中考复习 三角形综合题

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中考复习 三角形综合题

三角形综合题 ‎1.已知,如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,cot∠BAC=,点D在边BC上(不与点B、C重合),点E在边BC的延长线上,∠DAE=∠BAC,点F在线段AE上,∠ACF=∠B.设BD=x.‎ ‎(1)若点F恰好是AE的中点,求线段BD的长;‎ ‎(2)若y=,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;‎ ‎(3)当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时,求线段BD的长.‎ ‎2.如图,△ABC边AB上点D、E(不与点A、B重合),满足∠DCE=∠ABC,∠ACB=90°,AC=3,BC=4;‎ ‎(1)当CD⊥AB时,求线段BE的长;‎ ‎(2)当△CDE是等腰三角形时,求线段AD的长;‎ ‎(3)设AD=x,BE=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域.‎ ‎3.如图,已知△ABC中,AB=AC=3,BC=2,点D是边AB上的动点,过点D作DE∥BC,交边AC于点E,点Q是线段DE上的点,且QE=2DQ,连接BQ并延长,交边AC于点P.设BD=x,AP=y.‎ ‎(1)求y关于x的函数解析式及定义域;‎ ‎(2)当△PQE是等腰三角形时,求BD的长;‎ ‎(3)连接CQ,当∠CQB和∠CBD互补时,求x的值.‎ ‎4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,=,CD⊥AB于点D,点E是直线AC上一动点,连接DE,过点D作FD⊥ED,交直线BC于点F.‎ ‎(1)探究发现:‎ 如图1,若m=n,点E在线段AC上,则=  ;‎ ‎(2)数学思考:‎ ‎①如图2,若点E在线段AC上,则=  (用含m,n的代数式表示);‎ ‎②当点E在直线AC上运动时,①中的结论是否任然成立?请仅就图3的情形给出证明;‎ ‎(3)拓展应用:若AC=,BC=2,DF=4,请直接写出CE的长.‎ ‎5.如图1,在△ABC中,AB=AC,射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°)‎ ‎(1)当∠BAC=60°时,将BP旋转到图2位置,点D在射线BP上.若∠CDP=120°,则∠ACD  ∠ABD(填“>”、“=”、“<”),线段BD、CD与AD之间的数量关系是  ;‎ ‎(2)当∠BAC=120°时,将BP旋转到图3位置,点D在射线BP上,若∠CDP=60°,求证:BD﹣CD=AD;‎ ‎(3)将图3中的BP继续旋转,当30°<α<180°时,点D是直线BP上一点(点P不在线段BD上),若∠CDP=120°,请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系(不必证明)‎ ‎6.已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CD,CG⊥AD于点H,交AB于点G,E为AB上一点,连接CE交AD于点F.‎ ‎(1)如图1,若CE⊥AB于点E,HG=1,CH=5,求CF的长;‎ ‎(2)如图2,若AC=AE,∠GEH=∠ECH,求证:CE=HE;‎ ‎(3)如图3,若E为AB的中点,作A关于CE的对称点A′,连接CA′,EA′,DA′,请直接写出∠CEH,∠A′CD,∠EA′D之间的等量关系.‎ ‎7.(1)问题发现 如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,=1,点P是边BC上一动点(不与点B重合),∠PAD=90°,∠APD=∠B,连接CD.‎ 填空:①=  ;②∠ACD的度数为  .‎ ‎(2)拓展探究 如图2,在Rt△ABC中,∠A=90°,=k.点P是边BC上一动点(不与点B重合),∠PAD=90°,∠APD=∠B,连接CD,请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系,并说明理由.‎ ‎(3)解决问题 如图3,在△ABC中,∠B=45°,AB=4,BC=12,P是边BC上一动点(不与点B重合),∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B,连接CD.若PA=5,请直接写出CD的长.‎ ‎8.Rt△ABC与Rt△DEF的位置如图所示,其中AC=2,BC=6,DE=3,∠D=30°,其中,Rt△DEF沿射线CB以每秒1个单位长度的速度向右运动,射线DE、DF与射线AB分别交于N、M两点,运动时间为t,当点E运动到与点B重合时停止运动.‎ ‎(1)当Rt△DEF在起始时,求∠AMF的度数;‎ ‎(2)设BC的中点的为P,当△PBM为等腰三角形时,求t的值;‎ ‎(3)若两个三角形重叠部分的面积为S,写出S与t的函数关系式和相应的自变量的取值范围.‎ ‎9.如图,已知等腰△ABC中,AC=BC,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点,连接FE、ED,BF的延长线交ED的延长线于点G,连接GC.‎ ‎(1)求证:EF∥CG;‎ ‎(2)若AC=AB,求证:AC=CG;‎ ‎(3)如图2,若CG=EG,则=  .‎ ‎10.在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AC=AB=6,D,E分别是AB,AC的中点,若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到Rt△AD1E1,设旋转角为α(0<α≤180°),记直线BD1与CE1的交点为P.‎ ‎(1)如图1,当α=90°时,线段BD1的长等于  ,线段CE1的长等于  ;‎ ‎(2)如图2,当α=135°时,设直线BD1与CA的交点为F,求证:BD1=CE1,且BD1⊥CE1;‎ ‎(3)点P到AB所在直线的距离的最大值是  .‎ ‎11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边BC上任意一点,以直线AD为对称轴,作Rt△ABC的轴对称图形Rt△AEF,点M、点N、点P、点Q分别为AB、BC、EF、EA的中点.‎ ‎(1)求证:MN=PQ;‎ ‎(2)如图2,当BD=时,判断点M、点N、点P、点Q围成的四边形的形状,并说明理由;‎ ‎(3)若BC=6,请你直接写出当①BD=3;②BD=6时,点M、点N、点P、点Q围成图形的形状.‎ ‎12.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,AD=BD,过点D作射线DH,交BC边于点M.‎ ‎(1)如图1,若∠B=30°,求证:△ACD是等边三角形;‎ ‎(2)如图2,若AC=10,AD=13,∠CDH=∠A.‎ ‎①求线段DM的长;‎ ‎②点P是射线DH上一点,连接AP交CD于点N,当△DMN是等腰三角形时,求线段MP的长.‎ ‎13.等腰三角形ABC中,AB=CB,BO⊥AC,点P为射线BC上的动点(不与点B重合),在射线CA上截取CD=CB,作PF⊥BD,分别交射线BO,BD于点E,F.设∠ABC=α.‎ ‎(1)令∠ABC=90°.‎ ‎①如图1,当点P与点C重合时,求证:△BOD≌△POE;‎ ‎②如图2,当点P在点C的左边时,求的值;‎ ‎③猜想:当点P在点C的右边时,的值又是多少?‎ 请直接写出.‎ ‎(2)设点P在点C的右边,请在图3(∠ABC>90°)或图4(∠ABC<90°)中继续探究的值(用含α的式子表示),并说明理由.‎ ‎14.如图1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E在AC边上,连接BE.‎ ‎(1)若AF是△ABE的中线,且AF=5,AE=6,连接DF,求DF的长;‎ ‎(2)若AF是△ABE的高,延长AF交BC于点G.‎ ‎①如图2,若点E是AC的中点,连接EG,求证:AG+EG=BE;‎ ‎②如图3,若点E是AC边上的动点,连接DF.当点E在AC边上(不含端点)运动时,∠DFG的大小是否改变,如果不变,请求出∠DFG的度数;如果要变,请说明理由.‎ ‎15.在△ABC中,AD、AE分别是△ABC的内、外角平分线.‎ ‎(1)如图①,CG⊥AD于G,BG的延长线交AE于H,求证:AH=EH;‎ ‎(2)如图①,在(1)的条件下,若AE=2AD,BE=5BC,则tan∠AHB=  ;‎ ‎(3)如图②,点M是DE的中点,BE=5BC=10,求MD的长.‎ ‎16.如图,△ABC是等边三角形,AB=2,D是边BC的中点,点P从点A出发,沿AB﹣BD以每秒1‎ 个单位长度的速度向终点D运动.同时点Q从点C出发,沿CA﹣AC以每秒1个单位长度的速度运动.当点P停止运动时,点Q也随之停止运动,设点P的运动时间为t(秒),△PQD的面积为S.‎ ‎(1)求线段PB的长(用含t的代数式).‎ ‎(2)当△PQD是等边三角形时,求t的值.‎ ‎(3)当S>0时,求S与t的函数关系式.‎ ‎(4)若点D关于直线PQ的对称点为点D′,且S>0,直接写出点D′落在△ABC的边上时t的值.‎ ‎17.在Rt△AOB中,OA=3,sinB=,P、M、分别是BA、BO边上的两个动点.点M从点B出发,沿BO以1单位/秒的速度向点O运动;点P从点B出发,沿BA以a单位/秒的速度向点A运动;P、M两点同时出发,任意一点先到达终点时,两点停止运动.设运动的时间为t.‎ ‎(1)线段AP的长度为  (用含a、t的代数式表示);‎ ‎(2)如图①,连结PO、PM,若a=1,△PMO的面积为S,试求S的最大值;‎ ‎(3)如图②,连结PM、AM,试探究:在点P、M运动的过程中,是否存在某个时刻,使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形?若存在,求出此时a和t的取值,若不存在,请说明理由.‎ ‎18.在直角△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC边上,连结BE,作∠ACF=∠CBE交AB于点F,同时点D在BE 上,且CD⊥AB.‎ ‎(1)已知:如图,,.‎ ‎①求证:△ACF≌△BCD.‎ ‎②求的值.‎ ‎(2)若,,则的值是多少(直接写出结果)‎ ‎19.已知,AB=5,tan∠ABM=,点C、D、E为动点,其中点C、D在射线BM上(点C在点D的左侧),点E和点D分别在射线BA的两侧,且AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE.