2010中考数学试题分类综合型问题

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2010中考数学试题分类综合型问题

一、选择题 ‎1.(2010江苏苏州)如图,已知A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C的圆心坐标为(-1,0),半径为1.若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值是 ‎ A.2 B.1 C. D.‎ ‎【答案】C ‎2.(2010湖北十堰)如图,点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点,AB=4,点E、F分别是线段CD,AB上的动点,设AF=x,AE2-FE2=y,则能表示y与x的函数关系的图象是( )‎ ‎(第10题分析图)‎ C D E F A B P ‎(第10题)‎ C D E F A B O x y ‎4‎ ‎4‎ A.‎ O x y ‎4‎ ‎4‎ B.‎ O x y ‎4‎ ‎4‎ C.‎ O x y ‎4‎ ‎4‎ D.‎ ‎【答案】C ‎ ‎3.(2010 重庆江津)如图,等腰Rt△ABC(∠ACB=90º)的直角边与正方形DEFG的边长均为2,且AC与DE在同一直线上,开始时点C与点D重合,让△ABC沿这条直线向右平移,直到点A与点E重合为止.设CD的长为,△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为,则与之间的函数关系的图象大致是( )‎ ‎【答案】A ‎ 二、填空题 ‎1.(2010浙江宁波) 如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线上运动,当⊙P与轴相切时,圆心P的坐标为 ▲ .‎ ‎【答案】或(对一个得2分)‎ 三、解答题 ‎1.(2010安徽芜湖)(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A(0,1)、B(-3,1)、C(-3,0)、O(0,0).将此矩形沿着过E(-,1)、F(-,0)的直线EF向右下方翻折,B、C的对应点分别为B′、C′.‎ ‎(1)求折痕所在直线EF的解析式;‎ ‎(2)一抛物线经过B、E、B′三点,求此二次函数解析式;‎ ‎(3)能否在直线EF上求一点P,使得△PBC周长最小?如能,求出点P的坐标;若不能,说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎2.(2010广东广州,24,14分)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.‎ ‎(1)求弦AB的长;‎ ‎(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;‎ ‎(3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长.‎ C P D O B A E ‎【答案】解:(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.‎ F C P D O B A E H G ‎∵弦AB垂直平分线段OP,∴OF=OP=,AF=BF.‎ 在Rt△OAF中,∵AF===,∴AB=2AF=.‎ ‎(2)∠ACB是定值.‎ 理由:由(1)易知,∠AOB=120°,‎ 因为点D为△ABC的内心,所以,连结AD、BD,则∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA,‎ 因为∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°,所以∠CAB+∠CBA=120°,所以∠ACB=60°;‎ ‎(3)记△ABC的周长为l,取AC,BC与⊙D的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH,则有DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC.‎ ‎∴‎ ‎=AB•DE+BC•DH+AC•DG=(AB+BC+AC) •DE=l•DE.‎ ‎∵=4,∴=4,∴l=8DE.‎ ‎∵CG,CH是⊙D的切线,∴∠GCD=∠ACB=30°,‎ ‎∴在Rt△CGD中,CG===DE,∴CH=CG=DE.‎ 又由切线长定理可知AG=AE,BH=BE,‎ ‎∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE,解得DE=,‎ ‎∴△ABC的周长为.‎ ‎ ‎ ‎3.(2010江苏南京)(8分)如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G,连结EG、FG。‎ ‎(1)设AE=时,△EGF的面积为,求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;‎ ‎(2)P是MG的中点,请直接写出点P的运动路线的长。‎ ‎【答案】‎ ‎4.(2010江苏南通)(本小题满分12分)‎ 如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.‎ ‎(1)求y关于x的函数关系式; ‎ ‎(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?‎ ‎(3)若,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?‎ A B C D E F ‎(第27题)‎ ‎【答案】⑴在矩形ABCD中,∠B=∠C=Rt∠,‎ ‎∴在Rt△BFE中, ∠1+∠BFE=90°,‎ 又∵EF⊥DE ∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠BFE,∴Rt△BFE∽Rt△CED ‎∴即∴‎ ‎⑵当=8时, ,化成顶点式: ,‎ ‎∴当=4时,的值最大,最大值是2.‎ ‎⑶由,及得的方程: ,得, ,‎ ‎∵△DEF中∠FED是直角,‎ ‎∴要使△DEF是等腰三角形,则只能是EF=ED,‎ 此时, Rt△BFE≌Rt△CED,‎ ‎∴当EC=2时,=CD=BE=6;‎ ‎ 当EC=6时,=CD=BE=2.‎ 即的值应为6或2时, △DEF是等腰三角形.‎ ‎5.(2010江苏南通)(本小题满分14分)‎ 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-4,3)、B(2,0)两点,当x=3和x=-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C(0,-2)的直线l与 x轴平行,O为坐标原点.‎ ‎(1)求直线AB和这条抛物线的解析式;‎ ‎(2)以A为圆心,AO为半径的圆记为⊙A,判断直线l与⊙A的位置关系,并说明理由;‎ ‎(3)设直线AB上的点D的横坐标为-1,P(m,n)是抛物线y=ax2+bx+c上的动点,当 ‎△PDO的周长最小时,求四边形CODP的面积.‎ ‎-1‎ y x O ‎(第28题)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎-2‎ ‎-4‎ ‎-3‎ ‎3‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎【答案】(1)因为当x=3和x=-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等,故b=0.‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(-4,3)、B(2,0)代入到y=ax2+bx+c,得 ‎ 解得 ‎∴这条抛物线的解析式为y=x2-1.‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b,把A(-4,3)、B(2,0)代入到y=kx+b,得 ‎ 解得 ‎∴这条直线的解析式为y=-x+1.‎ ‎(2)依题意,OA=即⊙A的半径为5.‎ 而圆心到直线l的距离为3+2=5.‎ 即圆心到直线l的距离=⊙A的半径,‎ ‎∴直线l与⊙A相切.‎ ‎(3)由题意,把x=-1代入y=-x+1,得y=,即D(-1,).‎ 由(2)中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等,且当点A成为抛物线上一个动点时,仍然具有这样的性质,于是过点D作DH⊥直线l于H,交抛物线于点P,此时易得DH是D点到l最短距离,点P坐标(-1,-)此时四边形PDOC为梯形,面积为.‎ ‎6.(2010江苏盐城)(本题满分12分)如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75º,以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上.‎ ‎(1)求∠AED的度数;‎ ‎(2)求证:AB=BC;‎ ‎(3)如图2所示,若F为线段CD上一点,∠FBC=30º.‎ 求 的值.‎ ‎【答案】‎ ‎7.(2010山东烟台)(本题满分14分)‎ 如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C。‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】‎ ‎8.(2010四川凉山)已知:抛物线,顶点,与轴交于A、‎ B两点,。‎ (1) 求这条抛物线的解析式;‎ (2) 如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线的对称轴交于点F,依次连接A、D、B、E,点Q为线段AB上一个动点(Q与A、B两点不重合),过点Q作于,于,请判断是否为定值;若是,请求出此定值,若不是,请说明理由;‎ (3) 在(2)的条件下,若点H是线段EQ上一点,过点H作,分别与边、相交于、,(与、不重合,与、不重合),请判断是否成立;若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由。‎ 第26题图 A B x G F M H E N Q O D C ‎ y ‎【答案】‎ ‎9.(2010四川眉山)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(,0)、(0,4),抛物线经过B点,且顶点在直线上.‎ ‎(1)求抛物线对应的函数关系式;‎ ‎(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;‎ ‎(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)由题意,可设所求抛物线对应的函数关系式为 …(1分)‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴ ……………………………………………………………(3分)‎ ‎ ∴所求函数关系式为: …………(4分)‎ ‎ (2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,‎ ‎∴‎ ‎∵四边形ABCD是菱形 ‎∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………(5分)‎ ‎∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0). …………(6分)‎ 当时,‎ 当时,‎ ‎∴点C和点D在所求抛物线上. …………………………(7分)‎ ‎(3)设直线CD对应的函数关系式为,则 解得:.