中考数学强化复习相似三角形

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中考数学强化复习相似三角形

‎2014年中考数学强化复习(相似三角形)‎ 一、选择题 ‎1、如图1,已知AD与VC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,‎ ‎∠D=30°,则∠AOC的大小为( )‎ A.60° B.70° C.80° D.120°‎ B A C D E A B C D O 图1‎ ‎2、如图,已知D、E分别是的AB、 AC边上的点,且 那么等于( ) ‎ ‎ A.1 : 9 B.1 : 3 ‎ ‎ C.1 : 8 D.1 : 2‎ ‎3、如图G是rABC的重心,直线L过A点与BC平行。若直线CG分别与AB、 L交于D、E两点,直线BG与AC交于F点,则rAED的面积:四边形ADGF的面积=?( ) ‎ ‎ (A) 1:2 (B) 2:1 (C) 2:3 (D) 3:2‎ A B C D E F A B G C D E F L ‎4、 图为rABC与rDEC重迭的情形,其中E在BC上,AC交DE于F点, 且AB // DE。若rABC与rDEC的面积相等,且EF=9,AB=12,则DF=?( ) ‎ ‎ (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。‎ C A BA DA OA EA FA 第18题图 ‎5、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=‎1.2米,BP=‎1.8米,PD=‎12米, 那么该古城墙的高度是( )‎ A、‎6米 B、‎8米 C、‎18米 D、‎‎24米 ‎6、如图,是由经过位似变换得到的,点是位似中心,分别是的中点,则与的面积比是( ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7、给出两个命题:①两个锐角之和不一定是钝角;②各边对应成比例的两个多边形一定相似.( ) ‎ A.①真②真 B.①假②真 C.①真②假 D.①假②假 ‎8、如图2所示,Rt△ABC∽Rt△DEF,则cosE的值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ A D B C E F M ‎(第2题图)‎ F E D B C ‎60°‎ 图2‎ ‎9、如图,直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,BC=CD,E为梯形内一点,且∠BEC=90°,将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合,得到△DCF,连EF交CD于M.已知BC=5,CF=3,则DM:MC的值为 (  )‎ A.5:3 B.3:‎5 C.4:3 D.3:4‎ ‎10、如果两个相似三角形的相似比是,那么它们的面积比是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11、4.如图,在中,、分别是、边的中点,若 ‎ ‎,则等于 ‎ ‎ A.5 B.4 ‎ 第4题 ‎ ‎ A ‎ ‎ B ‎ ‎ C ‎ ‎ D ‎ ‎ E ‎ ‎ A ‎ C.3 D.2‎ ‎12、如图,是由经过位似变换得到的,点是位似中心,分别是的中点,则与的面积比是( ) A. B. C. D.‎ C A BA DA OA EA FA 第18题图 ‎13、给出两个命题:①两个锐角之和不一定是钝角;②各边对应成比例的两个多边形一定相似.( ) ‎ A.①真②真 B.①假②真 C.①真②假 D.①假②假 ‎14、已知,相似比为3,且的周长为18,则的周长为( )‎ A.2 B.‎3 ‎ C.6 D.54‎ ‎15、如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于 D,设BP=x,则PD+PE=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎16、如图,在Rt△ABC内有边长分别为的三个正方形,则满足的关系式是( )‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ ‎17、如图,△ABC是等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,‎ AB被截成三等分,则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的 ( ) ‎ A. B. C. D.‎ E H F G C B A ‎((第10题图)‎ ‎18、如图,在△ABC中,若DE∥BC,=,DE=‎4cm,则BC的长为( )‎ A‎.8cm B‎.12cm C‎.11cm D‎.10cm ‎19、下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是( )‎ ‎(第7题)‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎20、若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为2︰3,则S△ABC︰S△DEF为() ‎ A、2∶3 B、4∶‎9 C、∶ D、3∶2‎ ‎21、在同一时刻,身高‎1.6米的小强在阳光下的影长为‎0.8米,一棵大树的影长为‎4.8米,则树的高度为( ) ‎ A、‎4.8米 B、‎6.4米 C、‎9.6米 D、‎‎10米 ‎22、小刚身高‎1.7m,测得他站立在阳关下的影子长为‎0.85m。紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为‎1.1m,那么小刚举起手臂超出头顶 ‎ ‎ A.‎0.5‎m B.‎0.55m C.‎0.6m D.