‎ ‎(1)当点C与点B重合时(如图1),联结ED,求ED的长;‎ ‎(2)当EA∥BM时(如图2),求四边形AEBD的面积;‎ ‎(3)联结CE,当△ACE是等腰三角形时,求点B、C间的距离.‎ ‎20.在△ABC中,D、E、F分别为BC、AB、AC上的点.‎ ‎(1)如图1,若EF∥BC、DF∥AB,连CE、AD分别交DF、EF于N、M,且E为AB的中点,求证:EM=MF;‎ ‎(2)如图2,在(1)中,若E不是AB的中点,请写出与MN平行的直线,并证明;‎ ‎(3)若BD=DC,∠B=90°,且AE:AB:BC=1:3:2,AD与CE相交于点Q,直接写出tan∠CQD的值.‎ ‎21.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.‎ 特例探索 ‎(1)①如图1,当∠ABE=45°,时,a=  ,b=  ;‎ ‎②如图2,当∠ABE=30°,c=4时,求a和b的值 归纳证明 ‎(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.‎ ‎22.如图,一个直角三角形纸片的锐角顶点A在∠MCN的边OM上移动,移动过程中始终有AB⊥ON于点B,AC⊥‎ OM于点A,∠MON的平分线OP分别交AB,AC于点D、E.‎ ‎(1)点A在移动的过程中,线段AD和AE有怎样的数量关系?(不必证明)‎ ‎(2)点A在移动的过程中,若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称,判断并证明以A、D、F、E为顶点的四边形是什么特殊四边形?‎ ‎(3)若∠MON=45°,猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系?请证明你的猜想.‎ ‎23.如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,点M为射线AE上任意一点(不与点A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM,射线AE于点F、D.‎ ‎(1)问题发现:直接写出∠NDE=  度;‎ ‎(2)拓展探究:试判断,如图②当∠EAC为钝角时,其他条件不变,∠NDE的大小有无变化?请给出证明.‎ ‎(3)如图③,若∠EAC=15°,BD=,直线CM与AB交于点G,其他条件不变,请直接写出AC的长.‎ ‎24.在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,延长AB至点D,使BD=BC,点E是直线BC上一点,点F是直线AC上一点,连接DE.连接EF,且∠DEF=∠DBC.‎ ‎(1)如图1,若∠D=∠EFC=15°,AB=,求AC的长.‎ ‎(2)如图2,当∠BAC=45°,点E为线段BC的延长线上,点F在线段AC的延长线上时,求证:CF=BE.‎ ‎(3)如图3,当∠BAC=90°,点E为线段CB的延长线上,点F在线段CA的延长线上时,猜想线段CF与线段BE的数量关系,并证明猜想的结论.‎ ‎25.中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形!‎ ‎(1)如图1,若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点,点E、F分别在AB、AC边上,且∠EDF=90°,连接AD、EF,当BC=5,FC=2时,求EF的长度;‎ ‎(2)如图2,若点D为等边三角形ABC边BC的中点,点E、F分别在AB、AC边上,且∠EDF=90°;M为EF的中点,连接CM,当DF∥AB时,证明:3ED=2MC;‎ ‎(3)如图3,若点D为等边三角形ABC边BC的中点,点E、F分别在AB、AC边上,且∠EDF=90°;当BE=6,CF=0.8时,直接写出EF的长度.‎ ‎26.已知,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,点P是射线CB上一点(点P不与点B、C重合),线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ,连接QB交射线AC于点M.‎ ‎(1)如图①,当AC=BC,点P在线段CB上时,线段PB、CM的数量关系是  ;‎ ‎(2)如图②,当AC=BC,点P在线段CB的延长线时,(1)中的结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由.‎ ‎(3)如图③,若,点P在线段CB的延长线上,CM=2,AP=13,求△ABP的面积.‎ ‎27.在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置,点E在斜边AB上,连结BD,过点D作DF⊥AC于点F.‎ ‎(1)如图1,若点F与点A重合,求证:AC=BC;‎ ‎(2)若∠DAF=∠DBA,‎ ‎①如图2,当点F在线段CA的延长线上时,判断线段AF与线段BE的数量关系,并说明理由;‎ ‎②当点F在线段CA上时,设BE=x,请用含x的代数式表示线段AF.‎ ‎28.如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.‎ ‎(1)求证:DE⊥AG;‎ ‎(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2.‎ ‎①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;‎ ‎②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.‎ ‎29.在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E.DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.‎ ‎(1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;‎ ‎(2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:BE+CF=AB;‎ ‎(3)如图3,将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线相交于点F,作DN⊥AC于点N,若DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:BE+CF=(BE﹣CF).‎ ‎30.如图1所示,在菱形ABCD和菱形AEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段CF的中点,连接PD,PG.‎ ‎(1)若∠BAD=∠AEF=120°,请直接写出∠DPG的度数及的值.‎ ‎(2)若∠BAD=∠AEF=120°,将菱形ABCD绕点A顺时针旋转,使菱形ABCD的对角线AC恰好与菱形AEFG的边AE在同一直线上,如图2,此时,(1)中的两个结论是否发生改变?写出你的猜想并加以说明.‎ ‎(3)若∠BAD=∠AEF=180°﹣2α(0°<α<90°),将菱形ABCD绕点A顺时针旋转到图3的位置,求出的值.‎ ‎ ‎ 三角形综合题答案 ‎1.已知,如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,cot∠BAC=,点D在边BC上(不与点B、C重合),点E在边BC的延长线上,∠DAE=∠BAC,点F在线段AE上,∠ACF=∠B.设BD=x.‎ ‎(1)若点F恰好是AE的中点,求线段BD的长;‎ ‎(2)若y=,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;‎ ‎(3)当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时,求线段BD的长.‎ 解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=8,‎ ‎ cot∠BAC=,‎ ‎ ∴AC=6,AB=10,‎ ‎∵∠DAE=∠BAC,‎ ‎∴∠FAC=∠DAB,‎ ‎∵∠ACF=∠B,‎ ‎∴△ABD∽△ACF,‎ ‎∴,‎ 在Rt△ABC中,点F恰好是AE的中点,‎ ‎∴CF=AE=AF,‎ ‎∴AD=BD,‎ 在Rt△ACD中,AC=6,CD=BC﹣BD=BC﹣AD=8﹣AD,‎ 根据勾股定理得,AC2+CD2=AD2,‎ ‎∴36+(8﹣AD)2=AD2,‎ ‎∴AD=,‎ ‎∴BD=AD=,‎ ‎(2)如图1,过点F作FM⊥AC于M,‎ 由(1)知,∴=,‎ ‎∴CF==×x=x,‎ 由(1)△ABD∽△ACF,‎ ‎∴∠B=∠ACF,‎ ‎∴tan∠ACF=tanB===,‎ ‎∴MC=x,‎ ‎∴y===(0<x<8)‎ ‎(3)∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形,‎ ‎∴①当AD=AE时,‎ ‎∴∠AED=∠ADE,‎ ‎∵∠ACD=90°,‎ ‎∴∠EAC=∠DAC=∠DAB,‎ ‎∴AD是∠BAC的平分线,‎ ‎∴,‎ ‎∵AC=6,AB=10,CD=8﹣BD,‎ ‎∴,‎ ‎∴BD=5,‎ 当AD=DE时,‎ ‎∴∠DAE=∠DEA=∠BAC,‎ ‎∴∠ADE=2∠B,‎ ‎∴∠B=∠DAB,‎ ‎∴AD=BD=(是(1)的那种情况).‎ 即:BD=5或BD=时,△ADE是以AD为腰的等腰三角形.‎ ‎2.如图,△ABC边AB上点D、E(不与点A、B重合),满足∠DCE=∠ABC,∠ACB=90°,AC=3,BC=4;‎ ‎(1)当CD⊥AB时,求线段BE的长;‎ ‎(2)当△CDE是等腰三角形时,求线段AD的长;‎ ‎(3)设AD=x,BE=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域.‎ ‎(1)‎ 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,‎ ‎∴AB=5,sinA=,tanB=,‎ 如图,当CD⊥AB时,△ACD为直角三角形,‎ ‎∴CD=AC•sinA=,‎ ‎∴AD==,‎ 又∵∠DCE=∠ABC,‎ ‎∴在Rt△CDE中,DE=CD•tan∠DCE=×=,‎ ‎∴BE=AB﹣AD﹣DE=5﹣﹣=;‎ ‎(2)当△CDE时等腰三角形时,可知∠CDE>∠A>∠B=∠DCE,∠CED>∠B=∠DCE,‎ ‎∴唯有∠CED=∠CDE,‎ 又∵∠B=∠DCE,∠CDE=∠BDC,‎ ‎∴∠BCD=∠CED=∠CDE=∠BDC,‎ ‎∴BD=BC=4,‎ ‎∴AD=5﹣4=1;‎ ‎(3)如图所示,作CH⊥AB于H,‎ ‎∵×BC×AC=AB×CH,‎ ‎∴CH=,‎ ‎∴Rt△ACH中,AH==,‎ ‎∴在Rt△CDH中,CD2=CH2+DH2=()2+(﹣x)2=x2﹣x+9,‎ 又∵∠CDE=∠BDC,∠DCE=∠B,‎ ‎∴△BDC∽△CDE,‎ ‎∴CD2=DE•DB,‎ 即x2﹣x+9=(5﹣x﹣y)(5﹣x),‎ 解得.