2018年中考数学专题复习(精品)
第一章 数与式 第一讲 实数
【基础知识回顾】
一、实数的分类：
1、按实数的定义分类：
实数
有限小数或无限循环数
2、按实数的正负分类：
实数
【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如：
2
是 数，不是 数，
7
22 是 数，不是 数。2、0 既不是 数，也不是 数，但它是自然数】
二、实数的基本概念和性质
1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用
有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0 的相反数是 ，a、b 互
为相反数
3、倒数：实数 a 的倒数是 ， 没有倒数，a、b 互为倒数
4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。
a =
因 为 绝 对 值 表 示 的 是 距 离 ， 所 以 一 个 数 的 绝 对 值 是 数 ， 我 们 学 过 的 非 负 数 有 三
个： 、 、 。
【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0 是唯一一个没有倒数的数，相反数等于
本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】
三、科学记数法、近似数和有效数字。
1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中 a 的取值范围
是 。
2、近似数和有效数字：
一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位
止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。
【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中 a 的取值范围一样，n
的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等
于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。2、近似数 3.05 万是精确到 位，
而不是百分位】
四、数的开方。
正无理数无理数
负分数
零
正整数
整数
有理数
无限不循环小数
正 数 正 无 理 数
零
负 有 理 数负 数
（a＞0）
（a＜0）
0 （a=0）
1、若 x2=a(a 0),则 x 叫做 a 的 ，记做± a ，其中正数 a 的 平方根叫做 a 的算术平方根，记
做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0 的平方根是 ，负数 平方根。
2、若 x3=a,则 x 叫做 a 的 ，记做 3 a ，正数有一个 的立方根，0 的立方根是 ，负数
立方根。
【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身
的数有 。】
【重点考点例析】
考点一：无理数的识别。
例 1 （湖州）实数π， 1
5
，0，-1 中，无理数是（ ）
A．π B． 1
5 C．0 D．-1
．对应训练
1．（安顺）下列各数中，3.14159， 3 8 ，0.131131113…，-π， 25 ， 1
7
，无理数的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
考点二、实数的有关概念。
例 2 （遵义）如果+30m 表示向东走 30m，那么向西走 40m 表示为（ ）
A．+40m B．-40m C．+30m D．-30m
例 3 （资阳）16 的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
例 4 （铁岭）- 2 的绝对值是（ ）
A． 2 B．- 2 C． 2
2 D．- 2
2
2．（盐城）如果收入 50 元，记作+50 元，那么支出 30 元记作（ ）
A．+30 B．-30 C．+80 D．-80
3．（珠海）实数 4 的算术平方根是（ ）
A．-2 B．2 C．±2 D．±4
4．（绵阳） 2 的相反数是（ ）
A． 2 B． 2
2 C．- 2 D．- 2
2
5．（南京）-3 的相反数是 ；-3 的倒数是 。
6．（湘西州）-2013 的绝对值是 ．
7．（宁波）实数-8 的立方根是 ．
考点三：实数与数轴。
例 5 （广州）实数 a 在数轴上的位置如图所示，则|a-2.5|=（ ）
A．a-2.5 B．2.5-a C．a+2.5 D．-a-2.5
对应训练
8．（连云港）如图，数轴上的点 A、B 分别对应实数 a、b，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．-a＜b D．a+b＜0
考点四：科学记数法。
例 6 （威海）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为 0.000037 毫克，已知 1 克=1000 毫克，那
么 0.000037 毫克可用科学记数法表示为（ ）
A．3.7×10-5 克 B．3.7×10-6 克 C．37×10-7 克 D．3.7×10-8 克
对应训练
9．（潍坊）2015 年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达 4%的目标，其中在促进义务
教育均衡方面，安排农村义务教育经费保障机制改革资金达 865.4 亿元，数据“865.4 亿元”用科学记数法可
表示为（ ）元．
A．865×108 B．8.65×109 C．8.65×1010 D．0.865×1011
10．（绵阳）2013 年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9 是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈
多形性，其中球形病毒的最大直径为 0.00000012 米，这一直径用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×10-9 米 B．1.2×10-8 米 C．12×10-8 米 D．1.2×10-7 米
考点五：非负数的性质
例 7 （新疆）若 a，b 为实数，且|a+1|+ 1b =0，则（ab）2013 的值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
对应训练
11．（攀枝花）已知实数 x，y，m 满足 2x +|3x+y+m|=0，且 y 为负数，则 m 的取值范围是（ ）
A．m＞6 B．m＜6 C．m＞-6 D．m＜-6
【聚焦山东中考】
1．（济宁）一运动员某次跳水的最高点离跳台 2m，记作+2m，则水面离跳台 10m 可以记作（ ）
A．-10m B．-12m C．+10m D．+12m
2．（临沂）-2 的绝对值是（ ）
A．2 B．-2 C． 1
2 D．- 1
2
3．（烟台）-6 的倒数是（ ）
A． 1
6 B．- 1
6 C．6 D．-6
4．（潍坊）实数 0.5 的算术平方根等于（ ）
A．2 B． 2 C． 2
2 D． 1
2
5．（威海）下列各式化简结果为无理数的是（ ）
A． 3 27 B．) 2 1 0( C． 8 D． 2( 2)
6．（烟台）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮
食大约是 210000000 人一年的口粮．将 210000000 用科学记数法表示为（ ）
A．2.1×109 B．0.21×109 C．2.1×108 D．21×107
7．（泰安）2016 年我国国民生产总值约 52 万亿元人民币，用科学记数法表示 2016 年我国国民生总值为
（ ）
A．5.2×1012 B．52×1012 元 C．0.52×1014 D．5.2×1013 元
8．（临沂）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．据统计全国每年浪费食物总量约 50 000 000 000 千克，这个数据
用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×1011 千克 B．50×109 千克 C．5×109 千 D．5×1010 千克
9．（德州）森林是地球之肺，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物．28.3亿吨用科学记数法表示为（ ）
A．28.3×107 B．2.83×108 C．0.283×1010 D．2.83×109
10．（菏泽）明明同学在“百度”搜索引擎输入“钓鱼岛最新消息”，能搜索到与之相关的结果个数约为
4680000，这个数用科学记数法表示为 ．
11．（菏泽）如图，数轴上的 A、B、C 三点所表示的数分别是 a、b、c，其中 AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，
那么该数轴的原点 O 的位置应该在（ ）
A．点 A 的左边 B．点 A 与点 B 之间
C．点 B 与点 C 之间 D．点 B 与点 C 之间或点 C 的右边
【备考真题过关】
一、选择题
1．（咸宁）如果温泉河的水位升高 0.8m 时水位变化记作+0.8m，那么水位下降 0.5m 时水位变化记作（ ）
A．0m B．0.5m C．-0.8m D．-0.5m
2．（丽水）在数 0，2，-3，-1.2 中，属于负整数的是（ ）
A．0 B．2 C．-3 D．-1.2
3．（连云港）下列各数中是正数的为（ ）
A．3 B．- 1
2 C．- 2 D．0
4．（玉林）2 的相反数是（ ）
A．2 B．-2 C． 1
2 D．- 1
2
5．（张家界）-2013 的绝对值是（ ）
A．-2013 B．2013 C． 1
2013 D．- 1
2013
6．（乌鲁木齐）|-2|的相反数是（ ）
A．-2 B．- 1
2 C． 1
2 D．2
7．（随州）与-3 互为倒数的是（ ）
A．- 1
3 B．-3 C． 1
3 D．3
8．（钦州）在下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． 1
4 C． 5 D．6
9．（宜宾）据宜宾市旅游局公布的数据，今年“五一”小长假期间，全市实现旅游总收入 330000000 元．将
330000000 用科学记数法表示为（ ）
A．3.3×108 B．3.3×109 C．3.3×107 D．0.33×1010
10．（包头）若|a|=-a，则实数 a 在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点或原点左侧
C．原点右侧 D．原点或原点右侧
11．（遵义）如图，A、B 两点在数轴上表示的数分别是 a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．a+b＜0 B．-a＜-b C．1-2a＞1-2b D．|a|-|b|＞0
二．填空题
12．（乐山）如果规定向东为正，那么向西即为负．汽车向东行驶 3 千米记作 3 千米，向西行驶 2 千米应
记作 千米．
13．（重庆）实数 6 的相反数是 ．
14．（上海模拟）求值： 3 8 = ．
15．（黔西南州） 81 的平方根是 ．
16．（黔西南州）已知 1a +|a+b+1|=0，则 ab= ．
第二讲 实数的运算
【重点考点例析】
考点一：实数的大小比较。
例 1 （淮安）如图，数轴上 A、B 两点表示的数分别为 2 和 5.1，则 A、B 两点之间表示整数的点共有
（ ）
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
对应训练
1．（内江）下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ）
A．-5 B．- 2 C．1 D．4
考点二：估算无理数的大小
例 2 （毕节地区）估计 11 的值在（ ）之间．
A．1 与 2 之间 B．2 与 3 之间 C．3 与 4 之间 D．4 与 5 之间
对应训练
2．（吴江市模拟）3+ 3 的整数部分是 a，3- 3 的小数部分是 b，则 a+b 等于 ．
考点三：有关绝对值的运算
例 3 （咸宁）在数轴上，点 A（表示整数 a）在原点的左侧，点 B（表示整数 b）在原点的右侧．若|a-b|=2013，
且 AO=2BO，则 a+b 的值为 ．
对应训练
3．（永州）已知 0| | | |
a b
a b
，则
| |
ab
ab
的值为 ．
考点四：实数的混合运算。
例 4 （自贡）计算：20130+( 1
2 )-1-2sin60°-| 3 -2|= ．
对应训练
4．（玉林）计算： 3 8 +2cos60°-（π-2-1）0．
考点五：实数中的规律探索。
例 5 （永州）我们知道，一元二次方程 x2=-1 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定
一个新数“i”，使其满足 i2=-1（即方程 x2=-1 有一个根为 i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行
四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有 i1=i，i2=-1，i3=i2•i=（-1）•i=-i，i4=（i2）2=（-1）
2=1，从而对于任意正整数 n，我们可以得到 i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得 i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1．那么
i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013 的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．i
对应训练
5．（台州）任何实数 a，可用[a]表示不超过 a 的最大整数，如[4]=4，[ 3 ]=1．现对 72 进行如下操作：
72 [72] 8 [8] 2 [2] 1 第一次 第二次 第三次 ，这样对 72 只需进行 3 次操作后变为 1，类似的，①对 81
只需进行几次操作后变为 1：②只需进行 3 次操作后变为 1 的所有正整数中，最大的是几？
【聚焦山东中考】
1．（莱芜）在- 1
2
，- 1
3
，-2，-1 这四个数中，最大的数是（ ）
A．- 1
2 B．- 1
3 C．-2 D．-1
2．（滨州）计算 1
3 - 1
2
，正确的结果为（ ）
A． 1
5 B．- 1
5 C． 1
6 D．- 1
6
3．（日照）计算-22+3 的结果是（ ）
A．7 B．5 C．-1 D．-5
4．（聊城）（-2）3 的相反数是（ ）
A．-6 B．8 C．- 1
6 D． 1
6
5．（菏泽）如果 a 的倒数是-1，那么 a2013 等于（ ）
A．1 B．-1 C．2013 D．-2013
【备考真题过关】
一、选择题
1．（广州）比 0 大的数是（ ）
A．-1 B．- 1
2 C．0 D．1
2．（重庆）在-2，0，1，-4 这四个数中，最大的数是（ ）
A．-4 B．-2 C．0 D．1
3．（天津）计算（-3）+（-9）的结果等于（ ）
A．12 B．-12 C．6 D．-6
4．（河北）气温由-1℃上升 2℃后是（ ）
A．-1℃ B．1℃ C．2℃ D．3℃
5．（自贡）与-3 的差为 0 的数是（ ）
A．3 B．-3 C． 1
3 D．- 1
3
6．（温州）计算：（-2）×3 的结果是（ ）
A．-6 B．-1 C．1 D．6
7．（厦门）下列计算正确的是（ ）
A．-1+2=1 B．-1-1=0 C．（-1）2=-1 D．-12=1
8．（南京）计算：12-7×（-4）+8÷（-2）的结果是（ ）
A．-24 B．-20 C．6 D．36
9．（常德）计算 2 × 8 + 3 27 的结果为（ ）
A．-1 B．1 C．4-3 3 D．7
10．（南京）设边长为 3 的正方形的对角线长为 a．下列关于 a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数
轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a 是 18 的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题
11．（钦州）比较大小：-1 2（填“＞”或“＜”）
12．（曲靖）若 a=1.9×105，b=9.1×104，则 a b（填“＜”或“＞”）．
13．（衡阳）计算(-4)×(- 1
2 )= ．
14．（河南）计算：|-3|- 4 = ．
15．（呼和浩特）大于 2 且小于 5 的整数是 ．
16．（湘潭）计算： 2 sin45°+(- 2013 )0= ．
17．（牡丹江）定义一种新的运算 a﹠b=ab，如 2﹠3=23=8，那么请试求（3﹠2）﹠2= ．
18．（红河州模拟）计算：31+1=4，32+1=10，33+1=28，34+1=82，35+1=244，…，归纳计算结果中的个位
数字的规律，猜测 32009+1 的个位数字是 ．
19．（黄石）在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”，而计数制方法很多，如 60 进位
制：60 秒化为 1 分，60 分化为 1 小时；24 进位制：24 小时化为一天；7 进位制：7 天化为 1 周等…而二
进位制是计算机处理数据的依据．已知二进位制与十进位制比较如下表：
十进位制 0 1 2 3 4 5 6 …
二进位制 0 1 10 11 100 101 110 …
请将二进位制数 10101010（二）写成十进位制数为 ．
20．（天河区一模）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码 0 和 1），它们
两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2 换算成十进制数应为：
(101)2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5；(1011)2=1×23+0×22+1×21+1×20=11
按此方式，将二进制（1101）2 换算成十进制数的结果是 ．
三、解答题
21．（株洲）计算： 4 +|-3|-2sin30°．
22．（珠海）计算：( 1
3
)-1- 3 -1）0+| 1
2
- 2
3
|。
23．（重庆）计算：(-1)2013-|-2|+( 3 -π)0× 3 8 +( 1
4
)-1．
24．（张家界）计算：(2013-π)0-( 1
2
)-2-2sin60°+| 3 -1|．
25．（南宁）计算：20130- 27 +2cos60°+（-2）
26．（遂宁）计算：|-3|+ 3 •tan30°- 3 8 -(2013-π)0．
第三讲 整式
【基础知识回顾】
一、整式的有关概念：
：由数与字母的积组成的代数式
1、整式：
多项式： 。
单项式中的 叫做单项式的系数，所有字母的 叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的 ，多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项：
①定义：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。
②合并同类项法则：把同类项的 相加，所得的和作为合并后的， 不变。
【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是 式。2、判断同类项要抓住两个相同：一是 相
同，二是 相同，与系数的大小和字母的顺序无关。】
二、整式的运算：
1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .
②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )
③整式加减的步骤是先 ，再 。
【名师提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每
一项都要 。】
2、整式的乘法：
①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连
同它的 作为积的一个因式。
② 单 项 式 乘 以 多 项 式 ： 用 单 项 式 去 乘 多 项 式 的 每 一 项 ， 再 把 所 得 的 积 ， 即
m(a+b+c)= 。
③ 多 项式 乘 以 多项 式 ： 先用 第 一个 多 项 式的 每 一 项去 乘 另一 个 多 项式 的 每 一项 ， 再把 所 得 的
积 ，即（m+n）(a+b)= 。
④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝ ，
Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。
【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式
中有同类项的一定要 。2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，
灵活进行运用。】
3、整式的除法：
①单项式除以单项式，把 、 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，
则连同它的指数作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商 。即
（am+bm）÷m= 。
三、幂的运算性质：
1、同底数幂的乘法： 不变 相加，即：a m a n＝ （a＞0，m、n 为整数）
2、幂的乘方： 不变 相乘，即：(a m) n ＝ （a＞0，m、n 为整数）
3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 。
即：(ab) n ＝ （a＞0，b＞0，n 为整数）。
4、同底数幂的除法: 不变 相减，即：a m÷a n＝ （a＞0，m、n 为整数）
【名师提醒：运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，(-a)n = （n 为奇数），(-a)n = （n
为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知 3m=4,2n=3,则 9m8n= 。】
【重点考点例析】
考点一：代数式的相关概念。
例 1 （凉山州）如果单项式-xa+1y3 与 1
2 ybx2是同类项，那么 a、b 的值分别为（ ）
A．a=2，b=3 B．a=1，b=2 C．a=1，b=3 D．a=2，b=2
对应训练
1．（苏州）计算-2x2+3x2 的结果为（ ）
A．-5x2 B．5x2 C．-x2 D．x2
考点二：代数式求值
例 2 （苏州）已知 x- 1
x =3，则 4- 1
2 x2+ 3
2 x 的值为（ ）
A．1 B． 3
2 C． 5
2 D． 7
2
例 3 （湘西州）下面是一个简单的数值运算程序，当输入 x 的值为 3 时，则输出的数值为 ．
2．（•盐城）若 x2-2x=3，则代数式 2x2-4x+3 的值为 ．
3．（绥化）按如图所示的程序计算．若输入 x 的值为 3，则输出的值为 ．
考点三：单项式与多项式。
例 4 （云南）下列运算，结果正确的是（ ）
A．m6÷m3=m2 B．3mn2•m2n=3m3n3
C．（m+n）2=m2+n2 D．2mn+3mn=5m2n2
对应训练
4．（沈阳）下面的计算一定正确的是（ ）
A．b3+b3=2b6 B．（-3pq）2=-9p2q2
C．5y3•3y5=15y8 D．b9÷b3=b3
考点四：幂的运算。
例 5 （株洲）下列计算正确的是（ ）
A．x+x=2x2 B．x3•x2=x5 C．（x2）3=x5 D．（2x）2=2x2
对应训练
5．（张家界）下列运算正确的是（ ）
A．3a-2a=1 B．x8-x4=x2
C． 2( 2) =-2 D．-（2x2y）3=-8x6y3
考点五：完全平方公式与平方差公式
例 6 （1）（郴州）已知 a+b=4，a-b=3，则 a2-b2= ．
（2）（珠海）已知 a、b 满足 a+b=3，ab=2，则 a2+b2= ．
例 7 （张家港市二模）如图，从边长为（a+3）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为 3cm 的正方形，剩余
部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为 acm，则另一边长是（ ）
A．（2a+3）cm B．（2a+6）cm C．（2a+3）cm D．（a+6）cm
对应训练
6．（徐州）当 m+n=3 时，式子 m2+2mn+n2 的值为 ．
7．（攀枝花模拟）如图（一），在边长为 a 的正方形中，挖掉一个边长为 b 的小正方形（a＞b），把余下
的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个
等式是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2
考点六：整式的运算
例 8 （株洲）先化简，再求值：（x-1）（x+1）-x（x-3），其中 x=3．
例 9 （宁波）7 张如图 1 的长为 a，宽为 b（a＞b）的小长方形纸片，按图 2 的方式不重叠地放在矩形 ABCD
内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为 S，当 BC 的
长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则 a，b 满足（ ）
A．a= 5
2 b B．a=3b C．a= 7
2 b D．a=4b
思路分析：表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据之差与 BC 无关即可求出 a 与 b 的关系式．
解：如图，左上角阴影部分的长为 AE，宽为 AF=3b，右下角阴影部分的长为 PC，宽为 a，
∵AD=BC，即 AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，
∴AE+a=4b+PC，即 AE-PC=4b-a，
∴阴影部分面积之差 S=AE•AF-PC•CG=3bAE-aPC=3b（PC+4b-a）-aPC=（3b-a）PC+12b2-3ab，
则 3b-a=0，即 a=3b．
故选 B
点评：此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
对应训练
8．（扬州）先化简，再求值：（x+1）（2x-1）-（x-3）2，其中 x=-2．
当 x=-2 时，原式=4-14-10=-20．
9．（泰州）把三张大小相同的正方形卡片 A、B、C 叠放在一个底面为正方
形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图 1 摆放时，阴影
部分的面积为 S1；若按图 2 摆放时，阴影部分的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小
关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．无法确定
考点七：规律探索。
例 10 （山西）一组按规律排列的式子：
4 6 8
2 , , ,3 5 7
a a aa ，…，则第 n 个式子是 ．
例 11 （淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都
相等，则第 2013 个格子中的整数是 ．
-4 a b c 6 b -2 …
思路分析：根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出 a、c 的值，再根据第 9 个数是-2 可得 b=-2，然后
找出格子中的数每 3 个为一个循环组依次循环，在用 2013 除以 3，根据余数的情况确定与第几个数相同即
可得解．
解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴-4+a+b=a+b+c，解得 c=-4，a+b+c=b+c+6，解得 a=6，
所以，数据从左到右依次为-4、6、b、-4、6、b，
第 9 个数与第三个数相同，即 b=-2，
所以，每 3 个数“-4、6、-2”为一个循环组依次循环，
∵2013÷3=671，∴第 2013 个格子中的整数与第 3 个格子中的数相同，为-2．
故答案为：-2．
点评：此题主要考查了数字变化规律，仔细观察排列规律求出 a、b、c 的值，从而得到其规律是解题的关
键．
例 12 （烟台）将正方形图 1 作如下操作：第 1 次：分别连接各边中点如图 2，得到 5 个正方形；第 2 次：
将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 9 个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到
2013 个正方形，则需要操作的次数是（ ）
A．502 B．503 C．504 D．505
4n+1=2013， 解得：n=503． 故选：B．
对应训练
10．（•淮安）观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第 2013 个单项式是 ．
11．（玉林）一列数 a1，a2，a3，…，其中 a1= 1
2
，
1
1
1n
n
a a
（n 为不小于 2 的整数），则 a100=（ ）
A． 1
2 B．2 C．-1 D．-2
12．（十堰）如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图 5 中三角形的个数是（ ）
A．8 B．9 （ C．16 ） D．17
【聚焦山东中考】
1．（济宁）如果整式 xn-2-5x+2 是关于 x 的三次三项式，那么 n 等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（东营）下列运算正确的是（ ）
A．a3-a2=a B．a2•a3=a6 C．（a3）2=a6 D．（3a）3=9a3
3．（•烟台）下列各运算中，正确的是（ ）
A．3a+2a=5a2 B．（-3a3）2=9a6 C．a4÷a2=a3 D．（a+2）2=a2+4
4．（日照）下列计算正确的是（ ）
A．（-2a）2=2a2 B．a6÷a3=a2 C．-2（a-1）=2-2a D．a•a2=a2
5．（威海）若 m-n=-1，则（m-n）2-2m+2n 的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
6．（威海）下列运算正确的是（ ）
A．3x2+4x2=7x4 B．2x3•3x3=6x3
C．x6+x3=x2 D．（x2）4=x8
7．（•泰安）下列运算正确的是（ ）
A．3x3-5x3=-2x B．6x3÷2x-2=3x
C．（ 1
3 x3）2= 1
9 x6 D．-3（2x-4）=-6x-12
8．（临沂）下列运算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．（x-2）2=x2-4 C．2x2•x3=2x5 D．（x3）4=x7
9．（聊城）把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝
圈沿赤道处处高出球面 16cm，那么钢丝大约需要加长（ ）
A．102cm B．104cm C．106cm D．108cm
10．（日照）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中 M 与 m、n 的关
系是（ ）
A．M=mn B．M=n（m+1） C．M=mn+1 D．M=m（n+1）
10．D
11．（日照）已知 m2-m=6，则 1-2m2+2m= ．
12．（滨州）观察下列各式的计算过程：
5×5=0×1×100+25，
15×15=1×2×100+25，
25×25=2×3×100+25，
35×35=3×4×100+25，
…
请猜测，第 n 个算式（n 为正整数）应表示为 ．
12．100n（n-1）+25
13．（潍坊）当 n 等于 1，2，3…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第 n
个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 ．（用 n 表示，n 是正整数）
13．n2+4n
【备考真题过关】
一、选择题
1．（•丽水）化简-2a+3a 的结果是（ ）
A．-a B．a C．5a D．-5a
2．（•徐州）下列各式的运算结果为 x6 的是（ ）
A．x9÷x3 B．（x3）3 C．x2•x3 D．x3+x3
3．（连云港）计算 a2•a4 的结果是（ ）
A．a6 B．a8 C．2a6 D．2a8
4．（重庆）计算 3x3÷x2 的结果是（ ）
A．2x2 B．3x2 C．3x D．3
5．（遵义）计算（- 1
2 ab2）3 的结果是（ ）
A．- 3
2 a3b6 B．- 1
2 a3b5 C．- 1
8 a3b5 D．- 1
8 a3b6
6．（佛山）多项式 1+2xy-3xy2 的次数及最高次项的系数分别是（ ）
A．3，-3 B．2，-3 C．5，-3 D．2，3
7．（遂宁）下列计算错误的是（ ）
A．-|-2|=-2 B．（a2）3=a5
C．2x2+3x2=5x2 D． 8 =2 2
8．（盘锦）下列计算正确的是（ ）
A．3mn-3n=m B．（2m）3=6m3 C．m8÷m4=m2 D．3m2•m=3m3
9．（达州）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价 20%，后又降价 10%；乙
超市连续两次降价 15%；丙超市一次降价 30%．那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．一样
10．（黄冈）矩形 AB=a，AD=b，AE=BF=CG=DH=c，则图中阴影部分面
积是（ ）
A．bc-ab+ac+b2 B．a2+ab+bc-ac
C．ab-bc-ac+c2 D．b2-bc+a2-ab
10．C
11．（保康）如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为 a 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一
个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为 2，则另一边长是（ ）
A．2 B．a+4 C．2a+2 D．2a+4
12．C
13．（新华区一模）定义运算 a⊕b=a（1-b），下面给出了这种运算的四个结论：
①2⊕（-2）=6；
②若 a+b=0，则（a⊕a）+（b⊕b）=2ab；
③a⊕b=b⊕a；
④若 a⊕b=0，则 a=0 或 b=1．
其中结论正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④
13．D
二、填空题
14．（晋江市）计算：2a2+3a2= ．
15．（天津）计算 a•a6 的结果等于 ．
16．（上海模拟）计算：6x2y3÷2x3y3= ．
17．（同安区一模）“比 a 的 2 倍大 1
5
的数”用代数式表示是 ．
18．（义乌市）计算：3a•a2+a3= ．
19．（铁岭）某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原来每件 m 元，加价 50%，
再做两次降价处理，第一次降价 30%，第二次降价 10%．经过两次降价后的价格为 元（结果用含
m 的代数式表示）
20．（贵港）若 ab=-1，a+b=2，则式子（a-1）（b-1）= ．
21．（沈阳）如果 x=1 时，代数式 2ax3+3bx+4 的值是 5，那么 x=-1 时，代数式 2ax3+3bx+4 的值是 ．
22．（苏州）按照如图所示的操作步骤，若输入 x 的值为 2，则输出的值为 ．
21．（泰州）若 m=2n+1，则 m2-4mn+4n2 的值是 ．
22．（晋江市）若 a+b=5，ab=6，则 a-b= ．
23．（永州）定义 a b
c d
为二阶行列式．规定它的运算法则为 a b
c d =ad-bc．那么当 x=1 时，二阶行列式
1 1
0 1
x
x
的值为 ．
24．（雅安）已知一组数 2，4，8，16，32，…，按此规律，则第 n 个数是 ．
25．（云南）下面是按一定规律排列的一列数： 1 3 5 7, , ,4 7 12 19
，…那么第 n 个数是 ．
25． 2
2 1
3
n
n
26．（孝感）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上
摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数 1，5，
12，22…为五边形数，则第 6 个五边形数
是 ． （26．51）
27．（青岛）要把一个正方体分割成 8 个小正方体，
至少需要切 3 刀，因为这8 个小正方体都只有三个面是现成的．其他三个面必须用三刀切3 次才能切出来．那
么，要把一个正方体分割成 27 个小正方体，至少需用刀切 次；分割成 64 个小正方体，至少需
要用刀切 次．
27．6，9
三、解答题
28．（宜昌）化简：（a-b）2+a（2b-a）
29．（宁波）先化简，再求值：（1+a）（1-a）+（a-2）2，其中 a=-3．
30．（三明）先化简，再求值：（a+2）（a-2）+4（a+1）-4a，其中 a= 2 -1．
当 a= 2 -1 时，原式=（ 2 -1）2=2-2 2 +1=3-2 2 ．
31．（邵阳）先化简，再求值：（a-b）2+a（2b-a），其中 a=- 1
2
，b=3．
32．（娄底）先化简，再求值：（x+y）（x-y）-（4x3y-8xy3）÷2xy，其中 x=-1，y= 3
3
．
32．解：原式=x2-y2-2x2+4y2=-x2+3y2，
33．（义乌市）如图 1 所示，从边长为 a 的正方形纸片中减去一个边长为 b 的小正方形，再沿着线段 AB 剪
开，把剪成的两张纸拼成如图 2 的等腰梯形，
（1）设图 1 中阴影部分面积为 S1，图 2 中阴影部分面积为 S2，请直接用含 a，b 的代数式表示 S1 和 S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
33．解：（1）∵大正方形的边长为 a，小正方形的边长为 b，
∴S1=a2-b2，S2= 1
2
（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
（2）根据题意得：（a+b）（a-b）=a2-b2。
34．（张家界）：求 1+2+22+23+24+…+22013 的值．
则 1+3+32+33+34+…+3n= 1
2
（3n+1-1）．
35．（常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，
以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为 S，该多边形各边上的格点个数和为 a，
内部的格点个数为 b，则 S= 1
2 a+b-1（史称“皮克公式”）．
小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个
小正三角形面积为 1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三
角形格点中的两个多边形：
根据图中提供的信息填表：
格点多边形各边
上的格点的个数
格点边多边形内
部的格点个数
格点多边形的面
积
多边形 1 8 1
多边形 2 7 3
… … … …
一般格点多边形 a b S
则 S 与 a、b 之间的关系为 S= （用含 a、b 的代数式表示）．
35．解：填表如下：
格点多边形各边
上的格点的个数
格点边多边形内
部的格点个数
格点多边形的面
积
多边形 1 8 1 8
多边形 2 7 3 11
… … … …
一般格点多边形 a b S
则 S 与 a、b 之间的关系为 S=a+2（b-1）（用含 a、b 的代数式表示）．
第四讲 因式分解
【基础知识回顾】
一、因式分解的定义：
1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积
【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为
的形式。】
二、因式分解常用方法：
1、提公因式法：
公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数
的 ，相同字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项
为 ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应
先提取负号，注意括号内各项都要 。】
2、运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：
a2-b2= ,
②完全平方公式：a2±2ab+b2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，
找准里面的 a 与 b。如：x2-x+
1
4 符合完全平方公式形式，而 x2- x+ 1
2
就不符合该公式的形式。】
三、因式分解的一般步骤
1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时
要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】
【重点考点例析】
考点一：因式分解的概念
例 1 （株洲）多项式 x2+mx+5 因式分解得（x+5）（x+n），则 m= ，n= ．
对应训练
1．（河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）
考点二：因式分解
例 2 （无锡）分解因式：2x2-4x= ．
（ ）
（ ）
例 3 （南昌）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2-xy+x=x（x-y） B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2
C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）
例 4 （湖州）因式分解：mx2-my2．
对应训练
2．（温州）因式分解：m2-5m= ．
3．（西宁）下列分解因式正确的是（ ）
A．3x2-6x=x（3x-6） B．-a2+b2=（b+a）（b-a）
C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y） D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2
4．（北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．
考点三：因式分解的应用
例 5 （宝应县一模）已知 a+b=2，则 a2-b2+4b 的值为 ．
对应训练
5．（鹰潭模拟）已知 ab=2，a-b=3，则 a3b-2a2b2+ab3= ．
【聚焦山东中考】
1．（临沂）分解因式 4x-x2= ．
2．（滨州）分解因式：5x2-20= ．
3．（泰安）分解因式：m3-4m= ．
4．（莱芜）分解因式：2m3-8m= ．
5．（东营）分解因式：2a2-8b2= ．
6．（烟台）分解因式：a2b-4b3= ．
7．（威海）分解因式：-3x2+2x- 1
3 = ．
8．（菏泽）分解因式：3a2-12ab+12b2= ．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1 B．x2+2x-1 C．x2-1 D．x2-6x+9
2．（佛山）分解因式 a3-a 的结果是（ ）
A．a（a2-1） B．a（a-1）2 C．a（a+1）（a-1） D．（a2+a）（a-1）
3．（恩施州）把 x2y-2y2x+y3 分解因式正确的是（ ）
A．y（x2-2xy+y2） B．x2y-y2（2x-y） C．y（x-y）2 D．y（x+y）2
二、填空题
4．（自贡）多项式 ax2-a 与多项式 x2-2x+1 的公因式是 ．
5．（太原）分解因式：a2-2a= ．
6．（广州）分解因式：x2+xy= ．
7．（盐城）因式分解：a2-9= ．
8．（厦门）x2-4x+4=（ ）2．
9．（绍兴）分解因式：x2-y2= ．
10．（邵阳）因式分解：x2-9y2= ．
12．（南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．
解因式：x3-x= ．
14．（舟山）因式分解：ab2-a= ．
15．（宜宾）分解因式：am2-4an2= ．
16．（绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．
17．（内江）若 m2-n2=6，且 m-n=2，则 m+n= ．
18．（廊坊一模）已知 x+y=6，xy=4，则 x2y+xy2 的值为 ．
19．（凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中 a、b 均为
整数，则 a+3b= ．
第五讲 分式
【基础知识回顾】
一、 分式的概念
若 A，B 表示两个整式，且 B 中含有 那么式子 就叫做分式
【名师提醒：①若 则分式 A
B
无意义②若分式 A
B =0，则
应 且 】
二、 分式的基本性质
分式的分子分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值不变。
1、 .
.
a m
a m = ， a m
b m
= （m≠0）
2、分式的变号法则 b
a
= b = 。
3、 约分：根据 把一个分式分子和分母的 约去叫做分式的约分。 约分的
关键是确定分式的分子和分母中的 ，
约分的结果必须是 分式或整式。
4、通分：根据 把几个异分母的分式化为 分母分式的过程叫做分式的通分，通分
的关键是确定各分母的 。
【名师提醒：①最简分式是指 ； ② 约分时确定公因式的方法：当分子、分母是单项式时，
公因式应取系数的 ，相同字母的 ，当分母、分母是多项式时应先 再进行
约分； ③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的 相同字母 ，分母中有多
项式时仍然要先 ，通分中有整式的应将整式看成是分母为 的式子 ； ④约分通分时一
定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】
二、 分式的运算：
1、分式的乘除
①分式的乘法： b
a . d
c =
②分式的除法： b
a
d
c = =
2、分式的加减
①用分母分式相加减： b
a ± c
a =
②异分母分式相加减： b
a ± d
c = =
【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为 法来做，其实质
是 的过程 ②异分母分式加减过程的关键是 】
3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即( b
a )m =
4、 分式的混合运算：应先算 再算 最后算 有括号的先算括号里面的。
5、 分式求值：①先化简，再求值。
②由化简后的形式直接代数所求分式的值
③式中字母表示的数隐含在方程等题设条件中
【名师提醒：①实数的各种运算律也符合分式②分式运算的结果，一定要化成 ③分式求
值不管哪种情况必须先 此类题目解决过程中要注意整体代入思想的运用。 】
【重点考点例析】
考点一：分式有意义的条件
例 1 （南京）使式子 1+ 1
1x
有意义的 x 的取值范围是 ．
对应训练
1．（成都）要使分式 5
1x
有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠-1
1．A
考点二：分式的值为零的条件
例 2 （深圳）分式
2 4
2
x
x
的值为 0，则（ ）
A．x=-2 B．x=±2 C．x=2 D．x=0
对应训练
2．（云南）要使分式
2 9
3 9
x
x
的值为 0，你认为 x 可取得数是（ ）
A．9 B．±3 C．-3 D．3
考点三：分式的运算
例 3 （济宁三模）化简(1+ 1
1m )÷ 2 1
m
m
的结果是 ．
对应训练
3．（凉山州）化简(1- 1
1m )(m+1)的结果是 ．
考点四：分式的化简与求值
例 4 （自贡）先化简( 1 1
1 1a a
)÷ 22 2
a
a
，然后从 1、 2 、-1 中选取一个你认为合适的数作为 a 的
值代入求值．
对应训练
4．（重庆）先化简，再求值：( 2 1
2
x x
x x
)÷ 2
4
4 4
x
x x
，其中 x 是不等式 3x+7＞1 的负整数解．
考点五：零指数幂和负指数幂
例 5 （荆州）下列等式成立的是（ ）
A．|-2|=2 B．（ 2 -1）0=0 C．（- 1
2
）-1=2 D．-（-2）=-2
对应训练
5．（济南）下列计算正确的是（ ）
A．( 1
3 )-2=9 B． 2( 2) =-2 C．（-2）0=-1 D．|-5-3|=2
【聚焦山东中考】
1．（滨州）化简
3a
a
，正确结果为（ ）
A．a B．a2 C．a-1 D．a-2
2．（泰安）（-2）-2 等于（ ）
A．-4 B．4 C．- 1
4 D． 1
4
3．（•淄博）如果分式
2 1
2 2
x
x
的值为 0，则 x 的值是（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．±1
4．（淄博）下列运算错误的是（ ）
A．
2
2
( ) 1( )
a b
b a
B． 1a b
a b
C． 0.5 5 10
0.2 0.3 2 3
a b a b
a b a b
D． a b b a
a b b a
5．（泰安）化简分式 2
2 2 1( )1 1 1x x x
)的结果是（ ）
A．2 B． 2
1x C． 2
1x D．-2
6．（临沂）化简 2
1 2(1 )2 1 1
a
a a a
的结果是（ ）
A． 1
1a B． 1
1a C． 2
1
1a D． 2
1
1a
7．（•威海）先化简，再求值：
2
2
1 2 1( 1)1 1
x x
x x
，其中 x= 2 -1．
．8．（烟台）先化简，再求值：
2 24 4 1( 1)1 1
x x xxx x
，其中 x 满足 x2+x-2=0．
．9．（莱芜）先化简，再求值： 2 4( )4 4
a aa a
，其中 a= 3 +2．
．【备考真题过关】
一、选择题
1．（温州）若分式 3
4
x
x
的值为 0，则 x 的值是（ ）
A．x=3 B．x=0 C．x=-3 D．x=-4
2．（黔西南州）分式
2 1
1
x
x
的值为零，则 x 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．±1 D．1
3．（南京）计算 a3•（ 1
a
）2 的结果是（ ）
A．a B．a3 C．a6 D．a9
4．（沈阳）计算 2 3
1 1x x
的结果是（ ）
A． 1
1x B． 1
1 x C． 5
1x D． 5
1 x
5．（河北）下列运算中，正确的是（ ）
A． 9 =±3 B． 3 8 =2 C．（-2）0=0 D．2-1= 1
2
6．（包头）化简
2
2
16 4 2
4 4 2 4 4
a a a
a a a a
，其结果是（ ）
A．-2 B．2 C．- 2
2
( 2)a
D． 2
2
( 2)a
7．（杭州）如图，设 k=
甲图中阴影部分的面积
乙图中阴影部分的面积 （a＞b＞0），则有（ ）
A．k＞2 B．1＜k＜2 C． 1
2
＜k＜1 D．0＜k＜ 1
2
二、填空题
8．（钦州）当 x= 时，分式 3
2x
无意义．
9．（•攀枝花）若分式
2 1
1
x
x
的值为 0，则实数 x 的值为 ．
10．（遵义）计算：20130-2-1= ．
11．（株洲）计算： 2 2
1 1
x
x x
= ．
12．（上海）计算：
23b a
a b
= ．
13．（泉州）计算： 2 1
1 1
n
n n
= ．
14．（新疆）化简
2
2
1 2 1
2 4
x x x
x x
= ．
15．（大连）化简：x+1-
2 2
1
x x
x
= ．
1516．（凉山州）化简(1- 1(1 )( 1)1 mm
的结果是 ．
三、解答题
17．（佛山）按要求化简： 2
2 3
1 1
a
a a
．
18．（永州）先化简，再求值： 2 2
1 1( )1 1 2 1
x x x
x x x x
，其中 x=2．
19．（乌鲁木齐）先化简：
23 4 4( 1)1 1
x xxx x
，然后从-1≤x≤2 中选一个合适的整数作为 x 的值
代入求值．
20．（遵义）已知实数 a 满足 a2+2a-15=0，求 2 2
1 2 ( 1)( 2)
1 1 2 1
a a a
a a a a
的值．
21．（重庆）先化简，再求值：
2 2 2
2
6 9 5 1( 2 )2 2
a ab b b a ba ab a b a
，其中 a，b 满足 4
2
a b
a b
．
22．（孝感）先化简，再求值： 1 1 1( )x y y x
，其中 x= 3 2 ，y= 3 2 ．
23．（达州）已知 f(x)= 1
( 1)x x
，则 f(1)= 1 1
1 (1 1) 1 2
，f(2)= 1 1
2 (2 1) 2 3
…，已知
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)= 14
15
，求 n 的值．
23．解：∵f（x）= 1
( 1)x x = 1 1
1x x
，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=1- 1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 3 4 4 5
+…+ 1 1
1n n
=1- 1
1n
，
∵f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）=14
15
，
∴1- 1
1n = 14
15
，解得 n=14．
第六讲 二次根式
【基础知识回顾】
一、 二次根式
式子 a （ ）叫做二次根式
【名师提醒：①二次根式 a 必须注意 a_ __o 这一条件，其结果也是一个非负数即： a _ __o ，
②二次根式 a （a≥o）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式】
二、 二次根式的几个重要性质：
①（ a ）2= （a≥0） ② 2a = =
③ ba = （a≥0 ,b≥0） ④ a
b
= (a≥0, b＞0)
【名师提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较 2 3 和 3 2 的大小，可逆用（ a ）2=a(a≥0)将根
号外的正数移到根号内再比较被开方数的大小】
三、最简二次根式：
最简二次根式必须同时满足条件：
1、被开方数的因数是 ，因式是整式，
2、被开方数不含 的因数或因式。
（a＜o）
（a≥o）
四、二次根式的运算：
1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法与合
并同类项法则相同
2、二次根式的乘除：
乘除法则： a . b = （a≥0 ,b≥0） 除法法则： a
b
=（a≥0，b＞0）
3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算 。
【名师提醒：①、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去（分母有理化）这一方法
进行：如： 3
2
= = ；②、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用；③、二次
根式运算的结果一定要化成 】
【重点考点例析】
考点一：二次根式有意义的条件
例 1 （盘锦）若式子 1x
x
有意义，则 x 的取值范围是 ．
对应训练
1．（广州）若代数式
1
x
x
有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x≥0 且 x≠1
考点二：二次根式的混合运算
例 2 （•大连）计算：（ 1
5
）-1+（1+ 3 ）（1- 3 ）- 12 ．
对应训练
2．（济宁）计算：（2- 3 ）2012•（2+ 3 ）2013-2-| 3
2
|-（- 2 ）0．
考点三：与二次根式有关的求值问题
例 3 （湖州模拟）化简求值：
2 2
2
1 2
2 1 2
a a a aa a a
，其中 a= 2 1+ ．
3．（宿城区一模）已知：y= 11 8 8 1 2x x 2 2x y x y
y x y x
．
．
【聚焦山东中考】
1．（日照）要使式子 2 x 有意义，则 x 的取值范围是 ．
2．（青岛）计算：2-1+ 20 ÷ 5 =．
3．（泰安）化简： 3 （ 2 3 ）- 24 -| 6 -3|= ．
4．（滨州）（计算时不能使用计算器）
计算： 3
3
)- 3 2(+(π+ 3 -0( 27 |+ 3 |2- ．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． 9 B． 7 C． 20 D． 1
3
2．（苏州）若式子 1
2
x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1
3．（娄底）式子 2 1
1
x
x
有意义的 x 的取值范围是（ ）
A．x≥- 1
2
且 x≠1 B．x≠1 C．x≥- 1
2 D．x - 1
2 x≠1
4．（2015•贵港）下列四个式子中，x 的取值范围为 x≥2 的是（ ）
A． 2
2
x
x
B． 1
2x
C． 2x D． 2 x
5．（曲靖）下列等式成立的是（ ）
A．a2•a5=a10 B． a b a b C．（-a3）6=a18 D． 2a =a
6．（•衡阳）计算 18 2
)+ 2 0(的结果为（ ）
A．+2 2 B． 2 1+ C．3 D．5
7．（佛山）化简 2 ( 2 1) 的结果是（ ）
A．2 2 1- B．-2 2 C． -1 2 D．+2 2
8．（杭州一模）已知 m=1+ 2 ，n=1- 2 ，则代数式 2 2 3m n mn 的值为（ ）
A．9 B．±3 C．3 D．5
二、填空题
9．（宜兴市二模）使 1 3x 有意义的 x 的取值范围是 ．
10．（襄阳）使代数式 2 1
3
x
x
有意义的 x 的取值范围是 ．
11．（玉林）化简： 3
5
= ．
12．（曲靖）若整数 x 满足|x|≤3，则使 7 x 为整数的 x 的值是 （只需填一个）．
13．（南通一模）当 a= 2 1+，b= 2 -1 时， 1 1
a b
= ．
14．（•六盘水）无论 x 取任何实数，代数式 2 6x x m 都有意义，则 m 的取值范围为 ．
1
三、解答题
15．（2015•黔西南州）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2 2 =（1+ 2 ）2．善
于思考的小明进行了以下探索：
设 a+b 2 =（m+n 2 ）2（其中 a、b、m、n 均为整数），则有 a+b 2 =m2+2n2+2mn 2 ．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似 a+b 2 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b 3 =(m+n 3 2(，用含 m、n 的式子分别表示 a、b，得：a= ，
b= ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空：
+ 3 =（ + 3 ）2；
（3）若 a+4 3 =(m+n 3 2(，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值？
15．解：（1）∵a+b 3 =(m+n 3 2(，
∴a+b 3 =m2+3n2+2mn 3 ，
∴a=m2+3n2，b=2mn．
故答案为 m2+3n2，2mn．
（2）设 m=1，n=1，
∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．
故答案为 4、2、1、1．
（3）由题意，得：
a=m2+3n2，b=2mn
∵4=2mn，且 m、n 为正整数，
∴m=2，n=1 或者 m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7，或 a=12+3×22=13．
第二章 方程与不等式
第七讲 一次方程（组）
【基础知识回顾】
一、 等式的概念及性质：
1、等式：用“=”连接表示 关系的式子叫做等式
2、等式的性质：
①、性质 1：等式两边都加（减） 所得结果仍是等式，
即：若 a=b,那么 a±c=
②、性质 2：等式两边都乘以或除以 （除数不为 0）所得结果仍是等式 即：若 a=b,那
么 a c= ，若 a=b（c≠o）那么 a
c =
【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”，不能漏项
②等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值 】
二、方程的有关概念：
1、含有未知数的 叫做方程
2、使方程左右两边相等的 的值，叫做方程的组
3、 叫做解方程
4、一个方程两边都是关于未知数的 ，这样的方程叫做整式方程
三、一元一次方程：
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 的 方程叫做一元一次方程，
一元一次方程一般可以化成 的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤：
1。 2。 3。 4。 5。
【名师提醒：1、一元一次方程的解法的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则，要注意灵活
准确运用；2、特别提醒：去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。 】
四、二元一次方程组及解法：
1、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a.b.c 是常数，a≠0,b≠0)；
2、由几个含有相同未知数的 合在一起，叫做二元一次方程组；
3、 二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解；
4、 解二元一次方程组的基本思路是： ；
5、 二元一次方程组的解法：① 消元法 ② 消元法
【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有 组，我们通常在实际应用中要求其正整数解
2、二元一次方程组的解应写成
五、列方程（组）解应用题：
一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知量 和未知量
2、设：直接或间接设未知数
3、列：根据题意寻找等量关系列方程（组）
4、解：解这个方程（组），求出未知数的值
5、验：检验方程（组）的解是否符合题意
6：答：写出答案（包括单位名称）
【名师提醒：1、列方程（组）解应用题的关键是： 2、几个常用的等量关系：①路程= ×
②工作效率= 】
【重点考点例析】
考点一：二元一次方程组的解法
例 1 （黄冈）解方程组：
2( ) 1
3 4 12
3( ) 2(2 ) 3
x y x y
x y x y
．
对应训练
1．（湘西州）解方程组： 2 1
3 2 11
x y
x y
�
�
．
．
考点二：一（二）元一次方程的应用
例 2 （齐齐哈尔）假期到了，17 名女教师去外地培训，住宿时有 2 人间和 3 人间可供租住，每个房间都
要住满，她们有几种租住方案（ ）
x=ay=b
的形式
A．5 种 B．4 种 C．3 种 D．2 种
故选：C．
例 3 （•张家界）为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水
标准部分的水价为 1.5 元/吨，超过月用水标准量部分的水价为 2.5 元/吨．该市小明家 5 月份用水 12 吨，
交水费 20 元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？
对应训练
2．（黄石）四川雅安地震期间，为了紧急安置 60 名地震灾民，需要搭建可容纳 6 人或 4 人的帐篷，若所
搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这 60 名灾民，则不同的搭建方案有（ ）
A．1 种 B．11 种 C．6 种 D．9 种
2．C
3．（•永州）中国现行的个人所得税法自 2011 年 9 月 1 日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：
一．以个人每月工资收入额减去 3500 元后的余额作为其每月应纳税所得额；
二．个人所得税纳税税率如下表所示：
纳税级数 个人每月应纳税所得额 纳税税率
1 不超过 1500 元的部分 3%
2 超过 1500 元至 4500 元的部分 10%
3 超过 4500 元至 9000 元的部分 20%
4 超过 9000 元至 35000 元的部分 25%
5 超过 35000 元至 55000 元的部分 30%
6 超过 55000 元至 80000 元的部分 35%
7 超过 80000 元的部分 45%
（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为 4000 元和 6000 元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的
个人所得税；
（2）若丙每月缴纳的个人所得税为 95 元，则丙每月的工资收入额应为多少？
考点三：一元一次方程组的应用
例 4 （宜宾）2013 年 4 月 20 日，我省芦山县发生 7.0 级强烈地震，造成大量的房屋损毁，急需大量帐篷．某
企业接到任务，须在规定时间内生产一批帐篷．如果按原来的生产速度，每天生产 120 顶帐篷，那么在规
定时间内只能完成任务的 90%．为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生
产 160 顶帐篷，刚好提前一天完成任务．问规定时间是多少天？生产任务是多少顶帐篷？
思路分析：设规定时间为 x 天，生产任务是 y 顶帐篷，根据不提速在规定时间内只能完成任务的 90%，即
提速后刚好提前一天完成任务，可得出方程组，解出即可．
解：设规定时间为 x 天，生产任务是 y 顶帐篷，
由题意得， 120 90%
160( 1)
x y
x y
，解得： 6
800
x
y
．
答：规定时间是 6 天，生产任务是 800 顶帐篷．
例 5 （•嘉兴）某镇水库的可用水量为 12000 立方米，假设年降水量不变，能维持该镇 16 万人 20 年的用
水量．实施城市化建设，新迁入 4 万人后，水库只够维持居民 15 年的用水量．
（1）问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？
（2）政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到 25 年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才
能实现目标？
思路分析：（1）设年降水量为 x 万立方米，每人每年平均用水量为 y 立方米，根据储水量+降水量=总用
水量建立方程求出其解就可以了；
（2）设该城镇居民年平均用水量为 z 立方米才能实现目标，同样由储水量+25 年降水量=25 年 20 万人的
用水量为等量关系建立方程求出其解即可．
解：（1）设年降水量为 x 万立方米，每人每年平均用水量为 y 立方米，由他提议，得
12000 20 16 20
12000 15 20 15
x y
x y
，
解得： 200
50
x
y
。
答：年降水量为 200 万立方米，每人年平均用水量为 50 立方米．
（2）设该城镇居民年平均用水量为 z 立方米才能实现目标，由题意，得
12000+25×200=20×25z，
解得：z=34
则 50-34=16（立方米）．
答：该城镇居民人均每年需要节约 16 立方米的水才能实现目标．
点评：本题是一道生活实际问题，考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问
题的运用，解答时根据储水量+降水量=总用水量建立方程是关键．
对应训练
4．（苏州）苏州某旅行社组织甲乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已知这两旅游团共有 55 人，甲旅
游团的人数比乙旅游团的人数的 2 倍少 5 人．问甲、乙两个旅游团个有多少人？
4．解：设甲、乙两个旅游团个有 x 人、y 人，由题意得：
2 5
55
x y
x y
，解得 35
20
x
y
。
答：甲、乙两个旅游团个有 35 人、20 人．
5．（长沙）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁 1、2
号线．已知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元；若 1 号线每千米的平均造价比 2
号线每千米的平均造价多 0.5 亿元．
（1）求 1 号线，2 号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
（2）除 1、2 号线外，长沙市政府规划到 2018 年还要再建 91.8 千米的地铁线网．据预算，这 91.8 千米地
铁线网每千米的平均造价是 1 号线每千米的平均造价的 1.2 倍，则还需投资多少亿元？
【聚焦山东中考】
1．（滨州）把方程 1
2 x=1变形为 x=2，其依据是（ ）
A．等式的性质 1 B．等式的性质 2
C．分式的基本性质 D．不等式的性质 1
2．（淄博）把一根长 100cm 的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的 2 倍少 5cm，则锯出的木棍的长
不可能为（ ）
A．70cm B．65cm C．35cm D．35cm 或 65cm
3．（济宁）服装店销售某款服装，一件服装的标价为 300 元，若按标价的八折销售，仍可获利 60 元，则
这款服装每件的标价比进价多（ ）
A．60 元 B．80 元 C．120 元 D．180 元
4．（潍坊）为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地抽查了 10000 人，并进行统计分析．结
果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是 2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是 0.5%，吸烟者患肺癌的人数比
不吸烟者患肺癌的人数多 22 人．如果设这 10000 人中，吸烟者患肺癌的人数为 x，不吸烟者患肺癌的人数
为 y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（ ）
A． 22
2.5% 0.5% 10000
x y
x y
B．
22
100002.5% 0.5%
x y
x y
C． 10000
2.5% 0.5% 10000
x y
x y
D．
10000
100002.5% 0.5%
x y
x y
5．（济宁）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容
为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（倍加增指从塔的顶层到底
层）．请你算出塔的顶层有 盏灯．
6．（淄博）解方程组 2 3 3
2 2
x y
x y
�
�
．
7．（聊城）夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了 10%，将某种果汁饮
料每瓶的价格下调了 5%，已知调价前买这两种饮料个一瓶共花费 7 元，调价后买上述碳酸饮料 3 瓶和果
汁饮料 2 瓶共花费 17.5 元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？
8．（临沂）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买 A，B 两种型号的
学习用品共 1000 件，已知 A 型学习用品的单价为 20 元，B 型学习用品的单价为 30 元．
（1）若购买这批学习用品用了 26000 元，则购买 A，B 两种学习用品各多少件？
（2）若购买这批学习用品的钱不超过 28000 元，则最多购买 B 型学习用品多少件？
【备考真题过关】
一、选择题
1．（株洲）一元一次方程 2x=4 的解是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
2．（凉山州）已知方程组 2 5
3 5
x y
x y
，则 x+y 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
3．（•永州）已知（x-y+3）2+ 2x y =0，则 x+y 的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．5
4．（广安）如果 1
2 a3xby 与-a2ybx+1 是同类项，则（ ）
A． 2
3
x
y
B． 2
3
x
y
C． 2
3
x
y
D． 2
3
x
y
5．（太原）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是 4.25%．若到期后取出得到本息（本金+
利息）33825 元．设王先生存入的本金为 x 元，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x+3×4.25%x=33825 B．x+4.25%x=33825
C．3×4.25%x=33825 D．3（x+4.25x）=33825
6．（宁夏）雅安地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共 1500
顶，其中甲种帐篷每顶安置 6 人，乙种帐篷每顶安置 4 人，共安置 8000 人．设该企业捐助甲种帐篷 x 顶、
乙种帐篷 y 顶，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）
A． 4 1500
4 8000
x y
x y
B． 4 1500
6 8000
x y
x y
C． 1500
4 6 8000
x y
x y
D． 1500
6 4 8000
x y
x y
7．（随州）我市围绕“科学节粮减损，保障食品安全”，积极推广农户使用“彩钢小粮仓”．每套小粮仓的定
价是 350 元，为了鼓励农户使用，中央、省、市财政给予补贴，补贴部分是农户实际出资的三倍还多 30
元，则购买一套小货仓农户实际出资是（ ）
A．80 元 B．95 元 C．135 元 D．270 元
8．（黑龙江）今年校团委举办了“中国梦，我的梦”歌咏比赛，张老师为鼓励同学们，带了 50 元钱取购买甲、
乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本 7 元，乙种笔记本每本 5 元，每种笔记本至少买 3 本，则张
老师购买笔记本的方案共有（ ）
A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种
9．（•南宁）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气
球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4 个气球）为单位，已知
第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题
10．（泉州）方程 x+1=0 的解是 ．
11．（安顺）4xa+2b-5-2y3a-b-3=8 是二元一次方程，那么 a-b= ．
12．（泉州）方程组 3
1
x y
x y
的解是 ．
13．（鞍山）若方程组 7
3 5 3
x y
x y
，则 3（x+y）-（3x-5y）的值是 ．
14．（湘潭）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果
送给每位老人 2 盒牛奶，那么剩下 16 盒；如果送给每位老人 3 盒牛奶，则正好送完．设敬老院有 x 位老
人，依题意可列方程为 ．
15．（江西）某单位组织 34 人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的
2 倍多 1 人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为 x 人，到瑞金的人数为 y 人，请列出满足题
意的方程组 ．
16．（深圳）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利 10%，若该空调的进价为 2000 元，则标价
元．
17．（绥化）某班组织 20 名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有 8 个座位，另一种车每
辆有 4 个座位．要求租用的车辆不留空座，也不能超载．有 种租车方案．
18．（•绍兴）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题，今有鸡兔同笼，上有 35 头，下有 94 足，问
鸡兔各几何？此题的答案是：鸡有 23 只，兔有 12 只，现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有 33
头，下有 88 足，问鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有 只，兔有 只．
