（2018 济南，14，4 分）在不透明的盒子中装有 5 个黑色棋子和若于个白色做子，每个 棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑包棋子的概率是1 4，则白色棋子的个 数是＝____________； 【答案】15 15．（2018 济南，15，4 分）一个正多边形的每个内角等于 108°，则它的边数是＝ x y x y x y –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 1 2 –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 1 2 –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 1 2 O OO 14 ____________； 【答案】5 16．（2018 济南，16，4 分）若代数式x－2 x－4的值是 2，则 x＝____________； 【答案】6 17．（2018 济南，17，4 分）A、B 两地相距 20km，甲乙两人沿同一条路线从 A 地到 B 地．甲先出发，匀速行驶，甲出发 1 小时后乙再出发，乙以 2km/h 的速度度匀速行驶 1 小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开 A 地的距离 s （km）与时间 t（h）的关系如图所示，则甲出发____________小时后和乙相遇． 【答案】16 5 ． 【解析】y 甲＝4t(0≤t≤4)；y 乙＝{2(t－1)(1 ≤ t ≤ 2) 9(t－2)t(2＜t ≤ 4))； 由方程组{y＝4t y＝9(t－2))解得{t＝ y＝ ). ∴答案为16 5 ． 18．（2018 济南，18，4 分）如图，矩形 EFGH 的四个顶点分别在矩形 ABCD 的各条边上， AB＝EF，FG＝2，GC＝3．有以下四个结论：①∠BGF＝∠CHG；②△BFG≌△DHE；③ tan∠BFG＝1 2；④矩形 EFGH 的面积是 4 3．其中一定成立的是____________．（把所 有正确结论的序号填在横线上） 【答案】①②④． 【解析】设 EH＝AB＝a，则 CD＝GH＝a． ∵∠FGH＝90°，∴∠BGF＋∠CGH＝90°. 又∵∠CGH＋∠CHG＝90°, ∴∠BGF＝∠CHG…………………………………故①正确． y/km t/h 乙 甲 5 20 O 1 4 H D CG EA B F 15 同理可得∠DEH＝∠CHG. ∴∠BGF＝∠DEH. 又∵∠B＝∠D＝90°，FG＝EH, ∴△BFG≌△DHE…………………………………故②正确． 同理可得△AFE≌△CHG.∴AF＝CH. 易得△BFG∽△CGH.∴BF CG＝FG GH.∴BF 3 ＝2 a.∴BF＝6 a. ∴AF＝AB－BF＝a－6 a.∴CH＝AF＝a－6 a. 在 Rt△CGH 中，∵CG2＋CH2＝GH2， ∴32＋( a－6 a)2＝a2.解得 a＝2 3.∴GH＝2 3.∴BF＝ a－6 a＝ 3. 在 Rt△BFG 中，∵cos∠BFG＝BF FG＝2，∴∠BFG＝30°. ∴tan∠BFG＝tan30°＝3.…………………………………故③正确． 矩形 EFGH 的面积＝FG×GH＝2×2 3＝4 3…………………………………故④正确． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 78 分） 19．（2018 济南，19，6 分） 计算：2－1＋│－5│－sin30°＋(π－1)0． 解：2－1＋│－5│－sin30°＋(π－1)0． ＝1 2＋5－1 2＋1 ＝6 20．（2018 济南，20，6 分） 解不等式组：{3x＋1＜2x＋3 ① 2x＞ ② ) 解：由① ，得 3x－2x＜3－1. ∴x＜2. 由② ，得 4x＞3x－1. ∴x＞－1. ∴不等式组的解集为－1＜x＜2. 21．（2018 济南，21，6 分） 如图，在□ABCD 中，连接 BD，E 是 DA 延长线上的点，F 是 BC 延长线上的点，且 AE ＝CF，连接 EF 交 BD 于点 O． 求证：OB＝OD． 16 证明：∵□ABCD 中， ∴AD＝BC,AD∥BC. ∴∠ADB＝∠CBD. 又∵AE＝CF， ∴AE＋AD＝CF＋BC. ∴ED＝FB. 又∵∠EOD＝∠FOB, ∴△EOD≌△FOB. ∴OB＝OD． 22．