‎ 3. 如图,已知△ABC中,AB=AC=3,BC=2,点D是边AB上的动点,过点D作DE∥BC,交边AC于点E,点Q是线段DE上的点,且QE=2DQ,连接BQ并延长,交边AC于点P.设BD=x,AP=y.‎ ‎(1)求y关于x的函数解析式及定义域;‎ ‎(2)当△PQE是等腰三角形时,求BD的长;‎ ‎(3)连接CQ,当∠CQB和∠CBD互补时,求x的值.‎ 解:(1)如图所示,过点D作DF∥AC,交BP于F,则 根据QE=2DQ,可得 ‎==,‎ 又∵DE∥BC,‎ ‎∴==1,‎ ‎∴EC=BD=x,PE=3﹣x﹣y,DF=,‎ ‎∵DF∥AC,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴y=,定义域为:0<x<3;‎ ‎(2)‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴△PEQ∽△PBC,‎ ‎∴当△PEQ为等腰三角形时,△PBC也为等腰三角形,‎ ‎①当PB=BC时,△ABC∽△BPC,‎ ‎∴BC2=CP•AC,即4=3(3﹣y),‎ 解得y=,‎ ‎∴=,‎ 解得x==BD;‎ ‎②当PC=BC=2时,AP=y=1,‎ ‎∴=1,‎ 解得x==BD;‎ ‎③当PC=PB时,点P与点A重合,不合题意;‎ ‎(3)∵DE∥BC,‎ ‎∴∠BDQ+∠CBD=180°,‎ 又∵∠CQB和∠CBD互补,‎ ‎∴∠CQB+∠CBD=180°,‎ ‎∴∠CQB=∠BDQ,‎ ‎∵BD=CE,‎ ‎∴四边形BCED是等腰梯形,‎ ‎∴∠BDE=∠CED,‎ ‎∴∠CQB=∠CED,‎ 又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED,‎ ‎∴∠DQB=∠ECQ,‎ ‎∴△BDQ∽△QEC,‎ ‎∴=,即2DQ2=x2,‎ ‎∴DQ=,DE=,‎ ‎∵DE∥BC,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得x=.‎ ‎4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,=,CD⊥AB于点D,点E是直线AC上一动点,连接DE,过点D作FD⊥ED,交直线BC于点F.‎ ‎(1)探究发现:‎ 如图1,若m=n,点E在线段AC上,则= 1 ;‎ ‎(2)数学思考:‎ ‎①如图2,若点E在线段AC上,则=  (用含m,n的代数式表示);‎ ‎②当点E在直线AC上运动时,①中的结论是否任然成立?请仅就图3的情形给出证明;‎ ‎(3)拓展应用:若AC=,BC=2,DF=4,请直接写出CE的长.‎ 解:(1)当m=n时,即:BC=AC,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠A+∠ABC=90°,‎ ‎∵CD⊥AB,‎ ‎∴∠DCB+∠ABC=90°,‎ ‎∴∠A=∠DCB,‎ ‎∵∠FDE=∠ADC=90°,‎ ‎∴∠FDE﹣∠CDE=∠ADC﹣∠CDE,‎ 即∠ADE=∠CDF,‎ ‎∴△ADE∽△CDF,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠A=∠DCB,∠ADC=∠BDC=90°,‎ ‎∴△ADC∽△CDB,‎ ‎∴=1,‎ ‎∴=1‎ ‎(2)①∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠A+∠ABC=90°,‎ ‎∵CD⊥AB,‎ ‎∴∠DCB+∠ABC=90°,‎ ‎∴∠A=∠DCB,‎ ‎∵∠FDE=∠ADC=90°,‎ ‎∴∠FDE﹣∠CDE=∠ADC﹣∠CDE,‎ 即∠ADE=∠CDF,‎ ‎∴△ADE∽△CDF,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠A=∠DCB,∠ADC=∠BDC=90°,‎ ‎∴△ADC∽△CDB,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎②成立.如图,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠A+∠ABC=90°,‎ 又∵CD⊥AB,‎ ‎∴∠DCB+∠ABC=90°,‎ ‎∴∠A=∠DCB,‎ ‎∵∠FDE=∠ADC=90°,‎ ‎∴∠FDE+∠CDE=∠ADC+∠CDE,‎ 即∠ADE=∠CDF,‎ ‎∴△ADE∽△CDF,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠A=∠DCB,∠ADC=∠BDC=90°,‎ ‎∴△ADC∽△CDB,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(3)由(2)有,△ADE∽△CDF,‎ ‎∵=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴CF=2AE,‎ 在RtDEF中,DE=2,DF=4,‎ ‎∴EF=2,‎ ‎①在Rt△CEF中,CF=2AE=2(AC﹣CE)=2(﹣CE),EF=2,‎ 根据勾股定理得,CE2+CF2=EF2,‎ ‎∴CE2+[2(﹣CE)]2=40‎ ‎∴CE=2,或CE=﹣(舍)‎ ‎②在Rt△CEF中,CF=2AE=2(AC+CE)=2(+CE),EF=2,‎ 根据勾股定理得,CE2+CF2=EF2,‎ ‎∴CE2+[2(+CE)]2=40,‎ ‎∴CE=,或CE=﹣2(舍),‎ 即:CE=2或CE=.‎ ‎5.如图1,在△ABC中,AB=AC,射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°)‎ ‎(1)当∠BAC=60°时,将BP旋转到图2位置,点D在射线BP上.若∠CDP=120°,则∠ACD = ∠ABD(填“>”、“=”、“<”),线段BD、CD与AD之间的数量关系是 BD=CD+AD ;‎ ‎(2)当∠BAC=120°时,将BP旋转到图3位置,点D在射线BP上,若∠CDP=60°,求证:BD﹣CD=AD;‎ ‎(3)将图3中的BP继续旋转,当30°<α<180°时,点D是直线BP上一点(点P不在线段BD上),若∠CDP=120°,请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系(不必证明)‎ 解:(1)如图2,‎ ‎∵∠CDP=120°,‎ ‎∴∠CDB=60°,‎ ‎∵∠BAC=60°,‎ ‎∴∠CDB=∠BAC=60°,‎ ‎∴A、B、C、D四点共圆,‎ ‎∴∠ACD=∠ABD.‎ 在BP上截取BE=CD,连接AE.‎ 在△DCA与△EBA中,‎ ‎,‎ ‎∴△DCA≌△EBA(SAS),‎ ‎∴AD=AE,∠DAC=∠EAB,‎ ‎∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=60°,‎ ‎∴∠DAE=60°,‎ ‎∴△ADE是等边三角形,‎ ‎∴DE=AD.‎ ‎∵BD=BE+DE,‎ ‎∴BD=CD+AD.‎ 故答案为=,BD=CD+AD;‎ ‎(2)如图3,设AC与BD相交于点O,在BP上截取BE=CD,连接AE,过A作AF⊥BD于F.‎ ‎∵∠CDP=60°,‎ ‎∴∠CDB=120°.‎ ‎∵∠CAB=120°,‎ ‎∴∠CDB=∠CAB,‎ ‎∵∠DOC=∠AOB,‎ ‎∴△DOC∽△AOB,‎ ‎∴∠DCA=∠EBA.‎ 在△DCA与△EBA中,‎ ‎,‎ ‎∴△DCA≌△EBA(SAS),‎ ‎∴AD=AE,∠DAC=∠EAB.‎ ‎∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°,‎ ‎∴∠DAE=120°,‎ ‎∴∠ADE=∠AED==30°.‎ ‎∵在Rt△ADF中,∠ADF=30°,‎ ‎∴DF=AD,‎ ‎∴DE=2DF=AD,‎ ‎∴BD=DE+BE=AD+CD,‎ ‎∴BD﹣CD=AD;‎ ‎(3)线段BD、CD与AD之间的数量关系为BD+CD=AD或CD﹣BD=AD.‎ ‎6.已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CD,CG⊥AD于点H,交AB于点G,E为AB上一点,连接CE交AD于点F.‎ ‎(1)如图1,若CE⊥AB于点E,HG=1,CH=5,求CF的长;‎ ‎(2)如图2,若AC=AE,∠GEH=∠ECH,求证:CE=HE;‎ ‎(3)如图3,若E为AB的中点,作A关于CE的对称点A′,连接CA′,EA′,DA′,请直接写出∠CEH,∠A′CD,∠EA′D之间的等量关系.‎ 解:(1)∵∠ACB=90°,CA=CD,‎ ‎∴△ACD是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠CAD=∠CDA=45°,‎ ‎∵CG⊥AD,‎ ‎∴∠CHF=∠AHG=90°,∠ACH=∠DCH=∠ACB=×90°=45°,AH=DH=CH=5,‎ ‎∴∠GAH+∠AGC=90°,‎ ‎∵CE⊥AB,‎ ‎∴∠CEG=90°,‎ ‎∴∠GCE+∠AGC=90°,‎ ‎∴∠GCE=∠GAH,‎ 在△CHF与△AHG中,,‎ ‎∴△CHF≌△AHG,‎ ‎∴HF=HG=1,‎ ‎∴CF===;‎ ‎(2)如图2,过H作MH⊥EH,交CE于M,连接AM,‎ ‎∵AC=AE,‎ ‎∴∠AEC=∠ACE,‎ ‎∵∠GEH=∠ECG,‎ ‎∵MH⊥EH,‎ ‎∴△EHM为等腰直角三角形,∠EHM=90°,‎ ‎∴EH=MH,EM=HE,‎ ‎∴∠AHM=∠AHC+∠CHM=90°+∠CHM=∠EHM+∠CHM=∠CHE,‎ 在△AHM与△CHE中,,‎ ‎∴△AHM≌△CHE,‎ ‎∴∠MAF=∠ECH,‎ ‎∴∠MAF+∠AFC=∠ECH+∠AFC=180°,‎ ‎∴∠CHD=180°﹣90°,‎ ‎∴AM⊥CE,‎ ‎∵AC=AE,‎ ‎∴△ACE是等腰三角形,‎ ‎∴CM=EM=HE,‎ ‎∴CE=2EM=2HE;‎ ‎(3)∵H为AD的中点,E我AB的中点,‎ ‎∴EH是△ABD的中位线,‎ ‎∴EH∥BC,‎ ‎∴∠CEH=∠BCE,‎ ‎∴∠ACE=∠ACB﹣∠BCE=90°﹣∠BCE=90°﹣∠CEH,‎ ‎∵EC=AE,‎ ‎∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH,‎ ‎∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH,‎ ‎∵A关于CE的对称点A′,‎ ‎∴∠CA′E=∠CAE=90°﹣∠CEH,CA=CA′,‎ ‎∵CA=CD,‎ ‎∴CA′=CD,‎ ‎∴∠CDA′=∠CA′D=∠CA′E+∠EA′D=90°﹣∠CEH+∠EA′D,‎ ‎∵∠A′CD+∠CDA′+∠CA′D=180°,‎ ‎∴∠A′CD+90°﹣∠CEH+∠EA′D+90°﹣∠CEH+∠EA′D=180°,‎ 化简得:∠A′CD+2∠EA′D=2∠CEH,‎ ‎7.