中考数学压轴题及答案精选二

中考数学压轴题及答案精选二

‎2015年中考数学压轴题汇编（二）‎ ‎31．（12分）（2015•宜昌）如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax2+bx+n（a≠0）过E，A′两点．‎ ‎（1）填空：∠AOB=　45　°，用m表示点A′的坐标：A′（　m　，　﹣m　）；‎ ‎（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且=时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；‎ ‎（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：‎ ‎①求a，b，m满足的关系式；‎ ‎②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）由B与C的坐标求出OB与OC的长，根据OC﹣OB表示出BC的长，由题意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即可确定出A′坐标；‎ ‎（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根据题意表示出A与B的坐标，由=，表示出P坐标，由抛物线的顶点为A′，表示出抛物线解析式，把点E坐标代入整理得到m与n的关系式，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；‎ ‎（3）①当E与原点重合时，把A与E坐标代入y=ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m的关系式；‎ ‎②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，求出此时a的值；若抛物线过点A（2m，2m），求出此时a的值，即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围．‎ 解答：‎ 解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），‎ ‎∴OB=2m，OC=3m，即BC=m，‎ ‎∵AB=2BC，‎ ‎∴AB=2m=0B，‎ ‎∵∠ABO=90°，‎ ‎∴△ABO为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AOB=45°，‎ 由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即A′（m，﹣m）；‎ 故答案为：45；m，﹣m；‎ ‎（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：‎ 由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），‎ ‎∵=，‎ ‎∴P（2m，m），‎ ‎∵A′为抛物线的顶点，‎ ‎∴设抛物线解析式为y=a（x﹣m）2﹣m，‎ ‎∵抛物线过点E（0，n），‎ ‎∴n=a（0﹣m）2﹣m，即m=2n，‎ ‎∴OE：OD′=BC：AB=1：2，‎ ‎∵∠EOD′=∠ABC=90°，‎ ‎∴△D′OE∽△ABC；‎ ‎（3）①当点E与点O重合时，E（0，0），‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c过点E，A，‎ ‎∴，‎ 整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am；‎ ‎②∵抛物线与四边形ABCD有公共点，‎ ‎∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，‎ 若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，‎ ‎∴a（3m）2﹣（1+am）•3m=0，‎ 整理得：am=，即抛物线解析式为y=x2﹣x，‎ 由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y=x，‎ 联立抛物线与直线OA解析式得：，‎ 解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m），‎ 令5m=10，即m=2，‎ 当m=2时，a=；‎ 若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）•2m=2m，‎ 解得：am=2，‎ ‎∵m=2，‎ ‎∴a=1，‎ 则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤1．‎ 点评：‎ 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，直线与抛物线的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．‎ ‎32．（12分）（2015•孝感）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．‎ ‎①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；‎ ‎②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；‎ ‎（2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；‎ ‎②过P点作PF∥OC交AC于点F，因为PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x+4），利用，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，代入直线y=kx即可求出k的值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵直线y=x+4经过A，C两点，‎ ‎∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4），‎ 又∵抛物线过A，C两点，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为．‎ ‎（2）①如图1‎ ‎∵，‎ ‎∴抛物线的对称轴是直线x=﹣1． ‎ ‎∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，‎ ‎∴PQ∥AO，PQ=AO=4．‎ ‎∵P，Q都在抛物线上，‎ ‎∴P，Q关于直线x=﹣1对称，‎ ‎∴P点的横坐标是﹣3，‎ ‎∴当x=﹣3时，，‎ ‎∴P点的坐标是；‎ ‎②过P点作PF∥OC交AC于点F，‎ ‎∵PF∥OC，‎ ‎∴△PEF∽△OEC，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 设点F（x，x+4），‎ ‎∴，‎ 化简得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3．‎ 当x=﹣1时，；当x=﹣3时，，‎ 即P点坐标是或．‎ 又∵点P在直线y=kx上，‎ ‎∴．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，题目综合性较强，难度不大，是一道很好的中考题．‎ ‎　‎ ‎33．（12分）（2015•湖北）边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？‎ ‎（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据正方形的性质，可得OA=OC，∠AOC=∠DGE，根据余角的性质，可得∠OCD=∠GDE，根据全等三角形的判定与性质，可得EG=OD=1，DG=OC=2，根据待定系数法，可得函数解析式；‎ ‎（2）分类讨论：若△DFP∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠PDF=∠DCO，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO=∠OCP=∠AOC=90，根据矩形的判定与性质，可得PC的长；若△PFD∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠DPF=∠DCO，=，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF于CD的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC的长；‎ ‎（3）分类讨论：▱MDNE，▱MNDE，▱NDME，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案．．‎ 解答：‎ 解：（1）过点E作EG⊥x轴于G点．‎ ‎∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，‎ ‎∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°．‎ ‎∵∠CDE=90°，‎ ‎∴∠ODC+∠GDE=90°．‎ ‎∵∠ODC+∠OCD=90°，‎ ‎∴∠OCD=∠GDE．‎ 在△OCD和△GED中，‎ ‎∴△ODC≌△GED （AAS），‎ ‎∴EG=OD=1，DG=OC=2．‎ ‎∴点E的坐标为（3，1）．‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2，‎ ‎∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+k，‎ 将C、E点的坐标代入解析式，得 ‎．‎ 解得，‎ 抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；‎ ‎（2）①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，‎ ‎∴PD∥OC，‎ ‎∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，‎ ‎∴四边形PDOC是矩形，‎ ‎∴PC=OD=1，‎ ‎∴t=1；‎ ‎②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO，=．‎ ‎∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF．‎ ‎∴PC=PD，‎ ‎∴DF=CD．‎ ‎∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，‎ ‎∴CD=，‎ ‎∴DF=．‎ ‎∵=，‎ ‎∴PC=PD=×=，‎ t=，‎ 综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；‎ ‎（3）存在，‎ 四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；‎ 四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；‎ 四边形NDME是平行四边形时，M3（2，），N3（2，）．‎ 点评：‎ 本题考察了二次函数综合题，（1）利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式；（2）利用了相似三角形的性质，矩形的判定，分类讨论时解题关键；（3）利用了平行四边形的判定，分类讨论时解题关键．‎ ‎34．（12分）（2015•武汉）已知抛物线y=x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．‎ ‎（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）将点A的坐标代入抛物线解析式即可求得c的值，则可得抛物线解析式；‎ ‎（2）过点C作CH⊥EF于点H，易证△EHC∽△FGC，再根据相似三角形的性质可得n的值；‎ ‎（3）首先表示出点P的坐标，再根据△OPM∽△QPB，然后由对应边的比值相等得出PQ和BQ的长，从而可得△PBQ的周长．