2012年乐山中考数学试卷

2012年乐山中考数学试卷

乐山市2012年高中阶段教育学校招生统一考试 数 学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共6页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.考生作答时，不能使用任何型号的计算器.‎ 第一部分（选择题 共30分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1.选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.‎ ‎ 2.本部分共10小题，每小题3分，共30分.‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求.‎ ‎1. 如果规定收入为正，支出为负.收入500 元记作500元，那么支出237元应记作 ‎（A）元 （B）元 （C）237元 （D）500元 ‎2. 图1是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3. 计算的结果是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4. 下列命题是假命题的是 ‎（A）平行四边形的对边相等 （B）四条边都相等的四边形是菱形 ‎（C）矩形的两条对角线互相垂直 （D）等腰梯形的两条对角线相等 ‎5. 如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为 ‎ （A） （B）‎ ‎（C） （D）1‎ ‎6. ⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2＝5厘米，这两圆的位置 关系是 ‎（A）内含 （B）内切 （C）相交 （D）外切 ‎7. 如图3， A、B两点在数轴上表示的数分别为、，下列式子成立的是 ‎（A）＞0 （B）＜0‎ ‎（C）＞0 （D）＞0‎ ‎8. 若实数、、满足，且，则函数的图象可能是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9. 如图4，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在 AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE＝CF，连接DE、DF、EF.‎ 在此运动变化的过程中，有下列结论： ‎ ‎① △DFE是等腰直角三角形；‎ ‎② 四边形CEDF不可能为正方形；‎ ‎③ 四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；‎ ‎④ 点C到线段EF的最大距离为. ‎ 其中正确结论的个数是 ‎（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 ‎10. 二次函数（）的图象的顶点在第一象限，且过点（，）.‎ 设，则值的变化范围是 ‎（A）0＜t＜1 （B）0＜t＜2‎ ‎（C）1＜t＜2 （D）‎ 第二部分（非选择题 共120分）‎ 注意事项：‎ ‎1. 考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效.‎ ‎2. 作图时，可先用铅笔画线，确认后用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚.‎ ‎3. 本部分共16小题，共120分.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.‎ ‎11. 计算：＝ .‎ 图5‎ ‎12. 从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的 小正方体，得到一个如图5所示的零件，则这个零件的 表面积是 .‎ ‎13. 据报道，乐山市2011年GDP总量约为91 800 000 000元，用科学记数法表示这一 数据应为 元.‎ ‎14. 如图6，⊙O是四边形ABCD的内切圆， E、F、G、H是 切点，点P是优弧上异于E、H的点.若∠A＝50°，‎ 则∠EPH＝ .‎ ‎15. 一个盒中装着大小、外形一模一样的颗白色弹珠和颗黑色弹珠，从盒中随机取出一 颗弹珠，取得白色弹珠的概率是．如果再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取得白 色弹珠的概率是，则原来盒中有白色弹珠 颗.‎ ‎16. 如图7，∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，‎ 的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与 的平分线交于点An. 设∠A＝.‎ 则（1）＝ ；‎ ‎（2）＝ .‎ 三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.‎ ‎17. 化简：.‎ ‎18. 解不等式组 并求出它的整数解的和.‎ ‎19. 如图8，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点 ‎△ABC（即三角形的顶点都在格点上）.‎ ‎ （1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；‎ ‎ （要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）‎ ‎ （2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形 BB1C1C的面积.‎ 四、本大题共3小题，每小题10分，共30分.‎ ‎20. 在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物.为使课外读物满足同学们的需求，学校 就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每 位同学只选一类），图9是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.‎ 条形统计图 扇形统计图 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：‎ ‎ （1）本次调查中，一共调查了 名同学；‎ ‎ （2）条形统计图中， ， ；‎ ‎ （3）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 度；‎ ‎ （4）学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少 册比较合理？‎ ‎21. 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩 大种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，‎ 以每千克3.2元的单价对外批发销售.