(1)问题发现 如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,=1,点P是边BC上一动点(不与点B重合),∠PAD=90°,∠APD=∠B,连接CD.‎ 填空:①= 1 ;②∠ACD的度数为 45° .‎ ‎(2)拓展探究 如图2,在Rt△ABC中,∠A=90°,=k.点P是边BC上一动点(不与点B重合),∠PAD=90°,∠APD=∠B,连接CD,请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系,并说明理由.‎ ‎(3)解决问题 如图3,在△ABC中,∠B=45°,AB=4,BC=12,P是边BC上一动点(不与点B重合),∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B,连接CD.若PA=5,请直接写出CD的长.‎ 解:(1)∵∠A=90°,=1,‎ ‎∴AB=AC,‎ ‎∴∠B=45°,‎ ‎∵∠PAD=90°,∠APD=∠B=45°,‎ ‎∴AP=AD,‎ ‎∴∠BAP=∠CAD,‎ 在△ABP与△ACD中,,‎ ‎∴△ABP≌△ACD,‎ ‎∴PB=CD,∠ACD=∠B=45°,‎ ‎∴=1,‎ 故答案为:1,45°;‎ ‎(2)∠ACD=∠B,==k;‎ ‎∵∠BAC=∠PAD=90°,∠B=∠APD,‎ ‎∴△ABC∽△APD,‎ ‎∴=k,‎ ‎∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°,‎ ‎∴∠BAP=∠CAD,‎ ‎∴△ABP∽△CAD,‎ ‎∴∠ACD=∠B,==k;‎ ‎(3)过A作AH⊥BC于H,‎ ‎∵∠B=45°,‎ ‎∴△ABH是等腰直角三角形,‎ ‎∵AB=4,‎ ‎∴AH=BH=4,‎ ‎∵BC=12,‎ ‎∴CH=8,‎ ‎∴AC==4,‎ ‎∴PH==3,‎ ‎∴PB=1,‎ ‎∵∠BAC=∠PAD=,∠B=∠APD,‎ ‎∴△ABC∽△APD,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD,‎ ‎∴∠BAP=∠CAD,‎ ‎∴△ABP∽△CAD,‎ ‎∴=,即,‎ ‎∴CD=.‎ ‎8.Rt△ABC与Rt△DEF的位置如图所示,其中AC=2,BC=6,DE=3,∠D=30°,其中,Rt△DEF沿射线CB以每秒1个单位长度的速度向右运动,射线DE、DF与射线AB分别交于N、M两点,运动时间为t,当点E运动到与点B重合时停止运动.‎ ‎(1)当Rt△DEF在起始时,求∠AMF的度数;‎ ‎(2)设BC的中点的为P,当△PBM为等腰三角形时,求t的值;‎ ‎(3)若两个三角形重叠部分的面积为S,写出S与t的函数关系式和相应的自变量的取值范围.‎ 解:(1)‎ 在Rt△ABC中,tan∠B===,‎ ‎∴∠B=30°,‎ 在Rt△DEF中,∠D=30°,‎ ‎∴∠DFC=60°,‎ ‎∴∠FMB=∠DFC﹣∠B=30°,‎ ‎∴∠AMF=180°﹣∠FMB=150°;‎ ‎(2)∵BC=6,点P为线段BC的中点,‎ ‎∴BP=3,‎ ‎(ⅰ)若点M在线段AB上,‎ ‎①当PB=PM时,PB=PM=3,‎ ‎∵DE=3,∠D=30°,‎ ‎∴EF=DE•tan30°=3,‎ ‎∴此时t=0;‎ ‎②如右图(1)所示 当BP=BM时,BP=BM=3,‎ ‎∵∠B=30°,∠DFE=60°,‎ ‎∴∠FMB=30°,‎ ‎∴△BMF为等腰三角形.‎ 过点F作FH⊥MB于H,则BH=BM=,‎ ‎ 在Rt△BHF中,∠B=30°,‎ ‎∴BF=,‎ ‎∴t=3﹣;‎ ‎③如右图(2)所示,‎ 当MP=MB时,∠MPB=∠B=30‎ ‎∵∠MFP=60°,‎ ‎∴PM⊥MF,∠BMF=30°‎ ‎∴FB=FM,‎ 设FB=x,则FM=x,PF=2x.‎ ‎∴3x=3,x=1‎ ‎∴t=2;‎ ‎(ⅱ)若点M在射线AB上,‎ 如右图(3)所示,‎ ‎∵∠PBM=150°‎ ‎∴当△PBM为等腰三角形时,有BP=BM=3‎ ‎∵△BFM为等腰三角形,‎ ‎∴过点F作FH⊥BM于H,则BH=BM=,‎ 在Rt△BHF中,∠FBH=30°‎ ‎∴BF=,‎ ‎∴t=3+,‎ 综上所述,t的值为0,3﹣,2,3+.‎ ‎(3)当0<t≤3时,BE=6﹣t,NE=(6﹣t),‎ ‎∴=,‎ 过点F作FH⊥MB于H,如右图(1)所示,‎ ‎∵FB=3﹣t ‎∴HF=(3﹣t),HB=(3﹣t),MB=(3﹣t),‎ ‎∴=,‎ ‎∴S=S△BEN﹣S△BMF==,‎ 当3<t≤6时,BE=6﹣t,NE=(6﹣t),如右图(4)所示,‎ ‎∴S==,‎ 由上可得,当0<t≤3时,S=,‎ 当3<t≤6时,S=,‎ 即S=.‎ ‎9.如图,已知等腰△ABC中,AC=BC,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点,连接FE、ED,BF的延长线交ED的延长线于点G,连接GC.‎ ‎(1)求证:EF∥CG;‎ ‎(2)若AC=AB,求证:AC=CG;‎ ‎(3)如图2,若CG=EG,则=  .‎ ‎(1)证明:∵点D、E分别是线段AC、BC的中点,‎ ‎∴DE为△ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥AB,‎ ‎∴∠CDE=∠A.‎ ‎∵∠CDE=FDG,‎ ‎∴∠FDG=∠A.‎ ‎∵点F为线段AD的中点,‎ ‎∴AF=DF.‎ 在△ABF和△DGF中,,‎ ‎∴△ABF≌△DGF(ASA),‎ ‎∴BF=GF,‎ ‎∴点F为线段BG的中点,‎ ‎∵点E为线段BC的中点,‎ ‎∴EF为△BCG的中位线,‎ ‎∴EF∥CG.‎ ‎(2)证明:在图1中,过点C作CM⊥AB于点M.‎ ‎∵AC=BC,‎ ‎∴AM=BM=AB.‎ ‎∵AC=AB,‎ ‎∴==.‎ ‎∵AF=AD=AC=AB,‎ ‎∴==,‎ ‎∴△BAF∽△CAM,‎ ‎∴∠AFB=∠AMC=90°,‎ ‎∴CF⊥BG.‎ ‎∵点F为线段BG的中点,‎ ‎∴BC=CG,‎ 又∵AC=BC,‎ ‎∴AC=CG.‎ (3) 解:‎ ‎∵DE为△ABC的中位线,‎ ‎∴DE=AB,CE=BC=AC,‎ ‎∵DG=AB,EG=DE+DG,‎ ‎∴EG=AB.‎ ‎∵DE∥AB,‎ ‎∴∠GEC=∠CBA,‎ ‎∵AC=BC,CG=EG,‎ ‎∴△GEC∽△CBA,‎ ‎∴,既,‎ ‎∴=,‎ 故答案为:.‎ ‎10.在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AC=AB=6,D,E分别是AB,AC的中点,若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到Rt△AD1E1,设旋转角为α(0<α≤180°),记直线BD1与CE1的交点为P.‎ ‎(1)如图1,当α=90°时,线段BD1的长等于 3 ,线段CE1的长等于 3 ;‎ ‎(2)如图2,当α=135°时,设直线BD1与CA的交点为F,求证:BD1=CE1,且BD1⊥CE1;‎ ‎(3)点P到AB所在直线的距离的最大值是  .‎ 解:‎ ‎(1)∵∠CAB=90°,AC=AB=6,D,E分别是边AB,AC的中点,‎ ‎∴AE=AD=3,‎ ‎∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0<α≤180°),‎ ‎∴当α=90°时,AE1=3,∠E1AE=90°,‎ ‎∴BD1==3,E1C==3;‎ 故答案为:3,3;‎ ‎(2)证明:当α=135°时,如图2,连接CE1,‎ ‎∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到,‎ ‎∴AD1=AE1,∠D1AB=∠E1AC=135°,‎ 在△D1AB和△E1AC中 ‎,‎ ‎∴△D1AB≌△E1AC(SAS),‎ ‎∴BD1=CE1,且∠D1BA=∠E1CA,‎ 记直线BD1与AC交于点F,‎ ‎∴∠BFA=∠CFP,‎ ‎∴∠CPF=∠FAB=90°,‎ ‎∴BD1⊥CE1;‎ ‎(3)解:如图3,作PG⊥AB,交AB所在直线于点G,‎ ‎∵D1,E1在以A为圆心,AD为半径的圆上,‎ ‎∴当BD1所在直线与⊙A相切时,直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大,‎ 此时四边形AD1PE1是正方形,PD1=3,则BD1==3,‎ 故∠ABP=30°,‎ 则PB=3+3,‎ 故点P到AB所在直线的距离的最大值为:PG=,‎ 故答案为:.‎ ‎11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为边BC上任意一点,以直线AD为对称轴,作Rt△ABC的轴对称图形Rt△AEF,点M、点N、点P、点Q分别为AB、BC、EF、EA的中点.‎ ‎(1)求证:MN=PQ;‎ ‎(2)如图2,当BD=时,判断点M、点N、点P、点Q围成的四边形的形状,并说明理由;‎ ‎(3)若BC=6,请你直接写出当①BD=3;②BD=6时,点M、点N、点P、点Q围成图形的形状.‎ 解:(1)∵△ABC与△AEF关于直线AD对称,如图1,‎ ‎∴△ABC≌△AEF,‎ ‎∴AC=AF,‎ ‎∵点M、N、P、Q分别是AB、BC、EF、EA的中点,‎ ‎∴MN、PQ分别是△ABC和△AEF的中位线,‎ ‎∴MN=AC,PQ=AF,‎ ‎∴MN=PQ;‎ ‎(2)当BD=BC时,点M、点N、点P、点Q围成的四边形是矩形.‎ 连结BE、MN、PQ,如图2,‎ ‎∵点M、点Q是AB、AE的中点.‎ ‎∴MQ∥BE且MQ=BE,‎ ‎∵点N是BC中点,‎ ‎∴BN=BC,‎ 又∵BD=BC,‎ ‎∴DN=BN﹣BD=BC﹣BC=BC,‎ ‎∴‎ ‎∵点B与点E关于直线AD对称,‎ ‎∴BE⊥AD,‎ 同理PN⊥AD,‎ ‎∴BE∥PN,‎ ‎∴△PDN∽△EDB,‎ ‎∴‎ ‎∴PN∥BE,PN=BE,‎ ‎∴MQ∥PN且MQ=PN,‎ ‎∴四边形MQNP是平行四边形,‎ ‎∵MN=PQ,‎ ‎∴四边形MQNP是矩形.