‎ 解答：‎ 解：（1）把A（﹣1，0）代入 得c=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为 ‎（2）如图1，过点C作CH⊥EF于点H，‎ ‎∵∠CEF=∠CFG，FG⊥y轴于点G ‎∴△EHC∽△FGC ‎∵E（m，n）‎ ‎∴F（m，）‎ 又∵C（0，）‎ ‎∴EH=n+，CH=﹣m，FG=﹣m，CG=m2‎ 又∵，‎ 则 ‎∴n+=2‎ ‎∴n=（﹣2＜m＜0）‎ ‎（3）由题意可知P（t，0），M（t，）‎ ‎∵PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，‎ ‎∴△OPM∽△QPB．‎ ‎∴．‎ 其中OP=t，PM=，PB=1﹣t，‎ ‎∴PQ=．‎ BQ=‎ ‎∴PQ+BQ+PB=．‎ ‎∴△PBQ的周长为2．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合应用，同时涉及了相似三角形的判定与性质，具有一定的综合性与难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的运用．‎ ‎　‎ ‎35．（12分）（2015•潜江）已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，当S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解析式；‎ ‎（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）代入y=ax2+bx+c，解方程组即可；‎ ‎（2）把C点坐标代入直线CD，由S△EOC=S△EAB得关于k、b的方程组，解方程组即可；‎ ‎（3）设CD的解析式为y=kx+﹣2k，当y=0和x=﹣1时，求出FH、EH、AH，根据tanα＞tanβ列不等式可求出k的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，‎ ‎∵抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣；‎ ‎（2）如图1所示，‎ 将C点坐标代入直线CD，得 ‎2k+b= ①．‎ 当x=0时，y=b，即F（0，b），‎ 当x=﹣1时，y=﹣k+b，即E（﹣1，﹣k+b）．‎ 由S△EOC=S△EAB时，得×[2﹣（﹣1）]b=[1﹣（﹣3）]（﹣k+b） ②．‎ 联立方程①②，得 ‎，‎ 解得．‎ 当S△EOC=S△EAB时，一次函数的解析式为y=x+，‎ ‎（3）如图2所示，‎ ‎①当E点在x轴上方时，如图2所示，‎ 当α=β时，∵∠EAH=90°，∴∠AEC=90°，‎ ‎∴kAE=﹣，‎ ‎∵A（﹣3，0），E（﹣1，﹣k+b），‎ ‎∴=﹣，即k2﹣bk﹣2=0，‎ 联立方程 解得k=（舍去），‎ 随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越大，∠EAH的读数越来越小，当E点和H点重合时（如图3所示），α和β均等于0，此时联立方程，解得 因此当＜k＜时，α＞β；‎ ‎②当E点在x轴下方时，如图4所示，‎ 当α=β时，∵∠EAH=90°，∴∠AEC=90°，‎ 根据①可得此时k=（k=舍去），‎ 随着E点向下移动，∠CEH的度数越来越小，∠EAH的读数越来越大，‎ 因此当＜k＜时，α＞β．‎ 综上所述可得，当α＞β时，可得取值范围为＜k＜或＜k＜时．‎ 点评：‎ 本题考查的是一次函数、二次函数和锐角三角函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式和锐角三角函数的概念是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎36．（12分）（2015•随州）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．‎ ‎（1）求点A、B、C的坐标；‎ ‎（2）设动点N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；‎ ‎（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）令y=0可求得点A、点B的横坐标，令x=0可求得点C的纵坐标；‎ ‎（2）根据两点之间线段最短作M点关于直线x=﹣2的对称点M′，当N（﹣2，N）在直线M′B上时，MN+BN的值最小；‎ ‎（3）需要分类讨论：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根据相似三角形的性质求得PB的长度，然后可求得点P的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）令y=0得x1=﹣2，x2=4，‎ ‎∴点A（﹣2，0）、B（4，0）‎ 令x=0得y=﹣，‎ ‎∴点C（0，﹣）‎ ‎（2）将x=1代入抛物线的解析式得y=﹣‎ ‎∴点M的坐标为（1，﹣）‎ ‎∴点M关于直线x=﹣2的对称点M′的坐标为（﹣5，）‎ 设直线M′B的解析式为y=kx+b 将点M′、B的坐标代入得：‎ 解得：‎ 所以直线M′B的解析式为y=．‎ 将x=﹣2代入得：y=﹣，‎ 所以n=﹣．‎ ‎（3）过点D作DE⊥BA，垂足为E．‎ 由勾股定理得：‎ AD==3，‎ BD=，‎ 如下图，①当P1AB∽△ADB时，‎ 即：‎ ‎∴P1B=6‎ 过点P1作P1M1⊥AB，垂足为M1．‎ ‎∴即：‎ 解得：P1M1=6，‎ ‎∵即：‎ 解得：BM1=12‎ ‎∴点P1的坐标为（﹣8，6）‎ ‎∵点P1不在抛物线上，所以此种情况不存在；‎ ‎②当△P2AB∽△BDA时，即：‎ ‎∴P2B=6‎ 过点P2作P2M2⊥AB，垂足为M2．‎ ‎∴，即：‎ ‎∴P2M2=2‎ ‎∵，即：‎ ‎∴M2B=8‎ ‎∴点P2的坐标为（﹣4，2）‎ 将x=﹣4代入抛物线的解析式得：y=2，‎ ‎∴点P2在抛物线上．‎ 由抛物线的对称性可知：点P2与点P4关于直线x=1对称，‎ ‎∴P4的坐标为（6，2），‎ 当点P3位于点C处时，两三角形全等，所以点P3的坐标为（0，﹣），‎ 综上所述点P的坐标为：（﹣4，2）或（6，2）或（0，﹣）时，以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似．‎ 点评：‎ 本题综合考查了二次函数、一次函数、轴对称﹣﹣路径最短、相似三角形的性质，难度较大，利用相似三角形的性质求得PB的长是解题的关键，解答本题需要注意的是在不确定相似三角形的对应角和对应边的情况下要分类讨论，不要漏解．‎ ‎　37．（14分）（2015•连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．‎ ‎（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．‎ ‎（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；‎ ‎（2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，然后分若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；‎ ‎（3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=a2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=，从而得到MN+3PM=﹣a2+3a+9，确定二次函数的最值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，‎ ‎∴y=×（﹣2）2=1，A点的坐标为（2，﹣1），‎ 设直线的函数关系式为y=kx+b，‎ 将（0，4），（﹣2，1）代入得，‎ 解得，‎ ‎∴直线y=x+4，‎ ‎∵直线与抛物线相交，‎ ‎∴x+4=x2，‎ 解得：x=﹣2或x=8，‎ 当x=8时，y=16，‎ ‎∴点B的坐标为（8，16）；‎ ‎（2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，‎ ‎∴AG2+BG2=AB2，‎ ‎∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2=325．‎ 设点C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5，‎ BC2=（m﹣8）2+162=m2﹣16m+320，‎ ‎①若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320，‎ 解得：m=﹣；‎ ‎②若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m++=m2﹣16m+320，‎ 解得：m=0或m=6；‎ ‎③若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325，‎ 解得：m=32；‎ ‎∴点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）‎ ‎（3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，‎ 在Rt△MQN中，由勾股定理得MN==a2+1，‎ 又∵点P与点M纵坐标相同，‎ ‎∴+4=a2，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴点P的纵坐标为，‎ ‎∴MP=a﹣，‎ ‎∴MN+3PM=+1+3（a﹣）=﹣a2+3a+9，‎ ‎∴当a=﹣=6，‎ 又∵2≤6≤8，‎ ‎∴取到最小值18，‎ ‎∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．‎ ‎　‎ ‎38．（13分）（2015•南通）已知抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y=x﹣1‎ ‎（1）求证：点P在直线l上；‎ ‎（2）当m=﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标；‎ ‎（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用配方法得到y=（x﹣m）2+m﹣1，点P（m，m﹣1），然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P在直线l上；‎ ‎（2）当m=﹣3时，抛物线解析式为y=x2+6x+5，根据抛物线与x轴的交点问题求出A（﹣5，0），易得C（0，5），通过解方程组得P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，证明Rt△CME∽Rt△PAF，利用相似得=，设M（x，x2+6x+5），则=，解得x1=0（舍去），x2=﹣4，于是得到点M的坐标为（﹣4，﹣3）；‎ ‎（3）通过解方程组得P（m，m﹣1），Q（m+1，m），利用两点间的距离公式得到PQ2=2，OQ2=2m2+2m+1，OP2=2m2﹣2m+1，然后分类讨论：当PQ=OQ时，2m2+2m+1=2；当PQ=OP时，2m2﹣2m+1=2；当OP=OQ时，2m2+2m+1=2m2﹣2m+1，再分别解关于m的方程求出m即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1，‎ ‎∴点P的坐标为（m，m﹣1），‎ ‎∵当x=m时，y=x﹣1=m﹣1，‎ ‎∴点P在直线l上；‎ ‎（2）解：当m=﹣3时，抛物线解析式为y=x2+6x+5，‎ 当y=0时，x2+6x+5=0，解得x1=﹣1，x2=﹣5，则A（﹣5，0），‎ 当x=0时，y=x2+6x+5=5，则C（0，5），‎ 可得解方程组，解得或，‎ 则P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），‎ 作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，‎ ‎∵OA=OC=5，‎ ‎∴△OAC为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ACO=45°，‎ ‎∴∠MCE=45°﹣∠ACM，‎ ‎∵QG=3，OG=2，‎ ‎∴AG=OA﹣OG=3=QG，‎ ‎∴△AQG为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠QAG=45°，‎ ‎∵∠APF=90°﹣∠PAF=90°﹣（∠PAQ+45°）=45°﹣∠PAQ，‎ ‎∵∠ACM=∠PAQ，‎ ‎∴∠APF=∠MCE，‎ ‎∴Rt△CME∽Rt△PAF，‎ ‎∴=，‎ 设M（x，x2+6x+5），‎ ‎∴ME=﹣x，CE=5﹣（x2+6x+5）=﹣x2﹣6x，‎ ‎∴=，‎ 整理得x2+4x=0，解得x1=0（舍去），x2=﹣4，‎ ‎∴点M的坐标为（﹣4，﹣3）；‎ ‎（3）解：解方程组得或，则P（m，m﹣1），Q（m+1，m），‎ ‎∴PQ2=（m+1﹣m）2+（m﹣m+1）2=2，OQ2=（m+1）2+m2=2m2+2m+1，OP2=m2+（m﹣1）2=2m2﹣2m+1，‎ 当PQ=OQ时，2m2+2m+1=2，解得m1=，m2=；‎ 当PQ=OP时，2m2﹣2m+1=2，解得m1=，m2=；‎ 当OP=OQ时，2m2+2m+1=2m2﹣2m+1，解得m=0，‎ 综上所述，m的值为0，，，，．