19．（•鞍山）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 1
3
，
另一根露出水面的长度是它的 1
5
．两根铁棒长度之和为 220cm，此时木桶中水的深度是 cm．
三、解答题
20．（广东）解方程组 1
2 8
x y
x y
．
21．（梅州）解方程组 2 5
1
x y
x y
．
，22．（邵阳）解方程组： 3 12
2 3 6
x y
x y
�
�
．
23．（•扬州）已知关于 x、y 的方程组 5 2 11 18
2 3 12 8
x y a
x y a
�
�
的解满足 x＞0，y＞0，求实数 a 的取值范围．
24．（•曲靖）某种仪器由 1 种 A 部件和 1 个 B 部件配套构成．每个工人每天可以加工 A 部件 1000 个或者
加工 B 部件 600 个，现有工人 16 名，应怎样安排人力，才能使每天生产的 A 部件和 B 部件配套？
25．（凉山州）根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水面升高 cm；
（2）如果要使水面上升到 50cm，应放入大球、小球各多少个？
26．（宜昌）[背景资料]
一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机（如图），采摘效率高，能耗低，绿色环保，经
测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为 35 公斤/时，大约是一个人手工采摘的 3.5 倍，购买一台采棉机
需 900 元，雇人采摘棉花，按每采摘 1 公斤棉花 a 元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作 8 小时．
[问题解决]
（1）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？
（2）一个雇工手工采摘棉花 7.5 天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求 a 的值；
（3）在（2）的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇佣的人数是张家的 2 倍，
张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有 2
3
的人自带彩棉机采摘， 1
3
的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的
天数刚好一样，张家付给雇工工钱总额为 14400 元，王家这次采摘棉花的总重量是多少？
26．解：（1）∵一个人操作该采棉机的采摘效率为 35 公斤/时，大约是一个人手工采摘的 3.5 倍，
∴一个人手工采摘棉花的效率为：35÷3.5=10（公斤/时），
∵雇工每天工作 8 小时，
∴一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘棉花：10×8=80（公斤）；
（2）由题意，得 80×7.5a=900，解得 a= 3
2
；
（3）设张家雇佣 x 人采摘棉花，则王家雇佣 2x 人采摘棉花，其中王家所雇的人中有 4
3
x 的人自带彩棉机
采摘， 2
3
x 的人手工采摘．
∵张家雇佣的 x 人全部手工采摘棉花，且采摘完毕后，张家付给雇工工钱总额为 14400 元，
∴采摘的天数为： 14400 120
380 2
xx
=120
x
，
∴王家这次采摘棉花的总重量是：（35×8× 4
3
x +80× 2
3
x ）×120
x =51200（公斤）．
27．
（湖州）为激励教师爱岗敬业，某市开展了“我最喜爱的老师”评选活动．某中学确定如下评选方案：有学
生和教师代表对 4 名候选教师进行投票，每票选 1 名候选教师，每位候选教师得到的教师票数的 5 倍与学
生票数的和作为该教师的总票数．以下是根据学生和教师代表投票结果绘制的统计表和条形统计图（不完
整）．
学生投票结果统计表
候选教师 王老师 赵老师 李老师 陈老师
得票数 200 300
（1）若共有 25 位教师代表参加投票，则李老师得到的教师票数是多少？请补全条形统计图．（画在答案
卷相对应的图上）
（2）王老师与李老师得到的学生总票数是 500，且王老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的 3 倍
多 20 票，求王老师与李老师得到的学生票数分别是多少？
（3）在（1）、（2）的条件下，若总得票数较高的 2 名教师推选到市参评，你认为推选到市里的是两位老
师？为什么？
27．解：（1）李老师得到的教师票数是：25-（7+6+8）=4，
如图所示：
（2）设王老师与李老师得到的学生票数分别是 x 和 y，
由题意得出： 500
3 20
x y
x y
，
解得： 380
120
x
y
，
答：王老师与李老师得到的学生票数分别是 380 和 120；
（3）总得票数情况如下：王老师：380+5×7=415，赵老师：200+5×6=230，
李老师：120+5×4=140，陈老师：300+5×8=340，
推选到市里的是王老师和陈老师．
第八讲 一元二次方程及应用
【基础知识回顾】
一、 一元二次方程的定义：
1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最高次数是 2 的 方程
2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ，
是常数项
【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调 a≠0 这一条件
2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】
二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：如果 ax 2 =b 则 X 2 = X1= X2=
2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数,②、移项：把
项移到方程的 边
③、配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式
④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程
3、公式法：如果方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0) 满足 b 2-4ac≥0，则方程的求根公式
为
4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生 A.B=0 的形式，则可将
原方程化为两个 方程，即 、 从而得方程的两根
【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和
法】
三、一元二次方程根的判别式
关于 X 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根
的判别式，一般用符号 表示
①当 时，方程有两个不等的实数根
②当 时，方程看两个相等的实数根
③当 时，方程没有实数根
【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系
数 】
四、一元二次方程根与系数的关系：
关于 X 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a±0)有两个根分别为 X1、X2
则 x1+x2 = x1x2 =
五、 一元二次方程的应用：
解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行
常见题型
1、 增长率问题：连续两率增长或降低的百分数 a（1+x）2=b
2、 利润问题：总利润= × 或总利润= —
3、 几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程
方程有两个实数跟，则
【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验
结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】
【重点考点例析】
考点一：一元二次方程的解
例 1 （牡丹江）若关于 x 的一元二次方程为 ax2+bx+5=0（a≠0）的解是 x=1，则 2013-a-b 的值是（ ）
A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
对应训练
1．（黔西南州）已知 x=1 是一元二次方程 x2+ax+b=0 的一个根，则代数式 a2+b2+2ab 的值是 ．
1．1
考点二：一元二次方程的解法
例 2 （宁夏）一元二次方程 x（x-2）=2-x 的根是（ ）
A．-1 B．2 C．1 和 2 D．-1 和 2
例 3 （佛山）用配方法解方程 x2-2x-2=0．
例 4 （兰州）解方程：x2-3x-1=0．
对应训练
2．（陕西）一元二次方程 x2-3x=0 的根是 ．
3．（白银）现定义运算“★”，对于任意实数 a、b，都有 a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，若 x★2=6，
则实数 x 的值是 ．
4．（山西）解方程：（2x-1）2=x（3x+2）-7．
考点三：根的判别式的运用
例 5 （乐山）已知关于 x 的一元二次方程 x2-（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC 的两边 AB，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边 BC 的长为 5，当△ABC 是等腰三
角形时，求 k 的值．
对应训练
5．（•泰州）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ）
A．x2-3x+1=0 B．x2+1=0 C．x2-2x+1=0 D．x2+2x+3=0
6．（乌鲁木齐）若关于 x 的方程式 x2-x+a=0 有实根，则 a 的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0.5 D．0.25
7．（六盘水）已知关于 x 的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
（ ）
A．k＜-2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2 且 k≠1
8．（北京）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2k-4=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值．
考点四：一元二次方程的应用
例 6 （连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为 40cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一
个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于 58cm2，小林该怎么剪？
（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2．”他的说法对吗？请说明理由．
对应训练
9．（重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该
火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多 5 个
月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的 6 倍．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为 100 万元，乙队每月的施工费比甲队多 50 万元．在保证工程质量的前提下，
为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工
时间的 2 倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过 1500 万元？（甲、乙两队的施工时间按月
取整数）
【聚焦山东中考】
1．（威海）已知关于 x 的一元二次方程（x+1）2-m=0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≥- 3
4 B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2
2．（日照）已知一元二次方程 x2-x-3=0 的较小根为 x1，则下面对 x1 的估计正确的是（ ）
A．-2＜x1＜-1 B．-3＜x1＜-2 C．2＜x1＜3 D．-1＜x1＜0
3．（滨州）对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2-2（k+1）x-k2+2k-1=0 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
4．（潍坊）已知关于 x 的方程 kx2+（1-k）x-1=0，下列说法正确的是（ ）
A．当 k=0 时，方程无解
B．当 k=1 时，方程有一个实数解
C．当 k=-1 时，方程有两个相等的实数解
D．当 k≠0 时，方程总有两个不相等的实数解．
5．（东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 21 场比赛，则参
赛球队的个数是（ ）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
6．（滨州）一元二次方程 2x2-3x+1=0 的解为 ．
7．（哈尔滨）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率
为 ．
8．（临沂）对于实数 a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=
2
2
( )
( )
a ab a b
ab a a b
．例如 4﹡2，因为 4＞2，所以 4﹡
2=42-4×2=8．若 x1，x2 是一元二次方程 x2-5x+6=0 的两个根，则 x1﹡x2= ．
9．（•日照）已知，关于 x 的方程 x2-2mx=-m2+2x 的两个实数根 x1、x2 满足|x1|=x2，求实数 m 的值．
10．（菏泽）已知：关于 x 的一元二次方程 kx2-（4k+1）x+3k+3=0 （k 是整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 x1，x2（其中 x1＜x2），设 y=x2-x1，判断 y 是否为变量 k 的函数？如果是，
请写出函数解析式；若不是，请说明理由．
11．（淄博）关于 x 的一元二次方程（a-6）x2-8x+9=0 有实根．
（1）求 a 的最大整数值；
（2）当 a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求 2x-2
2
32 7
8 11
x
x x
的值．
12．（泰安）某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个，第
二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出 200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调
查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售销售一周后，商店对剩
余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1250 元，问第二周每
个旅游纪念品的销售价格为多少元？
12．解：由题意得出：
200×（10-6）+（10-x-6）（200+50x）+[（4-6）（600-200-（200+50x）]=1250，
即 800+（4-x）（200+50x）-2（200-50x）=1250，
整理得：x2-2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∴10-1=9，
答：第二周的销售价格为 9 元．
13．（威海）要在一块长 52m，宽 48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小
亮和小颖的设计方案．
（1）求小亮设计方案中甬路的宽度 x；
（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）
13．解：（1）根据小亮的设计方案列方程得：（52-x）（48-x）=2300
解得：x=2 或 x=98（舍去）
∴小亮设计方案中甬道的宽度为 2m；
（2）作 AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分别为 I，J，
∵AB∥CD，∠1=60°，
∴∠ADI=60°，
∵BC∥AD，
∴四边形 ADCB 为平行四边形，
∴BC=AD
由（1）得 x=2，
∴BC=HE=2=AD
在 Rt△ADI 中，AI=2sin60°= 3 ，
∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为 52×48-52×2-48×2+（ 3 ）2=2299 平方米．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（新疆）方程 x2-5x=0 的解是（ ）
A．x1=0，x2=-5 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=0
2．（安顺）已知关于 x 的方程 x2-kx-6=0 的一个根为 x=3，则实数 k 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．（鞍山）已知 b＜0，关于 x 的一元二次方程（x-1）2=b 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个实数根
4．（昆明）一元二次方程 2x2-5x+1=0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．（珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
A．①②都有实数解 B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解
6．（十堰）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x-a=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是（ ）
A．4 B．-4 C．1 D．-1
7．（宜宾）若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k=1 D．k≥0
8．（大连）若关于 x 的方程 x2-4x+m=0 没有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．m＜-4 B．m＞-4 C．m＜4 D．m＞4
9．（咸宁）关于 x 的一元二次方程（a-1）x2-2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
10．（丽水）一元二次方程（x+6）2=16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x+6=4，则
另一个一元一次方程是（ ）
A．x-6=-4 B．x-6=4 C．x+6=4 D．x+6=-4
11．（兰州）用配方法解方程 x2-2x-1=0 时，配方后得的方程为（ ）
A．（x+1）2=0 B．（x-1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x-1）2=2
二、填空题
12．（黑龙江）若 x=1 是关于 x 的一元二次方程 x2+3mx+n=0 的解，则 6m+2n= ．
13．（常州）已知 x=-1 是关于 x 的方程 2x2+ax-a2=0 的一个根，则 a= ．
14．（天津）一元二次方程 x（x-6）=0 的两个实数根中较大的根是 ．
15．（温州）方程 x2-2x-1=0 的解是 。
16．（广安）方程 x2-3x+2=0 的根是 ．
17．（张家界）若关于 x 的一元二次方程 kx2+4x+3=0 有实根，则 k 的非负整数值是 ．
18．（沈阳）若关于 x 的一元二次方程 x2+4ax+a=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 ．
19．（巴中）方程 x2-9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
20．（绵阳）已知整数 k＜5，若△ABC 的边长均满足关于 x 的方程 x2-3 k x+8=0，则△ABC 的周长 ．
三、解答题
21．（无锡）解方程：x2+3x-2=0．
。
22．（杭州）当 x 满足条件
1 3 3
1 1( 4) ( 4)2 3
x x
x x
时，求出方程 x2-2x-4=0 的根．
23．（南充）关于 x 的一元二次方程为（m-1）x2-2mx+m+1=0．
（1）求出方程的根；
（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
24．（淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过 10
件，单价为 80 元；如果一次性购买多于 10 件，那么每增加 1 件，购买的所有服装的单价降低 2 元，但单
价不得低于 50 元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了 1200 元．请问她购买了多少件这种服装？
24．解：设购买了 x 件这种服装，根据题意得出：
[80-2（x-10）]x=1200，
解得：x1=20，x2=30，
当 x=30 时，80-2（30-10）=40（元）＜50 不合题意舍去；
答：她购买了 20 件这种服装．
25．（绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量
自 2013 年起逐月增加，据统计，该商城 1 月份销售自行车 64 辆，3 月份销售了 100 辆．
（1）若该商城前 4 个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城 4 月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入 3 万元再购进一批两种规格的自行车，已知 A 型车的
进价为 500 元/辆，售价为 700 元/辆，B 型车进价为 1000 元/辆，售价为 1300 元/辆．根据销售经验，A 型
车不少于 B 型车的 2 倍，但不超过 B 型车的 2.8 倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如
何进货？
25．解：（1）设平均增长率为 x，根据题意得：
64（1+x）2=100
解得：x=0.25=25%或 x=-2.25
四月份的销量为：100（1+25%）=125 辆，
答：四月份的销量为 125 辆．
（2）设 A 型车 x 辆，
根据题意得：2× 30000 500 30000 5002 2.81000 1000
x xx ，
解得：30≤x≤35
∵B 型车的利润大于 A 型车的利润，
∴当 A 型车进货量最小时有最大利润，
∴最大利润为：200×30+300×15=10500；
第九讲 分式方程
【教材链接： 八（下）第十六章分式】
【基础知识回顾】
一、分式方程的概念
分母中含有 的方程叫做分式方程
【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】
二、分式方程的解法：
1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即
分式方程 ﹥整式方程
2、解分式方程的一般步骤：
①、 ②、 ③、
3、增根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。因此，
解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略
2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后
的整式方程无解。如： 131
x
x
ax 有增根，则 a= ，若该方程无解，则 a= 。】
三、分式方程的应用：
解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必
须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、
顺水航行这一类型】
【重点考点例析】
考点一：分式方程的解
转化
去分母
例 1 （黑龙江）已知关于 x 的分式方程 2
1
a
x
=1 的解是非正数，则 a 的取值范围是（ ）
A．a≤-1 B．a≤-1 且 a≠-2 C．a≤1 且 a≠-2 D．a≤1．
对应训练
1．（贵港）关于 x 的分式方程
1
m
x 1-=的解是负数，则 m 的取值范围是（ ）
A．m＞-1 B．m＞-1 且 m≠0 C．m≥-1 D．m≥-1 且 m≠0
2．（绥化）若关于 x 的方程 4
2 2
ax
x x
+1 无解，则 a 的值是 ．
考点二：解分式方程
例 2 （资阳）解方程： 4
2 1
4 2 2
x
x x x
．
对应训练
3．（泰州）解方程：
2
2
2 2 2 2
2 2
x x x
x x x x
．
考点三：由实际问题抽象出分式方程
例 3 （深圳）小朱要到距家 1500 米的学校上学，一天，小朱出发 10 分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，
且在距离学校 60 米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快 100 米/分，求小朱的速度．若设小朱速度
是 x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A． 1440 1440 10100x x
B．1440 1440 10100x x
C．1440 1440 10100x x
D． 1440 1440 10100x x
对应训练
4．（锦州）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额
为 4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相
等，如果设第一次捐款人数是 x 人，那么 x 满足的方程是（ ）
A． 4800 5000
20x x
B． 4800 5000
20x x
C． 4800 5000
20x x
D． 4800 5000
20x x
考点四：分式方程的应用
例 4 （湘西州）吉首城区某中学组织学生到距学校 20km 的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷
韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿 319 国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程
相同），已知汽车速度是自行车速度的 2 倍，求骑自行车学生的速度．
对应训练
5．（三明）兴发服装店老板用 4500 元购进一批某款 T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用 4950
元购进第二批该款式 T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了 9 元．
（1）第一批该款式 T 恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件 120 元的价格销售该款式 T 恤衫，当第二批 T 恤衫售出 4
5
时，出现了滞销，于是决定降
价促销，若要使第二批的销售利润不低于 650 元，剩余的 T 恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价-进
价）
，x=90，答：第一批 T 恤衫每件的进价是 90 元；
（2）设剩余的 T 恤衫每件售价 y 元．
由（1）知，第二批购进 4590
99 =50 件．
由题意，得 120×50× 4
5 +y×50× 1
5 -4950≥650，
解得 y≥80．
答：剩余的 T 恤衫每件售价至少要 80 元．
【聚焦山东中考】
1．（莱芜）方程
2 4 02
x
x
的解为（ ）
A．-2 B．2 C．±2 D．- 1
2
2．（泰安）某电子元件厂准备生产 4600 个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，
乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的 1.3 倍，结果用 33 天完成任务，
问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件 x 个，根据题意可得方程为
（ ）
A． 2300 2300 331.3x x
B． 2300 2300 331.3x x x
C． 2300 4600 331.3x x x
D． 4600 2300 331.3x x x
3．（威海）若关于 x 的方程 1
5 10 2
x m
x x
无解，则 m= ．
4．（潍坊）方程
2
01
x x
x
的根是 ．
5．（•临沂）分式方程 2 1
1 1
x
x x
3=的解是 ．
6．（济宁）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：
“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为 0，因此应如下检验：将整式
方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个
解不是原分式方程的解．”
请你根据对这段话的理解，解决下面问题：
已知关于 x 的方程 1 01 1
m x
x x
无解，方程 x2+kx+6=0 的一个根是 m．
（1）求 m 和 k 的值；
（2）求方程 x2+kx+6=0 的另一个根．
8．（烟台）烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用 3000 元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲
超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果 400 千克，以进价的 2 倍价格销售，剩下的小
苹果以高于进价 10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、
小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利 2100 元（其它成本不计）．问：
（1）苹果进价为每千克多少元？
（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．
8．解：（1）设苹果进价为每千克 x 元，根据题意得：
400x+10%x（ 3000
x -400）=2100，
解得：x=5，
经检验 x=5 是原方程的解，
答：苹果进价为每千克 5 元．
（2）由（1）得，每个超市苹果总量为： 3000
5 =600（千克），
大、小苹果售价分别为 10 元和 5.5 元，
则乙超市获利 600×（10 5.5
2
-5）=1650（元），
∵甲超市获利 2100 元，
∴甲超市销售方式更合算．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（重庆）分式方程 2 1 02 x x
的根是（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
2．（玉林）方程 1 3 01 1x x
的解是（ ）
A．x=2 B．x=1 C．x= 1
2 D．x=-2
3．（铁岭）某工厂生产一种零件，计划在 20 天内完成，若每天多生产 4 个，则 15 天完成且还多生产 10
个．设原计划每天生产 x 个，根据题意可列分式方程为（ ）
A． 20 10 154
x
x
B． 20 10 154
x
x
C． 20 10 154
x
x
D． 20 10 154
x
x
4．（乐亭县一模）某服装加工厂计划加工 400 套运动服，在加工完 160 套后，采用了新技术，工作效率
比原计划提高了 20%，结果共有了 18 天完成全部任务．设原计划每天加工 x 套运动服，根据题意可列方
程为（ ）
A．160 400 18(1 20%)x x
B．160 400 160 18(1 20%)x x
C．160 400 1820%x x
D． 400 400 160 18(1 20%)x x
二、填空题
5．（宜宾）分式方程 1 3
2 1x x
的解为 ．
6．（扬州）已知关于 x 的方程 3
2 1
x n
x
2=的解是负数，则 n 的取值范围为 ．
7．（牡丹江）若关于 x 的分式方程 2
1
x a
x
1=的解为正数，那么字母 a 的取值范围是 ．
8．（齐齐哈尔）若关于 x 的分式方程 3
1 2 2
x a
x x
-2 有非负数解，则 a 的取值范围是 ．
9．（舟山）杭州到北京的铁路长 1487 千米．火车的原平均速度为 x 千米/时，提速后平均速度增加了 70
千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了 3 小时，则可列方程为 ．
三、解答题
10．（武汉）解方程： 2 3
3x x
．
11．（•珠海）解方程： 2
1 12 4
x
x x
．
12．（宁夏）解方程： 6 12 3
x
x x
．
13．（•扬州）某校九（1）、九（2）两班的班长交流了为四川安雅地震灾区捐款的情况：
（Ⅰ）九（1）班班长说：“我们班捐款总数为 1200 元，我们班人数比你们班多 8 人．”
（Ⅱ）九（2）班班长说：“我们班捐款总数也为 1200 元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多 20%．”
请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数．
14．（新疆）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，并以每千克 8
元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 10%，用 1452 元所购
买的数量比第一次多 20 千克，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少
损失，便降价 50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
第十讲 一元一次不等式（组）
【基础知识回顾】
一、 不等式的基本概念：
1、不等式：用 连接起来的式子叫做不等式
2、不等式的解：使不等式成立的 值，叫做不等式的解
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等的解的 叫做不等式的解集
【名师提醒：1、常用的不等号有 等
2、不等式的解与解集是不同的两个概念，不等式的解是单独的未知数的值，而解集是一
个范围的未知数的值组成的集合，一般由无数个解组成
3、不等式的解集一般可以在数轴上表示出来。注意“>”“<”在数轴上表示为 ，
而“≥”“≤”在数轴上表示为 】
二、不等式的基本性质：
基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个 或同一个 不等号的方向 ，
即：若 a
0 则 a c b c（或 a
c
b
c ）
基本性质 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个 不等号的方向 ，即：若 ab
x>a
解集 口诀：大大取大
Xb
X>a
解集 口诀：
Xb
解集 口诀：
A．a+1＞b+1 B．
2 2
a b C．3a-4＞3b-4 D．4-3a＞4-3b
对应训练
1．(广东）已知实数 a、b，若 a＞b，则下列结论正确的是（ ）
A．a-5＜b-5 B．2+a＜2+b C．
3 3
a b D．3a＞3b
考点二：在数轴上表示不等式（组）的解
例 2 （张家界）把不等式组 1
2 1 5
x
x
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
对应训练
2．（2015•营口）不等式组 2( 5) 6
5 2 1 2
x
x x
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点三：不等式（组）的解法
例 3 （2015•成都）不等式 2x-1＞3 的解集是 ．
例 4 （2015•永州）解不等式组 2 3 1
2 0
x
x
，并把解集在数轴上表示出来．
对应训练
3．（2015•莆田）不等式 2x-4＜0 的解集是 ．
4．（2015•湛江）解不等式组 2 1
1 0 0
x x
x
�
�
，并把它的解集在数轴上表示出来．
考点四：不等式（组）的特殊解
例 5 （2015•雅安）不等式组
2 1 3
12
x
x
的整数解有（ ） 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
对应训练
5．（2015•常德）求不等式组 2 1 0
2 5
x
x x
的正整数解．
考点五：确定不等式（组）中字母的取值范围
例 6 （2015•宁夏）若不等式组 0
1 2 2
x a
x x
有解，则 a 的取值范围是 ．
对应训练
6．（2013•凉山州）已知 x=3 是关于 x 的不等式 3 흐 2
2
ax 2
3
x 的解，求 a 的取值范围．
考点六：不等式（组）的应用
例 7 （2015•天津）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商
场累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按 90%收费；在乙商场累计购物超过 50 元后，超出 50 元的
部分按 95%收费，设小红在同一商场累计购物 x 元，其中 x＞100．
（1）根据题题意，填写下表（单位：元）
累计购物
实际花费 130 290 … x
在甲商场 127 …
在乙商场 126 …
（2）当 x 取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？
（3）当小红在同一商场累计购物超过 100 元时，在哪家商场的实际花费少？
例 8 （2013•黔西南州）义洁中学计划从荣威公司购买 A、B 两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块 A 型
小黑板比买一块 B 型小黑板多用 20 元．且购买 5 块 A 型小黑板和 4 块 B 型小黑板共需 820 元．
（1）求购买一块 A 型小黑板、一块 B 型小黑板各需要多少元？
（2）根据义洁中学实际情况，需从荣威公司购买 A、B 两种型号的小黑板共 60 块，要求购买 A、B 两种型
号小黑板的总费用不超过 5240 元．并且购买 A 型小黑板的数量应大于购买 A、B 种型号小黑板总数量的
1
3
．请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买 A、B 两种型号的小黑板有哪几种方案？
x-20=80，
A 型 100 元，B 型 80 元；
（2）设购买 A 型小黑板 m 块，则购买 B 型小黑板（60-m）块，
100 80(60 ) 5240
160 3
m m
m
，
∴20＜m≤22，
而 m 为整数，所以 m 为 21 或 22．
当 m=21 时，60-m=39；
当 m=22 时，60-m=38．
所以有两种购买方案：方案一购买 A21 块，B 39 块、
方案二 购买 A22 块，B38 块．
对应训练
7．（2013•本溪）某中学响应“阳光体育”活动的号召，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，
排球和足球的单价相同，同一种球的单价相同，若购买 2 个足球和 3 个篮球共需 340 元，购买 4 个排球和
5 个篮球共需 600 元．
（1）求购买一个足球，一个篮球分别需要多少元？
（2）该中学根据实际情况，需从体育用品商店一次性购买三种球共 100 个，且购买三种球的总费用不超
过 600 元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？
（1）购买一个足球需要 50 元，购买一个篮球需要 80 元；
（2）设该中学购买篮球 m 个，
由题意得：80m+50（100-m）≤600，
解得：m≤33 1
3
，
∵m 是整数，
∴m 最大可取 33．
答：这所中学最多可以购买篮球 33 个．
8．（2013•东营）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考
察得知，购买 1 台电脑和 2 台电子白板需要 3.5 万元，购买 2 台电脑和 1 台电子白板需要 2.5 万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共 30 台，总费用不超过 30 万元，但不低于 28 万元，请你通
过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．
（1）：每台电脑 0.5 万元，每台电子白板 1.5 万元．
（2）设需购进电脑 a 台，则购进电子白板（30-a）台，根据题意得：
0.5 1.5(30 ) 30
0.5 1.5(30 ) 28
a a
a a
，
解得：15≤a≤17，
∵a 只能取整数，
∴a=15，16，17，
∴有三种购买方案，
方案 1：需购进电脑 15 台，则购进电子白板 15 台，
方案 2：需购进电脑 16 台，则购进电子白板 14 台，
方案 3：需购进电脑 17 台，则购进电子白板 13 台，
15×0.5+1.5×15=30（万元），
16×0.5+1.5×14=29（万元），
17×0.5+1.5×13=28（万元），
∵28＜29＜30，
∴选择方案 3 最省钱．
【聚焦山东中考】
1．（2015•济宁）已知 ab=4，若-2≤b≤-1，则 a 的取值范围是（ ）
A．a≥-4 B．a≥-2 C．-4≤a≤-1 D．-4≤a≤-2
2．（2015•威海）不等式组 2 0
2 1
x
x
的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2015•日照）如果点 P（2x+6，x-4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么 x 的取值范围在数轴上可
表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2015•聊城）不等式组 3 1 2
4 2 0
x
x
的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2015•滨州）若把不等式组 2 3
1 2
x
x
的解集在数轴上表示出来，则其对应的图形为（ ）
A．长方形 B．线段 C．射线 D．直线
6．（2015•淄博）当实数 a＜0 时，6+a 6-a（填“＜”或“＞”）．
6．（2015•烟台）不等式 1 0
4 2 0
x
x
的最小整数解是 ．
8．（2015•菏泽）解不等式组
3( 1) 5 1
1 2 42
x x
x x
，并指出它的所有非负整数解．
9．（2015•潍坊）为增强市民的节能意识，我市试行阶段电价，从 2013 年开始，按照每户的每年的用电
量分三个档次计费，具体规定如图，小明统计了自家 2013 年前 5 个月的实际用电量为 1300 度，请帮助小
明分析下面问题：
（1）若小明家计划 2013 年全年的用电量不超过 2520 度，则 6 至 12 月份小明家平均每月用电量最多为多
少度？（保留整数）
（2）若小明家 2013 年 6 至 12 月份平均每月用电量等于前 5 个月的平均每月用电量，交总电费多少元？
9．解；（1）设小明家 6 至 12 月份平均每月用电量为 x 度，根据题意得出：
1300+7x≤2520，
解得：x≤1220
7
≈174.3，
∴小明家 6 至 12 月份平均每月用电量最多为 174 度；
（2）小明家前 5 个月平均每月用电量=1300
5
=260（度），
全年用电量=260×12=3120（度），
∵2520＜3120＜4800，
∴总电费=2520×0.55+（3120-2520）×0.6
=1386+360
=1746（元），
∴小明家 2013 年应交总电费为 1746 元．
10．（2013•莱芜）某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干．已
知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多 4 元，且购买 2 条长跳绳与购买 5 条短跳绳的费用相同．
（1）两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若学校准备用不超过 2000 元的现金购买 200 条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的 6 倍，
问学校有几种购买方案可供选择？
（1）跳绳单价是 20 元，短跳绳的单价是 8 元．
（2）设学校购买 a 条长跳绳，
由题意得： 200 6
20 8(200 ) 2000
a a
a a
．
解得：28 4
7 33 1
3
．
∵a 为正整数，
∴a 的整数值为 29，3，31，32，33．
所以学校共有 5 种购买方案可供选择．
11．（2013•济南）设 A 是由 2×4 个整数组成的 2 行 4 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负
数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（1）数表 A 如表 1 所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为
非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）
表 1
1 2 3 -7
-2 -1 0 1
（2）数表 A 如表 2 所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各
数之和均为非负整数，求整数 a 的值
表 2．
a a2-1 -a -a2
2-a 1-a2 a-2 a2
11．解：（1）根据题意得：
改 变 第 4 列 改 变 第 2 行
（2）∵每一列所有数之和分别为 2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1，
则①如果操作第三列，
则第一行之和为 2a-1，第二行之和为 5-2a，
2 1 0
5 2 0
a
a
，
解得： 1
2
≤a 5
2
，
又∵a 为整数，
∴a=1 或 a=2，
②如果操作第一行，
则每一列之和分别为 2-2a，2-2a2，2a-2，2a2，
2 2 0
2 2 0
a
a
，
解得 a=1，
此时 2-2a2，=0，2a2=2，
综上可知：a=1．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•淮安）不等式组 1
0
x
x
的解集是（ ）
A．x≥0 B．x＜1 C．0＜x＜1 D．0≤x＜1
2．（2015•玉林）在数轴上表示不等式 x+5≥1 的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2015•湘西州）若 x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．x-3＞y-3 B．-3x＞-3y C．x+3＞y+3 D．
3 3
x y
4．（2015•绵阳）设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，
那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）
A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、▲、■
5．（2015•恩施州）下列命题正确的是（ ）
A．若 a＞b，b＜c，则 a＞c B．若 a＞b，则 ac＞bc
C．若 a＞b，则 ac2＞bc2 D．若 ac2＞bc2，则 a＞b
6．（2015•丽水）若关于 x 的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解是（ ）
A．x≤2 B．x＞1 C．1≤x＜2 D．1＜x≤2
7．（2015•襄阳）不等式组 2 1
2 1 7
x
x
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2015•南充）不等式组
3( 1) 1
2 3 23
x x
x
的整数解是（ ）
A．-1，0，1 B．0，1 C．-2，0，1 D．-1，1
9．（2015•河南）不等式组 2
2 1
x
x
的最小整数解为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．（2015•孝感）使不等式 x-1≥2 与 3x-7＜8 同时成立的 x 的整数值是（ ）
A．3，4 B．4，5 C．3，4，5 D．不存在
11．（2015•荆门）若关于 x 的一元一次不等式组 2 0
2
x m
x m
有解，则 m 的取值范围为（ ）
A． 흐 2
3
B．m≤ 2
3
C． 2
3
D．m≤ 흐 2
3
12．（2015•资阳）在芦山地震抢险时，太平镇部分村庄需 8 组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相
同，若按每组人数比预定人数多分配 1 人，则总数会超过 100 人；若按每组人数比预定人数少分配 1 人，
则总数不够 90 人，那么预定每组分配的人数是（ ）
A．10 人 B．11 人 C．12 人 D．13 人
二、填空题
13．（2015•安顺）已知关于 x 的不等式（1-a）x＞2 的解集为 x＜ 2
1 a
，则 a 的取值范围是 ．
14．（2015•重庆）不等式 2x-3≥x 的解集是 ．
15．（2015•包头）不等式 1
3
（x-m）＞3-m 的解集为 x＞1，则 m 的值为 。
16．（2015•荆州）如图，在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a-b．已知不等式 x△k≥1
的解集在数轴上，则 k 的值是 ．
17．（2015•鄂州）若不等式组 2 - 0
0
x b
x a
的解集为 3≤x≤4，则不等式 ax+b＜0 的解集为 ．
18．（2015•乌鲁木齐）某次知识竞赛共有 20 道题，每一题答对得 10 分，答错或不答都扣 5 分，娜娜得
分要超过 90 分，设她答对了 n 道题，则根据题意可列不等式 ．
19．（2015•厦门）某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到 400 米以外的安全区域．甲
工人在转移过程中，前 40 米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为 0.01 米/秒，步行的速
度为 1 米/秒，骑车的速度为 4 米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于 米．
三、解答题
20．（2015•淮安）解不等式：x+1≥
2
x +2，并把解集在数轴上表示出来．
21．（2015•巴中）解不等式： 2 1 9 2 13 6
x x ，并把解集表示在数轴上．
22．（2015•湘潭）解不等式组 -1 1
2 ( 1) 5
x
x x
．
23．（2015•遂宁）解不等式组：
3( 2) 8
1
4 3
x x
x x
，并把它的解集在数轴上表示出来．
．24．（2015•自贡）解不等式组：
3( 2) 4
2 1 13
x x
x x
�
�
并写出它的所有的整数解．
25．（2015•乐山）已知关于 x，y 的方程组 2
2 3 2 4
x y m
x y m
①
②
的解满足不等式组 3 0
5 0
x y
x y
，求满
足条件的 m 的整数值．
26．（2013•呼和浩特）某次知识竞赛共有 20 道题，每一题答对得 10 分，答错或不答都扣 5 分，小明得
分要超过 90 分，他至少要答对多少道题？
27．（2013•贵港）在校园文化建设中，某学校原计划按每班 5 幅订购了“名人字画”共 90 幅．由于新学
期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分 4 幅，则剩下 17 幅；如果每
班分 5 幅，则最后一班不足 3 幅，但不少于 1 幅．
（1）该校原有的班数是多少个？
（2）新学期所增加的班数是多少个？
27．解：（1）原有的班数为： 90
5
=18 个；
（2）设增加后的班数为 x，则“名人字画”有 4x+17，
由题意得， 4 17 5( 1) 3
4 17 5( 1) 1
x x
x x
，
解得：19＜x≤21，
∵x 为正整数，
∴x 可取 20，21，
故新学期所增加的班数为 2 个或 3 个．
28．（2013•益阳）“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．“益安”
车队有载重量为 8 吨、10 吨的卡车共 12 辆，全部车辆运输一次能运输 110 吨沙石．
（1）求“益安”车队载重量为 8 吨、10 吨的卡车各有多少辆？
（2）随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石 165 吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种
卡车共 6 辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．
（1）∴“益安”车队载重量为 8 吨的卡车有 5 辆，10 吨的卡车有 7 辆；
（2）设载重量为 8 吨的卡车增加了 z 辆，
依题意得：8（5+z）+10（7+6-z）＞165，
解之得：z＜ 5
2
，
∵z≥0 且为整数，
∴z=0，1，2；
∴6-z=6，5，4．
∴车队共有 3 种购车方案：
①载重量为 8 吨的卡车不购买，10 吨的卡车购买 6 辆；
②载重量为 8 吨的卡车购买 1 辆，10 吨的卡车购买 5 辆；
③载重量为 8 吨的卡车购买 2 辆，10 吨的卡车购买 4 辆．
29．（2013•攀枝花）某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔 100 支，乙种铅笔 50 支，需要
1000 元，若购进甲种钢笔 50 支，乙种钢笔 30 支，需要 550 元．
（1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？
（2）若该文具店准备拿出 1000 元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲中钢笔的数量不
少于乙种钢笔数量的 6 倍，且不超过乙种钢笔数量的 8 倍，那么该文具店共有几种进货方案？
（3）若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润 2 元，销售每支乙种钢笔可获利润 3 元，在第（2）问的各种
进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
（1）购进甲，乙两种钢笔每支各需 5 元和 10 元；
（2）设购进甲钢笔 x 支，乙钢笔 y 支，根据题意可得：
5 10 1000
6 8
x y
y x y
，
解得：20≤y≤25，
∵x，y 为整数，
∴y=20，21，22，23，24，25 共六种方案，
∵5x=1000-10y＞0，
∴0＜y＜100，
∴该文具店共有 6 种进货方案；
（3）设利润为 W 元，则 W=2x+3y，
∵5x+10y=1000，
∴x=200-2y，
∴代入上式得：W=400-y，
∵W 随着 y 的增大而减小，
∴当 y=20 时，W 有最大值，最大值为 W=400-20=380（元）．
第三章 函数及其图象
第十一讲：平面直角坐标系与函数
【基础知识回顾】
一、 平面直角坐标系：
1、定义：具有 的两条 的数轴组成平面直角坐标系，两条数轴分别称
轴 轴或 轴 轴，这两系数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个
2、有序数对：在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对 来表示，如 A（a .b），（a .b）即
为点 A 的 其中 a 是该点的 坐标，b 是该点的 坐标平面内的点和有序数对具
有 的关系。
3、平面内点的坐标特征
① P（a .b）：第一象限 第二象限
第三象限 第四象限
X 轴上 Y 轴上
②对称点：
P（a ,b）
③特殊位置点的特点：P（a .b）若在一、三象限角的平分线上，则
若在二、四象限角的平分线上，则
④到坐标轴的距离：P（a .b）到 x 轴的距离 到 y 轴的距离 到原点的距离
⑤ 坐 标 平 面 内 点 的 平 移 ： 将 点 P （ a .b ） 向 左 （ 或 右 ） 平 移 h 个 单 位 ， 对 应 点 坐 标 为
（或 ），向上（或下）平移 k 个单位，对应点坐标为 （或 ）。
【名师提醒：坐标平面内点的坐标所具备的特征必须结合坐标平面去理解和记忆，不可生硬死记一些结
论。】
二、确定位置常用的方法：
一般由两种：1、 2、 。
三、函数的有关概念：
1、常量与变量：在某一变化过程中，始终保持 的量叫做常量，数值发生 的量叫
做变量。
【名师提醒：常量与变量是相对的，在一个变化过程中，同一个量在不同情况下可以是常量，也可能是
变量，要根据问题的条件来确定。】
2、函数：
⑴、函数的概念：一般的，在某个 过程中如果有两个变量 x、y，如果对于 x 的每一个确定的
值，y 都有 的值与之对应，我们就成 x 是 ，y 是 x 的 。
⑵、自变量的取值范围：
主要有两种情况：①、解析式有意义的条件，常见分式和二次根式两种情况
②、实际问题有意义的条件：必须符合实际问题的背景
⑶、函数的表示方法：
通常有三种表示函数的方法：①、 法②、 法③、 法
⑷、函数的同象：
对于一个函数，把自变量 x 和函数 y 的每对对应值作为点的 与
在平面内描出相应的点，符合条件的所有的点组成的图形叫做这个函数的同象
【名师提醒：1、在确定自变量取值范围时要注意分式和二次根式同时存在，应保证两者都有意义，即被
开方数应 同时分母应 。
2、函数的三种表示方法应根据实际需要选择，有时需同时使用几种方法
3、函数同象是在自变量取值范围内无限个点组成的图形，图象上任意一点的坐标是解析式方程的一个
解，反之满足解析式方程的每一个解都在函数同象上】
【重点考点例析】
考点一：平面直角坐标系中点的特征
例 1 （2015•淄博）如果 m 是任意实数，则点 P（m-4，m+1）一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（点 P 的纵坐标一定大于横坐标，∴点 P 一定不在第四象限）．
对应训练
1．（2015•宁夏）点 P（a，a-3）在第四象限，则 a 的取值范围是 ．
考点二：规律型点的坐标
例 2 （2013•济南）如图，动点 P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时
反射角等于入射角，当点 P 第 2013 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为（ ）
关于 y 轴的对称点关于 y 轴的对称点
关于原点的对称点
A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）
思路分析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每 6 次反弹为一个循环组依次循环，用 2013 除以 6，
根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
解：如图，经过 6 次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2013÷6=335…3，
∴当点 P 第 2013 次碰到矩形的边时为第 336 个循环组的第 3 次反弹，
点 P 的坐标为（8，3）．
故选 D．
点评：本题是对点的坐标的规律变化的考查了，作出图形，观察出每 6 次反弹为一个循环组依次循环是解
题的关键，也是本题的难点．
对应训练
2．（2013•江都市一模）如图，矩形 BCDE 的各边分别平行于 x 轴或 y 轴，物体甲和物体乙由点 A（2，0）
同时出发，沿矩形 BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以 1 个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针
方向以 2 个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第 2013 次相遇地点的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（-1，1） C．（-2，1） D．（-1，-1）
考点三：函数自变量的取值范围
例 3 （2015•常德）函数 y= 3
1
x
x
中自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≥-3 B．x≥3 C．x≥0 且 x≠1 D．x≥-3 且 x≠1
对应训练
3．（2015•泸州）函数 1
3
x
x
自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≥1 且 x≠3 B．x≥1 C．x≠3 D．x＞1 且 x≠3
考点四：函数的图象
例 4 （2015•重庆）2013 年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，
先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘
叔叔的车顺利回到家．其中 x 表示童童从家出发后所用时间，y 表示童童离家的距离．下面能反映 y 与 x
的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
对应训练
4．（2015•湘西州）小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太极
拳，然后沿原路跑步到家里，下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离 y（米）与时间 x（分钟）之间的关
系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
考点四：动点问题的函数图象
例 5 （2015•烟台）如图 1，E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P 从点 B 沿折线 BE-ED-DC 运动到点 C 时停止，
点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止，它们运动的速度都是 1cm/s．若 P，Q 同时开始运动，设运动时间为
t（s），△BPQ 的面积为 y（cm2）．已知 y 与 t 的函数图象如图 2，则下列结论错误的是（ ）
A．AE=6cm
B．sin∠EBC= 4
5
C．当 0＜t≤10 时，y= 2
5
t2
D．当 t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形
思路分析：由图 2 可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，△BPQ 的面积不变，因此可推论 BC=BE，
由此分析动点 P 的运动过程如下：
（1）在 BE 段，BP=BQ；持续时间 10s，则 BE=BC=10；y 是 t 的二次函数；
（2）在 ED 段，y=40 是定值，持续时间 4s，则 ED=4；
（3）在 DC 段，y 持续减小直至为 0，y 是 t 的一次函数．
解：（1）结论 A 正确．理由如下：
分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故 AE=AD-ED=BC-ED=10-4=6cm；
（2）结论 B 正确．理由如下：
如答图 1 所示，连接 EC，过点 E 作 EF⊥BC 于点 F，
由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40= 1
2
BC•EF= 1
2
×10×EF，∴EF=8，
∴sin∠EBC= EF
BE
= 8 4
10 5
；
（3）结论 C 正确．理由如下：
如答图 2 所示，过点 P 作 PG⊥BQ 于点 G，
∵BQ=BP=t，
∴y=S△BPQ= 1
2
BQ•PG= 1
2
BQ•BP•sin∠EBC= 1
2
t•t• 4
5
= 2
5
t2．
（4）结论 D 错误．理由如下：
当 t=12s 时，点 Q 与点 C 重合，点 P 运动到 ED 的中点，设为 N，如答图 3 所示，连接 NB，NC．
此时 AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8 2 ，NC=2 17 ，
∵BC=10，
∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形．
点评：本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点
在于正确判断出 BC=BE=10cm．
对应训练
5．（2015•铁岭）如图，点 G、E、A、B 在一条直线上，Rt△EFG 从如图所示是位置出发，沿直线 AB 向右匀
速运动，当点 G 与 B 重合时停止运动．设△EFG 与矩形 ABCD 重合部分的面积为 S，运动时间为 t，则 S 与
t 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．D
【聚焦山东中考】
1．（2015•东营）若定义：f（a，b）=（-a，b），g（m，n）=（m，-n），例如 f（1，2）=（-1，2），g（-4，
-5）=（-4，5），则 g（f（2，-3））=（ ）
A．（2，-3） B．（-2，3） C．（2，3） D．（-2，-3）
2．（2015•济南）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程 s（米）与赛跑时间 t（秒）的关系如图所示，则下
列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人的速度相同 B．甲先到达终点
C．乙用的时间短 D．乙比甲跑的路程多
3．（2015•潍坊）用固定的速度如图所示形状的杯子里注水，则能表示杯子里水面的高度和注水时间的关
系的大致图象是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2015•聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向
不断地移动，每移动一个单位，得到点 A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点 A4n+1（n
为自然数）的坐标为 （用 n 表示）
4．（2n，1）
5．（2015•东营）如图，已知直线 l：y= 3
3 x ，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作
直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点
A2；…按此作法继续下去，则点 A2013 的坐标为
．
5．（0，42013）或（0，24026）（注：以上两答案任选一个都对）
6．（2015•临沂）如图，正方形 ABCD 中，AB=8cm，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别从 B，C 两点同
时出发，以 1cm/s 的速度沿 BC，CD 运动，到点 C，D 时停止运动，设运动时间为 t（s），△OEF 的面积为 s
（cm2），则 s（cm2）与 t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B． C． D．
6．B
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•湛江）在平面直角坐标系中，点 A（2，-3）在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（2015•邵阳）如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用
（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（ ）
A．（2，1） B．（0，1） C．（-2，-1） D．（-2，1）
3．（2015•邵阳）函数 5 1x 中，自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≥ 1
5
D．x≥- 1
5
4．（2015•郴州）函数 y= 2
3 x
中自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠-3
5．（2015•资阳）在函数 y= 1
1x
中，自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
6．（2015•玉林）均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度 h 随时间 t 的变化
规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（ ）
A． B． C． D．
7．（2015•乌鲁木齐）某仓库调拨一批物资，调进物资共用 8 小时，调进物资 4 小时后同时开始调出物资
（调进与调出的速度保持不变）．该仓库库存物资 m（吨）与时间 t（小时）之间的函数关系如图所示．则
这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是（ ）
A．8.4 小时 B．8.6 小时 C．8.8 小时 D．9 小时
8．（2015•黄冈）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为 100 千米/小时，
特快车的速度为 150 千米/小时，甲乙两地之间的距离为 1000 千米，两车同时出发，则图中折线大致表示
两车之间的距离 y（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2015•绍兴）如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出．壶
壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时，用 x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，则 y 与 x 的函
数关系式的图象是（ ）
A． B． C． D．
10．（2015•天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列 3 个不同的问题情境：
①小明骑车以 400 米/分的速度匀速骑了 5 分，在原地休息了 4 分，然后以 500 米/分的速度匀速骑回出发
地，设时间为 x 分，离出发地的距离为 y 千米；
②有一个容积为 6 升的开口空桶，小亮以 1.2 升/分的速度匀速向这个空桶注水，注 5 分后停止，等 4 分
后，再以 2 升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为 x 分，桶内的水量为 y 升；
③矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，动点 P 从点 A 出发，依次沿对角线 AC、边 CD、边 DA 运动至点 A 停止，设
点 P 的运动路程为 x，当点 P 与点 A 不重合时，y=S△ABP；当点 P 与点 A 重合时，y=0．
其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2015•三明）如图，在矩形 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，动点 P 从点 C 出发，沿 DC 方向匀速运动
到终点 C．已知 P，Q 两点同时出发，并同时到达终点，连接 OP，OQ．设运动时间为 t，四边形 OPCQ 的面
积为 S，那么下列图象能大致刻画 S 与 t 之间的关系的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2015•南充）如图 1，点 E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P，点 Q 同时从点 B 出发，点 P 沿 BE→ED→DC
运动到点 C 停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止，它们的运动速度都是 1cm/s，设 P，Q 出发 t 秒时，△BPQ
的面积为 ycm2，已知 y 与 t 的函数关系的图象如图 2（曲线 OM 为抛物线的一部分），则下列结论：
①AD=BE=5cm；
②当 0＜t≤5 时，y= 2
5
t2；
③直线 NH 的解析式为 y=- 2
5
t+27；
④若△ABE 与△QBP 相似，则 t= 29
4
秒，
其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．B
二、填空题
13．（2015•株洲）在平面直角坐标系中，点（1，2）位于第 象限．
14．（2015•云南）在函数 1x
x
中，自变量 x 的取值范围是 ．
15．（2015•上海）已知函数 [ 2
3
1x
，那么 2 = ．
16．（2015•新疆）某书定价 25 元，如果一次购买 20 本以上，超过 20 本的部分打八折，试写出付款金额 y
（单位：元）与购书数量 x（单位：本）之间的函数关系 ．
16．y= 25 (0 20)
20 100 ( 20)
x x
x x
17．（2015•兰州）如图，在直角坐标系中，已知点 A（-3，0）、B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依
次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013 的直角顶点的坐标为 ．
18．（2015•湖州一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知
点 A（0，3），点 B 是 x 轴正半轴上的整点，记
△AOB 内部（不包括边界）的整点个数为 m．当点 B 的横坐标为 3n（n 为正整数）时，m= （用含 n
的代数式表示）．
19．（2013•咸宁）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图
中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x 表示乌龟从起点出发所行的时间，y1 表示乌龟所行的路
程，y2 表示兔子所行的路程）．有下列说法：
①“龟兔再次赛跑”的路程为 1000 米；
②兔子和乌龟同时从起点出发；
③乌龟在途中休息了 10 分钟；
④兔子在途中 750 米处追上乌龟．
其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）
第十二讲 一次函数
【基础知识回顾】
一、 一次函数的定义:
一般的：如果 y= （ ），那么 y 叫 x 的一次函数
特别的：当 b= 时，一次函数就变为 y=kx(k≠0)，这时 y 叫 x 的
【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当 b=0 时，它才是正比例函数】
二、一次函数的同象及性质：
1、一次函数 y=kx+b 的同象是经过点（0，b）（-
b
k ，0）的一条 ，
正比例函数 y= kx 的同象是经过点 和 的一条直线。
【名师提醒：因为一次函数的同象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取 个特殊的点，
过这两个点画一条直线即可】
2、正比例函数 y= kx(k≠0)，当 k>0 时，其同象过 、 象限，此时时 y 随 x 的增大而 ；
当 k<0 时，其同象过 、 象限，时 y 随 x 的增大而 。
3、 一次函数 y= kx+b，图象及函数性质
①、k>0 b>0 过 象限
②、k>0 b<0 过 象限
③、k<0 b>0 过 象限
④、k<0 b>0 过 象限
4、若直线 l1：y= k1x+ b1 与 l1：y= k2x+ b2 平行，则 k1 k2，若 k1≠k2，则 l1 与 l2