（2018 济南，22，8 分） 本学期学校开展以“感受中华传统买德”为主题的研学部动，组织 150 名学生多观历史 好物馆和民俗晨览馆，每一名学生只能参加其中全顺活动，共支付票款 2000 元，票价信息 如下： （1）请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？ （2）若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元？ 解：（1）设参观历史博物馆的有 x 人，则参观民俗展览馆的有（150－x）人，依题意，得 10x＋20(150－x)2000. 10x＋3000－20x＝2000. －10x＝－1000. ∴x＝100. ∴150－x＝50. 答：参观历史博物馆的有 100 人，则参观民俗展览馆的有 50 人． （2）2000－150×10＝500（元）. 答：若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款 500 元． 23．（2018 济南，23，8 分） 如图 AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点 A，BP 与⊙O 相较于点 D，C 为⊙O 上的 一点，分别连接 CB、CD，∠BCD＝60°． (1)求∠ABD 的度数； (2)若 AB＝6，求 PD 的长度． O FC E D B A 地点 票价 历史博物馆 10 元/人 民俗展览馆 20 元/人 17 【解析】 解：(1)方法一：连接 AD（如答案图 1 所示）． ∵BA 是⊙O 直径，∴∠BDA＝90°． ∵BD＝BD，∴∠BAD＝∠C＝60°． ∴∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－60°＝30°． 第 23 题答案图 1 第 23 题答案图 2 方法二：连接 DA、OD（如答案图 2 所示），则∠BOD＝2∠C＝2×60°＝120°． ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝1 2(180°－120°)＝30°． 即∠ABD＝30°． (2)∵AP 是⊙O 的切线，∴∠BAP＝90°． 在 Rt△BAD 中，∵∠ABD＝30°， ∴DA＝1 2BA＝1 2×6＝3．∴BD＝ 3DA＝3 3． 在 Rt△BAP 中，∵cos∠ABD＝AB PB，∴cos30°＝ 6 PB＝2．∴BP＝4 3． ∴PD＝BP－BD＝4 3－3 3＝ 3． 24．（2018 济南，24，10 分） 某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这 四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结 果整理后绘制例图 1 、图 2 两幅均不完整的统计图表． P D O A B C P D O A B C P D O B A C 18 请您根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计表中的 a＝________，b＝_______； （2）“D”对应扇形的圆心角为_______度； （3）根据调查结果，请您估计该校 2000 名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数； （4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一 门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率． 解：（1）a＝36÷0.45＝80. b＝16÷80＝0.20. （2）“D”对应扇形的圆心角的度数为： 8÷80×360°＝36°. （3）估计该校 2000 名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为： 2000×0.25＝500（人）． （4）列表格如下： A B C A A,A B,A C,A B A,B B,B C,B C A,C B,C C,C 共有 9 种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有 3 种，所以 两人恰好选中同一门校本课程的概率为：3 9＝1 3． 25．