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，会求抛物线与直线的交点坐标；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；会运用相似比计算线段的长；能运用分类讨论的思想解决数学问题．‎ ‎39．（10分）（2015•苏州）如图，已知二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC ‎（1）∠ABC的度数为　45°　；‎ ‎（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；‎ ‎（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）首先求出B点坐标，进而得出OB=OC=m，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；‎ ‎（2）作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，利用勾股定理AE2+PE2=CD2+PD2，得出P点坐标即可；‎ ‎（3）根据题意得出△QBC是等腰直角三角形，可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），进而分别分析求出符合题意的答案．‎ 解答：‎ 解：（1）令x=0，则y=﹣m，C点坐标为：（0，﹣m），‎ 令y=0，则x2+（1﹣m）x﹣m=0，‎ 解得：x1=﹣1，x2=m，‎ ‎∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，‎ ‎∴B点坐标为：（m，0），‎ ‎∴OB=OC=m，‎ ‎∵∠BOC=90°，‎ ‎∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC=45°；‎ 故答案为：45°；‎ ‎（2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，‎ 由题意得，抛物线的对称轴为：x=，‎ 设点P坐标为：（，n），‎ ‎∵PA=PC，‎ ‎∴PA2=PC2，‎ 即AE2+PE2=CD2+PD2，‎ ‎∴（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，‎ 解得：n=，‎ ‎∴P点的坐标为：（，）；‎ ‎（3）存在点Q满足题意，‎ ‎∵P点的坐标为：（，），‎ ‎∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2，‎ ‎=（+1）2+（）2+（+m）2+（）2‎ ‎=1+m2，‎ ‎∵AC2=1+m2，‎ ‎∴PA2+PC2=AC2，‎ ‎∴∠APC=90°，‎ ‎∴△PAC是等腰直角三角形，‎ ‎∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，‎ ‎∴△QBC是等腰直角三角形，‎ ‎∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），‎ ‎①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，‎ 若PQ与x轴垂直，则=﹣m，‎ 解得：m=，PQ=，‎ 若PQ与x轴不垂直，‎ 则PQ2=PE2+EQ2‎ ‎=（）2+（+m）2‎ ‎=m2﹣2m+‎ ‎=（m﹣）2+‎ ‎∵0＜m＜1，‎ ‎∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，‎ ‎∵＜，‎ ‎∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小，‎ ‎②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，‎ 若PQ与y轴垂直，则=m，‎ 解得：m=，PQ=，‎ 若PQ与y轴不垂直，‎ 则PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m﹣）2‎ ‎=m2﹣2m+‎ ‎=（m﹣）2+，‎ ‎∵0＜m＜1，‎ ‎∴当m=时，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，‎ ‎∵＜，‎ ‎∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，‎ 综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值求法等知识，利用分类讨论得出Q点坐标是解题关键．‎ ‎40．（10分）（2015•无锡）一次函数y=x的图象如图所示，它与二次函数y=ax2﹣4ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）设二次函数图象的顶点为D．‎ ‎①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；‎ ‎②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）先求出对称轴为x=2，然后求出与一次函数y=x的交点，即点C的坐标；‎ ‎（2）①先求出点D的坐标，设A坐标为（m，m），然后根据面积为3，求出m的值，得出点A的坐标，最后根据待定系数法求出a、c的值，即可求出解析式；‎ ‎②过点A作AE⊥CD于E，设A坐标为（m，m），由S△ACD=10，求出m的值，然后求出点A坐标以及CD的长度，然后分两种情况：当a＞0，当a＜0时，分别求出点D的坐标，代入求出二次函数的解析式．‎ 解答：‎ 解：（1）∵y=ax2﹣4ax+c=a（x﹣2）2﹣4a+c，‎ ‎∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，‎ 当x=2时，y=x=，‎ 故点C（2，）；‎ ‎（2）①∵点D与点C关于x轴对称，‎ ‎∴D（2，﹣，），‎ ‎∴CD=3，‎ 设A（m，m）（m＜2），‎ 由S△ACD=3得：×3×（2﹣m）=3，‎ 解得m=0，‎ ‎∴A（0，0）．‎ 由A（0，0）、D（2，﹣）得：‎ ‎，‎ 解得：a=，c=0．‎ ‎∴y=x2﹣x；‎ ‎②设A（m，m）（m＜2），‎ 过点A作AE⊥CD于E，则AE=2﹣m，CE=﹣m，‎ AC===（2﹣m），‎ ‎∵CD=AC，‎ ‎∴CD=（2﹣m），‎ 由S△ACD=10得×（2﹣m）2=10，‎ 解得：m=﹣2或m=6（舍去），‎ ‎∴m=﹣2，‎ ‎∴A（﹣2，﹣），CD=5，‎ 当a＞0时，则点D在点C下方，‎ ‎∴D（2，﹣），‎ 由A（﹣2，﹣）、D（2，﹣）得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴y=x2﹣x﹣3；‎ 当a＜0时，则点D在点C上方，‎ ‎∴D（2，），‎ 由A（﹣2，﹣）、D（2，）得：，‎ 解得，‎ ‎∴y=﹣x2+2x+．‎ 点评：‎ 本题考查了二次根式的综合题，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，三角形的面积公式，以及待定系数法求函数解析式等知识点，综合性较强，难度较大．‎ ‎41．（14分）（2015•本溪）如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（2，0），点B（3，3），BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为（﹣4，0），点F与原点重合 ‎（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；‎ ‎（2）△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式；‎ ‎（3）点P是抛物线对称轴上一点，当△ABP时直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据待定系数法解出解析式和对称轴即可；‎ ‎（2）从三种情况分析①当0≤t≤3时，△DEF与△OBC重叠部分为等腰直角三角形；②当3＜t≤4时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形；③当4＜t≤5时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形得出S关于t的函数关系式即可；‎ ‎（3）直接写出当△ABP时直角三角形时符合条件的点P坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意得，‎ 解得a=1，b=﹣2，‎ ‎∴抛物线解析式是y=x2﹣2x，‎ 对称轴是直线x=1；‎ ‎（2）有3中情况：‎ ‎①当0≤t≤3时，△DEF与△OBC重叠部分为等腰直角三角形，如图1：‎ S=；‎ ‎②当3＜t≤4时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图2：‎ S=；‎ ‎③当4＜t≤5时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图3：‎ S=；‎ ‎（3）当△ABP时直角三角形时，可得符合条件的点P坐标为（1，1）或（1，2）或（1，）或（1，）．‎ 点评：‎ 此题考查了难度较大的函数与几何的综合题，关键是根据0≤t≤3，3＜t≤4，4＜t≤5三种情况进行分析．‎ ‎　‎ ‎42．（12分）（2015•大连）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为y=ax2+bx+c．‎ ‎（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；‎ ‎（2）若点G的坐标为（0，﹣3），求该抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM=EA？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）由折叠的性质得出CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，设CD=x，则DF=DB=2m﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果；‎ ‎（2）证明△OEG∽△CDG，得出比例式，求出m的值，得出C、D的坐标，作FH⊥CD于H，证明△FCH∽△DCF，得出比例式求出F的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；‎ ‎（3）由直角三角形斜边上的中线性质得出MF=CD=EA，点P与点F重合，得出点P的坐标；由抛物线的对称性得另一点P的坐标即可．‎ 解答：‎ 解：（1）根据折叠的性质得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，∠CED=∠AED，‎ 设CD=x，则DF=DB=2m﹣x，‎ 根据勾股定理得：CF2+DF2=CD2，‎ 即m2+（2m﹣x）2=x2，‎ 解得：x=m，‎ ‎∴点D的坐标为：（m，m）；‎ ‎（2）∵四边形OABC是矩形，‎ ‎∴OA=2m，OA∥BC，‎ ‎∴∠CDE=∠AED，‎ ‎∴∠CDE=∠CED，‎ ‎∴CE=CD=m，‎ ‎∴AE=CE=m，‎ ‎∴OE=OA﹣AE=m，‎ ‎∵OA∥BC，‎ ‎∴△OEG∽△CDG，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得：m=2，‎ ‎∴C（0，2），D（，2），‎ 作FH⊥CD于H，如图1所示：‎ 则∠FHC=90°=∠DFC，‎ ‎∵∠FCH=∠FCD，‎ ‎∴△FCH∽△DCF，‎ ‎∴==，‎ 即，‎ ‎∴FH=，CH=，+2=，‎ ‎∴F（，），‎ 把点C（0，2），D（，2），F（，）代入y=ax2+bx+c得：，‎ 解得：a=﹣，b=，c=2，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；‎ ‎（3）存在；点P的坐标为：（，），或（，）；理由如下：‎ 如图2所示：∵CD=CE，CE=EA，‎ ‎∴CD=EA，‎ ‎∵线段CD的中点为M，∠DFC=90°，‎ ‎∴MF=CD=EA，点P与点F重合，‎ ‎∴点P的坐标为：（，）；‎ 由抛物线的对称性得另一点P的坐标为（，）；‎ ‎∴在线段CD上方的抛物线上存在点P，使PM=EA，点P的坐标为：（，），或（‎ ‎，）．