中考数学强化复习相似三角形

中考数学强化复习相似三角形

‎2014年中考数学强化复习（相似三角形）‎ 一、选择题 ‎1、如图1,已知AD与VC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,‎ ‎∠D=30°,则∠AOC的大小为（ ）‎ A.60° B.70° C.80° D.120°‎ B A C D E A B C D O 图1‎ ‎2、如图，已知D、E分别是的AB、 AC边上的点，且 那么等于（ ） ‎ ‎ A．1 : 9 B．1 : 3 ‎ ‎ C．1 : 8 D．1 : 2‎ ‎3、如图G是rABC的重心，直线L过A点与BC平行。若直线CG分别与AB、 L交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则rAED的面积：四边形ADGF的面积=？( ) ‎ ‎ (A) 1：2 (B) 2：1 (C) 2：3 (D) 3：2‎ A B C D E F A B G C D E F L ‎4、 图为rABC与rDEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点， 且AB // DE。若rABC与rDEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=？( ) ‎ ‎ (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。‎ C A BA DA OA EA FA 第18题图 ‎5、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=‎1.2米，BP=‎1.8米，PD=‎12米， 那么该古城墙的高度是（ ）‎ A、‎6米 B、‎8米 C、‎18米 D、‎‎24米 ‎6、如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是的中点，则与的面积比是（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7、给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( ) ‎ A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 ‎8、如图2所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ A D B C E F M ‎(第2题图)‎ F E D B C ‎60°‎ 图2‎ ‎9、如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （　　）‎ A.5:3 B.3:‎5 C.4:3 D.3:4‎ ‎10、如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎11、4．如图，在中，、分别是、边的中点，若 ‎ ‎，则等于 ‎ ‎ A．5 B．4 ‎ 第4题 ‎ ‎ A ‎ ‎ B ‎ ‎ C ‎ ‎ D ‎ ‎ E ‎ ‎ A ‎ C．3 D．2‎ ‎12、如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是的中点，则与的面积比是（ ） A． B． C． D．‎ C A BA DA OA EA FA 第18题图 ‎13、给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( ) ‎ A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假 ‎14、已知，相似比为3，且的周长为18，则的周长为（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎ C．6 D．54‎ ‎15、如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于 D,设BP=x,则PD+PE=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎16、如图，在Rt△ABC内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ ‎17、如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，‎ AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的 （ ） ‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ E H F G C B A ‎（（第10题图）‎ ‎18、如图,在△ABC中,若DE∥BC,=,DE=‎4cm,则BC的长为（ ）‎ A‎.8cm B‎.12cm C‎.11cm D‎.10cm ‎19、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）‎ ‎（第7题）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎20、若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为（） ‎ A、2∶3 B、4∶‎9 C、∶ D、3∶2‎ ‎21、在同一时刻，身高‎1.6米的小强在阳光下的影长为‎0.8米，一棵大树的影长为‎4.8米，则树的高度为（ ） ‎ A、‎4.8米 B、‎6.4米 C、‎9.6米 D、‎‎10米 ‎22、小刚身高‎1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为‎0.85m。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为‎1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶 ‎ ‎ A.‎0.5‎m B.‎0.55m C.‎0.6m D.‎‎2.2m ‎33、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ A B C 二、填空题 ‎1、如图，两点分别在的边上，与不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，． ‎ E C D A F B 图5‎ ‎2、如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个三角形面积的比是 ．‎ ‎3、如图5，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，‎ 那么 ． ‎ ‎4、在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为‎5cm，则AB 两地间的实际距离为 m．‎ ‎5、在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D,‎ BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ；‎ 并写出它的面积比 . ‎ ‎6、已知∠A＝40°，则∠A的余角等于＝________度.‎ ‎（第16题图）‎ O A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A B B1‎ B2‎ B3‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎7、如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和 为 ．