‎ ‎∴ ………(9分)‎ ‎∵MN∥y轴,M点的横坐标为t,‎ ‎∴N点的横坐标也为t.‎ 则, ,……………………(10分)‎ ‎∴‎ ‎∵, ∴当时,,‎ 此时点M的坐标为(,). ………………………………(12分)‎ ‎10.(2010浙江杭州) (本小题满分12分) ‎ ‎(第24题)‎ 在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y =+1,‎ 点C的坐标为(–4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物 线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点 P(t,0)在x轴上. ‎ ‎ (1) 写出点M的坐标; ‎ ‎ (2) 当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.‎ ‎① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;‎ ‎② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1:2时,求t的值.‎ ‎【答案】‎ ‎(本小题满分12分)‎ ‎(第24题)‎ ‎(1) ∵OABC是平行四边形,∴AB∥OC,且AB = OC = 4,‎ ‎∵A,B在抛物线上,y轴是抛物线的对称轴,‎ ‎∴ A,B的横坐标分别是2和– 2, ‎ 代入y =+1得, A(2, 2 ),B(– 2,2),‎ ‎∴M (0,2), ---2分 ‎ (2) ① 过点Q作QH ^ x轴,设垂足为H, 则HQ = y ,HP = x–t ,‎ 由△HQP∽△OMC,得:, 即: t = x – 2y ,‎ ‎ ∵ Q(x,y) 在y = +1上, ∴ t = –+ x –2. ---2分 当点P与点C重合时,梯形不存在,此时,t = – 4,解得x = 1±,‎ 当Q与B或A重合时,四边形为平行四边形,此时,x = ± 2‎ ‎∴x的取值范围是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有实数. ---2分 ‎② 分两种情况讨论: ‎ ‎1)当CM > PQ时,则点P在线段OC上, ‎ ‎ ∵ CM∥PQ,CM = 2PQ ,‎ ‎∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍,即2 = 2(+1),解得x = 0 ,‎ ‎∴t = –+ 0 –2 = –2 . --- 2分 ‎2)当CM < PQ时,则点P在OC的延长线上,‎ ‎ ∵CM∥PQ,CM = PQ,‎ ‎∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍,即+1=2´2,解得: x = ±. ---2分 ‎ 当x = –时,得t = –––2 = –8 –, ‎ 当x=时, 得t =–8. ---2分 ‎ ‎11.(2010浙江宁波)如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,□ABCD的顶点A的坐标为(-2,0),点 ‎ D的坐标为 (0,),点B在轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直 ‎ 线与轴交于点F,与射线DC交于点G.‎ ‎ (1)求∠DCB的度数;‎ ‎ (2)当点F的坐标为(-4,0)时,求点G的坐标;‎ ‎ (3)连结OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△OEF’,记直线EF’与射线DC的交点为H.‎ ‎ ①如图2,当点G在点H的左侧时,求证:△DEG∽△DHE; ‎ ‎ ②若△EHG的面积为,请直接写出点F的坐标.‎ ‎ ‎ ‎(图2)‎ ‎(图1)‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 解:(1) 在Rt△AOD中, ‎ ‎∵tan∠DAO=, ‎ ‎∴ ∠DAB=60°. 2分 ‎∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ‎∴∠DCB=∠DAB=60° 3分 ‎ ‎ (2) ∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴CD∥AB ‎ ‎∴∠DGE=∠AFE 又∵∠DEG=∠AEF,DE=AE ‎∴△DEG≌△AEF 4分 ‎∴DG=AF ‎∵AF=OF-OA=4-2=2‎ ‎∴DG=2‎ ‎∴点G的坐标为(2,) 6分 ‎ (3)①∵CD∥AB ‎∴∠DGE=∠OFE ‎∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF’‎ ‎∴∠OFE=∠OF’E 7分 ‎∴∠DGE=∠OF’E ‎ 在Rt△AOD中,∵E是AD的中点 ∴OE=AD=AE ‎ 又∵∠EAO=60° ‎ ‎∴∠EOA=60°, ∠AEO=60°‎ 又∵∠EOF’=∠EOA=60° ‎ ‎∴∠EOF’=∠OEA ‎∴AD∥OF’ 8分 ‎∴∠OF′E=∠DEH ‎∴∠DEH=∠DGE 又∵∠HDE=∠EDG ‎∴△DHE∽△DEG 9分 ‎②点F的坐标是F1(,0),F2(,0). 12分 ‎ (给出一个得2分)‎ ‎ ‎ ‎ 对于此小题,我们提供如下详细解答,对学生无此要求.‎ ‎ 过点E作EM⊥直线CD于点M,‎ M ‎∵CD∥AB ‎ ‎∴∠EDM=∠DAB=60°‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∵‎ ‎∴‎ ‎∵△DHE∽△DEG ‎ ‎∴ 即 当点在点的右侧时,设,‎ ‎      ∴ ‎ 解得:(舍)‎ ‎  ∵△DEG≌△AEF ‎ ‎∴AF=DG=‎ ‎∵OF=AO+AF=‎ ‎∴点F的坐标为(,0)‎ 当点在点的左侧时,设,‎ ‎     ∴  ‎ 解得:(舍)‎ ‎  ∵△DEG≌△AEF ‎ ‎∴AF=DG=‎ ‎∵OF=AO+AF=‎ ‎∴点F的坐标为(,0)‎ 综上可知, 点F的坐标有两个,分别是F1(,0),F2(,0).‎ ‎ 12.(2010浙江绍兴)如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是-2.‎ 第24题图 ‎ (1)求的值及点B的坐标; ‎ ‎(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,‎ 在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的 直线为,且与x轴交于点N.‎ ‎① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为 ‎(1, 2),求点N的横坐标;‎ ‎② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横 坐标的取值范围.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)∵ 点A在抛物线C1上,∴ 把点A坐标代入得 =1. ‎ ‎∴ 抛物线C1的解析式为,‎ ‎ 设B(-2,b), ∴ b=-4, ∴ B(-2,-4) . ‎ ‎(2)①如图1,‎ ‎∵ M(1, 5),D(1, 2), 且DH⊥x轴,∴ 点M在DH上,MH=5. ‎ 过点G作GE⊥DH,垂足为E,‎ 第24题图1‎ 由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1,‎ ‎∴ ME=4. ‎ 设N ( x, 0 ), 则 NH=x-1,‎ 由△MEG∽△MHN,得 ,‎ ‎∴ , ∴ ,‎ ‎∴ 点N的横坐标为. ‎ 第24题图2‎ ‎② 当点D移到与点A重合时,如图2,‎ 直线与DG交于点G,此时点N的横坐标最大.‎ 过点G,M作x轴的垂线,垂足分别为点Q,F,‎ 设N(x,0),‎ ‎∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),‎ ‎∴ NQ=,NF =, GQ=2, MF =5.‎ ‎∵ △NGQ∽△NMF,‎ ‎∴ ,‎ 第24题图3‎ 图4‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ . ‎ 当点D移到与点B重合时,如图3,‎ 直线与DG交于点D,即点B, ‎ 此时点N的横坐标最小.‎ ‎ ∵ B(-2, -4), ∴ H(-2, 0), D(-2, -4),‎ 设N(x,0), ‎ ‎∵ △BHN∽△MFN, ∴ ,‎ ‎∴ , ∴ . ‎ ‎∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤. ‎ ‎13.(2010山东聊城)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.‎ ‎(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;‎ ‎(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A 的距离与到点C的距离之和最小,并求此时点M的坐标;‎ ‎(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90º的点P的坐标.‎ E ‎【答案】解:(1)∵抛物线经过点C(0,-3)∴C=-3,∴y=ax2+bx-3,又抛物线经过点A(-1,0),对称轴为x=1,所以 ‎∴抛物线的函数关系式为y=x2-2x-3‎ ‎(2)∵点A(-1,0),对称轴为x=1,∴点B(2,0).‎ 设直线BC的函数关系式为y=kx+b,根据题意得 ‎ ‎∴直线BC的函数关系式为y=-3x-3,当x=1时,y=-6,∴点P的坐标为(1,-6).‎ ‎(3)如图,过点P作PD⊥OC,设P(1,y),则PE=|y|,DC=|-3-y|,‎ 在Rt△PEB中,PB2=22+|y|2=4+y2,在Rt△PCD中PC2=12+|-3-y|2=10+6y+y2,在Rt△OBC中,BC2=32+32=18,∵∠PCD=90º,∴PB2+PC2=BC2,∴4+y2+10+6y+y2=18,整理得y2+3y-2=0解得y1=,y2=.‎ ‎14.(2010 福建晋江)(13分)已知:如图,把矩形放置于直角坐标系中,,,取的中点,连结,把沿轴的负方向平移的长度后得到.‎ ‎(1)试直接写出点的坐标;‎ ‎(2)已知点与点在经过原点的抛物线上,点在第一象限内的该抛物线上移动,过点作轴于点,连结.‎ ‎①若以、、为顶点的三角形与相似,试求出点的坐标;‎ ‎②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点,使得的值最大.‎ A O x B C M y ‎【答案】‎ A O x D B C M y E P T Q 解:(1)依题意得:;…………………………………………………(3分)‎ ‎(2) ① ∵,,∴.‎ ‎ ∵抛物线经过原点,‎ ‎∴设抛物线的解析式为 又抛物线经过点与点 ‎∴ 解得:‎ ‎∴抛物线的解析式为.…………………(5分)‎ ‎∵点在抛物线上,‎ ‎∴设点.‎ ‎1)若∽,则, ,解得:(舍去)或 ‎,‎ ‎∴点.………………………………………………………………(7分)‎ ‎2)若∽,则, ,解得:(舍去)或,‎ ‎∴点.