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、用待定系数法求二次函数的解析式、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线两次证明三角形相似才能得出相关点的坐标求出抛物线的解析式．‎ ‎43．（14分）（2015•丹东）如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．‎ ‎（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；‎ ‎（2）判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；‎ ‎（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据待定系数法即可求得；‎ ‎（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．‎ ‎（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；‎ ‎（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n+2），然后根据S△AMN=S△ABN﹣S△BMN 得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；‎ ‎（2）△ABC是直角三角形．‎ 令y=0，则﹣x2+x+4=0，‎ 解得x1=8，x2=﹣2，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣2，0），‎ 由已知可得，‎ 在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，‎ 在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，‎ 又∵BC=OB+OC=2+8=10，‎ ‎∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2‎ ‎∴△ABC是直角三角形．‎ ‎（3）∵A（0，4），C（8，0），‎ ‎∴AC==4，‎ ‎①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），‎ ‎②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）‎ ‎③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），‎ 综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．‎ ‎（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，‎ ‎∴MD∥OA，‎ ‎∴△BMD∽△BAO，‎ ‎∴=，‎ ‎∵MN∥AC ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵OA=4，BC=10，BN=n+2‎ ‎∴MD=（n+2），‎ ‎∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN ‎=BN•OA﹣BN•MD ‎=（n+2）×4﹣×（n+2）2‎ ‎=﹣（n﹣3）2+5，‎ ‎∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理和逆定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质以及函数的最值等，熟练掌握性质定理是解题的关键．‎ ‎　44．（14分）（2015•锦州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；‎ ‎（3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），应用待定系数法，求出该抛物线的解析式即可．‎ ‎（2）首先根据三角形的面积的求法，求出△CAD的面积，即可求出△PDB的面积，然后求出BD=2，即可求出|n|=3，据此判断出n=3或﹣3，再把它代入抛物线的解析式，求出x的值是多少，即可判断出点P的坐标．‎ ‎（3）首先应用待定系数法，求出BC所在的直线的解析式是多少；然后根据点P的坐标是（m，n），求出点F的坐标，再根据二次函数最值的求法，求出EG2的最小值是多少，即可求出线段EG的最小值．‎ 解答：‎ 解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx+2中，可得 解得 ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣0.5x2+1.5x+2．‎ ‎（2）∵抛物线的解析式为y=﹣0.5x2+1.5x+2，‎ ‎∴点C的坐标是（0.2），‎ ‎∵点A（﹣1，0）、点D（2，0），‎ ‎∴AD=2﹣（﹣1）=3，‎ ‎∴△CAD的面积=，‎ ‎∴△PDB的面积=3，‎ ‎∵点B（4，0）、点D（2，0），‎ ‎∴BD=2，‎ ‎∴|n|=3×2÷2=3，‎ ‎∴n=3或﹣3，‎ ‎①当n=3时，‎ ‎0.5m2+1.5m+2=3，‎ 解得m=或m=﹣，‎ ‎∴点P的坐标是（，3）或（﹣，3）．‎ ‎②当n=﹣3时，‎ ‎0.5m2+1.5m+2=﹣3，‎ 整理，可得 m2+3m+10=0，‎ ‎∵△=32﹣4×1×10=﹣31＜0，‎ ‎∴方程无解．‎ 综上，可得 点P的坐标是（，3）或（﹣，3）．‎ ‎（3）如图1，，‎ 设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，‎ ‎∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），‎ ‎∴‎ 解得 ‎∴BC所在的直线的解析式是：y=﹣0.5x+2，‎ ‎∵点P的坐标是（m，n），‎ ‎∴点F的坐标是（m，﹣0.5m+2），‎ ‎∴EG2=m2+（﹣0.5m+2）2=1.25m2﹣2m+4=1.25+3.2，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴m=时，线段EG的最小值是：=，‎ 即线段EG的最小值是．‎ 点评：‎ ‎（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．‎ ‎（2）此题还考查了待定系数法求直线、函数解析式的方法，要熟练掌握．‎ ‎（3）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．‎ ‎45．（14分）（2015•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）填空：点A的坐标为（　0　，　2　），点B的坐标为（　﹣3　，　0　），点C的坐标为（　1　，　0　），点D的坐标为（　﹣1　，　　）；‎ ‎（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）‎ ‎①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；‎ ‎②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；‎ ‎③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）令x=0，求得A（0，2），令y=0，求得B（﹣3，0），C（1，0），由y=﹣x2﹣x+2转化成顶点式可知D（﹣1，）；‎ ‎（2）①设P（n，0），则E（n，﹣n2﹣n+2），根据已知条件得出﹣n2﹣n+2=1﹣n，解方程即可求得E的坐标；‎ ‎②根据直线ED和EA的斜率可知直线与坐标轴的交角相等，从而求得与坐标轴构成的三角形是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求得EF的长；‎ ‎③根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与O重合时，周长最小，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于Q，交AC于R，此时△PQR的周长PQ+QR+PR=EF，然后求得E、F的坐标，根据勾股定理即可求得．‎ 解答：‎ 解：（1）令x=0，则y=2，‎ ‎∴A（0，2），‎ 令y=0，则﹣x2﹣x+2=0，解得x1=﹣3，x2=1（舍去），‎ ‎∴B（﹣3，0），C（1，0），‎ 由y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+1）2+可知D（﹣1，），‎ 故答案为0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、；‎ ‎（2）①设P（n，0），则E（n，﹣n2﹣n+2），‎ ‎∵PE=PC，‎ ‎∴﹣n2﹣n+2=1﹣n，解得n1=﹣，n2=1（舍去），‎ ‎∴当n=﹣时，1﹣n=，‎ ‎∴E（﹣，），‎ ‎②如图1，设直线DE与x轴交于M，与y轴交于N，直线EA与x轴交于K，‎ 根据E、D的坐标求得直线ED的斜率为，根据E、A的坐标求得直线EA的斜率为﹣，‎ ‎∴△MEK是以MK为底边的等腰三角形，△AEN是以AN为底边的等腰三角形，‎ ‎∵到EA和ED的距离相等的点F在顶角的平分线上，‎ 根据等腰三角形的性质可知，EF是E点到坐标轴的距离，‎ ‎∴EF=或；‎ ‎（3）根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与O重合时，周长最小，‎ 如图2，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于Q，交AC于R，‎ 此时△PQR的周长PQ+QR+PR=EF，‎ ‎∵A（0，2），B（﹣3，0），C（1，0），‎ ‎∴AB==，AC==，‎ ‎∵S△AOB=×OE×AB=OA•OB，‎ ‎∴OE=，‎ ‎∵△OEM∽△ABO，‎ ‎∴==，即==，‎ ‎∴OM=，EM=‎ ‎∴E（﹣，），‎ 同理求得F（，），‎ 即△PQR周长的最小值为EF==．‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称﹣最短路线问题，（3）根据对称的性质确定出三角形周长最小时满足的图形，找出点P关于直线AB的对称点E，关于AC的对称点F，再根据两点之间线段最短得到BEF即为PQ+QR+PR的最小值是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎26、（14分）（2015•营口）如图1，一条抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且当x=﹣1和x=3时，y的值相等，直线y=x﹣与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式．‎ ‎（2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．‎ ‎①若使△BPQ为直角三角形，请求出所有符合条件的t值；‎ ‎②求t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？