【名师提醒：y 随 x 的变化情况，只取决于 的符号与 无关，而直线的平移，只改变
的值 的值不变】
三、用待定系数法求一次函数解析式：
关键：确定一次函数 y= kx+ b 中的字母 与 的值
步骤：1、设一次函数表达式
2、将 x，y 的对应值或点的坐标代入表达式
3、解关于系数的方程或方程组
4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中
四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组
1、一次函数与一元一次方程：一般地将 x= 或 y 代入 y= kx+ b 中解一元一次方程可求求直
线与坐标轴的交点坐标。
2、一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0 或 kx+ b<0 即一次函数图象位于 x 轴上方或下方时相应的 x
的取值范围，反之也成立
3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解，反
之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标
【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决
2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题】
五、一次函数的应用
一般步骤：1、设定问题中的变量 2、建立一次函数关系式
3、确定自变量的取值范围 4、利用函数性质解决问题 5、作答
【名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，
方案设计问题等】
【重点考点例析】
考点一：一次函数的图象和性质
例 1 （2015•大庆）对于函数 y=-3x+1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（-1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当 x＞1 时，y＜0
D．y 的值随 x 值的增大而增大
对应训练
1．（2015•徐州）下列函数中，y 随 x 的增大而减少的函数是（ ）
y 随 x 的增大而
y 随 x 的增大而
A．y=2x+8 B．y=-2+4x C．y=-2x+8 D．y=4x
考点二：一次函数的图象和系数的关系
例 2 （2015•莆田）如图，一次函数 y=（m-2）x-1 的图象经过二、三、四象限，则 m 的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
例 3 （2015•遵义）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数 y=- 1
2
x 图象上的两点，下列判断中，正确的
是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．当 x1＜x2 时，y1＜y2 D．当 x1＜x2 时，y1＞y2
对应训练
2．（2015•眉山）若实数 a，b，c 满足 a+b+c=0，且 a＜b＜c，则函数 y=cx+a 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2015•福州）A，B 两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为 A（x+a，y+b），B（x，
y），下列结论正确的是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．b=0 D．ab＜0
考点三：一次函数解析式的确定
例 4 （2015•常州）已知一次函数 y=kx+b（k、b 为常数且 k≠0）的图象经过点 A（0，-2）和点 B（1，0），
则 k= ，b= ．
对应训练
4．（2013•重庆）已知正比例函数 y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为
（ ）
A．y=2x B．y=-2x C． 1
2 D． 흐 1
2
考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系
例 5 （2015•黔西南州）如图，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A（m，3），则不等式 2x＜ax+4 的解
集为（ ）
A．x＜ 3
2
B．x＜3 C．x＞ 3
2
D．x＞3
例 6 （2015•荆州）体育课上，20 人一组进行足球比赛，每人射点球 5 次，已知某一组的进球总数为 49
个，进球情况记录如下表，其中进 2 个球的有 x 人，进 3 个球的有 y 人，若（x，y）恰好是两条直线的交
点坐标，则这两条直线的解析式是（ ）
进球数 0 1 2 3 4 5
人数 1 5 x y 3 2
A．y=x+9 与 y= 2
3
x+ 22
3
B．y=-x+9 与 y= 2
3
x+ 22
3
C．y=-x+9 与 y=- 2
3
x+ 22
3
D．y=x+9 与 y=- 2
3
x+ 22
3
思路分析：根据一共 20 个人，进球 49 个列出关于 x、y 的方程即可得到答案．
解：根据进球总数为 49 个得：2x+3y=49-5-3×4-2×5=22，
整理得：y=- 2
3
x+ 22
3
，
∵20 人一组进行足球比赛，
∴1+5+x+y+3+2=20，
整理得：y=-x+9．
故选 C．
点评：本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题目列出方程并整理成函数的形
式．
对应训练
5．（2015•武汉）直线 y=2x+b 经过点（3，5），求关于 x 的不等式 2x+b≥0 的解集．
6．（2015•青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数 y=-x+1 的图象相交于点 P，则这个正比例函数的
表达式是 ．
考点五：一次函数综合题
例 7 （2015•绥化）如图，直线 MN 与 x 轴，y 轴分别相交于 A，C 两点，分别过 A，C 两点作 x 轴，y 轴的
垂线相交于 B 点，且 OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程 x2-14x+48=0 的两个实数根．
（1）求 C 点坐标；
（2）求直线 MN 的解析式；
（3）在直线 MN 上存在点 P，使以点 P，B，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出 P 点的坐标．
（1）C（0，6）；
（2）∴直线 MN 的解析式为 y=- 3
4
x+6；
（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根据题意知 B（8，6）．
∵点 P 在直线 MNy=- 3
4
x+6 上，
∴设 P（a，- 3
4
a+6）
如图，当以点 P，B，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当 PC=PB 时，点 P 是线段 BC 的中垂线与直线 MN 的交点，则 P1（4，3）；
②当 PC=BC 时，a2+（- 3
4
a+6-6）2=64，
解得，a= 32
5
，则 P2（- 32
5
， 54
5
），P3（ 32
5
， 6
5
）；
③当 PB=BC 时，（a-8）2+（- 3
4
a+6-6）2=64，
解得，a= 256
25
，则- 3
4
a+6=- 42
25
，∴P4（ 256
25
，- 42
25
）．
综上所述，符合条件的点 P 有：P1（4，3），P2（- 32
5
， 54
5
），P3（ 32
5
， 6
5
），P4（ 256
25
，- 42
25
）．
对应训练
7．（2015•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线 l 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点（OA＜OB）且 OA、
OB 的长分别是一元二次方程 x2-（ 3 +1）x+ 3 =0 的两个根，点 C 在 x 轴负半轴上，且 AB：AC=1：2
（1）求 A、C 两点的坐标；
（2）若点 M 从 C 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线 CB 运动，连接 AM，设△ABM 的面积为 S，点 M 的
运动时间为 t，写出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点 P 是 y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点 Q，使以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，
请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．解：（1）x2-（ 3 +1）x+ 3 =0，
（x- 3 ）（x-1）=0，
解得 x1= 3 ，x2=1，
∵OA＜OB，
∴OA=1，OB= 3 ，
∴A（1，0），B（0， 3 ），
∴AB=2，
又∵AB：AC=1：2，
∴AC=4，
∴C（-3，0）；
（2）由题意得：CM=t，CB=2 3 ．
①当点 M 在 CB 边上时，S=2 3 -t（0≤t2 3 ）；
②当点 M 在 CB 边的延长线上时，S=t-2 3 （t＞2 3 ）；
（3）存在，Q1（-1，0），Q2（1，-2），Q3（1，2），Q1（1， 2 3
3
）．
考点六：一次函数的应用
例 8 （2015•株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度 y（单位：厘米）与观察时间 x（单位：天）
的关系，并画出如图所示的图象（AC 是线段，直线 CD 平行 x 轴）．
（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？
（2）求直线 AC 的解析式，并求该植物最高长多少厘米？
对应训练
8．（2015•湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发 1 小时后到达南亚所（景点），游
玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家 1 小时 50 分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是
他们离家的路程 y（km）与小明离家时间 x（h）的函数图象．
（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；
（2）若妈妈在出发后 25 分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及 CD 所在直线的函数
解析式．
【聚焦山东中考】
1．（2015•菏泽）一条直线 y=kx+b，其中 k+b=-5、kb=6，那么该直线经过（ ）
A．第二、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、三象限 D．第二、三、四象限
2．（2015•潍坊）设点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是反比例函数 y= k
x
图象上的两个点，当 x1＜x2＜0 时，y1
＜y2，则一次函数 y=-2x+k 的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2015•潍坊）一次函数 y=-2x+b 中，当 x=1 时，y＜1，当 x=-1 时，y＞0．则 b 的取值范围是 ．
4．（2015•泰安）把直线 y=-x+3 向上平移 m 个单位后，与直线 y=2x+4 的交点在第一象限，则 m 的取值范
围是（ ）
A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4
5．（2015•威海）甲、乙两辆摩托车同时从相距 20km 的 A，B 两地出发，相向而行．图中 l1，l2 分别表示甲、
乙两辆摩托车到 A 地的距离 s（km）与行驶时间 t（h）的函数关系．则下列说法错误的是（ ）
A．乙摩托车的速度较快
B．经过 0.3 小时甲摩托车行驶到 A，B 两地的中点
C．经过 0.25 小时两摩托车相遇
D．当乙摩托车到达 A 地时，甲摩托车距离 A 地 50
3
km
6．（2015•临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为 2000 万元．当该机器生产数量至少为 10 台，但不
超过 70 台时，每台成本 y 与生产数量 x 之间是一次函数关系，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：
x（单位：台） 10 20 30
y（单位：万元∕台） 60 55 50
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）求该机器的生产数量；
（3）市场调查发现，这种机器每月销售量 z（台）与售价 a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该
厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器 25 台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利
润．（注：利润=售价-成本）
6．解：（1）∴y=- 1
2
x+65．
∵该机器生产数量至少为 10 台，但不超过 70 台，
∴10≤x≤70；
（2）由题意，得
xy=2000，
- 1
2
x2+65x=2000，
-x2+130x-4000=0，
解得：x1=50，x2=80＞70（舍去）．
答：该机器的生产数量为 50 台；
（3）设每月销售量 z（台）与售价 a（万元∕台）之间的函数关系式为 z=ka+b，由函数图象，得
35 55
15 75
k b
k b
， 解得： -1
90
k
b
，
∴z=-a+90．
当 z=25 时，a=65．
当 x=50 时，y=40
总利润为：25（65-40）=625 万元．
答：该厂第一个月销售这种机器的利润为 625 万元．
7．（2015•滨州）根据要求，解答下列问题：
（1）已知直线 l1 的函数表达式为 y=x，请直接写出过原点且与 l1 垂直的直线 l2 的函数表达式；
（2）如图，过原点的直线 l3 向上的方向与 x 轴的正方向所成的角为 30°．
①求直线 l3 的函数表达式；
②把直线 l3 绕原点 O 按逆时针方向旋转 90°得到的直线 l4，求直线 l4 的函数表达式．
（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的
系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线 y=- 1
5 垂直的直线 l5 的函数表达式．
7．解：（1）根据题意得：y=-x；
（2）①设直线 l3 的函数表达式为 y=k1x（k1≠0），
∵过原点的直线 l3 向上的方向与 x 轴的正方向所成的角为 30°，直线过一、三象限，
∴k1=tan30°= 3
3
，
∴直线 l3 的函数表达式为 y= 3
3
x；
②∵l3 与 l4 的夹角是为 90°，
∴l4 与 x 轴的夹角是为 60°，
设 l4 的解析式为 y=k2x（k2≠0），
∵直线 l4 过二、四象限，
∴k2=-tan60°=- 3 ，
∴直线 l4 的函数表达式为 y=- 3 x；
（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的
系数互为负倒数关系，
∴过原点且与直线 y=- 1
5 垂直的直线 l5 的函数表达式为 y=5x．
8．（2015•济宁）如图，直线 y=- 1
2
x+4 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线 y=x 交于点 C．在线段 OA 上，
动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，同时动点 P 从点 A 出发向点 O 做匀速运
动，当点 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线，交直线 AB、OC
于点 E、F，连接 EF．若运动时间为 t 秒，在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形（点 P、Q 重合除外）．
（1）求点 P 运动的速度是多少？
（2）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 为正方形？
（3）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 的面积 S 最大？并求出最大值．
8．解：（1）∵直线 y=- 1
2
x+4 与坐标轴分别交于点 A、B，
∴x=0 时，y=4，y=0 时，x=8，
∴ 4 1
8 2
BO
AO
，
当 t 秒时，QO=FQ=t，则 EP=t，
∵EP∥BO，
∴ 1
2
BO EP
AO AP
，
∴AP=2t，
∵动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，
∴点 P 运动的速度是每秒 2 个单位长度；
（2）如图 1，当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形，
则∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8-t-2t=8-3t，
∴8-3t=t，
解得：t=2，
如图 2，当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形，
∵OQ=t，PA=2t，
∴OP=8-2t，
∴QP=t-（8-2t）=3t-8，
∴t=3t-8，
解得：t=4；
（3）如图 1，当 Q 在 P 点的左边时，
∵OQ=t，PA=2t，
∴QP=8-t-2t=8-3t，
∴S 矩形 PEFQ=QP•QF=（8-3t）•t=8t-3t2，
当 t=- 8 4
2 ( 3) 3
时，
S 矩形 PEFQ 的最大值为：
24 ( 3) 0 8 16
4 ( 3) 3
，
如图 2，当 Q 在 P 点的右边时，
∵OQ=t，PA=2t，
∴QP=t-（8-2t）=3t-8，
∴S 矩形 PEFQ=QP•QE=（3t-8）•t=3t2-8t，
∵当点 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴0≤t≤4，
当 t=- 8 4
2 ( 3) 3
时，S 矩形 PEFQ 的最小，
∴t=4 时，S 矩形 PEFQ 的最大值为：3×42-8×4=16，
综上所述，当 t=4 时，S 矩形 PEFQ 的最大值为：16．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•湖州）若正比例函数 y=kx 的图象经过点（1，2），则 k 的值为（ ）
A．- 1
2
B．-2 C． 1
2
D．2
2．（2015•陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点 A（2，m），B（n，3），那么一定有（ ）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0
3．（2015•荆门）若反比例函数 y= k
x
的图象过点（-2，1），则一次函数 y=kx-k 的图象过（ ）
A．第一、二、四象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限
4．（2015•黔东南州）直线 y=-2x+m 与直线 y=2x-1 的交点在第四象限，则 m 的取值范围是（ ）
A．m＞-1 B．m＜1 C．-1＜m＜1 D．-1≤m≤1
5．（2015•十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距 500 千米，汽车出发前油箱有油 25 升，途中加油若
干升，加油前、后汽车都以 100 千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小
时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（ ）
A．加油前油箱中剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小时）的函数关系是 y=-8t+25
B．途中加油 21 升
C．汽车加油后还可行驶 4 小时
D．汽车到达乙地时油箱中还余油 6 升
6．（2015•天门）小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车
沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差 s（米）与小文出发时间 t（分）之间的函数关系如图
所示．下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的 2.5 倍；③a=24；④b=480．其中
正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
7．（2015•资阳）在一次函数 y=（2-k）x+1 中，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围为 ．
8．（2015•天津）若一次函数 y=kx+1（k 为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是 ．
9．（2015•鞍山）在一次函数 y=kx+2 中，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象不经过第 象限．
10．（2015•珠海）已知，函数 y=3x 的图象经过点 A（-1，y1），点 B（-2，y2），则 y1 y2（填“＞”“＜”
或“=”）
11．（2015•永州）已知一次函数 y=kx+b 的图象经过 A（1，-1），B（-1，3）两点，则 k 0（填“＞”
或“＜”）
12．（2015•昆明）已知正比例函数 y=kx 的图象经过点 A（-1，2），则正比例函数的解析式为 ．
13．（2015•成都）已知点（3，5）在直线 y=ax+b（a，b 为常数，且 a≠0）上，则
5
a
b
的值为 ．
14．（2015•包头）如图，已知一条直线经过点 A（0，2）、点 B（1，0），将这条直线向左平移与 x 轴、y 轴
分别交与点 C、点 D．若 DB=DC，则直线 CD 的函数解析式为 ．
15．（2015•温州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的两个顶点 A，B 的坐标分别为（-2，0），（-1，0），
BC⊥x 轴，将△ABC 以 y 轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′（A 和 A′，B 和 B′，C 和 C′分别
是对应顶点），直线 y=x+b 经过点 A，C′，则点 C′的坐标是 ．
16．（2015•孝感）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的 4 分
钟内只进水不出水，在随后的 8 分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器
内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：
升）与时间 x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 分钟该容
器内的水恰好放完．
17．（2015•随州）甲乙两地相距 50 千米．星期天上午 8：00 小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往
乙地．2 小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程 y（千米）与小聪
行驶的时间 x（小时）之间的函数关系如图所示，小明父亲出发 小时时，行进中的两车相距
8 千米．
三、解答题
18．（2015•厦门）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的 3 分内只进水不出水，在随后的 9 分内
既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量 y（单位：升）与时间 x（单位：分）之
间的关系如图所示．当容器内的水量大于 5 升时，求时间 x 的取值范围．
18．解：①0≤x＜3 时，设 y=mx，
则 3m=15，
解得 m=5，
所以，y=5x，
②3≤x≤12 时，设 y=kx+b，
∵函数图象经过点（3，15），（12，0），
∴ 3 15
12 0
k b
k b
，解得
5
3
20
k
b
，
所以，y=- 5
3
x+20，
当 y=5 时，由 5x=5 得，x=1，
由- 5
3
x+20=5 得，x=9，
所以，当容器内的水量大于 5 升时，时间 x 的取值范围是 1＜x＜9．
19．（2015•湘潭）莲城超市以 10 元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量 y（件）与
该商品定价 x（元）是一次函数关系，如图所示．
（1）求销售量 y 与定价 x 之间的函数关系式；
（2）如果超市将该商品的销售价定为 13 元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的利
润．
19．解：（1）设 y=kx+b（k≠0），由图象可知，
11 10
15 2
k b
k b
， 解得 2
32
k
b
，
故销售量 y 与定价 x 之间的函数关系式是：y=-2x+32；
（2）超市每天销售这种商品所获得的利润是：
W=（-2x+32）（13-10）=-6x+96．
20．（2015•盐城）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原
来少 2 元，发现原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）满足如图
所示的一次函数关系．
①求 y 与 x 之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利
润=销售收入-进货金额）
20．解：（1）设现在实际购进这种水果每千克 x 元，则原来购进这种水果每千克（x+2）元，由题意，得
80（x+2）=88x，
解得 x=20．
故现在实际购进这种水果每千克 20 元；
（2）①设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，
将（25，165），（35，55）代入，
得 25 165
35 55
k b
k b
，解得 11
440
k
b
，
故 y 与 x 之间的函数关系式为 y=-11x+440；
②设这种水果的销售单价为 x 元时，所获利润为 w 元，
则 w=（x-20）y=（x-20）（-11x+440）=-11x2+660x-8800=-11（x-30）2+1100，
所以当 x=30 时，w 有最大值 1100．
即将这种水果的销售单价定为 30 元时，能获得最大利润，最大利润是 1100 元．
21．（2015•河北）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点 P 从点 A 出发，沿 y 轴以每秒 1 个单位长
的速度向上移动，且过点 P 的直线 l：y=-x+b 也随之移动，设移动时间为 t 秒．
（1）当 t=3 时，求 l 的解析式；
（2）若点 M，N 位于 l 的异侧，确定 t 的取值范围；
（3）直接写出 t 为何值时，点 M 关于 l 的对称点落在坐标轴上．
21．解：（1）直线 y=-x+b 交 y 轴于点 P（0，b），
由题意，得 b＞0，t≥0，b=1+t．
当 t=3 时，b=4，
故 y=-x+4．
（2）当直线 y=-x+b 过点 M（3，2）时，
2=-3+b，
解得：b=5，
5=1+t，
解得 t=4．
当直线 y=-x+b 过点 N（4，4）时，
4=-4+b，
解得：b=8，
8=1+t，
解得 t=7．
故若点 M，N 位于 l 的异侧，t 的取值范围是：4＜t＜7．
（3）如图，过点 M 作 MF⊥直线 l，交 y 轴于点 F，交 x 轴于点 E，则点 E、F 为点 M 在坐标轴上的对称点．
过点 M 作 MD⊥x 轴于点 D，则 OD=3，MD=2．
已知∠MED=∠OEF=45°，则△MDE 与△OEF 均为等腰直角三角形，
∴DE=MD=2，OE=OF=1，
∴E（1，0），F（0，-1）．
∵M（3，2），F（0，-1），
∴线段 MF 中点坐标为（ 3
2
， 1
2
）．
直线 y=-x+b 过点（ 3
2
， 1
2
），则 1
2
=- 3
2
+b，解得：b=2，
2=1+t，
解得 t=1．
∵M（3，2），E（1，0），
∴线段 ME 中点坐标为（2，1）．
直线 y=-x+b 过点（2，1），则 1=-2+b，解得：b=3，
3=1+t，
解得 t=2．
故点 M 关于 l 的对称点，当 t=1 时，落在 y 轴上，当 t=2 时，落在 x 轴上．
第十三讲 反比例函数
【教材链接： 八（下）第十七章反比例函数】
【基础知识回顾】
一、 反比例函数的概念：
一般地：函数 y （k 是常数，k≠0）叫做反比例函数
【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠0
2、反比例函数的另一种表达式为 y= （k 是常数，k≠0）
3、反比例函数解析式可写成 xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量 x 与其对应函数值 y 之积，
总等于 】
二、反比例函数的图象和性质：
1、反比例函数 y=
k
x （k≠0）的图象是 ，它有两个分支，关于 对称
2、反比例函数 y=
k
x （k≠0）当 k>0 时它的图象位于 象限，在每一个象限内 y 随 x 的增大而
当 k<0 时，它的图象位于 象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而
【名师提醒：1、在反比例函数 y=
k
x 中，因为 x≠0，y≠0 所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与 x 轴 y
轴
2、在反比例函数 y 随 x 的变化情况中一定注明在每一个象限内】
3、反比例函数中比例系数 k 的几何意义：
双曲线 y=
k
x （k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线
两垂线与坐标轴围成的矩形面积为 ，即如图：S 矩形 ABOC=
S△AOB=
【名师提醒：k 的几何意义往常与前边提示中所谈到的 xy=k 联系起来理解和应用】
三、反比例函数解析式的确定
因为反比例函数 y=
k
x （k≠0）中只有一个待定系数 所以求反比例函数关系式只需知道一组对应
的 x、y 值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法
三、 反比例函数的应用
解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要特别注意
自变量的
【重点考点例析】
考点一：反比例函数的图象和性质
例 1 （2015 云南）若 b＞0，则一次函数 +b 与反比例函数
ab
x
在同一坐标系数中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
例 2 （2015•绥化）对于反比例函数
3
x
，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（1，흐3）
B．图象在第二、四象限
C． ＞0 时， 随 的增大而增大
D． ＜0 时， 随 增大而减小
对应训练
1．（2015•随州）正比例函数 k 和反比例函数
2 1ky x
（k 是常数且 k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2015•河北）反比例函数
m
x
的图象如图所示，以下结论：
①常数 ＜흐1；
②在每个象限内， 随 的增大而增大；
③若 A（흐1，h），B（2，k）在图象上，则 h＜k；
④若 P（ ， ）在图象上，则 P′（흐 ，흐 ）也在图象上．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
考点二：反比例函数解析式的确定
例 4 （2015•哈尔滨）如果反比例函数 1ky x
的图象经过点（-1，-2），则 k 的值是（ ）
A．2 B．-2 C．-3 D．3
对应训练
4．（2015•广元）已知关于 x 的方程（x+1）2+（x-b）2=2 有唯一的实数解，且反比例函数 1 by x
的图象
在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（ ）
A． 3y x
B． 1y x
C． 2y x
D． 2y x
考点三：反比例函数 k 的几何意义
例 5 （2015•内江）如图，反比例函数 ky x
（ ＞0）的图象经过矩形 OABC 对角线的交点 M，分别于 AB、BC 交于点
D、E，若四边形 ODBE 的面积为 9，则 k 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
思路分析：本题可从反比例函数图象上的点 E、M、D 入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形 OABC 的面积与|k|的关系，
列出等式求出 k 值．
解：由题意得：E、M、D 位于反比例函数图象上，则 S△OCE
| |
2
k ，S△OAD
| |
2
k ，
如图，过点 M 作 MG⊥ 轴于点 G，作 MN⊥ 轴于点 N，则 S□ONMG |k|，
又∵M 为矩形 ABCO 对角线的交点，
∴S 矩形 ABCO 4S□ONMG 4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则 | |
2
k +
| |
2
k +9 4k，
解得：k 3．
故选 C．
点评：本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积
就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
对应训练
5．（2015•锦州）如图，直线 与双曲线 ky x
交于 A，B 两点，过点 A 作 AM⊥ 轴，垂足为点 M，连接 BM，若 S△
ABM 2，则 k 的值为（ ）
A．흐2 B．2 C．4 D．흐4
5．A
考点四：反比例函数与一次函数的综合运用
例 6 （2015•岳阳）如图，一次函数 y1=x+1 的图象与反比例函数 2
2y x
的图象交于 A、B 两点，过点作
AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D，
连接 AO、BO，下列说法正确的是（ ）
A．点 A 和点 B 关于原点对称
B．当 x＜1 时，y1＞y2
C．S△AOC=S△BOD
D．当 x＞0 时，y1、y2 都随 x 的增大而增大
思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出 A、B 的坐标，即可判断 A；根据图象的特点即可
判断 B；根据 A、B 的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断 C；根据图形的特点即可
判断 D．
解：A、
1
2
y x
y x
①
②
，
∵把①代入②得：x+1= 2
x
，
解得：x1=-2，x2=1，
代入①得：y1=-1，y2=2，
∴B（-2，-1），A（1，2），
∴A、B 不关于原点对称，故本选项错误；
B、当-2＜x＜0 或 x＞1 时，y1＞y2，故本选项错误；
C、∵S△AOC= 1
2
×1×2=1，S△BOD= 1
2
×|-2|×|-1|=1，
∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；
D、当 x＞0 时，y1 随 x 的增大而增大，y2 随 x 的增大而减小，故本选项错误；
故选 C．
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的
特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．
对应训练
6．（2015•达州）一次函数 y1=kx+b（k≠0）与反比例函数 y2= m
x (m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图
所示，若 y1＞y2，则 x 的取值范围是（ ）
A．-2＜x＜0 或 x＞1 B．x＜-2 或 0＜x＜1
C．x＞1 D．-2＜x＜1
【聚焦山东中考】
1．（2015•淄博）如图，矩形 AOBC 的面积为 4，反比例函数 ky x
的图象的一支经过矩形对角线的交点 P，则该反比例
函数的解析式是（ ）
A． 4
x B． 2
x C． 1
x D． 1
2x
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•沈阳）在同一平面直角坐标系中，函数 흐1 与函数 1
x
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2015•广东）已知 k1＜0＜k2，则函数 k1 흐1 和 2ky x
的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．（2015•衢州）若函数
2m
x
的图象在其所在的每一象限内，函数值 随自变量 的增大而增大，则 的取值范围是
（ ）
A． ＜흐2 B． ＜0 C． ＞흐2 D． ＞0
4．（2015•兰州）当 ＞0 时，函数 흐 5
x
的图象在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
4．（2015•牡丹江）如图，反比例函数 k
x k≠ 0的图象上有一点 A，AB 平行于 轴交 轴于点 B，△ABO 的面积是 1，
则反比例函数的解析式是（ ）
A． 1
2x B． 1
x C． 2
x D． 1
4x
5．（2015•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最小的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2015•厦门）已知反比例函数 1m
x
的图象的一支位于第一象限，则常数 的取值范围是 ．
16．（2015•黄冈）已知反比例函数 6
x
在第一象限的图象如图所示，点 A 在其图象上，点 B 为 轴正半轴上一点，连接
AO、AB，且 AO AB，则 S△AOB ．
17．（2015•营口）已知双曲线 3
x
和 k
x
的部分图象如图所示，点 C 是 轴正半轴上一点，过点 C 作 AB∥ 轴分别交
两个图象于点 A、B．若 CB 2CA，则 k ．
15．（2015•张家界）如图，直线 2 与反比例函数 2
x
和 흐 1
x
的图象分别交于 A、B 两点，若点 P 是 轴上任意一点，
则△PAB 的面积是 ．
三、解答题
第十四讲 二次函数的同象和性质
【基础知识回顾】
一、二次函数的定义：
一般地如果 y= （a、b、c 是常数 a≠0）那么 y 叫做 x 的二次函数
【名师提醒： 二次函数 y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于
自 变 量 x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 一
次排列 2、强调二次项系数 a 0】
二、二次函数的同象和性质：
1、二次函数 y=kx 2+bx+c(a≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式
2、在抛物 y=kx 2+bx+c(a≠0)中：
①、当 a>0 时，y 口向 ，当 x< a
b
2
时，y 随 x 的增大而 ，当 x 时，
y 随 x 的增大而增大，
②、当 a<0 时，开口向 当 x< a
b
2
时，y 随 x 增大而增大，当 x 时，y 随 x
增大而减小
【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点
1、y=ax2 ,对称轴 定点坐标
2、y= ax2 +k，对称轴 定点坐标
3、y=a(x-h) 2 对称轴 定点坐标
4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴 定点坐标 】
三、二次函数同象的平移
【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，
只要关键的顶点平移即可】
四、二次函数 y= ax2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则 a 0,向下则 a 0 ｜a｜越大，开口越
b:对称轴位置，与 a 联系一起，用 判断 b=0 时，对称轴是
c:与 y 轴的交点：交点在 y 轴正半轴上，则 c 0 负半轴上则 c 0，当 c=0 时，抛物点
过 点
【名师提醒：在抛物线 y= ax2+bx+c 中，当 x=1 时，y= 当 x=-1 时 y= ,经常
根据对应的函数值判考 a+b+c 和 a-b+c 的符号】
【重点考点例析】
考点一：二次函数图象上点的坐标特点
例 1 （2015•常州）已知二次函数 y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量 x 分别取 2 、3、0 时，对应的函数
值分别：y1，y2，y3，，则 y1，y2，y3 的大小关系正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
对应训练
1．（2015•衢州）已知二次函数 y= 1
2
x2-7x+15
2
，若自变量 x 分别取 x1，x2，x3，且 0＜x1＜x2＜x3，则对
应的函数值 y1，y2，y3 的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
2．解：∵二次函数 y= 1
2
x2-7x+15
2
，
∴此函数的对称轴为：x=
2
b
a
= 7 712 ( )2
，
∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，
∴对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
考点二：二次函数的图象和性质
例 2 （2015•咸宁）对于二次函数 y=x2-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与 x 轴有两个公共点；
②如果当 x≤1 时 y 随 x 的增大而减小，则 m=1；
③如果将它的图象向左平移 3 个单位后过原点，则 m=-1；
④如果当 x=4 时的函数值与 x=2008 时的函数值相等，则当 x=2012 时的函数值为-3．
其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图
象与几何变换；抛物线与 x 轴的交点．
对应训练
2．（2015•河北）如图，抛物线 y1=a（x+2）2-3 与 y2= 1
2
（x-3）2+1 交于点 A（1，3），过点 A 作 x 轴的平
行线，分别交两条抛物线于点 B，C．则以下结论：
①无论 x 取何值，y2 的值总是正数；②a=1；③当 x=0 时，y2-y1=4；④2AB=3AC；
其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
1．解：①∵抛物线 y2= 1
2
（x-3）2+1 开口向上，顶点坐标在 x 轴的上方，∴无论 x 取何值，y2 的值总是
正数，故本小题正确；
②把 A（1，3）代入，抛物线 y1=a（x+2）2-3 得，3=a（1+2）2-3，解得 a= 2
3
，故本小题错误；
③由两函数图象可知，抛物线 y1=a（x+2）2-3 过原点，当 x=0 时，y2= 1
2
（0-3）2+1=11
2
，故 y2-y1=11
2
，
故本小题错误；
④∵物线 y1=a（x+2）2-3 与 y2= 1
2
（x-3）2+1 交于点 A（1，3），
∴y1 的对称轴为 x=-2，y2 的对称轴为 x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本小题正确．
故选 D．
考点三：抛物线的特征与 a、b、c 的关系
例 3 （2015•玉林）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为 x=1，有如下结论：
①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=2，
则正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
思路分析：由抛物线与 y 轴的交点在 1 的上方，得到 c 大于 1，故选项①错误；由抛物线的对称轴为 x=1，
利用对称轴公式得到关于 a 与 b 的关系，整理得到 2a+b=0，选项②正确；由抛物线与 x 轴的交点有两个，
得到根的判别式大于 0，整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中 y=0，得到关于 x 的一元二次方程，
利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的 a 与 b 的关系式代入可得出两根之和为 2，选项④正确，
即可得到正确的选项．
解：由抛物线与 y 轴的交点位置得到：c＞1，选项①错误；
∵抛物线的对称轴为 x=
2
b
a
=1，∴2a+b=0，选项②正确；
由抛物线与 x 轴有两个交点，得到 b2-4ac＞0，即 b2＞4ac，选项③错误；
令抛物线解析式中 y=0，得到 ax2+bx+c=0，
∵方程的两根为 x1，x2，且
2
b
a
=1，及 b
a
=2，
∴x1+x2= b
a
=2，选项④正确，
综上，正确的结论有②④．
故选 C
点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数 a 决定抛物线的开口方
向，当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决
定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴
在 y 轴右．（简称：左同右异）③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于（0，c）．
对应训练
3．（2015•重庆）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为 x= 1
2
．下列结论中，正确的
是（ ）
A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b
3．D
3．解：A、∵开口向上，
∴a＞0，
∵与 y 轴交与负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴在 y 轴左侧，
∴
2
b
a
＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
B、∵对称轴：x=
2
b
a
= 1
2
，
∴a=b，
故本选项错误；
C、当 x=1 时，a+b+c=2b+c＜0，
故本选项错误；
D、∵对称轴为 x= 1
2
，与 x 轴的一个交点的取值范围为 x1＞1，
∴与 x 轴的另一个交点的取值范围为 x2＜-2，
∴当 x=-2 时，4a-2b+c＜0，
即 4a+c＜2b，
故本选项正确．
故选 D．
考点四：抛物线的平移
例 4 （2015•桂林）如图，把抛物线 y=x2 沿直线 y=x 平移 2 个单位后，其顶点在直线上的 A 处，则平
移后的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1
思路分析：首先根据 A 点所在位置设出 A 点坐标为（m，m）再根据 AO= 2 ，利用勾股定理求出 m 的值，
然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．
解：∵A 在直线 y=x 上，
∴设 A（m，m），
∵OA= 2 ，
∴m2+m2=（ 2 ）2，
解得：m=±1（m=-1 舍去），
m=1，
∴A（1，1），
∴抛物线解析式为：y=（x-1）2+1，
故选：C．
点评：此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出 A 点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右
减，上加下减．
对应训练
4．（2015•南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数 y=x2+2x-3
的图象的有 （填写所有正确选项的序号）．
4．解：原式可化为：y=（x+1）2-4，
由函数图象平移的法则可知，将函数 y=x2 的图象先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位即可得到函数
y=（x+1）2-4，的图象，故①正确；
函数 y=（x+1）2-4 的图象开口向上，函数 y=-x2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；
将 y=（x-1）2+2 的图象向左平移 2 个单位，再向下平移 6 个单位即可得到函数 y=（x+1）2-4 的图象，故
③正确．
故答案为：①③．
【聚焦山东中考】
1．（2015•泰安）二次函数 y=a（x+m）2+n 的图象如图，则一次函数 y=mx+n 的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
2．（2015•济南）如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确
的是（ ）
A．y 的最大值小于 0 B．当 x=0 时，y 的值大于 1
C．当 x=-1 时，y 的值大于 1 D．当 x=-3 时，y 的值小于 0
2．D
2．解：A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以 y 的最大值大于 1，不小于 0；故本选项
错误；
B、由图象知，当 x=0 时，y 的值就是函数图象与 y 轴的交点，而图象与 y 轴的交点在（1，1）点的左边，
故 y＜1；故本选项错误；
C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边 y 随 x 的增大而增大，∵-1＜1，∴x=-1 时，y 的值小于 x=-1
时，y 的值 1，即当 x=-1 时，y 的值小于 1；故本选项错误；
D、当 x=-3 时，函数图象上的点在点（-2，-1）的左边，所以 y 的值小于 0；故本选项正确．
故选 D．
3．（2015•菏泽）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 y=bx+c 和反比例
函数 ay x
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．C
3．解：∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴 x=
2
b
a
＜0，
∴b＜0，
∵二次函数图象经过坐标原点，
∴c=0，
∴一次函数 y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数 ay x
位于第二四象限，
纵观各选项，只有 C 选项符合．
故选 C．
4．（2015•泰安）设 A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线 y=-（x+1）2+a 上的三点，则 y1，y2，
y3 的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
4．A
4．解：∵函数的解析式是 y=-（x+1）2+a，如右图，
∴对称轴是 x=-1，
∴点 A 关于对称轴的点 A′是（0，y1），
那么点 A′、B、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边 y 随 x 的增大而减小，
于是 y1＞y2＞y3．
故选 A．
5．（2012•烟台）已知二次函数 y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向
下；②其图象的对称轴为直线 x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小．则
其中说法正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．A
5．解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；
②图象的对称轴为直线 x=3，故本小题错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；
④当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小，正确；
综上所述，说法正确的有④共 1 个．
故选 A．
6．（2012•日照）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；
③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6．解：由二次函数图象与 x 轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，选项①正确；
又对称轴为直线 x=1，即
2
b
a
=1，
可得 2a+b=0（i），选项②错误；
∵-2 对应的函数值为负数，
∴当 x=-2 时，y=4a-2b+c＜0，选项③错误；
∵-1 对应的函数值为 0，
∴当 x=-1 时，y=a-b+c=0（ii），
联立（i）（ii）可得：b=-2a，c=-3a，
∴a：b：c=a：（-2a）：（-3a）=-1：2：3，选项④正确，
则正确的选项有：①④．
故选 D．
7．（2015 泰安）将抛物线 y=3x2 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为
（ ）
A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x-2）2+3 C．y=3（x+2）2-3 D．y=3（x-2）2-3
7．A
8．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款
燃气灶旋转位置从 0 度到 90 度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为 0 度，旋转角度越大，燃气流
量越大，燃气开到最大时，旋转角度为 90 度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件
下，选择燃气灶旋钮的 5 个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故
选择旋钮角度 x 度的范围是 18≤x≤90），记录相关数据得到下表：
旋钮角度（度） 20 50 70 80 90
所用燃气量（升） 73 67 83 97 115
（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种
函数能表示所用燃气量 y 升与旋钮角度 x 度的变化规律？说明确定是这
种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？
（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节
省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气 10 立方米，求该家庭以前每
月的平均燃气量．
8．解：（1）若设 y=kx+b（k≠0），
由 73 20
67 50
k b
k b
， 解得
1
5
77
k
b
，
所以 y= 1
5
x+77，把 x=70 代入得 y=65≠83，所以不符合；
若设 ky x
（k≠0），由 73=
20
k ，解得 k=1460，
所以 y=1460
x
，把 x=50 代入得 y=29.2≠67，所以不符合；
若设 y=ax2+bx+c，
则由
73 400 20
67 2500 50
83 4900 70
a b c
a b c
a b c
， 解得
1 50
8 5
97
a
b
c
，
所以 y= 1
50 x2- 8
5 x+97（18≤x≤90），
把 x=80 代入得 y=97，把 x=90 代入得 y=115，符合题意．
所以二次函数能表示所用燃气量 y 升与旋钮角度 x 度的变化规律；
（2）由（1）得：y= 1
50 x2- 8
5 x+97= 1
50
（x-40）2+65，
所以当 x=40 时，y 取得最小值 65．
即当旋钮角度为 40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为 65 升；
（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度 40 度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气 115-65=50
（升）
设该家庭以前每月平均用气量为 a 立方米，则由题意得：
50
115 a=10，
解得 a=23（立方米），
即该家庭以前每月平均用气量为 23 立方米．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•白银）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则函数值 y＜0 时 x 的取值范
围是（ ）
A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1 或 x＞3
2．（2015•兰州）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）
有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3
2．解：根据题意得：y=|ax2+bx+c|的图象如右图：
所以若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，
则 k＞3，
3．（2015•德阳）设二次函数 y=x2+bx+c，当 x≤1 时，总有 y≥0，当
1≤x≤3 时，总有 y≤0，那么 c 的取值范围是（ ）
A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3
3．解：∵当 x≤1 时，总有 y≥0，当 1≤x≤3 时，总有 y≤0，
∴函数图象过（1，0）点，即 1+b+c=0①，
∵当 1≤x≤3 时，总有 y≤0，
∴当 x=3 时，y=9+3b+c≤0②，
①②联立解得：c≥3，
4．（2015•北海）已知二次函数 y=x2-4x+5 的顶点坐标为（ ）
A．（-2，-1） B．（2，1） C．（2，-1） D．（-2，1）
5．（2012•广元）若二次函数 y=ax2+bx+a2-2（a、b 为常数）的图象如图，则 a
的值为（ ）
A．1 B． 2 C．- 2 D．-2
1．（2015•西宁）如同，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）
两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（ ）
A．当 x=0 时，y 的值大于 1 B．当 x=3 时，y 的值小于 0
C．当 x=1 时，y 的值大于 1 D．y 的最大值小于 0
6．（2015•巴中）对于二次函数 y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小
C．当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小 D．图象的对称轴是直线 x=-1
6．解：二次函数 y=2（x+1）（x-3）可化为 y=2（x-1）2-8 的形式，
A、∵此二次函数中 a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；
B、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为 x=1，∴当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，
故本选项错误；
C、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为 x=1，∴当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，
故本选项正确；
D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为 x=1，故本选项错误．
7．（2015•天门）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对
于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（ ）
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
7．解：根据图象可得：a＞0，c＜0，
对称轴：
2
bx a
＞0，
①∵它与 x 轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），
∴对称轴是 x=1，
∴
2
b
a
=1，
∴b+2a=0，
故①错误；
②∵a＞0，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，故②错误；
③∵a-b+c=0，
∴c=b-a，
∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a）=2b-3a，
又由①得 b=-2a，
∴a-2b+4c=-7a＜0，
故此选项正确；
④根据图示知，当 x=4 时，y＞0，
∴16a+4b+c＞0，
由①知，b=-2a，
∴8a+c＞0；
故④正确；
故正确为：③④两个．
故选：B．
8．（2015•乐山）二次函数 y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设 t=a+b+1，
则 t 值的变化范围是（ ）
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．-1＜t＜1
8．B
8．解：∵二次函数 y=ax2+bx+1 的顶点在第一象限，
且经过点（-1，0），
∴易得：a-b+1=0，a＜0，b＞0，
由 a=b-1＜0 得到 b＜1，结合上面 b＞0，所以 0＜b＜1①，
由 b=a+1＞0 得到 a＞-1，结合上面 a＜0，所以-1＜a＜0②，
∴由①②得：-1＜a+b＜1，且 c=1，
得到 0＜a+b+1＜2，
∴0＜t＜2．
故选：B．
9．（2015•扬州）将抛物线 y=x2+1 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，那么所得抛物线的函数关
系式是（ ）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2-2 C．y=（x-2）2+2 D．y=（x-2）2-2
10．（2015•宿迁）在平面直角坐标系中，若将抛物线 y=2x2-4x+3 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2
个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（-2，3） B．（-1，4） C．（1，4） D．（4，3）
11．（2015•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2-x-6 向上（下）或向左（右）平移 m 个单位，使平
移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
11．解：当 x=0 时，y=-6，故函数与 y 轴交于 C（0，-6），
当 y=0 时，x2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，
解得 x=-2 或 x=3，
即 A（-2，0），B（3，0）；
由图可知，函数图象至少向右平移 2 个单位恰好过原点，
故|m|的最小值为 2．
故选 B．
二、填空题
12．（2015•玉林）二次函数 y=-（x-2）2+ 9
4
的图象与 x 轴围成的封闭区域
内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有 个（提示：必
要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．
12．解：∵二次项系数为-1，
∴函数图象开口向下，
顶点坐标为（2， 9
4
），
当 y=0 时，-（x-2）2+ 9
4 =0，
解得 x1= 1
2
，得 x2= 7
2
．
可画出草图为：（右图）
图象与 x 轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有 7 个，为（2，0），（2，1），（2，
2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．
13．（2015•长春）在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=a（x-3）2+k 与 y 轴
的交点，点 B 是这条抛物线上的另一点，且 AB∥x 轴，则以 AB 为边的等边
三角形 ABC 的周长为 ．
13．18
13．解：∵抛物线 y=a（x-3）2+k 的对称轴为 x=3，且 AB∥x 轴，
∴AB=2×3=6，
∴等边△ABC 的周长=3×6=18．
故答案为：18．
14．（2012•孝感）二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）图象的对称轴是直线 x=1，其图象的一部
分如图所示．对于下列说法：
①abc＜0； ②a-b+c＜0； ③3a+c＜0； ④当-1＜x＜3 时，y＞0．
其中正确的是 （把正确的序号都填上）．
14．①②③
14．解：根据图象可得：a＜0，c＞0，
对称轴：x=
2
b
a
=1，
2
b
a =-1，
b=-2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
把 x=-1 代入函数关系式 y=ax2+bx+c 中得：y=a-b+c，
由图象可以看出当 x=-1 时，y＜0，
∴a-b+c＜0，故②正确；
∵b=-2a，
∴a-（-2a）+c＜0，
即：3a+c＜0，故③正确；
由图形可以直接看出④错误．
故答案为：①②③．
15．（2015•苏州）已知点 A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数 y=（x-1）2+1 的图象上，若 x1＞x2＞1，则
（填“＞”、“＜”或“=”）．
15．y1＞y2
15．解：由二次函数 y=（x-1）2+1 可，其对称轴为 x=1，
∵x1＞x2＞1，
∴两点均在对称轴的右侧，
∵此函数图象开口向上，
∴在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大，
∵x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
16．（2015•成都）有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3 的卡片，它们除数字不同外其余全部相
同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为 a，则使关于 x 的一元二次方程 x2-2
（a-1）x+a（a-3）=0 有两个不相等的实数根，且以 x 为自变量的二次函数 y=x2-（a2+1）x-a+2 的图象不经
过点（1，0）的概率是 ．
16． 3
7
16．解：∵x2-2（a-1）x+a（a-3）=0 有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴[-2（a-1）]2-4a（a-3）＞0，
∴a＞-1，
将（1，0）代入 y=x2-（a2+1）x-a+2 得，a2+a-2=0，
解得（a-1）（a+2）=0，
a1=1，a2=-2．
可见，符合要求的点为 0，2，3．
∴P=3 7 ．
故答案为 3
7
．
17．（2015•上海）将抛物线 y=x2+x 向下平移 2 个单位，所得抛物线的表达式是 ．
18 ．（ 2015• 宁 波 ） 把 二 次 函 数 y= （ x-1 ） 2+2 的 图 象 绕 原 点 旋 转 180° 后 得 到 的 图 象 的 解 析 式
为 ．
18．y=-（x+1）2-2
18．解：二次函数 y=（x-1）2+2 顶点坐标为（1，2），
绕原点旋转 180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），
所以，旋转后的新函数图象的解析式为 y=-（x+1）2-2．
故答案为：y=-（x+1）2-2．
2．（2015•贵港）若直线 y=m（m 为常数）与函数 y= 的图象恒有三个不同的交点，则常数
m 的取值范围是 0＜m＜2 ．
考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象。 810360
专题： 图表型。
分析：
首先作出分段函数 y= 的图象，根据函数的图象即可确定 m 的取值范围．
解答：
解：分段函数 y= 的图象如图：
故要使直线 y=m（m 为常数）与函数 y= 的图象恒有三个不同的交点，常数 m 的取
值范围为 0＜m＜2，
故答案为：0＜m＜2．
点评： 本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采
用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一．
19．（2015•广安）如图，把抛物线 y= 1
2 x2 平移得到抛物线 m，抛物线 m 经
过点 A（-6，0）和原点 O（0，0），它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y= 1
2 x2
交于点 Q，则图中阴影部分的面积为 ．
19． 27
2
19．解：如图，过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M，
∵抛物线平移后经过原点 O 和点 A（-6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为 x=-3，
得出二次函数解析式为：y= 1
2
（x+3）2+h，
将（-6，0）代入得出：
0= 1
2
（-6+3）2+h，
解得：h= 9
2
，
∴点 P 的坐标是（-3， 9
2
），
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形 NPMO 的面积，
∴S=|-3|×| 9
2
|= 27
2
．
故答案为： 27
2
．
三、解答题
20．（2015•柳州）已知：抛物线 y= 3
4
（x-1）2-3．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
（2）函数 y 有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；
（3）设抛物线与 y 轴的交点为 P，与 x 轴的交点为 Q，求直线 PQ 的函数解析式．
3．（2015•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特
征等方面．
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
（1）写出奇数 a 用整数 n 表示的式子；
（2）写出有理数 b 用整数 m 和整数 n 表示的式子；
（3）函数的研究中，应关注 y 随 x 变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了
说明函数的数值规律）．
下面对函数 y=x2 的某种数值变化规律进行初步研究：
xi 0 1 2 3 4 5 …
yi 0 1 4 9 16 25 …
yi+1﹣yi 1 3 5 7 9 11 …
由表看出，当 x 的取值从 0 开始每增加 1 个单位时，y 的值依次增加 1，3，5…
请回答：
①当 x 的取值从 0 开始每增加 个单位时，y 的值变化规律是什么？
②当 x 的取值从 0 开始每增加 个单位时，y 的值变化规律是什么？
考点： 二次函数的性质；实数。 810360
专题： 规律型。
分析： （1）n 是任意整数，偶数是能被 2 整除的数，则偶数可以表示为 2n，因为偶数与奇数相差 1，所
以奇数可以表示为 2n+1．
（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案；
（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出 y 随着 x 的变化而变化的规律；
解答： 解：（1）n 是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1；
（2）有理数 b= （n≠0）；
（3）①当 x=0 时，y=0，
当 x= 时，y= ，
当 x=1 时，y=1，
当 x= 时，y= ．
故当 x 的取值从 0 开始每增加 个单位时，y 的值依次增加 、 、 …
②当 x=0 时，y=0，
当 x= 时，y= ，
当 x= 时，y= ，
当 x= 时，y= ，
故当 x 的取值从 0 开始每增加 个单位时，y 的值依次增加 、 、 …
点评： 本题考查了二次函数的性质及实数的性质，解题的关键是发现规律并利用规律解题．
第十五讲 二次函数的综合题及应用
【重点考点例析】
考点一：确定二次函数关系式
例 1 （2015•牡丹江）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 过点 A（1，0），
C（0，-3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点 P 使△ABP 的面积为 10，请直接写出点 P 的坐
标．
思路分析：（1）利用待定系数法把 A（1，0），C（0，-3）代入）二次
函数 y=x2+bx+c 中，即可算出 b、c 的值，进而得到函数解析式是 y=x2+2x-3；
（2）首先求出 A、B 两点坐标，再算出 AB 的长，再设 P（m，n），根据
△ABP 的面积为 10 可以计算出 n 的值，然后再利用二次函数解析式计算
出 m 的值即可得到 P 点坐标．
解：（1）∵二次函数 y=x2+bx+c 过点 A（1，0），C（0，-3），
∴ 1 0
3
b c
c
， 解得 2
3
b
c
，
∴二次函数的解析式为 y=x2+2x-3；
（2）∵当 y=0 时，x2+2x-3=0，
解得：x1=-3，x2=1；
∴A（1，0），B（-3，0），
∴AB=4，
设 P（m，n），
∵△ABP 的面积为 10，
∴ 1
2
AB•|n|=10，
解得：n=±5，
当 n=5 时，m2+2m-3=5，
解得：m=-4 或 2，
∴P（-4，5）（2，5）；
当 n=-5 时，m2+2m-3=-5，
方程无解，
故 P（-4，5）（2，5）；
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的
点必能满足解析式．
对应训练
1．（2015•湖州）已知抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
考点二：二次函数与 x 轴的交点问题
例 2 （2015•苏州）已知二次函数 y=x2-3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交
点为（1，0），则关于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 的两实数根是（ ）
A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3
对应训练
2．（2013•株洲）二次函数 y=2x2+mx+8 的图象如图所示，则 m 的值是（ ）
A．-8 B．8
C．±8 D．6
考点三：二次函数的实际应用
例 3 （2015•营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收
入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调查发现，该
产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润
为 w 元．