‎‎2.2m ‎33、如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中相似的是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ A B C 二、填空题 ‎1、如图,两点分别在的边上,与不平行,当满足 条件(写出一个即可)时,. ‎ E C D A F B 图5‎ ‎2、如果两个相似三角形的相似比是,那么这两个三角形面积的比是 .‎ ‎3、如图5,平行四边形中,是边上的点,交于点,如果,‎ 那么 . ‎ ‎4、在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为‎5cm,则AB 两地间的实际距离为 m.‎ ‎5、在Rt△ABC中,∠C为直角,CD⊥AB于点D,‎ BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ;‎ 并写出它的面积比 . ‎ ‎6、已知∠A=40°,则∠A的余角等于=________度.‎ ‎(第16题图)‎ O A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A B B1‎ B2‎ B3‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎7、如图,点在射线上,点在射线上,且,.若,的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和 为 .‎ ‎8、两个相似三角形周长的比为2:3,则其对应的面积比为___________. ‎ 图8‎ ‎9、两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为      . ‎ ‎10、如图8,D、E分别是的边AB、AC上的点,则使∽的条件是 . ‎ ‎11、如图4,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=1,BD=4,那么AB= ‎ ‎(第12题)‎ A B C E D ‎12、如图,在中,分别是的中点,若,则的长是 .‎ 图3‎ ‎ 13、如图3,要测量A、B两点间距离,在O点打桩,取OA的中点 C,OB的中点D,测得CD=‎30米,则AB=______米. ‎ ‎14、如图,一束光线从y轴上点A(0,1)发出,经过x轴上点C反射后,经过点B(6,2),则光线从A点到B点经过的路线的长度为    .(精确到0.01)‎ ‎15、如图,中,,两点分别在边上,且与不平行.请填上一个你认为合适的条件: ,使.‎ ‎(不再添加其他的字母和线段;只填一个条件,多填不给分!)‎ ‎16、如图5,若△ABC∽△DEF,则∠D的度数为_____________..‎ E C D A F B ‎17、如果两个相似三角形的相似比是,那么这两个三角形面积的比是 . ‎ ‎18、如图,平行四边形中,是边上的点,交于点,如果,那么 . ‎ 三、解答题 ‎1、如图5,在△ABC中,BC>AC, 点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于F,点E是AB的中点,连结EF.‎ ‎(1)求证:EF∥BC.‎ ‎(2)若四边形BDFE的面积为6,求△ABD的面积.‎ ‎2、如图,在中,。‎ ‎(1)在图中作出的内角平分线AD。(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写证明)‎ ‎(2)在已作出的图形中,写出一对相似三角形,并说明理由。‎ 提示:(1)如图,AD即为所求。‎ ‎3、(本题6分)如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC。‎ F E D C B A 求证:△ABC∽△FDE.‎ ‎4、(本小题满分10分)‎ 如图:在等腰△ABC中,CH是底边上的高线,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F.‎ (1) 证明:∠CAE=∠CBF;‎ (2) 证明:AE=BF;‎ (3) 以线段AE,BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G),记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范围。‎ F C A B P E H ‎5、如图,在直角△ABC内,以A为一个顶点作正方形ADEF,使得点E落在BC边上.‎ ‎(1) 用尺规作图,作出D、E、F中的任意一点 (保留作图痕迹,不写作法和证明. 另外两点不需要用尺规作图确定,作草图即可);‎ ‎(2) 若AB = 6,AC = 2,求正方形ADEF的边长.‎ A B C 第21题图 ‎6、阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.‎ ‎(1)所需的测量工具是: ;‎ ‎(2)请在下图中画出测量示意图;‎ ‎(3)设树高的长度为,请用所测数据(用小写字母表示)求出.‎ 第20题图 ‎7、如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.‎ ‎(1)求证:AB·AF=CB·CD ‎(2)已知AB=‎15cm,BC=‎9cm,P是射线DE上的动点.设DP=xcm(x>0),四边形BCDP的面积为ycm2.‎ ‎①求y关于x的函数关系式;‎ ‎②当x为何值时,△PBC的周长最小,并求出此时y的值. ‎ ‎8、如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.‎ 求证:(1);‎ ‎(2)‎ ‎9、△ABC是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边DE落在BC上,顶点F、G分别落在AC、AB上.‎ ‎ Ⅰ.证明:△BDG≌△CEF;‎ A B C D E F G 图 (1)‎ Ⅱ. 