‎ ‎（3）如图2，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得△ODM，将△OPD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m＜2），将平移后的三角形与△ODM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）因为当x=﹣1和x=3时，y的值相等，所以抛物线的对称轴为直线x=1，将x=1和x=6分别代入中，可求得抛物线的顶点坐标和与直线另一交点的坐标，然后设出抛物线的顶点式，最后将（6，6）代入即可求得抛物线的解析式；‎ ‎（2）①先求得A（ 2，0），B（4，0），C（0，﹣3），从而可得到OA=2，OB=4；OC=3，由勾股定理知BC=5，有∠PQB=90°或∠BPQ=90°两种情况：当∠PQB=90°时，可得△PQB∽△COB，当∠BPQ=90°时，可得△BPQ∽△BOC；②过点Q作QG⊥AB于G，能够等到△BGQ∽△BOC，可求得GQ=然后S四边形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ=9，从而可求得四边形的面积的最值；‎ ‎（3）先求得点D的坐标，然后根据平移与坐标变换的关系得出点P1（2﹣m，0），D1（2﹣m，﹣3），E（2﹣m，﹣3+ ），①当0时，作FH⊥轴于点H，S四边形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ；当时，设D1P1交OM于点F，S△OEF==．‎ 解答：‎ 解：（1）∵当x=﹣1和x=3时，y的值相等，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=1，把x=1和x=6分别代入 中，得顶点M（1，﹣），另一个交点坐标为（6，6），‎ 则可设抛物线的表达式为y=a（x﹣1）2﹣，将（6，6）代入其中，解得a=，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=，即 y=…3分 ‎（2）如下图：‎ 当y=0时，． 解得：x1=﹣2，x2=4．‎ 由题意可知：A（ 2，0），B（4，0），‎ 所以OA=2，OB=4；‎ 当x=0时，y=﹣3，‎ 所以点C（0，﹣3），OC=3，‎ 由勾股定理知BC=5，‎ OP=1×t=t，BQ=2×t=2t，‎ ‎①∵∠PBQ是锐角，‎ ‎∴有∠PQB=90°或∠BPQ=90°两种情况：当∠PQB=90°时，可得△PQB∽△COB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴t=；‎ 当∠BPQ=90°时，可得△BPQ∽△BOC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴t=；‎ 由题意知0≤t≤2.5，‎ ‎∴当t=或t=时，以B，P，Q为顶点的三角形是直角三角形…7分 ‎②过点Q作QG⊥AB于G，‎ ‎∴△BGQ∽△BOC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴GQ=，‎ ‎∴S四边形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ=﹣=‎ ‎=9．‎ ‎∵＞0，‎ ‎∴四边形ACQP的面积有最小值，‎ 又∵t=2 满足0≤t≤2.5，‎ ‎∴当t=2时，四边形ACQP的面积最小，最小值是；‎ ‎（3）如下图，‎ 由OB=4得OP=2，把 x=2代入y=中，得y=﹣3，‎ 所以D（2，﹣3），‎ 直线CD∥x轴，‎ 设直线OD的解析式为y=k1x，‎ 则k1=，所以y=﹣x，‎ 因为△P1O1D1是由△POD 沿x轴 向左平移m个单位得到的，所以P1（2﹣m，0），D1（2﹣m，﹣3），E（2﹣m，﹣3+ ）‎ 设直线OM的解析式为y=k2x，‎ 则k2=，‎ 所以y=﹣．‎ ‎①当0时，作FH⊥轴于点H，由题意O1（﹣m，0），‎ 又∵O1D1∥OD，‎ ‎∴直线O1D1的解析式为y=﹣．‎ 联立方程组，‎ 解得，‎ 所以F（，），‎ 所以FH=，‎ ‎=﹣﹣==3m﹣．‎ 如下图，‎ 当时，设D1P1交OM于点F，直线OM的解析式为y=﹣，‎ 所以F（2﹣m，﹣），‎ 所以EF=，‎ ‎∴S△OEF==‎ 综上所述，S=．‎ 点评：‎ 本题主要考查的是二次函数的综合应用，属于动点问题，题目涉及了求二次函数的解析式，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定、求不规则图形的面积等知识，难度较大．‎ ‎　‎ ‎47．（12分）（2015•盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．‎ ‎（1）求直线AB的函数表达式；‎ ‎（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；‎ ‎（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；‎ ‎（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；‎ ‎（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．‎ 解答：‎ 解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．‎ ‎∵∠OPA=45°，‎ ‎∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得 ‎，‎ 解得．‎ 故直线AB的解析式为y=x+2；‎ ‎（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=QC．‎ 设Q（m，m2），则C（m，m+2）．‎ ‎∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，‎ QD=QC=[﹣（m﹣）2+]．‎ 故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为；‎ ‎（3）∵∠APT=45°，‎ ‎∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．‎ ‎①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°．‎ ‎∵Q′（﹣2，4），F（0，4），‎ ‎∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形．‎ ‎（i）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；‎ ‎（ii）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．‎ ‎②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；‎ 先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．‎ 则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．‎ 设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得 n2+（4﹣n20=22，即n4﹣7n2+12=0．‎ 解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣，即Q″（﹣，3）．‎ 可证△PFQ″为等边三角形，‎ 所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，‎ 所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．‎ 则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．‎ ‎（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E．‎ 则ET=AE=，OE=1，‎ 所以OT=﹣1，‎ 解得t=1﹣；‎ ‎（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．‎ 设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=，‎ ‎∴a+a=，‎ 解得PT=a=﹣1，‎ ‎∴OT=OP﹣PT=3﹣，‎ ‎∴t=3﹣．‎ 综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值的求法以及相似三角形的判定与性质，难度比较大．另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，做到不重不漏．‎ ‎48．（12分）（2015•巴彦淖尔）如图所示，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣2，0）、B（4，0），其原点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并写出原点D的坐标；‎ ‎（2）设P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当S取值最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，请直接写出P′点的坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）本题需先根据抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线y=ax2+bx+4即可求出它的解析式．‎ ‎（2）本题首先设出BD解析式y=kx+b，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值．‎ ‎（3）本题需先根据（2）得出最大值来，求出点P的坐标，得出四边形PEOF是矩形，再作点P关于直线EF的对称点P′设出MC=m，则MF=m．从而得出P′M与P′E的值，根据勾股定理，得出m的值，再由△EHP′∽△EP′M，得出EH和OH的值，最后求出P′的坐标，判断出不在抛物线上．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点 ‎∴把（﹣2，0）、B（4，0）代入抛物线得：a=﹣，b=1，‎ ‎∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+4．‎ ‎∴顶点D的坐标为（1，）；‎ ‎（2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，‎ 得，‎ 解得k=﹣，b=6，‎ 直线BD解析式为y=﹣x+6，‎ S=PE•OE，‎ S=PE•OE=xy=x（﹣x+6）=﹣x2+3x，‎ ‎∵顶点D的坐标为（1，），B（4，0）‎ ‎∴1＜x＜4，‎ ‎∴S=﹣x2+3x（1＜x＜4），‎ S=﹣（x2﹣4x++4）+3，‎ ‎=﹣（x﹣2）2+3，‎ ‎∴当x=2时，S取得最大值，最大值为3；‎ ‎（3）当S取得最大值，x=2，y=3，‎ ‎∴P（2，3），‎ ‎∴四边形PEOF是矩形．‎ 作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E，P′F．‎ 过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M，‎ 设MC=m，则MF=m，P′M=3﹣m，P′E=2，‎ 在Rt△P′MC中，由勾股定理，‎ ‎22+（3﹣m）2=m2，‎ 解得m=，‎ ‎∵CM•P′H=P′M•P′E，‎ ‎∴P′H=，‎ 由△EHP′∽△EP′M，‎ 可得=，‎ ‎∴=，‎ 解得：EH=．‎ ‎∴OH=3﹣=．‎ ‎∴P′坐标（﹣，）．‎ 不在抛物线上．‎ 点评：‎ 本题主要考查了二次函数的综合，在解题时要根据抛物线的性质，再结合相似三角形的性质，去求答案是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎49．