……………………………………………………………………(9分)‎ ‎②存在点,使得的值最大.‎ 抛物线的对称轴为直线,设抛物线与轴的另一个交点为,则点.………………………………………………………………………(10分)‎ ‎∵点、点关于直线对称,‎ ‎∴……………………………………………………………………(11分)‎ 要使得的值最大,即是使得的值最大,‎ 根据三角形两边之差小于第三边可知,当、、三点在同一直线上时,的值最大. ……………………………………………………………………………(12分)‎ 设过、两点的直线解析式为,‎ ‎∴ 解得:‎ ‎∴直线的解析式为.‎ 当时,.‎ ‎∴存在一点使得最大.………………………(13分)‎ ‎15.(2010 四川南充)已知抛物线上有不同的两点E和F.‎ ‎(1)求抛物线的解析式.‎ ‎(2)如图,抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D.设AD的长为m(m>0),BC的长为n,求n和m之间的函数关系式.‎ ‎(3)当m,n为何值时,∠PMQ的边过点F.‎ B A M C D O P Q x y ‎【答案】‎ 11. 解:(1)抛物线的对称轴为. ……..(1分) ∵ 抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同, ∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称,则 ,且k≠-2. ∴ 抛物线的解析式为.            ……..(2分) (2)抛物线与x轴的交点为A(4,0),与y轴的交点为B(0,4), ∴ AB=,AM=BM=.                ……..(3分) 在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中,∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°, 在△BCM中,∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°,即∠BMC+∠BCM=135°, 在直线AB上,∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°,即∠BMC+∠AMD=135°. ∴ ∠BCM=∠AMD. 故 △BCM∽△AMD.                     ……..(4分) ∴ ,即 ,. 故n和m 之间的函数关系式为(m>0).          ……..(5分) (3)∵ F在上,    ∴ ,   化简得,,∴ k1=1,k2=3.       即F1(-2,0)或F2(-4,-8).             ……..(6分)   ①MF过M(2,2)和F1(-2,0),设MF为,   则   解得, ∴ 直线MF的解析式为.   直线MF与x轴交点为(-2,0),与y轴交点为(0,1).   若MP过点F(-2,0),则n=4-1=3,m=;   若MQ过点F(-2,0),则m=4-(-2)=6,n=.   ……..(7分)   ②MF过M(2,2)和F1(-4,-8),设MF为,   则  解得, ∴ 直线MF的解析式为.   直线MF与x轴交点为(,0),与y轴交点为(0,).   若MP过点F(-4,-8),则n=4-()=,m=;   若MQ过点F(-4,-8),则m=4-=,n=.  ……..(8分)  故当  或时,∠PMQ的边过点F.‎ ‎16.(2010 四川南充)如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC,OE⊥BC, OE=BC. (1)求∠BAC的度数.‎ ‎ (2)将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H.求证:四边形AFHG是正方形. (3)若BD=6,CD=4,求AD的长.‎ A F C D E G H B O ‎   ‎A F C D E G H B O ‎【答案】(1)解:连结OB和OC. ‎A F C D E G H B O ‎∵ OE⊥BC,∴ BE=CE. ∵ OE=BC,∴ ∠BOC=90°,∴ ∠BAC=45°.       ‎ ‎(2)证明:∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB=∠ADC=90°. 由折叠可知,AG=AF=AD,∠AGH=∠AFH=90°,       ∠BAG=∠BAD,∠CAF=∠CAD,          ∴ ∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°. ∴ ∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°. ∴ 四边形AFHG是正方形.                   (3)解:由(2)得,∠BHC=90°,GH=HF=AD,GB=BD=6,CF=CD=4. 设AD的长为x,则 BH=GH-GB=x-6,CH=HF-CF=x-4.   在Rt△BCH中,BH2+CH2=BC2,∴ (x-6)2+(x-4)2=102. 解得,x1=12,x2=-2(不合题意,舍去). ∴ AD=12.                     ‎ ‎17.(2010 山东济南)如图,已知直线与双曲线交于A,B两点,且点A的横坐标为4. ‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8,求△AOC的面积;‎ ‎(3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P,Q两点(P点在第一象限),若由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.‎ ‎【答案】(1)∵点A横坐标为4 , ‎ ‎∴当 x = 4时,y = 2 ‎ ‎∴ 点A的坐标为(4,2 ) …………2’ ‎ ‎∵点A是直线与双曲线(k>0)的交点,‎ ‎∴ k = 4×2 = 8 ………….3’ ‎ ‎(2)解法一:‎ ‎∵ 点C在双曲线上,当y = 8时,x = 1‎ ‎∴ 点C的坐标为(1,8)………..4’ ‎ 过点A、C分别做x轴、y轴的垂线,垂足为M、N,得矩形DMON ‎ S矩形ONDM= 32 , S△ONC = 4 , S△CDA = 9, S△OAM = 4 ‎ S△AOC= S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM ‎ ‎= 32-4-9-4 = 15 ………..6’ ‎ 解法二:‎ 过点 C、A分别做轴的垂线,垂足为E、F,‎ ‎∵ 点C在双曲线上,当y = 8时,x = 1。‎ ‎∴ 点C的坐标为(1,8) ‎ ‎∵ 点C、A都在双曲线上,‎ ‎∴ S△COE = S△AOF = 4 ‎ ‎∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .‎ ‎∴ S△COA = S梯形CEFA ‎ ‎∵ S梯形CEFA =×(2+8)×3 = 15, ‎ ‎∴ S△COA = 15 ‎ ‎(3)∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,‎ ‎∴ OP=OQ,OA=OB ‎∴ 四边形APBQ是平行四边形 ‎∴ S△POA = S平行四边形APBQ =×24 = 6‎ 设点P的横坐标为m(m > 0且),‎ 得P(m,) …………..7’‎ 过点P、A分别做轴的垂线,垂足为E、F,‎ ‎∵ 点P、A在双曲线上,∴S△POE = S△AOF = 4‎ 若0<m<4,‎ ‎∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 ‎ ‎∴ ‎ 解得m= 2,m= - 8(舍去) ‎ ‎∴ P(2,4) ……………8’ ‎ 若 m> 4,‎ ‎∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,‎ ‎∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 ‎ ‎ ∴,‎ 解得m= 8,m =-2 (舍去)‎ ‎∴ P(8,1)‎ ‎∴ 点P的坐标是P(2,4)或P(8,1)………….9’‎ ‎18.(2010江苏泰州)在平面直角坐标系中,直线(k为常数且k≠0)分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O半径为个单位长度.‎ ‎⑴如图甲,若点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,且OA=OB.‎ ‎①求k的值;‎ ‎②若b=4,点P为直线上的动点,过点P作⊙O的切线PC、PD,切点分别为C、D,当PC⊥PD时,求点P的坐标.‎ ‎⑵若,直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2,求b的值.(图乙供选用)‎ ‎ ‎ ‎【答案】⑴①根据题意得:B的坐标为(0,b),∴OA=OB=b,∴A的坐标为(b,0),代入y=kx+b得k=-1.‎ ‎②过P作x轴的垂线,垂足为F,连结OD.‎ ‎∵PC、PD是⊙O的两条切线,∠CPD=90°,‎ ‎∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°,‎ ‎∵∠PDO=90°,,∠POD=∠OPD=45°,‎ ‎∴OD=PD=,OP=.‎ ‎∵P在直线y=-x+4上,设P(m,-m+4),则OF=m,PF=-m+4,‎ ‎∵∠PFO=90°, OF2+PF2=PO2,‎ ‎∴ m2+ (-m+4)2=()2, 全品中考网 解得m=1或3,‎ ‎∴P的坐标为(1,3)或(3,1)‎ ‎⑵分两种情形,y=-x+,或y=-x-。‎ 直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2,可知其所对圆心角为120°,如图,画出弦心距OC,可得弦心距OC=,又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为,即,∴AC=,进而可得AO=,即直线与与x轴交于点(,0).所以直线与y轴交于点(,0),所以b的值为.‎ 当直线与x轴、y轴的负半轴相交,同理可求得b的值为.‎ 综合以上得:b的值为或.‎ ‎19.(2010湖南邵阳)如图(十四),抛物线y=与x轴交于点A、B,与y轴相交于点C,顶点为点D,对称轴l与直线BC相交于点E,与x轴交于点F。‎ ‎(1)求直线BC的解析式;‎ ‎(2)设点P为该抛物线上的一个动点,以点P为圆心,r为半径作⊙P。‎ ‎①当点P运动到点D时,若⊙P与直线BC相交 ,求r的取值范围;‎ ‎②若r=,是否存在点P使⊙P与直线BC相切,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 提示:抛物线y=的顶点坐标,对称轴x=.‎ ‎ 图(十四)‎ ‎【答案】解(1)令y=0,求得A点坐标为(-2,0),B点坐标为(6,0);‎ 令x=0,求得C点的坐标为(0,3)‎ 设BC直线为y=kx+b,把B、C点的坐标代入得: 解得k=,b=3‎ 故BC的解析式为:y=x+3‎ ‎(2)①过点D(2,4)作DG⊥BC于点G,因为抛物线的对称轴是直线x=2,所以点E的坐标为(2,2),所以有EF=2,FB=4,EB=2,DE=2,从图中可知,,所以有: 解得DG= 故当r>,点P 运动到点D时,⊙P与直线BC相交 ‎②由①知,直线BC上方的点D符合要求。