（1）求 w 与 x 之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元，该农户想要每天获得 150 元的销售利润，
销售价应定为每千克多少元？
思路分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单 x，列出函数关系式；
（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；
（3）把 y=150 代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求 x，根据 x 的取值范围求 x 的值．
解：（1）由题意得出：
w=（x-20）∙y
=（x-20）（-2x+80）
=-2x2+120x-1600，
故 w 与 x 的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600；
（2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，
∵-2＜0，
∴当 x=30 时，w 有最大值．w 最大值为 200．
答：该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元．
（3）当 w=150 时，可得方程-2（x-30）2+200=150．
解得 x^=25，x2=35．
∵35＞28，
∴x2=35 不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克 25 元．
点评：本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．
对应训练
3．（2015•武汉）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不
同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度 x/℃ … -4 -2 0 2 4 4.5 …
植物每天高度增长量 y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 …
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度 x 的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数
和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，那么实验室的温度
x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．
3．解：（1）选择二次函数，设 y=ax2+bx+c（a≠0），
∵x=-2 时，y=49，
x=0 时，y=49，
x=2 时，y=41，
∴
4 2 49
49
4 2 41
a b c
c
a b c
， 解得
1
2
49
a
b
c
，
所以，y 关于 x 的函数关系式为 y=-x2-2x+49；
不选另外两个函数的理由：
∵点（0，49）不可能在反比例函数图象上，
∴y 不是 x 的反比例函数，
∵点（-4，41）（-2，49）（2，41）不在同一直线上，
∴y 不是 x 的一次函数；
（2）由（1）得，y=-x2-2x+49=-（x+1）2+50，
∵a=-1＜0，
∴当 x=-1 时，y 有最大值为 50，
即当温度为-1℃时，这种作物每天高度增长量最大；
（3）∵10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，
∴平均每天该植物高度增长量超过 25mm，
当 y=25 时，-x2-2x+49=25，
整理得，x2+2x-24=0，
解得 x1=-6，x2=4，
∴在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，实验室的温度应保持在-6＜x＜4℃．
考点四：二次函数综合性题目
例 4 （2015•自贡）如图，已知抛物线 y=ax2+bx-2（a≠0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，直
线 BD 交抛物线于点 D，并且 D（2，3），tan∠DBA= 1
2
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点 M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点 B、
M、C、A，求四边形 BMCA 面积的最大值；
（3）在（2）中四边形 BMCA 面积最大的条件下，过点 M 作直线平
行于 y 轴，在这条直线上是否存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径
且与直线 AC 相切的圆？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，
请说明理由．
思路分析：（1）如答图 1 所示，利用已知条件求出点 B 的坐标，
然后用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如答图 1 所示，首先求出四边形 BMCA 面积的表达式，然后
利用二次函数的性质求出其最大值；
（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图 2
所示，首先求出直线 AC 与直线 x=2 的交点 F 的坐标，从而确定了 Rt
△AGF 的各个边长；然后证明 Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例
关系列出方程，求出点 Q 的坐标．
解：（1）如答图 1 所示，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，则 DE=3，OE=2．
∵tan∠DBA= DE
BE
= 1
2
，
∴BE=6，
∴OB=BE-OE=4，
∴B（-4，0）．
∵点 B（-4，0）、D（2，3）在抛物线 y=ax2+bx-2（a≠0）上，
∴ 16 4 2 0
4 2 2 3
a b
a b
， 解得
1
2
3
2
a
b
，
∴抛物线的解析式为：y= 1
2
x2+ 3
2
x-2．
（2）抛物线的解析式为：y= 1
2
x2+ 3
2
x-2，
令 x=0，得 y=-2，∴C（0，-2），
令 y=0，得 x=-4 或 1，∴A（1，0）．
设点 M 坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），
如答图 1 所示，过点 M 作 MF⊥x 轴于点 F，则 MF=-n，OF=-m，BF=4+m．
S 四边形 BMCA=S△BMF+S 梯形 MFOC+S△AOC
= 1
2
BF•MF+ 1
2
（MF+OC）•OF+ 1
2
OA•OC
= 1
2
（4+m）×（-n）+ 1
2
（-n+2）×（-m）+ 1
2
×1×2
=-2n-m+1
∵点 M（m，n）在抛物线 y= 1
2
x2+ 3
2
x-2 上，
∴n= 1
2
m2+ 3
2
m-2，代入上式得：
S 四边形 BMCA=-m2-4m+5=-（m+2）2+9，
∴当 m=-2 时，四边形 BMCA 面积有最大值，最大值为 9．
（3）假设存在这样的⊙Q．
如答图 2 所示，设直线 x=-2 与 x 轴交于点 G，与直线 AC 交于点 F．
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将 A（1，0）、C（0，-2）代入得：
0
2
k b
b
，
解得：k=2，b=-2，
∴直线 AC 解析式为：y=2x-2，
令 x=-2，得 y=-6，∴F（-2，-6），GF=6．
在 Rt△AGF 中，由勾股定理得：AF= 2 2AG GF = 2 23 6 3 5 ．
设 Q（-2，n），则在 Rt△AGF 中，由勾股定理得：
OQ= 2 2OG QF = 2 4n ．
设⊙Q 与直线 AC 相切于点 E，则 QE=OQ= 2 4n ．
在 Rt△AGF 与 Rt△QEF 中，
∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，
∴Rt△AGF∽Rt△QEF，
∴ AF AG
QF QE
，即 3 5
6 n
=
2
3
4n
，
化简得：n2-3n-4=0，解得 n=4 或 n=-1．
∴存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆，点 Q
的坐标为（-2，4）或（-2，-1）．
点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、
一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、
圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问
面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知
条件，求出符合条件的点 Q 坐标．
对应训练
4．（2015•张家界）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点 C（0，1），顶点为 Q（2，3），点 D
在 x 轴正半轴上，且 OD=OC．
（1）求直线 CD 的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45°所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P 点和 F 点移动过
程中，△PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
4．解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D 点坐标为（1， 0）．
设直线 CD 的解析式为 y=kx+b（k≠0），
将 C（0，1），D（1，0）代入得： 1
0
b
k b
，
解得：b=1，k=-1，
∴直线 CD 的解析式为：y=-x+1．
（2）设抛物线的解析式为 y=a（x-2）2+3，
将 C（0，1）代入得：1=a×（-2）2+3，解得 a=- 1
2
．
∴y=- 1
2
（x-2）2+3=- 1
2
x2+2x+1．
（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，
∵OC=OD，且 OC⊥OD，∴△OCD 为等腰直角三角形，∠ODC=45°，
∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x 轴，则点 C、E 关于对称轴（直线 x=2）对称，
∴点 E 的坐标为（4，1）．
如答图①所示，设对称轴（直线 x=2）与 CE 交于点 F，则 F（2，1），
∴ME=CM=QM=2，∴△QME 与△QMC 均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．
又∵△OCD 为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，
∴△CEQ∽△CDO．
（4）存在．
如答图②所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C′，作点 C 关于 x 轴的对称点 C″，连接 C′C″，交 OD 于
点 F，交 QE 于点 P，则△PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF 的周长等
于线段 C′C″的长度．
（证明如下：不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F′，在线段 QE 上取异于点 P 的任一点 P′，连接 F′C″，
F′P′，P′C′．
由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；
而 F′C″+F′P′+P′C′是点 C′，C″之间的折线段，
由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，
即△P′CF′的周长大于△PCE 的周长．）
如答图③所示，连接 C′E，
∵C，C′关于直线 QE 对称，△QCE 为等腰直角三角形，
∴△QC′E 为等腰直角三角形，
∴△CEC′为等腰直角三角形，
∴点 C′的坐标为（4，5）；
∵C，C″关于 x 轴对称，∴点 C″的坐标为（-1，0）．
过点 C′作 C′N⊥y 轴于点 N，则 NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在 Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″= 2 2 2 24 6 2 13NC NC ．
综上所述，在 P 点和 F 点移动过程中，△PCF 的周长存在最小值，最小值为 2 13 ．
【聚焦山东中考】
1．（2015•淄博）如图，Rt△OAB 的顶点 A（-2，4）在抛物线 y=ax2 上，将
Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到△OCD，边 CD 与该抛物线交于点 P，
则点 P 的坐标为（ ）
A．（ 2 ， 2 ） B．（2，2） C．（ 2 ，2） D．（2， 2 ）
2．（2015•滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长
方体形．其中，抽屉底面周长为 180cm，高为 20cm．请通过计算说明，当底
面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂
忽略不计）．
2．解：已知抽屉底面宽为 x cm，则底面长为 180÷2-x=（90-x）cm．
由题意得：y=x（90-x）×20
=-20（x2-90x）
=-20（x-45）2+40500
当 x=45 时，y 有最大值，最大值为 40500．
答：当抽屉底面宽为 45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为 40500cm3．
3．（2015•日照）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车 100 辆．公司在经营中发现每辆车的月租金 x（元）
与每月租出的车辆数（y）有如下关系：
x 3O00 3200 3500 4000
y 100 96 90 80
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数 y（辆）
与每辆车的月租金 x（元）之间的关系式．
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元．用含 x（x≥3000）
的代数式填表：
租出的车辆数 未租出的车辆数
租出每辆车的月收益 所有未租出的车辆每月的维护费
（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公
司的最大月收益是多少元．
3．解：（1）由表格数据可知 y 与 x 是一次函数关系，
设其解析式为 y=kx+b．
由题： 3000 100
3200 96
k b
k b
，解之得：
1
50
160
k
b
，
∴y 与 x 间的函数关系是 y=- 1
50
x+160．
（2）如下表：
租出的车辆数 - 1
50
x+160 未租出的车辆数 1
50
x-60
租出的车每辆的月收益 x-150 所有未租出的车辆每月的维护费 x-3000
（3）设租赁公司获得的月收益为 W 元，依题意可得：
W=（- 1
50
x+160）（x-150）-（x-3000）
=（- 1
50
x2+163x-24000）-（x-3000）
=- 1
50
x2+162x-21000
=- 1
50
（x-4050）2+30705
当 x=4050 时，Wmax=307050，
即：当每辆车的月租金为 4050 元时，公司获得最大月收益 307050 元．
故答案为：- 1
50
x+160， 1
50
x-60．
4．（2015•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x
轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与 y 轴交于 C（0，
-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接 PO、PC，并把△POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP′C，那么是否存在
点 P，使四边形 POP′C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，
请说明理由．
（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐
标和四边形 ABPC 的最大面积．
4．解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得 9 3 0
-3
b c
c
，解得： -2
-3
b
c
；
所以二次函数的表达式为：y=x2-2x-3。
（2）存在点 P，使四边形 POP′C 为菱形；
如图，设 P 点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交 CO 于 E
若四边形 POP′C 是菱形，则有 PC=PO；
连接 PP′，则 PE⊥CO 于 E，
∴OE=EC= 3
2
， ∴y=흐 3
2
； ∴x2-2x-3=흐 3
2
解得 x1= 2 10
2
，x2= 2 10
2
（不合题意，舍去）
∴P 点的坐标为（ 2 10
2
，흐 3
2
）。
（3）过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（x，x2-2x-3），
易得，直线 BC 的解析式为 y=x-3
则 Q 点的坐标为（x，x-3）；
S 四边形 ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
= 1
2
AB•OC+ 1
2
QP•BF+ 1
2
QP•OF
= 1
2 +3 4 1
2 흐 3+2 [ 3
=흐 3
2 흐 3
2 +2 75
8
当 3
2
时，四边形 ABPC 的面积最大
此时 P 点的坐标为[ 3
2 흐 15
4 ，四边形 ABPC 的面积的最大值为 75
8
．
5．（2015•潍坊）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修
建一个如图所示的休闲文化广场，在 Rt△ABC 内修建矩形水池 DEFG，
使定点 D，E 在斜边 AB 上，F，G 分别在直角边
BC，AC 上；又分别以 AB，BC，AC 为直径作半圆，它们交出两弯新月
（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其
中 AB=24 3 米，∠BAC=60°，设 EF=x 米，DE=y 米．
（1）求 y 与 x 之间的函数解析式；
（2）当 x 为何值时，矩形 DEFG 的面积最大？最大面积是多少？
（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当 x 为何值时，矩形 DEFG 的面积及等于两弯新月面积的
1
3
？
5．解：（1）在 Rt△ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=24 3 米，∠BAC=60°，
∴AC= 1
2
AB=12 3 米，BC= 3 AC=36 米，∠ABC=30°，
∴AD=
tan 60
DG
= 3
3
x，BE=
tan30
EF
= 3 x，
∵AD+DE+BE=AB，
∴ 3
3
x+y+ 3 x=24 3 ，
∴y=24 3 - 3
3
x- 3 x=24 3 - 4 3
3
x，
即 y 与 x 之间的函数解析式为 y=24 3 - 4 3
3
x（0＜x＜18）；
（2）∵y=24 3 - 4 3
3
x，∴矩形 DEFG 的面积=xy=x（24 3 - 4 3
3
x）
=- 4 3
3
x2+24 3 x=- 4 3
3
（x-9）2+108 3 ，
∴当 x=9 米时，矩形 DEFG 的面积最大，最大面积是 108 3 平方米；
（3）记 AC、BC、AB 为直径的半圆面积分别为 S1、S2、S3，两弯新月面积为 S，
则 S1= 1
8
πAC2，S2= 1
8
πBC2，S3= 1
8
πAB2，
∵AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3，
∴S1+S2-S=S3-S△ABC，
∴S=S△ABC，
∴两弯新月的面积 S= 1
2
AC•BC= 1
2
×12 3 ×36=216 3 （平方米）．
如果矩形 DEFG 的面积及等于两弯新月面积的 1
3
，
那么- 4 3
3
（x-9）2+108 3 = 1
3
×216 3 ，
化简整理，得（x-9）2=27，
解得 x=9±3 3 ，符合题意．
所以当 x 为（9±3 3 ）米时，矩形 DEFG 的面积及等于两弯新月面积的 1
3
．
6．（2015•烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，二次函数 y=ax2+bx+c 的
图象经过点 A，B，与 x 轴分别交于点 E，F，且点 E 的坐标为（- 2
3
，0），以 0C 为直径作半圆，圆心为 D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：直线 BE 是⊙D 的切线；
（3）若直线 BE 与抛物线的对称轴交点为 P，M 是线段 CB 上的一个动点（点 M 与点 B，C 不重合），过点 M
作 MN∥BE 交 x 轴与点 N，连结 PM，PN，设 CM 的长为 t，△PMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写
出自变量 t 的取值范围．S 是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
6．解：（1）由题意，得 A（0，2），B（2，2），E 的坐标为（- 2
3
，0），
则
2
2 4 2
4 2- 09 3
c
a
a b c
，解得
9- 8
9
4
2
a
b
c
，
∴该二次函数的解析式为：y=- 9
8
x2+ 9
4
x+2；
（2）如图 1，过点 D 作 DG⊥BE 于点 G．
由题意，得
ED= 2
3
+1= 5
3
，EC=2+ 2
3
= 8
3
，BC=2，
∴BE= 64 49
=10
3
．
∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，
∴△EGD∽△ECB，
∴ DG DE
BC BE
，
∴DG=1．
∵⊙D 的半径是 1，且 DG⊥BE，
∴BE 是⊙D 的切线；
（3）如图 2，由题意，得
E（- 2
3
，0），B（2，2）．
设直线 BE 为 y=kx+h（k≠0）．则
2 2
2 03
k h
h
， 解得，
3
4
1
2
k
h
，
∴直线 BE 为：y= 3
4
x+ 1
2
．
∵直线 BE 与抛物线的对称轴交点为 P，对称轴直线为 x=1，
∴点 P 的纵坐标 y= 5
4
，即 P（1， 5
4
）．
∵MN∥BE，
∴∠MNC=∠BEC．
∵∠C=∠C=90°，
∴△MNC∽△BEC，
∴ CN MC
EC BC
，
∴
8 2
3
CN t ，则 CN= 4
3
t，
∴DN= 5
4
t-1，
∴S△PND= 1
2
DN•PD= 1
2
（ 4
3
t-1）• 5
4
= 5
6
t- 5
8
．
S△MNC= 1
2
CN•CM= 1
2
× 4
3
t•t= 2
3
t2．
S 梯形 PDCM= 1
2
（PD+CM）•CD= 1
2
•（ 5
4
+t）•1= 5
8
+ 1
2
t．
∵S=S△PND+S 梯形 PDCM-S△MNC=- 2
3 2+ 4
3
t（0＜t＜2）．
∵抛物线 S=- 2
3 2+ 4
3
t（0＜t＜2）的开口方向向下，
∴S 存在最大值．当 t=1 时，S 最大= 2
3
．
7．（2015•泰安）如图，抛物线 y= 1
2
x2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0，-4），与 x
轴交于点 A，B，且 B 点的坐标为（2，0）
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PE∥AC，交 BC 于 E，连接 CP，求
△PCE 面积的最大值．
（3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且△OMD 为等腰三角形，
求 M 点的坐标．
7．解：（1）把点 C（0，-4），B（2，0）分别代入 y= 1
2
x2+bx+c 中，
得 2
-4
1 2 2 02
c
b c
， 解得 1
-4
b
c
。
∴该抛物线的解析式为 y= 1
2
x2+x-4．
（2）令 y=0，即 1
2
x2+x-4=0，解得 x1=-4，x2=2，
∴A（-4，0），S△ABC= 1
2
AB•OC=12．
设 P 点坐标为（x，0），则 PB=2-x．
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△PBE∽△ABC，
∴ 2PBE
ABC
S ( )S
PB
AB
V
V
，即 2PBES 2( )12 6
xV ，
化简得：S△PBE= 1
3
（2-x）2．
S△PCE=S△PCB-S△PBE= 1
2
PB•OC-S△PBE= 1
2
×（2-x）×4- 1
3
（2-x）2
=흐 1
3
x2- 2
3
x+ 8
3
=흐 1
3
（x+1）2+3
∴当 x=-1 时，S△PCE 的最大值为 3．
（3）△OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：
（I）当 DM=DO 时，如答图①所示．
DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°，
∴∠ADM=90°，
∴M 点的坐标为（-2，-2）；
（II）当 MD=MO 时，如答图②所示．
过点 M 作 MN⊥OD 于点 N，则点 N 为 OD 的中点，
∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN 为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，
∴M 点的坐标为（-1，-3）；
（III）当 OD=OM 时，
∵△OAC 为等腰直角三角形，
∴点 O 到 AC 的距离为 2
2
×4=2 2 ，即 AC 上的点与点 O 之间的最小距离为 2 2 ．
∵2 2 ＞2，∴OD=OM 的情况不存在．
综上所述，点 M 的坐标为（-2，-2）或（-1，-3）．
8．（2015•威海）如图，在平面直角坐标系中，直线 y= 1
2
x+ 3
2
与直线 y=x 交于点 A，点 B 在直线 y= 1
2
x+
3
2
上，∠BOA=90°．抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A，O，B，顶点为点 E．
（1）求点 A，B 的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点 E 的坐标；
（3）设直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C，直线 BC 交抛物线于点 D，过点 E 作 FE∥x 轴，交直线 AB 于
点 F，连接 OD，CF，CF 交 x 轴于点 M．试判断 OD 与 CF 是否平行，并说明理由．
8．解：（1）由直线 y= 1
2
x+ 3
2
与直线 y=x 交于点 A，得
1 3
2 2
y x
y x
， 解得， 3
3
x
y
，
∴点 A 的坐标是（3，3）．
∵∠BOA=90°，
∴OB⊥OA，
∴直线 OB 的解析式为 y=-x．
又∵点 B 在直线 y= 1
2
x+ 3
2
上，
∴ 1 3
2 2
y x
y x
， 解得， 1
1
x
y
，
∴点 B 的坐标是（-1，1）．
综上所述，点 A、B 的坐标分别为（3，3），（-1，1）．
（2）由（1）知，点 A、B 的坐标分别为（3，3），（-1，1）．
∵抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A，O，B，
∴
9 3 3
0
- 1
a b c
c
a b c
， 解得
1
2
1
2
0
a
b
c
，
∴该抛物线的解析式为 y= 1
2
x2- 1
2
x，或 y= 1
2
（x- 1
2
）2- 1
8
．
∴顶点 E 的坐标是（ 1
2
，- 1
8
）；
（3）OD 与 CF 平行．理由如下：
由（2）知，抛物线的对称轴是 x= 1
2
．
∵直线 y=x 与抛物线的对称轴交于点 C，
∴C（ 1
2
， 1
2
）．
设直线 BC 的表达式为 y=kx+b（k≠0），把 B（-1，1），C（ 1
2
， 1
2
）代入，得
- 12
1 1
2 2
k b
k b
， 解得
1- 3
2
3
k
b
，
∴直线 BC 的解析式为 y=- 1
3
x+ 2
3
．
∵直线 BC 与抛物线交于点 B、D，
∴- 1
3
x+ 2
3
= 1
2
x2- 1
2
x，
解得，x1= 4
3
，x2=-1．
把 x1= 4
3
代入 y=- 1
3
x+ 2
3
，得 y1= 2
9
，
∴点 D 的坐标是（ 4
3
， 2
9
）．
如图，作 DN⊥x 轴于点 N．
则 tan∠DON= 1
6
DN
ON
．
∵FE∥x 轴，点 E 的坐标为（ 1
2
，- 1
8
）．
∴点 F 的纵坐标是- 1
8
．
把 y=- 1
8
代入 y= 1
2
x+ 3
2
，得 x=-13
4
，
∴点 F 的坐标是（-13
4
，- 1
8
），
∴EF= 1
2
+13
4
=15
8
．
∵CE= 1
2
+ 1
8
= 5
8
，
∴tan∠CFE= 1
6
CE
EF
，
∴∠CFE=∠DON．
又∵FE∥x 轴，
∴∠CMN=∠CFE，
∴∠CMN=∠DON，
∴OD∥CF，即 OD 与 CF 平行．
9．（2015•潍坊）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 关于直线 x=1 对称，与坐标轴
交与 A，B，C 三点，且 AB=4，点 D（2， 3
2
）在抛物线上，直线 l 是一次
函数 y=kx-2（k≠0）的图象，点 O 是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线 l 平分四边形 OBDC 的面积，求 k 的值；
（3）把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线与
直线 l 交于 M，N 两点，问在 y 轴正半轴上是否存在一定点 P，使得不论 k
取何值，直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称？若存在，求出 P 点坐标；若不
存在，请说明理由．
9．解：（1）因为抛物线关于直线 x=1 对称，AB=4，所以 A（-1，0），B（3，
0），
设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x-3），
∵点 D（2， 3
2
）在抛物线上，
∴ 3
2
=a×3×（-1），解得 a=흐 1
2
，
∴抛物线解析式为：y=흐 1
2
（x+1）（x-3）=흐 1
2
x2+x+ 3
2
．
（2）抛物线解析式为：y=흐 1
2
x2+x+ 3
2
，令 x=0，得 y= 3
2
，∴C（0， 3
2
），
∵D（2， 3
2
），∴CD∥OB，直线 CD 解析式为 y= 3
2
．
直线 l 解析式为 y=kx-2，令 y=0，得 x= 2
k
；令 y= 3
2
，得 x= 7
2k
；
如答图 1 所示，设直线 l 分别与 OB、CD 交于点 E、F，则
E（ 2
k
，0），F（ 7
2k
， 3
2
），
OE= 2
k
，BE=3- 2
k
，CF= 7
2k
，DF=2- 7
2k
．
∵直线 l 平分四边形 OBDC 的面积，
∴S 梯形 OEFC=S 梯形 FDBE，
∴ 1
2
（OE+CF）•OC= 1
2
（FD+BE）•OC，
∴OE+CF=FD+BE，即： 2
k
+ 7
2k
=（3- 2
k
）+（2- 7
2k
），
解方程得：k=11
5
，经检验 k=11
5
是原方程的解且符合题意，
∴k=11
5
．
（3）假设存在符合题意的点 P，其坐标为（0，t）．
抛物线解析式为：y=흐 1
2
x2+x+ 3
2
=흐 1
2
（x-1）2+2，
把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线解析式为：y=흐 1
2
x2．
依题意画出图形，如答图 2 所示，过点 M 作 MD⊥y 轴于点 D，NE⊥y 轴于点 E，
设 M（xm，ym），N（xn，yen），则 MD=-xm，PD=t-ym；NE=xn，PE=t-yen．
∵直线 PM 与 PN 关于 y 轴对称，∴∠MPD=∠NPE，
又∠MDP=∠NEP=90°，
∴Rt△PMD∽Rt△PNE，
∴ MD PD
NE PE
，即 m m
n n
x t y
x t y
� ，
∵点 M、N 在直线 y=kx-2 上，∴ym=kxm-2，yen=kxn-2，
代入①式化简得：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn ②
把 y=kx-2 代入 y=흐 1
2
x2．，整理得：x2+2kx-4=0，
∴xm+xn=-2k，xmxn=-4，代入②式解得：t=2，符合条件．
所以在 y 轴正半轴上存在一个定点 P（0，2），使得不论 k 取何值，直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•大庆）已知函数 y=x2+2x-3，当 x=m 时，y＜0，则 m 的值可能是（ ）
A．-4 B．0 C．2 D．3
2．（2015•南昌）若二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，
0），且 x1＜x2，图象上有一点 M（x0，y0）在 x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）
A．a＞0 B．b2-4ac≥0
C．x1＜x0＜x2 D．a（x0-x1）（x0-x2）＜0
3．（2015•湖州）如图，在 10×10 的网格中，每个小方格都是边长为 1 的
小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，
则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以 O
为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线 OB
的两个交点之间的距离为 3 2 ，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线
的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛
物线条数是（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
二、填空题
4．（2015•宿迁）若函数 y=mx2+2x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点，则
常数 m 的值是 ．
5．（2015•贵港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若动点 P 在抛物线
y=ax2 上，⊙P 恒过点 F（0，n），且与直线 y=-n 始终保持相切，则 n=
（用含 a 的代数式表示）．
6．（2013•锦州）二次函数 y= 2
3 2的图象如图，点 A0 位于坐标原点，点
A1，A2，A3…An 在 y 轴的正半轴上，点 B1，B2，B3…Bn 在二次函数位于第一象限
的图象上，点 C1，C2，C3…Cn 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形 A0B1A1C1，
四边形 A1B2A2C2，四边形 A2B3A3C3…四边形 An-1BnAnCn 都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A1=
∠A2B3A3…=∠An-1BnAn=60°，菱形 An-1BnAnCn 的周长为 ．
三、解答题
7．（2015•鞍山）某商场购进一批单价为 4 元的日用品．若按每件 5 元的价
格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）
与价格 x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
7．解：（1）由题意，可设 y=kx+b，
把（5，30000），（6，20000）代入得： 30000 5
20000 6
t b
t b
，
解得： 10000
80000
k
b
，
所以 y 与 x 之间的关系式为：y=-10000x+80000；
（2）设利润为 W，则 W=（x-4）（-10000x+80000）
=-10000（x-4）（x-8）
=-10000（x2-12x+32）
=-10000[（x-6）2-4]
=-10000（x-6）2+40000
所以当 x=6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元．
答：当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为 40000 元．
8．（2015•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为 20 元/个的计算机，其销售量 y（万个）与销售价格 x（元/
个）的变化如下表：
价格 x（元/个） … 30 40 50 60 …
销售量 y（万个） … 5 4 3 2 …
同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计 40 万元．
（1）观察并分析表中的 y 与 x 之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知
识写出 y（万个）与 x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润 z（万个）与销售价格 x（元/个）的函数解析式，销售价格
定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于 40 万元，请写出销售价格 x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量
尽可能大，销售价格应定为多少元？
8．解：（1）根据表格中数据可得出：y 与 x 是一次函数关系，
设解析式为：y=ax+b，
则 30 5
40 4
a b
a b
， 解得：
1
10
8
a
b
，
故函数解析式为：y=- 1
10
x+8；
（2）根据题意得出：
z=（x-20）y-40=（x-20）（- 1
10
x+8）-40=- 1
10
x2+10x-200=- 1
10
（x2-100x）-200=- 1
10
[（x-50）2-2500]-200=- 1
10
（x-50）
2+50，
故销售价格定为 50 元/个时净得利润最大，最大值是 50 万元．
（3）当公司要求净得利润为 40 万元时，即- 1
10
（x-50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．
如上图，通过观察函数 y=- 1
10
（x-50）2+50 的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于 40 万元，则销
售价格的取值范围为：40≤x≤60．
而 y 与 x 的函数关系式为：y=- 1
10
x+8，y 随 x 的增大而减少，
9．（2015•达州）今年，6 月 12 日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为 2 元的粽
子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题．
（1）小华的问题解答： ；
（2）小明的问题解答： ．
9．解：（1）设定价为 x 元，利润为 y 元，则销售量为：（500- 3
0.1
x ×10），
由题意得，y=（x-2）（500- 3
0.1
x ×10）
=-100x2+1000x-1600
=-100（x-5）2+900，
当 y=800 时，
-100（x-5）2+900=800，
解得：x=4 或 x=6，
∵售价不能超过进价的 240%，
∴x≤2×240%，
即 x≤4.8，
故 x=4，
即小华问题的解答为：当定价为 4 元时，能实现每天 800 元的销售利润；
（2）由（1）得 y=-100（x-5）2+900，
∵-100＜0，
∴函数图象开口向下，且对称轴为 x=5，
∵x≤4.8，
故当 x=4.8 时函数能取最大值，
即 ymax=-100（4.8-5）2+900=896．
故小明的问题简答为：800 元的销售利润不是最多，当定价为 4.8 元是，每天的销售利润最大．
故答案为：当定价为 4 元时，能实现每天 800 元的销售利润；800 元的销售利润不是最多，当定价为 4.8
元是，每天的销售利润最大．
10．（2015•黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部
售完．该公司的年产量为 6 千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润 y1（元）与国内销售量 x（千
件）的关系为：
y1= 15 90(0 2)
5 130(2 6)
x x
x x
，
若在国外销售，平均每件产品的利润 y2（元）与国外的销售数量 t（千件）的关系为
y2= 100(0 2)
5 110(2 6)
t
t t
。
（1）用 x 的代数式表示 t 为：t= ；当 0＜x≤4 时，y2 与 x 的函数关系为：y2= ；
当 时，y2=100；
（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w（千元）与国内销售数量 x（千件）的函数关系式，并指
出 x 的取值范围；
（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？
10．解：（1）由题意，得 x+t=6，
∴t=6-x；
∵y2= 100(0 2)
5 110(2 6)
t
t t
，
∴当 0＜x≤4 时，2≤6-x＜6，即 2≤t＜6，
此时 y2 与 x 的函数关系为：y2=-5（6-x）+110=5x+80；
当 4≤x＜6 时，0≤6-x＜2，即 0≤t＜2，
此时 y2=100．
故答案为 6-x；5x+80；4，6；
（2）分三种情况：
①当 0＜x≤2 时，w=（15x+90）x+（5x+80）（6-x）=10x2+40x+480；
②当 2＜x≤4 时，w=（-5x+130）x+（5x+80）（6-x）=-10x2+80x+480；
③当 4＜x＜6 时，w=（-5x+130）x+100（6-x）=-5x2+30x+600；
综上可知，w=
2
2
2
10 40 480(0 2)
10 80 480(2 4)
5 30 600(4 6)
x x x
x x x
x x x
；
（3）当 0＜x≤2 时，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此时 x=2 时，w 最大=600；
当 2＜x≤4 时，w=-10x2+80x+480=-10（x-4）2+640，此时 x=4 时，w 最大=640；
当 4＜x＜6 时，w=-5x2+30x+600=-5（x-3）2+645，4＜x＜6 时，w＜640；
∴x=4 时，w 最大=640．
故该公司每年国内、国外的销售量各为 4 千件、2 千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为 64 万元．
11.（2015•湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）
的抛物线交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 B、C 两点（点 B 在点 C 的左侧），
已知 A 点坐标为（0，-5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D，如果以点 C 为圆心
的圆与直线 BD 相切，请判断抛物线的对称轴 l 与⊙C 有什么位置
关系，并给出证明；
（3）在抛物线上是否存在一点 P，使△ACP 是以 AC 为直角边的直
角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
11．解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x-3）2+4，
将 A（0，-5）代入求得：a=-1，
∴抛物线解析式为 y=-（x-3）2+4=-x2+6x-5．
（2）抛物线的对称轴 l 与⊙C 相离．证明：
令 y=0，即-x2+6x-5=0，得 x=1 或 x=5，∴B（1，0），C（5，0）．
如答图①所示，设切点为 E，连接 CE，由题意易证 Rt△ABO∽Rt
△BCE，
∴ AB OB
BC CE
，即
2 25 1 1
4 CE
，
求得⊙C 的半径 CE= 4
26
；
而点 C 到对称轴 x=3 的距离为 2，2＞ 4
26
，
∴抛物线的对称轴 l 与⊙C 相离．
（3）存在．理由如下：
有两种情况：
（I）如答图②所示，点 P 在 x 轴上方．
∵A（0，-5），C（5，0），∴△AOC 为等腰直角三角形，∠OCA=45°；
∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．
过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，则△PCF 为等腰直角三角形．
设点 P 坐标为（m，n），则有 OF=m，PF=CF=n，
OC=OF+CF=m+n=5 ①
又点 P 在抛物线上，∴n=-m2+6m-5 ②
联立①②式，解得：m=2 或 m=5．
当 m=5 时，点 F 与点 C 重合，故舍去，
∴m=2，∴n=3，
∴点 P 坐标为（2，3）；
（II）如答图③所示，点 P 在 x 轴下方．
∵A（0，-5），C（5，0），∴△AOC 为等腰直角三角形，∠OAC=45°；
过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，
∵PA⊥AC，∴∠PAF=45°，即△PAF 为等腰直角三角形．
设点 P 坐标为（m，n），则有 PF=AF=m，OF=-n=OA+AF=5+m，
∴m+n=-5 ①
又点 P 在抛物线上，∴n=-m2+6m-5 ②
联立①②式，解得：m=0 或 m=7．
当 m=0 时，点 F 与原点重合，故舍去，
∴m=7，∴n=-12，
∴点 P 坐标为（7，-12）．
综上所述，存在点 P，使△ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形．点
P 的坐标为（2，3）或（7，-12）．
12．（2013•曲靖）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+4
与坐标轴分别交于 A、B 两点，过 A、B 两点的抛物线为 y=-x2+bx+c．点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作
CD⊥x 轴于点 C，交抛物线于点 E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当 DE=4 时，求四边形 CAEB 的面积．
（3）连接 BE，是否存在点 D，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求此点 D 坐标；若不存在，说明理由．
12．解：（1）在直线解析式 y=x+4 中，令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=-4，
∴A（-4，0），B（0，4）．
∵点 A（-4，0），B（0，4）在抛物线 y=-x2+bx+c 上，
∴ -16- 4 0
4
b c
c
，
解得：b=-3，c=4，
∴抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4．
（2）设点 C 坐标为（m，0）（m＜0），则 OC=-m，AC=4+m．
∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，
∴△ACD 为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，
∴点 E 坐标为（m，8+m）．
∵点 E 在抛物线 y=-x2-3x+4 上，
∴8+m=-m2-3m+4，解得 m=-2．
∴C（-2，0），AC=OC=2，CE=6，
S 四边形 CAEB=S△ACE+S 梯形 OCEB-S△BCO= 1
2
×2×6+ 1
2
（6+4）×2- 1
2
×2×4=12．
（3）设点 C 坐标为（m，0）（m＜0），则 OC=-m，CD=AC=4+m，BD= 2 OC=- 2 m，则 D（m，4+m）．
∵△ACD 为等腰直角三角形，△DBE 和△DAC 相似
∴△DBE 必为等腰直角三角形．
i）若∠BED=90°，则 BE=DE，
∵BE=OC=-m，
∴DE=BE=-m，
∴CE=4+m-m=4，
∴E（m，4）．
∵点 E 在抛物线 y=-x2-3x+4 上，
∴4=-m2-3m+4，解得 m=0（不合题意，舍去）或 m=-3，
∴D（-3，1）；
ii）若∠EBD=90°，则 BE=BD=- 2 m，
在等腰直角三角形 EBD 中，DE= 2 BD=-2m，
∴CE=4+m-2m=4-m，
∴E（m，4-m）．
∵点 E 在抛物线 y=-x2-3x+4 上，
∴4-m=-m2-3m+4，解得 m=0（不合题意，舍去）或 m=-2，
∴D（-2，2）．
综上所述，存在点 D，使得△DBE 和△DAC 相似，点 D 的坐标为（-3，1）或（-2，2）．
13．（2013•钦州）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标
原点，抛物线 y= 1
2
x2+2x 与 x 轴相交于 O、B，顶点为 A，
连接 OA．
（1）求点 A 的坐标和∠AOB 的度数；
（2）若将抛物线 y= 1
2
x2+2x 向右平移 4 个单位，再向下
平移 2 个单位，得到抛物线 m，其顶点为点 C．连接 OC 和
AC，把△AOC 沿 OA 翻折得到四边形 ACOC′．试判断其形
状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，判断点 C′是否在抛物线 y= 1
2
x2+2x
上，请说明理由；
（4）若点 P 为 x 轴上的一个动点，试探究在抛物线 m 上
是否存在点 Q，使以点 O、P、C、Q 为顶点的四边形是平行
四边形，且 OC 为该四边形的一条边？若存在，请直接写
出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
13．解：（1）∵由 y= 1
2
x2+2x 得，y= 1
2
（x-2）2-2，
∴抛物线的顶点 A 的坐标为（-2，-2），
令 1
2
x2+2x=0，解得 x1=0，x2=-4，
∴点 B 的坐标为（-4，0），
如图 1，过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D，
∴∠ADO=90°，
∴点 A 的坐标为（-2，-2），点 D 的坐标为（-2，0），
∴OD=AD=2，
∴∠AOB=45°；
（2）四边形 ACOC′为菱形．
由题意可知抛物线 m 的二次项系数为 1
2
，且过顶点 C 的坐标是（2，-4），
∴抛物线的解析式为：y= 1
2
（x-2）2-4，即 y= 1
2
x2-2x-2，
过点 C 作 CE⊥x 轴，垂足为 E；过点 A 作 AF⊥CE，垂足为 F，与 y 轴交与点 H，
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE-EF=2，
∴OC= 2 2 2 22 4 2 5OE EC ，
同理，AC=2 5 ，OC=AC，
由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，
故四边形 ACOC′为菱形．
（3）如图 1，点 C′不在抛物线 y= 1
2
x2+2x 上．
理由如下：
过点 C′作 C′G⊥x 轴，垂足为 G，
∵OC 和 OC′关于 OA 对称，∠AOB=∠AOH=45°，
∴∠COH=∠C′OG，
∵CE∥OH，
∴∠OCE=∠C′OG，
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，
∴△CEO≌△C′GO，
∴OG=4，C′G=2，
∴点 C′的坐标为（-4，2），
把 x=-4 代入抛物线 y= 1
2
x2+2x 得 y=0，
∴点 C′不在抛物线 y= 1
2
x2+2x 上；
（4）存在符合条件的点 Q．
∵点 P 为 x 轴上的一个动点，点 Q 在抛物线 m 上，
∴设 Q（a， 1
2
（a-2）2-4），
∵OC 为该四边形的一条边，
∴OP 为对角线，
∴
21 ( 2) 4 42 02
a
，解得 x1=6，x2=4，
∴P（6，4）或（-2，4）（舍去），
∴点 Q 的坐标为（6，4）．
第四章 图形的认识与三角形
第十六讲 图形初步及相交线、平行线
【基础知识回顾】
一、 直线、射线、线段
线段有 个端点，可以度量、比较大小，把线段向两个方向无限延伸，就得到直线，直线
端点，将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有 个端点，线段、直线、射线都有两种
表示方法：可以
用 表示 可以用 表示
线段公理：
直线公理：
【名师提醒：一条直线上有 n 个点，则这条直线上存在 条线段】
二、角
1、定义：有公共端点的两条 组成的图形叫做角，角也可以看做是一条 绕它的
从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形
【名师提醒：角的表示方法：可以用三个大写字母表示，如：∠AOB，也可用一个大写字母，如∠A 表
示，或用一个数字或希腊字母表示，如∠1、∠α等，注意善于选择合适、简洁的方法表示角】
2、角的分类：
角按照大小可分为：周角 、 、 锐角等。其中 1 周角= 度= 平
角 直角 1 度= 分 1 分= 秒
【名师提醒：钟表转动过程中常见时针，分针的夹角问题，要牢记一个前提：即时针没分转动 度，
分针每分转动 度】
3、 角的平分线
一条射线把一个角分成 的角，这条 叫做这个角的平分线
【名师提醒：有公共顶点的 n 条射线，一共可形成 个小于平角的角】
4、 互为余角 互为斜角
①互为余角：若∠1+∠2= 则称∠1 与∠2 互为余角
②互为补角：若∠1+∠2= 则称∠1 与∠2 互为补角
3 性质：同角或等角的余角 同角或等角的补角
【名师提醒：1、互补和互余是指两个角的 关系
2、一个锐角的补角比它的余角大 度】
三、相交线
1、对顶角及其性质：
对顶角和邻补角：两条直线相交所成的四个角中 的角是对顶
角， 的角是邻补角，
如图：对顶角有 邻补角有
对顶角性质：
2、垂线及其性质
互相垂直：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是 ， 则这两条直线互相垂直，其中一条
直线叫另一条直线的 。
性质：1、过一点 与已知直线垂直
2、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短，（简称： ）
【名师提醒：注意三个距离的区别 1、两点间的距离是指：
2、点到直线的距离是指
3、两平行线间的距离是指 】
四、平行线：
1、三线八角：如图：两条直线 AB 与 CD 被第三条直线 EF 所截，构
成八个角
其中同位角有 对，分别是 ，内错角有 对，
分别是 同旁内角有 对，分别是
2、平行线的定义：在同一平面内 的两条直线叫平行线
3、平行公理：经过已知直线外一点 条直线与已知直线平行
4、平行线的性质和判定
两 直 线 平 行 ————→
【名师提醒：平行线的常用判定方法还有两条：1、平行于同一直线的两条直线互相 2、
同一直线的两条直线互相平行】
五、 命题、公理、定理和证明
1、命题： 的语句叫命题，一个命题由 和 两部分构成，可分为 和
两类
2、公理：从实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真伪的原始依据的真命题
3、定理：经过证明的 命题叫做定理
4、互逆命题与互逆定理：
⑴在两个命题中，如果一个命题的 和 是另一个命题的 和
那么这两个命题称为互逆命题
⑵ 如 果 一 个 定 理 的 逆 命 题 经 过 证 明 是 真 命 题 ， 那 么 它 也 是 一 个 这 两 个 定 理 称
为 。
相等
相等
同旁内角
性质
判定
5、证明：⑴根据题设，定 义 公 理 及 定 理，经过逻辑推理来判断一个命题 这一推理过程
称为证明
⑵一个命题完整证明的一般步骤：①审题：找出命题的 和
②根据题意画出 ③写出 和
④分析证明的思路，⑤写出 每一步应有根据，要推理严密
【名师提醒：1、判断一个命题是真命题要能给出 判断一个命题是假命题可以举出
2、任何一个命题一定有它的逆命题：对于任意一个定理 有它的逆定理】
【重点考点例析】
考点一：几何体的展开图
例 1 （2015•南京）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列
图形中，是该几何体的表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
思路分析：由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面．
解：选项 A 和 C 带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项 B 能折叠成原几何体的形式；
选项 D 折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
故选 B．
点评：本题主要考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意
做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力．
对应训练
1．（2015•绵阳）把如图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（ ）
A． B． C． D．
考点二：余角和补角
例 2 （2015•福州）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2 的度数是（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
对应训练
2．（2015•厦门）∠A=60°，则∠A 的补角是（ ）
A．160° B．120° C．60° D．30°
考点三：相交线与垂线
例 3 （2013•曲靖）如图，直线 AB、CD 相交于点 O，若∠BOD=40°，OA 平分∠COE，则∠AOE= ．
对应训练
3．（2015•德宏州）如图，三条直线相交于点 O．若 CO⊥AB，∠1=56°，则∠2 等于（ ）
A．30° B．34° C．45° D．56°
考点四：平行线的判定与性质
例 4 （2015•随州）如图，直线 a，b 与直线 c，d 相交，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4 的度数是（ ）
A．35° B．70° C．90° D．110°
对应训练
4．（2015•孝感）如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4 等于（ ）
A．120° B．130° C．140° D．40°
考点五：真假命题的识别
例 5 （2015•深圳）下列命题是真命题的有（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
④有三个角是直角的四边形是矩形；
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
A．.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
对应训练
5．（2015•漳州）下列命题中假命题是（ ）
A．平行四边形的对边相等 B．等腰梯形的对角线相等
C．菱形的对角线互相垂直 D．矩形的对角线互相垂直
【聚焦山东中考】
1．（2015•济南）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用
数学知识解释出这一现象的原因 ．
2．（2015•菏泽）下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2015•枣庄）如图，AB∥CD，∠CDE=140°，则∠A 的度数为（ ）
A．140° B．60° C．50° D．40°
4．（2015•聊城）下列命题中的真命题是（ ）
A．三个角相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形
D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形
5．（2015•济南）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是等腰梯形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．四个角相等的四边形是矩形
6．（2015•日照）四个命题：
①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
③点 P（1，2）关于原点的对称点坐标为（-1，-2）；
④两圆的半径分别是 3 和 4，圆心距为 d，若两圆有公共点，则 1＜d＜7．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•贺州）下面各图中∠1 和∠2 是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2015•重庆）已知∠A=65°，则∠A 的补角等于（ ）
A．125° B．105° C．115° D．95°
3．（2015•南宁）如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（ ）
A． B． C． D．
4．（2015•湘西州）下列图形中，是圆锥侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2015•山西）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（ ）
A． B． C． D．
6．（2015•攀枝花）下列命题中，假命题是（ ）
A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
B．矩形的对角线相等
C．有两个角相等的梯形是等腰梯形
D．对角线相等的菱形是正方形
7．（2015•眉山）下列命题，其中真命题是（ ）
A．方程 x2=x 的解是 x=1
B．6 的平方根是±3
C．有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等
D．连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形
8．（2015•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（ ）
A．若 2a ，则 a=m
B．若 a＞b，则 am＞bm
C．两个等腰三角形必定相似
D．位似图形一定是相似图形
9．（2015•铜仁地区）如图，在下列条件中，能判断 AD∥BC 的是（ ）
A．∠DAC=∠BCA B．∠DCB+∠ABC=180°
C．∠ABD=∠BDC D．∠BAC=∠ACD
10．（2015•天门）小明为了鼓励芦山地震灾区的学生早日走出阴影，好好学习，制作
了一个正方体礼盒（如图）．礼盒每个面上各有一个字，连起来组成“芦山学子加油”，
其中“芦”的对面是“学”，“加”的对面是“油”，则它的平面展开图可能
是 （ ）
A． B． C． D．
11．（2015•随州）如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体的容积是（包
装材料厚度不计）（ ）
A．40×40×70 B．70×70×80 C．80×80×80 D．40×70×80
12．（2015•大连）如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD 等于（ ）
A．35° B．70° C．110° D．145°
13．（2015•珠海）如图两平行线 a、b 被直线 l 所截，且∠1=60°，则∠2 的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
14．（2015•遵义）如图，直线 l1∥l2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3 的度数是（ ）
A．70° B．80° C．65° D．60°
15．（2015•昭通）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2=50°，则∠1 的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．140°
16．（2015•六盘水）直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1 互余的角
有几个（ ）
A．2 个 B．3 个
17．（2015•重庆）如图，直线 a，b，c，d，已知 c⊥a，c⊥b，直线 b，c，d 交于
一点，若∠1=50°，则∠2 等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
二、填空题
18．（2015•泰州）命题“相等的角是对顶角”是 命题（填“真”或
“假”）．
19．（2015•徐州）若∠α=50°，则它的余角是 °．
20．（2015•湘西州）如图，直线 a 和直线 b 相交于点 O，∠1=50°，则∠2= ．
21．（2015•义乌市）把角度化为度、分的形式，则 20.5°=20° ．
22．（2015•湖州）把 15°30′化成度的形式，则 15°30′= 度．
23．（2015•南宁）一副三角板如图所示放置，则∠AOB= °．
24．（2015•泉州）如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，则∠AOC= °．
25．（2015•新疆）如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B=50°，则∠D 的度数是 ．
26．（2015•德宏州）以下三组图形都是由四个等边三角形组成．能折成多面体的选项序号是 ．
27．（2015•咸宁）如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，
那么在原正方体的表面上，与汉字“香”相对的面上的汉字是 ．
28．（2015•枣庄）从棱长为 2 的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为 1 的小正方体，得到
一个如图所示的零件，则这个零件的表面积为 ．
29．（2015•宜宾）如图，一个含有 30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边
上，若∠1=25°，则∠2= ．
30．（2015•营口）如图，直线 AB、CD 相交于点 E，DF∥AB．若∠D=65°，则∠AEC= ．
31．（2015•株洲）如图，直线 l1∥l2∥l3，点 A、B、C 分别在直线 l1、l2、l3 上．若∠1=70°，∠2=50°，
则∠ABC= 度．
32．（2015•河南）将一副直角三角板 ABC 和 EDF 如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°）．使点 E 落在 AC 边
上，且 ED∥BC，则∠CEF 的度数为 ．
33．（2015•广安）如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4= ．
34．（2015•河北）如图，四边形 ABCD 中，点 M，N 分别在 AB，BC 上，将△BMN 沿 MN 翻折，得△FMN，若
MF∥AD，FN∥DC，则∠B= °．
35．（2015•柳州）有下列 4 个命题：
①方程 x2-（ 2 3 ）x+ 6 =0 的根是 2 3和 ．
②在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D．若 AD=4，BD= 9
4
，则 CD=3．
③点 P（x，y）的坐标 x，y 满足 x2+y2+2x-2y+2=0，若点 P 也在 y= k
x
的图象上，则 k=-1．
④若实数 b、c 满足 1+b+c＞0，1-b+c＜0，则关于 x 的方程 x2+bx+c=0 一定有两个不相等的实数根，且较
大的实数根 x0 满足-1＜x0＜1．
上述 4 个命题中，真命题的序号是 ．
三、解答题
36．（2015•邵阳）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点 C 作 CF 平分∠DCE 交 DE 于点 F．
（1）求证：CF∥AB．
（2）求∠DFC 的度数．
第十七讲 三角形与全等三角形
【重点考点例析】
考点一：三角形三边关系
例 1 （2015•温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ）
A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11
对应训练
1．（2015•长沙）如果一个三角形的两边长分别为 2 和 4，则第三边长可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
考点二：三角形内角、外角的应用
例 2 （2015•湘西州）如图，一副分别含有 30°和 45°角的两个直角三角板，拼
成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．10°
对应训练
2．（2015•鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则
∠α的度数是（ ）
A．165° B．120° C．150° D．135°
考点三：三角形全等的判定和性质
例 3 （2015•天门）如图，已知△ABC≌△ADE，AB 与 ED 交于点 M，BC 与 ED，AD 分别交于点 F，N．请写
出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE 除外），并选择其中的一对加以证明．
例 4 （2013•宜宾）如图：已知 D、E 分别在 AB、AC 上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．
对应训练
3．（2013•荆州）如图，△ABC 与△CDE 均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 在 AB 上，连结 BE．请
找出一对全等三角形，并说明理由．
4．（2013•十堰）如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．
考点四：全等三角形开放性问题
例 5 （2013•云南）如图，点 B 在 AE 上，点 D 在 AC 上，AB=AD．请你添加
一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是 ．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE 的理由．
对应训练
5．（2013•昭通）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件 ，
就得△ABC≌△DEF．
【聚焦山东中考】
1．（2013•威海）将一副直角三角板如图摆放，点 C 在 EF 上，AC 经过点 D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠
E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．
2．（2013•聊城）如图，四边形 ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为 E，求证：AE=CE．
3．（2013•菏泽）如 图，在△ABC 中，AB=CB，
∠ABC=90°，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BE=BD，连结 AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠BDC 的度数．
4．（2013•临沂）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的
延长线于点 F，连接 CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）若 AB⊥AC，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．
5．（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD⊥直线 m，
CE⊥直线 m，垂足分别为点 D、E．
证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有∠BDA=
∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若
不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点
F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接 BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试
判断△DEF 的形状．
5．证明：（1）∵BD⊥直线 m，CE⊥直线 m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB 和△CEA 中
ABD CAE
BDA CEA
AB AC
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB 和△CEA 中
ABD CAE
BDA CEA
AB AC
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF 和△EAF 中
FB FA
FBD FAE
BD AE
，
∴△DBF≌△EAF（sas），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF 为等边三角形．
6．（2013•烟台）已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A，B 重合），分别过 A，B 向直线
CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB 的中点．
（1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 ，QE 与 QF 的数量关系
式 ；
（2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予证明；
（3）如图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予
证明．
6．解：（1）AE∥BF，QE=QF，
理由是：如图 1，∵Q 为 AB 中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，
在△BFQ 和△AEQ 中
BFQ AEQ
BQF AQE
BQ AQ
，
∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF．
（2）QE=QF，
证明：如图 2，延长 FQ 交 AE 于 D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ 和△DAQ 中
FBQ DAQ
AQ BQ
BQF AQD
，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，
即 QE=QF．
（3）（2）中的结论仍然成立，
证明：如图 3，
延长 EQ、FB 交于 D，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠D，
在△AQE 和△BQD 中
1
2 3
D
AQ BQ
，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ 是斜边 DE 上的中线，