‎ ‎8、两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为___________. ‎ 图8‎ ‎9、两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为　　 　 　． ‎ ‎10、如图8，D、E分别是的边AB、AC上的点，则使∽的条件是 ． ‎ ‎11、如图4，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB= ‎ ‎（第12题）‎ A B C E D ‎12、如图，在中，分别是的中点，若，则的长是 ．‎ 图3‎ ‎ 13、如图3，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA的中点 C，OB的中点D，测得CD=‎30米，则AB=______米． ‎ ‎14、如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为　　　　．（精确到0.01）‎ ‎15、如图，中，，两点分别在边上，且与不平行．请填上一个你认为合适的条件： ，使．‎ ‎（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）‎ ‎16、如图5，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为_____________.．‎ E C D A F B ‎17、如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个三角形面积的比是 ． ‎ ‎18、如图，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么 ． ‎ 三、解答题 ‎1、如图5，在△ABC中，BC>AC， 点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.‎ ‎（1）求证：EF∥BC.‎ ‎（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.‎ ‎2、如图，在中，。‎ ‎（1）在图中作出的内角平分线AD。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）‎ ‎（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。‎ 提示：（1）如图，AD即为所求。‎ ‎3、（本题6分）如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC。‎ F E D C B A 求证：△ABC∽△FDE．‎ ‎4、（本小题满分10分）‎ 如图：在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.‎ (1) 证明：∠CAE=∠CBF;‎ (2) 证明：AE=BF;‎ (3) 以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范围。‎ F C A B P E H ‎5、如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在BC边上.‎ ‎(1) 用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点 (保留作图痕迹，不写作法和证明. 另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可)；‎ ‎(2) 若AB = 6，AC = 2，求正方形ADEF的边长.‎ A B C 第21题图 ‎6、阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．‎ ‎（1）所需的测量工具是： ；‎ ‎（2）请在下图中画出测量示意图；‎ ‎（3）设树高的长度为，请用所测数据（用小写字母表示）求出．‎ 第20题图 ‎7、如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.‎ ‎（1）求证：AB·AF＝CB·CD ‎（2）已知AB＝‎15cm，BC＝‎9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2.‎ ‎①求y关于x的函数关系式；‎ ‎②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值. ‎ ‎8、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．‎ 求证：（1）；‎ ‎（2）‎ ‎9、△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.‎ ‎ Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；‎ A B C D E F G 图 (1)‎ Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.‎ 小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.‎ Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了. ‎ 设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .‎ A B C D E F G 图 (2)‎ Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：‎ ‎ ①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；‎ ‎②连结BF’并延长交AC于F；‎ A B C D E F G 图 (3)‎ G′‎ F′‎ E′‎ D′‎ ‎③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.‎ 你认为小明的作法正确吗？说明理由.‎ ‎10、如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.‎ ‎（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.‎ ‎（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.‎ ‎ （3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.‎ ‎ ‎ G y x O F E D C B A ‎（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.‎ ‎ ‎ G F E D C B A ‎11、如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．