设过点D并与直线BC平行的直线为y=x+n,把点D的坐标代入,求得n=5,所以联立: 解得两点(2,4)为D点,(4,3)也符合条件。‎ 设在直线BC下方到直线BC的距离为的直线m与x轴交于点M,过点M作MN⊥BC于点N,所以MN=,又tan∠NBM= 所以NB=,BM=4,所以点M与点F重合。设直线m为y=x+b 把点F的坐标,代入得:0=×2+b 得b=1,所以直线m的解析式为:y=x+1‎ 联立方程组:   解得:x= ‎ 所以适合要求的点还有两点即(3-,)与(3+,)‎ 故当r=,存在点P使⊙P与直线BC相切,符合条件的点P有四个,即是D ‎(2,4),(4,3)和(3-,),(3+,)的坐标.‎ ‎20.(2010年上海)如图8,已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=-x2+bx+c过点A(4,0)、B(1,3) .‎ ‎(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;‎ ‎(2)记该抛物线的对称轴为直线l,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P关于直线l的对称点为E,点E关于y轴的对称点为F,若四边形OAPF的面积为20,求m、n的值.‎ 图8‎ ‎【答案】解:(1) 抛物线y=-x2+bx+c过点 A(4,0)B(1,3).∴‎ ‎∴,,对称轴为直线,顶点坐标为 ‎(2)∵直线EP∥OA,E与P两点关于直线对称,∴OE=AP,∴梯形OEPA为等腰梯形,‎ ‎∴∠OEP=∠APE,∵OE=OF, ∴∠OEP=∠AFE,∴∠OFP=∠APE,∴OF∥AP,‎ ‎∴四边形OAPF为平行四边形,∵四边形OAPF的面积为20,∴,‎ ‎∴,∴.‎ ‎21.(2010年上海)如图9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连结DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.‎ ‎(1)当∠B=30°时,连结AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;‎ ‎(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;‎ ‎(3)若,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.‎ 图9 图10(备用) 图11(备用)‎ ‎【答案】解:(1)如图1,∵∠ACB=90°, ∠B=30°,∴∠BAC=60°,∵AD=AE=1∴ΔADE为等边三角形,∴∠ADE=∠AED=60°,∴∠BDE=∠AEP=120°,∠CEP=60°,∴∠EPC=30°=∠B,‎ ‎∴ΔBDP为等腰三角形,∵ΔAPE与ΔBPD相似,∴ΔAPE为等腰三角形,AE=EP=1,‎ ‎∴CE=EP=.‎ ‎(2)设BC=BD=,∠ACB=90°,∴,∴=4 ,BC=BD=4,‎ 过D作DH⊥BC交BC于H,如图2,∴DH∥AC,∴,∴,∴,‎ 同理可得,∵DH∥AC,∴,,∴CP=4, ∵∠ECP=90°,∴=.‎ ‎(3)如图3,当时,设CE=,∴CP=3,由(2),‎ ‎∴设BD=,∴,,,,‎ ‎∴,∴,∴=m+1+x+1+3m-3x=3x+3.‎ ‎22.(2010 江苏连云港)(本题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,⊙C的圆心坐标为(-2,-2),半径为.函数y=-x+2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P为AB上一动点 ‎(1)连接CO,求证:CO⊥AB;‎ ‎(2)若△POA是等腰三角形,求点P的坐标;‎ ‎(3)当直线PO与⊙C相切时,求∠POA的度数;当直线PO与⊙C相交时,设交点为E、F,点M为线段EF的中点,令PO=t,MO=s,求s与t 之间的函数关系,并写出t的取值范围.‎ AD BAD x P O ‎·‎ ‎·‎ CFEBAD y ‎【答案】‎ ‎23.(2010 山东莱芜)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线交轴于两点,交轴于点.‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)若此抛物线的对称轴与直线交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交轴于点E、F两点,求劣弧EF的长;‎ ‎(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG垂直于轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.‎ ‎(第24题图)‎ x y O A C B D E F ‎【答案】解:(1)∵抛物线经过点,,.‎ ‎∴, 解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为:. ‎ ‎(2)易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8,∴点D的坐标为(4,8).∵⊙D与x轴相切,∴⊙D的半径为8. ‎ 连结DE、DF,作DM⊥y轴,垂足为点M.‎ 在Rt△MFD中,FD=8,MD=4.∴cos∠MDF=.‎ ‎∴∠MDF=60°,∴∠EDF=120°. ‎ ‎∴劣弧EF的长为:. ‎ x y O A C B D E F P G N M ‎(3)设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.‎ ‎∴,解得.∴直线AC的解析式为:. ‎ 设点,PG交直线AC于N,‎ 则点N坐标为.∵.‎ ‎∴①若PN︰GN=1︰2,则PG︰GN=3︰2,PG=GN.‎ 即=.‎ 解得:m1=-3, m2=2(舍去).当m=-3时,=.‎ ‎∴此时点P的坐标为. ……………………………10分 ‎②若PN︰GN=2︰1,则PG︰GN=3︰1, PG=3GN.‎ 即=.‎ 解得:,(舍去).当时,=.‎ ‎∴此时点P的坐标为.‎ 综上所述,当点P坐标为或时,‎ ‎△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分.‎ ‎24.(2010 广东珠海)如图,平面直角坐标系中有一矩形ABCD(O为原点),点A、C分别在x轴、y轴上,且C点坐标为(0,6);将BCD沿BD折叠(D点在OC边上),使C点落在OA边的E点上,并将BAE沿BE折叠,恰好使点A落在BD的点F上.‎ ‎(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数,并求折痕BD所在直线的函数解析式;‎ ‎(2)过F点作FG⊥x轴,垂足为G,FG的中点为H,若抛物线经过B、H、D三点,求抛物线的函数解析式;‎ ‎ (3)若点P是矩形内部的点,且点P在(2)中的抛物线上运动(不含B、D点),过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M,设h=PM-MN,试求出h与P点横坐标x的函数解析式,并画出该函数的简图,分别写出使PMMN成立的x的取值范围。‎ ‎【答案】解:(1)∠ABE=∠CBD=30° ‎ 在△ABE中,AB=6‎ BC=BE=‎ CD=BCtan30°=4‎ ‎∴OD=OC-CD=2‎ ‎∴B(,6) D(0,2)‎ 设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b ‎ ∴ ‎ 所以BD所在直线的函数解析式是 ‎(2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°‎ 又∵FG⊥OA ‎ ‎∴FG=EFsin60°=3 GE=EFcos60°= OG=OA-AE-GE=‎ 又H为FG中点 ‎∴H(,) …………4分 ‎∵B(,6) 、 D(0,2)、 H(,)在抛物线图象上 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴抛物线的解析式是 ‎(2)∵MP=‎ MN=6-‎ H=MP-MN=‎ 由得 该函数简图如图所示:‎ 当00,即HP>MN ‎25.(2010浙江湖州)如图,已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D,将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴于E和F.‎ ‎(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;‎ ‎(3)连接EF,设△BEF与△BFC的面积之差为S,问:当CF为何值时 S最小,并求出这个最小值.‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【答案】由题意得:A(0,2)、B(2,2)、C(3,0),设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为,则,解得:,所以.‎ ‎(2)由=,所以顶点坐标为G(1,),过G作GH⊥AB,垂足为H,则AH=BH=1,GH=-2=,∵EA⊥AB,GH⊥AB,∴EA∥GH,∴GH是△BEA的中位线,∴EA=3GH=,过B作BM⊥OC,垂足为M,则MB=OA=AB,∵∠EBF=∠ABM=90°,∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF,∴R t△EBA≌R t△FBM,∴FM=EA=,∵CM=OC-OM=3-2=1,∴CF=FM+CM=.‎ ‎(3)设CF=a,则FM= a-1或1- a,∴BF2=FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5,又∵△EBA≌△FBM,∴BM=BF,‎ 则,又,‎ ‎∴S= ,即S=,∴当a=2(在2<a<3)时,.‎ ‎26.(2010 湖南株洲)(本题满分10分)在平面直角坐标系中,抛物线过原点O,且与轴交于另一点,其顶点为.孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量:‎ ‎① 量得;‎ ‎② ‎ 把直尺的左边与抛物线的对称轴重合,使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图1),测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为.‎ 请完成下列问题:‎ ‎(1)写出抛物线的对称轴;‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)将图中的直尺(足够长)沿水平方向向右平移到点的右边(如图2),直尺的两边交轴于点、,交抛物线于点、.求证:.‎ 图1‎ 图2‎ ‎·‎ B ‎【答案】(1)                           ‎ ‎(2)设抛物线的解析式为:,当时,,即;当时,,即,依题意得:,解得:.‎ ‎∴抛物线的解析式为:. ‎ ‎(3)方法一:过点作,垂足为,设, ,得: ①‎ ‎ ②‎ 又,得,分别代入①、②得:,‎ ‎∴‎ 得:‎ 又 ‎∴ ‎ 方法二:过点作,垂足为,设,则,得:‎ ‎ ∵ ‎ ‎∴‎ ‎27.(2010 四川成都)已知:如图,内接于⊙O,为直径,弦于,是AD的中点,连结并延长交的延长线于点,连结,分别交、于点、.‎ ‎ (1)求证:是的外心;‎ ‎ (2)若,求的长;‎ ‎ (3)求证:.