∴QE=QF．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•泉州）在△ABC 中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC 的形状是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
2．（2015•宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4
3．（2015•衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A 的大小是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．80°
4．（2015•河北）如图 1，M 是铁丝 AD 的中点，将该铁丝首尾
相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图 2．则下列说
法正确的是（ ）
A．点 M 在 AB 上
B．点 M 在 BC 的中点处
C．点 M 在 BC 上，且距点 B 较近，距点 C 较远
D．点 M 在 BC 上，且距点 C 较近，距点 B 较远
5．（2015•铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知 AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能
添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
6．（2015•台州）已知△A1B1C1△A2B2C2 的周长相等，现有两个判断：
①若 A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①，②都错误 D．①，②都正确
7．（2015•邵阳）如图所示，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 延长线上的一点，且 AD=DE，
连结 BE 交 CD 于点 O，连结 AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
8．（2015•河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，
若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）
A．90° B．100° C．130° D．180°
9．（2015•陕西）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，若连接 AC、BD 相交于点 O，
则图中全等三角形共有（ ）
A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
二、填空题
10．（2015•黔东南州）在△ABC 中，三个内角∠A、∠B、∠C 满足∠B-∠A=∠C-∠B，则∠B= 度．
11．（2015•柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出 x= ．
12．（2015•巴中）如图，已知点 B、C、F、E 在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，
要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需
写出一个）
13．（2015•郴州）如图，点 D、E 分别在线段 AB，AC 上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△
ACD，需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）．
14．（2015•达州）如图，在△ABC 中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点 A1，得∠A1；∠A1BC 和∠
A1CD 的平分线交于点 A2，得∠A2；…∠A2012BC 和∠A2012CD 的平分线交于点 A2013，则∠A2013= 度．
三、解答题
15．（2015•玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求证：△ABC≌△AED．
16．（2015•湛江）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，FB=CE，
AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．
117．（2015•佛山）课本指出：公认的真命题称为公理，除了
公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通
过推理的方法证实．
（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论 AAS；
（2）证明推论 AAS．
要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．
17．解：（1）三角形全等的判定方法中的推论 AAS 指的是：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形
全等．
（2）已知：在△ABC 与△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF．
求证：△ABC≌△DEF．
证明：如图，在△ABC 与△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），
∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代换）．
又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），
∴∠B=∠E．
∵在△ABC 与△DEF 中，
C F
BC EF
B E
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
18．（2015•随州）如图，点 F、B、E、C 在同一直线上，并且 BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条
件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加
到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．
提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．
19．（2015•内江）已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为 AB 边上一
点．求证：BD=AE．
20．（2015•舟山）如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与 BD 交于点 E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC 的度数？
21．（2015•荆门）如图 1，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图 2，若 BE 的延长线交 AC 于点 F，且 BF⊥AC，垂足为 F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求
证：△AEF≌△BCF．
第十八讲 等腰三角形与直角三角形
【基础知识回顾】
一、等腰三角形
1、定义：有两边 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等边三角形
2、等腰三角形的性质：
⑴等腰三角形的两腰 等腰三角形的两个底角 简称为
⑵等腰三角形的顶角平分线 、 互相重合，简称为
⑶等腰三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，是
3、等腰三角形的判定：
⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 ⑵有两 相等的三角形是等腰三角形，简称
【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的 相等，两腰上的 相等，两
底角的平分线也相等 。2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论
问题，讨论边时应注意保证 ，讨论角时应主要底角只被为 角】
4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都 都等于
⑵等边三角形也是 对称图形，它有 条对称轴
5、 等边三角形的判定：
⑴有三个角相等的三角形是等边三角形
⑵有一个角是 度的 三角形是等边三角形
【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质
2、有一个角是直角的等腰三角形是 三角形】
二、线段的垂直平分线和角的平分线
1、线段垂直平分线定义： 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线
2、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等
3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在
4、角的平分线性质：角平分线上的点到 的距离相等
5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在
【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可以看作是
的点的集合。
2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】
三、直角三角形：
1、勾股定理和它的逆定理：
勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为 a、b 斜边为 c 则 a、b、c 满足
逆定理：若一个三角形的三边 a、b、c 满足 则这个三角形是直角三角形
【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合 2、勾股定理
的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据， 3、勾股数，列举常见的勾股
数三组 、 、 】
2、直角三角形的性质：
除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：
⑴直角三角形两锐角
⑵直角三角形斜边的中线等于
⑶在直角三角形中如果有一个锐角是 300，那么它所对 边是 边的一半
3、直角三角形的判定：
除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：
⑴定义法有一个角是 的三角形是直角三角形
⑵有两个角 的三角形是直角三角形
⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形
【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练
掌握和灵活运用】
【重点考点例析】
考点一：角的平分线
例 1 （2015•丽水）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=Rt∠，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，AD=3，BC=10，则
△BDC 的面积是 ．
对应训练
1．（2015•泉州）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA 于 C，QD⊥OB 于 D，若 QC=QD，则∠AOQ= °．
考点二：线段垂直平分线
例 2 （2015•义乌市）如图，AD⊥BC 于点 D，D 为 BC 的中点，连接 AB，∠ABC 的平分线交 AD 于点 O，连
结 OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= ．
对应训练
2．（2015•天门）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB
于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN 的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
考点三：等腰三角形性质的运用
例 3 （2015•武汉）如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 是 AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（ ）
A．18° B．24° C．30° D．36°
对应训练
3．（2015•云南）如图，已知 AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD= ．
考点四：等边三角形的判定与性质
例 4 （2015•黔西南州）如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE，
则∠E= 度．
对应训练
4．（2015•黄冈）已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长 BC 至 E，使 CE=CD=1，
连接 DE，则 DE= ．
考点五：三角形中位线定理
例 5 （2015•昆明）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C
的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
对应训练
5．（2013•厦门）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是线段 AO，BO 的中点，若 AC+BD=24
厘米，△OAB 的周长是 18 厘米，则 EF= 厘米．
考点六：直角三角形
例 6 （2015•衢州）将一个有 45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上．另一个顶点
在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30°角，如图，则三角板的最大边的
长为（ ）
A．3cm B．6cm C．3 2 cm D．6 2 cm
对应训练
6．（2015•重庆）如图，在△ABC 中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为 D，CD=1，则 AB 的长为（ ）
A．2 B．2 3 C． 3
3
1+ D． 3 1+
考点七：勾股定理
例 7 （2015•扬州）矩形的两邻边长的差为 2，对角线长为 4，则矩形的面积为 ．
对应训练
7．（2015•莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形，若正方形 A、B、C、D 的面积分别为 2，5，1，2．则最大的正方形 E 的面积是 ．
【聚焦山东中考】
1．（2015•临沂）如图，四边形 ABCD 中，AC 垂直平分 BD，垂足为 E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=AD B．AC 平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC
2．（2015•枣庄）如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接
DE，则△CDE 的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
23．（2015•淄博）如图，△ABC 的周长为 26，点 D，E 都在边 BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，
∠ACB 的平分线垂直于 AD，垂足为 P，若 BC=10，则 PQ 的长为（ ）
A． 3
2
B． 5
2
C．3 D．4
4．（2015•威海）如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC，AB 的垂直平分线 OD 交
AB 于点 O，交 AC 于点 D，连接 BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C=2∠A
B．BD 平分∠ABC
C．S△BCD=S△BOD
D．点 D 为线段 AC 的黄金分割点
5．（2015•莱芜）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（1， 3 ），M 为坐标轴上一点，且
使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点 M 的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
6．（2013•滨州）在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=50°，则∠B= ．
7．（2015•滨州）在△ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边 AC 的长
为 ．
8．（2015•烟台）如图，▱ABCD 的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点 O．点
E 是 CD 的中点，BD=12，则△DOE 的周长为 ．
9．（2015•泰安）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E，交 BC 的延长线于 F，
若∠F=30°，DE=1，则 BE 的长是 ．
10．（2015•烟台）如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点 O，
将∠C 沿 EF（E 在 BC 上，F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好重合，则∠OEC 为 度．
11．（2015•菏泽）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，
“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）．已知等
边三角形的边长为 2，则它的“面径”长可以是 （写出 1 个即可）．
12．（2015•威海）操作发现
将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板 ABC 的斜边与含 30°角的直角三角板 DEF 的长直
角边 DE 重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板 ABC 绕点 B 顺时针旋转 30°，点 C 落在 BF 上，AC 与 BD 交于点 O，连接 CD，
如图②．
（1）求证：△CDO 是等腰三角形；
（2）若 DF=8，求 AD 的长．
12 3 ．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•成都）如图，在△ABC 中，∠B=∠C，AB=5，则 AC 的长
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2015•南充）如图，△ABC 中，AB=AC，∠B=70°，则∠A 的度数是（ ）
A．70° B．55° C．50 D．40°
3．（2015•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为 3 和 1，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．5 B．7 C．5 或 7 D．6
4．（2015 长沙）下列各图中，∠1 大于∠2 的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2015•宜昌）如图，在矩形 ABCD 中，AB＜BC，AC，BD 相交于点 O，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．（2015•南平）如图，在△ABC 中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B=48° B．∠AED=66° C．∠A=84° D．∠B+∠C=96°
7．（2015•遂宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以 A 为圆
心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M 和 N，再分别以 M、N 为圆
心，大于 1
2
MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连结 AP 并延长交 BC 于
点 D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点 D 在 AB 的中垂线上；④S
△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2015•铁岭）如果三角形的两边长分别是方程 x2-8x+15=0 的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，
得到的三角形的周长可能是（ ）
A．5.5 B．5 C．4.5 D．4
9．（2015•柳州）在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，则 BD 的长为（ ）
A．15
7
B．12
5
C． 20
7
D． 21
5
10．（2015•德宏州）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10．若以点 C 为圆心，CB 为
半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC=（ ）
A．5 B．5 2 C．5 3 D．6
11．（2015•大庆）正三角形△ABC 的边长为 3，依次在边 AB、BC、CA 上取点 A1、B1、C1，使 AA1=BB1=CC1=1，
则△A1B1C1 的面积是（ ）
A． 3
4
B． 3 3
4
C． 9
4
D． 9 3
4
12．（2015•鄂州）如图，已知直线 a∥b，且 a 与 b 之间的距离为 4，点
A 到直线 a 的距离为 2，点 B 到直线 b 的距离为 3，AB=2 30 ．试在直
线 a 上找一点 M，在直线 b 上找一点 N，满足 MN⊥a 且 AM+MN+NB 的长度
和最短，则此时 AM+NB=（ ）
A．6 B．8 C．1 D．12
二、填空题
13．（2015 徐州）若等腰三角形的顶角为 80°，则它的底角度数为（ ）
A．80° B．50° C．40°
D．20°
14．（2015•白银）等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两边为 ．
15．（2015•广州）点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PA=7，则 PB= ．
16．（2015•长沙）如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 为 BD 上的一点，PE⊥BA 于点 E，PE=4cm，则点 P 到边
BC 的距离为 cm．
17．（2015•宿迁）如图，为测量位于一水塘旁的两点 A、B 间的距离，在地面上确定点 O，分别取 OA、OB
的中点 C、D，量得 CD=20m，则 A、B 之间的距离是 m．
18．（2015•漳州）如图，正方形 ODBC 中，OC=1，OA=OB，则数轴上点 A 表示
的数是 ．
19．（2015•泰州）如图，△ABC 中，AB+AC=6cm，BC 的垂直平分线 l 与 AC 相交于点 D，则△ABD 的周长为
cm．
20．（2015•资阳）在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若∠AOB=60°，AC=10，则 AB= ．
21．（2015•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点 A 为圆心，
以 AB 长为半径画弧，交 x 正半轴于点 C，则点 C 的坐标为 ．
22．（2015•锦州）在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线 DE 与 AC 所在的直线相交于
点 E，垂足为 D，连接 BE．已知 AE=5，tan∠AED= 3
4
，则 BE+CE= ．
23．（2015•无锡）如图，△ABC 中，AB=AC，DE 垂直平分 AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则
∠EFC= °．
24．（2015•哈尔滨）在△ABC 中，AB=2 2 ，BC=1，∠ABC=45°，以 AB 为一边作等腰直角三角形 ABD，使
∠ABD=90°，连接 CD，则线段 CD 的长为 ．
25．（2015•沈阳）已知等边三角形 ABC 的高为 4，在这个三角形所在的平
面内有一点 P，若点 P 到 AB 的距离是 1，点 P 到 AC 的距离是 2，则点 P
到 BC 的最小距离和最大距离分别是 ．
26．（2015•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、
发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽
宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端 A、B 能在滑槽内自由滑动，
将笔插入位于木棒中点 P 处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆
来．若 AB=20cm，则画出的圆的半径为 cm．
三、解答题
27．（2015•湘西州）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于 E，若 AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求 DE 的长；
（2）求△ADB 的面积．
28．（2015•永州）如图，M 是△ABC 的边 BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN 于点 N，延长 BN 交 AC 于点 D，
已知 AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC 的周长．
第十九讲 解直角三角形
【基础知识回顾】
一、 锐角三角函数定义：
在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，
∠A 的余弦可表示为 cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们统称为∠A 的锐角三角函
数
【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与
有关，与直角三角形的 无关
2、取值范围 】
二、特殊角的三角函数值：
α sinα cosα tanα
300
450
600
【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础
上结合表格进行记忆
2、正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而
3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=
sin A
（ ）
⑵若∠A+∠B=900，则 sinA= ，tanA.tanB= 】
三、解直角三角形：
1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角
形
2、解直角三角形的依据：
Rt∠ABC 中，∠C=900 三边分别为 a、b、c
⑴三边关系：
⑵两锐角关系
⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA
sinB cosB tanB
【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是
当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】
3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角 和俯角：如图：在
图 上 标 上 仰 角 和 俯 角
⑵坡度坡角：如图：
斜坡 AB 的垂直度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度，用 i 表示，即 i= 坡面与水平面得夹角为 用
字母α表示，则 i=tanα= h
l
。
⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于 900 的水平角
如图：OA 表示 OB 表示
OC 表示
OD 表示 （也可称东南方向）
4、 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：
⑴把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角 形 的 问
题）
铅
直
线
水平线
视线
视线
⑵根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形
⑶解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案
【名师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角
三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】
【重点考点例析】
考点一：锐角三角函数的概念
例 1 （2015•贵阳）如图，P 是∠α的边 OA 上一点，点 P 的坐标为（12，5），则 tanα等于（ ）
A． 5
13
B．12
13
C． 5
12
D．12
5
对应训练
1．（2015•宿迁）如图，将∠AOB 放置在 5×5 的正方形网格中，则 tan∠AOB 的值是（ ）
A． 2
3
B． 3
2
C． 2 13
13
D． 3 13
13
1．B
考点二：特殊角的三角函数值
例 2 （2015•杭州）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA= 3
2
；②cosB= 1
2
；
③tanA= 3
3
；④tanB= 3 ，其中正确的结论是 （只需填上正确结论的序号）
对应训练
2．（2015•重庆）计算 6tan45°-2cos60°的结果是（ ）
A．4 3 B．4 C．5 3 D．5
考点三：化斜三角形为直角三角形
例 3 （2015•扬州）在△ABC 中，AB=AC=5，sin∠ABC=0.8，则 BC= ．
对应训练
3．（2015•陕西）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 BD 平
分 AC．若 BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形 ABCD 的面积为 ．（结
果保留根号）
考点四：解直角三角形的应用
例 4 （2015•舟山）某学校的校门是伸缩门（如图 1），伸缩门中的每一行菱形有 20 个，每个菱形边长为
30 厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为 60°（如图 2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从 60°
缩小为 10°（如图 3）．问：校门打开了多少米？（结果精确到 1 米，参考数据：sin5°≈0.0872，
cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．
思路分析：先求出校门关闭时，20 个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20
个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可．
解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形 ABCD．
根据题意，得∠BAD=60°，AB=0.3 米．
∵在菱形 ABCD 中，AB=AD，
∴△BAD 是等边三角形，
∴BD=AB=0.3 米，
∴大门的宽是：0.3×20≈6（米）；
如图，校门打开时，取其中一个菱形 A1B1C1D1．
根据题意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3 米．∵在菱形 A1B1C1D1 中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1=5°，
∴在 Rt△A1B1O1 中，
B1O1=sin∠B1A1O1•A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米），
∴B1D1=2B1O1=0.05232 米，
∴伸缩门的宽是：0.05232×20=1.0464 米；
∴校门打开的宽度为：6-1.0464=4.9536≈5（米）．
故校门打开了 5 米．
点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，难度适中．解题的关键是把实际问题转化为数学问
题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解．
对应训练
4．（2015•益阳）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖
边有一条笔直的观光小道 AB，现决定从小岛架一座与观光
小道垂直的小桥 PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0
米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．请帮助小张求出小桥 PD
的长并确定小桥在小道上的位置．（以 A，B 为参照点，结
果精确到 0.1 米）
（参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）
【聚焦山东高考】
1．（2015•济南） 2 cos30°的值是 ．
2．（2015•聊城）河堤横断面如图所示，堤高 BC=6 米，迎水坡 AB 的坡比
为 1： 3 ，则 AB 的长为（ ）
A．12 B．4 3 米 C．5 3 米 D．6 3 米
3．（2015•潍坊）一渔船在海岛 A 南偏东 20°方向的 B 处遇险，测得海岛 A 与 B 的距离为 20 海里，渔船将
险情报告给位于 A 处的救援船后，沿北偏西 80°方向向海岛 C 靠近，同时，从 A 处出发的救援船沿南偏西
10°方向匀速航行，20 分钟后，救援船在海岛 C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）
A．10 3 海里/小 B．30 海里/小时 C．20 3 海里/小时 D．30 3 海里/小时
4．（2015•东营）某校研究性学习小组测量学校旗杆 AB 的高度，如图在教学楼一楼 C 处测得旗杆顶部的仰
角为 60°，在教学楼三楼 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已
知每层楼的高度为 3 米，则旗杆 AB 的高度为 米．
5．（2015•泰安）如图，某海监船向正西方向航行，
在 A 处望见一艘正在作业渔船 D 在南偏西 45°方向，
海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东 45°方向，
又航行了半小时到达 C 处，望见渔船 D 在南偏东 60°
方向，若海监船的速度为 50 海里/小时，则 A，B 之
间的距离为 （取 3 1.7 ，结果精确到
0.1 海里）．
6．（2015•烟台）如图，一艘海上巡逻船在 A 地巡航，这时接到 B 地海
上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西 60°方向的 C 地，有一艘渔
船遇险，要求马上前去救援．此时 C 地位于北偏西 30°方向上，A 地
位于 B 地北偏西 75°方向上，A、B 两地之间的距离为 12 海里．求 A、
C 两地之间的距离（参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 6 ≈2.45，
结果精确到 0.1）
7．（2015•莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，
急需抢修，调度中心通知附近两个小岛 A、B 上的观测点进行
观测，从 A 岛测得渔船在南偏东 37°方向 C 处，B 岛在南偏东
66°方向，从 B 岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距
离是 72 海里，A 岛上维修船的速度为每小时 20 海里，B 岛上
维修船的速度为每小时 28.8 海里，为及时赶到维修，问调度
中心应该派遣哪个岛上的维修船？
（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，
cos66°≈0.4）
8.（2015•济宁）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图 1），A、B、
C 分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图 2），点 C 在点 A 的北偏
东 47°方向，点 B 在点 A 的南偏东 79°方向，且 A、B 两点的距离约为 5.5km；同时，点 B 在点 C 的南偏
西 36°方向．若一艘中国渔船以 30km/h 的速度从点 A 驶向点 C 捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数
点后两位）？（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）
8.解：过点 B 作 BD⊥AC 交 AC 于点 D，
由题意得，∠DAB=180°-47°-79°=54°，
∠DCB=47°-36°=11°，
在 Rt△ABD 中，
∵AB=5.5，∠DAB=54°，
AD
AB
=cos54°， BD
AB
=sin54°，
∴AD=5.5×0.59=3.245，BD=4.445，
在 Rt△BCD 中，
∵BD=4.445，∠DCB=11°，
∴ BD
DC
=tan11°，
∴CD= 4.445
0.19
=23.394，
∴AC=AD+CD=3.245+23.394≈26.64（km），
则时间 t=26.64÷30≈0.90（h）．
答：需要 0.90h 到达．
9．（2015•青岛）如图，马路的两边 CF，DE 互相平行，线段 CD 为人行横道，马
路两侧的 A，B 两点分别表示车站和超市．CD 与 AB 所在直线互相平行，且都与
马路的两边垂直，马路宽 20 米，A，B 相距 62 米，∠A=67°，∠B=37°．
（1）求 CD 与 AB 之间的距离；
（2）某人从车站 A 出发，沿折线 A→D→C→B 去超市 B．求他沿折线 A→D→C→B
到达超市比直接横穿马路多走多少米．
（参考数据：sin67°≈ 12
13
，cos67°≈ 5
13
，tan67°≈ 12
5
，sin37°≈ 3
5
，
cos37°≈ 4
5
，tan37°≈ 3
4
）
10．（2015•枣庄）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动
小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点 C，再在笔直的车道 l 上确定
点 D，使 CD 与 l 垂直，测得 CD 的长等于 21 米，在 l 上点 D 的同侧取点 A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．
（1）求 AB 的长（精确到 0.1 米，参考数据： 3 =1.73， 2 =1.41）；
（2）已知本路段对校车限速为 40 千米/小时，若测得某辆校车从
A 到 B 用时 2 秒，这辆校车是否超速？说明理由．
11．（2015•聊城）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树 AC 的 B（点 B 在 AC 上）
处，发现一只老鼠躲进短墙 DF 的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，
为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶 C 处，已知短墙高 DF=4 米，短墙底
部 D 与树的底部 A 的距离为 2.7 米，猫头鹰从 C 点观测 F 点的俯角为
53°，老鼠躲藏处 M（点 M 在 DE 上）距 D 点 3 米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至 C 处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到 0.1 米）？
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•天津）tan60°的值等于（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
2．（2015•温州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则 sinA 的值是（ ）
A． 3
4
B． 4
3
C． 3
5
D． 4
5
3．（2015•连云港）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 sinA= 5
13
，则 cosA 的值为（ ）
A． 5
12
B． 8
13
C． 2
3
D．12
13
4．（2015•乐山）如图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是（3，
m），且 OP 与 x 轴正半轴的夹角α的正切值是 4
3
，则 sinα的值为（ ）
A． 4
5
B． 5
4
C． 3
5
D． 5
3
5．（2015•孝感）式子 2 㻐ર30 흐 흐 45 2(1 tan 60 ) o 的值是（ ）
A．2 3 2흐 B．0 C．2 3 D．2
6．（2015•邵阳）在△ABC 中，若|sinA- 1
2
|+（cosB- 1
2
）2=0，则∠C 的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（2015•宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中 AB、CD 分别表示水库
上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC 的长是 50m，则水库大坝的高度 h 是（ ）
A．25 3 m B．25m C．25 2 m D． 50 3
3
m
8．（2015•山西）如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道（B、C 在同一水平面上）．为了测
量 B、C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从 C 地出发，垂直上升 100m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地的
俯角为 30°，则 B、C 两地之间的距离为（ ）
A．100 3 m B．50 2 m C．50 3 m D．100 3
3
m
二、填空题
9.（2015•武汉）计算：cos45°= ．
10．（2015•淮安）sin30°的值为 ．
11．（2015•大庆）计算：sin260°+cos60°-tan45°= ．
12．（2015•铜仁地区）如图，在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，AC=12，
AB=13，则 sinB 的值等于 ．
13．（2013•鞍山）△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA= 3
4
，则 BC 的长 ．
14．（2015•齐齐哈尔）请运用你喜欢的方法求 tan75°= ．
15．（2015•荆门）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 AB 的中点，过 D 点作 AB 的垂线交 AC 于点 E，
BC=6，sinA= 3
5
，则 DE= ．
16．（2015•成都）如图，某山坡的坡面 AB=200 米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高 BC 的长为 米．
17．（2015•十堰）如图，在小山的东侧 A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以 30 米/分的速度沿与地
面成 75°角的方向飞行，25 分钟后到达 C 处，此时热气球上的人测得小山西侧 B 点的俯角为 30°，则小
山东西两侧 A、B 两点间的距离为 米．
18．（2013•荆州）如图，在高度是 21 米的小山 A 处没得建筑物 CD 顶部 C 处的仰角为 30°，底部 D 处的俯
角为何 45°，则这个建筑物的高度 CD= 米（结果可保留根号）
三、解答题
19．（2015•绥化）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求 BC 的长．
20．（2015•常德）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，∠C=45°，sinB= 1
3
，AD=1．
（1）求 BC 的长； （2）求 tan∠DAE 的值．
∴21．（2015•南京）已知不等臂跷跷板 AB 长 4m．如图①，当 AB 的一端 A 碰到地面上时，AB 与地面的夹
角为α；如图②，当 AB 的另一端 B 碰到地面时，AB 与地面的夹角为β．求跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面的
高度 OH．（用含α，β的式子表示）
21．解：依题意有：AO=OH÷sinα，BO=OH÷sinβ，
AO+BO=OH÷sinα+OH÷sinβ，即 OH÷4+OH÷sinβ=4m，
则 OH= 4sin sin
sin sin
g m．
故跷跷板 AB 的支撑点 O 到地面的高度 OH 是 4sin sin
sin sin
g （m）．
22．（2015•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图 1 所示，点 A 是栏杆转动的支点，点 E 是栏杆两
段的连接点．当车辆经过时，栏杆 AEF 升起后的位置如图 2 所示，其示意图如图 3 所示，其中 AB⊥BC，EF
∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2 米，求当车辆经过时，栏杆 EF 段距离地面的高度（即直线 EF 上任意一点
到直线 BC 的距离）．
（ 结 果 精 确 到 0.1 米 ， 栏 杆 宽 度 忽 略 不 计 参 考 数 据 ： sin 37°≈0.60 ， cos 37°≈0.80 ，
tan 37°≈0.75．）
22．解：如图，过点 A 作 BC 的平行线 AG，过点 E 作 EH⊥AG 于 H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．
∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，
∴∠EAH=∠EAB-∠BAG=53°．
在△EAH 中，∠EHA=90°，∠AEH=90°-∠EAH=37°，AE=1.2 米，
∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），
∵AB=1.2 米，
∴栏杆 EF 段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．
故栏杆 EF 段距离地面的高度为 2.2 米．
23.（2015•绍兴）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄 AP 始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当
伞收紧时，结点 D 与点 M 重合，且点 A、E、D 在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm
伞架 DE DF AE AF AB AC
长度 36 36 36 36 86 86
（1）求 AM 的长．
（2）当∠BAC=104°时，求 AD 的长（精确到 1cm）．
备用数据：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．
23．解：（1）由题意，得 AM=AE+DE=36+36=72（cm）．
故 AM 的长为 72cm；
（2）∵AP 平分∠BAC，∠BAC=104°，
∴∠EAD= 1
2
∠BAC=52°．
如图，过点 E 作 EG⊥AD 于 G，
∵AE=DE=36，
∴AG=DG，AD=2AG．
在△AEG 中，∵∠AGE=90°，
∴AG=AE•cos∠EAG=36•cos52°=36×0.6157=22.1652，
∴AD=2AG=2×22.1652≈44（cm）．
故 AD 的长约为 44cm．
24．（2013•沈阳）身高 1.65 米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图
形中，矩形 CDEF 代表建筑物，兵兵位于建筑物前点 B 处，风筝挂在建筑物上方的树枝点 G 处（点 G 在 FE
的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离 BC=5 米，建筑物底部宽 FC=7 米，风筝所在点 G 与建筑物顶
点 D 及风筝线在手中的点 A 在同一条直线上，点 A 距地面的高度 AB=1.4 米，风筝线与水平线夹角为 37°．
（1）求风筝距地面的高度 GF；
（2）在建筑物后面有长 5 米的梯子 MN，梯脚 M 在距墙 3 米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用
梯子和一根米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
24．解：（1）如图，过 A 作 AP⊥GF 于点 P．
则 AP=BF=12，AB=PF=1.4，∠GAP=37°，
在直角△PAG 中，tan∠PAG= GP
AP
，
∴GP=AP•tan37°≈12×0.75=9（米），
∴GF=9+1.4≈10.4（米）；
（2）由题意可知 MN=5，MF=3，
∴在直角△MNF 中，NF= 2 2MN MF =4，
∵10.4-5-1.65=3.75＜4，
∴能触到挂在树上的风筝．
25．（2015•遵义）我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置
在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点 D 处，用 1 米高的测角仪 CD，从点 C 测得宣传牌的底部
B 的仰角为 37°，然后向教学楼正方向走了 4 米到达点 F 处，又从点 E 测得宣传牌的顶部 A 的仰角为 45°．已
知教学楼高 BM=17 米，且点 A，B，M 在同一直线上，求宣传牌 AB 的高度（结果精确到 0.1 米，参考数据：
3 ≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．
25．解：如图，过点 C 作 CN⊥AM 于点 N，则点 C，E，N 在同一直线上，
设 AB=x 米，则 AN=x+（17-1）=x+16（米），
在 Rt△AEN 中，∠AEN=45°，
∴EN=AN=x+16，
在 Rt△BCN 中，∠BCN=37°，BM=17，
∴tan∠BCN= BN
CN
=0.75，
∴ 17 1
20x
3
4
，
解得：x=1 1
3
≈1.3．
经检验：x=1 1
3
是原分式方程的解．
答：宣传牌 AB 的高度约为 1.3m．
26．（2013•钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰
角为 60°．沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45°，已知山坡 AB 的坡度 i=1： 3 ，AB=10
米，AE=15 米．（i=1： 3 是指坡面的铅直高度 BH 与水平宽度 AH 的比）
（1）求点 B 距水平面 AE 的高度 BH；
（2）求广告牌 CD 的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米．参考数据： 2 1.414， 3 1.732）
26．解：（1）如图，过 B 作 BG⊥DE 于 G，
Rt△ABF 中，i=tan∠BAH= 1
3
= 3
3
，
∴∠BAH=30°，
∴BH= 1
2
AB=5；
（2）由（1）得：BH=5，AH=5 3 ，
∴BG=AH+AE=5 3 +15，
Rt△BGC 中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=5 3 +15．
Rt△ADE 中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE= 3 AE=15 3 ．
∴CD=CG+GE-DE=5 3 +15+5-15 3 =20-10 3 ≈2.7m．
答：宣传牌 CD 高约 2.7 米．
第五章 四边形
第二十讲 多边形与平行四边形
【基础知识回顾】
一、 多边形：
1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多
边形，各边相等、 也相等的多边形叫做正多边形
2、多边形的内外角和：
n(n≥3)的内角和是 外角和是 正 n 边形的每个外角的度数是 ，每个内
角的度数是 。
3、多边形的对角线：
多边形的对角线是连接多边形 的两个顶点的线段，从 n 边形的一个顶点出发有 条对
角线，将多边形分成 个三角形，一个 n 边形共有 条对边线
【名师提醒：1、三角形是边数最少的多边形 2、所有的正多边形都是轴对称图形，正 n 边形共有
条对称轴，边数为 数的正多边形也是中心对称图形】
二、平面图形的密铺：
1、定义：用 、 完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间 、 地
铺成一起，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的 。
2、密铺的方法：⑴用同一种正多边形密铺，可以用 、 或
⑵用两种正多边形密铺，组合方式
有： 和 、 和 、 和 等几种
【名师提醒：能密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 并
使相等的边互相平合】
三、平行四边形
1、定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形，平行四边形 ABCD 可表示为
2、平行四边形的特质：
⑴平行四边形的两组对边分别
⑵平行四边形的两组对角分别
⑶平行四边形的对角线
【名师提醒：1、平行四边形是 对称图形，对称中心是 过对角线交点的任一直线被一组对
边截得的线段 该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】
3、平行四边形的判定：
⑴用定义判定
⑵两组对边分别 的四边形是平行四边形
⑶一组对边 的四边形是平行四边形
⑷两组对角分别 的四边形是平行四边形
⑸对角线 的四边形是平行四边形
【名师提醒：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边
形都不能保证是平行四边形】
4、平行四边形的面积：计算公式 ×
同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积
【名师提醒：夹在两平行线间的平行线段 两平行线之间的距离处处 】
【重点考点例析】
考点一：多边形内角和、外角和公式
例 1 （2015•梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
对应训练
1．（2015 长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
1．A
考点二：平面图形的密铺
例 2 （2015•漳州）用下列一种多边形不能铺满地面的是（ ）
A．正方形 B．正十边形 C．正六边形 D．等边三角形
对应训练
2．（2015•呼和浩特）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ）
A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形
2．C
考点三：平行四边形的性质
例 3 （2015•益阳）如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错
误的是（ ）
A．∠1 ∠2 B．∠BAD ∠BCD C．AB CD
对应训练
3．（2015•黔西南州）已知▱ABCD 中，∠A+∠C 200 ，则∠B 的度数是
（ ）
A．100 B．160 C．80 D．60
4．（2015•长春）在△ABC 中，AB AC，点 D、E、F 分别是 AC、BC、
BA 延长线上的点，四边形 ADEF 为平行四边形．求证：AD BF．
考点四：平行四边形的判定
例 5 （2015•荆门）四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD BC；③OA OC；④OB OD
从中任选两个条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有（ ）
A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种
故选：B．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
对应训练
5．（2015•泸州）四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点
O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB DC，
AD BC
C．AO CO，BO DO D．AB∥DC，AD BC
【聚焦山东中考】
1．（2015•烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 720 ，那么原多边形的边数为
（ ）
A．5 B．5 或 6 C．5 或 7
2．（2015•泰安）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB 4，∠
BAD 的平分线与 BC 的延长线交于点 E，与 DC 交于点 F，且
点 F 为边 DC 的中点，DG⊥AE，垂足为 G，若 DG 1，则
AE 的边长为（ ）
A．2 3 B．4 3 C．4
3．（2015•莱芜）正十二边形每个内角的度数为 ．
4．（2015 菏泽）如图，▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，∠AEB 45 ，BD 2，将△ABC 沿 AC
所在直线翻折 180 到其原来所在的同一平面内，若点 B 的落点记为 B′，则 DB′的长为 ．
5．（2015•莱芜）如图，在 R △ABC 中，∠C 90 ，以 AC 为一边向外
作等边三角形 ACD，点 E 为 AB 的中点，连结 DE．
（1）证明 DE∥CB；
（2）探索 AC 与 AB 满足怎样的数量关系时，四边形 DCBE 是平行四
边形．
6．（2015•日照）如图，已知四边形 ABDE 是平行四边形，C 为边
BD 延长线上一点，连结 AC、CE，使 AB AC．
（1）求证：△BAD≌△AEC；
（2）若∠B 30 ，∠ADC 45 ，BD 10，求平行四边形 ABDE 的
面积．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•资阳）一个正多边形的每个外角都等于 36 ，那么它是（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十
2．（2015•湛江）已知一个多边形的内角和是 540 ，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
3．（2015•六盘水）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是（ ）
A．正三角形 B．正六边形 C．正方形 D．正五边形
4．（2015•襄阳）如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，且 AB 5，△
OCD 的周长为 23，则平行四边形 ABCD 的两条对角线的和是（ ）
A．18 B．28 C．36 D．46
5．（2015•湘西州）如图，在▱ABCD 中，E 是 AD 边上的中点，连接 BE，
并延长 BE 交 CD 延长线于点 F，则△EDF 与△BCF 的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
6．（2015•云南）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，
下列结论正确的是（ ）
A．S▱ABCD 4S△AOB B．AC BD
C．AC⊥BD D．▱ABCD 是轴对称图形
7．（2015•无锡）如图，平行四边形 ABCD 中，AB：BC=3：2，
∠DAB=60°，E 在 AB 上，且 AE：EB=1：2，F 是 BC 的中点，
过 D 分别作 DP⊥AF 于 P，DQ⊥CE 于 Q，则 DP：DQ 等于（ ）
A．3：4 B． 13 ：2 5 C． 13 ：2 6
二、填空题
8．（2015•无锡）六边形的外角和等于 度．
9．（2013•遂宁）若一个多边形内角和等于 1260 ，则该多边形边数
是 ．
10．（2015•三明） 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，请你添加一个
条件，使得四边形 ABCD 成为平行四边形，你添加的条件是 ．
11．（2015•乐山）如图，在四边形 ABCD 中，∠A 45 ．直线 l 与边 AB，AD 分别相交于点 M，N，则∠
1+∠2 ．
12．（2015•江西）如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD 60 ，∠F 110 ，则∠DAE 的度数为 ．
13．（2015•安徽）如图，P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点，E、F 分别为 PB、PC 的中点，△PEF、
△PDC、△PAB 的面积分别为 S、S1、S2，若 S 2，则 S1+S2 ．
14．（2015 荆州）如图，△ACE 是以▱ABCD 的对角线 AC 为边的等边三角形，点 C 与点 E 关于 轴对称．若
E 点的坐标是（7，흐3 3 ），则 D 点的坐标是 ．
15．（2015•十堰）如图，▱ABCD 中，∠ABC 60 ，E、F 分别在 CD 和 BC 的延长线上，AE∥BD，EF
⊥BC，EF 3 ，则 AB 的长是 ．
三、解答题
16．（2015•大连）如图，▱ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、BC 上，且 AE CF．求证：BE DF．
17．（2015•郴州）如图，已知 BE∥DF，∠ADF ∠CBE，AF CE，求证：四边形 DEBF 是平行四边形．
18．（2015•广安）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE∥CF，求证：△ABE
≌△CDF．
19．（2015•鞍山）如图，E，F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上两点，AF CE，
DF BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形 ABCD 是平行四边形．
20．（2015•台州）如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别在边 DC，AB 上，
DE BF，把平行四边形沿直线 EF 折叠，使得点 B，C 分别落在 B′，C′
处，线段 EC′与线段 AF 交于点 G，连接 DG，B′G．
求证：（1）∠1 ∠2；
（2）DG B′G．
20．证明：（1）∵在平行四边形 ABCD 中，DC∥AB，
∴∠2 ∠FEC，
由折叠得：∠1 ∠FEC，
∴∠1 ∠2；
（2）∵∠1 ∠2，
∴EG GF，
∵AB∥DC，
∴∠DEG ∠EGF，
由折叠得：EC′∥B′F，
∴∠B′FG ∠EGF，
∵DE BF B′F，
∴DE B′F，
∴△DEG≌△B′FG，
∴DG B′G．
21．（2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，垂足为 E，
CE CD，点 F 为 CE 的中点，点 G 为 CD 上的一点，连接 DF、EG、
AG，∠1 ∠2．
（1）若 CF 2，AE 3，求 BE 的长；
（2）求证：∠CEG 1
2
∠AGE．
21．（1）解：∵CE CD，点 F 为 CE 的中点，CF 2，
∴DC CE 2CF 4，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB CD 4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB 90 ，
在 R △ABE 中，由勾股定理得：BE 2 24 3 7 ；
（2）证明：如图，过 G 作 GM⊥AE 于 M，
∵AE⊥BE，
∴GM∥BC∥AD，
∵在△DCF 和△ECG 中，
1 2
C C
CD CE
∴△DCF≌△ECG（AAS），
∴CG CF，
∵CE CD，CE 2CF，
∴CD 2CG
即 G 为 CD 中点，
∵AD∥GM∥BC，
∴M 为 AE 中点，
∵GM⊥AE，
∴AM EM，
∴∠AGE 2∠MGE，
∵GM∥BC，
∴∠EGM ∠CEG，
∴∠CEG 1
2
∠AGE．
22．（2013•北京）如图，在▱ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点
E，使 CE 1
2 BC，连接 DE，CF．
（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形；
（2）若 AB 4，AD 6，∠B 60 ，求 DE 的长．
．23．（2013•兰州）如图 1，在△OAB 中，∠OAB 90 ，∠AOB 30 ，OB 8．以 OB 为边，在△OAB
外作等边△OBC，D 是 OB 的中点，连接 AD 并延长交 OC 于 E．
（1）求证：四边形 ABCE 是平行四边形；
（2）如图 2，将图 1 中的四边形 ABCO 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 FG，求 OG 的长．
23．（1）证明：∵R △OAB 中，D 为 OB 的中点，
∴DO DA，
∴∠DAO ∠DOA 30 ，∠EOA 90 ，
∴∠AEO 60 ，
又∵△OBC 为等边三角形，
∴∠BCO ∠AEO 60 ，
∴BC∥AE，
∵∠BAO ∠COA 90 ，
∴CO∥AB，
∴四边形 ABCE 是平行四边形；
（2）解：设 OG ，由折叠可得：AG GC 8흐 ，
在 R △ABO 中，
∵∠OAB 90 ，∠AOB 30 ，BO 8，
∴AO BO• 㻐ર30 8 3
2 4 3 ，
在 R △OAG 中，OG2+OA2 AG2，
2+（4 3 ）2 （8흐 ）2，
解得： 1，
∴OG 1．
第二十一讲 矩形 菱形 正方形
【基础知识回顾】
一、矩形：
1、定义：有一个角是 角的平行四边形叫做矩形
2、矩形的性质：
⑴矩形的四个角都
⑵矩形的对角线
3、矩形的判定：
⑴用定义判定
⑵有三个角是直角的 是矩形
⑶对角线相等的 是矩形
【名师提醒：1、矩形是 对称图形，对称中心是 ，矩形又是 对称图形，对称
轴有 条 2、矩形被它的对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形 3、
矩形中常见题目是对角线相交成 600 或 1200 角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】
二、菱形：
1、定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都
⑵菱形的对角线 且每条对角线
3、菱形的判定：⑴用定义判定
⑵对角线互相垂直的 是菱形
⑶四条边都相等的 是菱形
【名师提醒：1、菱形既是 对称图形，也是 对称图形，它有 条对称轴，分别是
2、菱形被对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形 3、菱形的面积可以用
平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的 来计算 4、菱形常见题目是内角为 1200 或 600
时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】
三、正方形：
1、定义：有一组邻边相等的 是正方形，或有一个角是直角的 是正方形
2、性质：⑴正方形四个角都 都是 角，
⑵正方形四边条都
⑶正方形两对角线 、 且 每条对角线平分一组内角
3、判定：⑴先证是矩形，再证
⑵先证是菱形，再证
【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这
四者之间的关系可表示为：
2、正方形也既是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴
3、几种特殊四边形的性质和判定都是从 、 、 三个方面来看的，要注意它们的区
别和联系】
【重点考点例析】
考点一：与矩形有关的折叠问题
例 1 （2015•泸州）如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，把△ADE
沿 AE 对折，点 D 的对称点 F 恰好落在 BC 上，已知折痕 AE 10 5 ，且
∠EFC 3
4
，那么该矩形的周长为（ ）
A．72 B．36 C．20
D．16
对应训练
1．（2015•湖州）如图，已知四边形 ABCD 是矩形，把矩形沿直线 AC 折叠，
点 B 落在点 E 处，连接 DE．若 DE：AC 3：5，则 AD
AB
的值为（ ）
A． 1
2 B． 3
3 C． 2
3 D． 2
2
考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题
例 2 （2015•泉州）如图，菱形 ABCD 的周长为 8 5 ，对角线 AC 和
BD 相交于点 O，AC：BD 1：2，则 AO：BO ，菱形 ABCD 的
面积 S ．
对应训练
2．（2015•凉山州）如图，菱形 ABCD 中，∠B 60 ，AB 4，则以 AC 为
边长的正方形 ACEF 的周长为（ ）
A．14 B．15 C．1 D．17
考点三：和正方形有关的证明题
例 3 （2015•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为 2 和 3 的两个正方形放置在直线 l 上，如图 1，他
连结 AD、CF，经测量发现 AD CF．
（1）他将正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转一定的角度，如图 2，试判断 AD 与 CF 还相等吗？说明你的
理由；
（2）他将正方形 ODEF 绕 O 点逆时针旋转，使点 E 旋转至直线 l 上，如图 3，请你求出 CF 的长．
思路分析：（1）根据正方形的性质可得 AO CO，OD OF，∠AOC ∠DOF 90 ，然后求出∠AOD ∠COF，
再利用“边角边”证明△AOD 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）与（1）同理求出 CF AD，连接 DF 交 OE 于 G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得 DF⊥OE，
DG OG 1
2 OE，再求出 AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出 AD．
解：（1）AD CF．
理由如下：在正方形 ABCO 和正方形 ODEF 中，AO CO，OD OF，∠AOC ∠DOF 90 ，
∴∠AOC+∠COD ∠DOF+∠COD，
即∠AOD ∠COF，
在△AOD 和△COF 中，
AO CO
AOD COF
OD OF
， ∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD CF；
（2）与（1）同理求出 CF AD，
如图，连接 DF 交 OE 于 G，则 DF⊥OE，DG OG 1
2 OE，
∵正方形 ODEF 的边长为 2 ，
∴OE 2 2 2，
∴DG OG 1
2 OE 1
2 2 1，
∴AG AO+OG 3+1 4，
在 R △ADG 中，AD 2 2 2 24 1 17AG DG ，
∴CF AD 17 ．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四
条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角
形是解题的关键．
对应训练
3．（2015•三明）如图①，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一点，点 E 在 BC 的延长线上，且 PE PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE ∠ABC；
（3）把正方形 ABCD 改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC 58 ，则∠DPE 度．
3．（1）证明：在正方形 ABCD 中，BC DC，∠BCP ∠DCP 45 ，
∵在△BCP 和△DCP 中，
BC DC
BCP DCP
PC PC
， ∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP ∠CDP，
∵PE PB，
∴∠CBP ∠E，
∴∠DPE ∠DCE，
∵∠1 ∠2（对顶角相等），
∴180 흐∠1흐∠CDP 180 흐∠2흐∠E，
即∠DPE ∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE ∠ABC，
∴∠DPE ∠ABC；
（3）解：与（2）同理可得：∠DPE ∠ABC，
∵∠ABC 58 ，
∴∠DPE 58 ．
故答案为：58．
考点四：四边形综合性题目
例 4 （2015•资阳）在一个边长为 （单位： ）的正方形 ABCD 中，点 E、M 分别是线段 AC，CD 上
的动点，连结 DE 并延长交正方形的边于点 F，过点 M 作 MN⊥DF 于 H，交 AD 于 N．
（1）如图 1，当点 M 与点 C 重合，求证：DF MN；
（2）如图 2，假设点 M 从点 C 出发，以 1 /ર 的速度沿 CD 向点 D 运动，点 E 同时从点 A 出发，以 2 /ર
速度沿 AC 向点 C 运动，运动时间为 （ ＞0）；
①判断命题“当点 F 是边 AB 中点时，则点 M 是边 CD 的三等分点”的真假，并说明理由．
②连结 FM、FN，△MNF 能否为等腰三角形？若能，请写出 ， 之间的关系；若不能，请说明理由．
思路分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到 DF MN；
（2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间 1
3 ，进而得到 CM 1
3 1
3 CD，所以该命题为
真命题；
②若△MNF 为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．
解：（1）证明：∵∠DNC+∠ADF 90 ，∠DNC+∠DCN 90 ，
∴∠ADF ∠DCN．
在△ADF 与△DNC 中，
90DAF CDN
AD CD
ADF DCN
， ∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF MN．