‎ ‎(3)当BD=3时,围成等腰三角形;‎ 当BD=6时,围成矩形.‎ ‎12.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,AD=BD,过点D作射线DH,交BC边于点M.‎ ‎(1)如图1,若∠B=30°,求证:△ACD是等边三角形;‎ ‎(2)如图2,若AC=10,AD=13,∠CDH=∠A.‎ ‎①求线段DM的长;‎ ‎②点P是射线DH上一点,连接AP交CD于点N,当△DMN是等腰三角形时,求线段MP的长.‎ ‎(1)证明:∵∠B=30°,∠ACB=90°,‎ ‎∴∠A=60°,‎ 由题意可得D是直角三角形斜边A边上的中点,‎ ‎∴CD=AD,‎ ‎∴∠ACD=∠A=60°,‎ ‎∴∠ADC=60°,‎ ‎∴△ACD为等边三角形;‎ ‎(2)解:①∵点D是直角三角形斜边AB上的中点,‎ ‎∴AC=CD=AD,‎ ‎∴∠ACD=∠A,‎ ‎∵∠CDH=∠A,‎ ‎∴∠ACD=∠CDH,‎ ‎∴DH∥AC,‎ ‎∴DM为△ABC的中位线,‎ ‎∴DM=AC=5;‎ ‎②分三种情况考虑:‎ ‎(i)当MN=DN时,如图1所示,‎ 由①得:AD=CD,∠A=∠ACD=∠CDH,DM=5,‎ ‎∵MN=DN,‎ ‎∴∠CDN=∠DMN=∠A=∠ACD,‎ ‎∴△ADC∽△DNM,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得:DN==CD,‎ ‎∴CN=DN,‎ ‎∵DH∥AC,‎ ‎∴△ACN≌△PDN,‎ ‎∴PD=AC=10,‎ ‎∴MP=PD﹣DM=10﹣5=5;‎ ‎(ii)当MN=DM=5时,如图2所示,则有∠MND=∠MDN=∠ACD=∠A,‎ ‎∴△ADC∽△MDN,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得:DN=,‎ ‎∴CN=13﹣=,‎ ‎∵△ACN∽△PDN,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得:PD=,‎ 则MP=DM﹣PD=5﹣=;‎ ‎(iii)当DN=DM时,如图2所示,则有DN=5,CN=13﹣5=8,‎ ‎∵△ACN∽△PDN,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得:PD=,‎ 则MP=PD﹣DM=.‎ ‎13.等腰三角形ABC中,AB=CB,BO⊥AC,点P为射线BC上的动点(不与点B重合),在射线CA上截取CD=CB,作PF⊥BD,分别交射线BO,BD于点E,F.设∠ABC=α.‎ ‎(1)令∠ABC=90°.‎ ‎①如图1,当点P与点C重合时,求证:△BOD≌△POE;‎ ‎②如图2,当点P在点C的左边时,求的值;‎ ‎③猜想:当点P在点C的右边时,的值又是多少?‎ 请直接写出.‎ ‎(2)设点P在点C的右边,请在图3(∠ABC>90°)或图4(∠ABC<90°)中继续探究的值(用含α的式子表示),并说明理由.‎ 解:(1)①如图1中,‎ ‎∵AB=BC,∠ABC=90°,BO⊥AC,‎ ‎∴OA=OC=OB,∠BOC=90°,‎ ‎∵CF⊥BD,‎ ‎∴∠CFD=90°,‎ ‎∵∠CDF+∠DCF=90°,∠DCF+∠CEO=90°,‎ ‎∴∠CEO=∠BDO,‎ 在△BOD和△COE中,‎ ‎,‎ ‎∴△BOD≌△COE,(即△BOD≌△POE).‎ ‎②如图2中,作PM⊥OB于M,交BD于N.‎ ‎∵PM⊥OB,AC⊥OB,‎ ‎∴PN∥AC,‎ ‎∴∠PNB=∠CDB,∠NPB=∠C=45°,‎ ‎∵CB=DC,‎ ‎∴∠CBD=∠CDB=∠PNB,‎ ‎∴PB=PN,∵PF⊥BN,‎ ‎∴BF=FN,‎ ‎∵∠MPB=∠MBP=45°,‎ ‎∴BM=PM,‎ ‎∵∠FEB=∠MEP,∠EFB=∠PME=90°,‎ ‎∴∠EBF=∠EPM,‎ 在△BMN和△PME中,‎ ‎,‎ ‎∴△BMN≌△PME,‎ ‎∴BN=PE,‎ ‎∵BF=FN,‎ ‎∴=.‎ ‎③如图3中,当点P在点C的右边时,的值为.‎ 理由:作PM⊥OB于M,交BD于N.‎ ‎∵PM⊥OB,AC⊥OB,‎ ‎∴PN∥AC,‎ ‎∴∠PNB=∠CDB,∠NPB=∠ACB=45°,‎ ‎∵CB=DC,‎ ‎∴∠CBD=∠CDB=∠PNB,‎ ‎∴PB=PN,∵PF⊥BN,‎ ‎∴BF=FN,‎ ‎∵∠MPB=∠MBP=45°,‎ ‎∴BM=PM,‎ ‎∵∠FEB=∠MEP,∠EFB=∠PME=90°,‎ ‎∴∠EBF=∠EPM,‎ 在△BMN和△PME中,‎ ‎,‎ ‎∴△BMN≌△PME,‎ ‎∴BN=PE,‎ ‎∵BF=FN,‎ ‎∴=.‎ ‎(2)如图4中,=.‎ 理由:作PM⊥BO于M,交BD于N.‎ ‎∵PM⊥OB,AC⊥OB,‎ ‎∴PN∥AC,‎ ‎∴∠PNB=∠CDB,∠NPB=∠ACB=,‎ ‎∵CB=DC,‎ ‎∴∠CBD=∠CDB=∠PNB,‎ ‎∴PB=PN,∵PF⊥BN,‎ ‎∴BF=FN,‎ ‎∵∠FEB=∠MEP,∠EFB=∠PME=90°,‎ ‎∴∠EBF=∠EPM,‎ ‎∴△BMN∽△PME,‎ ‎∴==tan∠BPM,‎ ‎∴BPM,‎ ‎∴=.‎ 如图5中,=.‎ 理由:理由:作PM⊥BO于M,交BD于N.‎ ‎∵PM⊥OB,AC⊥OB,‎ ‎∴PN∥AC,‎ ‎∴∠PNB=∠CDB,∠NPB=∠ACB=,‎ ‎∵CB=DC,‎ ‎∴∠CBD=∠CDB=∠PNB,‎ ‎∴PB=PN,∵PF⊥BN,‎ ‎∴BF=FN,‎ ‎∵∠FEB=∠MEP,∠EFB=∠PME=90°,‎ ‎∴∠EBF=∠EPM,‎ ‎∴△BMN∽△PME,‎ ‎∴==tan∠BPM,‎ ‎∴BPM,‎ ‎∴=.‎ ‎14.如图1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E在AC边上,连接BE.‎ ‎(1)若AF是△ABE的中线,且AF=5,AE=6,连接DF,求DF的长;‎ ‎(2)若AF是△ABE的高,延长AF交BC于点G.‎ ‎①如图2,若点E是AC的中点,连接EG,求证:AG+EG=BE;‎ ‎②如图3,若点E是AC边上的动点,连接DF.当点E在AC边上(不含端点)运动时,∠DFG的大小是否改变,如果不变,请求出∠DFG的度数;如果要变,请说明理由.‎ 解:(1)在Rt△ABE中,AF是中线,‎ ‎∴AF=BE,‎ ‎∵AF=5,‎ ‎∴BE=10,‎ 在Rt△ABE中,AE=6,BE=10,可求得AB=8,‎ 又∵AB=AC,∴AC=8,‎ ‎∴CE=AC﹣AE=2,‎ ‎∵AB=AC,AD⊥BC,‎ ‎∴BD=DC,‎ 又∵点F是BE的中点,‎ ‎∴DF=CE=1;‎ ‎(2)如图1,过点C作CM⊥AC,交AG的延长线于点M,则∠ACM=90°,‎ 又∵∠BAC=90°,‎ ‎∴∠BAC=∠ACM,‎ ‎∵AF是△ABE的高,‎ ‎∴∠AFB=90°,‎ ‎∴∠1+∠BAF=90°,‎ ‎∵∠BAC=90°,‎ ‎∴∠2+∠BAF=90°,‎ ‎∴∠1=∠2,‎ 在△ABE和△CAM中 ‎∴△ABE≌△CAM(ASA),‎ ‎∴AE=CM,BE=AM,‎ 又点E是AC边的中点,‎ ‎∴CE=AE=CM,‎ ‎∵AB=AC,∠BAC=90°,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=45°,‎ 又∵∠ACM=90°,‎ ‎∴∠MCG=45°=∠ACB,‎ 在△CEG和△CMG中 ‎∴△CEG≌△CMG(SAS),‎ ‎∴EG=GM,‎ 又BE=AM,‎ ‎∴AG+EG=AG+GM=AM=BE;‎ ‎(3)如图2,过点D作DN⊥DF,交AG的延长线于点N,则∠NDF=90°,‎ ‎∵AD⊥BC,‎ ‎∴∠ADB=90°=∠NDF,‎ ‎∴∠ADB+∠ADF=∠NDF+∠ADF,即∠BDF=∠ADN,‎ ‎∵∠ADB=∠AFB=90°,∠5=∠6,‎ ‎∴∠3=∠4,‎ 在Rt△ABC中,BD=DC,‎ ‎∴AD=BC=BD,‎ 在△BDF和△ADN中 ‎,‎ ‎∴△BDF≌△ADN(ASA),‎ ‎∴DF=DN,‎ 又∠NDF=90°,‎ ‎∴∠DFN=∠DNF=45°,‎ 即∠DFG=45°.‎ ‎15.在△ABC中,AD、AE分别是△ABC的内、外角平分线.‎ ‎(1)如图①,CG⊥AD于G,BG的延长线交AE于H,求证:AH=EH;‎ ‎(2)如图①,在(1)的条件下,若AE=2AD,BE=5BC,则tan∠AHB=  ;‎ ‎(3)如图②,点M是DE的中点,BE=5BC=10,求MD的长.‎ 证明:(1)如图1,延长CG交AB于M,‎ ‎∵AD平分∠BAC,CG⊥AD,‎ ‎∴CG=MG.‎ ‎∵AD、AE分别是△ABC的内、外角平分线,‎ ‎∴∠HAG=90°,‎ ‎∴AE∥CG,‎ ‎∵==,‎ ‎∴AH=EH.‎ ‎(2)由角平分线定理得=.‎ ‎∵AC=AM,‎ ‎∴=.‎ 又=,BE=5BC,‎ ‎∴==,‎ ‎∴=.‎ 设CD=4,DB=5,‎ 则EC=36,‎ ‎∴==,‎ ‎∵AH=EH,AE=2AD,‎ ‎∴AH=AD,‎ ‎∴tan∠AHB==;‎ 故答案是:;‎ ‎(3)由(2)可知:BE=45a=10,a=.‎ ‎∴MD=20a=.‎ ‎16.如图,△ABC是等边三角形,AB=2,D是边BC的中点,点P从点A出发,沿AB﹣BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.同时点Q从点C出发,沿CA﹣AC以每秒1个单位长度的速度运动.当点P停止运动时,点Q也随之停止运动,设点P的运动时间为t(秒),△PQD的面积为S.‎ ‎(1)求线段PB的长(用含t的代数式).‎ ‎(2)当△PQD是等边三角形时,求t的值.‎ ‎(3)当S>0时,求S与t的函数关系式.‎ ‎(4)若点D关于直线PQ的对称点为点D′,且S>0,直接写出点D′落在△ABC的边上时t的值.‎ 解:(1)∵△ABC是等边三角形,AB=2,‎ ‎∴当0≤t≤2时,BP=2﹣t;‎ 当2≤t≤3时,BP=t﹣2;‎ ‎(2)如图1,∵△PQD是等边三角形,‎ ‎∴∠PDQ=60°,‎ ‎∴∠PDB+∠CDQ=120°,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠B=∠C=60°,‎ ‎∴∠PDB+∠BPD=120°,‎ ‎∴∠BPD=∠CDQ,‎ ‎∵BD=CD,‎ 在△BPD与△CDQ中,‎ ‎,‎ ‎∴△BPD≌△CDQ(AAS),‎ ‎∴BP=CQ,‎ ‎∴2﹣t=t,‎ ‎∴t=1,‎ ‎(3)当0≤t≤2时,如图2,连接AD,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,D是边BC的中点,‎ ‎∴∠ADB=90°,‎ ‎∴AD=AB•sin60°=,‎ 分别过点P,Q作PE⊥BC,QF⊥BC,垂足分别为点E,F,‎ 在Rt△BPE中,∠BEP=90°,PE=PB•sin60°=,‎ 在Rt△QCF中,∠QFC=90°,QF=CQ•sin60°=,‎ 过点Q作QG⊥AB于点G,‎ 在Rt△AGQ中,∠AGQ=90°,QG=AQ•sin60°=,‎ ‎∴S△PQD=S△ABC﹣S△BPD﹣S△QCD﹣S△APQ,‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ 当2<t<3时,如图3‎ 过点Q作QH⊥BC于点H,‎ 在Rt△CQH中,∠CHQ=90°,‎ QH=CQ•sin60°=,‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎(4)点D′落在△ABC的边上,如图4,此时t=1;‎ 点D′落在△ABC的边上,如图5,此时t=2.5.