‎ ‎【答案】(1)证明:∵C是AD的中点,∴AC=CD,‎ ‎∴∠CAD=∠ABC‎⌒‎ ‎∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°。‎ ‎∴∠CAD+∠AQC=90°‎ 又CE⊥AB,∴∠ABC+∠PCQ=90°‎ ‎∴∠AQC=∠PCQ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎∴在△PCQ中,PC=PQ,‎ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎∵CE⊥直径AB,∴AC=AE ‎∴AE=CD ‎∴∠CAD=∠ACE。‎ ‎∴在△APC中,有PA=PC,‎ ‎∴PA=PC=PQ ‎∴P是△ACQ的外心。‎ ‎(2)解:∵CE⊥直径AB于F,‎ ‎∴在Rt△BCF中,由tan∠ABC=,CF=8,‎ 得。‎ ‎∴由勾股定理,得 ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴在Rt△ACB中,由tan∠ABC=,‎ ‎ 得。‎ 易知Rt△ACB∽Rt△QCA,∴‎ ‎∴。‎ ‎(3)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°‎ ‎∴∠DAB+∠ABD=90°‎ 又CF⊥AB,∴∠ABG+∠G=90°‎ ‎∴∠DAB=∠G;‎ ‎∴Rt△AFP∽Rt△GFB,‎ ‎∴,即 易知Rt△ACF∽Rt△CBF,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由(1),知PC=PQ,∴FP+PQ=FP+PC=FC ‎∴。‎ ‎28.(2010山东潍坊)如图所示,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于C(0,-3).以AB为直径做⊙M,过抛物线上的一点P作⊙M的切线PD,切点为D,并与⊙M的切线AE相交于点E.连接DM并延长交⊙M于点N,连接AN.‎ ‎(1)求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标;‎ ‎(2)若四边形EAMD的面积为4,求直线PD的函数关系式;‎ ‎(3)抛物线上是否存在点P,使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)因为抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)两点,设抛物线的函数关系式为y=a(x+1)(x-3),∵抛物线与y轴交于C(0,-3),∴-3= a(0+1)(0-3),解得a=1,所以抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,因此抛物线的顶点坐标为(1,-4);‎ ‎(2)连接EM,∵EA、ED是⊙M的切线,∴EA=ED,EA⊥AM,ED⊥MD,∴△EAM≌△EDM,又四边形EAMD的面积为4,∴S△EAM=2,∴AM·AE=2,又AM=2,∴AE=2,因此E1(-1,2)或者E2(-1,-2),当点E在第二象限时,切点D在第一象限,在 Rt△EAM中,tan∠EMA=,故∠EMA=60°,∴∠DMB=60°,过切点D作DF⊥AB于F点,∴MF=1,DF=,则直线PD过E(-1,2)、D(2, )的坐标代入,则函数PD的解析式为y=-.当点E在第三象限时,切点D在第四象限,同理可求直线PD的解析式为y=,因此直线PD的函数关系式为y=-或y=;‎ ‎(3)若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积,又S四边形EAMD=2S△EAM,S△DAN=2S△AMD,则S△EAM= S△AMD,∴E、D两点到x轴的距离相等,∵PD与⊙M相切,∴点D与点E在x轴同侧,∴切线PD与x轴平行,此时切线PD的函数关系式为y=2或y ‎=-2,当y=2时,由y= x2-2x-3得,x=1±,当y=-2时,由y= x2-2x-3得,x=1±,故满足条件点P的位置有4个,分别是P1(1+,2)、P2(1-,2)、P3(1+,-2)、P4(1-,-2).‎ ‎29.(2010湖南怀化)图9是二次函数的图象,其顶点坐标为M(1,-4).‎ ‎(1)求出图象与轴的交点A,B的坐标; ‎ ‎(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使,若存在,求出P点的 坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,‎ 得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线与此 图象有两个公共点时,的取值范围.‎ 图9‎ ‎【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标,‎ 所以 ‎ 令解之得.‎ ‎∴A,B两点的坐标分别为A(-1,0),B(3,0)‎ ‎(2) 在二次函数的图象上存在点P,使 设则,又,‎ ‎∴‎ ‎∵二次函数的最小值为-4,∴.当时,.故P点坐标为(-2,5)或(4,5)‎ 图1‎ ‎(3)如图1,当直线经过A点时,可得当直线经过B点时,可得由图可知符合题意的的取值范围为 ‎30.(2010河南)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(4,0),B(0,一4),C(2,0)三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;‎ ‎ (3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.‎ ‎【答案】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),则有 ‎ 解得 ‎ ∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4‎ ‎ (2)过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为(m,n).‎ ‎ 则AD=m+4,MD=﹣n,n=m2+m-4 .‎ ‎ ∴S = S△AMD+S梯形DMBO-S△ABO ‎ = ( m+4) (﹣n)+(﹣n+4) (﹣m) -×4×4‎ ‎ = ﹣2n-2m-8‎ ‎ = ﹣2(m2+m-4) -2m-8‎ ‎ = ﹣m2-4m (-4< m < 0)‎ ‎∴S最大值 = 4 ‎ ‎ (3)满足题意的Q点的坐标有四个,分别是:(-4 ,4 ),(4 ,-4),‎ ‎(-2+,2-),(-2-,2+)‎ ‎31.(2010黑龙江哈尔滨) 已知:在△ABC中AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上,∠BAE=∠BDF,点M在线段DF上,∠ABE=∠DBM.‎ ‎ (1)如图1,当∠ABC=45°时,求证:AE=MD;‎ ‎ (2)如图2,当∠ABC=60°时,则线段AE、MD之间的数量关系为: 。‎ ‎(3)在(2)的条件下延长BM到P,使MP=BM,连接CP,若AB=7,AE=,‎ 求tan∠ACP的值.‎ ‎【答案】(1)证明:如图1 连接AD ‎∵AB=AC BD=CD ∴AD⊥BC 又∵∠ABC=45°‎ ‎∠ABE=∠DBM ∴△ABE∽△DBM ‎ ‎ ‎ ‎ (2)AE=2MD ‎ ‎ (3)解:如图2 连接AD、EP ∵AB=AC ‎∠ABC=60°D ∴△ABC为等边三角形 又∵D为BC中点 ∴AD⊥BC ∠DAC=30‎ ‎ BD=DC=AB ‎∵∠BAE=∠BDM ∠ABE=∠DBM ‎∴△ABE∽△DBM ‎ ‎∠AEB=∠DMB ∴EB=EBM 又∵BM=MP ‎∴EB=BP 又∵∠EBM=∠ABC=60°‎ ‎∴△BEP为等边三角形 ‎ ‎∴EM⊥BP ∴∠BMD=90° ∴∠AEB=90°‎ ‎∵D为BC中点 M为PB中点 ∴DM//PC ‎∴∠MDB=∠PCB ∴∠EAB=∠PCB ‎ ‎ ‎ 过N作NH⊥AC,垂足为H 在 ‎ ‎ ‎ ‎32.(2010江苏徐州)如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P, 连接EP.‎ ‎ (1)如图②,若M为AD边的中点,‎ ‎ ①,△AEM的周长=_____cm;‎ ‎ ②求证:EP=AE+DP;‎ ‎ (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?请说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎33.(2010 四川绵阳)如图,抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.‎ ‎(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;‎ ‎(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;‎ ‎(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,‎ ‎△EFK的面积最大?并求出最大面积.‎ C E D G A x y O B F ‎【答案】(1)由题意,得 解得,b =-1.‎ 所以抛物线的解析式为,顶点D的坐标为(-1,).‎ ‎(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点,则这一点为所求点H,使DH + CH最小,即最小为 DH + CH = DH + HB = BD =. 而 .‎ ‎∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =.‎ 设直线BD的解析式为y = k1x + b,则 解得 ,b1 = 3.‎ 所以直线BD的解析式为y =x + 3.‎ 由于BC = 2,CE = BC∕2 =,Rt△CEG∽△COB,‎ 得 CE : CO = CG : CB,所以 CG = 2.5,GO = 1.5.G(0,1.5).‎ 同理可求得直线EF的解析式为y =x +.‎ 联立直线BD与EF的方程,解得使△CDH的周长最小的点H(,).‎ ‎(3)设K(t,),xF<t<xE.过K作x轴的垂线交EF于N.‎ 则 KN = yK-yN =-(t +)=.‎ 所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN(t + 3)+KN(1-t)= 2KN = -t2-3t + 5 =-(t +)2 +.‎ 即当t =-时,△EFK的面积最大,最大面积为,此时K(-,).‎ ‎51.(2010江苏 镇江)探索发现(本小题满分9分)‎ ‎ 如图,在直角坐标系的直角顶点A,C始终在x轴的正半轴上,B,D在第一象限内,点B在直线OD上方,OC=CD,OD=2,M为OD的中点,AB与OD相交于E,当点B位置变化时,‎ ‎ 试解决下列问题:‎ ‎ (1)填空:点D坐标为 ;‎ ‎ (2)设点B横坐标为t,请把BD长表示成关于t的函数关系式,并化简;‎ ‎ (3)等式BO=BD能否成立?为什么?‎ ‎ (4)设CM与AB相交于F,当△BDE为直角三角形时,判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.‎ ‎【答案】‎ ‎(1);(1分)‎ ‎ (2)‎ ‎ ① (2分)‎ ‎ (3分)‎ ‎ ② (4分)(注:不去绝 对值符号不扣分)‎ ‎ (3)[法一]若OB=BD,则 由①得 (5分)‎ ‎[法二]若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上.