（2）解：①该命题是真命题．
理由如下：当点 F 是边 AB 中点时，则 AF 1
2 AB 1
2 CD．
∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，
∴ AE
EC AF
CD 1
2
，
∴AE 1
2 EC，则 AE 1
3 AC 2
3 ，
∴
2
AE 1
3 ．
则 CM 1• 1
3 1
3 CD，
∴点 M 为边 CD 的三等分点．
②能．理由如下：
易证 AFE∽△CDE，∴ AF
CD AE
EC
，即 2
2 2
AF t
a a t
，得 AF at
a t
．
易证△MND∽△DFA，∴ ND DM
AF AD
，即 ND a t
at a
a t
，得 ND ．
∴ND CM ，AN DM 흐 ．
若△MNF 为等腰三角形，则可能有三种情形：
（I）若 FN MN，则由 AN DM 知△FAN≌△NDM，
∴AF DM，即 at
a t ，得 0，不合题意．
∴此种情形不存在；
（II）若 FN FM，由 MN⊥DF 知，HN HM，∴DN DM MC，
∴ 1
2 ，此时点 F 与点 B 重合；
（III）若 FM MN，显然此时点 F 在 BC 边上，如下图所示：
易得△MFC≌△NMD，∴FC DM 흐 ；
又由△NDM∽△DCF，∴ DN DC
DM FC
，即 t a
a t FC
，∴FC ( )a a t
t
．
∴ ( )a a t
t
흐 ，
∴ ，此时点 F 与点 C 重合．
综上所述，当 或 1
2 时，△MNF 能够成为等腰三角形．
点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、
等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）
明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学
思想，避免漏解．
对应训练
4．（2015•营口）如图 1，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB 90 ，F 是 AC 边上的一个动点（点 F 与 A、
C 不重合），以 CF 为一边在等腰直角三角形外作正方形 CDEF，连接 BF、AD．
（1）①猜想图 1 中线段 BF、AD 的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②将图 1 中的正方形 CDEF，绕着点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图 2、图 3 的
情形．图 2 中 BF 交 AC 于点 H，交 AD 于点 O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图 2 证
明你的判断．
（2）将原题中的等腰直角三角形 ABC 改为直角三角形 ABC，∠ACB 90 ，正方形 CDEF 改为矩形 CDEF，
如图 4，且 AC 4，BC 3，CD 4
3
，CF 1，BF 交 AC 于点 H，交 AD 于点 O，连接 BD、AF，求 BD2+AF2
的值．
4．解：（1）①BF AD，BF⊥AD；
②BF AD，BF⊥AD 仍然成立，
证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB 90 ，
∴AC BC，
∵四边形 CDEF 是正方形，
∴CD CF，∠FCD 90 ，
∴∠ACB+∠ACF ∠FCD+∠ACF，
即∠BCF ∠ACD，
在△BCF 和△ACD 中
BC AC
BCF ACD
CF CD
，
∴△BCF≌△ACD（SAS），
∴BF AD，∠CBF ∠CAD，
又∵∠BHC ∠AHO，∠CBH+∠BHC 90 ，
∴∠CAD+∠AHO 90 ，
∴∠AOH 90 ，
∴BF⊥AD；
（2）证明：连接 DF，
∵四边形 CDEF 是矩形，
∴∠FCD 90 ，
又∵∠ACB 90 ，
∴∠ACB ∠FCD
∴∠ACB+∠ACF ∠FCD+∠ACF，
即∠BCF ∠ACD，
∵AC 4，BC 3，CD 4
3
，CF 1，
∴ 3
4
BC CF
AC CD
，
∴△BCF∽△ACD，
∴∠CBF ∠CAD，
又∵∠BHC ∠AHO，∠CBH+∠BHC 90
∴∠CAD+∠AHO 90 ，
∴∠AOH 90 ，
∴BF⊥AD，
∴∠BOD ∠AOB 90 ，
∴BD2 OB2+OD2，AF2 OA2+OF2，AB2 OA2+OB2，DF2 OF2+OD2，
∴BD2+AF2 OB2+OD2+OA2+OF2 AB2+DF2，
∵在 R △ABC 中，∠ACB 90 ，AC 4，BC 3，
∴AB2 AC2+BC2 32+42 25，
∵在 R △FCD 中，∠FCD 90 ，CD 4
3
，CF 1，
∴DF2 CD2+CF[ 2 4
3 12+2 25
9
，
∴BD2+AF2 AB2+DF+25 2 25
9 250
9
．
【聚焦山东中考】
1．（2015•威海）如图，在△ABC 中，∠ACB 90 ，BC 的垂直平分线 EF
交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 BE BF，添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是（ ）
A．BC AC B．CF⊥BF C．BD DF D．AC BF
2．（2015•枣庄）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E，使 ME MC，
以 DE 为边作正方形 DEFG，点 G 在边 CD 上，则 DG 的长为（ ）
A． 3 1흐 B．흐3 5 C． 5 1+ D． 5 1흐
3．（2015•临沂）如图，菱形 ABCD 中，AB 4，∠B 60 ，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F，连接
EF，则△AEF 的面积是 ．
4．（2015•烟台）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 BC 上，四边形 EFGB 也是正方形，以 B 为圆
心，BA 长为半径画 »AC ，连结 AF，CF，则图中阴影部分面积为 ．
5．（2015•济南）如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD
上，下列结论：
①CE CF；②∠AEB 75 ；③BE+DF EF；④S 正方形 ABCD 2+ 3 ．
其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．
6．（2015•济宁）如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、DC 上的点，且 AF⊥BE．
（1）求证：AF BE；
（2）如图 2，在正方形 ABCD 中，M、N、P、Q 分别是边 AB、BC、CD、DA 上的点，且 MP⊥NQ．MP
与 NQ 是否相等？并说明理由．
6．（1）证明：在正方形 ABCD 中，AB AD，∠
BAE ∠D 90 ，
∴∠DAF+∠BAF 90 ，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF 90 ，
∴∠ABE ∠DAF，
∵在△ABE 和△DAF 中，
ABE DAF
AB AD
BAE D
，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴AF BE；
（2）解：MP 与 NQ 相等．
理由如下：如图，过点 A 作 AF∥MP 交 CD 于 F，过点 B 作 BE∥NQ 交 AD 于 E，
则与（1）的情况完全相同．
7．（2015•青岛）已知：如图，在矩形 ABCD 中，M，N 分别是边 AD、
BC 的中点，E，F 分别是线段 BM，CM 的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形 MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当 AD：AB 时，四边形 MENF 是正方形（只写结论，
不需证明）
8．（2015•淄博）矩形纸片 ABCD 中，AB 5，AD 4．
（1）如图 1，四边形 MNEF 是在矩形纸片 ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个
面积最大的
正方形，最
大面积是多
少？说明理
由；
（2）请用矩形纸片 ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图 2 的矩形 ABCD 中画出裁剪线，并
在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．
8．解：（1）正方形的最大面积是 16．设 AM x（0 x 4），则 MD 4흐x．
∵四边形 MNEF 是正方形，
∴MN MF，∠AMN+∠FMD 90 ．
∵∠AMN+∠ANM 90 ，
∴∠ANM ∠FMD．
∵在△ANM 和△DMF 中
A D
ANM FMD
MN FM
， ∴△ANM≌△DMF（AAS）．
∴DM AN．
∴S 正方形 MNEF MN2 AM2+AN2，
2+（4흐 ）2，
2（ 흐2）2+8
∵函数 S 正方形 MNEF 2（ 흐2）2+8 的开口向上，
对称轴是 x 2，
在对称轴的左侧 S 随 的增大而减小，在对称轴的右侧 S 随 的增大而增大，
∵0 x 4，
∴当 x 0 或 x 4 时，
正方形 MNEF 的面积最大．
最大值是 16．
（2）先将矩形纸片 ABCD 分割成 4 个全等的直角三角形和两个矩形如图 1，然后拼成如图 2 的正方形．
9．（2015•济南）（1）如图 1，已知△ABC，以 AB、AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE，连
接 BE，CD，请你完成图形，并证明：BE CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；
（2）如图 2，已知△ABC，以 AB、AC 为边向外作正方形 ABFD 和正方形 ACGE，连接 BE，CD，BE
与 CD 有什么数量关系？简单说明理由；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图 3，要测量池塘两岸相对的两点 B，E 的距离，已经测得∠ABC 45 ，∠CAE 90 ，AB BC 100 米，
AC AE，求 BE 的长．
9．解：（1）完成图形，如图所示：
证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，
∴AD AB，AC AE，∠BAD ∠CAE 60 ，
∴∠BAD+∠BAC ∠CAE+∠BAC，即∠CAD ∠EAB，
∵在△CAD 和△EAB 中，
AD AB
CAD EAB
AC AE
， ∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE CD；
（2）BE CD，理由同（1），
∵四边形 ABFD 和 ACGE 均为正方形，
∴AD AB，AC AE，∠BAD ∠CAE 90 ，
∴∠CAD ∠EAB，
∵在△CAD 和△EAB 中，
AD AB
CAD EAB
AC AE
， ∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE CD；
（3）由（1）、（2）的解题经验可知，如图，过 A 作等腰直角三角形 ABD，∠BAD 90 ，
则 AD AB 100 米，∠ABD 45 ，
∴BD 100 2 米，
连接 CD，则由（2）可得 BE CD，
∵∠ABC 45 ，∴∠DBC 90 ，
在 R △DBC 中，BC 100 米，BD 100 2 米，
根据勾股定理得：CD 2 2100 (100 2) 100 3 米，
则 BE CD 100 3 米．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•铜仁地区）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．（2015•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
3．（2013•随州）如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD 120 ．已知△ABC 的周长是 15，则菱形 ABCD 的周
长是（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
4．（2015•重庆）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB 6 ，BC 8 ，现将其沿 AE 对折，使得点 B 落在边
AD 上的点 B1 处，折痕与边 BC 交于点 E，则 CE 的长为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
5．（2015•南充）如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B′处，若 AE 2，DE 6，∠EFB 60 ，
则矩形 ABCD 的面积是（ ）
A．12 B．24 C．12 3 D．16 3
6．（2015•巴中）如图，菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O，若 AC 6，BD 4，则菱形 ABCD 的周长是
（ ）
A．24 B．16 C．4 3 D．2 3
7（2015•茂名）如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠AOD 60 ，AD 2，则 AC 的长是（ ）
A．2 B．4 C． 2 3 D．4 3
8．（2015•成都）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 和点 C′重合，若 AB 2，则 C′D 的长为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2015•包头）如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFC 是两个矩形，点 B 在 EF 边上，若矩形 ABCD 和矩
形 AEFC 的面积分别是 S1、S2 的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1 S2 C．S1＜S2 D．3S1 2S2
10．（2015•扬州）如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD 80 ，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，垂足为
E，连接 DF，则∠CDF 等于（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
11．（2015•绵阳）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 8 ，BD 6 ，DH⊥AB 于点 H，且 DH 与
AC 交于 G，则 GH （ ）
A． 28
25 B． 21
20 C． 28
15 D． 25
21
12．（2015•雅安）如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接 AC
交 EF 于 G，下列结论：①BE DF，②∠DAF 15 ，③AC 垂直平分 EF，④BE+DF EF，⑤S△CEF 2S△ABE．其
中正确结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
13．（2015•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮
筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改
变．当∠α为흐흐흐흐흐흐 度时，两条对角线长度相等．
14．（2015•淮安）若菱形的两条对角线分别为 2 和 3，则此菱形的面积
是 ．
15．（2013•无锡）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC 交 BD 于 O，AB 8，E 是 CD 的中点，则 OE 的长
等于 ．
16．（2015•黔西南州）如图所示，菱形 ABCD 的边长为 4，且 AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，∠B 60 ，
则菱形的面积为 ．
17．（2015•攀枝花）如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB 于点 E， 㻐રA 3
5
，BE 4，则 ∠DBE 的值是 ．
18．（2015•南充）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，过点 A 作 AE⊥AC，AE 1，连接 BE，则 E ．
19．（2015•苏州）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，将△ADE 沿 AE 折叠后得到△AFE，
且点 F 在矩形 ABCD 内部．将 AF 延长交边 BC 于点 G．若 1CG
GB k
，则 AD
AB
用含 k 的代数式表示）．
20．（2015•哈尔滨）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OE⊥AC 交 AB 于 E，
若 BC 4，△AOE 的面积为 5，则 રi ∠BOE 的值为 ．
21．（2015•北京）如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中
点，M 是 AD 的中点．若 AB 5，
AD 12，则四边形 ABOM 的周长
为 ．
22．（2015•南京）如图，将菱形纸片 ABCD 折叠，使点 A 恰好落在菱形的对称中心 O 处，折痕为 EF，
若菱形 ABCD 的边长为 2 ，∠A 120 ，则 EF ．
23．（2015•舟山）如图，正方形 ABCD 的边长为 3，点 E，F 分别在边
AB、BC 上，AE BF 1，小球 P 从 点 E 出发沿直线向点 F 运动，每当碰
到正方形的边时反弹，反弹时反射 角等于入射角．当小球 P 第一次碰到
点 E 时 ， 小 球 P 所 经 过 的 路 程 为 ．
24．（2015•桂林）如图，已知线段 AB 10，AC BD 2，点 P 是 CD 上一动点，分别以 AP、PB 为边向上、
向下作正方形 APEF 和 PHKB，设正方形对角线的交点分别为 O1、O2，当点 P 从点 C 运动到点 D 时，线
段 O1O2 中点 G 的运动路径的长是 ．
25．（2015•荆州）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把△ACD 沿 CA 方向平移得到△A1C1D1，
连结 AD1、BC1．若∠ACB 30 ，AB 1，CC1 ，△ACD 与△A1C1D1 重叠部分的面积为 ર，则下列结论：
①△A1AD1≌△CC1B；
②当 1 时，四边形 ABC1D1 是菱形；
③当 2 时，△BDD1 为等边三角形；
④ર 3
8
（ 흐2）2 （0＜ ＜2）；
其中正确的是 （填序号）．
三、解答题
26．（2015•南通）如图，AB AC，AD AE，DE BC，且∠BAD ∠CAE．
求证：四边形 BCDE 是矩形．
26．证明：∵∠BAD ∠CAE，
∴∠BAD흐∠BAC ∠CAE흐∠BAC，
∴∠BAE ∠CAD，
∵在△BAE 和△CAD 中
AE AD
BAE CAD
AB AC
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠BEA ∠CDA，BE CD，
∵DE BC，
∴四边形 BCDE 是平行四边形，
∵AE AD，
∴∠AED ∠ADE，
∵∠BEA ∠CDA，
∴∠BED ∠CDE，
∵四边形 BCDE 是平行四边形，
∴BE∥CD，
∴∠CDE+∠BED 180 ，
∴∠BED ∠CDE 90 ，
∴四边形 BCDE 是矩形．
27．（2015•广州）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD
相交于 O，AB 5，AO 4，求 BD 的长．
27．解：∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 相交于 O，
∴AC⊥BD，DO BO，
∵AB 5，AO 4，
∴BO 2 25 4 3，
∴BD 2BO 2 3 6．
28．（2013•厦门）如图所示，在正方形 ABCD 中，点 G 是边 BC 上任意一点，DE⊥AG，垂足为 E，延长
DE 交 AB 于点 F．在线段 AG 上取点 H，使得 AG DE+HG，连接 BH．求证：∠ABH ∠CDE．
28．证明：如图，在正方形 ABCD 中，AB AD，∠ABG ∠DAF 90 ，
∵DE⊥AG，
∴∠2+∠EAD 90 ，
又∵∠1+∠EAD 90 ，
∴∠1 ∠2，
在△ABG 和△DAF 中，
1 2
90
AB AD
ABG DAF
，
∴△ABG≌△DAF（ASA），
∴AF BG，AG DF，∠AFD ∠BGA，
∵AG DE+HG，AG DE+EF，
∴EF HG，
在△AEF 和△BHG 中，
AF BG
AFD BGA
EF HG
，
∴△AEF≌△BHG（SAS），
∴∠1 ∠3，
∴∠2 ∠3，
∵∠2+∠CDE ∠ADC 90 ，
∠3+∠ABH ∠ABC 90 ，
∴∠ABH ∠CDE．
29．（2013•黔东南州）如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是对角线 BD 上的一点，过点 M 作 ME∥CD 交
BC 于点 E，作 MF∥BC 交 CD 于点 F．求证：AM EF．
29．证明：过 M 点作 MQ⊥AD，垂足为 Q，作 MP 垂足 AB，垂足为 P，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴四边形 MFDQ 和四边形 PBEM 是正方形，四边形 APMQ 是矩形，
∴AP QM DF MF，PM PB ME，
∵在△APM 和△FME 中，
AP MF
APM FME
PM ME
， ∴△APM≌△FME（SAS），
∴AM EF．
30．（2015•铁岭）如图，△ABC 中，AB AC，AD 是△ABC 的角平分线，点
O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E，使 OE OD，连接 AE，BE．
（1）求证：四边形 AEBD 是矩形；
（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由．
30．（1）证明：∵点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E，使 OE OD，
∴四边形 AEBD 是平行四边形，
∵AB AC，AD 是△ABC 的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB 90 ，
∴平行四边形 AEBD 是矩形；
（2）当∠BAC 90 时，
理由：∵∠BAC 90 ，AB AC，AD 是△ABC 的角平分线，
∴AD BD CD，
∵由（1）得四边形 AEBD 是矩形，
∴矩形 AEBD 是正方形．
31．（2015•南宁）如图，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，
点 E、F 分别是边 BC、AD 的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B 60 ，AB 4，求线段 AE 的长．
31．解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB BC AD CD，∠B ∠D，
∵点 E、F 分别是边 BC、AD 的中点，
∴BE DF，
在△ABE 和△CDF 中，
∵
AB CD
B D
BE DF
， ∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵∠B 60 ，
∴△ABC 是等边三角形，
∵点 E 是边 BC 的中点，
∴AE⊥BC，
在 R △AEB 中，∠B 60 ，AB 4，
રi 60
4
AE AE
AB
，
解得 AE 2 3 ．
32．（2015•贵阳）已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 是 BC 上任意一点，连接 AF 交对角线 BD 于点 E，
连接 EC．
（1）求证：AE EC；
（2）当∠ABC 60 ，∠CEF 60 时，点 F 在线段 BC 上的什么位置？说明理由．
32．（1）证明：如图，连接 AC，
∵BD 也是菱形 ABCD 的对角线，
∴BD 垂直平分 AC，
∴AE EC；
（2）解：点 F 是线段 BC 的中点．
理由如下：在菱形 ABCD 中，AB BC，
又∵∠ABC 60 ，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC 60 ，
∵AE EC，∠CEF 60 ，
∴∠EAC 1
2
∠BAC 30 ，
∴AF 是△ABC 的角平分线，
∵AF 交 BC 于 F，
∴AF 是△ABC 的 BC 边上的中线，
∴点 F 是线段 BC 的中点．
33．（2015•曲靖）如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，连接 DE，过点 C
作 CF⊥DE 于 F，过点 A 作 AG∥CF 交 DE 于点 G．
（1）求证：△DCF≌△ADG．
（2）若点 E 是 AB 的中点，设∠DCF α，求 રi α的值．
33．（1）证明：在正方形 ABCD 中，AD DC，∠ADC 90 ，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD ∠CFG 90 ，
∵AG∥CF，
∴∠AGD ∠CFG 90 ，
∴∠AGD ∠CFD，
又∵∠ADG+∠CDE ∠ADC 90 ，
∠DCF+∠CDE 90 ，
∴∠ADG ∠DCF，
∵在△DCF 和△ADG 中，
AGD CFD
ADG DCF
AD DC
，
∴△DCF≌△ADG（AAS）；
（2）设正方形 ABCD 的边长为 2 ，
∵点 E 是 AB 的中点，
∴AE 1
2 2 ，
在 R △ADE 中，DE 2 2 2 2(2 ) 5AD AE a a a ，
∴રi ∠ADG 5
55
AE a
ED a
，
∵∠ADG ∠DCF α，
∴રi α 5
5
．
35．（2015•绥化）已知，在△ABC 中，∠BAC 90 ，∠ABC 45 ，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与
点 B，C 重合）．以 AD 为边做正方形 ADEF，连接 CF
（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时．求证 CF+CD BC；
（2）如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出 CF，BC，CD 三条线段之间
的关系；
（3）如图 3，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A，F 分别在直线 BC 的两侧，其他条件不变；
①请直接写出 CF，BC，CD 三条线段之间的关系；
②若正方形 ADEF 的边长为 2 2 ，对角线 AE，DF 相交于点 O，连接 OC．求 OC 的长度．
35．证明：（1）∵∠BAC 90 ，∠ABC 45 ，
∴∠ACB ∠ABC 45 ，
∴AB AC，
∵四边形 ADEF 是正方形，
∴AD AF，∠DAF 90 ，
∵∠BAD 90 흐∠DAC，∠CAF 90 흐∠DAC，
∴∠BAD ∠CAF，
则在△BAD 和△CAF 中，
AB AC
BAD CAF
AD AF
， ∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD CF，
∵BD+CD BC，
∴CF+CD BC；
（2）CF흐CD BC；
（3）①CD흐CF BC
②∵∠BAC 90 ，∠ABC 45 ，
∴∠ACB ∠ABC 45 ，
∴AB AC，
∵四边形 ADEF 是正方形，
∴AD AF，∠DAF 90 ，
∵∠BAD 90 흐∠BAF，∠CAF 90 흐∠BAF，
∴∠BAD ∠CAF，
∵在△BAD 和△CAF 中，
AB AC
BAD CAF
AD AF
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF ∠ABD，
∵∠ABC 45 ，
∴∠ABD 135 ，
∴∠ACF ∠ABD 135 ，
∴∠FCD 90 ，
∴△FCD 是直角三角形．
∵正方形 ADEF 的边长为 2 2 且对角线 AE、DF 相交于点 O．
∴DF 2 AD 4，O 为 DF 中点．
∴OC 1
2 DF 2．
36．（2015•盘锦）如图，正方形 ABCD 的边长是 3，点 P 是直线 BC 上一点，连接 PA，将线段 PA 绕点 P
逆时针旋转 90 得到线段 PE，在直线 BA 上取点 F，使 BF BP，且点 F 与点 E 在 BC 同侧，连接 EF，
CF．
（1）如图 ，当点 P 在 CB 延长线上时，求证：四边形 PCFE 是平行四边形；
（2）如图，当点 P 在线段 BC 上时，四边形 PCFE 是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在（2）的条件下，四边形 PCFE 的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时 BP 长；
若没有，请说明理由．
36．解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB BC，∠ABC ∠PBA 90
∵在△PBA 和△FBC 中，
AB BC
PBA ABC
BP BF
，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA FC，∠PAB ∠FCB．
∵PA PE，
∴PE FC．
∵∠PAB+∠APB 90 ，
∴∠FCB+∠APB 90 ．
∵∠EPA 90 ，
∴∠APB+∠EPA+∠FPC 180 ，
即∠EPC+∠PCF 180 ，
∴EP∥FC，
∴四边形 EPCF 是平行四边形；
（2）结论：四边形 EPCF 是平行四边形，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB BC，∠ABC ∠CBF 90
∵在△PBA 和△FBC 中，
AB BC
PBA ABC
BP BF
，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA FC，∠PAB ∠FCB．
∵PA PE，
∴PE FC．
∵∠FCB+∠BFC 90 ，
∠EPB+∠APB 90 ，
∴∠BPE ∠FCB，
∴EP∥FC，
∴四边形 EPCF 是平行四边形；
（3）设 BP ，则 PC 3흐 平行四边形 PEFC 的面积为 S，
直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形
S PC•BF PC•PB （3흐 ）
흐（ 흐 3
2
）2+ 9
4
．
∵ 흐1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当 3
2
时，S 最大 3
2
，
∴当 BP 3
2
时，四边形 PCFE 的面积最大，最大值为 3
2
．
第二十二讲梯形
【基础知识回顾】
一、 梯形的定义、分类和面积：
1、定义：一组对边平行，而另一组对边 的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做 ，
不平行的两边叫做 ，两底间的距离叫做梯形的 。
2、分类：梯形
3、梯形的面积：S 梯形= 1
2
（上底+下底）×高
【名师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要证明它有一组对边 外，还需注明另一组对边不平行
或平行的这组对边不相等】
二、等腰梯形的性质和判定：
1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等， 相等
⑵等腰梯形的对角线
⑶等腰梯形是 对称图形
2、判定： ⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等
⑵同一底上两个角 的梯形是等腰梯形
⑶对角线 的梯形是等腰梯形
【名师提醒：1、梯形的性质和判定中“同一底上的两个角相等”不能说成“两底角相等” 2、等腰梯形所有
的判定方法都必须先证它是梯形 3、解决梯 形 问 题 的 基 本思 路 是 通过做辅助线将梯形转化为
形或 形常见的辅助线作法有
要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】
【重点考点例析】
考点一：梯形的基本概念和性质
例 1 （2015•广州）如图所示，四边形 ABCD 是梯形，AD∥BC，
CA 是∠BCD 的平分线，且 AB⊥AC，AB 4，AD 6，则 B （ ）
一般梯形
特殊梯形
等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形
A．2 3 B．2 2 C．11
4 D． 5 5
4
解：∵CA 是∠BCD 的平分线，
∴∠DCA ∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB ∠CAD，
∴∠DAC ∠DCA，
∴DA DC，
如图，过点 D 作 DE∥AB，交 AC 于点 F，交 BC 于点 E，
∵AB⊥AC，
∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），
∴点 F 是 AC 中点，
∴AF CF，
∴EF 是△CAB 的中位线，
∴EF 1
2 AB 2，
∵ AF DF
FC EF
1，
∴EF DF 2，
在 R △ADF 中，AF 2 2 4 2AD DF ，
则 AC 2AF 8 2 ，
B 8 2 2 24
AC
AB
．
对应训练
1．（2015•宁波）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB 5
2
，BC 4，连结 BD，
∠BAD 的平分线交 BD 于点 E，且 AE∥CD，则 AD 的长为（ ）
A． 4
3 B． 3
2 C． 5
3 D．2
考点二：等腰梯形的性质
例 2 （2015•柳州）如图，四边形 ABCD 为等腰梯形，AD∥BC，连结 AC、
BD．在平面内将△DBC 沿 BC 翻折得到△EBC．
（1）四边形 ABEC 一定是什么四边形？
（2）证明你在（1）中所得出的结论．
思路分析：（1）首先观察图形，然后由题意可得四边形 ABEC 一定是平行四
边形；
（2）由四边形 ABCD 为等腰梯形，AD∥BC，可得 AB DC，AC BD，又由
在平面内将△DBC 沿 BC 翻折得到△EBC，可得 EC DC，DB BE，继而可
得：EC AB，BE AC，则可证得四边形 ABEC 是平行四边形．
解答：（1）解：四边形 ABEC 一定是平行四边形；
（2）证明：∵四边形 ABCD 为等腰梯形，AD∥BC，
∴AB DC，AC BD，
由折叠的性质可得：EC DC，DB BE，
∴EC AB，BE AC，
∴四边形 ABEC 是平行四边形．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、折叠的性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结
合思想的应用．
对应训练
2．（2015•杭州）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，线段 AG，BG 分别交 CD 于点 E，F，DE CF．
求证：△GAB 是等腰三角形．
2．证明：∵在等腰梯形中 ABCD 中，AD BC，
∴∠D ∠C，∠DAB ∠CBA，
在△ADE 和△BCF 中，
AD BC
D C
DE CF
，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠DAE ∠CBF，
∴∠GAB ∠GBA，
∴GA GB，
即△GAB 为等腰三角形．
考点三：等腰梯形的判定
例 3 （2015•钦州）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC ∠C，求证：梯形 ABCD 是等
腰梯形．
思路分析：由 AB∥DE，∠DEC ∠C，易证得∠B ∠C，又由同一底上两个角
相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论．
证明：∵AB∥DE，
∴∠DEC ∠B，
∵∠DEC ∠C，
∴∠B ∠C，
∴梯形 ABCD 是等腰梯形．
点评：此题考查了等腰梯形的判定．此题比较简单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理
的应用，注意数形结合思想的应用．
对应训练
3．（2015•上海）在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC 和 BD 交于点 O，下列条件中，能判断梯形 ABCD
是等腰梯形的是（ ）
A．∠BDC ∠BCD B．∠ABC ∠DAB C．∠ADB ∠DAC D．∠AOB ∠BOC
3．C
考点四：梯形的综合应用
例 4 34．（2015•扬州）如图 1，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠B 90 ，AB 2，CD 1，BC ，P 为线
段 BC 上的一动点，且和 B、C 不重合，连接 PA，过 P 作 PE⊥PA 交 CD 所在直线于 E．设 BP ，CE ．
（1）求 与 的函数关系式；
（2）若点 P 在线段 BC 上运动时，点 E 总在线段 CD 上，求 的取值范围；
（3）如图 2，若 4，将△PEC 沿 PE 翻折至△PEG 位置，∠BAG 90 ，求 BP 长．
思路分析：（1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出 与 的函数关系式；
（2）根据（1）中求出的 与 的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定 的取值
范围；
（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出 BP 的长度．解答中提供了三种解
法，可认真体会．
解：（1）∵∠APB+∠CPE 90 ，∠CEP+∠CPE 90 ，
∴∠APB ∠CEP，又∵∠B ∠C 90 ，
∴△ABP∽△PCE，
∴ AB BP
PC CE
，即 2 x
m x y
，
∴ 흐
1
2 2+
2
m ．
（2）∵ 흐
1
2 2+
2
m 흐
1
2 （ 흐
2
m ）2+
2
8
m ，
∴当
2
m 时， 取得最大值，最大值为
2
8
m ．
∵点 P 在线段 BC 上运动时，点 E 总在线段 CD 上，
∴
2
8
m 1，解得 2 2 ．
∴ 的取值范围为：0＜ 2 2 ．
（3）由折叠可知，PG PC，EG EC，∠GPE ∠CPE，
又∵∠GPE+∠APG 90 ，∠CPE+∠APB 90 ，
∴∠APG ∠APB．
∵∠BAG 90 ，∴AG∥BC，
∴∠GAP ∠APB，
∴∠GAP ∠APG，
∴AG PG PC．
解法一：如解答图所示，分别延长 CE、AG，交于点 H，
则易知 ABCH 为矩形，HE CH흐CE 2흐 ，GH AH흐AG 4흐（4흐 ） ，
在 R △GHE 中，由勾股定理得：GH2+HE2 GH2，
即： 2+（2흐 ）2 2，化简得： 2흐4 +4 0 ①
由（1）可知， 흐
1
2 2+
2
m ，这里 4，∴ 흐
1
2 2+2 ，
代入①式整理得： 2흐8 +4 0，解得： 2
3
或 2，
∴BP 的长为 2
3
或 2．
解法二：如解答图所示，连接 GC．
∵AG∥PC，AG PC，
∴四边形 APCG 为平行四边形，∴AP CG．
易证△ABP≌GNC，∴CN BP ．
过点 G 作 GN⊥PC 于点 N，则 GH 2，PN PC흐CN 4흐2 ．
在 R △GPN 中，由勾股定理得：PN2+GN2 PG2，
即：（4흐2 ）2+22 （4흐 ）2，
整理得： 2흐8 +4 0，解得： 2
3
或 2，
∴BP 的长为 2
3
或 2．
解法三：过点 A 作 AK⊥PG 于点 K，
∵∠APB ∠APG，
∴AK AB．
易证△APB≌△APK，
∴PK BP ，
∴GK PG흐PK 4흐2 ．
在 R △AGK 中，由勾股定理得：GK2+AK2 AG2，
即：（4흐2 ）2+22 （4흐 ）2，
整理得： 2흐8 +4 0，
解得： 2
3
或 2，
∴BP 的长为 2
3
或 2．
点评：本题是代数几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关
系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第（2）问中求 取值范围时二次
函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法．
对应训练
4．（2015•青岛模拟）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB DC 5 ，AD 4 ，BC 10 ，点 E 从点 C 出
发，以 1 /ર 的速度沿 CB 向点 B 移动，点 F 从点 B 出发以 2 /ર 的速度沿 BA 方向向点 A 移动，当点
F 到达点 A 时，点 E 停止运动；设运动的时间为 （ર） （0＜ ＜2.5）．问：
（1）当 为何值时，EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长？
（2）若△BFE 的面积为 S（ 2），求 S 与 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 ，使五边形 AFECD 的面积与△BFE 的面积之比是 3：2？若存在求出 的值；若
不存在，说明理由．
（4）在点 E、F 运动的过程中，若线段 EF 15 154 ，此时 EF 能否垂直平分 AB？
4．解：（1）∵EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，
∴BE+BF 1
2
（AD+BC+CD+AB） 12，
∴10흐 +2 12，
2；
答：当 为 2ર 时，EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长；
（2）如图，过 A 作 AN⊥BC 于 N，过 F 作 FG⊥BC 于 G，
则 BN 1
2
（BC흐AD） 1
2 （10흐4） 3（ ），
∵AN⊥BC，FG⊥BC，
∴FG∥AN，
△ABN∽△FGB，
∴ FG BF
AN AB
，
∴ 2
4 5
FG t ，
FG 8
5 ，
∴S△BEF 1
2 BE FG 1
2
（10흐 ）• 8
5 ，
S 흐 4
5 2+8 ；
（3）假设存在某一时刻 ，使五边形 AFECD 的面积与△BFE 的面积之比是 3：
2，
S 五边形 AFECD S 梯形 ABCD흐S△BFE 1
2 （4+10） 4흐（흐 4
5 2+8 ） 28+ 4
5 2흐8 ，
即 2（28+ 4
5 2흐8 ） 3（흐 4
5 2+8 ），
解得： 5+ 11 （大于 2.5，舍去）， 5흐 11 ；
即存在某一时刻 ，使五边形 AFECD 的面积与△BFE 的面积之比是 3：2， 的值是（5흐 11 ）ર；
（4）假设存在 EF 垂直平分 AB，
则△ABN∽△BEF，
EF DF
AN DN
，
5 2
4 3
EF ，
EF 20 2
3 ≠15 154
，
即线段 EF 15 154 ，此时 EF 不能垂直平分 AB．
【聚焦山东中考】
1．（2015•烟台）如图，四边形 ABCD 是等腰梯形，∠ABC 60 ，若其四边满足长度的众数为 5，平均数
为 25
4
，上、下底之比为 1：2，则 BD ．
2．（2015•临沂）如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为 E，D，DE 3，
BD 5，则腰长 AB ．
3．（2015•滨州模拟）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位
线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似
的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形 ABCD
中，AD∥BC，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，那么 EF 就是梯形 ABCD
的中位线．通过观察、测量，猜想 EF 和 AD、BC 有怎样的位置和数量关系？
并证明你的结论．
3．解：结论为：EF∥AD∥BC，EF 1
2
（AD+BC）．理由如下：
连接 AF 并延长交 BC 于点 G．
∵AD∥BC，
∴∠DAF ∠G，
在△ADF 和△GCF 中，
DAF G
DFA CFG
DF FC
，
∴△ADF≌△GCF（AAS），
∴AF FG，AD CG．
又∵AE EB，
∴EF∥BG，EF 1
2 BG，
即 EF∥AD∥BC，EF 1
2
（AD+BC）．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2015•绵阳）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
1．D
2．（2015•十堰）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB DC 3，AD 5，∠
C 60 ，则下底 BC 的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题
3．（2015•扬州）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB AD CD，BC 12，∠ABC 60 ，则梯形 ABCD
的周长为 ．
4．（2015•盘锦）如图，等腰梯形 ABCD，AD∥BC，BD 平分∠ABC，∠A 120 ．若梯形的周长为 10，
则 AD 的长为 ．
5．（2015•六盘水）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD 4，AB 5，BC 10，CD 的垂直平分线交 BC
于 E，连接 DE，则四边形 ABED 的周长等于 ．
6．（2015•长沙）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B 50 ，∠C 80 ，AE∥CD 交 BC 于点 E，若
AD 2，BC 5，则边 CD 的长是 ．
7．（2013•曲靖）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B 90 ，∠C 45 ，AD 1，BC 4，则 CD ．
8．（2015•南京）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB DC，AC 与 BD 相交于 P．已知 A（2，3），B
（1，1），D（4，3），则点 P 的坐标为 ．
三、解答题
9．（2015•玉林）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD⊥DC，点 A 关于对角线 BD 的对称点 F 刚
好落在腰 DC 上，连接 AF 交 BD 于点 E，AF 的延长线与 BC 的延长线交于点 G，M，N 分别是 BG，DF
的中点．
（1）求证：四边形 EMCN 是矩形；
（2）若 AD 2，S 梯形 ABCD
15
2 ，求矩形 EMCN 的长和宽．
9．（1）证明：∵点 A、F 关于 BD 对称，
∴AD DF，DE⊥AF，
又∵AD⊥DC，
∴△ADF、△DEF 是等腰直角三角形，
∴∠DAF ∠EDF 45 ，
∵AD∥BC，
∴∠G ∠GAD 45 ，
∴△BGE 是等腰直角三角形，
∵M，N 分别是 BG，DF 的中点，
∴EM⊥BC，EN⊥CD，
又∵AD∥BC，AD⊥DC，
∴BC⊥CD，
∴四边形 EMCN 是矩形；
（2）解：由（1）可知，∠EDF 45 ，BC⊥CD，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
∴BC CD，
∴S 梯形 ABCD 1
2
（AD+BC）•CD 1
2
（2+CD）•CD 15
2
，
即 CD2+2CD흐15 0，
解得 CD 3，CD 흐5（舍去），
∵△ADF、△DEF 是等腰直角三角形，
∴DF AD 2，
∵N 是 DF 的中点，
∴EN DN 1
2 DF 1
2 2 1，
∴CN CD흐DN 3흐1 2，
∴矩形 EMCN 的长和宽分别为 2，1．
10．（2013•深圳）如图，在等腰梯形 ABCD 中，已知 AD∥BC，AB DC，AC 与 BD 交于点 O，廷长 BC
到 E，使得 CE AD，连接 DE．
（1）求证：BD DE．
（2）若 AC⊥BD，AD 3，SABCD 16，求 AB 的长．
10．（1）证明：∵AD∥BC，CE AD，
∴四边形 ACED 是平行四边形，
∴AC DE，
∵四边形 ABCD 是等腰梯形，AD∥BC，AB DC，
∴AC BD，
∴BD DE．
（2）解：过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，
∵四边形 ACED 是平行四边形，
∴CE AD 3，AC∥DE，
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
∵BD DE，
∴S△BDE 1
2 BD•DE 1
2 BD2 1
2 BE•DF 1
2
（BC+CE）•DF 1
2
（BC+AD）•DF S 梯形 ABCD 16，
∴BD 4 2 ，
∴BE 2 BD 8，
∴DF BF EF 1
2 BE 4，
∴CF EF흐CE 1，
∴AB CD 2 2 17CF DF ．
11．（2015•安溪县质检）已知等腰梯形中，AB DC 2，AD∥BC，AD 3，腰与底相交所成的锐角为 60 ，
动点 P 在线段 BC 上运动（ 点 P 不与 B、C 点重合），并且∠APQ 60 ，PQ 交射线 CD 于点 Q，若 CQ ，
BP ，
（1）求下底 BC 的长．
（2）求 与 的函数解析式，并指出当点 P 运动到何位置时，线段 CQ 最长，最大值为多少？
（3）在（2）的条件下，当 CQ 最长时，PQ 与 AD 交于点 E，求 QE 的长．
11．解：（1）如图 1，过点 D 作 DE∥AB，交 BC 于 E，
∵AD∥BC，
∴四边形 ABED 是平行四边形，
∴BE AD 3，DE AB DC 2，
∵DE∥AB，
∴∠DEC ∠B 60 ，
∴△DEC 为等边三角形，
∴EC DC 2，
∴BC BE+EC 3+2 5；
（2）如图 2，在△CPQ 与△BAP 中，
∵ 60
1 2 120 - 3
C B
，
∴△CPQ∽△BAP，
∴CQ：BP CP：BA，即 ： （5흐 ）：2，
∴ 흐 1
2 2+ 5
2 ，
当
5
52
1 22 ( )2
，即当点 P 运动到 BC 中点时，线段 CQ 最长，
此时最大值为
250 ( ) 252
1 84 ( )2
；
（3）如图 3，
在（2）的条件下，当 CQ 最长时，BP CP 5
2
，CQ 25
8
，
∴QD CQ흐CD 25
8 흐2 9
8
．
∵DE∥CP，
∴△QDE∽△QCP，
∴QE：QP DE：CP QD：QC，
即 QE：QP DE： 5
2 9
8
： 25
8 9：25，
∴可设 QE 9k，QP 25k，且 DE 9
10
，
∴PE QP흐QE 16k，AE AD흐DE 3흐 9
10 21
10
．
在△DEQ 与△PEA 中，
∵ 60QDE APE
QED AEP
，
∴△DEQ∽△PEA，
∴DE：PE EQ：EA，
∴ 9
10
：16k 9k： 21
10
，
解得 k 21
40
，
∴QE 9k 9 21
40
．
第六章 圆
第二十三讲 圆的有关概念及性质
【基础知识回顾】
一、 圆的定义及性质：
1、 圆的定义：
⑴形成性定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转形
成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段 OA 叫做
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合
2、弦与弧：
弦：连接圆上任意两点的 叫做弦
弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类
3、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴， 的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的
2、直径是圆中 的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，
即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
二、 垂径定理及推论：
1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。
2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 。
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对
的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用 2、圆
中常作的辅助线是过圆心作弦的 线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径 r、弦 a、弦心
d 和弓高 h 中已知其中两个量可求另外两个量。】
三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角
2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量
也分别
【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
四、 圆周角定理及其推论：
1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的
推论 1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧
推论 2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 ，900 的圆周角所对的弦是
【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角
有 个，是 类，它们的关系是 ，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
五、 圆内接四边形：
定 义 ： 如 果 一 个 多 边 形 的 所 有 顶 点 都 在 圆 上 ， 这 个 多 边 形 叫 做 ， 这 个 圆 叫
做 。
性质：圆内接四边形的对角 。
【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】
【重点考点例析】
考点一：垂径定理
例 1（2015•舟山）如图，⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交⊙O
于点 E，连结 EC．若 AB 8，CD 2，则 EC 的长为（ ）
A．2 15 B．8 C．2 10 D．2 13
思路分析：先根据垂径定理求出 AC 的长，设⊙O 的半径为 r，则 OC r흐2，由勾股定理即可得出 r 的值，
故可得出 AE 的长，连接 BE，由圆周角定理可知∠ABE 90 ，在 R △BCE 中，根据勾股定理即可求出
CE 的长．
解：∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB 8，
∴AC 1
2 AB 4，
设⊙O 的半径为 r，则 OC r흐2，
在 R △AOC 中，
∵AC 4，OC r흐2，
∴OA2 AC2+OC2，即 r2 42+（r흐2）2，解得 r 5，
∴AE 2r 10，
如图，连接 BE，
∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ABE 90 ，
在 R △ABE 中，
∵AE 10，AB 8，
∴BE 2 2AE AB 6，
在 R △BCE 中，
∵BE 6，BC 4，
∴CE 2 2BE BC 2 26 4 2 13 ．
故选 D．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
对应训练
1．（2015•南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且 AE CD 8，∠
BAC 1
2
∠BOD，则⊙O 的半径为（ ）
A．4 2 B．5 C．4 D．3
考点二：圆周角定理
例 2 （•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点 O，并且分别与 轴、 轴交于 B、C 两点，
已知 B（8，0），C（0，6），则⊙A 的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
思路分析：连接 BC，由 90 度的圆周角所对的弦为直径，得到 BC 为圆 A 的直径，在直角三角形 BOC 中，
由 OB 与 OC 的长，利用勾股定理求出 BC 的长，即可确定出圆 A 的半径．
解：如图，连接 BC，
∵∠BOC 90 ，
∴BC 为圆 A 的直径，即 BC 过圆心 A，
在 R △BOC 中，OB 8，OC 6，
根据勾股定理得：BC 10，
则圆 A 的半径为 5．
故选 C
点评：此题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．
对应训练
2．（•珠海）如图，▱ABCD 的顶点 A、B、D 在⊙O 上，顶点 C 在⊙O 的直径 BE 上，∠ADC 54 ，连接
AE，则∠AEB 的度数为（ ）
A．36 B．46 C．27 D．63
【聚焦山东中考】
1．（•泰安）如图，点 A，B，C，在⊙O 上，∠ABO 32 ，∠ACO 38 ，则∠BOC 等于（ ）
A．60 B．70 C．120 D．140
2．（•滨州）如图，已知圆心角∠BOC 78 ，则圆周角∠BAC 的度数是（ ）
A．156 B．78 C．39 D．12
3．（•潍坊）如图，⊙O 的直径 AB 12，CD 是⊙O 的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且 BP：AP 1：5，则
CD 的长为（ ）
A．4 2 B．8 2 C．2 5 D．4 5
4．（•莱芜）如图，在⊙O 中，已知∠OAB 22.5 ，则∠C 的度数为（ ）
A．135 B．122.5 C．115.5 D．112.5
5．（•临沂）如图，在⊙O 中，∠CBO 45 ，∠CAO 15 ，则∠AOB 的度数是（ ）
A．75 B．60 C．45 D．30
6．（•日照）如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的圆分别交边 AC、AB 于 D、E 两点，连接 BD、DE．若
BD 平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．BD⊥AC B．AC2 2AB•AE
C．△ADE 是等腰三角形 D．BC 2AD
7．（•威海）如图，CD 为⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为点 F，AO⊥BC，垂足为点 E，AO 1．
（1）求∠C 的大小；
（2）求阴影部分的面积．
7．解：（1）∵CD 是圆 O 的直径，CD⊥AB，
∴ » »AD BD ，
∴∠C 1
2
∠AOD，
∵∠AOD ∠COE，
∴∠C 1
2
∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠C 30 ．
（2）如图，连接 OB，
由（1）知，∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
在 Rt△AOF 中，AO=1，∠AOF=60°，
∴AF= 3
2
，OF= 1
2
，
∴AB= 3 ，
∴S 阴影=S 扇形 OAB-S△OAB=
2120 1 1 1 1 33360 2 2 3 4
．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（•厦门）如图所示，在⊙O 中， » »AB AC ，∠A 30 ，则∠B （ ）
A．150 B．75 C．60 D．15
1．B
2．（•昭通）如图，已知 AB、CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC 28 ，那么∠BAD （ ）
A．28 B．42 C．56 D．84
3．（•湛江）如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOC 110 ，则∠D （ ）
A．25 B．35
3．B
4．（•宜昌）如图，DC 是⊙O 直径，弦 AB⊥CD 于 F，连接 BC，DB，则下列结论错误的是（ ）
A． » »AD BD B．AF BF C．OF CF D．∠DBC 90
4．C
5．（•温州）如图，在⊙O 中，OC⊥弦 AB 于点 C，AB 4，OC 1，则 OB 的长是（ ）
A． 3 B． 5 C． 15 D． 17
6．（•兰州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB 宽为 8 ，水面最深地
方的高度为 2 ，则该输水管的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（•徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 P．若 CD 8，OP 3，则⊙O 的半径为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
8．（•温州）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以 AB，AC 为直径作半圆，过点 B，A，C 作 ¼BAC ，如图
所示．若 AB 4，AC 2，S1흐S2
4
，则 S3흐S4 的值是（ ）
A． 29
4
B． 23
4
C．11
4
D． 5
4
9．（•南通）如图．R △ABC 内接于⊙O，BC 为直径，AB 4，AC 3，D 是 »AB 的中点，CD 与 AB 的交
点为 E，则 CE
DE
等于（ ）
A．4 B．3.5
9．C
10．（乐山）如图，圆心在 轴的负半轴上，半径为 5 的⊙B 与 轴的正半轴交于点 A（0，1），过点 P
（0，흐7）的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点．则弦 CD 长的所有可能的整数值有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．C
11．（安徽）如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接圆⊙O 上的点，在以下判断中，
不正确的是（ ）
A．当弦 PB 最长时，△APC 是等腰三角形
B．当△APC 是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当 PO⊥AC 时，∠ACP 30
D．当∠ACP 30 时，△BPC 是直角三角形
二、填空题
12．（•张家界）如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 垂 直 ， 且 ∠ BAC 40 ， 则 ∠
BOD ．
13．（•盐城）如图，将⊙O 沿弦 AB 折叠，使 »AB 经过圆心 O，则∠OAB ．
14．（•绥化）如图，在⊙O 中，弦 AB 垂直平分半径 OC，垂足为 D，若⊙O 的半径为 2，则弦 AB 的长
为 ．
15．（•株洲）如图 AB 是⊙O 的直径，∠BAC 42 ，点 D 是弦 AC 的中点，则∠DOC 的度数是 度．
16．（•扬州）如图，已知⊙O 的直径 AB 6，E、F 为 AB 的三等分点，M、N 为 »AB 上两点，且∠MEB
∠NFB 60 ，则 EM+FN ．
17．（广州）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 P 在第一象限，
⊙P 与 轴交于 O，A 两点，点 A 的坐标为（6，0），⊙P 的半径为 13 ，则点
P 的坐标为 ．
18．（•娄底）如图，将直角三角板 60 角的顶点放在圆心 O 上，斜边和一直角
边分别与⊙O 相交于 A、B 两点，P 是优弧 AB 上任意一点（与 A、B 不重合），
则∠APB ．
三、解答题
19．（•深圳）如图所示，该小组发现 8 米高旗杆 DE 的影子 EF
落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥
所在圆的半径的活动．小刚身高 1.6 米，测得其影长为 2.4 米，同
时测得 EG 的长为 3 米，HF 的长为 1 米，测得拱高（弧 GH 的中
点到弦 GH 的距离，即 MN 的长）为 2 米，求小桥所在圆的半径．
19．解：∵小刚身高 1.6 米，测得其影长为 2.4 米，
∴8 米高旗杆 DE 的影子为：12 ，
∵测得 EG 的长为 3 米，HF 的长为 1 米，
∴GH 12흐3흐1 8（ ），
∴GM MH 4 ，
∵MN 2 ，
∴GO2 MO2+42，
∴r2 （r흐2）2+36，
解得：r 5，
答：小桥所在圆的半径为 5 ．
20．•资阳）在⊙O 中，AB 为直径，点 C 为圆上一点，将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D，连结 CD．
（1）如图 1，若点 D 与圆心 O 重合，AC 2，求⊙O 的半径 r；
（2）如图 2，若点 D 与圆心 O 不重合，∠BAC 25 ，请直接写出∠DCA 的度数．
20．解：（1）如图，过点 O 作 OE⊥AC 于 E，
则 AE 1
2 AC 1
2 2 1，
∵翻折后点 D 与圆心 O 重合，
∴OE 1
2 r，
在 R △AOE 中，AO2 AE2+OE2，
即 r2 12+（ 1
2 r）2，
解得 r 2 3
3
；
（2）如图 2，连接 BC，
∵AB 是直径，
∴∠ACB 90 ，
∵∠BAC 25 ，
∴∠B 90 흐∠BAC 90 흐25 65 ，
根据翻折的性质， »AC 所对的圆周角等于 ¼ADC 所对的圆周角，
∴∠DCA ∠B흐∠A 65 흐25 40 ．
21．贵阳）已知：如图，AB 是⊙O 的弦，⊙O 的半径为 10，OE、OF 分别交 AB 于点 E、F，OF 的延长
线交⊙O 于点 D，且 AE BF，∠EOF 60 ．
（1）求证：△OEF 是等边三角形；
（2）当 AE OE 时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
21．（1）证明：作 OC⊥AB 于点 C，
∵OC⊥AB，
∴AC BC，
∵AE BF，
∴EC FC，
∵OC⊥EF，
∴OE OF，
∵∠EOF 60 ，
∴△OEF 是等边三角形；
（2）解：∵在等边△OEF 中，∠OEF ∠EOF 60 ，AE OE，
∴∠A ∠AOE 30 ，
∴∠AOF 90 ，
∵AO 10，
∴OF 10 3
3
，
∴S△AOF 1
2 10 3
3 10 50 3
3
，S 扇形 AOD 90
360
102 25π，
∴S 阴影 S 扇形 AOD흐S△AOF 25π흐 50 3
3
．
22．（黔西南州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 与点 E，点 P 在⊙O 上，∠1 ∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若 BC 3，રi ∠P 3
5
，求⊙O 的直径．
22．（1）证明：∵∠C ∠P
又∵∠1 ∠C
∴∠1 ∠P
∴CB∥PD；
（2）解：如图，连接 AC，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB 90
又∵CD⊥AB，
∴ » »BC BD ，
∴∠P ∠CAB，
∴રi ∠CAB 3
5
，
即 BC
AB 3
5
，
又知，BC 3，
∴AB 5，
∴直径为 5．
第二十四讲 与圆有关的位置关系
【基础知识回顾】
一、 点与圆的位置关系：
1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为 r 点 P 到圆心的距离为 d
则：点 P 在圆内 <＝> 点 P 在圆上<＝>
点 P 在圆外 <＝>
2、 过三点的圆：
⑴过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆
⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 外接圆的圆心叫做三角形的
这个三角形叫做这个圆的 。
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点，
外心的性质：到 相等
【名师提醒：锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是 钝角三角形的外心在三角
形 】
二、直线与圆的位置关系：
1、直线与圆的位置关系有 种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 这时直线叫
圆的 线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线，直线和
圆没有公共点时，叫做直线和圆 这时直线叫圆的 线。
2、设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则：
直线 l 与⊙O 相交<＝>d r,直线 l 与⊙O 相切<＝>d r
直线 l 与⊙O 相离<＝>d r
3、 切线的性质和判定：
⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的
【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】
⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线
【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一
般可证圆心到直线的距离 d=r 来判定相切】
4、 切线长定理：
⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分
的夹角
5、 三角形的内切圆：
⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的
⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点
内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分
【名师提醒：三类三角形内心都在三角形 若△ABC 三边为 a、b、c 面积为 s，内切圆半径为 r，
则 s= ，若△ABC 为直角三角形，则 r= 】
三、 圆和圆的位置关系：
圆和圆的位置关系有 种，若⊙O1 半径为 R，⊙O 2 半径为 r，圆心距为 d，则⊙O 1 与⊙O 2 外离<
＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝>
⊙O 1 与⊙O 2 相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 内切<＝>
⊙O 1 与⊙O 2 内含<＝>
【名师提醒：两圆相离（无公共点）包含 和 两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包
含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆 此时
d= 】
四、 反证法：
假设命题的结论 ，由此经过推理得出 由矛盾判定所作的假设 从而得到原命
题成立，这种证明命题的方法叫反证法
【名师提醒：反证法证题的关键是提出 即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可
以与 相矛盾，也可以与 相矛盾，从而肯定原命题成立】
【典型例题解析】
考点一：切线的性质
例 1 （•义乌）已知直线 PD 垂直平分⊙O 的半径 OA 于点 B，PD
交⊙O 于点 C、D，PE 是⊙O 的切线，E 为切点，连结 AE，交 CD
于点 F．
（1）若⊙O 的半径为 8，求 CD 的长；
（2）证明：PE PF；
（3）若 PF 13，રi A 5
13
，求 EF 的长．
思路分析：（1）首先连接 OD，由直线 PD 垂直平分⊙O 的半径 OA 于点 B，⊙O 的半径为 8，可求得 OB
的长，又由勾股定理，可求得 BD 的长，然后由垂径定理，求得 CD 的长；
（2）由 PE 是⊙O 的切线，易证得∠PEF 90 흐∠AEO，∠PFE ∠AFB 90 흐∠A，继而可证得∠PEF ∠
PFE，根据等角对等边的性质，可得 PE PF；
（3）首先过点 P 作 PG⊥EF 于点 G，易得∠FPG ∠A，即可得 FG PF•રi A 13 5
13 5，又由等腰三角
形的性质，求得答案．
解：（1）连接 OD，
∵直线 PD 垂直平分⊙O 的半径 OA 于点 B，⊙O 的半径为 8，
∴OB 1
2 OA 4，BC BD 1
2 CD，∴在 R △OBD 中，BD 2 2OD OB 4 3 ，
∴CD 2BD 8 3 ；
（2）∵PE 是⊙O 的切线，
∴∠PEO 90 ，
∴∠PEF 90 흐∠AEO，∠PFE ∠AFB 90 흐∠A，
∵OE OA，
∴∠A ∠AEO，
∴∠PEF ∠PFE，
∴PE PF；
（2）过点 P 作 PG⊥EF 于点 G，
∴∠PGF ∠ABF 90 ，
∵∠PFG ∠AFB，
∴∠FPG ∠A，
∴FG PF•રi A 13 5
13 5，
∵PE PF，
∴EF 2FG 10．
点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函
数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
对应训练
1．（扬州）如图，△ABC 内接于⊙O，弦 AD⊥AB 交 BC 于点 E，过点 B 作⊙O 的切线交 DA 的延长线于
点 F，且∠ABF ∠ABC．
（1）求证：AB AC；
（2）若 AD 4， 㻐ર∠ABF 4
5
，求 DE 的长．
1．（1）证明：∵BF 是⊙O 的切线，
∴∠3 ∠C，
∵∠ABF ∠ABC，
即∠3 ∠2，
∴∠2 ∠C，
∴AB AC；
（2）解：如图，连接 BD，在 R △ADB 中，∠BAD 90 ，
∵ 㻐ર∠ADB AD
BD
，∴BD 4
4cos cos
5
AD AD
ADB ABF
5，
∴AB 3．
在 R △ABE 中，∠BAE 90 ，
∵ 㻐ર∠ABE AB
BE
，∴BE 3 15
4cos 4
5
AB
ABE
，
∴AE 2 215 9( ) 34 4
，
∴DE AD흐AE 4흐 9
4 7
4
．
考点二：切线的判定
例 2 （自贡）如图，点 B、C、D 都在⊙O 上，过点 C 作 AC∥BD 交 OB 延
长线于点 A，连接 CD，且∠CDB ∠OBD 30 ，DB 6 3 ．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）求由弦 CD、BD 与弧 BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）
思路分析：（1）求出∠COB 的度数，求出∠A 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA 的度数，根
据切线的判定推出即可；
（2）如解答图所示，解题关键是证明△CDM≌△OBM，从而得到 S 阴影 S 扇形 BOC．
解答：如图，连接 BC，OD，OC，设 OC 与 BD 交于点 M．
（1）证明： 如图，连接 OC、OD，
根据圆周角定理得：∠COB 2∠CDB 2 30 60 ，
∵AC∥BD，
∴∠A ∠OBD 30 ，
∴∠OCA 180 흐30 흐60 90 ，
即 OC⊥AC，
∵OC 为半径，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：由（1）知，AC 为⊙O 的切线，
∴OC⊥AC．
∵AC∥BD，
∴OC⊥BD．
由垂径定理可知，MD MB 1
2 BD 3 3 ．
在 R △OBM 中，∠COB 60 ，OB 3 3
cos30 3
2
MB o 6．
在△CDM 与△OBM 中，
30
90
CDM OBM
MD MB
CMD OMB
∴△CDM≌△OBM
∴S△CDM S△OBM
∴阴影部分的面积 S 阴影 S 扇形 BOC 60 6