（12分）（2015•包头）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；‎ ‎（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点D的坐标；‎ ‎（2）根据点的坐标求出△AOC，△BOC的面积，利用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，求出其面积，计算即可得到答案；‎ ‎（3）假设存在，设点M的坐标为（m，0），表示出MA的长，根据MN∥BC，得到比例式求出AN，根据△AMN∽△ACM，得到比例式求出m，得到点M的坐标，求出BC的解析式，根据MN∥BC，设直线MN的解析式，求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3，‎ y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，‎ ‎∴点D的坐标为：（1，﹣4）；‎ ‎（2）S1+S3=S2，‎ 过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于F，‎ 由题意得，CD=，BD=2，BC=3，‎ CD2+BC2=BD2，‎ ‎∴△BCD是直角三角形，‎ S1=×OA×OC=，‎ S2=×OB×OC=‎ S3，=×CD×BC=3，‎ ‎∴S1+S3=S2；‎ ‎（3）存在点M使∠AMN=∠ACM，‎ 设点M的坐标为（m，0），‎ ‎∵﹣1＜m＜3，‎ ‎∴MA=m+1，AC=，‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得，AN=（m+1），‎ ‎∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，‎ ‎∴△AMN∽△ACM，‎ ‎∴=，即（m+1）2=•（m+1），‎ 解得，m1=，m2=﹣1（舍去），‎ ‎∴点M的坐标为（，0），‎ 设BC的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，‎ ‎，解得，‎ 则BC的解析式为y=x﹣3，又MN∥BC，‎ ‎∴设直线MN的解析式为y=x+b，把点M的坐标为（，0）代入得，‎ b=﹣，‎ ‎∴直线MN的解析式为y=x﹣．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数的解析式的确定和相似三角形的判定和性质，灵活运用待定系数法二次函数和一次函数求解析式是解题的关键，注意一元二次方程的解法和勾股定理逆定理的运用．‎ ‎　‎ ‎50．（12分）（2015•呼和浩特）已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并写出y＜0时，对应x的取值范围；‎ ‎（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．‎ ‎①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；‎ ‎②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得符合条件的函数解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案；‎ ‎（2）①根据BC关于对称轴对称，可得A点的纵坐标，根据矩形的周长公式，可得答案；‎ ‎②分类讨论A在对称轴左侧，A在对称轴右侧，根据对称，可得BC的长，AB的长，根据周长公式，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点（0，0），‎ ‎∴m2﹣1=0，‎ ‎∴m=±1‎ ‎∴y=x2+x或y=x2﹣3x，‎ ‎∵当x＜0时，y随x的增大而减小，‎ ‎∴y=x2﹣3x，由函数与不等式的关系，得y＜0时，0＜x＜3；‎ ‎（2）①如图1，‎ 当BC=1时，由抛物线的对称性，得点A的纵坐标为﹣2，‎ ‎∴矩形的周长为6；‎ ‎②∵A的坐标为（a，b），‎ ‎∴当点A在对称轴左侧时，如图2，‎ 矩形ABCD的一边BC=3﹣2a，另一边AB=3a﹣a2，‎ 周长L=﹣2a2+2a+6．其中0＜a＜，当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣），‎ 当点A在对称轴右侧时如图3，‎ 矩形的一边BC=3﹣（6﹣2a）=2a﹣3，另一边AB=3a﹣a2，‎ 周长L=﹣2a2+10a﹣6，其中＜a＜3，当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣）；‎ 综上所述：当0＜a＜时，L=﹣2（a﹣）2+，‎ ‎∴当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣），‎ 当＜a＜3时，L=﹣2（a﹣）2+，‎ ‎∴当a=时，L最大=，A点坐标为（，﹣）．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，利用函数的增减性舍去不符合题意的函数解析式；（2）利用对称性得出BC的长，利用矩形的周长公式得出二次函数解析式，利用二次函数的性质得出答案，分类讨论是解题关键，以防遗漏．‎ ‎　‎ ‎51．（12分）（2015•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形 ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）求点P的坐标；‎ ‎（3）求证：CE=EF；‎ ‎（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；‎ ‎（2）根据△PCQ为等边三角形，则△CGQ中，∠CQD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CQP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标；‎ ‎（3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解；‎ ‎（4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，可以证得EM=EF，即M与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾，故M不存在．‎ 解答：‎ 解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，将点A（0，2）代入，得a（0﹣2）2+1=2，‎ 解这个方程，得a=，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=（x﹣2）2+1=x2﹣x+2；‎ ‎（2）将x=2代入y=x，得y=2‎ ‎∴点C的坐标为（2，2）即CG=2，‎ ‎∵△PCQ为等边三角形 ‎∴∠CQP=60°，CQ=PQ，‎ ‎∵PQ⊥x轴，‎ ‎∴∠CQG=30°，‎ ‎∴CQ=4，GQ=2．‎ ‎∴OQ=2+2，PQ=4，‎ 将y=4代入y=（x﹣2）2+1，得4=（x﹣2）2+1‎ 解这个方程，得x1=2+2=OQ，x2=2﹣2＜0（不合题意，舍去）．‎ ‎∴点P的坐标为（2+2，4）；‎ ‎（3）把y=x代入y=x2﹣x+2，得x=x2﹣x+2‎ 解这个方程，得x1=4+2，x2=4﹣2＜2（不合题意，舍去）‎ ‎∴y=4+2=EF ‎∴点E的坐标为（4+2，4+2）‎ ‎∴OE==4+4，‎ 又∵OC==2，‎ ‎∴CE=OE﹣OC=4+2，‎ ‎∴CE=EF；‎ ‎（4）不存在．‎ 如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CE，∠QCM=∠PCE ‎∵∠QCP=60°，‎ ‎∴∠MCE=60°‎ 又∵CE=EF，‎ ‎∴EM=EF，‎ 又∵点E为直线y=x上的点，‎ ‎∴∠CEF=45°，‎ ‎∴点M与点F不重合．‎ ‎∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，‎ ‎∴原假设错误，满足条件的点M不存在．‎ 点评：‎ 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．‎ ‎　‎ ‎52．（10分）（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．‎ ‎（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．‎ ‎（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，‎ ‎∴m=4+2=6，‎ ‎∴B（4，6），‎ ‎∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．‎ ‎（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），‎ ‎∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），‎ ‎=﹣2n2+9n﹣4，‎ ‎=﹣2（n﹣）2+，‎ ‎∵PC＞0，‎ ‎∴当n=时，线段PC最大且为．‎ ‎（3）∵△PAC为直角三角形，‎ i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．‎ 由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；‎ ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．‎ 如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．‎ 过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，‎ ‎∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，‎ ‎∴M（3，0）．‎ 设直线AM的解析式为：y=kx+b，‎ 则：，解得，‎ ‎∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①‎ 又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②‎ 联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）‎ ‎∴C（3，0），即点C、M点重合．‎ 当x=3时，y=x+2=5，‎ ‎∴P1（3，5）；‎ iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．‎ ‎∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=2．‎ 如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，‎ 则点C在抛物线上，且C（，）．‎ 当x=时，y=x+2=．‎ ‎∴P2（，）．‎ ‎∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，‎ ‎∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．‎ ‎　‎ ‎53．（14分）（2015•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；‎ ‎（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；‎ ‎（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，‎ ‎∴x1+x2=8，‎ 由 解得：‎ ‎∴B（2，0）、C（6，0）‎ 则4m﹣16m+4m+2=0，‎ 解得：m=，‎ ‎∴该抛物线解析式为：y=；‎ ‎（2）可求得A（0，3）‎ 设直线AC的解析式为：y=kx+b，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，‎ 要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：‎ ‎①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），‎ ‎∵P（t，），∴PF=，‎ ‎∴S△APC=S△APF+S△CPF ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ 此时最大值为：，‎ ‎②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），‎ ‎∵P（t，），∴PM=，‎ ‎∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=‎ ‎=‎ ‎=，‎ 当t=8时，取最大值，最大值为：12，‎ 综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；‎ ‎（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，‎ Q（t，3），P（t，），‎ ‎①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，‎ 若：△AOB∽△AQP，则：，‎ 即：，‎ ‎∴t=0（舍），或t=，‎ 若△AOB∽△PQA，则：，‎ 即：，‎ ‎∴t=0（舍）或t=2（舍），‎ ‎②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，‎ 若：△AOB∽△AQP，则：，‎ 即：，‎ ‎∴t=0（舍），或t=，‎ 若△AOB∽△PQA，则：，‎ 即：，‎ ‎∴t=0（舍）或t=14，‎ ‎∴t=或t=或t=14．