‎ ‎∴直线CM的函数关系式为, ③ (5分)‎ ‎ ④‎ 联立③,④得:,‎ ‎[法三]若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上,如图27 – 1 ‎ 过点B作 ‎ (4)如果,‎ ‎①当,如图27 – 2 ‎ ‎∴此时四边形BDCF为直角梯形.(7分)‎ ‎②当如图27 – 3 ‎ ‎∴此时四边形BDCF为平行四边形.(8分)‎ 下证平行四边形BDCF为菱形:‎ ‎[法一]在,‎ ‎[方法①]上方 ‎(舍去).‎ 得 ‎[方法②]由②得:‎ 此时 ‎∴此时四边形BDCF为菱形(9分)‎ ‎[法二]在等腰中 ‎52.(2010 四川泸州)已知二次函数及一次函数.‎ (1) 求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标;‎ (2) 将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象.请你在图10中画出这个新图象,并求出新图象与直线 有三个不同公共点时的值;‎ (1) 当0≤≤2时,函数的图象与轴有两个不同公共点,求的取值范围.‎ ‎【答案】解: (1), ‎ 则抛物线的顶点坐标为(1,) ‎ ‎∵的图象与轴相交,∴, ‎ ‎∴,∴,或,‎ ‎∴抛物线与轴相交于A(,0)、B(3,0). ‎ ‎(2)翻折后所得新图象如图所示,平移直线知:直线位于和时,它与新图象有三个不同公共点,如图所示,‎ ‎. ‎ ‎①当直线位于时,此时过点A(,0),‎ ‎∴,即,‎ ‎②当直线位于时,‎ 此时与函数(≤≤3)的图象有一个公共点,‎ ‎∴方程,即有一个根,‎ 故△==0,即,‎ 当时,满足≤≤3,‎ 由①②知,,或 ‎ ‎(3)∵,‎ ‎ ∵当0≤≤2时,函数的图象与轴有两个不同交点,‎ ‎ ∴应同时满足下列三个方面的条件:‎ ‎ 方程的判别式△>0, ‎ ‎ 抛物线的对称轴满足<<2, ‎ ‎ 当时,函数值≥0,‎ ‎ 当时,函数值≥0, ‎ 即 ‎ >0‎ ‎ 0<<2‎ ‎ ≥0‎ ‎ ≥0‎ ‎ 解得 ≤<1,‎ ‎∴当≤<1时,函数图象(0≤≤2)‎ 与轴有两个不同交点. ‎ ‎53.(2010 山东淄博)已知直角坐标系中有一点A(—4,3),点B在x轴上,△AOB是等腰三角形.‎ ‎  (1)求满足条件的所有点B的坐标;‎ ‎(2)求过O,A,B三点且开口向下的抛物线的函数表达式(只需求出满足条件的一条即可);‎ ‎(3)在(2)中求出的抛物线上存在点P,使得以O,A,B,P四点为顶点的四边形是梯形,求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积.‎ ‎【答案】解:作AC⊥x轴,由已知得OC=4,AC=3,OA==5.‎ ‎(1)当OA=OB=5时,‎ 如果点B在x轴的负半轴上,如图(1),点B的坐标为(-5,0).‎ 如果点B在x轴的正半轴上,如图(2),点B的坐标为(5,0).‎ x y B C A O x y B C A O ‎(第24题)‎ ‎(2)‎ ‎(1)‎ 当OA=AB时,点B在x轴的负半轴上,如图(3),BC=OC,则OB=8,点B的坐标为(-8,0). ‎ 当AB=OB时,点B在x轴的负半轴上,如图(4),在x轴上取点D,使AD=OA,可知OD=8.由∠AOB=∠OAB=∠ODA,可知△AOB∽△ODA,则,解得OB=,点B的坐标为(-,0).‎y B C A x O ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(第24题)‎ y A B D x O ‎(2)当AB=OA时,抛物线过O(0,0),A(-4,3),B(-8,0)三点,设抛物线的函数表达式为,可得方程组,解得a=,,.                    ‎ ‎(当OA=OB时,同理得.‎ ‎(3)当OA=AB时,若BP∥OA,如图(5),作PE⊥x轴,则∠AOC=∠PBE,∠ACO=∠PEB=90°,△AOC∽△PBE,.设BE=4m,PE=3m,则点P的坐标为(4m-8,-3m),代入,解得m=3.‎ 则点P的坐标为(4,-9),‎ S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48.‎ 若OP∥AB(图略),根据抛物线的对称性可得点P的坐标为(-12,-9),‎ S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=48.‎ ‎(第24题)‎ ‎(5)‎ O y B C A x P E ‎(6)‎ x y B A O C P ‎(第24题)‎ F ‎(当OA=OB时,若BP∥OA,如图(6),作PF⊥x轴,则∠AOC=∠PBF,∠ACO=∠PFB=90°,△AOC∽△PBF,.设BF=4m,PF=3m,则点P的坐标为(4m-5,-3m),代入,解得m=.‎ 则点P的坐标为(1,-),‎ S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=.‎ 若OP∥AB(图略),作PF⊥x轴,则∠ABC=∠POF,∠ACB=∠PFO=90°,△ABC∽△POF,.设点P的坐标为(-n,-3n),代入,解得n=9.则点P的坐标为(-9,-27),S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=75.‎ ‎54.(2010 天津) 在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于点、(点在点的左侧),与轴的正半轴交于点,顶点为.‎ ‎(Ⅰ)若,,求此时抛物线顶点的坐标;‎ ‎(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC中满足 S△BCE = S△ABC,求此时直线的解析式;‎ ‎(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足 S△BCE = 2S△AOC,且顶点恰好落在直线上,求此时抛物线的解析式.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)当,时,抛物线的解析式为,即.‎ ‎∴ 抛物线顶点的坐标为(1,4). .................2分 ‎(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,则顶点在对称轴上,有,‎ ‎∴ 抛物线的解析式为().‎ ‎∴ 此时,抛物线与轴的交点为,顶点为.‎ ‎∵ 方程的两个根为,,‎ ‎∴ 此时,抛物线与轴的交点为,.‎ E y x F B D A O C 如图,过点作EF∥CB与轴交于点,连接,则S△BCE = S△BCF.‎ ‎∵ S△BCE = S△ABC,‎ ‎∴ S△BCF = S△ABC.‎ ‎∴ .‎ 设对称轴与轴交于点,‎ 则.‎ 由EF∥CB,得.‎ ‎∴ Rt△EDF∽Rt△COB.有.‎ ‎∴ .结合题意,解得 .‎ ‎∴ 点,.‎ 设直线的解析式为,则 ‎ 解得 ‎ ‎∴ 直线的解析式为. .........................6分 ‎(Ⅲ)根据题意,设抛物线的顶点为,(,)‎ 则抛物线的解析式为,‎ 此时,抛物线与轴的交点为,‎ 与轴的交点为,.()‎ 过点作EF∥CB与轴交于点,连接,‎ 则S△BCE = S△BCF.‎ 由S△BCE = 2S△AOC,‎ ‎∴ S△BCF = 2S△AOC. 得.‎ 设该抛物线的对称轴与轴交于点.‎ 则 .‎ 于是,由Rt△EDF∽Rt△COB,有.‎ ‎∴ ,即.‎ 结合题意,解得 . ① ‎ ‎∵ 点在直线上,有. ② ‎ ‎∴ 由①②,结合题意,解得.‎ 有,.‎ ‎∴ 抛物线的解析式为. .........................10分 ‎55.(2010广西桂林)如图,⊙O是△ABC的外接圆,FH是⊙O 的切线,切点为F,‎ FH∥BC,连结AF交BC于E,∠ABC的平分线BD交AF于D,连结BF.‎ H ‎(1)证明:AF平分∠BAC;‎ ‎(2)证明:BF=FD;‎ ‎(3)若EF=4,DE=3,求AD的长.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】证明(1)连结OF H ‎∵FH是⊙O的切线 ‎∴OF⊥FH ……………1分 ‎∵FH∥BC ,‎ ‎∴OF垂直平分BC ………2分 ‎∴‎ ‎∴AF平分∠BAC …………3分 ‎(2)证明:由(1)及题设条件可知 ‎∠1=∠2,∠4=∠3,∠5=∠2 ……………4分 H ‎∴∠1+∠4=∠2+∠3‎ ‎∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分 ‎∠FDB=∠FBD ‎∴BF=FD ………………6分 ‎ (3)解: 在△BFE和△AFB中 ‎∵∠5=∠2=∠1,∠F=∠F ‎∴△BFE∽△AFB ………………7分 ‎∴, ……………8分 ‎∴‎ ‎∴ ……………………9分 ‎ ‎ ∴‎ ‎∴AD== …………………10分 ‎56.(2010湖北十堰)(本小题满分10分)已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0‎ ‎(1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根.‎ ‎(2)若关于x的二次函数y= mx2-(3m-1)x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式.‎ ‎(3)在直角坐标系xoy中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题:当直线y=x+b与(2)中的函数图象只有两个交点时,求b的取值范围.‎ ‎【答案】解:(1)分两种情况讨论:‎ ‎①当m=0 时,方程为x-2=0,∴x=2 方程有实数根 ‎②当m≠0时,则一元二次方程的根的判别式 ‎△=[-(3m-1)]2-4m(2m-2)=m2+2m+1=(m+1)2≥0‎ 不论m为何实数,△≥0成立,∴方程恒有实数根 综合①②,可知m取任何实数,方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0恒有实数根.‎ ‎(2)设x1,x2为抛物线y= mx2-(3m-1)x+2m-2与x轴交点的横坐标.‎ 则有x1+x2=,x1·x2=‎ 由| x1-x2|====,‎ 由| x1-x2|=2得=2,∴或 ‎∴m=1或m=‎ ‎∴所求抛物线的解析式为:y1=x2-2x或y2=x2+2x- 即y1= x(x-2)或y2=(x-2)(x-4)其图象如右图所示.‎ ‎(3)在(2)的条件下,直线y=x+b与抛物线y1,y2组成的图象只有两个交点,结合图象,求b的取值范围.‎ ‎,当y1=y时,得x2-3x-b=0,△=9+4b=0,解得b=-;‎ 同理,可得△=9-4(8+3b)=0,得b=-.‎ 观察函数图象可知当b<-或b>-时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点.‎ 由 当y1=y2时,有x=2或x=1‎ 当x=1时,y=-1‎ 所以过两抛物线交点(1,-1),(2,0)的直线y=x-2,‎ 综上所述可知:当b<-或b>-或b=-2时,直线y=x+b与(2)中的图象只有两个交点.‎ ‎57.(2010 四川自贡)如图,在直角坐标平面内,O为坐标原点,A点的坐标为(1,0),B点在x轴上且在点A的右侧,AB=OA,过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y=x2的图象于点C和D,直线OC交BD于M,直线CD交y轴于点H。