‎ ‎17.在Rt△AOB中,OA=3,sinB=,P、M、分别是BA、BO边上的两个动点.点M从点B出发,沿BO以1单位/秒的速度向点O运动;点P从点B出发,沿BA以a单位/秒的速度向点A运动;P、M两点同时出发,任意一点先到达终点时,两点停止运动.设运动的时间为t.‎ ‎(1)线段AP的长度为 5﹣at (用含a、t的代数式表示);‎ ‎(2)如图①,连结PO、PM,若a=1,△PMO的面积为S,试求S的最大值;‎ ‎(3)如图②,连结PM、AM,试探究:在点P、M运动的过程中,是否存在某个时刻,使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形?若存在,求出此时a和t的取值,若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)∵Rt△AOB中,OA=3,sinB=,‎ ‎∴AB=5,‎ ‎∵设运动的时间为t,点P从点B出发,沿BA以a单位/秒的速度向点A运动,‎ ‎∴AP=5﹣at,‎ 故答案为:5﹣at;‎ ‎(2)如图①:‎ 过点P作PD⊥OB,在Rt△PDB中,PB=t,sinB=,‎ ‎∴PD=,OM=4﹣t,‎ ‎∴,‎ ‎∵0≤t≤4,‎ ‎∴当t=2时,;‎ ‎(3)假设存在,‎ ‎①若∠PMB=90°,如图②:‎ ‎∵PA=PM,‎ 在Rt△PMB中,PB=at,sinB=,‎ ‎∴PM=at,MB=at,‎ 根据题意可得:,‎ 解得:,符合题意;‎ ‎②若∠MPB=90°,如图③,则∠APM=90°,‎ ‎∴PA=PM,‎ 在Rt△PMB中,PB=at,sinB=,‎ ‎∴,‎ 根据题意可得:,‎ 解得:,符合题意,‎ ‎∴存在某时刻,使得△PMB为直角三角形且△PMA是等腰三角形,此时.‎ ‎18.在直角△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC边上,连结BE,作∠ACF=∠CBE交AB于点F,同时点D在BE上,且CD⊥AB.‎ ‎(1)已知:如图,,.‎ ‎①求证:△ACF≌△BCD.‎ ‎②求的值.‎ ‎(2)若,,则的值是多少(直接写出结果)‎ 证明:(1)①∵∠ACB=90°,,CG⊥AB,‎ 由等腰三角形的三线合一的性质可得:CD是∠ACB的角平分线,∠BCD=45°,‎ 在△CAF与△BCD中,‎ ‎,‎ ‎∴△ACF≌△BCD;‎ ‎②由①可知:∠AFC=∠CDB,‎ ‎∴∠CFB=∠CDE,‎ ‎∵∠CBF=∠ECD=45°,‎ ‎∴△CDE∽△BFC,‎ ‎∴;‎ ‎(2)∵,‎ ‎∵,,‎ ‎∴.‎ ‎19.已知,AB=5,tan∠ABM=,点C、D、E为动点,其中点C、D在射线BM上(点C在点D的左侧),点E和点D分别在射线BA的两侧,且AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE.‎ ‎(1)当点C与点B重合时(如图1),联结ED,求ED的长;‎ ‎(2)当EA∥BM时(如图2),求四边形AEBD的面积;‎ ‎(3)联结CE,当△ACE是等腰三角形时,求点B、C间的距离.‎ 解:(1)如图1中,延长BA交DE于F,作AH⊥BD于H.‎ 在RT△ABH中,∵∠AHB=90°,‎ ‎∴sin∠ABH==,‎ ‎∴AH=3,BH==4,‎ ‎∵AB=AD,AH⊥BD,‎ ‎∴BH=DH=4,‎ 在△ABE 和△ABD中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABD≌△ABE,‎ ‎∴BE=BD,∠ABE=∠ABD,‎ ‎∴BF⊥DE,EF=DF,‎ ‎∵∠ABH=∠DBF,∠AHB=∠BFD,‎ ‎∴△ABH∽△DBF,‎ ‎∴=,‎ ‎∴DF=,‎ ‎∴DE=2DF=.‎ ‎(2)如图2中,作AH⊥BD于H.‎ ‎∵AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE,‎ ‎∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC,‎ ‎∵AE∥BD,‎ ‎∴∠AEB+∠EBD=180°,‎ ‎∴∠EBD+∠ADC=180°,‎ ‎∴EB∥AD,‎ ‎∵AE∥BD,‎ ‎∴四边形ADBE是平行四边形,‎ ‎∴BD=AE=AB=5,AH=3,‎ ‎∴S平行四边形ADBE=BD•AH=15.‎ ‎(3)由题意AC≠AE,EC≠AC,只有EA=EC.‎ 如图3中,‎ ‎∵∠ACD=∠AEB(已证),‎ ‎∴A、C、B、E四点共圆,‎ ‎∵AE=EC=AB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠AEC=∠ABC,‎ ‎∴AE∥BD,‎ 由(2)可知四边形ADBE是平行四边形,‎ ‎∴AE=BD=AB=5,‎ ‎∵AH=3,BH=4,‎ ‎∴DH=BD﹣BH=1,‎ ‎∵AC=AD,AH⊥CD,‎ ‎∴CH=HD=1,‎ ‎∴BC=BD﹣CD=3.‎ ‎20.在△ABC中,D、E、F分别为BC、AB、AC上的点.‎ ‎(1)如图1,若EF∥BC、DF∥AB,连CE、AD分别交DF、EF于N、M,且E为AB的中点,求证:EM=MF;‎ ‎(2)如图2,在(1)中,若E不是AB的中点,请写出与MN平行的直线,并证明;‎ ‎(3)若BD=DC,∠B=90°,且AE:AB:BC=1:3:2,AD与CE相交于点Q,直接写出tan∠CQD的值.‎ ‎(1)证明:如图1中,‎ ‎∵AE=EB,EF∥AC,‎ ‎∴AF=FC,AM=MD,∵FD∥AB,‎ ‎∴BD=CD,‎ ‎∴EM=BD,MF=CD,‎ ‎∴EM=MF.‎ ‎(2)结论:MN∥AC.‎ 证明:如图2中,‎ ‎∵AE∥DF,‎ ‎∴=,‎ ‎∵MF∥BC,‎ ‎∴=,‎ ‎∵FN∥AE,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴MN∥CF.‎ ‎(3)如图3中,作DN∥AB交CE于N,CM⊥AD交AD的延长线于M.‎ ‎∵AE:AB:BC=1:3:2,‎ 不妨设AE=a.则AB=3a,EB=2a.BC=2a,BD=DC=a,‎ ‎∴tan∠BAD═=,‎ ‎∴∠BAD=30°,∠ADB=∠CDM=60°,‎ ‎∴∠DCM=30°,‎ ‎∴DM=a,CM=a,'‎ ‎∵BD=DC,DN∥EB,‎ ‎∴EN=NC,‎ ‎∴DN=EB=a=AE,‎ ‎∵AE∥DN,‎ ‎∴∠EAQ=∠NDQ,‎ 在△AEQ和△DNQ中,‎ ‎,‎ ‎∴△AEQ≌△DNQ,‎ ‎∴AQ=QD,‎ ‎∵AD===2a,‎ ‎∴DQ=a,QM=DQ+DM=a,‎ ‎∴tan∠CQD===.‎ ‎21.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.‎ 特例探索 ‎(1)①如图1,当∠ABE=45°,时,a= 2 ,b= 2 ;‎ ‎②如图2,当∠ABE=30°,c=4时,求a和b的值 归纳证明 ‎(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.‎ 解:(1)①当∠ABE=45°,时,a=,b=‎ 如图1,‎ 连接EF,则EF是△ABC的中位线 ‎∴EF==,‎ ‎∵∠ABE=45°,AE⊥EF ‎∴△ABP是等腰直角三角形,‎ ‎∵EF∥AB,‎ ‎∴△EFP也是等腰直角三角形,‎ ‎∴AP=BP=2,EP=FP=1,‎ ‎∴AE=BF=,‎ ‎∴.‎ ‎②如图2,‎ 连接EF,则EF是△ABC的中位线.‎ ‎∵∠ABE=30°,AE⊥BF,AB=4,‎ ‎∴AP=2,BP=,‎ ‎∵EF∥AB,EF=AB,PE=,PF=1‎ ‎∴AE=,BF=‎ ‎∴,. ‎ ‎(2)a2+b2=5c2‎ 如图3,‎ 连接EF,设AP=m,BP=n,‎ 则c2=AB2=m2+n2,‎ ‎∵EF∥AB,EF=AB,‎ ‎∴PE=BP=n,PF=AP=m,‎ ‎∴,,‎ ‎∴b2=AC2=4AE2=4m2+n2,a2=BC2=4BF2=4n2+m2‎ ‎∴a2+b2=5(m2+n2)=5c2.‎ ‎22.如图,一个直角三角形纸片的锐角顶点A在∠MCN的边OM上移动,移动过程中始终有AB⊥ON于点B,AC⊥OM于点A,∠MON的平分线OP分别交AB,AC于点D、E.‎ ‎(1)点A在移动的过程中,线段AD和AE有怎样的数量关系?(不必证明)‎ ‎(2)点A在移动的过程中,若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称,判断并证明以A、D、F、E为顶点的四边形是什么特殊四边形?‎ ‎(3)若∠MON=45°,猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系?请证明你的猜想.‎ 解:(1)结论:AD=AE.‎ 理由:如图1中,‎ ‎∵AB⊥OC,CA⊥OA,‎ ‎∴∠ABO=∠OAE=90°,‎ ‎∴∠AEO=90°﹣∠AOE,'∠ADE=∠ODB=90°﹣∠BOD,‎ ‎∵∠AOE=∠BOD,‎ ‎∴∠ADE=∠AED,‎ ‎∴AD=AE.‎ ‎(2)结论:四边形ADFE是菱形.‎ 理由:如图2中,连接DF、EF.‎ ‎∵点A、F关于直线OP对称,E、D在OP上,‎ ‎∴AE=FE,AD=FD,‎ ‎∵AD=AE,‎ ‎∴AE=EF=AD=FD,‎ ‎∴四边形ADFE是菱形.‎ ‎(3)结论:OC=AC+AD.‎ 理由:如图2中,‎ ‎∵点F与点A关于直线OP对称,‎ ‎∴AO=OF,‎ ‎∵AC⊥OH,∠MON=45°,‎ ‎∴∠OAC=90°,‎ ‎∴∠ACO=∠MON=45°,‎ ‎∴OF=AO=AC,‎ 由(2)可知四边形ADFE是菱形,‎ ‎∴EF∥AB,AD=EF,‎ ‎∵AB⊥ON,‎ ‎∴∠ABC=90°,‎ ‎∴∠EFC=∠ABC=90°,‎ ‎∵∠ACO=45°,‎ ‎∴∠ACO=∠CEF,‎ ‎∴CF=EF=AD,‎ ‎∵OC=OF+FC,‎ ‎∴OC=AC+AD.