探究:怎样在铁片上准确地画出正方形.‎ 小聪和小明各给出了一种想法,请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解,只以Ⅱa的解答记分.‎ Ⅱa. 小聪想:要画出正方形DEFG,只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长,从而确定D点和E点,再画正方形DEFG就容易了. ‎ 设△ABC的边长为2 ,请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示,不要求分母有理化) .‎ A B C D E F G 图 (2)‎ Ⅱb. 小明想:不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是:‎ ‎ ①在AB边上任取一点G’,如图作正方形G’D’E’F’;‎ ‎②连结BF’并延长交AC于F;‎ A B C D E F G 图 (3)‎ G′‎ F′‎ E′‎ D′‎ ‎③作FE∥F’E’交BC于E,FG∥F′G′交AB于G,GD∥G’D’交BC于D,则四边形DEFG即为所求.‎ 你认为小明的作法正确吗?说明理由.‎ ‎10、如图11,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若∆ABC固定不动,∆AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.‎ ‎(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.‎ ‎(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.‎ ‎ (3)以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BD+CE=DE.‎ ‎ ‎ G y x O F E D C B A ‎(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD+CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.‎ ‎ ‎ G F E D C B A ‎11、如图,在中,,,,分别是边的中点,点从点出发沿方向运动,过点作于,过点作交于,当点与点重合时,点停止运动.设,.‎ ‎(1)求点到的距离的长;‎ ‎(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);‎ A B C D E R P H Q ‎(第1题图)‎ ‎(3)是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎12、在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x. ‎ ‎(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; ‎ ‎(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切? ‎ A B C M N P 图 1‎ O ‎(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?‎ ‎13、如图,四边形和四边形都是平行四边形,点为的中点,分别交于点.‎ 第20题图 A B C D E P O R ‎(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);‎ ‎(2)求.‎ 第21题图 ‎14、如图,□ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,。‎ ‎⑴求证:△ABF∽△CEB;‎ ‎⑵若△DEF的面积为2,求□ABCD的面积。‎ ‎15、为了加强视力保护意识,小明想在长为‎3.2米,宽为‎4.3米的书房里挂一张测试距离为‎5米的视力表.在一次课题学习课上,小明向全班同学征集“解决空间过小,如何放置视力表问题”的方案,其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖,构思巧妙.‎ ‎(1)甲生的方案:如图1,将视力表挂在墙和墙的夹角处,被测试人站立在 对角线上,问:甲生的设计方案是否可行?请说明理由.‎ ‎(2)乙生的方案:如图2,将视力表挂在墙上,在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜,根据平面镜成像原理可计算得到:测试线应画在距离墙 米处.‎ ‎(3)丙生的方案:如图3,根据测试距离为‎5m的大视力表制作一个测试距 为‎3m的小视 H H ‎(图1)‎ ‎(图2)‎ ‎(图3)‎ ‎(第22题)‎ ‎3.5㎝ A C F ‎3m B ‎5m D 力表.如果大视力表中“”的长是‎3.5cm,那么小视力表中相应“”的长是多少cm?‎ ‎16、如图,E是□ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于F.在不添加辅助线的情况下,请找出图中的一对相似三角形,并说明理由.‎ A F D B C E ‎17、如图,在平面直角坐标系中,点,点分别在轴,轴的正半轴上,且满足.‎ ‎(1)求点,点的坐标.‎ ‎(2)若点从点出发,以每秒1个单位的速度沿射线运动,连结.设的面积为,点的运动时间为秒,求与的函数关系式,并写出自变量的取值范围.‎ ‎(3)在(2)的条件下,是否存在点,使以点为顶点的三角形与相似?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎18、在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x. ‎ ‎(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; ‎ ‎(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切? ‎ ‎(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?