记C、D的横坐标分别为xC,xD,点H的纵坐标yH。‎ ‎(1)证明:①S△CMD∶S梯形ABMC=2∶3‎ ‎②xC·xD=-yH ‎(2)若将上述A点坐标(1,0)改为A点坐标(t,0),t>0,其他条件不变,结论S△CMD:S梯形ABMC=2∶3是否仍成立?请说明理由。‎ ‎(3)若A的坐标(t,0)(t>0),又将条件y=x2改为y=ax2(a>0),其他条件不变,那么XC、XD和yH又有怎样的数量关系?写出关系式,并证明。‎ ‎【答案】 全品中考网 ‎58.(2010宁夏回族自治区)在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,将△ABD沿AB所在的直线折叠,使点D落在点E处;将△ACD沿AC所在的直线折叠,使点D落在点F处,分别延长EB、FC使其交于点M.‎ ‎(1)判断四边形AEMF的形状,并给予证明.‎ ‎(2)若BD=1,CD=2,试求四边形AEMF的面积.‎ ‎【答案】解:(1)∵ADBC ‎△AEB是由△ADB折叠所得 ‎∴∠1=∠3,∠E=∠ADB=,BE=BD, AE=AD 又∵△AFC是由△ADC折叠所得 ‎∴∠2=∠4,∠F=∠ADC=,FC=CD,AF=AD ‎∴AE=AF---------------------------------------------2分 ‎ 又∵∠1+∠2=, ‎ ‎ ∴∠3+∠4=‎ ‎∴∠EAF=--------------------------------------3分 ‎∴四边形AEMF是正方形。---------------------5分 ‎(2)方法一:设正方形AEMF的边长为x 根据题意知:BE=BD, CF=CD ‎∴BM=x-1; CM=x-2-------------------------------------------------------------------7分 在Rt△BMC中,由勾股定理得:‎ ‎ ‎ ‎ ∴‎ 解之得: (舍去)‎ ‎∴------------------------------------------10分 方法二:设:AD=x ‎∴= ‎ ‎ ∴-----------------------------------------------------------7分 ‎∵ ‎ 且 ‎∴ 即 解之得: (舍去)‎ ‎∴---------------------------------------------10分 ‎59.(2010吉林长春)如图①,在平面直角坐标系中,等腰直角△A0B的斜边OB在x轴上,顶点A的坐标为(3,3),AD为斜边上的高.抛物线与直线交于点O、C,点C的横坐标为6。点P在x轴的正半轴上,过点P作PE//y轴,交射线OA于点E.设点P的横坐标为m,以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S.‎ ‎ (1)求OA所在直线的解析式.(1分)‎ ‎ (2)求a的值.(2分)‎ ‎ (3)当m≠3时.求S与m的函数关系式.(4分)‎ ‎ (4)如图②.设直线PE交射线0C于点R,交抛物线于点Q.以RQ为一边,在RQ的右侧作矩形RQMN,其中RN .直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围.(3分) ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎60.(2010广东茂名)已知⊙O1的半径为R,周长为C.‎ ‎(1)在⊙O1内任意作三条弦,其长分别是、、.求证:++< C; (3分)‎ ‎(第25题(1)图)‎ ‎(第25题备用图)‎ ‎(2)如图,在直角坐标系O中,设⊙O1的圆心为O1.‎ ‎①当直线:与⊙O1相切时,求的值;(2分)‎ ‎②当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时,‎ 求的取值范围. (3分)‎ ‎(第25题备用图)‎ ‎:‎ ‎【答案】(1)证明:,,.++,‎ 因此,++< C.‎ ‎(2)解:①如图,根据题意可知⊙O1与轴、轴分别相切,设直线与⊙O1相切于点M,则O1M⊥l,过点O1作直线NH⊥轴,与交于点N,与轴交于点H,又∵直线与轴、轴分别交于点E(,0)、F(0,),∴OE=OF=,∴∠NEO=45o,∴∠ENO1=45o,在Rt△O1MN中,O1N=O1Msin45o=,‎ ‎∴点N的坐标为N(R,),‎ 把点N坐标代入得:,解得:,‎ ‎②如图,设经过点O、O1的直线交⊙O1于点A、D,则由已知,直线OO1:是圆与反比例函数图象的对称轴,当反比例函数的图象与⊙O1‎ 直径AD相交时(点A、D除外),则反比例函数的图象与⊙O1有两个交点.‎ 过点A作AB⊥轴交轴于点B,过O1作O1C⊥轴于点C,OO1=O1Csin45o=,OA=,所以OB=AB=sin45o=,‎ 因此点A的坐标是A,将点A的坐标 代入,解得:.‎ 同理可求得点D的坐标为D,‎ 将点D的坐标代入,解得: ‎ 所以当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时,的取值范围是:‎ ‎61.(2010辽宁大连)如图17,抛物线F:与轴相交于点C,直线经过点C且平行于轴,将向上平移t个单位得到直线,设与抛物线F的交点为C、D,与抛物线F的交点为A、B,连接AC、BC ‎(1)当,,,时,探究△ABC的形状,并说明理由;‎ ‎(2)若△ABC为直角三角形,求t的值(用含a的式子表示);‎ ‎(3)在(2)的条件下,若点A关于轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上,连接A’C,BD,求四边形A’CDB的面积(用含a的式子表示)‎ O C A B D x 图17‎ ‎【答案】‎ ‎62.(2010贵州遵义)如图,在⊿ABC,∠C= 90°,AC+BC=8,点O是斜边AB上一点,以O为圆心的⊙O分别与AC、BC相切于点D、E.‎ ‎(1)当AC=2时,求⊙O的半径;‎ ‎(2)设AC=χ,⊙O的半径为y,求y与χ的函数关系式。‎ ‎【答案】【答案】解法一:连接OD、OE、OC……………………………………1分 ‎ ∵D、E为切点,‎ ‎∴OD⊥AC,OE⊥BC,OD=OE…………………………………2分 ‎∵S△ABC=S△AOC+S△BOC ‎∴AC×BC=AC×OD+BC×OE ……………………3分 ‎∵AC+BC=8,AC =2,∴BC=6‎ ‎∴×2×6=×2×OD+×2×OE ……………………4分 而OD=OE,∴OD=,即⊙O的半径为 ………………5分 解法二:连接OD、OE ………………………………………1分 ‎∵D、E为切点,‎ ‎∴OD⊥AC,OE⊥BC,OD=OE ……………………………2分 ‎∴∠C=90°,∴OECD为正方形 ‎∴OD=OE=EC=CD=t ………………………3分 而△AOD∽△ABC,∴ ………………………4分 ‎∵AC+BC=8,AC =2,∴BC=6,AD=2-t ‎∴,r=,即⊙O的半径为………………………5分 ‎(2)(7分)连接OD、OE、OC ……………………………………1分 ‎∵D、E为切点,‎ ‎∴OD⊥AC,OE⊥BC,OD=OE=y ………………………2分 S△ABC=S△AOC+S△BOC ‎∴AC×BC=AC×OD+BC×OE ……………………3分 ‎∵AC+BC=8,AC =x,∴BC=8-x ………………………………4分 x(8-x)=xy+(8-x)y ………………………………5分 化简:8x-x2=xy+8y-xy………………………………………6分 即:y=-x2+x ………………………………………………7分 解法二:连接OD、OE ………………………………………1分 ‎∵D、E为切点,‎ ‎∴OD⊥AC,OE⊥BC,OD=OE ………………………2分 ‎∴∠C=90°,∴OECD为正方形 ‎∴OD=OE=EC=CD=y ………………………………3分 由OD∥BC,∴△AOD∽△ABC,‎ ‎(或者:OD∥AC,∴△OBE∽△ABC)‎ ‎∴.‎ ‎∵AC+BC==8,AC=x,‎ ‎∴BC=8-x,AD=AC-CD=x-y.‎ ‎∴.‎ 化简得:xy=(x-y)(8-x),‎ xy=8x-x2-8y+xy.‎ 所以.‎ 解法三:连接OD、OE.‎ ‎∵D,E是切点,‎ ‎∴OD⊥AC,OE⊥BC,OD=OE.‎ ‎∵∠C=90°,∴OECD是正方形.‎ ‎∴OD=OE=EC=CD=y.‎ 由OD∥BC得:△AOD∽△ABC,‎ ‎∴,即 ①.‎ 由OE∥AC得:△BOE∽△BAC,‎ ‎∴,即 ②.‎ ‎①+②得:,‎ 即.‎ ‎∴.‎ ‎63.(2010湖北宜昌)如图①,P是△ABC边AC上的动点,以P为顶点作矩形PDEF,顶点D,E在边BC上,顶点F在边AB上;△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程的两个实数根,设过D,E,F三点的⊙O的面积为,矩形PDEF的面积为。‎ ‎(1)求证:以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4;‎ ‎(2)求的最小值;‎ ‎(3)当的值最小时,过点A作BC的平行线交直线BP与Q,这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关?请说明理由。(11分)‎ A C B ‎(第23题)‎ 解:解法一:‎ ‎(1)据题意,∵a+h=.‎ ‎∴所求正方形与矩形的面积之比: ‎ ‎ 1分 由知同号, ‎ ‎ 2分 ‎(说明:此处未得出只扣1分, 不再影响下面评分)‎ ‎ 3分 即正方形与矩形的面积之比不小于4.‎ ‎(2)∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.‎ ‎⊙‎ ‎∴⊙O的面积为:. 4分 矩形PDEF的面积:.‎ ‎⊙‎ ‎∴面积之比: 设 ‎⊙‎ ‎……………………………………………………………6分 ‎, ‎ ‎⊙‎ ‎,即时(EF=DE), 的最小值为 7分 ‎⊙‎ ‎(3)当的值最小时,这时矩形PDEF的四边相等为正方形.‎ 过B点过BM⊥AQ,M为垂足,BM交直线PF于N点,设FP= e,‎ ‎∵BN∥FE,NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.‎ 由BC∥MQ,得:BM =AG =h.‎ ‎∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,‎ ‎∴△FBP∽△ABQ. 8分 M N ‎(说明:此处有多种相似关系可用,要同等分步骤评分)‎ ‎∴,……9分 ‎∴.∴……10分 ‎……11分 ‎∴线段AQ的长与m,n,k的取值有关. ‎ ‎(解题过程叙述基本清楚即可)‎ 解法二:‎ ‎(1)∵a,h为线段长,即a,h都大于0,‎ ‎ ∴ah>0…………1分(说明:此处未得出只扣1分,再不影响下面评分)‎ ‎ ∵(a-h)2≥0,当a=h时等号成立.‎ ‎     故,(a-h)2=(a+h)2-4a h≥0. 2分 ‎    ∴(a+h)2≥4a h,‎ ‎    ∴≥4.(﹡) 3分 ‎      这就证得≥4.(叙述基本明晰即可)‎ ‎(2)设矩形PDEF的边PD=x,DE=y,则⊙O的直径为 .‎ ‎ S⊙O=…………4分, S矩形PDEF=xy ‎⊙‎ ‎= ‎ ‎= 6分 由(1)(*), .‎ ‎.‎ ‎⊙‎ ‎∴的最小值是 7分 ‎⊙‎ ‎(3)当的值最小时,‎ 这时矩形PDEF的四边相等为正方形. ‎ ‎∴EF=PF.作AG⊥BC,G为垂足.‎ ‎∵△AGB∽△FEB,∴.