‎ 点评：‎ 本题主要考查了抛物线解析式的求法，以及利用配方法等知识点求最值的问题，还考查了三角形相似的问题，是一道二次函数与几何问题结合紧密的题目，要注意认真总结．‎ ‎　‎ ‎54、（12分）（2015•威海）已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．‎ ‎（1）求抛物线l2的函数表达式；‎ ‎（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；‎ ‎（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）由对称轴可求得b，可求得l1的解析式，令y=0可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得l2的表达式；‎ ‎（2）设P点坐标为（1，y），由勾股定理可表示出PC2和PA2，由条件可得到关于y的方程可求得y，可求得P点坐标；‎ ‎（3）可分别设出M、N的坐标，可表示出MN，再根据函数的性质可求得MN的最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线l1：y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1，‎ ‎∴﹣=1，解得b=2，‎ ‎∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3，‎ 令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，‎ ‎∴A点坐标为（﹣1，0），‎ ‎∵抛物线l2经过点A、E两点，‎ ‎∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x﹣5），‎ 又∵抛物线l2交y轴于点D（0，﹣），‎ ‎∴﹣=﹣5a，解得a=，‎ ‎∴y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣2x﹣，‎ ‎∴抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣；‎ ‎（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），‎ ‎∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4，‎ ‎∵PC=PA，‎ ‎∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，‎ ‎∴P点坐标为（1，1）；‎ ‎（3）由题意可设M（x，x2﹣2x﹣），‎ ‎∵MN∥y轴，‎ ‎∴N（x，﹣x2+2x+3），x2﹣2x﹣‎ 令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，‎ ‎①当﹣1＜x≤时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x﹣）=﹣x2+4x+=﹣（x﹣）2+，‎ 显然﹣1＜≤，∴当x=时，MN有最大值；‎ ‎②当＜x≤5时，MN=（x2﹣2x﹣）﹣（﹣x2+2x+3）=x2﹣4x﹣=（x﹣）2﹣，‎ 显然当x＞时，MN随x的增大而增大，‎ ‎∴当x=5时，MN有最大值，×（5﹣）2﹣=12；‎ 综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理等知识点．在（1）中求得A点的坐标是解题的关键，在（2）中用P点的坐标分别表示出PA、PC是解题的关键，在（3）中用M、N的坐标分别表示出MN的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较为基础，难度适中．‎ ‎55．（12分）（2015•泰安）如图，抛物线y=ax2+bx+c为x轴的一交点为A（﹣6，0），与y轴的交点为C（0，3），且经过点G（﹣2，3）．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CPQ的面积为S，求S的最大值；‎ ‎（3）若点B是抛物线与x轴的另一定点，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上，∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法，把A、C、G三点坐标代入可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）可先求得直线AC的解析式，设P（x，0），可表示出OP、PQ，则可表示出S，再结合二次函数的性质可求得S的最大值；‎ ‎（3）由条件可求得BD=BC=5，可求得D点坐标，连接DN，根据条件可证明DN∥BC，可得出DN为△ABC的中位线，可求得DM的长，则可求得OM的长，可求得M点的坐标．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎（1）把A、C、G三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+3；‎ ‎（2）∵C（0，3），‎ ‎∴可设直线AC解析式为y=kx+3，‎ 把A点坐标代入可得0=﹣6k+3，解得k=，‎ ‎∴直线AC解析式为y=x+3，‎ 设P点坐标为（x，0）（x＜0），则Q点坐标为（x，x+3），‎ ‎∴PQ=x+3，PO=﹣x，‎ ‎∴S=PQ•PO=（x+3）（﹣x）=﹣x2﹣x=﹣（x+3）+，‎ ‎∴△CPQ的面积S的最大值为；‎ ‎（3）当y=0时，﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣6或x=4，‎ ‎∴B点坐标为（4，0），‎ ‎∴BC==5，‎ ‎∵∠CDB=∠DCB，‎ ‎∴BD=BC=5，‎ ‎∴OD=BD﹣OB=5﹣4=1，‎ ‎∴D点坐标为（﹣1，0），‎ ‎∴D为AB中点，‎ 如图，连接DN，则DN=DM，∠NDC=∠MDC，‎ ‎∴∠NDC=∠DCB，‎ ‎∴DN∥BC，‎ ‎∵D是AB中点，‎ ‎∴N是AC中点，‎ ‎∴DN是△ABC的中位线，‎ 又DN=DM=BC=，‎ ‎∴OM=DM﹣OD=﹣1=，‎ ‎∴点M坐标为（，0）．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定和性质、三角形中位线等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中设出P点坐标，表示出PQ、OP的长是解题的关键，注意函数性质的应用，在（3）中求得D点坐标和DM的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质很强，有一定的难度．‎ ‎　‎ ‎56．（14分）（2015•日照）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：‎ ‎（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？‎ 考点：‎ 二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；‎ ‎（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①当∠PAQ=∠CAB时，△PAQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE=EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC．然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得 ‎，‎ 解得：．‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．‎ 联立，‎ 解得：或，‎ ‎∴点B的坐标为（4，1）．‎ 过点B作BH⊥x轴于H，如图1．‎ ‎∵C（3，0），B（4，1），‎ ‎∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，‎ ‎∴BH=CH=1．‎ ‎∵∠BHC=90°，‎ ‎∴∠BCH=45°，BC=．‎ 同理：∠ACO=45°，AC=3，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，‎ ‎∴tan∠BAC===；‎ ‎（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．‎ 过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．‎ 设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．‎ ‎∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠APQ=∠ACB=90°．‎ 若点G在点A的下方，‎ ‎①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．‎ ‎∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，‎ ‎∴△PGA∽△BCA，‎ ‎∴==．‎ ‎∴AG=3PG=3x．‎ 则P（x，3﹣3x）．‎ 把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得 x2﹣x+3=3﹣3x，‎ 整理得：x2+x=0‎ 解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．‎ ‎②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．‎ 同理可得：AG=PG=x，则P（x，3﹣x），‎ 把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得 x2﹣x+3=3﹣x，‎ 整理得：x2﹣x=0‎ 解得：x1=0（舍去），x2=，‎ ‎∴P（，）；‎ 若点G在点A的上方，‎ ‎①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，‎ 同理可得：点P的坐标为（11，36）．‎ ‎②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．‎ 同理可得：点P的坐标为P（，）．‎ 综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；‎ ‎（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．‎ 在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=AE，即AE=EN，‎ ‎∴点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN．‎ 作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，‎ 则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，‎ ‎∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．