360
6π（ 2）．
点评：本题考查了平行线性质，切线的判定，扇形的面积，三角形的面积，圆周角定理的应用，主要考查
学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
对应训练
2．（玉林）如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心的圆，经过 A，B 两点，且与 BC 边交于点 E，D 为
BE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于 F，若 AC FC．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线：
（2）若 BF 8，DF 40 ，求⊙O 的半径 r．
2．（1）证明： 如图，连接 OA、OD，
∵D 为弧 BE 的中点，
∴OD⊥BC，
∠DOF 90 ，
∴∠D+∠OFD 90 ，
∵AC AF，OA OD，
∴∠CAF ∠CFA，∠OAD ∠D，
∵∠CFA ∠OFD，
∴∠OAD+∠CAF 90 ，
∴OA⊥AC，
∵OA 为半径，
∴AC 是⊙O 切线；
（2）解：∵⊙O 半径是 r，
当 F 在半径 OE 上时，
∴OD r，OF 8흐r，
在 R △DOF 中，r2+（8흐r）2 （ 40 ）2，
r 6，r 2；
当 F 在半径 OB 上时，
∴OD r，OF r흐8，
在 R △DOF 中，r2+（r흐8）2 （ 40 ）2，
r 6（舍去），r 2（舍去）；
即⊙O 的半径 r 为 6 或 2．
考点三：直线与圆、圆与圆的位置关系
例 3 （盘锦）如图，△ABC 中，AB 6，AC 8，BC 10，D、E 分别是 AC、AB
的中点，则以 DE 为直径的圆与 BC 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
思路分析：
首先根据三角形面积求出 AM 的长，进而得出直线 BC 与 DE 的距离，进而得出直
线与圆的位置关系．
解：过点 A 作 AM⊥BC 于点 M，交 DE 于点 N，
∴AM BC AC AB，
∴AM 6 8
10
4.8，
∵D、E 分别是 AC、AB 的中点，
∴DE∥BC，DE 1
2 BC 5，
∴AN MN 1
2 AM，
∴MN 2.4，
∴以 DE 为直径的圆半径为 2.5，
∵r＞2.5＞2.4，
∴以 DE 为直径的圆与 BC 的位置关系是：相交．
故选：A．
点评：本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理比较出 BC 到圆心的距离与半径的关系是解题的
关键．
例 4 （2015•攀枝花）已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别是方程 2흐4 +3 0 的两根，且两圆的圆心距等于 4，
则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
思路分析：由⊙O1 与⊙O2 的半径 r1、r2 分别是方程 2흐4 +3 0 的两实根，解方程即可求得⊙O1 与⊙O2 的
半径 r1、r2 的值，又由⊙O1 与⊙O2 的圆心距等于 4，根据两圆位置关系与圆心距 d，两圆半径 R，r 的数
量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解：∵ 2흐4 +3 0，
∴（ 흐3）（ 흐1） 0，
解得： 3 或 1，
∵⊙O1 与⊙O2 的半径 r1、r2 分别是方程 2흐6 +8 0 的两实根，
∴r1+r2 3+1 4，
∵⊙O1 与⊙O2 的圆心距 d 4，
∴⊙O1 与⊙O2 的位置关系是外切．点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．注意掌
握两圆位置关系与圆心距 d，两圆半径 R，r 的数量关系间的联系是解此题的关键．
对应训练
3．（•黔东南州）R △ABC 中，∠C 90 ，AC 3 ，BC 4 ，以 C 为圆心，r 为半径作圆，若圆 C 与直
线 AB 相切，则 r 的值为（ ）
A．2 B．2.4 C．3 D．4
4．（东营）已知⊙O1 的半径 r1 2，⊙O2 的半径 r2 是方程 3 2
1x x
的根，⊙O1 与⊙O2 的圆心距为 1，那
么两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【聚焦山东中考】
1．（青岛）直线 l 与半径为 r 的⊙O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 6，则 r 的取值范围是（ ）
A．r＜6 B．r 6 C．r＞6 D．r 6
2．（•烟台）如图，已知⊙O1 的半径为 1 ，⊙O2 的半径为 2 ，将⊙O1，⊙O2 放置在直线 l 上，如果
⊙O1 在直线 l 上任意滚动，那么圆心距 O1O2 的长不可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．0.5
3．（•枣庄）如图，已知线段 OA 交⊙O 于点 B，且 OB AB，点 P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的
最大值是（ ）
A．90 B．60 C．45 D．30
4．（•泰安）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点 A，点 C 是 »EB 的中点，则下列结论不成立的
是（ ）
A．OC∥AE B．EC BC C．∠DAE ∠ABE D．AC⊥OE
4．D
5．（•济宁）如图，以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画半圆，分别交 AB、AC 于点 E、D，DF 是圆的切
线，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G．若 AF 的长为 2，则 FG 的长为（ ）
A．4 B．3 3 C．6 D．2 3
6．（日照）如图（ ），有一张矩形纸片 ABCD，其中 AD 6 ，以 AD 为直径的半圆，正好与对边 BC 相
切，将矩形纸片 ABCD 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BC 上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）
的面积为 ．
7．（滨州）如图，在△ABC 中，AB AC，点 O 在边 AB 上，⊙O 过点 B 且分别与边 AB、BC 相交于点 D、
E，EF⊥AC，垂足为 F．求证：直线 EF 是⊙O 的切线．
7．解：连接 DE，
∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠DEB 90 ，
∵AB AC，
∴∠ABC ∠C，
又∵OB OE，
∴∠ABC ∠OEB，
∵∠FEC+∠C 90 ，
∴∠FEC+∠OEB 90 ，
∴OE⊥EF，
∵OE 是⊙O 半径，
∴直线 EF 是⊙O 的切线．
8．（济南）如图，已知⊙O 的半径为 1，DE 是⊙O 的直径，过点 D 作⊙O 的切线 AD，C 是 AD 的中点，
AE 交⊙O 于 B 点，四边形 BCOE 是平行四边形．
（1）求 AD 的长；
（2）BC 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．
8．解：（1）连接 BD，则∠DBE 90 ，
∵四边形 BCOE 为平行四边形，
∴BC∥OE，BC OE 1，
在 R △ABD 中，C 为 AD 的中点，
∴BC 1
2 AD 1，
则 AD 2；
（2）连接 OB，
∵BC∥OD，BC OD，
∴四边形 BCDO 为平行四边形，
∵AD 为圆 O 的切线，
∴OD⊥AD，
∴四边形 BCDO 为矩形，
∴OB⊥BC，
则 BC 为圆 O 的切线．
9．（•临沂）如图，在△ABC 中，∠ACB 90 ，E 为 BC 上一点，以 CE 为直径作⊙O，AB 与⊙O 相切于
点 D，连接 CD，若 BE OE 2．
（1）求证：∠A 2∠DCB；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
9．（1）证明：连接 OD，
∵AB 是⊙O 切线，
∴∠ODB 90 ，
∴BE OE OD 2，
∴∠B 30 ，∠DOB 60 ，
∵OD OC，
∴∠DCB ∠ODC 1
2
∠DOB 30 ，
∵在△ABC 中，∠ACB 90 ，∠B 30 ，
∴∠A 60 ，
∴∠A 2∠DCB；
（2）解：∵∠ODB 90 ，OD 2，BO 2+2 4，由勾股定理得：BD 2 3 ，
∴阴影部分的面积 S S△ODB흐S 扇形 DOE 1
2 2 3 2흐 60 2
360
2 3 흐 2
3 π．
10．（•东营）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，若∠BAC ∠CAM，过点 C 作直线 l 垂直于
射线 AM，垂足为点 D．
（1）试判断 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若直线 l 与 AB 的延长线相交于点 E，⊙O 的半径为 3，并且∠CAB 30 ，求 CE 的长．
10．解：（1）直线 CD 与⊙O 相切．
理由如下：连接 OC．
∵OA OC，
∴∠BAC ∠OCA，
∵∠BAC ∠CAM，
∴∠OCA ∠CAM，
∴OC∥AM，
∵CD⊥AM，
∴OC⊥CD，
∵OC 为半径，
∴直线 CD 与⊙O 相切．
（2）∵OC OA，
∴∠BAC ∠ACO，
∵∠CAB 30 ，
∴∠COE 2∠CAB 60 ，
∴在 R △COE 中，OC 3，CE OC• 60 3 3 ．
11．（烟台）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连接 AC 交⊙O 于点 D，E 为 »AD 上一点，连
结 AE，BE，BE 交 AC 于点 F，且 AE2 EF•EB．
（1）求证：CB CF；
（2）若点 E 到弦 AD 的距离为 1， 㻐ર∠C 3
5
，求⊙O 的半径．
11．（1）证明：如图 1，
∵AE2 EF•EB，
∴ AE EF
EB AE
．
又∠AEF ∠AEB，
∴△AEF∽△AEB，
∴∠1 ∠EAB．
∵∠1 ∠2，∠3 ∠EAB，
∴∠2 ∠3，
∴CB CF；
（2）解：如图 2，连接 OE 交 AC 于点 G，设⊙O 的半径是 r．
由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4 ∠5．
∴ » »AE ED ．
∴OE⊥AD，
∴EG 1．
∵ 㻐ર∠C 3
5
，且∠C+∠GAO 90 ，
∴રi ∠GAO 3
5
，
∴ OG
OA 3
5
，即 1 3
5
r
r
，
解得，r 5
2
，即⊙O 的半径是 5
2
．
12．（潍坊）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以对角线 BD
为直径作⊙O，分别与 BC，AD 相交于点 E，F．
（1）求证：四边形 BEDF 为矩形；
（2）BD2 BE•BC，试判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说
明理由．
12．（1）证明：∵BD 为⊙O 直径，
∴∠DEB ∠DFB 90 ，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FBC ∠DFB 90 ，∠EDA ∠BED 90 ，
∴四边形 BEDF 为矩形；
（2）解：直线 CD 与⊙O 的位置关系式相切，
理由是：∵BD2 BE•BC，
∴ BD BC
BE BD
，
∵∠DBC ∠CBD，
∴△BED∽△BDC，
∴∠BDC ∠BED 90 ，
即 BD⊥CD，
∴CD 与⊙O 相切．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（•铜仁地区）⊙O 的半径为 8，圆心 O 到直线 l 的距离为 4，则直线 l 与⊙O 的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
2．（•云南）已知⊙O1 的半径是 3 ，⊙O2 的半径是 2 ，O1O2 6 ，则两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
3．（•泉州）已知⊙O1 与⊙O2 相交，它们的半径分别是 4，7，则圆心距 O1O2 可能是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
4．（•南京）如图，⊙O1，⊙O2 的圆心在直线 l 上，⊙O1 的半径为 2 ，⊙O2 的半径为 3 ．O1O2 8 ，
⊙O1 以 1 /ર 的速度沿直线 l 向右运动，7ર 后停止运动．在此过程中，⊙O1 和⊙O2 没有出现的位置关系
是（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
5．（•重庆） 如图，P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，PO 26 ，PA 24 ，则⊙O 的周长为（ ）
A．18π B．16π C．20π D．24π
6．（•杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直
B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有 4 个公共点
C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点
D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径
7．（河南）如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 G，直线 EF 与⊙O 相切于
点 D，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AG BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC ∠ADC
8．（毕节地区）在等腰直角三角形 ABC 中，AB AC 4，点 O 为 BC 的中点，以 O
为圆心作⊙O 交 BC 于点 M、N，⊙O 与 AB、AC 相切，切点分别为 D、E，则⊙O
的半径和∠MND 的度数分别为（ ）
A．2，22.5 B．3，30 C．3， 22.5
D．2，30
9．（•安徽）如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接圆⊙O 上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）
A．当弦 PB 最长时，△APC 是等腰三角形
B．当△APC 是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当 PO⊥AC 时，∠ACP 30
D．当∠ACP 30 时，△BPC 是直角三角形
二、填空题
10．（舟山）在同一平面内，已知线段 AO 2，⊙A 的半径为 1，将⊙A 绕点 O 按逆时针方向旋转 60 得到
的像为⊙B，则⊙A 与⊙B 的位置关系为 ．
11．（•天水）已知⊙O1 的半径为 3，⊙O2 的半径为 r，⊙O1 与⊙O2 只能画出两条不同的公共切线，且 O1O2 5，
则⊙O2 的半径为 r 的取值范围是 ．
12．（平凉）已知⊙O1 与⊙O2 的半径分别是方程 2흐4 +3 0 的两根，且圆心距 O1O2 +2，若这两个圆相
切，则 ．
13．（永州）如图，已知△ABC 内接于⊙O，BC 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 相切，切点为 A，若∠MAB 30 ，
则∠B 度．
14．（天水）如图所示，在△ABC 中，BC 4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB
于点 E，交 AC 于点 F，且∠EAF 80 ，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（晋江市）如图，在 R △ABC 中，∠C 90 ，∠A 30 ，AB 4 3 ．若动点 D 在线段 AC 上（不与点
A、C 重合），过点 D 作 DE⊥AC 交 AB 边于点 E．
（1）当点 D 运动到线段 AC 中点时，DE ；
（2）点 A 关于点 D 的对称点为点 F，以 FC 为半径作⊙C，当 DE 时，⊙C 与直线 AB 相切．
16．（张家界）如图，⊙A、⊙B、⊙C 两两外切，它们的半径都是 ，顺次连接三个圆心，则图中阴影部
分的面积是 ．
17．（南宁）如图，在边长为 2 的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相
切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为 ．
18．（黄石）如图所示，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，⊙O1 与⊙O2 外切，且⊙O2 分别于 DA、DC 边外
切，⊙O1 分别与 BA、BC 边外切，则圆心距，O1O2 为 ．
三、解答题
19．（巴中）若⊙O1 和⊙O2 的圆心距为 4，两圆半径分别为 r1、r2，且 r1、r2 是方程组 1 2
1 2
2 6
3 -5 7
r r
r r
的解，
求 r1、r2 的值，并判断两圆的位置关系．
20．（凉山州）在同一平面直角坐标系中有 5 个点：A（1，1），B（흐3，흐1），C（흐3，1），D（흐2，흐2），E
（0，흐3）．
（1）画出△ABC 的外接圆⊙P，并指出点 D 与⊙P 的位置关系；
（2）若直线 l 经过点 D（흐2，흐2），E（0，흐3），判断直线 l 与⊙P 的位置关系．
20．解：（1）如图所示：
△ABC 外接圆的圆心为（흐1，0），点 D 在⊙P 上；
（2）连接 PD，
设过点 P、D 的直线解析式为 k +b，
∵P（흐1，0）、D（흐2，흐2），
∴ 0 -
-2 -2
k b
k b
， 解得 2
2
k
b
，
∴此直线的解析式为 2 +2；
设过点 D、E 的直线解析式为 + ，
∵D（흐2，흐2），E（0，흐3），
∴ -2 -2
-3
a c
c
， 解得
1- 2
-3
a
c
，
∴此直线的解析式为 흐 1
2 흐3，
∵2 （흐 1
2
） 흐1，
∴PD⊥DE，
∵点 D 在⊙P 上，
∴直线 l 与⊙P 相切．
21．（永州）如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心在 AC 上，∠A 30 ，D 为 BC 的中点．
（1）求证：AB BC；
（2）求证：四边形 BOCD 是菱形．
21．证明：（1）∵AB 是⊙O 的切线，
∴OB⊥AB，
∵∠A 30 ，
∴∠AOB 60 ，
∵OB OC，
∴∠OCB ∠OBC 1
2
∠AOB 30 ，
∴∠A ∠OCB，
∴AB BC；
（2）如图，连接 OD，
∵∠AOB 60 ，
∴∠BOC 120 ，
∵D 为 BC 的中点，
∴ » »BD CD ，∠BOD ∠COD 60 ，
∵OB OD OC，
∴△BOD 与△COD 是等边三角形，
∴OB BD OC CD，
∴四边形 BOCD 是菱形．
22．（2015•株洲）已知 AB 是⊙O 的直径，直线 BC 与⊙O 相切于点 B，∠ABC 的平分线 BD 交⊙O 于点
D，AD 的延长线交 BC 于点 C．
（1）求∠BAC 的度数；
（2）求证：AD CD．
22．解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB 90 ，
∴∠CDB 90 ，BD⊥AC，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD ∠CBD，
在△ABD 和△CBD 中，
ADB CDB
BD BD
ABD CBD
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB CB，
∵直线 BC 与⊙O 相切于点 B，
∴∠ABC 90 ，
∴∠BAC ∠C 45 ；
（2）证明：∵AB CB，BD⊥AC，
∴AD CD．
23．（天津）已知直线 I 与⊙O，AB 是⊙O 的直径，AD⊥I 于点 D．
（Ⅰ）如图①，当直线 I 与⊙O 相切于点 C 时，若∠DAC 30 ，求∠BAC 的大小；
（Ⅱ）如图②，当直线 I 与⊙O 相交于点 E、F 时，若∠DAE 18 ，求∠BAF 的大小．
23．解：（Ⅰ）如图①，连接 OC，
∵直线 l 与⊙O 相切于点 C，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA ∠DAC，
∵OA OC，
∴∠BAC ∠OCA，
∴∠BAC ∠DAC 30 ；
（Ⅱ）如图②，连接 BF，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AFB 90 ，
∴∠BAF 90 흐∠B，
∴∠AEF ∠ADE+∠DAE 90 +18 108 ，
在⊙O 中，四边形 ABFE 是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B 180 ，
∴∠B 180 흐108 72 ，
∴∠BAF 90 흐∠B 90 흐72 18 ．
24．（苏州）如图，在 R △ABC 中，∠ACB 90 ，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的⊙O 与边 AC 相
切于点 E，连接 DE 并延长 DE 交 BC 的延长线于点 F．
（1）求证：BD BF；
（2）若 CF 1， 㻐રB 3
5
，求⊙O 的半径．
24．（1）证明：连接 OE，
∵AC 与圆 O 相切，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵O 为 DB 的中点，
∴E 为 DF 的中点，即 OE 为△DBF 的中位线，
∴OE 1
2 BF，
又∵OE 1
2 BD，
则 BF BD；
（2）解：设 BC 3 ，根据题意得：AB 5 ，
又∵CF 1，
∴BF 3 +1，
由（1）得：BD BF，
∴BD 3 +1，
∴OE OB 3 1
2
x ，AO AB흐OB 5 흐 3 1
2
x 7 1
2
x ，
∵OE∥BF，
∴∠AOE ∠B，
∴ 㻐ર∠AOE 㻐રB，即 3
5
OE
OA
，即
3 1
32
7 1 5
2
x
x
，
解得： 4
3
，
则圆 O 的半径为 3 1
2
x 5
2
．
25．（湛江）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，且 OP∥BC，∠P ∠BAC．
（1）求证：PA 为⊙O 的切线；
（2）若 OB 5，OP 25
3
，求 AC 的长．
25．（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ABC 90 ，
∴∠BAC+∠B 90 ．
又∵OP∥BC，
∴∠AOP ∠B，
∴∠BAC+∠AOP 90 ．
∵∠P ∠BAC．
∴∠P+∠AOP 90 ，
∴由三角形内角和定理知∠PAO 90 ，即 OA⊥AP．
又∵OA 是的⊙O 的半径，
∴PA 为⊙O 的切线；
（2）解：由（1）知，∠PAO 90 ．∵OB 5，
∴OA OB 5．
又∵OP 25
3
，
∴在直角△APO 中，根据勾股定理知 PA 2 2 20
3PO OA ，
由（1）知，∠ACB ∠PAO 90 ．
∵∠BAC ∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴ AB AC
PO PA
．
∴ 10
25 20
3 3
AC ，
解得 AC 8．即 AC 的长度为 8．
26．（•莆田）如图，▱ABCD 中，AB 2，以点 A 为圆心，AB 为半径的圆交边 BC 于点 E，连接 DE、AC、
AE．
（1）求证：△AED≌△DCA；
（2）若 DE 平分∠ADC 且与⊙A 相切于点 E，求图中阴影部分（扇形）的面积．
26．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB CD，AD∥BC，
∴四边形 AECD 是梯形，
∵AB AE，
∴AE CD，
∴四边形 AECD 是等腰梯形，
∴AC DE，
在△AED 和△DCA 中，
AE DC
DE AC
AD DA
，
∴△AED≌△DCA（SSS）；
（2）解：∵DE 平分∠ADC，
∴∠ADC 2∠ADE，
∵四边形 AECD 是等腰梯形，
∴∠DAE ∠ADC 2∠AED，
∵DE 与⊙A 相切于点 E，
∴AE⊥DE，
即∠AED 90 ，
∴∠ADE 30 ，
∴∠DAE 60 ，
∴∠DCE ∠AEC 180 흐∠DAE 120 ，
∵四边形 ACD 是平行四边形，
∴∠BAD ∠DCE 120 ，
∴∠BAE ∠BAD흐∠EAD 60 ，
∴S 阴影 60
360 π 22 2
3 π．
27．（2015•新疆）如图，已知⊙O 的半径为 4，CD 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，B 为 CD 延长线上的
一点，∠ABC 30 ，且 AB AC．
（1）求证：AB 为⊙O 的切线；
（2）求弦 AC 的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
27．（1）证明：如图，连接 OA．
∵AB AC，∠ABC 30 ，
∴∠ABC ∠ACB 30 ．
∴∠AOB 2∠ACB 60 ，
∴在△ABO 中，∠AOB 180 흐∠ABO흐∠AOB 90 ，即 AB⊥OA，
又∵OA 是⊙O 的半径，
∴AB 为⊙O 的切线；
（2）解：如图，连接 AD．
∵CD 是⊙O 的直径，
∴∠DAC 90 ．
∵由（1）知，∠ACB 30 ，
∴AD 1
2 CD 4，
则根据勾股定理知 AC 2 2CD AD 4 3 ，即弦 AC 的长是 4 3 ；
（3）解：由（2）知，在△ADC 中，∠DAC 90 ，AD 4，AC 4 3 ，则 S△ABC 1
2 AD•AC 1
2 4 4 3 8 3 ．
∵点 O 是△ADC 斜边上的中点，
∴S△AOC 1
2 S△ABC 4 3 ．
根据图示知，S 阴影 S 扇形 ADO+S△AOC 60 4
360
+4 3 8
3
+4 3 ，即图中阴影部分的面积是 8
3
+4 3 ．
28．（2015•泸州）如图，D 为⊙O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线
上，且∠CDA ∠CBD．
（1）求证：CD2 CA•CB；
（2）求证：CD 是⊙O 的切线；
（3）过点 B 作⊙O 的切线交 CD 的延长线于点 E，若 BC 12，
∠CDA 2
3
，求 BE 的长．
28．（1）证明：∵∠CDA ∠CBD，∠C ∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴ AC DC
DC BC
，即 CD2 CA•CB；
（2）证明：如图，连接 OD．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB 90 ，
∴∠1+∠3 90 ．
∵OA OD，
∴∠2 ∠3，
∴∠1+∠2 90 ．
又∠CDA ∠CBD，即∠4 ∠1，
∴∠4+∠2 90 ，即∠CDO 90 ，
∴OD⊥OA．
又∵OA 是⊙O 的半径，
∴CD 是⊙O 的切线；
（3）解：如图，连接 OE．
∵EB、CD 均为⊙O 的切线，
∴ED EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE 90 ，∠OEB+∠DBE 90 ，
∴∠ABD ∠OEB，
∴∠CDA ∠OEB．
而 ∠CDA 2
3
，
∴ ∠OEB 2
3
OB
BE
，
∵R △CDO∽R △CBE，
∴ 2
3
CD OD OB
CB BE BE
，
∴CD 8，
在 R △CBE 中，设 BE ，
∴（ +8）2 2+122，
解得 5．
即 BE 的长为 5．
第二十五讲 与圆有关的计算
【基础知识回顾】
一、 正多边形和圆：
1、各边相等， 也相等的多边形是正多边形
2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外接圆的半径叫正多边形的
一般用字母 R 表示，每边所对的圆心角叫 可用用α表示，α= ，中心到正多边形一边的距离叫
做正多边形的 用 r 表示
3、每一个正 n 边形都被它的半径分成 n 个全等的 三角形，被它的半径和边心距分成 个全
等的 三角形
【名师提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边
心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】
二、 弧长与扇形面积计算：
⊙O 的半径为 R，弧长为 L，圆心角为 n0，扇形的面积为 S 扇，则有如下公式：
L=
S 扇= =
【名师提醒：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带单位 3、扇形的两个公式可根
据已知条件灵活进行选择 4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴已知规则图
形面积的和与差 ⑵割补法 ⑶等积变形法 ⑷平移法 ⑸旋转法等】
三、圆柱和圆锥：
1、如图：设圆柱的高为 h,底面半径为 R
则有：⑴S 圆柱侧=
⑵S 圆柱全=
⑶V 圆柱=
2、如图：设圆锥的母线长为 l，底面半径为 R，高为 h， 则有：
⑴S 圆锥侧= 、
⑵S 圆锥全=
⑶V 圆锥=
【名师提醒：1、圆柱的高有 条，圆锥的高有 条 2、圆锥的高 h，母线长 l，底高半径 R 满足
关系 3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径 l 是圆锥的 ，扇形的弧长是圆锥的 4、
圆锥的母线为 l，底面半径为 R，侧面展开图扇形的圆心角度数为 n，若 l=2r，则 n= l=3r,则
n= l=4r 则 n= 】
【典型例题解析】
考点一：正多边形和圆
例 1 （•绵阳）如图，要拧开一个边长为 6 的正六边形螺帽，扳手张开的开
口 b 至少为（ ）
A．6 B．12 C．6 3 D．4 3
对应训练
1．（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（ ）
A． 3 ：3 B． 3 ：2 C．1：2 D． 2 ：2
考点二：圆周长与弧长
例 2 （黄冈）如图，矩形 ABCD 中，AB 4，BC 3，边 CD 在直线 l 上，将矩形 ABCD 沿直线 l 作无滑
动翻滚，当点 A 第一次翻滚到点 A1 位置时，则点 A 经过的路线长为
6π
．
思路分析：如图根据旋转的性质知，点 A 经过的路线长是三段：①以 90 为圆心角，AD 长为半径的扇形
的弧长；②以 90 为圆心角，AB 长为半径的扇形的弧长；③90 为圆心角，矩形 ABCD 对角线长为半径的
扇形的弧长．
解：如图，
∵四边形 ABCD 是矩形，AB 4，BC 3，
∴BC AD 3，∠ADC 90 ，对角线 AC（BD） 5．
∵根据旋转的性质知，∠ADA′ 90 ，AD A′D BC 3，
∴点 A 第一次翻滚到点 A′位置时，则点 A′经过的路线长为： 90 3 3
180 2
．
同理，点 A′第一次翻滚到点 A″位置时，则点 A′经过的路线长为： 90 4
180
2π．
点″第一次翻滚到点 A1 位置时，则点 A″经过的路线长为： 90 5 5
180 2
．
则当点 A 第一次翻滚到点 A1 位置时，则点 A 经过的路线长为： 3 522 2
6π．
故答案是：6π．
点评：本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质．根据题意画出点 A 运动轨迹，是突破解题难
点的关键．
对应训练
2．（•遵义）如图，将边长为 1 的等边三角形 ABC 沿直线 l
向右翻动（不滑动），点 B 从开始到结束，所经过路径的长度为
（ ）
A． 3
2 π B．（2+ 3
2 π） C． 4
3 π
考点三：扇形面积与阴影部分面积
例 3 （•重庆）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 交于点 E，则图
中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
对应训练
3．（乐山）如图，小方格都是边长为 1 的正方形，则以格点为圆心，半径为 1 和 2 的两种弧围成的“叶状”
阴影图案的面积为 ．
考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图
例 4 （2015•遂宁）用半径为 3 ，圆心角是 120 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径
为（ ）
A．2π B．1.5 C．π D．1
对应训练
4．（攀枝花）一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（ ）
A．60 B．90 C．120 D．180
考点五：圆的综合题
例 5（攀枝花）如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，直线 PO 交⊙
O 与点 E，F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D，交⊙O 与点 B，
延长 BO 与⊙O 交与点 C，连接 AC，BF．
（1）求证：PB 与⊙O 相切；
（2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明；
（3）若 AC 12， ∠F 1
2
，求 㻐ર∠ACB 的值．
思路分析：（1）连接 OA，由 OP 垂直于 AB，利用垂径定理得到 D
为 AB 的中点，即 OP 垂直平分 AB，可得出 AP BP，再由 OA OB，OP OP，利用 SSS 得出三角形 AOP
与三角形 BOP 全等，由 PA 为圆的切线，得到 OA 垂直于 AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定
义得到 OB 垂直于 BP，即 PB 为圆 O 的切线；
（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形 AOD 与三角形 OAP 相似，由相似得比例，列出关系式，
由 OA 为 EF 的一半，等量代换即可得证．
（3）连接 BE，构建直角△BEF．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设 BE ，BF 2 ，
进而可得 EF 5 ；然后由面积法求得 BD 2 5
5 ，所以根据垂径定理求得 AB 的长度，在 R △ABC 中，
根据勾股定理易求 BC 的长；最后由余弦三角函数的定义求解．
解答：（1）证明：连接 OA，
∵PA 与圆 O 相切，
∴PA⊥OA，即∠OAP 90 ，
∵OP⊥AB，
∴D 为 AB 中点，即 OP 垂直平分 AB，
∴PA PB，
∵在△OAP 和△OBP 中，
AP BP
OP OP
OA OB
，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP ∠OBP 90 ，
∴BP⊥OB，
则直线 PB 为圆 O 的切线；
（2）答：EF2 4DO•PO．
证明：∵∠OAP ∠ADO 90 ，∠AOD ∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴ OA OD
OP OA
，即 OA2 OD•OP，
∵EF 为圆的直径，即 EF 2OA，
∴ 1
4 EF2 OD•OP，即 EF2 4OD•OP；
（3）解：连接 BE，则∠FBE 90 ．
∵ ∠F 1
2
，
∴ BE
BF 1
2
，
∴可设 BE ，BF 2 ，
则由勾股定理，得
EF 2 2BE BF 5 ，
∵ 1
2 BE•BF 1
2 EF•BD，
∴BD 2 5
5 ．
又∵AB⊥EF，
∴AB 2BD 4 5
5 ，
∴R △ABC 中，BC 5 ，
AC2+AB2 BC2，
∴122+（ 4 5
5 ）2 （ 5 ）2，
解得： 4 5 ，
∴BC 4 5 5 20，
∴ 㻐ર∠ACB 12 3
20 5
AC
BC
．
点评：此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟
练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
对应训练
5．（茂名）如图，在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 G，OA⊥CD 于点 E，过
点 B 的直线与 CD 的延长线交于点 F，AC∥BF．
（1）若∠FGB ∠FBG，求证：BF 是⊙O 的切线；
（2）若 ∠F 3
4
，CD ，请用 表示⊙O 的半径；
（3）求证：GF2흐GB2 DF•GF．
5．（1）证明：∵OA OB，
∴∠OAB ∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC 90 ，
又∵∠FGB ∠FBG，∠FGB ∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA 90 ，
即∠OBF 90 ，
∴OB⊥FB，
∵AB 是⊙O 的弦，
∴点 B 在⊙O 上，
∴BF 是⊙O 的切线；
（2）解：∵AC∥BF，
∴∠ACF ∠F，
∵CD ，OA⊥CD，
∴CE 1
2 CD 1
2 ，
∵ ∠F 3
4
，
∴ ∠ACF AE
CE 3
4
，
即
1
2
AE
a
3
4
，
解得 AE 3
8 ，
连接 OC，设圆的半径为 r，则 OE r흐 3
8 ，
在 R △OCE 中，CE2+OE2 OC2，
即（ 1
2 ）2+（r흐 3
8 ）2 r2，
解得 r 25
48 ；
（3）证明：连接 BD，
∵∠DBG ∠ACF，∠ACF ∠F（已证），
∴∠DBG ∠F，
又∵∠F ∠F，
∴△BDG∽△FBG，
∴ DG GB
GB GF
，
即 GB2 DG•GF，
∴GF2흐GB2 GF2흐DG•GF GF（GF흐DG） GF•DF，
即 GF2흐GB2 DF•GF．
【聚焦山东中考】
1．（滨州）若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）
A．6，3 2 B． 3 2 ，3 C．6，3 D．6 2 ，3 2
1．B
2．（东营）如图，正方形 ABCD 中，分别以 B、D 为圆心，以正方形的边长
为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ）
A．π B．2π C． 1
2 π D．3
3．（泰安）如图，AB，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点 O1，O2，O3，
O4 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点，若⊙O 的半径为 2，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．4 C．4π+4 D．4π흐4
4．（济南）如图，扇形 AOB 的半径为 1，∠AOB 90 ，以 AB 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A．
4
B．π흐 1
2 C． 1
2 D．
4
+ 1
2
5．（莱芜）将半径为 3 的圆形纸片沿 AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心 O，用图中
阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A．2 2 B． 2 C． 10 D． 3
2
6．（•菏泽）在半径为 5 的圆中，30 的圆心角所对的弧长为 （结果保留π）．
7．（聊城）已知一个扇形的半径为 60 ，圆心角为 150 ，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半
径为 ．
8．（青岛）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 AC 2，∠ABC 30 ，则图中阴影部分的面积是 ．
9．（枣庄）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线 EF 经过点 C，AD⊥EF 于点 D，∠DAC ∠BAC．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）求证：AC2 AD•AB；
（3）若⊙O 的半径为 2，∠ACD 30 ，求图中阴影部分的面积．
9．（1）证明：如图，连接 OC，
∵OA OC，
∴∠BAC ∠OCA，
∵∠DAC ∠BAC，
∴∠OCA ∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC 为半径，
∴EF 是⊙O 的切线．
（2）证明：如图，连接 BC，
∵AB 为⊙O 直径，AD⊥EF，
∴∠BCA ∠ADC 90 ，
∵∠DAC ∠BAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴ AD AC
AC AB
，
∴AC2 AD•AB．
（3）解：∵∠ACD 30 ，∠OCD 90 ，
∴∠OCA 60 ，
∵OC OA，
∴△OAC 是等边三角形，
∴AC OA OC 2，∠AOC 60 ，
∵在 R △ACD 中，AD 1
2 AC 1
2 2 1，
由勾股定理得：DC 3 ，
∴阴影部分的面积是 S S 梯形 OCDA흐S 扇形 OCA 1
2 （2+1） 3 흐
260 2
360
3 3 2
2 3
π．
10．（莱芜）如图，⊙O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交⊙O 于 C、D 两点，直径 AB⊥CD，点 M
是直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点，AM 所在的直线交于⊙O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，
且 PM PN．
（1）当点 M 在⊙O 内部，如图一，试判断 PN 与⊙O 的关系，并写出证明过程；
（2）当点 M 在⊙O 外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；
（3）当点 M 在⊙O 外部，如图三，∠AMO 15 ，求图中阴影部分的面积．
10．（1）PN 与⊙O 相切．
证明：如图（一），连接 ON，
则∠ONA ∠OAN，
∵PM PN，∴∠PNM ∠PMN．
∵∠AMO ∠PMN，∴∠PNM ∠AMO．
∴∠PNO ∠PNM+∠ONA ∠AMO+∠ONA 90 ．
即 PN 与⊙O 相切．
（2）成立．
证明：如图（二），连接 ON，
则∠ONA ∠OAN，
∵PM PN，∴∠PNM ∠PMN．
在 R △AOM 中，
∴∠OMA+∠OAM 90 ，
∴∠PNM+∠ONA 90 ．
∴∠PNO 180 흐90 90 ．
即 PN 与⊙O 相切．
（3）解：如图（三），连接 ON，由（2）可知∠ONP 90 ．
∵∠AMO 15 ，PM PN，∴∠PNM 15 ，∠OPN 30 ，
∵∠PON 60 ，∠AON 30 ．
作 NE⊥OD，垂足为点 E，
则 NE ON•રi 60 1 3
2 3
2
．
S 阴影 S△AOC+S 扇形 AON흐S△CON
1
2 OC•OA+ 30
360 π 흐12 1
2 CO•NE
1
2 1 1+ 1
12 π흐 1
2 1 3
2
1
2 + 1
12 π흐 3
4
．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（淮安）若扇形的半径为 6，圆心角为 120 ，则此扇形的弧长是（ ）
A．3π B．4π C．5π D．6π
2．（天门）如果一个扇形的弧长是 4
3 π，半径是 6，那么此扇形的圆心角为（ ）
A．40 B．45 C．60 D．80
3．（义乌）已知圆锥的底面半径为 6 ，高为 8 ，则这个圆锥的母线长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．（乌鲁木齐）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
5．（南通）用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是 4 ，底面周长是 6π ，则扇
形的半径为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
6．（黄石）已知直角三角形 ABC 的一条直角边 AB 12 ，另一条直角边 BC 5 ，则以 AB 为轴旋转一
周，所得到的圆锥的表面积是（ ）
A．90π 2 B．209π 2 C．155π 2 D．65π 2
6．A
7．（舟山）如图，某厂生产横截面直径为 7 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获
得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为 90 ，则“蘑菇罐头”字样的长度为（ ）
A．
4
B． 7
4
C． 7
2
D．7π
8．（南宁）如图，圆锥形的烟囱底面半径为 15 ，母线长为 20 ，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮
面积至少是（ ）
A．150π 2 B．300π 2 C．600π 2 D．150π 2
9．（台州）如图，已知边长为 2 的正三角形 ABC 顶点 A 的坐标为（0，6），BC 的中点 D 在 轴上，且在
点 A 下方，点 E 是边长为 2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此
过程中 DE 的最小值为（ ）
A．3 B．4흐 3 C．4 D．6흐2 3
10．（贵港）如图，已知圆锥的母线长为 6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且 રi θ 1
3
，则该圆锥的侧面
积是（ ）
A．24 2 π B．24π C．16π D．12π
11．（襄阳）如图，以 AD 为直径的半圆 O 经过 R △ABC 斜边 AB 的两个端点，交直角边 AC 于点 E、B，
E 是半圆弧的三等分点，弧 BE 的长为 2
3 π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
9
B． 3
9
C． 3 3 3
2 2
D． 3 3 2
2 3
12．（武汉）如图，⊙A 与⊙B 外切于点 D，PC，PD，PE 分别是圆的切线，C，D，E 是切点．若∠CDE ，
∠ECD ，⊙B 的半径为 R，则 »DE 的长度是（ ）
A． (90 )
90
x R B． (90 )
90
y R C． (180 )
90
x R D． (180 )
90
y R
13．（•许昌一模）已知：如图，在△ABC 中，AB AC，以 AB 为直径的半圆 O 交
BC 于 D，AC 于 E，连接 AD、BE 交于点 M，过点 D 作 DF⊥AC 于 F，DH⊥AB
于 H，交 BE 于 G，下列结论：①BD CD；②DF 是⊙O 的切线；③∠DAC ∠
BDH；④DG 1
2 BM．成立的个数（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
14．（徐州）已知扇形的圆心角为 120 ，弧长为 10π ，则扇形的半径为 ．
15．（•茂名）如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形 AOB 的圆心角∠O 120 ，半径 OA 3，则弧 AB 的
长度为 （结果保留π）．
16．（•重庆）如图，一个圆心角为 90 的扇形，半径 OA 2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留π） ．
17．（•孝感）用半径为 10 ，圆心角为 216 的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ．
18．（•宿迁）已知圆锥的底面周长是 10π，其侧面展开后所得扇形的圆心角为 90 ，则该圆锥的母线长
是 ．
19．（•玉林）如图，实线部分是半径为 15 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆
的圆心，则游泳池的周长是 ．
20．（•徐州）如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，四边形 BCFG 的面积为 20 2，则正八边形的面积为
2．
21．（•南京）△OAB 是以正多边形相邻的两个顶点 A，B 与它的中心 O 为顶点的三角形，若△OAB 的一
个内角为 70 ，则该正多边形的边数为 ．
22．（•盘锦）如图，张老师在上课前用硬纸做了一个无底的圆锥形教具，那么这个教具的用纸面积是
2．（不考虑接缝等因素，计算结果用π表示）．
23．（•泸州）如图，从半径为 9 的圆形纸片上剪去 1
3
圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接
缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 ．
24．（•内江）如图，正六边形硬纸片 ABCDEF 在桌面上由图 1 的起始位置沿直线 l 不滑行地翻滚一周后到
图 2 位置，若正六边形的边长为 2 ，则正六边形的中心 O 运动的路程为 ．
25．（凉山州）如图，R △ABC 中，∠C 90 ，AC 8，BC 6，两等圆⊙A，⊙B 外切，那么图中两个扇形
（即阴影部分）的面积之和为 ．
26．（•福州）如图，由 7 个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每
个正六边形的边长为 1，△ABC 的顶点都在格点上，则△ABC 的面积是 ．
27．（•衢州）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在
直线重合，重叠部分的量角器弧（ »AB ）对应的圆心角（∠AOB）为 120 ，OC 的长为 2 ，则三角板和
量角器重叠部分的面积为 ．
28．（•宿迁）如图，AB 是半圆 O 的直径，且 AB 8，点 C 为半圆上的一点．将此半圆沿 BC 所在的直线
折叠，若圆弧 BC 恰好过圆心 O，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
29．（•长春）如图，在平面直角坐标系中，边长为 6 的正六边形 ABCDEF 的对称中心与原点 O 重合，点
A 在 轴上，点 B 在反比例函数 ky x
位于第一象限的图象上，则 k 的值为 ．
30．（遵义）如图，在 R △ABC 中，∠ACB 90 ，AC BC 1，E 为 BC 边上的一点，以 A 为圆心，AE
为半径的圆弧交 AB 于点 D，交 AC 的延长于点 F，若图中两个阴影部分的面积相等，则 AF 的长为 （结
果保留根号）．
31．（乐亭县一模）如图，已知直线 +4 与两坐� � � 轴分别交于 A、B 两点，⊙C 的圆心坐标为 （2，
O），半径为 2，若 D 是⊙C 上的一个动点，线段 DA 与 轴交于点 E，则△ABE 面积的最小值和最大值分
别是 ．
32．（玉林）如图，△ABC 是⊙O 内接正三角形，将△ABC 绕点 O 顺时针旋转
30 得到△DEF，DE 分别交 AB，AC 于点 M，N，DF 交 AC 于点 Q，则有以下
结论：①∠DQN 30 ；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ 的周长等于 AC 的长；
④NQ QC．其中正确的结论是 ．（把所有正确的结论的序号都填
上）
三、解答题
33．（佛山）如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线 AB 与高 AO 的夹角．参考公式：圆锥的侧面积
S πrl，其中 r 为底面半径，l 为母线长．
33．解：设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，
则：πl 2πr，
∴l 2r，
∴母线与高的夹角的正弦值 1
2
r
l
，
∴母线 AB 与高 AO 的夹角 30 ．
34.（梅州）如图，在矩形 ABCD 中，AB 2DA，以点 A 为圆心，AB 为半径的圆
弧交 DC 于点 E，交 AD 的延长线于点 F，设 DA 2．
（1）求线段 EC 的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
34．解；（1）∵在矩形 ABCD 中，AB 2DA，DA 2，
∴AB AE 4，
∴DE 2 2 2 3AE AD ，
∴EC CD흐DE 4흐2 3 ；
（2）∵રi ∠DEA 1
2
AD
AE
，
∴∠DEA 30 ，
∴∠EAB 30 ，
∴图中阴影部分的面积为：
S 扇形 FAB흐S△DAE흐S 扇形 EAB
290 4 1
360 2
2 2 3 흐
230 4
360
8
3
흐2 3 ．
35．（•荆门）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，点 M 是 BC 的中点，P 是线段 MC 上的一个动点（不与
M、C 重合），以 AB 为直径作⊙O，过点 P 作⊙O 的切线，交 AD 于点 F，切点为 E．
（1）求证：OF∥BE；
（2）设 BP ，AF ，求 关于 的函数解析式，并写出自变量 的取值范围；
（3）延长 DC、FP 交于点 G，连接 OE 并延长交直线 DC 与 H（图 2），问是否存在点 P，使△EFO∽△
EHG（E、F、O 与 E、H、G 为对应点）？如果存在，试求（2）中 和 的值；如果不存在，请说明理
由．
35．（1）证明：如图，连接 OE，
FE、FA 是⊙O 的两条切线
∴∠FAO ∠FEO 90
在 R △OAF 和 R △OEF 中，
FO FO
OA OE
，
∴R △FAO≌R △FEO（HL），
∴∠AOF ∠EOF 1
2
∠AOE，
∴∠AOF ∠ABE，
∴OF∥BE，
（2）解：过 F 作 FQ⊥BC 于 Q
∴PQ BP흐BQ 흐
PF EF+EP FA+BP +
∵在 R △PFQ 中
∴FQ2+QP2 PF2
∴22+（ 흐 ）2 （ + ）2
化简得： 1
x
，（1＜ ＜2）；
（3）存在这样的 P 点，
理由：∵∠EOF ∠AOF，
∴∠EHG ∠EOA 2∠EOF，
当∠EFO ∠EHG 2∠EOF 时，
即∠EOF 30 时，R △EFO∽R △EHG，
此时 R △AFO 中，
AF OA• 30 3
3
，
∴ 1
y 3 ∴当 3 3
3
时，△EFO∽△EHG．
36．（晋江市）如图，在平面直角坐标系 O 中，一动直线 l 从 轴出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿
轴向右平移，直线 l 与直线 相交于点 P，以 OP 为半径的⊙P 与 轴正半轴交于点 A，与 轴正半轴
交于点 B．设直线 l 的运动时间为 秒．
（1）填空：当 1 时，⊙P 的半径为 ，OA ，OB ；
（2）若点 C 是坐标平面内一点，且以点 O、P、C、B 为顶点的四边形为平行四边形．
①请你直接写出所有符合条件的点 C 的坐标；（用含 的代数式表示）
②当点 C 在直线 上方时，过 A、B、C 三点的⊙Q 与 轴的另一个交点为点 D，连接 DC、DA，试判
断△DAC 的形状，并说明理由．
36．解：（1） 2 ，OA 2，OB 2；
（2）符合条件的点 C 有 3 个，如图 1．
连接 PA，∵∠AOB 90 ，由圆周角定理可知，AB 为圆的直径，点 A、
P、B 共线．
∵圆心 P 在直线 上，∴∠POA ∠POB 45 ，
又∵PO PA PB，∴△POB 与△POA 均为等腰直角三角形．
设动直线 l 与 轴交于点 E，则有 E（ ，0），P（ ， ），B（0，2 ）．
∵OBPC1 为平行四边形，∴C1P OB 2 ，C1E C1P+PE 2 + 3 ，
∴C1（ ，3 ）；
同理可求得：C3（ ，흐 ）；
∵OPBC2 为平行四边形，且 PB PO，∠OPB 90 ，
∴▱OPBC2 为正方形，其对角线 OB 位于 轴上，则点 P 与点 C2
关于 轴对称，
∴C2（흐 ， ）；
∴符合条件的点 C 有 3 个，分别为 C1（ ，3 ）、C2（흐 ， ）、C3（ ，
흐 ）；
（3）△DAC 是等腰直角三角形．理由如下：
当点 C 在第一象限时，如图 2，连接 DA、DC、PA、AC．
由（2）可知，点 C 的坐标为（ ，3 ），由点 P 坐标为（ ， ），点 A
坐标为（2 ，0），点 B 坐标为（0，2 ），
可知 OA OB 2 ，△OAB 是等腰直角三角形，
又 PO PB，进而可得△OPB 也是等腰直角三角形，则∠POB ∠
PBO 45 ．
∵∠AOB 90 ，∴AB 为⊙P 的直径，∴A、P、B 三点共线，
又∵BC∥OP，∴∠CBE ∠POB 45 ，
∴∠ABC 180 흐∠CBE흐∠PBO 90 ，
∴AC 为⊙Q 的直径，∴DA⊥DC，
∴∠CDE+∠ADO 90
过点 C 作 CE⊥ 轴于点 E，
则有∠DCE+∠CDE 90 ，∴∠ADO ∠DCE，
∴R △DCE∽R △ADO，
∴ EC DE
OD AO
，即 3
2
t t OD
OD t
，
解得 OD 或 OD 2
依题意，点 D 与点 B 不重合，∴舍去 OD 2 ，只取 OD ，
∴ EC
OD 1 ，即相似比为 1，此时两个三角形全等，则 DC AD，
∴△DAC 是等腰直角三角形．…（11 分）
当点 C 在第二象限时，如图 3，同上可证△DAC 也是等腰直角三角
形．
综上所述，当点 C 在直线 上方时，△DAC 必为等腰直角三角
形．
第六章 图形与变换
第二十六讲 平移、旋转与对称
【基础知识回顾】
一、 轴对称与轴对称图形：
1、轴对称：把一个图 形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形 那么就说这两个
图形成轴对称，这条直线叫
2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相 那么这个图
形叫做轴对称图形
3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形
⑵对应点连接被对称轴
【名师提醒：1、轴对称是指 个图形的位置关系，而轴对称图形是
指 个具有特殊形状的图形；2、对称轴是 而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一
条】
二、图形的平移与旋转：
1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个 移动一定的 这样的图形运动称为平移
⑵性质：Ⅰ、平移不改变图形的 与 ，即平移前后的图形
Ⅱ、平移前后的图形对应点所连的线段平行且
【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的 和 】
2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 ，这样的图形运动称为
旋转，这个点称为 转动的 称为旋转角
⑵旋转的性质：Ⅰ、旋转前后的图形
Ⅱ、旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都 ，每对对应点与旋转中心
的连线所成的角度都是旋转角都
【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定 、 和 ，
2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称图形】
三、中心对称与中心对称图形：
1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转 1800 能与自身重合它能与另一个图形 就说这两
个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做
2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转 后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫
做
3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过 且被 平分
【名师提醒：1、中心对称是指 个图形的位置关系，而中心对称图形是
指 个具有特殊形状的图形 2、常见的轴对称有 、 、 、 、 、
等，常见的中心对称图形有 、 、 、 、 、 等
3、所有的正 n 边形都是 对称图形，且有 条对称轴，边数为偶数的正多边形，又是 对
称图形，4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】
【典型例题解析】
考点一：轴对称图形
例 1 （株洲）下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（ ）
A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
例 2 （遵义）已知点 P（3，흐1）关于 轴的对称点 Q 的坐标是（ +b，1흐b），则 b 的值为 ．
点评：此题主要考查了关于 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
例 3 （•重庆）作图题：（不要求写作法）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，其中，点 A、B、C 的坐
标分别为 A（흐2，1），B（흐4，5），C（흐5，2）．
（1）作△ABC 关于直线 l： 흐1 对称的△A1B1C1，其中，点 A、B、C 的对应点分别为 A1、B1、C1；
（2）写出点 A1、B1、C1 的坐标．
对应训练
1．（•山西）如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．4 条 D．8 条
2．（•铜仁地区）点 P（2，흐1）关于 轴对称的点 P′的坐标是 ．
3．（郴州）在图示的方格纸中
（1）作出△ABC 关于 MN 对称的图形△A1B1C1；
（2）说明△A2B2C2 是由△A1B1C1 经过怎样的平移得到的？
考点二：中心对称图形
例 4 （永州）下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
思路分析：先判断出各图形的主视图，然后结合中心对称的定义进行判断即可．
解：A、主视图是矩形，矩形是中心对称图形，故本选项错误；
B、主视图是三角形，三角形不是中心对称图形，故本选项正确；
C、主视图是圆，圆是中心对称图形，故本选项错误；
D、主视图是正方形，正方形是中心对称图形，故本选项错误；
故选 B．
点评：本题考查了简单几何体的三视图及中心对称的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180
度后与原图重合．
例 5 （•深圳）在平面直角坐标系中，点 P（흐20， ）与点 Q（b，13）关于原点对称，则 +b 的值为（ ）
A．33 B．흐33 C．흐7 D．7
思路分析：先根据关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数，求出 与 b 的值，再代
入计算即可．
解：∵点 P（흐20， ）与点 Q（b，13）关于原点对称，
∴ 흐13，b 20，
∴ +b 흐13+20 7．
故选 D．
点评：本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点
对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
对应训练
4．（营口）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（•常州）已知点 P（3，2），则点 P 关于 轴的对称点 P1 的坐标是 ，点 P 关于原点 O 的对称
点 P2 的坐标是
考点三：最短路线问题
例 6 （资阳）如图，在 R △ABC 中，∠C 90 ，∠B 60 ，点 D 是 BC 边上的点，CD 1，
将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，
则△PEB 的周长的最小值是 ．
思路分析：连接 CE，交 AD 于 M，根据折叠和等腰三角形性质得出当 P 和 D 重合时，PE+BP
的值最小，即可此时△BPE 的周长最小，最小值是 BE+PE+PB BE+CD+DE BC+BC，先
求出 BC 和 BE 长，代入求出即可．
解：连接 CE，交 AD 于 M，
∵沿 AD 折叠 C 和 E 重合，
∴∠ACD ∠AED 90 ，AC AE，∠CAD ∠EAD，
∴AD 垂直平分 CE，即 C 和 E 关于 AD 对称，CD DE 1，
∴当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即可此时△BPE 的周长最小，最小值是
BE+PE+PB BE+CD+DE BC+BC，
∵∠DEA 90 ，
∴∠DEB 90 ，
∵∠B 60 ，DE 1，
∴BE 3
3
，BD 2 33
，
即 BC 1+ 2 33
，
∵∠ACB 90 ，∠B 60 ，
∴∠CAB 30 ，
∴AB 2BC 2 （1+ 2 33
） 2+ 4 33
，
AC 3 BC 3 +2，
∴BE AB흐AE 2+ 4 33 흐（ 3 +2） 1 33
，
∴△PEB 的周长的最小值是 BC+BE 1+ 2 33 + 1 33 1+ 3 ，
故答案为：1+ 3 ．
点评：本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称흐最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角
形性质的应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中．
对应训练
6．（钦州）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE 2，AE 3BE，P 是
AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值是 ．
考点四：平移
例 7 （绵阳）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼 A 的坐标是（흐2，
3），嘴唇 C 点的坐标为（흐1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移 3 个单位后，右眼 B 的坐标是 ．
例 8 （•宜宾）如图，将面积为 5 的△ABC 沿 BC 方向平移至△DEF
的位置，平移的距离是边 BC 长的两倍，那么图中的四边形 ACED
的面积为 ．
思路分析：设点 A 到 BC 的距离为 h，根据平移的性质用 BC 表示
出 AD、CE，然后根据三角形的面积公式与梯形的面积公式列式进
行计算即可得解．
解：设点 A 到 BC 的距离为 h，则 S△ABC 1
2 BC•h 5，
∵平移的距离是 BC 的长的 2 倍，
∴AD 2BC，CE BC，
∴四边形 ACED 的面积 1
2
（AD+CE）•h 1
2
（2BC+BC）•h 3 1
2 BC•h 3 5 15．
故答案为：15．
点评：本题考查了平移的性质，三角形的面积，主要用了对应点间的距离等
于平移的距离的性质．
对应训练
7．（贵阳）如图，将直线 l1 沿着 AB 的方向平移得到直线 l2，若∠1 50 ，
则∠2 的度数是（ ）
A．40 B．50 C．90 D．130
8．（陕西）在平面直角坐标系中，线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A（흐2，1）、B（1，3），将线段 AB
通过平移后得到线段 A′B′，若点 A 的对应点为 A′（3，2），则点 B 的对应点 B′的坐标是 ．
考点五：旋转的性质
例 9 （•南京）如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 A′B′C′D′的位置，旋转角为α（0 ＜α＜90 ），
若∠1 110 ，则∠α ．
思路分析：根据矩形的性质得∠B ∠D ∠BAD 90 ，根据旋转的性质得∠D′ ∠D 90 ，∠4 α，利用对
顶角相等得到∠1 ∠2 110 ，再根据四边形的内角和为 360 可计算出∠3 70 ，然后利用互余即可得到∠
α的度数．
解：如图，
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴∠B ∠D ∠BAD 90 ，
∵矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转得到矩形 A′B′C′D′，
∴∠D′ ∠D 90 ，∠4 α，
∵∠1 ∠2 110 ，
∴∠3 360 흐90 흐90 흐110 70 ，
∴∠4 90 흐70 20 ，
∴∠α 20 ．
故答案为 20 ．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心
的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．
例 10 （益阳）如图 1，在△ABC 中，∠A 36 ，AB AC，∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E．
（1）求证：AE BC；
（2）如图（2），过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于 F，将△AEF 绕点 A 逆时针旋转角α（0 ＜α＜144 ）得到△
AE′F′，连结 CE′，BF′，求证：CE′ BF′；
（3）在（2）的旋转过程中是否存在 CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．
思路分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；
（2）由旋转的性质可知：∠E′AC ∠F′AB，AE′ AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；
（3）分别根据①当点 E 的像 E′与点 M 重合时，则四边形 ABCM 为等腰梯形，②当点 E 的像 E′与点 N 重
合时，求出α即可．
解答：（1）证明：∵AB BC，∠A 36 ，
∴∠ABC ∠C 72 ，
又∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE ∠CBE 36 ，
∴∠BEC 180 흐∠C흐∠CBE 72 ，
∴∠ABE ∠A，∠BEC ∠C，
∴AE BE，BE BC，
∴AE BC．
（2）证明：∵AC AB 且 EF∥BC，
∴AE AF；
由旋转的性质可知：∠E′AC ∠F′AB，AE′ AF′，
∵在△CAE′和△BAF′中
AB AC
F AB E AC
AF AE
，
∴△CAE′≌△BAF′，
∴CE′ BF′．
（3）存在 CE′∥AB，
理由：由（1）可知 AE BC，所以，在△AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，E 点经过的路径（圆弧）与过点
C 且与 AB 平行的直线 l 交于 M、N 两点，
如图：
①当点 E 的像 E′与点 M 重合时，则四边形 ABCM 为等腰梯形，
∴∠BAM ∠ABC 72 ，又∠BAC 36 ，
∴α ∠CAM 36 ．
②当点 E 的像 E′与点 N 重合时，
由 AB∥l 得，∠AMN ∠BAM 72 ，
∵AM AN，
∴∠ANM ∠AMN 72 ，
∴∠MAN 180 흐2 72 36 ，
∴α ∠CAN ∠CAM+∠MAN 72 ．
所以，当旋转角为 36 或 72 时，CE′∥AB．
点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌
握相关定理是解题关键．
对应训练
9．（铁岭）如图，在△ABC 中，AB 2，BC 3.6，∠B 60 ，将△ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得
到△ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为 ．
10．（扬州）如图，在△ABC 中，∠ACB 90 ，AC BC，点 D 在边 AB 上，连接 CD，将线段 CD 绕点 C
顺时针旋转 90 至 CE 位置，连接 AE．
（1）求证：AB⊥AE；
（2）若 BC2 AD•AB，求证：四边形 ADCE 为正方形．
10．证明：（1）∵∠ACB 90 ，AC BC，
∴∠B ∠BAC 45 ，
∵线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90 至 CE 位置，
∴∠DCE 90 ，CD CE，
∵∠ACB 90 ，
∴∠ACB흐∠ACD ∠DCE흐∠ACD，
即∠BCD ∠ACE，
在△BCD 和△ACE 中
BC AC
BCD ACE
CD CE
，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠B ∠CAE 45 ，
∴∠BAE 45 +45 90 ，
∴AB⊥AE；
（2）∵BC2 AD•AB，
而 BC AC，
∴AC2 AD•AB，
∵∠DAC ∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴∠CDA ∠BCA 90 ，
而∠DAE 90 ，∠DCE 90 ，
∴四边形 ADCE 为矩形，
∵CD CE，
∴四边形 ADCE 为正方形．
考点六：图形的折叠
例 11 （河南）如图，矩形 ABCD 中，AB 3，BC 4，点 E 是 BC 边上一
点，连接 AE，把∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处．当△CEB′为直角三
角形时，BE 的长为 ．
思路分析：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点 B′落在矩形内部时，如答图 1 所示．
连结 AC，先利用勾股定理计算出 AC 5，根据折叠的性质得∠AB′E ∠
B 90 ，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C 90 ，所以点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，
使点 B 落在对角线 AC 上的点 B′处，则 EB EB′，AB AB′ 3，可计算出 CB′ 2，设 BE ，则 EB′ ，CE 4흐 ，
然后在 R △CEB′中运用勾股定理可计算出 ．
②当点 B′落在 AD 边上时，如答图 2 所示．此时 ABEB′为正方形．
解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点 B′落在矩形内部时，如答图 1 所示．
连结 AC，
在 R △ABC 中，AB 3，BC 4，
∴AC 2 24 3 5，
∵∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处，
∴∠AB′E ∠B 90 ，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C 90 ，
∴点 A、B′、C 共线，即∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线 AC 上的点 B′处，如图，
∴EB EB′，AB AB′ 3，
∴CB′ 5흐3 2，
设 BE ，则 EB′ ，CE 4흐 ，
在 R △CEB′中，
∵EB′2+CB′2 CE2，
∴ 2+22 （4흐 ）2，解得 3
2
，
∴BE 3
2
；
②当点 B′落在 AD 边上时，如答图 2 所示．
此时 ABEB′为正方形，∴BE AB 3．
综上所述，BE 的长为 3
2
或 3．
故答案为： 3
2
或 3．
点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质
以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
对应训练
11．（上海）如图，在△ABC 中，AB AC，BC 8， C 3
2
，如果将△ABC 沿直线 l 翻折后，点 B 落在
边 AC 的中点处，直线 l 与边 BC 交于点 D，那么 BD 的长为 ．
解：过点 A 作 AQ⊥BC 于点 Q，
∵AB AC，BC 8， C 3
2
，
∴ AQ
QC 3
2
，QC BQ 4，
∴AQ 6，
∵将△ABC 沿直线 l 翻折后，点 B 落在边 AC 的中点处，
过 B′点作 B′E⊥BC 于点 E，
∴B′E 1
2 AQ 3，
∴ BE
EC 3
2
，
∴EC 2，
设 BD ，则 B′D ，
∴DE 8흐 흐2 6흐 ，
∴ 2 （6흐 ）2+32，
解得： 15
4
，
直线 l 与边 BC 交于点 D，那么 BD 的长为：15
4
．
故答案为：15
4
．
考点七：简单的图形变换的应用
例 12 （•眉山）如图，在 11 11 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一个格点△ABC
（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1；（要求 A 与 A1，B 与 B1，C 与 C1 相对应）