……8分 ‎∵△AQB∽△FPB, ,……9分 ‎∴=.‎ 而 EF=PF,∴AG=AQ=h, ……………10分 ‎∴AG=h=,‎ 或者AG=h= 11分 ‎∴线段AQ的长与m,n,k的取值有关.‎ ‎64.(2010湖北宜昌)如图,直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线y=在第一象限相交于点C;以AC为斜边、为内角的直角三角形,与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等;点C,P在以B为顶点的抛物线y=上;直线y=hx+d、双曲线y=和抛物线同时经过两个不同的点C,D。‎ ‎(1)确定t的值 ‎(2)确定m , n , k的值 ‎(3)若无论a , b , c取何值,抛物线都不经过点P,请确定P的坐标 ‎(12分)‎ ‎(第24题)‎ ‎【答案】(1)直线过点A,B,则0=-h+d和1=d,即y=x+1. 1分 双曲线y=经过点C(x1,y1),x1y1=t.‎ ‎ 以AC为斜边,∠CAO为内角的直角三角形的面积为×y1×(1+x1);‎ 以CO为对角线的矩形面积为x1y1,‎ ‎×y1×(1+x1)=x1y1,因为x1,y1都不等于0,故得x1=1,所以y1=2.‎ 故有,,即t=2. 2分 ‎(2)∵B是抛物线y=mx2+nx+k的顶点,∴有- ,‎ 得到n=0,k=1. 3分 ‎∵C是抛物线y=mx2+nx+k上的点,∴有2=m(1)2+1,得m=1. 4分 ‎(3)设点P的横坐标为p,则纵坐标为p2+1.‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c经过两个不同的点C,D,‎ 其中求得D点坐标为(-2,-1). 5分.‎ 解法一:‎ 故 2=a+b+c,‎ ‎-1=4a-2b+c. ‎ 解之得,b=a+1, c=1-2a. 6分 ‎(说明:如用b表示a,c,或用c表示a,b,均可,后续参照得分)‎ ‎∴y=ax2+( a+1)x+(1-2a ) ‎ 于是: p2+1≠a p2+(a+1)p+(1-2a) 7分 ‎∴无论a取什么值都有p2-p≠(p2+p-2)a. 8分[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎(或者,令p2-p=(p2+p-2)a 7分 ‎∵抛物线y=ax2+bx+c不经过P点,‎ ‎∴此方程无解,或有解但不合题意 8分) ‎ ‎.‎ 故∵a≠0,∴①‎ 解之p=0,p=1,并且p≠1,p≠-2.得p=0. 9分 ‎∴符合题意的P点为(0,1). …………10分 ‎②,解之p=1,p=-2,并且p≠0,p≠1.‎ 得p=-2. 11分 符合题意的P点为(-2,5). 12分 ‎∴符合题意的P点有两个(0,1)和(-2,5).‎ 解法二:‎ 则有(a-1)p2+(a+1) p-2a=0 7分 即〔(a-1)p+2a〕(p-1)=0‎ 有p-1=0时,得p=1,为(1,2)此即C点,在y=ax2+bx+c上. 8分 或(a-1)p+2a=0,即(p+2)a=p 当p=0时a=0与a≠0矛盾 9分 得点P(0,1) 10分 或者p=-2时,无解 11分[来源:学科网]‎ 得点P(-2,5) 12分 故对任意a,b,c,抛物线y=ax2+bx+c都不经过(0,1)和(-2,5)‎ 解法三:‎ 如图, 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线CD上除C,D外的其他点.‎ ‎(只经过直线CD上的C,D点). 6分 由 7分 解得交点为C(1,2),B(0,1).‎ 故符合题意的点P为(0,1). 8分 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x=-2上除D外的其他点. 9分 ‎65.(2010 福建莆田)如图1,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=1,OC=2,点D在边OC上且OD= 。‎ ‎(1).求直线AC的解析式;‎ ‎(2).在y轴上是否存在点p,直线PD与矩形对角线AC交于点M,使得△DMC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点p的坐标;若不存在,请说明理由。‎ ‎(3).抛物线y= 经过怎样平移,才能使得平移后的抛物线过点D和点E(点E在y轴正半轴上),且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上 处? ‎ ‎【答案】【答案】‎ ‎【答案】‎ ‎66.(2010广西河池)如图11,在直角梯形中,∥,,点为坐标原点,点在轴的正半轴上,对角线,相交于点,,.‎ ‎(1)线段的长为 ,点的坐标为 ;‎ ‎(2)求△的面积;‎ ‎(3)求过,,三点的抛物线的解析式;‎ ‎(4)若点在(3)的抛物线的对称轴上,点为该 抛物线上的点,且以,,,四点为顶点的四边形 为平行四边形,求点的坐标.‎ M C B O A 图11‎ ‎【答案】解:(1)4 ;.‎ ‎(2)在直角梯形OABC中,OA=AB=4,‎ ‎ ∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM 又 ∵ OA=2BC ‎ ∴ AM=2CM ,CM=AC 所以 ‎ ‎(注:另有其它解法同样可得结果,正确得本小题满分.)‎ ‎(3)设抛物线的解析式为 ‎   由抛物线的图象经过点,,.所以 ‎      ‎ ‎   解这个方程组,得,, ‎ 所以抛物线的解析式为 ‎ ‎ (4)∵ 抛物线的对称轴是CD,‎ ‎ ① 当点E在轴的下方时,CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形,此时点F和点C重合,点F的坐标即为点; ‎ ‎② 当点E在轴的下方,点F在对称轴的右侧,存在平行四边形,∥,且,此时点F的横坐标为6,将代入,可得.所以. ‎ ‎ 同理,点F在对称轴的左侧,存在平行四边形,∥,且,此时点F的横坐标为,将代入,可得.所以.(12分)‎ 综上所述,点F的坐标为,. ‎ ‎67.(2010广东肇庆)已知二次函数的图象过点(2,1)‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)求的最大值 ‎(3)若二次函数的图象与轴交于点,,,,的面积是,求 ‎【答案】解:(1)∵的图象过点(2,1)‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2)‎ 当时,‎ 此时,‎ ‎∴当时,有最大值,最大值为2。‎ ‎(3)由根与系数关系可知:,‎ ‎,‎ 当或时,‎ ‎∴的面积是时,或 ‎68.(2010内蒙呼和浩特)在平面直角坐标系中,函数y=(x>0,m是常数)的图像经过点A(1,4)、点B(a,b),其中a>1.过点A作x中的垂线,垂足为C,过点B作y轴的垂线,垂足为D,AC与BD相交于点M,连结AD、DC、CB与AB.‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)求证:DC∥AB;‎ ‎(3)当AD=BC时,求直线AB的函数解析式. ‎ ‎【答案】解:(1)∵点A(1,4)在函数y=的图像上,‎ ‎∴4=,得m=4.……………………………2分 ‎(2)∵点B(a,b)在函数y=的图像上,∴ab=4.‎ 又∵AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D交AC于M,∴AC⊥BD于M ‎∴M(1,b),D(0,b),C(1,0)‎ ‎∴tan∠BAC====,tan∠DCM==……………4分 ‎∴tan∠BAC =tan∠DCM,‎ 所以锐角∠BAC=∠DCM,DC∥AB………………………………………………6分 说明:利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似,易证△ABM∽△CDM,易得∠BAC=∠DCM.评分标准为证出相似得到4分,证出平行得到6分.‎ ‎(3)设直线AB的解析式为y=kx+b ‎∵AB∥CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形.‎ ① 四边形ABCD是平行四边形时,AC与BD互相平分,‎ 又∵AC⊥BD,∴B(2,2)‎ ‎∴,解得 ‎∴直线AB的解析式为:y=-2x+6.………………8分 ‎②当四边形ABCD是等腰梯形时,‎ BD与AC相等且垂直,∵AC=BD=4,‎ ‎∴B(4,1)‎ ‎∴同理可求直线AB的解析式为y=-x+5.…………………10分 ‎69.(2010四川攀枝花)如图12,在矩形ABCD中,AB=6,AD=2,点P是边BC上的动点(点P不与点B、C重合),过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点,再把△PQC沿着动直线PQ对折,点C的对应点是R点。设CP=x, △PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y。‎ ‎(1)求∠CPQ的度数。‎ ‎(2)当x取何值时,点R落在矩形ABCD的边AB上?‎ ‎(3)当点R在矩形ABCD外部时,求y与x的函数关系式。并求此时函数值y的取值范围。‎ F E 图12(2)‎ P D C Q A B R B 图12(1)‎ P R Q A C D ‎【答案】解:‎ ‎(1)∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC 又AB=6,AD=2,∠C=90° ‎ ‎∴CD=6,BC=2 ∴tan∠CBD== ∴∠CBD=60°‎ ‎∵PQ∥BD ∴∠CPQ=∠CBD=60°………………………2分 ‎(2)如题图12(1)由轴对称的性质可知△RPQ≌△CPQ ‎∴∠RPQ=∠CPQ,RP=CP.由(1)知∠RPQ=∠CPQ=60° ∴∠RPB=60°,∴RP=2BP ‎∵CP=x ∴RP=x ,PB=2-x. ………………………4分 ‎ ∴在△RPB中,有2(2-x)= x ∴x=………………6分 ‎(3)当R点在矩形ABCD的外部时(如题图12(2)),﹤x﹤2‎ ‎ 在Rt△PBF中,由(2)知PF=2BP=2(2-x)‎ ‎ ∴RP=CP=x ∴ER=RF-PF=3x-4………………………7分 ‎ 在Rt△ERF中 ∵∠EFR=∠PFB=30° ∴ER=RF·tan30°=x-4‎ ‎ ∴S△ERF=ER×FR=(x-4)( 3x-4)=-12x+8………8分 ‎ 又S△PQR=S△CPQ=x×x=‎ ‎ ∵y=S△PQR-S△ERF ∴当﹤x﹤2时,函数的解析式为 y=-(-12x+8)‎ ‎=-+12x-8 (﹤x﹤2)…………10分 ‎∵y=-+12x-8 =-(x-2)+4‎ ‎∴当﹤x﹤2时,y随x的增大而增大 ‎∴函数值y的取值范围是﹤y﹤4…………12分 ‎70.(2010湖北黄石)在△ABC中,分别以AB、BC为直径⊙O、⊙O,交于另一点D.‎ ⑴证明:交点D必在AC上;‎ ⑵如图甲,当⊙O与⊙O半径之比为4︰3,且DO与⊙O相切时,判断△ABC的形状,并求tan∠ODB的值;‎ ⑶如图乙,当⊙O经过点O,AB、DO的延长线交于E,且BE=BD时,求∠A的度数.‎ ‎【答案】‎ y x 由 10分 解得交点P为(-2,5).……11分 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x=1上除C外的其他点,‎ 而解得交点为C(1,2). ……12分 故符合条件的点P为(0,1)或(-2,5).‎
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