‎ ‎（1）求点到的距离的长；‎ ‎（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；‎ A B C D E R P H Q ‎（第1题图）‎ ‎（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎12、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． ‎ ‎（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； ‎ ‎（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ ‎ A B C M N P 图 1‎ O ‎（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ ‎13、如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交于点．‎ 第20题图 A B C D E P O R ‎（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；‎ ‎（2）求．‎ 第21题图 ‎14、如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，。‎ ‎⑴求证：△ABF∽△CEB;‎ ‎⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。‎ ‎15、为了加强视力保护意识，小明想在长为‎3.2米，宽为‎4.3米的书房里挂一张测试距离为‎5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．‎ ‎（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙和墙的夹角处，被测试人站立在 对角线上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．‎ ‎（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙 米处．‎ ‎（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为‎5m的大视力表制作一个测试距 为‎3m的小视 H H ‎（图1）‎ ‎（图2）‎ ‎（图3）‎ ‎（第22题）‎ ‎3.5㎝ A C F ‎3m B ‎5m D 力表．如果大视力表中“”的长是‎3.5cm，那么小视力表中相应“”的长是多少cm？‎ ‎16、如图，E是□ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．在不添加辅助线的情况下，请找出图中的一对相似三角形，并说明理由．‎ A F D B C E ‎17、如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．‎ ‎（1）求点，点的坐标．‎ ‎（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．‎ ‎（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎18、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． ‎ ‎（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； ‎ ‎（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ ‎ ‎（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？‎ A B C M N P 图 3‎ O A B C M N D 图 2‎ O A B C M N P 图 1‎ O ‎19、将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．‎ ‎(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.‎ ‎(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.‎ ‎(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.‎ D C B A E 图9‎ E D C H F G B A P y x 图10‎ ‎10‎ ‎.‎ ‎20、（本题满分13分）‎ 如图，已知△ABC是边长为‎6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是‎1cm/s，点Q运动的速度是‎2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：‎ ‎（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；‎ ‎（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？‎ ‎（第21题）‎ ‎ 21、本题满分8分．‎ 如图8，四边形是平行四边形．O是对角线的中点，过点的直线分别交AB、DC于点、，与CB、AD的延长线分别交于点G、H．‎ ‎（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；‎ 图8‎ ‎（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．‎ ‎22、本题满分8分．‎ 如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC于点F．‎ ‎（1）求证： ADE∽BEF；‎ ‎（2）设正方形的边长为4， AE=，BF=．当取什么值时， 有最大值?并求出这个最大值．‎ ‎23.如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连结BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G.‎ ‎（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由 ‎（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？‎ ‎24、如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°‎ ‎【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q ‎【探究一】在旋转过程中，‎ ‎(1)如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.‎ ‎(2)如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.‎ ‎(3)根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为_________,其中的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)‎ ‎【探究二】若，AC＝‎30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：‎ ‎(1)S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.‎ ‎(2)随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎（图1） （图2） （图3）‎ ‎25、（14分）如图(1)所示，一张平行四边形纸片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿对角线BD把这张纸片剪成△AB1D1和△CB2D2两个三角形(如图(2)所示)，将△AB1D1沿直线AB1方向移动(点B2始终在AB1上，AB1与CD2始终保持平行)，当点A与B2重合时停止平移，在平移过程中，AD1与B2D2交于点E，B‎2C与B1D1交于点F，‎ ‎(1)当△AB1D1平移到图(3)的位置时，试判断四边形B2FD1E是什么四边形？