（2018 济南，25，10 分） 如图，直线 y＝ax＋2 与 x 轴交于点 A(1，0)，与 y 轴交于点 B(0，b)．将线段 AB 先向 右平移 1 个单位长度、再向上平移 t（t＞0）个单位长度，得到对应线段 CD，反比例函数 y 25%A B C D 0.45 0.25 1 b 合计 频率频数（人数）校本课程 A B C D 36 16 8 a 最受欢迎的校本课程问卷调查 您好！这是一份关于您最喜欢的校本课程 问卷调查表，请在表格中选择一个（只能选一 个）您最喜欢的课程选项，在其后空格内打“√”， 非常感谢您的合作． 陶艺制作 诗歌欣赏 数学史 “3D”打印 D C B A 校本课程选项 19 ＝k x（x＞0）的图象恰好经过 C、D 两点，连接 AC、BD． (1)求 a 和 b 的值； (2)求反比例函数的表达式及四边形 ABDC 的面积； (3)点 N 在 x 轴正半轴上，点 M 是反比例函数 y＝k x（x＞0）的图象上的一个点，若 △CMN 是以 CM 为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点 M 的坐标． 第 25 题图 第 25 题备用图 【解析】 解：(1)将点 A(1，0)代入 y＝ax＋2，得 0＝a＋2．∴a＝－2． ∴直线的解析式为 y＝－2x＋2． 将 x＝0 代入上式，得 y＝2．∴b＝2．∴点 B(0，2)． (2)由平移可得：点 C(2，t)、D(1，2＋t)． 将点 C(2，t)、D(1，2＋t)分别代入 y＝k x，得 {t＝ 2＋t＝)．解得{k＝4 t＝2 )． ∴反比例函数的解析式为 y＝4 x，点 C(2，2)、点 D(1，4)． 分别连接 BC、AD（如答案图 1）． ∵B(0，2)、C(2，2)，∴BC∥x 轴，BC＝2． ∵A(1，0)、D(1，4)，∴AD⊥x 轴，AD＝4． ∴BC⊥AD． ∴S 四边形 ABDC＝1 2×BC×AD＝1 2×2×4＝4． x y D CB AO x y D CB AO 20 第 25 题答案图 1 (3)①当∠NCM＝90°、CM＝CN 时（如答案图 2 所示），过点 C 作直线 l∥x 轴，交 y 轴于点 G．过点 M 作 MF⊥直线 l 于点 F，交 x 轴于点 H．过点 N 作 NE⊥直线 l 于点 E． 设点 N(m，0)（其中 m＞0），则 ON＝m，CE＝2－m． ∵∠MCN＝90°，∴∠MCF＋∠NCE＝90°． ∵NE⊥直线 l 于点 E，∴∠ENC＋∠NCE＝90°． ∴∠MCF＝∠ENC． 又∵∠MFC＝∠NEC＝90°，CN＝CM，∴△NEC≌△CFM． ∴CF＝EN＝2，FM＝CE＝2－m． ∴FG＝CG＋CF＝2＋2＝4．∴xM＝4． 将 x＝4 代入 y＝4 x，得 y＝1．∴点 M(4，1)． 第 25 题答案图 2 第 25 题答案图 3 ②当∠NMC＝90°、MC＝MN 时（如答案图 3 所示），过点 C 作直线 l⊥y 轴与点 F，则 CF ＝xC＝2．过点 M 作 MG⊥x 轴于点 G，MG 交直线 l 与点 E，则 MG⊥直线 l 于点 E，EG ＝yC＝2． ∵∠CMN＝90°，∴∠CME＋∠NMG＝90°． ∵ME⊥直线 l 于点 E，∴∠ECM＋∠CME＝90°． ∴∠NMG＝∠ECM． 又∵∠CEM＝∠NGM＝90°，CM＝MN，∴△CEM≌△MGN． ∴CE＝MG，EM＝NG． 设 CE＝MG＝a，则 yM＝a，xM＝CF＋CE＝2＋a．∴点 M(2＋a，a)． 将点 M(2＋a，a) 代入 y＝4 x，得 a＝ 4 2＋a．解得 a1＝ 5－1，a2＝－ 5－1． x y D CB AO x y l H G FE N C O M x y l EF GN C O M 21 ∴xM＝2＋a＝ 5＋1． ∴点 M( 5＋1， 5－1)． 综合①②可知：点 M 的坐标为(4，1)或( 5＋1， 5－1)． 26．（2018 济南，26，12 分） 在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以 CA 为边在∠ACB 的另一侧作∠ACM＝∠ ACB，点 D 为射线 BC 上任意一点，在射线 CM 上截取 CE＝BD，连接 AD、DE、AE． （1）如图 1，当点 D 落在线段 BC 的延长线上时，直接写出∠ADE 的度数； （2）如图 2，当点 D 落在线段 BC（不含边界）上时，AC 与 DE 交于点 F，请问（1） 中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若 AB＝6，求 CF 的最大值． 