2011年北京市中考数学试题

2011年北京市中考数学试题

‎2011年北京市中考数学试题 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ ‎1．－的绝对值是【 】‎ A．－ B． C．－ D． ‎2．‎ 我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306‎ 用科学记数法表示(保留三个有效数字)约为【 】‎ A．66.6×107 B．0.666×‎108 C．6.66×108 D．6.66×107‎ ‎3．下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是【 】‎ A．等边三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．矩形 A O B C D ‎4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线 AC、BD相交于点O，‎ 若AD＝1，BC＝3，则的值为【 】‎ A． B． C． D． ‎5．北京今年6月某日部分区县的高气温如下表：‎ 区县 大兴 通州 平谷 顺义 怀柔 门头沟 延庆 昌平 密云 房山 最高气温 ‎32‎ ‎32‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎29‎ ‎32‎ ‎30‎ ‎32‎ 则这10个区县该日最高气温的人数和中位数分别是【 】‎ A．32，32 B．32，‎30 C．30，32 D．32，31‎ ‎6．‎ 一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8‎ 个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为【 】‎ A． B． C． D． ‎7．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为【 】‎ A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)‎ A B C E D ‎8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠‎ BAC＝30°，AB＝2，D是 AB边上的一个动点(不与点A、B重合)，过点D作CD的垂线 交射线CA 于点E．设AD＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示 y与x的函数关系图象大致是【 】‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ O O O O x x x x y y y y ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ a11‎ a12‎ a13‎ a14‎ a15‎ a21‎ a22‎ a23‎ a24‎ a25‎ a31‎ a32‎ a33‎ a34‎ a35‎ a41‎ a42‎ a43‎ a44‎ a45‎ a51‎ a52‎ a53‎ a54‎ a55‎ 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9．若分式的值为0，则x的值等于________．‎ ‎10．分解因式：a3―‎10a2＋‎25a＝______________．‎ ‎11．若右图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是__________．‎ ‎12．在右表中，我们把第i行第j列的数记为aij(其中i，j都是不大于5的正整数)‎ ‎，对于表中的每个数aij，规定如下：当i≥j时，aij＝1；当i＜j时，aij＝0．例如：当i ‎＝2，j＝1时，aij＝a21＝1．按此规定，a13＝_____；表中的25个数中，共有 ‎_____个1；计算：a11·ai1＋a12·ai2＋a13·ai3＋a14·ai4＋a15·ai5‎ 的值为________．‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．解不等式：4(x－1)＞5x－6．‎ ‎15．已知a2＋2ab＋b2＝0，求代数式a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)的值．‎ A C B D F E ‎16．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD．‎ 求证：AE＝FC．‎ O y x A ‎1‎ ‎1‎ ‎17．如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数y＝－2x的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(－1，n)．‎ ‎(1)求反比例函数y＝的解析式；‎ ‎(‎ ‎2)若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．‎ ‎18．列方程或方程组解应用题：‎ 京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家 住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点‎18千米．‎ 他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多‎9千米 ‎，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？