‎ 根据两点之间线段最短可得：‎ 当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．‎ 此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，‎ ‎∴四边形OCD′N是矩形，‎ ‎∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．‎ 对于y=x2﹣x+3，‎ 当y=0时，有x2﹣x+3=0，‎ 解得：x1=2，x2=3．‎ ‎∴D（2，0），OD=2，‎ ‎∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，‎ ‎∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，‎ ‎∴点E的坐标为（2，1）．‎ 点评：‎ 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．‎ ‎57．（13分）（2015•临沂）在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．‎ ‎（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．‎ ‎①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；‎ ‎②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）联立两直线解析式可求得B点坐标，由关于原点对称可求得C点坐标，由直线y=﹣2x﹣1可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）①当四边形PBQC为菱形时，可知PQ⊥BC，则可求得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标；②过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，由∠PED=∠AOC，可知当PE最大时，PD也最大，用t可表示出PE的长，可求得取最大值时的t的值．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎（1）联立两直线解析式可得，解得，‎ ‎∴B点坐标为（﹣1，1），‎ 又C点为B点关于原点的对称点，‎ ‎∴C点坐标为（1，﹣1），‎ ‎∵直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，‎ ‎∴A点坐标为（0，﹣1），‎ 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，‎ 把A、B、C三点坐标代入可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1；‎ ‎（2）①当四边形PBQC为菱形时，则PQ⊥BC，‎ ‎∵直线BC解析式为y=﹣x，‎ ‎∴直线PQ解析式为y=x，‎ 联立抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴P点坐标为（1﹣，1﹣）或（1+，1+）；‎ ‎②当t=0时，四边形PBQC的面积最大．‎ 理由如下：‎ 如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，‎ 则S四边形PBQC=2S△PBC=2×BC•PD=BC•PD，‎ ‎∵线段BC长固定不变，‎ ‎∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大，‎ 又∠PED=∠AOC（固定不变），‎ ‎∴当PE最大时，PD也最大，‎ ‎∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，‎ ‎∴P点坐标为（t，t2﹣t﹣1），E点坐标为（t，﹣t），‎ ‎∴PE=﹣t﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+1，‎ ‎∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、点的对称、菱形的判定和性质、三角形的面积和二次函数的最值等知识点．在（1）中求得A、B、C三点的坐标是解题的关键，在（2）①中得出直线PQ的解析式是解题的关键，在②中确定出四边形PBQC面积最大的条件是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，其中第（2）②小题是难点．‎ ‎58．（12分）（2015•莱芜）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线x=，C（0，）为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）利用待定系数法求抛物线解析式；‎ ‎（2）作EP∥y轴交AD于P，如图1，先利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=﹣x+，再通过解方程组得D（5，﹣2），设E（x，x2﹣x﹣2）（﹣3＜x＜5），则P（x，﹣x+），所以PE=﹣x2+x+，根据三角形面积公式和S△AED=S△AEP+S△DEP可得S△AED=﹣（x﹣1）2+，然后根据二次函数的最值问题求出△ADE的面积最大，且求出对应的E点坐标；‎ ‎（3）设F（，t），根据两点间的距离公式得到AD2=（5+3）2+（﹣2﹣2）2=80，AF2=（+3）2+（t﹣2）2，DF2=（5﹣）2+（﹣t﹣2）2，然后根据勾股定理的逆定理分类讨论：当AD2+AF2=DF2，△ADF是直角三角形，则80+（+3）2+（t﹣2）2=（5﹣）2+（﹣t﹣2）2；当AD2+DF2=AF2，△ADF是直角三角形，则80+（5﹣）2+（﹣t﹣2）2=（+3）2+（t﹣2）2；当DF2+AF2=AD2，△ADF是直角三角形，则（+3）2+（t﹣2）2+（5﹣）2+（﹣t﹣2）2，=80，再分别解关于t的方程确定t的值，从而得到F点的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意得，解得，‎ 所以抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；‎ ‎（2）作EP∥y轴交AD于P，如图1，‎ 设直线AD的解析式为y=mx+n，‎ 把A（﹣3，2），C（0，）分别代入得，解得，‎ 所以直线AD的解析式为y=﹣x+，‎ 解方程组得或，则D（5，﹣2），‎ 设E（x，x2﹣x﹣2）（﹣3＜x＜5），则P（x，﹣x+），‎ ‎∴PE=﹣x+﹣（x2﹣x﹣2）=﹣x2+x+，‎ ‎∴S△AED=S△AEP+S△DEP ‎=•（5+3））•（﹣x2+x+）‎ ‎=﹣（x﹣1）2+，‎ 当x=1时，△ADE的面积最大，最大面积为，此时E点坐标为（1，﹣）；‎ ‎（3）存在．‎ 设F（，t），如图2，‎ ‎∵A（﹣3，2），D（5，﹣2），‎ ‎∴AD2=（5+3）2+（﹣2﹣2）2=80，AF2=（+3）2+（t﹣2）2，DF2=（5﹣）2+（﹣t﹣2）2，‎ 当AD2+AF2=DF2，△ADF是直角三角形，则80+（+3）2+（t﹣2）2=（5﹣）2+（﹣t﹣2）2，解得t=13，此时F点坐标为（，13）；‎ 当AD2+DF2=AF2，△ADF是直角三角形，则80+（5﹣）2+（﹣t﹣2）2=（+3）2+（t﹣2）2，解得t=﹣7，此时F点坐标为（，﹣7）；‎ 当DF2+AF2=AD2，△ADF是直角三角形，则（+3）2+（t﹣2）2+（5﹣）2+（﹣t﹣2）2，=80，解得t=±，此时F点坐标为（，）或（，﹣），‎ 综上所述，F点的坐标为（，13）或（，﹣7）或（，）或（，﹣）．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用两点间的距离公式计算线段的长；注意分类讨论思想的应用．‎ ‎59．（10分）（2015•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）当次方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；‎ ‎（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值；‎ ‎（2）利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；‎ ‎（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．‎ ‎∴．‎ ‎∴k﹣1＜2．‎ ‎∴k＜3．‎ ‎∵k为正整数，‎ ‎∴k为1，2．‎ ‎（2）把x=0代入方程得k=1，‎ 此时二次函数为y=x2+2x，‎ 此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x的交点为A（﹣2，0），B（1，3）‎ 由题意可设M（m，m+2），其中﹣2＜m＜1，‎ 则N（m，m2+2m），‎ MN=m+2﹣（m2+2m）=﹣m2﹣m+2=﹣．‎ ‎∴当m=﹣时，MN的长度最大值为．‎ 此时点M的坐标为．‎ ‎（3）当y=x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），‎ 把A（﹣2，0）代入y=x+b得b=1，‎ 当y=x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点．‎ 由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y=﹣x2﹣2x ‎∴有一组解，此时有两个相等的实数根，‎ 则所以b=，‎ 综上所述b=1或b=．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式的应用，还考查了两函数图象的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线有3个交点的情况，根据题意分类讨论，并且作出图形更利于解决问题．‎ ‎60．（13分）（2015•东营）如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；‎ ‎（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；‎ ‎（2）根据图形的割补法，可得面积的和差，根据二次函数的性质，可得答案；‎ ‎（3）根据余角的性质，可得∠AMN=∠NKM，根据相似三角形的判定与性质，可得=，根据解方程组，可得H点坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）代入解析式，得 ‎，‎ 解得．‎ ‎∴抛物线的解析式是y=2x2+5x+2；‎ ‎（2）由题意可求得AC的解析式为y=x+2，‎ 如图1，‎ 设D点的坐标为（t，2t2+5t+2），过D作DE⊥x轴交AC于E点，‎ ‎∴E点的坐标为（t，t+2），‎ DE=t+2﹣（2t2+5t+2）=﹣2t2﹣4t，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，‎ S△DAC=S△CDE+S△ADE=DE•h+DE（2﹣h）=DE•2=DE=﹣2t2﹣4t=﹣2（t﹣1）2+2‎ ‎∵﹣2＜t＜0，‎ ‎∴当t=﹣1时，△DCA的面积最大，此时D点的坐标为（﹣1，﹣1）；‎ ‎（3）存在点H满足∠AMH=90°，‎ 由（1）知M点的坐标为（﹣，﹣）‎ 如图2：作MH⊥AM交x轴于点K（x，0），作MN⊥x轴于点N，‎ ‎∵∠AMN+∠KMA=90°，∠NKM+∠KMN=90°，‎ ‎∴∠AMN=∠NKM．‎ ‎∵∠ANM=∠MNK，‎ ‎∴△AMN∽△MKN，‎ ‎∴=，‎ ‎∴MN2=AN•NK，‎ ‎∴（）2=（2﹣）（x+），‎ 解得x=‎ ‎∴K点坐标为（，0）‎ 直线MK的解析式为y=x﹣，‎ ‎∴，‎ 把①代入②，化简得48x2+104x+55=0．‎ ‎△=1042﹣4×48×55=64×4=256＞0，‎ ‎∴x1=﹣，x2=﹣，将x2=﹣代入y=x﹣，‎ 解得y=﹣‎ ‎∴直线MN与抛物线有两个交点M、H，‎ ‎∴抛物线上存在点H，满足∠AMH=90°，‎ 此时点H的坐标为（﹣，﹣）．‎ 点评：‎ 本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用图形割补法求面积是解题关键，（3）利用相似三角形的判定与性质得出=是解题关键，解方程组是此题的难点．‎