第 26 题图 1 第 26 题图 2 【解析】 解：(1) ∠ADE＝30°． (2) （1）中的结论是否还成立 证明：连接 AE（如答案图 1 所示）． ∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°． 又∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°． 又∵CE＝BD， ∴△ABD≌△ACE.∴AD＝AE,∠1＝∠2. ∴∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝∠BAC＝120°.即∠DAE＝120°. M M F E C E C A B A B DD E C A B D E CB A D 22 又∵AD＝AE,∴∠ADE＝∠AED＝30°． 答案图 1 答案图 2 (3) ∵AB＝AC，AB＝6，∴AC＝6． ∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD， ∴△ADF∽△ACD.∴AD AC＝AF AD.∴AD2＝AF·AC．∴AD2＝6AF．∴AF＝AD2 6 ． ∴当 AD 最短时，AF 最短、CF 最长． 易得当 AD⊥BC 时，AF 最短、CF 最长（如答案图 2 所示），此时 AD＝1 2AB＝3． ∴AF 最短＝AD2 6 ＝32 6 ＝3 2． ∴CF 最长＝AC－ AF 最短＝6－3 2＝9 2. 27．（2018 济南，27，12 分） 如图 1，抛物线 y＝ax2＋bx＋4 过 A(2，0)、B(4，0)两点，交 y 轴于点 C，过点 C 作 x 轴的平行线与不等式抛物线上的另一个交点为 D，连接 AC、BC．点 P 是该抛物线上一动 点，设点 P 的横坐标为 m（m＞4）． (1)求该抛物线的表达式和∠ACB 的正切值； (2)如图 2，若∠ACP＝45°，求 m 的值； (3)如图 3，过点 A、P 的直线与 y 轴于点 N，过点 P 作 PM⊥CD，垂足为 M，直线 MN 与 x 轴交于点 Q，试判断四边形 ADMQ 的形状，并说明理由． 第 27 题图 1 第 27 题图 2 第 27 题图 3 【解析】 解：（1）将点 A(2，0)和点 B(4，0)分别代入 y＝ax2＋bx＋4，得 3 2 1 F E C A B D M F E CB A D M x y x y x y Q M N D A B C O P D A B C O D A B C O P 23 {0＝4a＋2x＋4 0＝16a＋4b＋4)．解得{a＝ b＝－3)．∴该抛物线的解析式为 y＝1 2x2－3x＋4. 将 x＝0 代入上式，得 y＝4.∴点 C（0，4），OC＝4． 在 Rt△AOC 中，AC＝ OA＋OC＝ 2＋4＝2 5. 设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋4, 将点 A(2，0)代入上式，得 0＝2k＋4．解得 k＝－2． ∴直线 AC 的解析式为 y＝－2x＋4． 同理可得直线 BC 的解析式为 y＝－x＋4． 求 tan∠ACB 方法一： 过点 B 作 BG⊥CA，交 CA 的延长线于点 G（如答案图 1 所示），则∠G＝90°． ∵∠COA＝∠G＝90°，∠CAO＝∠BAG，∴△GAB∽△OAC. ∴BG AG＝OC OA＝4 2＝2.∴BG＝2AG. 在 Rt△ABG 中，∵BG2＋AG2＝AB2,∴(2AG)2＋AG2＝22.AG＝2 5 5. ∴BG＝4 5 5,CG＝AC＋AG＝2 5＋2 5 5＝12 5 5. 在 Rt△BCG 中，tan∠ACB＝BG CQ＝ ＝1 3. 第 27 题答案图 1 第 27 题答案图 2 求 tan∠ACB 方法二： 过点 A 作 AE⊥AC，交 BC 于点 E（如答案图 2 所示），则 kAE·kAC＝－1. ∴－2kAE＝－1.∴kAE＝1 2. ∴可设直线 AE 的解析式为 y＝1 2x＋m． 将点 A(2，0)代入上式，得 0＝1 2×2＋m．解得 m＝－1． ∴直线 AE 的解析式为 y＝1 2x－1． 由方程组{y＝x－1 y＝－x＋4)解得{x＝ y＝ )．∴点 E（10 3 ，2 3）． ∴AE＝ ＝2 3 5. x y G P D A B C O x y E P D A B C O 24 在 Rt△AEC 中，tan∠ACB＝AE AC＝2＝1 3. 