‎ ‎23.如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠EAC=90°,点M为射线AE上任意一点(不与点A重合),连接CM,将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN,直线NB分别交直线CM,射线AE于点F、D.‎ ‎(1)问题发现:直接写出∠NDE= 90 度;‎ ‎(2)拓展探究:试判断,如图②当∠EAC为钝角时,其他条件不变,∠NDE的大小有无变化?请给出证明.‎ ‎(3)如图③,若∠EAC=15°,BD=,直线CM与AB交于点G,其他条件不变,请直接写出AC的长.‎ 解:(1)∵∠ACB=90°,∠MCN=90°,‎ ‎∴∠ACM=∠BCN,‎ 在△MAC和△NBC中,‎ ‎,‎ ‎∴△MAC≌△NBC,‎ ‎∴∠NBC=∠MAC=90°,‎ 又∵∠ACB=90°,∠EAC=90°,‎ ‎∴∠NDE=90°.‎ 故答案为:90.‎ ‎(2)∠NDE的大小不变,‎ 在△MAC和△NBC中,‎ ‎,‎ ‎∴△MAC≌△NBC,‎ ‎∴∠N=∠AMC,‎ 又∵∠MFD=∠NFC,‎ ‎∴∠MDF=∠FCN=90°,‎ 即∠NDE=90°.‎ ‎(3)AC=2,‎ 在△MAC和△NBC中,‎ ‎,‎ ‎∴△MAC≌△NBC,‎ ‎∴∠NBC=∠MAC=15°,‎ 如图③,设BC与AD交于点H,‎ 又∵∠AHC=∠BHD,‎ ‎∴∠BDH=∠ACH=90°,‎ ‎∴在Rt△ABD中,∠ABD=∠ABC+∠NBC=45°+15°=60°‎ ‎∵BD=,‎ ‎∴AB=2,‎ ‎∴AC=AB•cos45°=2.‎ ‎24.在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,延长AB至点D,使BD=BC,点E是直线BC上一点,点F是直线AC上一点,连接DE.连接EF,且∠DEF=∠DBC.‎ ‎(1)如图1,若∠D=∠EFC=15°,AB=,求AC的长.‎ ‎(2)如图2,当∠BAC=45°,点E为线段BC的延长线上,点F在线段AC的延长线上时,求证:CF=BE.‎ ‎(3)如图3,当∠BAC=90°,点E为线段CB的延长线上,点F在线段CA的延长线上时,猜想线段CF与线段BE的数量关系,并证明猜想的结论.‎ ‎(1)解:在△BDE中,∠D+∠DBE+∠BED=180°,‎ ‎∵∠DEB+∠DEF+∠FEC=180°,∠DEF=∠DBC,‎ ‎∴∠D=∠FEC=∠F=15°,‎ ‎∴∠ACB=∠F+∠CEF=30°,‎ 在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,AB=,∠ACB=30°,‎ ‎∴BC=2AB=2,‎ ‎∴AC===3.‎ ‎(2)证明:如图2中,连接CD,作EM⊥EB交AF于M,作FN⊥BE于N,AF交DE于点O.‎ ‎∵∠BAC=45°,∠ABC=2∠ACB,‎ ‎∴∠ABC=90°,∠ACB=∠MCE=∠EMC=45°,‎ ‎∴EM=EC,‎ ‎∵BD=DC,‎ ‎∴∠BDC=∠BCD=45°,‎ ‎∴∠DCE=∠EMF=135°,‎ ‎∵∠DEF=∠DBC=90°,∠FCD=∠DCA=90°,‎ ‎∴∠OEF=∠OCD,∵∠EOF=∠COD,‎ ‎∴∠OFE=∠ODC,‎ 在△EMF和△ECD中,‎ ‎,‎ ‎∴△EMC≌△ECD,‎ ‎∴EF=DE,‎ ‎∵∠DEB+∠FEN=90°,∠EFN+∠FEN=90°,‎ ‎∴∠EFN=∠DEB,‎ 在△EFN和△DEB中,‎ ‎,‎ ‎∴△EFN≌△DEB,‎ ‎∴DB=EN=BC,‎ ‎∴BE=CN,‎ ‎∵△CFN是等腰直角三角形,‎ ‎∴CF=CN=BE.‎ ‎(3)结论:CF=BE.‎ 理由:如图3中,连接CD、DF、作NE⊥CE交AD的延长线于N,在线段CE上截取一点M,使得FM=FE.‎ ‎∵∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACB,‎ ‎∴∠ABC=60°,∠ACB=30°,‎ ‎∵DB=BC,‎ ‎∴∠DBC=120°,∠BDC=∠BCD=30°,‎ ‎∴∠DBC=∠DEF=120°,∠DCA=∠DCB+∠ACB=60°,‎ ‎∴∠DEF+∠DCF=180°,‎ ‎∴E、F、C、D四点共圆,‎ ‎∵∠DCE=∠ECF,‎ ‎∴=,‎ ‎∴DE=EF=FM,‎ ‎∵∠NEB=90°,∠NBE=∠ABC=60°,‎ ‎∴∠N=∠ACM=30°,‎ ‎∵∠DBC=∠BDE+∠DEB=∠DEB+∠FEM=∠DEB+∠FME,‎ ‎∴∠BDE=∠FME,‎ ‎∴∠NDE=∠FMC,‎ 在△EDN和△FMC中,‎ ‎,‎ ‎∴△EDN≌△CMF,‎ ‎∴NE=CF,‎ 在Rt△NEB中,∵∠NEB=90°,∠N=30°,‎ ‎∴NE=BE,‎ ‎∴CF=BE.‎ ‎25.中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形!‎ ‎(1)如图1,若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点,点E、F分别在AB、AC边上,且∠EDF=90°,连接AD、EF,当BC=5,FC=2时,求EF的长度;‎ ‎(2)如图2,若点D为等边三角形ABC边BC的中点,点E、F分别在AB、AC边上,且∠EDF=90°;M为EF的中点,连接CM,当DF∥AB时,证明:3ED=2MC;‎ ‎(3)如图3,若点D为等边三角形ABC边BC的中点,点E、F分别在AB、AC边上,且∠EDF=90°;当BE=6,CF=0.8时,直接写出EF的长度.‎ 解:(1)如图1∵点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点 ‎∴AD⊥BC,AD=BC=CD=,∠DAE=∠C=45°‎ ‎∴AC=CD=5‎ 又∵∠EDF=90°,FC=2‎ ‎∴∠ADE=∠CDF,AF=5﹣2=3‎ 在△ADE和△CDF中 ‎∴△ADE≌△CDF(ASA)‎ ‎∴AE=CF=2‎ ‎∴在Rt△AEF中,EF==‎ ‎(2)设等边三角形边长为2,则BD=CD=1‎ ‎∵等边三角形ABC中,DF∥AB ‎∴∠FDC=∠B=60°‎ ‎∵∠EDF=90°‎ ‎∴∠BDE=30°‎ ‎∴DE⊥BE ‎∴BE=,DE=‎ 如图2,连接DM,则Rt△DEF中,DM=EF=FM ‎∵∠FDC=∠FCD=60°‎ ‎∴△CDF是等边三角形 ‎∴CD=CF=1‎ ‎∴CM垂直平分DF ‎∴∠DCN=30°‎ ‎∴Rt△CDN中,DN=,CN=,DF=1‎ ‎∴在Rt△DEF中,EF==‎ ‎∵M为EF的中点 ‎∴FM=DM=‎ ‎∴Rt△MND中,MN==‎ ‎∴CM=+=‎ ‎∴==‎ ‎∴3ED=2MC ‎(3)如图3,延长FD至G,使得FD=DG,连接EG,BG,则ED垂直平分FG,故EF=EG ‎∴由BD=CD,∠BDG=∠CDF,DF=DG可得:△BDG≌△CDF ‎∴∠GBD=∠C=60°,BG=CF=0.8‎ ‎∴∠EBG=60°+60°=120°‎ ‎∴∠EBH=60°‎ 过E作EH⊥BG于点H,则BH=BE=3‎ ‎∴Rt△BEH中,HE==3‎ ‎∴Rt△EHG中,EG==‎ ‎∴EF的长度为 ‎26.已知,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,点P是射线CB上一点(点P不与点B、C重合),线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ,连接QB交射线AC于点M.‎ ‎(1)如图①,当AC=BC,点P在线段CB上时,线段PB、CM的数量关系是 PB=2CM ;‎ ‎(2)如图②,当AC=BC,点P在线段CB的延长线时,(1)中的结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由.‎ ‎(3)如图③,若,点P在线段CB的延长线上,CM=2,AP=13,求△ABP的面积.‎ 解:(1)如图1,‎ 将△ABC绕点A顺时针旋转90°,得到△AB'C',‎ ‎∴B'Q=BP,AB'=AB,‎ 连接BB',‎ ‎∵AC⊥BC,‎ ‎∴点C在BB'上,且CB'=CB,‎ 依题意得,∠C'B'B=90°,‎ ‎∴CM∥B'C',而CB'=CB,‎ ‎∴2CM=B'Q,‎ ‎∵BP=B'Q,‎ ‎∴BP=2CM,‎ 故答案为:BP=2CM;‎ ‎(2)BP=2CM仍然成立,‎ 理由:如图2,‎ 将△ABC绕点A顺时针旋转90°,得到△AB'C',连接B'Q,‎ ‎∴B'Q=BP,AB'=AB,‎ 连接BB',‎ ‎∵AC⊥BC,‎ ‎∴点C在BB'上,且CB'=CB,‎ 依题意得,∠C'B'B=90°,‎ ‎∴CM∥B'C',而CB'=CB,‎ ‎∴2CM=B'Q,‎ ‎∵BP=B'Q,‎ ‎∴BP=2CM,‎ ‎(3)如图3,‎ 设BC=2x,则AC=5x,‎ 将△ABC绕点A顺时针旋转90°,得到△AB'C',连接B'Q,‎ ‎∴BC=B'C',B'Q=BP,AC=AC'‎ 延长BC交C'Q于N,‎ ‎∴四边形ACNC'是正方形,‎ ‎∴C'N=CN=AC=5x,‎ ‎∴BN=CN+BC=7x ‎∵CM∥QN,‎ ‎∴‎ ‎∵CM=2,‎ ‎∴‎ ‎∴QN=7,‎ ‎∴BP=B'Q=C'N+QN﹣B'C'=5x+7﹣2x=3x+7,‎ ‎∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7,‎ 在Rt△ACP中,AC=5x,PC=5x+7,AP=13,‎ 根据勾股定理得,(5x)2+(5x+7)2=132‎ ‎∴x=1或x=﹣(舍),‎ ‎∴BP=3x+7=10,AC=5x=5,‎ ‎∴S△ABP=BP×AC=×10×5=25,‎ ‎27.在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置,点E在斜边AB上,连结BD,过点D作DF⊥AC于点F.‎ ‎(1)如图1,若点F与点A重合,求证:AC=BC;‎ ‎(2)若∠DAF=∠DBA,‎ ‎①如图2,当点F在线段CA的延长线上时,判断线段AF与线段BE的数量关系,并说明理由;‎ ‎②当点F在线段CA上时,设BE=x,请用含x的代数式表示线段AF.