‎ 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ A B C E D ‎19．如图，在△‎ ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4‎ ‎，求四边形ACEB的周长．‎ A O B F C D E ‎20．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交 AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．‎ ‎(1)求证：直线BF是⊙O的切线；‎ ‎(2)若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．‎ ‎21．以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制统计图的一部分．‎ 北京市2001～2010年 私人轿车拥有量的年增长率统计图 北京市2001～2010年 私人轿车拥有量统计图 年增长率/%‎ 轿车拥有量/万辆 年份 年份 ‎0‎ ‎0‎ ‎2006‎ ‎2006‎ ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎121‎ ‎146‎ ‎217‎ ‎276‎ ‎22‎ ‎21‎ ‎19‎ ‎25‎ ‎27‎ ‎5‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ 请根据以上信息解答下列问题：‎ ‎(1)2008年北京市私人轿车拥有是多少万辆(结果保留三个有效数字)？‎ ‎(2)补全条形统计图；‎ ‎(3)‎ 汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量，为了了解汽车碳排放量的情况，小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关．‎ 如：一辆排量为‎1.6L的轿车，如果一年行驶‎1万千米，这一年，它碳排放量约为2.7吨．‎ 于是他调查了他所居住小区的150辆私人轿车，不同排量的轿车数量如下表所示．‎ 排量(L)‎ 小于1.6‎ ‎1.6‎ ‎1.8‎ 大于1.8‎ 数量(辆)‎ ‎29‎ ‎75‎ ‎31‎ ‎15‎ 如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，2010年北京市仅排量为‎1.6L的这类私人轿车(假设每辆车平均一行行驶‎1万千米)‎ 的碳排放总量约为多少万吨？‎ ‎22．阅读下面材料：‎ 小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC ‎，对角线AC、BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、AD＋BC 的长度为三边长的三角形的面积．‎ B B C A D O A D C E O 图2‎ 图1‎ A B D C E F 图3‎ 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、‎ 平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC、BD、‎ AD＋BC的长度为三边长的三角形(如图2)．‎ 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：‎ 如图3，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．‎ ‎(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD、‎ BE、CF 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；‎ ‎(2)若△ABC的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为 三边长的三角形的面积等于_______．‎ 五、解答题（本题共22分）‎ O y x ‎3‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎－3‎ ‎23．(7分)在平面直角坐标系 xOy中，二次函数y＝mx2＋(m―3)x―3(m＞0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧)，与y轴交于点C．‎ ‎(1)求点A的坐标；‎ ‎(2)当∠ABC＝45°时，求m的值；‎ ‎(3)已知一次函数y＝kx＋b，点P(n，0)是x 轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2‎ ‎＋(m―3)x―3(m＞0)的图象于N．若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式．‎ ‎24．(7分)在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．‎ ‎(1)在图1中，证明：CE＝CF；‎ ‎(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；‎ ‎(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB ‎、DG(如图3)，求∠BDG的度数．‎ B B A D A D C C E F E G F A B C D E G F 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎25．