并证明你的结论；‎ ‎(2)设平移距离B2B1为x，四边形B2FD1E的面积为y，求y与x的函数关系式；并求出四边形B2FD1E的面积的最大值；‎ ‎(3)连结B‎1C(请在图(3)中画出)。当平移距离B2B1的值是多少时，△ B1B‎2F与△ B1CF相似？‎ A B C D A C B1(B2)‎ D1(D2)‎ A C E F B2‎ B1‎ D1‎ D2‎ 参考答案 一、 选择题 ‎1、B 2、B 3、D 4、B 5、B 6、C 7、C 8、A 9、C 10、B ‎ ‎11、C 12、C 13、C 14、C 15、A 16、A 17、C ‎ ‎18、B 19、B 20、B 21、C 22、A 23、B ‎ 二、填空题 ‎1、∠ADE=∠ACB（或∠AED=∠ABC或错误！不能通过编辑域代码创建对象。）‎ ‎2、 3、 4、100 5、 6、50 7、10.5 8、4：9 9、 ‎ ‎10、，或，或 ‎11、4 12、10 13、60 14、6.71 15、 16、30° 17、 ‎ ‎18、 ‎ 三、解答题 ‎1、（1）证明：‎ ‎，‎ ‎∴ . ‎ 又∵ ,‎ ‎∴ CF是△ACD的中线，‎ ‎∴ 点F是AD的中点.‎ ‎∵ 点E是AB的中点，‎ ‎∴ EF∥BD,‎ 即 EF∥BC. ‎ ‎（2）解：由（1）知，EF∥BD，‎ ‎ ∴ △AEF∽△ABD ,‎ ‎ ∴ .‎ ‎ 又∵ ,‎ ‎ , ‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ ∴ 的面积为8. ‎ ‎2、（2），理由如下：‎ AD平分则，‎ 又，故。‎ ‎3、证明：略 ‎4、（1）∵△ABC为等腰三角形 ‎ ∴AC=BC ∠CAB=∠CBA ‎ 又∵CH为底边上的高，P为高线上的点 ‎ ∴PA=PB ‎ ∴∠PAB=∠PBA ‎ ∵∠CAE=∠CAB-∠PAB ‎ ∠CBF=∠CBA-∠PBA ‎ ∴∠CAE=∠CBF ‎ （2）∵AC=BC ‎ ∠CAE=∠CBF ‎ ∠ACE=∠BCF ‎ ∴△ACE～△BCF(AAS)‎ ‎ ∴AE=BF ‎（3）若存在点P能使S△ABC=S△ABG，因为AE=BF，所以△ABG也是一个等腰三角形，这两个三角形面积相等，底边也相同，所以高也相等，进而可以说明△ABC～△ABG，则对应边AC=AE,∠ACE=∠AEC,所以0°≤∠C＜90°‎ ‎5、解：⑴ 作图：作∠BAC的平分线交线段BC于E； ………………4分 A B C 第21题图 D E F ‎（痕迹清晰、准确，本步骤给满分4分，否则酌情扣1至4分；另外两点及边作的是否准确，不扣分）‎ ‎⑵ 如图，∵ 四边形ADEF是正方形，‎ ‎∴ EF∥AB，AD = DE = EF = FA. 5分 ‎∴ △CFE ∽△CAB. ‎ ‎∴ .………………6分 ‎∵ AC = 2 ，AB = 6，‎ 设AD = DE = EF = FA = x，‎ ‎∴ . …………………7分 ‎∴ x＝.即正方形ADEF的边长为. ……………8分 C D E F B A ‎（第20题答案图）‎ ‎（本题可以先作图后计算，也可以先计算后作图；未求出AD或AF的值用作中垂线的方法找到D点或F点，给2分）‎ ‎6、解：（1）皮尺、标杆．‎ ‎（2）测量示意图如右图所示．‎ ‎（3）如图，测得标杆，‎ 树和标杆的影长分别为，．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎7、（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC ‎∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.‎ ‎∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B 在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B ‎∴△DCF∽△ABC ‎∴，即.∴AB·AF＝CB·CD ‎（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，‎ ‎∴AC＝＝＝12，∴CF＝AF＝6‎ ‎∴×6＝3x＋27（x＞0）‎ ‎②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小.‎ 显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.‎ 由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.‎ EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.‎ ‎∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.‎ Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.‎ ‎∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.‎ ‎∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝‎ ‎8、证明：（1）四边形和四边形都是正方形 ‎ ‎（2）由（1）得 ‎ ‎ ‎ ‎∴AMN∽CDN ‎9、Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，‎ ‎∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°‎ ‎ ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°‎ ‎ ∴△BDG≌△CEF(AAS) ‎ A B C D E F G 解图 (2)‎ H ‎ Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，‎ 求得 ‎　　　　　　　　　　 由△AGF∽△ABC得：‎ 解之得：(或) ‎ ‎　　　　　　　‎ 解法二：设正方形的边长为x，则 ‎　　　　　　　　　在Rt△BDG中，tan∠B=，‎ ‎∴‎ 解之得：(或) ‎ 解法三：设正方形的边长为x，‎ 则 A B C D E F G 解图 (3)‎ G’‎ F’‎ E’‎ D’‎ ‎ 由勾股定理得：‎ ‎ 解之得：‎ Ⅱb.解： 正确 ‎ 由已知可知，四边形GDEF为矩形 ‎ ∵FE∥F’E’ ， ‎ ‎∴，‎ 同理，‎ ‎∴‎ ‎ 又∵F’E’=F’G’， ‎ ‎∴FE=FG 因此，矩形GDEF为正方形 ‎10、解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA ‎ ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°‎ ‎ ∴∠BAE=∠CDA ‎ 又∠B=∠C=45°‎ ‎ ∴∆ABE∽∆DCA ‎ (2)∵∆ABE∽∆DCA ‎ ∴‎ ‎ 由依题意可知CA=BA=‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴m=‎ ‎ 自变量n的取值范围为1

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