‎ 解:(1)由旋转得,∠BAC=∠BAD,‎ ‎∵DF⊥AC,‎ ‎∴∠CAD=90°,‎ ‎∴∠BAC=∠BAD=45°,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠ABC=45°,‎ ‎∴AC=CB,‎ ‎(2)①由旋转得,AD=AB,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB,‎ ‎∵∠DAF=∠ABD,‎ ‎∴∠DAF=∠ADB,‎ ‎∴AF∥BD,‎ ‎∴∠BAC=∠ABD,‎ ‎∵∠ABD=∠FAD 由旋转得,∠BAC=∠BAD,‎ ‎∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=×180°=60°,‎ 由旋转得,AB=AD,‎ ‎∴△ABD是等边三角形,‎ ‎∴AD=BD,‎ 在△AFD和△BED中,‎ ‎,‎ ‎∴△AFD≌△BED,‎ ‎∴AF=BE,‎ ‎②如图,‎ 由旋转得,∠BAC=∠BAD,‎ ‎∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD,‎ 由旋转得,AD=AB,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD,‎ ‎∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°,‎ ‎∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°,‎ ‎∴∠BAD=36°,‎ 设BD=y,作BG平分∠ABD,‎ ‎∴∠BAD=∠GBD=36°‎ ‎∴AG=BG=BD=y,‎ ‎∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD,‎ ‎∵∠BDG=∠ADB,‎ ‎∴△BDG∽△ADB,‎ ‎∴.‎ ‎∴=﹣1,即()2﹣﹣1=0,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠FAD=∠EBD,∠AFD=∠BED,‎ ‎∴△AFD∽△BED,‎ ‎∴,‎ ‎∴AF==x.‎ ‎28.如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.‎ ‎(1)求证:DE⊥AG;‎ ‎(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2.‎ ‎①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;‎ ‎②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.‎ 解:(1)如图1,延长ED交AG于点H,‎ ‎∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,‎ ‎∴OA=OD,OA⊥OD,‎ ‎∵OG=OE,‎ 在△AOG和△DOE中,‎ ‎,‎ ‎∴△AOG≌△DOE,‎ ‎∴∠AGO=∠DEO,‎ ‎∵∠AGO+∠GAO=90°,‎ ‎∴∠GAO+∠DEO=90°,‎ ‎∴∠AHE=90°,‎ 即DE⊥AG;‎ ‎(2)‎ ‎①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:‎ ‎(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,‎ ‎∵OA=OD=OG=OG′,‎ ‎∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O==,‎ ‎∴∠AG′O=30°,‎ ‎∵OA⊥OD,OA⊥AG′,‎ ‎∴OD∥AG′,‎ ‎∴∠DOG′=∠AG′O=30°,‎ 即α=30°;‎ ‎(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,‎ 同理可求∠BOG′=30°,‎ ‎∴α=180°﹣30°=150°.‎ 综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.‎ ‎②如图3,当旋转到A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,‎ ‎∵正方形ABCD的边长为1,‎ ‎∴OA=OD=OC=OB=,‎ ‎∵OG=2OD,‎ ‎∴OG′=OG=,‎ ‎∴OF′=2,‎ ‎∴AF′=AO+OF′=+2,‎ ‎∵∠COE′=45°,‎ ‎∴此时α=315°.‎ ‎29.在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E.DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.‎ ‎(1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;‎ ‎(2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF仍与线段AC相交于点F.求证:BE+CF=AB;‎ ‎(3)如图3,将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线相交于点F,作DN⊥AC于点N,若DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:BE+CF=(BE﹣CF).‎ 解:(1)如图1,‎ ‎∵AB=AC,∠A=60°,‎ ‎∴△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠B=∠C=60°,BC=AC=AB=4.‎ ‎∵点D是线段BC的中点,‎ ‎∴BD=DC=BC=2.‎ ‎∵DF⊥AC,即∠AFD=90°,‎ ‎∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°,‎ ‎∴∠BED=90°,‎ ‎∴BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×=1;‎ ‎(2)过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,如图2,‎ 则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°.‎ ‎∵∠A=60°,∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°.‎ ‎∵∠EDF=120°,∴∠MDE=∠NDF.‎ 在△MBD和△NCD中,‎ ‎,‎ ‎∴△MBD≌△NCD,‎ ‎∴BM=CN,DM=DN.‎ 在△EMD和△FND中,‎ ‎,‎ ‎∴△EMD≌△FND,‎ ‎∴EM=FN,‎ ‎∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN ‎=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB;‎ ‎(3)过点D作DM⊥AB于M,如图3.‎ 同(1)可得:∠B=∠ACD=60°.‎ 同(2)可得:BM=CN,DM=DN,EM=FN.‎ ‎∵DN=FN,∴DM=DN=FN=EM,‎ ‎∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM,‎ BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM.‎ 在Rt△BMD中,DM=BM•tanB=BM,‎ ‎∴BE+CF=(BE﹣CF).‎ ‎30.如图1所示,在菱形ABCD和菱形AEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段CF的中点,连接PD,PG.‎ ‎(1)若∠BAD=∠AEF=120°,请直接写出∠DPG的度数及的值.‎ ‎(2)若∠BAD=∠AEF=120°,将菱形ABCD绕点A顺时针旋转,使菱形ABCD的对角线AC恰好与菱形AEFG的边AE在同一直线上,如图2,此时,(1)中的两个结论是否发生改变?写出你的猜想并加以说明.‎ ‎(3)若∠BAD=∠AEF=180°﹣2α(0°<α<90°),将菱形ABCD绕点A顺时针旋转到图3的位置,求出的值.‎ 解:(1)延长GP交CD于H,如图1所示:‎ ‎∵在菱形ABCD和菱形AEFG中,‎ AB=CD=AD,BE∥CD,AG=FG,FG∥BE,‎ ‎∴FG∥CD,‎ ‎∴∠PFG=∠PCH,‎ ‎∵P是线段CF的中点,‎ ‎∴PF=PC,‎ 在△PFG和△PCH中,‎ ‎,‎ ‎∴△PFG≌△PCH(ASA),‎ ‎∴FG=CH,PG=PH,‎ ‎∴AG=CH,‎ ‎∴DG=DH,‎ ‎∴DP⊥GH(三线合一),‎ ‎∴∠DPG=90°;‎ ‎∵∠BAD=120°,‎ ‎∴∠ADC=60°,‎ ‎∴∠PDG=∠PDH=∠ADC=30°,‎ ‎∴=tan∠PDG=tan30°=;‎ ‎(2)(1)中的两个结论不发生改变;理由如下:‎ 延长GP交CE于H,连接DH、DG,如图2所示:‎ ‎∵四边形AEFG为菱形,‎ ‎∴FG∥EC,‎ ‎∴∠GFP=∠HCP,‎ ‎∵P是线段CF的中点,‎ ‎∴PF=PC,‎ 在△PFG和△PCH中,‎ ‎,‎ ‎∴△PFG≌△PCH(ASA),‎ ‎∴FG=CH,PG=PH,‎ ‎∵FG=AG,‎ ‎∴AG=CH,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AC=CD,‎ ‎∵∠BAD=∠AEF=120°,‎ ‎∴∠ACD=60°,‎ ‎∴△ACD是等边三角形,‎ ‎∴AD=CD,‎ ‎∴∠EAG=∠ADC=60°,∠DAC=∠DCA=60°,‎ ‎∴∠GAD=180°﹣∠EAG﹣∠DAC=60°,‎ 在△ADG和△CDH中,‎ ‎,‎ ‎∴△ADG≌△CDH(SAS),‎ ‎∴DG=DH,∠ADG=∠CDH,‎ ‎∴DP⊥GH,‎ ‎∴∠DPG=90°,∠GDH=∠ADC=60°,‎ ‎∴∠GDP=30°,‎ ‎∴=tan30°=;‎ ‎(3)延长GP到H,使得PH=GP,连接CH、DG、DH,延长DC交EA的延长线于点M,如图3所示:‎ 同(2)可证△PFG≌△PCH,‎ ‎∴∠GFC=∠HCF,FG=CH,‎ ‎∴FG∥CH,‎ ‎∵FG∥AE,‎ ‎∴CH∥EM,‎ ‎∴∠DCH=∠M,‎ ‎∵CD∥AB,‎ ‎∴∠M=∠MAB,‎ ‎∴∠DCH=∠MAB,‎ ‎∵∠BAD=∠AEF=180°﹣2α,‎ ‎∴∠EAG=∠ADC=2α,‎ ‎∴∠GAM=180°﹣2α,‎ ‎∴∠GAD=∠BAM,‎ ‎∴∠GAD=∠DCH,‎ ‎∵AG=FG,‎ ‎∴AG=CH,‎ 在△ADG和△CDH中,‎ ‎,‎ ‎∴△ADG≌△CDH(SAS),‎ ‎∴∠ADG=∠CDH,DG=DH,‎ ‎∴∠GDH=∠ADC=2α,‎ ‎∴∠DPG=90°,∠GDP=∠GDH=α,‎ ‎∴=tanα.‎
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