(7分)‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE、BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注：不含AB 线段)．已知A(－1，0)，B(1，0)，AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE 的反向延长线上．‎ ‎(1)求两条射线AE、BF所在直线的距离；‎ ‎(2)当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；‎ 当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；‎ E A D F O B x y ‎(3)已知□AMPQ(四个顶点A、M、P、Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 2011年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷答案及评分参考 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D C D B A B A B 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎8‎ 圆柱 ‎0‎ ‎15‎ ‎1‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13、解：‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =.‎ ‎14、解：去括号，得 移项， 得 ‎ 合并， 得 ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ 所以原不等式的解集是.‎ ‎15、解：‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴‎ ‎∴原式==0.‎ A ‎ C ‎ B ‎ D ‎ F ‎ E ‎ ‎16、证明：∵BE∥DF，‎ ‎ ∴∠ABE=∠D.‎ ‎∠ABE=∠D ‎ AB=FD ‎ ‎∠A=∠F ‎ ‎ 在△ABE和△FDC中， ‎ ‎ ∴△ABE≌△FDC.‎ ‎ ∴AE=FC.‎ ‎17、解（1）∵A（-1，n）在一次函数的图象上，‎ A ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ ‎-1 ‎ ‎ ∴n=×（）=2.‎ ‎ ∴点A的坐标为（-1，2）.‎ ‎∵点A在反比例函数的图象上，‎ ‎∴.‎ ‎∴反比例函数的解析式为.‎ ‎（2）点P的坐标为（-2，0）或（0，4）.‎ ‎18、解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行使x千米.‎ ‎ 依题意，得 ‎ 解得 .‎ ‎ 经检验，是原方程的解，且符合题意.‎ 答；小王用自驾车方式上班平均每小时行使‎27千米.‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ 四、解答题 ‎19、解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，‎ ‎ ∴AC∥DE.‎ ‎ 又∵CE∥AD，‎ ‎ ∴四边形ACED的是平行四边形.‎ ‎ ∴DE=AC=2.‎ ‎ 在Rt△CDE中，由勾股定理得.‎ ‎ ∵D是BC的中点，‎ ‎ ∴BC=2CD=.‎ ‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得.‎ ‎ ∵D是BC的中点，DE⊥BC，‎ ‎ ∴EB=EC=4.‎ ‎ ∴四边形ACEB的周长= AC+CE+EB+BA=10+.‎ ‎20、证明：连结AE.‎ ‎ ∵AB是⊙O的直径，‎ ‎ ∴∠AEB=90°.‎ A ‎ O ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ F ‎ G ‎ ‎ ∴∠1+∠2=90°.‎ ‎ ∵AB=AC，‎ ‎ ∴∠1=∠CAB.‎ ‎ ∵∠CBF=∠CAB，‎ ‎ ∴∠1=∠CBF.‎ ‎ ∴∠CBF+∠2=90°.‎ ‎ 即∠ABF=90°.‎ ‎ ∵AB是⊙O的直径，‎ ‎ ∴直线BF是⊙O的切线.‎ 解：过点C作CG⊥AB于点G.‎ ‎ ∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，‎ ‎ ∴sin∠1=.‎ ‎ ∵∠AEB=90°，AB=5.‎ ‎ ∴BE=AB·sin∠1=.‎ ‎ ∵AB=AC，∠AEB=90°，‎ ‎ ∴BC=2BE=.‎ 在Rt△ABE中，由勾股定理得.‎ ‎ ∴sin∠2=，cos∠2=.‎ 在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2.‎ ‎∴AG=3.‎ ‎ ∵GC∥BF，‎ 北京市2006-2010年 私人轿车拥有量统计图 ‎ 年份 ‎ 轿车拥有量（万辆） ‎ ‎ ∴△AGC∽△ABF.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴.‎ ‎21、解（1）146×（1+19%）‎ ‎ =173.74‎ ‎ ≈174（万辆）.‎ ‎ ∴2008年北京市私人轿车拥 有量约是174万辆.‎ ‎ （2）如右图.‎ ‎ （3）276××2.7=372.6（万吨）‎ ‎ 估计2010年北京市仅排量为‎1.6L 的这类私人轿车的碳排放总量约为372.6万吨.‎ ‎ A ‎ ‎ B ‎ ‎ C ‎ D ‎ ‎ F ‎ E ‎ P ‎ ‎22、解：△BDE的面积等于1 .‎ ‎ （1）如图.