‎ ‎（1）求平均每次下调的百分率；‎ ‎（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供 选择：‎ 方案一：打九折销售；‎ 方案二：不打折，每吨优惠现金200元.‎ 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由.‎ ‎22. 如图10，在东西方向的海岸线上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．‎ ‎（1）求该轮船航行的速度；‎ ‎（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船 能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．‎ ‎ （参考数据：，）‎ 五、本大题共2小题，每小题10分，共20分，其中第24题为选做题.‎ ‎23. 已知关于x的一元二次方程有实数根．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）设方程的两实根分别为x与x，求代数式的最大值.‎ ‎24. 选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分.‎ 甲题：如图11，直线与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交 ‎ 于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝2. ‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图像上的点，‎ 在x轴上是否存在点P，使得PM＋PN最小，若存 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎·‎ 乙题：如图12，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，‎ 交AB于H，交⊙O于G.‎ ‎ （1）求证：；‎ ‎ （2）若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，‎ 求阴影部分的面积.（结果保留根号）‎ 六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.‎ ‎25. 如图13.1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.‎ ‎（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（）时，如图13.2，BD＝CF成 立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.‎ ‎（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图13.3，延长BD交CF于点G.‎ ‎① 求证：BD⊥CF；‎ ‎② 当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长.‎ ‎26. 如图14，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，），‎ 抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、‎ n（m＜n）分别是方程的两根.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、‎ B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点 ‎（点D在轴右侧），连结OD、BD.‎ ‎① 当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；‎ ‎② 求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标.‎ 乐山市2012年高中阶段教育学校招生统一考试 数学参考答案及评分标准 第一部分（选择题 共30分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求.‎ ‎1.B　 2.D　 3.A　 4.C 　5.C　 6.D 　7.C 　8.A　 9.B　 10.B　‎ 第二部分（非选择题 共120分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.‎ ‎11. 12. 24 13. 14. 65° ‎ ‎15. 4 16. （1）； （2） （（1）问1分，（2）问2分） ‎ 三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.‎ ‎17．解 ‎ ‎= …………………………………………（5分）‎ ‎ =. …………………………………………………………（9分）‎ ‎18．解 ‎ 解不等式①，得 . …………………………………………（3分）‎ ‎ 解不等式②，得 . …………………………………………（6分）‎ ‎ 在同一数轴上表示不等式①②的解集，得 ‎∴这个不等式组的解集是. ………………………………（7分）‎ ‎∴这个不等式组的整数解的和是 ‎. …………………………………（9分）‎ ‎19．解（1）如图，△A1B‎1C1 是△ABC关于直线l的对称图形.‎ ‎ …………………………………………（5分）‎ ‎ （描点3分，连线1分，结论1分）‎ ‎（2）由图得 四边形BB‎1 C1C是等腰梯形，BB1= 4，CC1=2，高是4.‎ ‎………………………………………………（6分）‎ ‎∴S四边形BB‎1C1C =‎ ‎ ==. …………（9分）‎ 四、本大题共3小题，每小题10分，共30分.‎ ‎20．（1）200； ………………………………………………………………… （2分）‎ ‎（2），； ……………………………………………………（6分）‎ ‎（3）72； ……………………………………………………………………（8分）‎ ‎（4）解 由题意，得 （册）.‎ ‎ 答：学校购买其他类读物900册比较合理. ……………………………（10分）‎ ‎21．解 （1）设平均每次下调的百分率为. ………………………………（1分）‎ 由题意，得. …………………………………（4分）‎ ‎ 解这个方程，得，. ………………………（6分）‎ 因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意，‎ 符合题目要求的是%. ‎ 答：平均每次下调的百分率是20%. ………………………………（7分）‎ ‎（2）小华选择方案一购买更优惠. ………………………………………（8分）‎ 理由：方案一所需费用为：（元），‎ 方案二所需费用为：（元）.‎ ‎∵ 14400 <15000， ∴小华选择方案一购买更优惠.……（10分）‎ ‎22．解（1）过点A作AC⊥OB于点C .由题意，得 OA=千米，OB=千米，∠AOC=30°.