‎ A B C M N P 图 3‎ O A B C M N D 图 2‎ O A B C M N P 图 1‎ O ‎19、将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD.‎ ‎(1)填空:如图9,AC= ,BD= ;四边形ABCD是 梯形.‎ ‎(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).‎ ‎(3)如图10,若以AB所在直线为轴,过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系,保持ΔABD不动,将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,ΔFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围.‎ D C B A E 图9‎ E D C H F G B A P y x 图10‎ ‎10‎ ‎.‎ ‎20、(本题满分13分)‎ 如图,已知△ABC是边长为‎6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是‎1cm/s,点Q运动的速度是‎2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:‎ ‎(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;‎ ‎(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;‎ ‎(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ?‎ ‎(第21题)‎ ‎ 21、本题满分8分.‎ 如图8,四边形是平行四边形.O是对角线的中点,过点的直线分别交AB、DC于点、,与CB、AD的延长线分别交于点G、H.‎ ‎(1)写出图中不全等的两个相似三角形(不要求证明);‎ 图8‎ ‎(2)除AB=CD,AD=BC,OA=OC这三对相等的线段外,图中还有多对相等的线段,请选出其中一对加以证明.‎ ‎22、本题满分8分.‎ 如图10所示,E是正方形ABCD的边AB上的动点, EF⊥DE交BC于点F.‎ ‎(1)求证: ADE∽BEF;‎ ‎(2)设正方形的边长为4, AE=,BF=.当取什么值时, 有最大值?并求出这个最大值.‎ ‎23.如图,在△ABD和△ACE中,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE,连结BC、DE相交于点F,BC与AD相交于点G.‎ ‎(1)试判断线段BC、DE的数量关系,并说明理由 ‎(2)如果∠ABC=∠CBD,那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗?为什么?‎ ‎24、如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°,∠EDF=30°‎ ‎【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q ‎【探究一】在旋转过程中,‎ ‎(1)如图2,当时,EP与EQ满足怎样的数量关系?并给出证明.‎ ‎(2)如图3,当时EP与EQ满足怎样的数量关系?,并说明理由.‎ ‎(3)根据你对(1)、(2)的探究结果,试写出当时,EP与EQ满足的数量关系式为_________,其中的取值范围是_______(直接写出结论,不必证明)‎ ‎【探究二】若,AC=‎30cm,连续PQ,设△EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中:‎ ‎(1)S是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由.‎ ‎(2)随着S取不同的值,对应△EPQ的个数有哪些变化?不出相应S值的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎(图1) (图2) (图3)‎ ‎25、(14分)如图(1)所示,一张平行四边形纸片ABCD,AB=10,AD=6,BD=8,沿对角线BD把这张纸片剪成△AB1D1和△CB2D2两个三角形(如图(2)所示),将△AB1D1沿直线AB1方向移动(点B2始终在AB1上,AB1与CD2始终保持平行),当点A与B2重合时停止平移,在平移过程中,AD1与B2D2交于点E,B‎2C与B1D1交于点F,‎ ‎(1)当△AB1D1平移到图(3)的位置时,试判断四边形B2FD1E是什么四边形?并证明你的结论;‎ ‎(2)设平移距离B2B1为x,四边形B2FD1E的面积为y,求y与x的函数关系式;并求出四边形B2FD1E的面积的最大值;‎ ‎(3)连结B‎1C(请在图(3)中画出)。当平移距离B2B1的值是多少时,△ B1B‎2F与△ B1CF相似?‎ A B C D A C B1(B2)‎ D1(D2)‎ A C E F B2‎ B1‎ D1‎ D2‎ 参考答案 一、 选择题 ‎1、B 2、B 3、D 4、B 5、B 6、C 7、C 8、A 9、C 10、B ‎ ‎11、C 12、C 13、C 14、C 15、A 16、A 17、C ‎ ‎18、B 19、B 20、B 21、C 22、A 23、B ‎ 二、填空题 ‎1、∠ADE=∠ACB(或∠AED=∠ABC或错误!不能通过编辑域代码创建对象。)