‎ 以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是 ‎△CFP.‎ ‎ （2）以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于.‎ 五、解答题 ‎23、解：（1）∵点A、B是二次函数（）的图象与轴交点，‎ ‎ ∴令，即.‎ A ‎ B ‎ C ‎ ‎ 解得：，. ‎ 又∵点A在点B左侧且，‎ ‎ ∴点A的坐标为（-1，0）.‎ ‎ （2）由（1）可知点B的坐标为（，0）‎ ‎ ∵二次函数与轴交于点C，‎ ‎ ∴点C的坐标为（0，-3）.‎ ‎ ∵∠ABC=45°，‎ ‎ ∴=3.‎ ‎ ∴m=1.‎ ‎ （3）由（2）得，二次函数解析式为.‎ A ‎ B ‎ C ‎ P ‎ M ‎ N ‎ ‎ ‎ 依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2，‎ 由此可得交点坐标为（-2，5）和（2，-3）.‎ 得 ‎ ‎ 将交点坐标分别代入一次函数解析式中，‎ ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ ∴一次函数的解析式为.‎ ‎24、（1）证明：如图1.‎ ‎ ∵AF平分∠BAD，‎ ‎ ∴∠BAF=∠DAF.‎ A ‎ B ‎ C ‎ E ‎ F ‎ D ‎ 图1 ‎ ‎ ∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎ ∴AD∥BC，AB∥CD.‎ ‎ ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F.‎ ‎ ∴∠CEF=∠F.‎ ‎ ∴CE=CF.‎ ‎ （2）∠BDG=45°.‎ ‎（‎ ‎3）分别连结GB、GE、GC（如图2）‎ ‎∵AB∥DC，∠ABC=120°，‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ G ‎ E ‎ D ‎ 图2 ‎ ‎ ∴∠ECF=∠ABC=120°.‎ ‎∵FG∥CE且FG=CE，‎ ‎∴四边形CEGF是平行四边形.‎ ‎ 由（1）得CE=CF，‎ ‎ ∴□CEGF是菱形.‎ ‎ ∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=∠ECF= 60°.‎ ‎ ∴△ECG是等边三角形.‎ ‎ ∴EG=CG， ①‎ ‎ ∠GEC=∠EGC=60°.‎ ‎ ∴∠GEC=∠GCF.‎ ‎ ∴∠BEG=∠DCG. ②‎ ‎ 由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB.‎ ‎ ∴AB=BE.‎ ‎ 在□ABCD中，AB=DC.‎ ‎ ∴BE=DC. ③‎ A ‎ B ‎ E ‎ F ‎ D ‎ O ‎ 图1‎ ‎ 由①②③得△BEG≌△DCG.‎ ‎ ∴BG=DG，∠1=∠2.‎ ‎ ∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°.‎ ‎ ∴∠BDG==60°.‎ ‎25、（1）分别连结AD、DB，则点D在直线AE上，‎ ‎ 如图1.‎ ‎∵点D在以AB为直径的半圆上，‎ ‎∴∠ADB=90°.‎ ‎∴BD⊥AD.‎ 在Rt△DOB中，由勾股定理得 ‎.‎ ‎∵AE∥BF，‎ ‎∴两条射线AE、BF所在直线的距离为.‎ ‎（2）当一次函数的图象与 图形C恰好只有一个公共点时， b的取值范围是或；‎ 当一次函数的图象与图形C恰好只有两个公共点时， b的取值范围是 ‎.‎ ‎（3）假设存在满足题意的□AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：‎ 图2‎ A ‎ B ‎ E ‎ F ‎ D ‎ O ‎ P ‎ Q ‎ M ‎ ‎①当点M在射线AE上时，如图2.‎ ‎∵A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，‎ ‎∴直线PQ必在直线AM的上方.‎ ‎∴P、Q两点都在弧AD上，且不与点A、D重合.‎ ‎∴0＜PQ＜.‎ ‎∵AM∥PQ且AM=PQ，‎ 图3‎ A ‎ B ‎ E ‎ F ‎ D ‎ O ‎ M ‎ ‎∴0＜AM＜.‎ ‎∴-2＜x＜-1.‎ ‎②当点M在弧AD（不包括点D）上时，如图3.‎ ‎∵A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，‎ ‎∴直线PQ必在直线AM的下方.‎ 此时，不存在满足题意的平行四边形.‎ 图4‎ M ‎ E ‎ F ‎ A ‎ B ‎ O ‎ D ‎ P ‎ R ‎ S ‎ Q ‎ ‎③当点M在弧DB上时，‎ 设弧DB的中点为R，则OR∥BF.‎ i）当点M在弧DR（不包括R）上时，如图4.‎ 过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为S，‎ 可得S是MQ的中点.‎ 连结AS并延长交直线BF于点P.‎ ‎∵O为AB的中点，可证S为AP的中点.‎ O ‎ F ‎ E ‎ A ‎ B ‎ D ‎ M ‎ R ‎ P1 ‎ P2 ‎ P3 ‎ 图5 ‎ ‎∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形.‎ ‎∴0≤x＜.‎ i i）当点M在弧RB上时，如图5. ‎ 直线PQ必在直线AM的下方.‎ 此时，不存在满足题意的平行四边形.‎ ‎④当点M在射线BF（不包括点B）上时，如图6.‎ 直线PQ必在直线AM的下方.‎ 此时，不存在满足题意的平行四边形.‎ O ‎ F ‎ D ‎ E ‎ B ‎ A ‎ P1 ‎ P2 ‎ P3 ‎ M ‎ 图6‎ 综上，点M的横坐标x的取值范围是 或.‎