‎ ‎∴（千米）.（1分）‎ ‎∵在Rt△AOC中， ==（千米）.‎ ‎∴（千米）. ………………………（3分）‎ ‎∴在Rt△ABC中，=（千米）.（5分）‎ ‎∴轮船航行的速度为： （千米／时）. ………………（6分）‎ ‎（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸 ． …………（7分）‎ 理由:延长AB交l于点D.‎ ‎ ∵AB＝OB＝20（千米），∠AOC＝30°.‎ ‎∴∠OAB＝∠AOC＝30°，∴∠OBD＝∠OAB＋∠AOC＝60°.‎ ‎∴在Rt△BOD中，‎ ‎＝＝（千米）. …………（9分）‎ ‎∵＞30＋1，‎ ‎∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸 ． …………（10分）‎ 五、本大题共2小题，每小题10分，共20分，其中第24题为选做题.‎ ‎23. 解（1）由，得 ‎ ‎. ………………………………（1分）‎ ‎∴‎ ‎. …………………………………………（3分）‎ ‎∵方程有实数根，∴≥0. 解得 ≤.‎ ‎∴ m的取值范围是≤.……………………………………………（4分）‎ ‎ （2）∵方程的两实根分别为x与x，由根与系数的关系，得 ‎∴， ，……………………（5分）‎ ‎∴‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝‎ ‎＝ ………………………………………（7分）‎ ‎∵≤，且当时，的值随的增大而增大，‎ ‎∴当时，的值最大，最大值为.‎ ‎∴的最大值是0. ……………………………………（10分）‎ ‎24. 解 甲题 ‎（1）由y＝2x＋2可知A（0，2），即OA＝2.………………………………（1分）‎ ‎∵tan∠AHO＝2，∴OH＝1.………………………………………………（2分）‎ ‎∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1.‎ ‎∵点M在直线y＝2x＋2上，‎ ‎∴点M的纵坐标为4.即M（1，4）.…………（3分）‎ ‎∵点M在y＝上，∴k＝1×4＝4. …………（4分）‎ ‎（2）∵点N（a，1）在反比例函数（x＞0）上，‎ ‎ ∴a＝4.即点N的坐标为（4，1）.…………（5分）‎ 过N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P（如图11）.‎ 此时PM＋PN最小. ………………………………………………（6分）‎ ‎∵N与N1关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），‎ ‎∴N1的坐标为（4，－1）.……………………………………………………（7分）‎ 设直线MN1的解析式为y＝kx＋b.‎ 由 解得k＝－，b＝.…………………………………（9分）‎ ‎∴直线MN的解析式为.‎ 令y＝0，得x＝. ∴P点坐标为（，0）.………………………（10分）‎ 乙题：‎ ‎·‎ ‎（1）∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.………………（1分）‎ ‎∵FG⊥AB，∴DA∥FO.‎ ‎∴∠EOF＝∠EDA，∠EFO＝∠EAD.‎ ‎∴△FOE∽△ADE.‎ ‎∴.即OF·DE＝OE·AD. ……（3分）‎ ‎∵O是BD的中点，DA∥OH，‎ ‎∴AD＝2OH.……………………………………（4分）‎ ‎∴OF·DE＝OE·2OH.………………………………………………………（5分）‎ ‎（2）∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，‎ ‎∴OE＝4，ED＝8，OF＝6.…………………………………………………（6分）‎ 代入（1）结论得AD＝12. ∴OH＝6.‎ 在Rt△ABC中，OB＝2OH，∴∠BOH＝60°.‎ ‎∴BH＝BO·sin60°＝12×＝6.………………………………………（8分）‎ ‎∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝－×6×6＝24.（10分）‎ 六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.‎ ‎25. 解（1）BD＝CF成立.‎ 理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，‎ ‎∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,‎ ‎ ∵∠BAD=，‎ ‎∠CAF=，‎ ‎∴∠BAD=∠CAF，‎ ‎∴△BAD≌△CAF. ‎ ‎∴BD＝CF.………………………………（3分）‎ ‎（2）①证明：设BG交AC于点M.‎ ‎∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM.‎ ‎∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG.‎ ‎∴∠BGC＝∠BAC ＝90°.∴BD⊥CF.……（6分）‎ ‎②过点F作FN⊥AC于点N.‎ ‎∵在正方形ADEF中，AD＝，‎ ‎∴AN＝FN＝.‎ ‎∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4，‎ ‎∴CN＝AC－AN＝3，BC＝.‎ ‎∴在Rt△FCN中，.‎ ‎∴在Rt△ABM中，.‎ ‎∴AM＝.‎ ‎∴CM＝AC－AM＝4－＝， .……（9分）‎ ‎∵△BMA ∽△CMG，∴.‎ ‎∴. ∴CG＝.……………………………………（11分）‎ ‎∴在Rt△BGC中，. ………………（12分）‎ ‎26. 解（1）解方程，得 ，.‎ ‎∵，∴，………………………………………………（1分）‎ ‎∴A（-1，-1），B（3，-3）.‎ ‎∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为.‎ ‎∴ 解得，.‎ ‎∴抛物线的解析式为 . ………………………………（4分）‎ ‎（2）①设直线AB的解析式为.‎ ‎∴ 解得，.‎ ‎ ∴直线AB的解析式为.‎ ‎∴C点坐标为（0，）.………………（6分）‎ ‎∵直线OB过点O（0，0），B（3，-3），‎ ‎∴直线OB的解析式为. ‎ ‎∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC.‎ 设，，‎ ‎（i）当OC=OP时, .‎ 解得，（舍去）. ∴ P（， ）.‎ ‎（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴ (，.‎ ‎（iii）当OC=PC时，由，‎ 解得，（舍去）. ∴ P(.‎ ‎ ∴P点坐标为P（,）或 (,或P(.…（9分）‎ ‎②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H.‎ 设Q（，），D(，).‎ ‎ =‎ ‎==，‎ ‎∵0＜＜3，‎ ‎∴当时，S取得最大值为，此时D（，.………………（13分）‎