‎ ‎2、 3、 4、100 5、 6、50 7、10.5 8、4:9 9、 ‎ ‎10、,或,或 ‎11、4 12、10 13、60 14、6.71 15、 16、30° 17、 ‎ ‎18、 ‎ 三、解答题 ‎1、(1)证明:‎ ‎,‎ ‎∴ . ‎ 又∵ ,‎ ‎∴ CF是△ACD的中线,‎ ‎∴ 点F是AD的中点.‎ ‎∵ 点E是AB的中点,‎ ‎∴ EF∥BD,‎ 即 EF∥BC. ‎ ‎(2)解:由(1)知,EF∥BD,‎ ‎ ∴ △AEF∽△ABD ,‎ ‎ ∴ .‎ ‎ 又∵ ,‎ ‎ , ‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ ∴ ,‎ ‎ ∴ 的面积为8. ‎ ‎2、(2),理由如下:‎ AD平分则,‎ 又,故。‎ ‎3、证明:略 ‎4、(1)∵△ABC为等腰三角形 ‎ ∴AC=BC ∠CAB=∠CBA ‎ 又∵CH为底边上的高,P为高线上的点 ‎ ∴PA=PB ‎ ∴∠PAB=∠PBA ‎ ∵∠CAE=∠CAB-∠PAB ‎ ∠CBF=∠CBA-∠PBA ‎ ∴∠CAE=∠CBF ‎ (2)∵AC=BC ‎ ∠CAE=∠CBF ‎ ∠ACE=∠BCF ‎ ∴△ACE~△BCF(AAS)‎ ‎ ∴AE=BF ‎(3)若存在点P能使S△ABC=S△ABG,因为AE=BF,所以△ABG也是一个等腰三角形,这两个三角形面积相等,底边也相同,所以高也相等,进而可以说明△ABC~△ABG,则对应边AC=AE,∠ACE=∠AEC,所以0°≤∠C<90°‎ ‎5、解:⑴ 作图:作∠BAC的平分线交线段BC于E; ………………4分 A B C 第21题图 D E F ‎(痕迹清晰、准确,本步骤给满分4分,否则酌情扣1至4分;另外两点及边作的是否准确,不扣分)‎ ‎⑵ 如图,∵ 四边形ADEF是正方形,‎ ‎∴ EF∥AB,AD = DE = EF = FA. 5分 ‎∴ △CFE ∽△CAB. ‎ ‎∴ .………………6分 ‎∵ AC = 2 ,AB = 6,‎ 设AD = DE = EF = FA = x,‎ ‎∴ . …………………7分 ‎∴ x=.即正方形ADEF的边长为. ……………8分 C D E F B A ‎(第20题答案图)‎ ‎(本题可以先作图后计算,也可以先计算后作图;未求出AD或AF的值用作中垂线的方法找到D点或F点,给2分)‎ ‎6、解:(1)皮尺、标杆.‎ ‎(2)测量示意图如右图所示.‎ ‎(3)如图,测得标杆,‎ 树和标杆的影长分别为,.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎7、(1)证明:∵AD=CD,DE⊥AC,∴DE垂直平分AC ‎∴AF=CF,∠DFA=DFC=90°,∠DAF=∠DCF.‎ ‎∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,∴∠DCF=∠DAF=∠B 在Rt△DCF和Rt△ABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B ‎∴△DCF∽△ABC ‎∴,即.∴AB·AF=CB·CD ‎(2)解:①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,‎ ‎∴AC===12,∴CF=AF=6‎ ‎∴×6=3x+27(x>0)‎ ‎②∵BC=9(定值),∴△PBC的周长最小,就是PB+PC最小.由(1)可知,点C关于直线DE的对称点是点A,∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小.‎ 显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小.此时DP=DE,PB+PA=AB.‎ 由(1),∠ADF=∠FAE,∠DFA=∠ACB=90°,地△DAF∽△ABC.‎ EF∥BC,得AE=BE=AB=,EF=.‎ ‎∴AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15.∴AD=10.‎ Rt△ADF中,AD=10,AF=6,∴DF=8.‎ ‎∴DE=DF+FE=8+=.‎ ‎∴当x=时,△PBC的周长最小,此时y=‎ ‎8、证明:(1)四边形和四边形都是正方形 ‎ ‎(2)由(1)得 ‎ ‎ ‎ ‎∴AMN∽CDN ‎9、Ⅰ.证明:∵DEFG为正方形,‎ ‎∴GD=FE,∠GDB=∠FEC=90°‎ ‎ ∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°‎ ‎ ∴△BDG≌△CEF(AAS) ‎ A B C D E F G 解图 (2)‎ H ‎ Ⅱa.解法一:设正方形的边长为x,作△ABC的高AH,‎ 求得 ‎           由△AGF∽△ABC得:‎ 解之得:(或) ‎ ‎       ‎ 解法二:设正方形的边长为x,则 ‎         在Rt△BDG中,tan∠B=,‎ ‎∴‎ 解之得:(或) ‎ 解法三:设正方形的边长为x,‎ 则 A B C D E F G 解图 (3)‎ G’‎ F’‎ E’‎ D’‎ ‎ 由勾股定理得:‎ ‎ 解之得:‎ Ⅱb.解: 正确 ‎ 由已知可知,四边形GDEF为矩形 ‎ ∵FE∥F’E’ , ‎ ‎∴,‎ 同理,‎ ‎∴‎ ‎ 又∵F’E’=F’G’, ‎ ‎∴FE=FG 因此,矩形GDEF为正方形 ‎10、解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA ‎ ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°‎ ‎ ∴∠BAE=∠CDA ‎ 又∠B=∠C=45°‎ ‎ ∴∆ABE∽∆DCA ‎ (2)∵∆ABE∽∆DCA ‎ ∴‎ ‎ 由依题意可知CA=BA=‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴m=‎ ‎ 自变量n的取值范围为1
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