求 tan∠ACB 方法三： 过点 A 作 AF⊥BC，交 BC 点 E（如答案图 3 所示），则 kAF·kBC＝－1. ∴－kAF＝－1.∴kAF＝1. ∴可设直线 AF 的解析式为 y＝x＋n． 将点 A(2，0)代入上式，得 0＝2＋n．解得 n＝－2． ∴直线 AF 的解析式为 y＝x－2． 由方程组{y＝x－2 y＝－x＋4)解得{x＝3 y＝1 )．∴点 F（3，1）． ∴AF＝ (3－2)＋(1－0)＝ 2，CF＝ (3－0)－(1－4)＝3 2. 在 Rt△AEC 中，tan∠ACB＝AF CF＝3＝1 3． 第 27 题答案图 3 （2）方法一：利用“一线三等角”模型 将线段 AC 绕点 A 沿顺时针方向旋转 90°，得到线段 AC′，则 AC′＝AC，∠C′AC＝90°，∠CC′A＝∠ACC′＝45°． ∴∠CAO＋∠C′AB＝90°． 又∵∠OCA＋∠CAO＝90°， ∴∠OCA＝∠C′AB． 过点 C′作 C′E⊥x 轴于点 E．则∠C′EA＝∠COA＝90°． ∵∠C′EA＝∠COA＝90°，∠OCA＝∠C′AB，AC′＝AC， ∴△C′EA≌△AOC． ∴C′E＝OA＝2，AE＝OC＝4． ∴OE＝OA＋AE＝2＋4＝6． ∴点 C′(6，2)． 设直线 C′C 的解析式为 y＝hx＋4． 将点 C′(6，2)代入上式，得 2＝6h＋4．解得 h＝－1 3． ∴直线 C′C 的解析式为 y＝－1 3x＋4． ∵∠ACP＝45°，∠ACC′＝45°，∴点 P 在直线 C′C 上． 设点 P 的坐标为(x，y)，则 x 是方程 1 2x2－3x＋4＝－1 3x＋4 的一个解． x y F P D A B C O 25 将方程整理，得 3x2－14x＝0． 解得 x1＝16 3 ，x2＝0（不合题意，舍去）． 将 x1＝16 3 代入 y＝－1 3x＋4，得 y＝20 9 ． ∴点 P 的坐标为(16 3 ，20 9 )． 第 27 题答案图 4 第 27 题答案图 5 （2）方法二：利用正方形中的“全角夹半角”模型． 过点 B 作 BH⊥CD 于点 H，交 CP 于点 K，连接 AK．易得四边形 OBHC 是正方形． 应用“全角夹半角”可得 AK＝OA＋HK． 设 K(4，h)，则 BK＝h，HK＝HB－KB＝4－h，AK＝OA＋HK＝2＋(4－h)＝6－h． 在 Rt△ABK 中，由勾股定理，得 AB2＋BK2＝AK2．∴22＋ h 2＝(6－h)2．解得 h＝8 3． ∴点 K(4，8 3)． 设直线 CK 的解析式为 y＝hx＋4． 将点 K(4，8 3)代入上式，得8 3＝4h＋4．解得 h＝－1 3． ∴直线 CK 的解析式为 y＝－1 3x＋4． 设点 P 的坐标为(x，y)，则 x 是方程 1 2x2－3x＋4＝－1 3x＋4 的一个解． 将方程整理，得 3x2－14x＝0． 解得 x1＝16 3 ，x2＝0（不合题意，舍去）． 将 x1＝16 3 代入 y＝－1 3x＋4，得 y＝20 9 ． ∴点 P 的坐标为(16 3 ，20 9 )． （3）四边形 ADMQ 是平行四边形．理由如下： ∵CD∥x 轴，∴yC＝yD＝4． x y E C'P D A B C O x y K' K H P D A B C O 26 将 y＝4 代入 y＝1 2x2－3x＋4，得 4＝1 2x2－3x＋4.解得 x1＝0，x2＝6． ∴点 D（6，4）． 根据题意，得 P（m，1 2m2－3m＋4），M（m，4），H（m，0）． ∴PH＝1 2m2－3m＋4），OH＝m，AH＝m－2，MH＝4． ①当 4＜m＜6 时（如答案图 5 所示），DM＝6－m ∵△OAN∽△HAP，∴ON PH＝OA AH．∴ ON m2－3m＋4＝ 2 m－2． ∴ON＝m2－6m＋8 m－2 ＝(m－4)(m－2) m－2 ＝m－4． ∵△ONQ∽△HMP，∴ON HM＝OQ HQ．∴ON 4 ＝ OQ m－OQ． ∴m－4 4 ＝ OQ m－OQ．∴OQ＝m－4． ∴AQ＝OA－OQ＝2－(m－4)＝6－m． ∴AQ＝ DM＝6－m． 又∵AQ∥DM，∴四边形 ADMQ 是平行四边形． 第 27 题答案图 6 第 27 题答案图 7 ②当 m＞6 时（如答案图 6 所示），同理可得：四边形 ADMQ 是平行四边形． 综合①、②可知：四边形 ADMQ 是平行四边形． x y x y Q M N Q M N D A B C O D A B C O P P H H