（2）作出△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 90 后得到的△A2B2C；
（3）在（2）的条件下直接写出点 B 旋转到 B2 所经过的路径的长．（结果保留π）
思路分析：（1）根据网格结构找出点 A、B、C 关于直线 l 的对称点 A1、B1、C1 的位置，然后顺次连接即
可；
（2）根据网格结构找出点 A、B 绕点 C 顺时针旋转 90 后的 A2、B2 的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用勾股定理列式求出 BC 的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．
解：（1）△A1B1C1 如图所示；
（2）△A2B2C 如图所示；
（3）根据勾股定理，BC 2 21 4 17 ，
所以，点 B 旋转到 B2 所经过的路径的长 90 17 17
180 2
π．
点评：本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构准确找
出对应点的位置是解题的关键．
对应训练
12．（绥化）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格
点，△ABC 的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：
（1）画出将△ABC 向右平移 3 个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1 绕点 B1 按逆时针方向旋转
90 后所得到的△A2B1C2；
（2）求线段 B1C1 旋转到 B1C2 的过程中，点 C1 所经过的路径长．
12．解：（1）如图所示：
（2）点 C1 所经过的路径长为： 90 4
180
2π．
考点八：几何变换综合题
例 13 （达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，
请补充完整．
原题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，∠EAF 45 ，连接 EF，则 EF BE+DF，
试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB CD，
∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 至△ADG，可使 AB 与 AD 重合．
∵∠ADC ∠B 90 ，
∴∠FDG 180 ，点 F、D、G 共线．
根据 ，易证△AFG≌ ，得 EF BE+DF．
（2）类比引申
如图 2，四边形 ABCD 中，AB AD，∠BAD 90 点 E、F 分别在边 BC、CD 上，∠EAF 45 ．若∠B、∠
D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系 时，仍有 EF BE+DF．
（3）联想拓展
如图 3，在△ABC 中，∠BAC 90 ，AB AC，点 D、E 均在边 BC 上，且∠DAE 45 ．猜想 BD、DE、
EC 应满足的等量关系，并写出推理过程．
思路分析：（1）把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 至△ADG，可使 AB 与 AD 重合，再证明△AFG≌△AEF
进而得到 EF FG，即可得 EF BE+DF；
（2）∠B+∠D 180 时，EF BE+DF，与（1）的证法类同；
（3）根据△AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到 BE′ EC，
AE′ AE，∠C ∠ABE′，∠EAC ∠E′AB，根据 R △ABC 中的，AB AC 得到∠E′BD 90 ，所以
E′B2+BD2 E′D2，证△AE′D≌△AED，利用 DE DE′得到 DE2 BD2+EC2；
解：（1）∵AB CD，
∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 至△ADG，可使 AB 与 AD 重合．
∴∠BAE ∠DAG，
∵∠BAD 90 ，∠EAF 45 ，
∴∠BAE+∠DAF 45 ，
∴∠EAF ∠FAG，
∵∠ADC ∠B 90 ，
∴∠FDG 180 ，点 F、D、G 共线，
在△AFG 和△AEF 中
AE AG
EAF FAG
AF AF
，
∴△AFG≌△AEF（SAS），
∴EF FG，
即：EF BE+DF．
（2）∠B+∠D 180 时，EF BE+DF；
∵AB AD，
∴把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 至△ADG，可使 AB 与 AD 重合，
∴∠BAE ∠DAG，
∵∠BAD 90 ，∠EAF 45 ，
∴∠BAE+∠DAF 45 ，
∴∠EAF ∠FAG，
∵∠ADC+∠B 180 ，
∴∠FDG 180 ，点 F、D、G 共线，
在△AFG 和△AEF 中
AE AG
EAF FAG
AF AF
，
∴△AFG≌△AEF（SAS），
∴EF FG，
即：EF BE+DF．
（3）猜想：DE2 BD2+EC2，
证明：根据△AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 得到△ABE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′ EC，AE′ AE，
∠C ∠ABE′，∠EAC ∠E′AB，
在 R △ABC 中，
∵AB AC，
∴∠ABC ∠ACB 45 ，
∴∠ABC+∠ABE′ 90 ，
即∠E′BD 90 ，
∴E′B2+BD2 E′D2，
又∵∠DAE 45 ，
∴∠BAD+∠EAC 45 ，
∴∠E′AB+∠BAD 45 ，
即∠E′AD 45 ，
在△AE′D 和△AED 中，
AE AE
E AD DAE
AD AD
，
∴△AE′D≌△AED（SAS），
∴DE DE′，
∴DE2 BD2+EC2．
点评：此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，难度
较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．
对应训练
13．（义乌）小明合作学习小组在探究旋转、平移变换．如图△ABC，DEF 均为等腰直角三角形，各顶点
坐标分别为 A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（ 2 ，0），E（2 2 ，0），F（ 3 2
2
，흐 2
2
）．
（1）他们将△ABC 绕 C 点按顺时针方向旋转 45 得到△A1B1C1．请你写出点 A1，B1 的坐标，并判断 A1C
和 DF 的位置关系；
（2）他们将△ABC 绕原点按顺时针方向旋转 45 ，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线
2 2 2+b + 上，请你求出符合条件的抛物线解析式；
（3）他们继续探究，发现将△ABC 绕某个点旋转 45 ，若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线 2
上，则可求出旋转后三角形的直角顶点 P 的坐标，请你直接写出点 P 的所有坐标．
13．解：（1）A1（2흐 2
2
，1+ 2
2
），B1（2+ 2
2
，1+ 2
2
）．
A1C 和 DF 的位置关系是平行．
（2）∵△ABC 绕原点按顺时针方向旋转 45 后的三角形即为△DEF，
∴①当抛物线经过点 D、E 时，根据题意可得：
2
2
2 2 ( 2) 2 0
2 2 (2 2) 2 2 0
b c
b c
，
解得 -12
8 2
b
c
。
∴ 2 2 2흐12 +8 2 ；
②当抛物线经过点 D、F 时，根据题意可得：
2
2
2 2 ( 2) 2 0
3 2 3 2 22 2 ( )2 2 2
b c
b c
，
解得 -11
7 2
b
c
。
∴ 2 2 2흐11 +7 2 ；
③当抛物线经过点 E、F 时，根据题意可得：
2
2
2 2 (2 2) 2 2 0
3 2 3 2 22 2 ( )2 2 2
b c
b c
，
解得 -13
10 2
b
c
。
∴ 2 2 2흐13 +10 2 ．
（3）在旋转过程中，可能有以下情形：
①顺时针旋转 45 ，点 A、B 落在抛物线上，如答图 1 所示：
易求得点 P 坐标为（0，1 2
2
）；
②顺时针旋转 45 ，点 B、C 落在抛物线上，如答图 2 所示：
设点 B′，C′的横坐标分别为 1， 2．
易知此时 B′C′与一、三象限角平分线平行，∴设直线 B′C′的解析式为 +b，
联立 2 与 +b 得： 2 +b，即 2흐 흐b 0，
∴ 1+ 2 1， 1 2 흐b．
∵B′C′ 1，∴根据题意易得：| 1흐 2| 2
2
，
∴（ 1흐 2）2 1
2
，即（ 1+ 2）2흐4 1 2 1
2
，
∴1+4b 1
2
，解得 b 흐 1
8
．
∴ 2흐 + 1
8 0，解得 2 2
4
或 2 2
4
．
∵点 C′的横坐标较小，∴ 2 2
4
．
当 2 2
4
时， 2 3 2 2
8
，
∴P（ 2 2
4
， 3 2 2
8
）；
③顺时针旋转 45 ，点 C、A 落在抛物线上，如答图 3 所示：
设点 C′，A′的横坐标分别为 1， 2．
易知此时 C′A′与二、四象限角平分线平行，∴设直线 C′A′的解析式为 흐 +b，
联立 2 与 흐 +b 得： 2 흐 +b，即 2+ 흐b 0，
∴ 1+ 2 흐1， 1 2 흐b．
∵C′A′ 1，∴根据题意易得：| 1흐 2| 2
2
，
∴（ 1흐 2）2 1
2
，即（ 1+ 2）2흐4 1 2 1
2
∴1+4b 1
2
，解得 b 흐 1
8
．
∴ 2+ + 1
8 0，解得 2 2
4
或 2 2
4
．
∵点 C′的横坐标较大，∴ 2 2
4
．
当 2 2
4
时， 2 3 2 2
8
，
∴P（ 2 2
4
， 3 2 2
8
）；
④逆时针旋转 45 ，点 A、B 落在抛物线上．
因为逆时针旋转 45 后，直线 A′B′与 轴平行，因为与抛物线最多只能有一个交点，故此种情形不存在；
⑤逆时针旋转 45 ，点 B、C 落在抛物线上，如答图 4 所示：
与③同理，可求得：P（ 2 2
4
， 3 2 2
8
）；
⑥逆时针旋转 45 ，点 C、A 落在抛物线上，如答图 5 所示：
与②同理，可求得：P（ 2 2
4
， 3 2 2
8
）．
综上所述，点 P 的坐标为：
（0，1 2
2
），（ 2 2
4
， 3 2 2
8
），（ 2 2
4
， 3 2 2
8
），（ 2 2
4
， 3 2 2
8
）．
【聚焦山东中考 1．（日照）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（泰安）下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（ ）
A．13 B．11 C．10 D．8
3．（烟台）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（青岛）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．D
5．（潍坊）下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．A
6．（莱芜）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）
①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（济南）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是
（ ）
A． B．
8．（烟台）如图，将四边形 ABCD 先向 左 平 移 3 个 单
位，再向上平移 2 个单位，那么点 A 的 对应点 A′的坐标
是（ ）
A．（6，1） B．（0，1）
9．（泰安）在如图所示的单位正方形网 格中，△ABC 经
过平移后得到△A1B1C1，已知在 AC 上 一点 P（2.4，2）
平移后的对应点为 P1，点 P1 绕点 O 逆时针旋转 180 ，得到对应点 P2，则 P2 点的坐标为（ ）
A．（1.4，흐1） B．（1.5，2） C．（1.6，1） D．（2.4，1）
10．（东营）将等腰直角三角形 AOB 按如图所示放置，然后绕点 O 逆时针旋转 90 至△A′OB′的位置，点
B 的横坐标为 2，则点 A′的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（ 2 2 ） C．（흐1，1） D．（흐 2 2 ）
11．（济宁）如图，在直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点 C 是 轴上的一个
动点，且 A、B、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）
12．（•淄博）如图，菱形纸片 ABCD 中，∠A 60 ，折叠菱形纸片 ABCD，使点 C 落在 DP（P 为 AB 中
点）所在的直线上，得到经过点 D 的折痕 DE．则∠DEC 的大小为（ ）
A．78 B．75 C．60 D．45
13．（滨州）如图，等边△ABC 沿射线 BC 向右平移到△DCE 的位置，连接 AD、BD，则下列结论：
①AD BC；②BD、AC 互相平分；③四边形 ACED 是菱形．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．（枣庄）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称
图形，涂黑的小正方形的序号是 ．
15．（•莱芜）如图，矩形 ABCD 中，AB 1，E、F 分别为 AD、CD 的中点，沿 BE 将△ABE 折叠，若点
A 恰好落在 BF 上，则 AD ．
16．（•聊城）如图，在等边△ABC 中，AB 6，D 是 BC 的中点，将△ABD 绕点 A 旋转后得到△ACE，那
么线段 DE 的长度为 ．
17．（•济宁）如图，△ABC 和△A′B′C 是两个完全重合的直角三角板，∠B 30 ，斜边长为 10 ．三角
板 A′B′C 绕直角顶点 C 顺时针旋转，当点 A′落在 AB 边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为 ．
18．（•潍坊）如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 CEFD 拼在
一起，构成一个大的长方形 ABEF．现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′，旋转角为 ．
（1）当点 D′恰好落在 EF 边上时，求旋转角 的值；
（2）如图 2，G 为 BC 中点，且 0 ＜ ＜90 ，求证：GD′ E′D；
（3）小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋
转角 的值；若不能说明理由．
18．（1）解：∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′，
∴CD′ CD 2，
在 R △CED′中，CD′ 2，CE 1，
∴∠CD′E 30 ，
∵CD∥EF，
∴∠α 30 ；
（2）证明：∵G 为 BC 中点，
∴CG 1，
∴CG CE，
∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′，
∴∠D′CE′ ∠DCE 90 ，CE CE′ CG，
∴∠GCD′ ∠DCE′ 90 +α，
在△GCD′和△DCE′中
CD CD
GCD DCE
CG CE
，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′ E′D；
（3）解：能．理由如下：
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴CB CD，
∵CD CD′，
∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
当∠BCD′ ∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，
当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，α 270
2
o
135 ，
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，α 360 흐 90
2
o
315 ，
即旋转角 的值为 135 或 315 时，△BCD′与△DCD′全等．
19．（•临沂）如图，矩形 ABCD 中，∠ACB 30 ，将一块直角三角板的直角顶点 P 放在两对角线 AC，
BD 的交点处，以点 P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边 AB，BC 所在的直线相
交，交点分别为 E，F．
（1）当 PE⊥AB，PF⊥BC 时，如图 1，则 PE
PF
的值为 ；
（2）现将三角板绕点 P 逆时针旋转α（0 ＜α＜60 ）角，如图 2，求 PE
PF
的值；
（3）在（2）的基础上继续旋转，当 60 ＜α＜90 ，且使 AP：PC 1：2 时，如图 3， PE
PF
的值是否变化？
证明你的结论．
19．解：（1）∵矩形 ABCD，
∴AB⊥BC，PA PC；
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE ∠PCF；
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE ∠CPF．
∵在△APE 与△PCF 中，
PAE CPF
PA PC
APE PCF
，
∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE CF．
在 R △PCF 中， PF PF
CF PF
30 3
3
，
∴ PE
PF 3 ．
（2）如答图 1，过点 P 作 PM⊥AB 于点 M，PN⊥BC 于点 N，则 PM⊥PN．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM ∠FPN，
又∵∠PME ∠PNF 90 ，
∴△PME∽△PNF，
∴ PE
PF PM
PN
．
由（1）知， PM
PN 3 ，
∴ PE
PF 3 ．
（3）答：变化．
证明：如答图 2，过点 P 作 PM⊥AB 于点 M，PN⊥BC 于点 N，则 PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．
∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM ∠PCN，∠PAM ∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∴ 1
2
PN AP
CN PC
，得 CN 2PM．
在 R △PCN 中，
2
PN PN
CN PM
30 3
3
，∴ PM
PN 3
2
．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM ∠FPN，
又∵∠PME ∠PNF 90 ，
∴△PME∽△PNF，
∴ PE
PF PM
PN 3
2
．
∴ PE
PF
的值发生变化．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（广东）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（柳州）如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ）
A．形状没有改变，大小没有改变
B．形状没有改变，大小有改变
C．形状有改变，大小没有改变
D．形状有改变，大小有改变
3．（杭州）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（桂林）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（•珠海）点（3，2）关于 轴的对称点为（ ）
A．（3，흐2） B．（흐3，2） C．（흐3，흐2） D．（2，흐3）
6．（湘西州）如图，在平面直角坐标系中，将点 A（흐2，3）向右平移
3 个单位长度后，那么平移后对应的点 A′的坐标是（ ）
A．（흐2，흐3） B．（흐2，6） C．（1，3） D．（흐2，1）
7．（•遂宁）将点 A（3，2）沿 轴向左平移 4 个单位长度得到点 A′，
点 A′关于 轴对称的点的坐标是（ ）
A．（흐3，2） B．（흐1，2） C．（1，2） D．（1，흐2）
8．（红河州）在平面直角坐标系中，已知点 P 的坐标是（흐1，흐2），则
点 P 关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（흐1，2） B．（1，흐2） C．（1，2） D．（2，1）
9．（莆田）如图，将 R △ABC（其中∠B 35 ，∠C 90 ）绕点 A 按
顺时针方向旋转到△AB1C1 的位置，使得点 C、A、B1 在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55 B．70 C．125 D．145
10．（•凉山州）如图，∠3 30 ，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证
∠1 的度数为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．75
11．（大连）P 是∠AOB 内一点，分别作点 P 关于直线 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 OP1、OP2，则
下列结论正确的是（ ）
A．OP1⊥OP B．OP1 OP2 C．OP1⊥OP2 且 OP1 OP2 D．OP1≠OP2
12．（天津）如图，在△ABC 中，AC BC，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，将△ADE 绕点 E 旋转 180
得△CFE，则四边形 ADCF 一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
13．（自贡）如图，将一张边长为 3 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，
这个棱柱的侧面积为（ ）
A．3흐9 3 B．9 C． 흐9 5 32 D． 흐9 3 32
14．（苏州）如图，在平面直角坐标系中，R △OAB 的顶点 A 在 轴的正半轴上．顶点 B 的坐标为（3， 3 ），
点 C 的坐标为（ 1
2
，0），点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为（ ）
A． 13
2 B． 31
2 C． 3 19
3
D．2 7
15．（深圳）如图，有一张一个角为 30 ，最小边长为 2 的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，
将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（ ）
A．8 或 2 3 B．10 或 2+4 3 C．10 或 2 3 D．8 或 2+4 3
二、填空题
16．（•黔东南州）平面直角坐标系中，点 A（2，0）关于 轴对称的点 A′的坐标为 ．
17．（•天水）已知点 M（3，흐2），将它先向左平移 4 个单位，再向上平移 3 个单位后得到点 N，则点 N 的
坐标是 ．
18．（•随州）如图是一圆锥，在它的三视图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是它的 视图
（填“主”，“俯”或“左”）．
19．（•岳阳）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图
所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为 280 ，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 ．
20．（•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点 O 是原点，点 B（0， 3 ），点 A 在第一象限且 AB⊥BO，
点 E 是线段 AO 的中点，点 M 在线段 AB 上．若点 B 和点 E 关于直线 OM 对称，则点 M 的坐标是 ．
21．（•衡阳）如图，在直角△OAB 中，∠AOB 30 ，将△OAB 绕点 O 逆时针旋转 100 得到△OA1B1，则
∠A1OB ．
22．（•广州）如图，R △ABC 的斜边 AB 16，R △ABC 绕点 O 顺时针旋转后得到 R △A′B′C′，则 R △A′B′C′
的斜边 A′B′上的中线 C′D 的长度为 ．
23．（莆田）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 在 DC 边上且 DP 1，点 Q 是 AC 上一动点，则 DQ+PQ
的最小值为 ．
24．（山西）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB 12，BC 5，点 E 在 AB 上，将△DAE 沿 DE 折叠，使点 A
落在对角线 BD 上的点 A′处，则 AE 的长为 ．
25．（鄂州）如图，△AOB 中，∠AOB 90 ，AO 3，BO 6，△AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到△A′OB′处，
此时线段 A′B′与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 B′E 的长度为 ．
26．（达州）如图，折叠矩形纸片 ABCD，使 B 点落在 AD 上一点 E 处，
折痕的两端点分别在 AB、BC 上（含端点），且 AB 6，BC 10．设 AE ，
则 的取值范围是 ．
27．（安徽）已知矩形纸片 ABCD 中，AB 1，BC 2．将该纸片折叠成一
个平面图形，折痕 EF 不经过 A 点（E，F 是该矩形边界上的点），折叠后
点 A 落在点 A′处，给出以下判断：
①当四边形 A′CDF 为正方形时，EF 2 ；
②当 EF 2 时，四边形 A′CDF 为正方形；
③当 EF 5 时，四边形 BA′CD 为等腰梯形；
④当四边形 BA′CD 为等腰梯形时，EF 5 ．
其中正确的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
三、解答题
28．（钦州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（2，4），请解
答下列问题：
（1）画出△ABC 关于 轴对称的△A1B1C1，并写出点 A1 的坐标．
（2）画出△A1B1C1 绕原点 O 旋转 180 后得到的△A2B2C2，并写出点 A2 的坐标．
28．解：（1）如图所示：点 A1 的坐标（2，흐4）；
（2）如图所示，点 A2 的坐标（흐2，4）．
29．（南通）在平面直角坐标系 O 中，已知 A（흐1，5），B（4，2），C（흐1，0）三点．
（1）点 A 关于原点 O 的对称点 A′的坐标为 ，点 B 关于 轴的对称点 B′的坐标为 ，点 C 关于
轴的对称点 C 的坐标为 ．
（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．
29．解：（1）∵A（흐1，5），
∴点 A 关于原点 O 的对称点 A′的坐标为（1，흐5）．
∵B（4，2），
∴点 B 关于 轴的对称点 B′的坐标为（4，흐2）．
∵C（흐1，0），
∴点 C 关于 轴的对称点 C 的坐标为（1，0）．
故答案分别是：（1，흐5），（4，흐2），（1，0）．
（2）如图，
∵A′（1，흐5），B′（4，흐2），C′（1，0）．
∴A′C′ |흐5흐0| 5，B′D |4흐1| 3，
∴S△A′B′C′ 1
2 A′C′•B′D 1
2 5 3 7.5，即（1）中的△A′B′C′的面积是 7.5．
30．（柳州） 如图，将小旗 ACDB 放于平面直角坐标系中，得到各顶点的
坐标为 A（흐6，12），B（흐6，0），C（0，6），D（흐6，6）．以点 B 为旋转
中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转 90 ．
（1）画出旋转后的小旗 A′C′D′B′；
（2）写出点 A′，C′，D′的坐标；
（3）求出线段 BA 旋转到 B′A′时所扫过的扇形的面积．
30．解：（1）小旗 A′C′D′B′如图所示；
（2）点 A′（6，0），C′（0，흐6），D′（0，0）；
（3）∵A（흐6，12），B（흐6，0），
∴AB 12，
∴线段 BA 旋转到 B′A′时所扫过的扇形的面积 90 12
360
36π．
31．（武汉）如图，在平面直角坐标系中，R △ABC 的三个顶点分别是 A（흐3，
2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180 ，画出旋转后对应的△A1B1C1；
平移△ABC，若点 A 的对应点 A2 的坐标为（0，흐4），画出平移后对应的△
A2B2C2；
（2）若将△A1B1C1 绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；
（3）在 轴上有一点 P，使得 PA+PB 的值最小，请直接写出点 P 的坐标．
31．解：（1）如图所示：
（2）如图所示：旋转中心的坐标为：（ 3
2
，흐1）；
（3）∵PO∥AC，
∴ 2
2
A O
A C PO
AC
，
∴ 4
6 3
PO ，
∴OP 2，
∴点 P 的坐标为（흐2，0）．
32．（哈尔滨）如图，在每个小正方形的边长均为 1 个单位长度的方格纸中，有线段 AB 和直线 MN，点 A，
B，M，N 均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画四边形 ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形 ABCD 是以直线
MN 为对称轴的轴对称图形，点 A 的对称点为点 D，点 B 的对称点为点 C；
（2）请直接写出四边形 ABCD 的周长．
32．解：（1）如图所示：
（2）四边形 ABCD 的周长为：AB+BC+CD+AD 5 +2 2 + 5 +3 2 2 5 +5 2 ．
33．（福州）如图，在平面直角坐标系 O 中，点 A 的坐标为（흐2，0），等边三角形 AOC 经过平移或轴
对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC 沿 轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是 个单位长度；△AOC 与△BOD 关于直线
对称，则对称轴是 ；△AOC 绕原点 O 顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是 度；
（2）连结 AD，交 OC 于点 E，求∠AEO 的度数．
33．解：（1）如图，连接 OD，
∵点 A 的坐标为（흐2，0），
∴△AOC 沿 轴向右平移 2 个单位得到△OBD；
∴△AOC 与△BOD 关于 轴对称；
∵△AOC 为等边三角形，
∴∠AOC ∠BOD 60 ，
∴∠AOD 120 ，
∴△AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120 得到△DOB．
（2）如图，∵等边△AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120 得到△DOB，
∴OA OD，
∵∠AOC ∠BOD 60 ，
∴∠DOC 60 ，
即 OE 为等腰△AOD 的顶角的平分线，
∴OE 垂直平分 AD，
∴∠AEO 90 ．
故答案为 2； 轴；120．
34．（娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 60 角的直角三角板 ABC 与
AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将 R △AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角α（0 ＜α＜90 ），如图
（2），AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF 交于点 N，BC 与 EF 交于点 P．
（1）求证：AM AN；
（2）当旋转角α 30 时，四边形 ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．
34．（1）证明：∵用两块完全相同的且含 60 角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图（1）所示位置放置放
置，现将 R △AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角α（0 ＜α＜90 ），
∴AB AF，∠BAM ∠FAN，
在△ABM 和△AFN 中，
FAN BAM
AB AF
B F
，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM AN；
（2）解：当旋转角α 30 时，四边形 ABPF 是菱形．
理由：如图，连接 AP，
∵∠α 30 ，
∴∠FAN 30 ，
∴∠FAB 120 ，
∵∠B 60 ，
∴AF∥BP，
∴∠F ∠FPC 60 ，
∴∠FPC ∠B 60 ，
∴AB∥FP，
∴四边形 ABPF 是平行四边形，
∵AB AF，
∴平行四边形 ABPF 是菱形．
35．（萧山区模拟）如图，△ABC 与△DEA 是两个全等的等腰三角形，∠BAC ∠D 90 ，BC 分别与 AD、
AE 相交于点 F、G，BF≠CG．
（1）图中有那几对不全等的相似三角形，请把他们表示出来．
（2）根据甲、乙两位同学对图形的探索，试探究 BF、FG、GC 之间的关系，并证明．
甲同学：把△ABF、△AGC 分别沿 AD、AE 折叠，发现：B、C 两点重合．
乙同学：把△ABF 绕点 A 旋转，使 AB、AC 重合，发现：构造出了直角．
35．解：（1）共有 3 对，
△GAF∽△GAB；
△FAC∽△FGA；
△ABG∽△FAC；
（2）证明方法（一）
如图 1，把△ABF、△AGC 分别沿 AD、AE 折叠，
得△ABF≌△APF，△ACG≌△APG，B、C 两点重合，
BF FP，CG GP，
∠FPG ∠B+∠C 90 ，
在 RT△PFG 中，GF2 BF2+GC2；
证明方法（二）：如图，把△ABF 旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，
∠1 ∠4，AF AP，CP BF，∠ACP ∠B，
∠1+∠3 45 ，
∠4+∠3 45 ，
∠2 ∠4+∠3 45 ，
AG AG，
△AFG≌△AGP，FG GP，
∠ACP+∠ACB 90 ，
在 RT△PGG 中，GF2 CG2+CP2，
GF2 BF2+GC2．
36．（大连）将△ABC 绕点 B 逆时针旋转α得到△DBE，DE 的延长线与 AC 相交于点 F，连接 DA、BF．
（1）如图 1，若∠ABC α 60 ，BF AF．
①求证：DA∥BC；②猜想线段 DF、AF 的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图 2，若∠ABC＜α，BF AF（ 为常数），求 DF
AF
的值（用含 、α的式子表示）．
36．（1）证明：①由旋转性质可知，∠DBE ∠ABC 60 ，BD AB
∴△ABD 为等边三角形，
∴∠DAB 60 ，
∴∠DAB ∠ABC，
∴DA∥BC．
②猜想：DF 2AF．
证明：如答图 1 所示，在 DF 上截取 DG AF，连接 BG．
由旋转性质可知，DB AB，∠BDG ∠BAF．
∵在△DBG 与△ABF 中，
DB AB
BDG BAF
DG AF
，
∴△DBG≌△ABF（SAS），
∴BG BF，∠DBG ∠ABF．
∵∠DBG+∠GBE α 60 ，
∴∠GBE+∠ABF 60 ，即∠GBF α 60 ，
又∵BG BF，
∴△BGF 为等边三角形，
∴GF BF，又 BF AF，
∴GF AF．
∴DF DG+GF AF+AF 2AF．
（2）解：如答图 2 所示，在 DF 上截取 DG AF，连接 BG．
由（1），同理可证明△DBG≌△ABF，BG BF，∠GBF α．
过点 B 作 BN⊥GF 于点 N，
∵BG BF，∴点 N 为 GF 中点，∠FBN
2
．
在 R △BFN 中，NF BF•રi ∠FBN BFરi
2
AFરi
2
．
∴GF 2NF 2 AFરi
2
∴DF DG+GF AF+2 AFરi
2
，
∴ DF
AF 1+2 રi
2
．
第二十七讲 相似图形
【重点考点例析】
考点一：平行线分线段成比例
例 1 （上海）如图，已知在△ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 上的点，DE∥BC，EF∥
AB，且 AD：DB 3：5，那么 CF：CB 等于（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
思路分析：
先由 AD：DB 3：5，求得 BD：AB 的长，再由 DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得 CE：AC BD：
AB，然后由 EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得 CF：CB CE：AC，则可求得答案．
解：∵AD：DB 3：5，
∴BD：AB 5：8，
∵DE∥BC，
∴CE：AC BD：AB 5：8，
∵EF∥AB，
∴CF：CB CE：AC 5：8．
故选 A．
点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关
键．
对应训练
1．（乌鲁木齐）如图，AB∥GH∥CD，点 H 在 BC 上，AC 与 BD 交于点 G，
AB 2，CD 3，则 GH 的长为 ．
考点二：位似
例 2 （孝感）在平面直角坐标系中，已知点 E（흐4，2），F（흐2，
흐2），以原点 O 为位似中心，相似比为 1
2
，把△EFO 缩小，则点 E
的对应点 E′的坐标是（ ）
A．（흐2，1） B．（흐8，4） C．（흐8，4）或（8，
흐4） D．（흐2，1）或（2，흐1）
思路分析：
根据题意画出相应的图形，找出点 E 的对应点 E′的坐标即可．
解：根据题意得：
则点 E 的对应点 E′的坐标是（흐2，1）或（2，흐1）．
故选 D．
点评：此题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相似的特
殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
对应训练
2．（青岛）如图，△ABO 缩小后变为△A′B′O，其中 A、B 的对应点
分别为 A′、B′点 A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段 AB 上有一
点 P（ ， ），则点 P 在 A′B′上的对应点 P′的坐标为（ ）
A．（
2
m ， ） B．（ ， ） C．（ ，
2
n ） D．（
2
m
2
n ）
考点三：相似三角形的性质及其应用
例 3 （陕西）一天晚上，黎明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 D 的高度．如图，当李明走到点
A 处时，张龙测得李明直立时身高 AM 与影子长 AE 正好相等；接着李明沿 AC 方向继续向前走，走到点
B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB 1.25 ，已知李明直立时的身高为 1.75 ，
求路灯的高 CD 的长．（结果精确到 0.1 ．
思路分析：根据 AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA MA 得到 MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，
利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
解：设 CD 长为 米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA MA
∴MA∥CD∥BN
∴EC CD
∴△ABN∽△ACD，
∴ BN AB
CD AC
,
即1.75 1.25
1.75x x
。
解得： 6.125 6.1．
∴路灯高 CD 约为 6.1 米．
点评：本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
对应训练
3．（德宏州）如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高 MN 是 35 ，焦距是 50 ，拍摄的景物高度 AB 是 4.9 ，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是 2 的景物，拍摄点离景物有 4 ，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
3．解：如图，根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，
∴ MN LC
AB LD
．
（1）∵像高 MN 是 35 ，焦距是 50 ，拍摄的景物高度 AB 是 4.9 ，
∴ 25 4.9
50 LD
，
解得：LD 7，
∴拍摄点距离景物 7 米；
（2）拍摄高度是 2 的景物，拍摄点离景物有 4 ，像高不变，
∴ 3.5 2
4LC
，
解得：LC 70，
∴相机的焦距应调整为 70 ．
考点四：相似三角形的判定
例 4 （牡丹江）如图，在△ABC 中，D 是 AB 边上的一点，连接 CD，请添加一个适当的条件 ，
使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
思路分析：相似三角形的判定有三种方法：
①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此可得出可添加的条件．
解：由题意得，∠A ∠A（公共角），
则可添加：∠ACD ∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．
故答案可为：∠ACD ∠ABC．
点评：本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案
不唯一．
对应训练
4．（益阳）如图，在△ABC 中，AB AC，BD CD，CE⊥AB 于 E．求证：△ABD∽△CBE．
4．证明：在△ABC 中，AB AC，BD CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB ∠CEB 90 ，
又∵∠B ∠B，
∴△ABD∽△CBE．
考点五：相似三角形的判定和性质
例 5 （荆州）如图，在△ABC 中，BC＞AC，点 D 在 BC 上，且 DC AC，∠ACB 的平分线 CE 交 AD
于 E，点 F 是 AB 的中点，则 S△AEF：S 四边形 BDEF 为（ ）
A．3：4 B．1：2 C．2：3 D．1：3
思路分析：由题意可推出△ADC 为等腰三角形，CE 为顶角∠ACD 的角平
分线，所以也是底边上的中线和高，因此 E 为 AD 的中点，所以 EF 为△ABD
的中位线，这样即可判断出 S△AEF：S 四边形 BDEF 的值．
解：∵DC AC，
∴△ADC 是等腰三角形，
∵∠ACB 的平分线 CE 交 AD 于 E，
∴E 为 AD 的中点（三线合一），
又∵点 F 是 AB 的中点，
∴EF 为△ABD 的中位线，
∴EF 1
2 BD，△AFE∽△ABD，
∵S△AFE：S△ABD 1：4，
∴S△AFE：S 四边形 BDEF 1：3，
故选 D．
点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，
解题的关键在于求证 EF 为中位线，S△AFE：S△ABD 1：4．
例 5 （•株洲）已知在△ABC 中，∠ABC 90 ，AB 3，BC 4．点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q
作 AC 的垂线交线段 AB（如图 1）或线段 AB 的延长线（如图 2）于点 P．
（1）当点 P 在线段 AB 上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长．
思路分析：（1）由两对角相等（∠APQ ∠C，∠A ∠A），证明△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB 为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．
（I）当点 P 在线段 AB 上时，如题图 1 所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算 AP 的长；
（II）当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如题图 2 所示．利用角之间的关系，证明点 B 为线段 AP 的中点，
从而可以求出 AP．
解答：（1）证明：∵∠A+∠APQ 90 ，∠A+∠C 90 ，
∴∠APQ ∠C．
在△APQ 与△ABC 中，
∵∠APQ ∠C，∠A ∠A，
∴△AQP∽△ABC．
（2）解：在 R △ABC 中，AB 3，BC 4，由勾股定理得：AC 5．
∵∠BPQ 为钝角，
∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是 PB PQ．
（I）当点 P 在线段 AB 上时，如题图 1 所示．
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴ PA PQ
AC BC
，即 3
5 4
PB PB ，解得：PB 4
3
，
∴AP AB흐PB 3흐 4
3 5
3
；
（II）当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如题图 2 所示．
∵BP BQ，∴∠BQP ∠P，
∵∠BQP+∠AQB 90 ，∠A+∠P 90 ，
∴∠AQB ∠A，
∴BQ AB，
∴AB BP，点 B 为线段 AB 中点，
∴AP 2AB 2 3 6．
综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为 5
3
或 6．
点评：本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB 为等腰三角形时，
有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
对应训练
5．（无锡）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 相交于 O，AD 1，
BC 4，则△AOD 与△BOC 的面积比等于（ ）
A． 1
2 B． 1
4 C． 1
8 D． 1
16
6．（徐州）如图，在 R △ABC 中，∠C 90 ，翻折∠C，使点 C 落在斜边 AB 上某一点 D 处，折痕为 EF
（点 E、F 分别在边 AC、BC 上）
（1）若△CEF 与△ABC 相似．
①当 AC BC 2 时，AD 的长为 ；
②当 AC 3，BC 4 时，AD 的长为 ；
（2）当点 D 是 AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由．
6．解：（1）若△CEF 与△ABC 相似．
①当 AC BC 2 时，△ABC 为等腰直角三角形，如答图 1 所示．
此时 D 为 AB 边中点，AD 2
2 AC 2 ．
②当 AC 3，BC 4 时，有两种情况：
（I）若 CE：CF 3：4，如答图 2 所示．
∵CE：CF AC：BC，∴EF∥BC．
由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时 CD 为 AB 边上的高．
在 R △ABC 中，AC 3，BC 4，∴BC 5，∴ 㻐રA 3
5
．
AD AC• 㻐રA 3 3
5 1.8；
（II）若 CF：CE 3：4，如答图 3 所示．
∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF ∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD 90 ，
又∵∠A+∠B 90 ，
∴∠A ∠ECD，∴AD CD．
同理可得：∠B ∠FCD，CD BD，
∴此时 AD 1
2 AB 1
2 5 2.5．
综上所述，当 AC 3，BC 4 时，AD 的长为 1.8 或 2.5．
（2）当点 D 是 AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似．理由如下：
如答图 3 所示，连接 CD，与 EF 交于点 Q．
∵CD 是 R △ABC 的中线，∴CD DB 1
2 AB，∴∠DCB ∠B．
由折叠性质可知，∠CQF ∠DQF 90 ，∴∠DCB+∠CFE 90 ，
∵∠B+∠A 90 ，∴∠CFE ∠A，
又∵∠C ∠C，∴△CEF∽△CBA．
考点六：相似形的综合题
例 7 （山西）数学活动흐흐흐求重叠部分的面积．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图 1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠放在一起，其中∠ACB ∠E 90 ，BC DE 6，
AC FE 8，顶点 D 与边 AB 的中点重合，DE 经过点 C，DF 交 AC 于点 G．求重叠部分（△DCG）的面
积．
（1）独立思考：请回答老师提出的问题．
（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF 绕点 D 旋转，使 DE⊥AB 交 AC 于点 H，DF 交
AC 于点 G，如图 2，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程．
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF 绕点 D 旋转，再提出一个求重叠部分面积
的问题．
“爱心”小组提出的问题是：如图 3，将△DEF 绕点 D 旋转，DE，DF 分别交 AC 于点 M，N，使 DM MN，
求重叠部分（△DMN）的面积．
任务：①请解决“爱心”小组提出的问题，直接写出△DMN 的面积是 ．
②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图 4 中画出图形，标明字母，不必解
答（注：也可在图 1 的基础上按顺时针旋转）．
思路分析：（1）确定点 G 为 AC 的中点，从而△ADC 为等腰三角形，其底边 AC 8，底边上的高 GD 1
2 BC 3，
从而面积可求；
（2）本问解法有多种，解答中提供了三种不同的解法．基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解；
（3）①对于爱心小组提出的问题，如答图 4 所示，作辅助线，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形
的性质，列方程求解；
②本问要求考生自行提出问题，答案不唯一，属于开放性问题．
解：（1）【独立思考】
∵∠ACB 90 ，D 是 AB 的中点，
∴DC DA DB，∴∠B ∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE ∠B．
∴∠FDE ∠DCB，∴DG∥BC．
∴∠AGD ∠ACB 90 ，∴DG⊥AC．
又∵DC DA，∴G 是 AC 的中点，
∴CG 1
2 AC 1
2 8 4，DG 1
2 BC 1
2 6 3，
∴S△DGC 1
2 CG•DG 1
2 4 3 6．
（2）【合作交流】
解法一：如下图所示：
∵△ABC≌△FDE，∴∠B ∠1．
∵∠C 90 ，ED⊥AB，
∴∠A+∠B 90 ，∠A+∠2 90 ，
∴∠B ∠2，∴∠1 ∠2，
∴GH GD．
∵∠A+∠2 90 ，∠1+∠3 90 ，
∴∠A ∠3，∴AG GD，
∴AG GH，即点 G 为 AH 的中点．
在 R △ABC 中，AB 2 2 2 28 6AC BC 10，
∵D 是 AB 中点，∴AD 1
2 AB 5．
在△ADH 与△ACB 中，∵∠A ∠A，∠ADH ∠ACB 90 ，
∴△ADH∽△ACB，∴ AD DH
AC CB
，即 5
8 6
DH ，解得 DH 15
4
，
∴S△DGH 1
2 S△ADH 1
2 1
2 DH•AD 1 15 7554 4 16
．
解法二：同解法一，G 是 AH 的中点．
连接 BH，∵DE⊥AB，D 是 AB 中点，
∴AH BH．设 AH ，则 CH 8흐 ．
在 R △BCH 中，CH2+BC2 BH2
即：（8흐 ）2+36 2，解得 25
4
．
∴S△ABH 1
2 AH•BC 1
2 25
4 6 75
4
．
∴S△DGH 1
2 S△ADH 1
2 1
2 S△ABH 1
4 75
4 75
16
．
解法三：同解法一，∠1 ∠2．
连接 CD，由（1）知，∠B ∠DCB ∠1，
∴∠1 ∠2 ∠B ∠DCB．
∴△DGH∽△BDC．
过点 D 作 DM⊥AC 于点 M，CN⊥AB 于点 N．
∵D 是 AB 的中点，∠ACB 90 ，
∴CD AD BD，∴点 M 是 AC 的中点，
∴DM 1
2 BC 1
2 6 3．
在 R △ABC 中，AB 2 2 2 28 6AC BC 10， 1
2 AC•BC 1
2 AB•CN，
∴CN 6 8
10
AC BC
AB
g 24
5
．
∵△DGH∽△BDC，
∴ 2( )DGH
BDH
S DM
S CN
V
V
，
∴S△DGH [ DM
CN
2 •S△BDC [ DM
CN
2 • 1
2 BD•CN
∴S△DGH [ 3
24
5
2 1
2 5 24
5 75
16
．
（3）【提出问题】
①解决“爱心”小组提出的问题．
如答图 4，过点 D 作 DK⊥AC 于点 K，则 DK∥BC，
又∵点 D 为 AB 中点，
∴DK 1
2 BC 3．
∵DM MN，∴∠MND ∠MDN，由（2）可知∠MDN ∠B，
∴∠MND ∠B，又∵∠DKN ∠C 90 ，
∴△DKN∽△ACB，
∴ KN DK
BC AC
，即 3
6 8
KN ，得 KN 9
4
．
设 DM MN ，则 MK 흐 9
4
．
在 R △DMK 中，由勾股定理得：MK2+DK2 MD2，
即：（ 흐 9
4
）2+32 2，解得 25
8
，
∴S△DMN 1
2 MN•DK 1
2 25
8 3 75
16
．
②此题答案不唯一，示例：如答图 5，将△DEF 绕点 D 旋转，使 DE⊥BC
于点 M，DF 交 BC 于点 N，求重叠部分（四边形 DMCN）的面积．
点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、
勾股定理、图形面积计算、解方程等知识点．题干信息量大，篇幅较长，需
要认真读题，弄清题意与作答要求．试题以图形旋转为背景，在旋转过程中，
重叠图形的形状与面积不断发生变化，需要灵活运用多种知识予以解决，有
利于培养同学们的研究与探索精神，激发学习数学的兴趣，是一道好题．
对应训练
7.（武汉）已知四边形 ABCD 在，E，F 分别是 AB，AD 边上的点，DE 与 CF 交于点 G．
（1）如图①，若四边形 ABCD 是矩形，且 DE⊥CF．求证： DE AD
CF CD
；
（2）如图②，若四边形 ABCD 是平行四边形．试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得 DE AD
CF CD
成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若 BA BC 6，DA DC 8，∠BAD 90 ，DE⊥CF．请直接写出 DE
CF
的值．
7．（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A ∠FDC 90 ，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF 90 ，
∴∠ADE+∠CFD 90 ，∠ADE+∠AED 90 ，
∴∠CFD ∠AED，
∵∠A ∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴ DE AD
CF CD
；
（2）当∠B+∠EGC 180 时， DE AD
CF CD
成立．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B ∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A 180 ，
∵∠B+∠EGC 180 ，
∴∠A ∠EGC ∠FGD，
∵∠FDG ∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴ DE AD
CF CD
，
∵∠B ∠ADC，∠B+∠EGC 180 ，∠EGC+∠DGC 180 ，
∴∠CGD ∠CDF，
∵∠GCD ∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴ DE CF
AG CD
，
∴ DE CF
AD CD
，
∴ DE AD
CF CD
，
即当∠B+∠EGC 180 时， DE AD
CF CD
成立．
（3）解： 25
24
DE
CF
．
理由是：过 C 作 CN⊥AD 于 N，CM⊥AB 交 AB 延长线于 M，连接 BD，设 CN ，
∵AB⊥AD，
∴∠A ∠M ∠CNA 90 ，
∴四边形 AMCN 是矩形，
∴AM CN，AN CM，
∵在△BAD 和△BCD 中
AD CD
AB BC
BD BD
，
∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD ∠A 90 ，
∴∠ABC+∠ADC 180 ，
∵∠ABC+∠CBM 180 ，
∴∠CBM ∠ADC，
∵∠CND ∠M 90 ，
∴△BCM∽△DCN，
∴ CM BC
CN CD
，
∴ 6
8
CM
x
，
∴CM 3
4 ，
在 R △CMB 中，CM 3
4 ，BM AM흐AB 흐6，由勾股定理得：BM2+CM2 BC2，
∴（ 흐6）2+（ 3
4 ）2 62，
0（舍去）， 192
25
，
CN 192
25
，
∵∠A ∠FGD 90 ，
∴∠AED+∠AFG 180 ，
∵∠AFG+∠NFC 180 ，
∴∠AED ∠CFN，
∵∠A ∠CNF 90 ，
∴△AED∽△NFC，
∴ 8 25
192 24
25
DE AD
CF CN
．
【聚焦山东中考】
1．（菏泽）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1，S2，则 S1+S2
的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
2．（聊城）如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，已知 AB 4，AD 2．∠DAC ∠B，若△ABD 的面积为 ，
则△ACD 的面积为（ ）
A． B． 1
2 C． 1
3 D． 2
3
3．（淄博）如图，直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠C 90 ，∠BDA 90 ，AB ，BD b，CD ，BC d，
AD e，则下列等式成立的是（ ）
A．b2 B．b2 e C．be D．bd e
4．（淄博）如图，AB 是⊙O 的直径， » »AD DE ，AB 5，BD 4，则 રi ∠ECB ．
5．（威海）如图，AC⊥CD，垂足为点 C，BD⊥CD，垂足为点 D，AB 与 CD 交于点 O．若 AC 1，BD 2，
CD 4，则 AB ．
6．（济宁）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为 20 ，
到屏幕的距离为 60 ，且幻灯片中的图形的高度为 6 ，则屏幕上图形的高度为 ．
6．（•枣庄）已知矩形 ABCD 中，AB 1，在 BC 上取一点 E，AE 将△ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上
的 F 点．若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD ．
7．（菏泽）如图所示，在△ABC 中，BC 6，E、F 分别是 AB、AC 的中点，动点 P 在射线 EF 上，BP 交
CE 于 D，∠CBP 的平分线交 CE 于 Q，当 CQ 1
3 CE 时，EP+BP ．
8．（•潍坊）如图，直角三角形 ABC 中，∠ACB 90 ，AB 10，BC 6，在线段 AB 上取一点 D，作 DF⊥
AB 交 AC 于点 F，现将△ADF 沿 DF 折叠，使点 A 落在线段 DB 上，对应点记为 A1；AD 的中点 E 的对
应点记为 E1，若△E1FA1∽△E1BF，则 AD ．
9．（滨州）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中 BA CD，BC 20 ，BC、
EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的距离分别为 40 、8 ．为使板凳两腿底端 A、D 之间的距离为 50 ，
那么横梁 EF 应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．
9．解：如图，由题意得，MH 8 ，BH 40 ，则 BM 32 ，
∵四边形 ABCD 是等腰梯形，AD 50 ，BC 20 ，
∴AH 1
2
（AD흐BC） 15 ．
∵EF∥CD，
∵△BEM∽△BAH，
∴ EM BM
AH BH
，即 32
15 40
EM ，
解得：EM 12，
故 EF EM+NF+BC 2EM+BC 44 ．
答：横梁 EF 应为 44 ．
10．（•泰安）如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC ∠ACB 90 ，E 为 AB 的中点，
（1）求证：AC2 AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若 AD 4，AB 6，求 AC
AF
的值．
10．（1）证明：∵AC 平分∠DAB，
∴∠DAC ∠CAB，
∵∠ADC ∠ACB 90 ，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC AC：AB，
∴AC2 AB•AD；
（2）证明：∵E 为 AB 的中点，
∴CE 1
2 AB AE，
∴∠EAC ∠ECA，
∵∠DAC ∠CAB，
∴∠DAC ∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE AF：CF，
∵CE 1
2 AB，
∴CE 1
2 6 3，
∵AD 4，
∴ 4
3
AF
CF
，
∴ 7
4
AC
AF
．
11．（青岛）已知：如图，▱ABCD 中，AD 3 ，CD 1 ，∠B 45 ，点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀
速运动，速度为 3 /ર；点 Q 从点 C 出发，沿 CD 方向匀速运动，速度为 1 /ર，连接并延长 QP 交 BA
的延长线于点 M，过 M 作 MN⊥BC，垂足是 N，设运动时间为 （ર）（0＜ ＜1）
解答下列问题：
（1）当 为何值时，四边形 AQDM 是平行四边形？
（2）设四边形 ANPM 的面积为 （ 2），求 与 之间的函数关系式：
（3）是否存在某一时刻 ，使四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半？若存在，求出相
应的 值；若不存在，说明理由．
（4）连接 AC，是否存在某一时刻 ，使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 2 1 的两部分？若存在，求出
相应的 值；若不存在，说明理由．
11．解：（1）∵当 AP=PD 时，四边形 AQDM 是平行四边形，
即 3t=3-3t，
t= 1
2
，
∴当 t= 1
2 s 时，四边形 AQDM 是平行四边形．
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AMP∽△DQP，
∴ AM AP
DQ PD
，
∴ 3
1 3 3
AM t
t t
，
∴AM=t，
∵MN⊥BC，
∴∠MNB=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BMN=45°=∠B，
∴BN=MN，
∵BM=1+t，
在 Rt△BMN 中，由勾股定理得：BN=MN= 2
2
（1+t），
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵MN⊥BC，
∴MN⊥AD，
∴y= 1
2 ×AP×MN
= 1
2 •3t• 2
2
（1+t）
即 y 与 t 之间的函数关系式为 y= 3 2
4 t2+ 3 2
4 t（0＜t＜1）．
（3）假设存在某一时刻 t，四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半．
此时 3 2
4 t2+ 3 2
4 t= 1
2 ×3× 2
2
，
整理得：t2+t-1=0，
解得 t1= 5 1
2
，t2= 5 1
2
（舍去）
∴当 t= 5 1
2
s 时，四边形 ANPM 的面积是平行四边形 ABCD 的面积的一半．
（4）存在某一时刻 t，使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 2 1 的两部分，
理由是：假设存在某一时刻 t，使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 2 1 的两部分，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△APW∽△CNW，
∴ AP AW
CN CW
，
即 3 2
123 ( 1)2
t
t
或 3 1
2 23 ( 1)2
t
t
，
∴t= 3 2 1
4
或 3 2 1
7
，
∵两数都在 0＜t＜1 范围内，即都符合题意，
∴当 t= 3 2 1
4
s 或 3 2 1
7
s 时，NP 与 AC 的交点把线
段 AC 分成 2 1 的两部分．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
2．（重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为 3：4，则△ABC 与△DEF 的面积比为
（ ）
A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16
3．（温州）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，已知 AE 6， 3
4
AD
BD
，则
EC 的长是（ ）
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
4．（•宜昌）如图，点 A，B，C， D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），
（6，1），以 C，D，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
5．（柳州）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长 BA 为 15 米（如图），然后在 A 处树立一根
高 2 米的标杆，测得标杆的影长 AC 为 3 米，则楼高为（ ）
A．10 米 B．12 米 C．15 米 D．22.5 米
6．（贵阳）如图，M 是 R △ABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一定点，过 M 点作直线截△ABC，使截得的
三角形与△ABC 相似，这样的直线共有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
7．（沈阳）如图，△ABC 中，AE 交 BC 于点 D，∠C ∠E，AD 4，BC 8，BD：DC 5：3，则 DE 的长
等于（ ）
A． 20
3 B．15
4 C． 16
3
D． 17
4
8．（内江）如图，在▱ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，S△DEF：S△ABF 4：
25，则 DE：EC （ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
9．（重庆）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，连接 CE 并延长与 BA 的延长线交于点 F，若
AE 2ED，CD 3 ，则 AF 的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（雅安）如图，DE 是△ABC 的中位线，延长 DE 至 F 使 EF DE，连接 CF，则 S△CEF：S 四边形 BCED 的
值为（ ）
A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5
10．A
11．（恩施州）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 为 OD 的中点，连接 AE 并
延长交 DC 于点 F，则 DF：FC （ ）
A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2
12．（昆明）如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A，B 重合），对角线 AC，BD 相交于
点 O，过点 P 分别作 AC，BD 的垂线，分别交 AC，BD 于点 E，F，交 AD，BC 于点 M，N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN AC；③PE2+PF2 PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP 时，
点 P 是 AB 的中点．
其中正确的结论有（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
13．（眉山）如图，∠BAC ∠DAF 90 ，AB AC，AD AF，点 D、E 为 BC 边上的两点，且∠DAE 45 ，
连接 EF、BF，则下列结论：
①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2 DE2，
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
14．6．（黑龙江）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BCD 90 ，∠ABC 45 ，AD CD，CE 平
分∠ACB 交 AB 于点 E，在 BC 上截取 BF AE，连接 AF 交 CE 于点 G，连接 DG 交 AC 于点 H，过点 A
作 AN⊥BC，垂足为 N，AN 交 CE 于点 M．则下列结论；①CM AF；
②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD 平分∠AGC，其中正确的
个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
15．（岳阳）同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，
高 1.6 的人影长啊 1.2 ，一电线杆影长为 9 ，则电线杆的高为 ．
16．（六盘水）如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△
ACB，（写出一个即可）
17．（宁夏）△ABC 中，D、E 分别是边 AB 与 AC 的中点，BC 4，下面四
个结论：①DE 2；②△ADE∽△ABC；③△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1：4；④△ADE 的周长
与△ABC 的周长之比为 1：4；其中正确的有 ．（只填序号）
18．（本溪）如图，在矩形 ABCD 中，AB 10，AD 4，点 P 是边 AB 上一点，若△APD 与△BPC 相似，
则满足条件的点 P 有 个．
19．（厦门）如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD 1，AB 3，DE 2，则 BC ．
20．（雅安）如图，在▱ABCD 中，E 在 AB 上，CE、BD 交于 F，若 AE：BE 4：3，且 BF 2，则 DF ..
21.（•黔东南州）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 BE
EC
的值是 ．
22．（苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，顶点 A、C 分别在 ，
轴的正半轴上．点 Q 在对角线 OB 上，且 QO OC，连接 CQ 并延长 CQ 交边 AB 于点 P．则点 P 的坐标
为
．23．（•泰州）如图，平面直角坐标系 O 中，点 A、B 的坐标分别为（3，0）、（2，흐3），△AB′O′是△
ABO 关于的 A 的位似图形，且 O′的坐标为（흐1，0），则点 B′的坐标为
．24．（盘锦）如图，矩形 ABCD 的边 AB 上有一点 P，且 AD 5
3
，BP 4
5
，以点 P 为直角顶点的直角三
角形两条直角边分别交线段 DC，线段 BC 于点 E，F，连接 EF，则 ∠PEF ．
25．（宜宾）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 G，点 F 是 CD 上一点，且满足 1
3
CF
FD
，连接
AF 并延长交⊙O 于点 E，连接 AD、DE，若 CF 2，AF 3．给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG 2；③ ∠E 5
2
；④S△DEF 4 5 ．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
三、解答题
26．（怀化）如图，已知在△ABC 与△DEF 中，∠C 54 ，∠A 47 ，
∠F 54 ，∠E 79 ，求证：△ABC∽△DEF．
26．解：在△ABC 中，∠B 180 흐∠A흐∠C 79 ，
在△ABC 和△DEF 中， B E
A D
，
∴△ABC∽△DEF．
27．（•厦门）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC，BD 相交于点 E．若 AE 4，CE 8，DE 3，
梯形 ABCD 的高是 36
5
，面积是 54．求证：AC⊥BD．
27．证明：∵AD∥BC，
∴△EAD∽△ECB，
∴AE：CE DE：BE，
∵AE 4，CE 8，DE 3，
∴BE 6，
S 梯形 1
2
（AD+BC） 36
5 54，
∴AD+BC 15，
如图，过 D 作 DF∥AC 交 BC 延长线于 F，则四边形 ACFD 是平行四边形，
∴CF AD，
∴BF AD+BC 15，
在△BDF 中，BD2+DF2 92+122 225，BF2 225，
∴BD2+DF2 BF2，
∴BD⊥DF，
∵AC∥DF，
∴AC⊥BD．
28．（宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（흐1，2），B（흐3，4）C
（흐2，6）
（1）画出△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90 后得到的△A1B1C1
（2）以原点 O 为位似中心，画出将△A1B1C1 三条边放大为原来的 2 倍后的△A2B2C2．
28．解：如图：（1）△A1B1C1 即为所求；
（2）△A2B2C2 即为所求．
29.（巴中）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一
点，且∠AFE ∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若 AB 8，AD 6 3 ，AF 4 3 ，求 AE 的长．
29．（1）证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B 180 ，∠ADF ∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE 180 ，∠AFE ∠B，
∴∠AFD ∠C．
在△ADF 与△DEC 中，
AFD C
ADF DEC
，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵▱ABCD，∴CD AB 8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴ AD AF
DE CD
，∴DE 6 3 8
4 3
AD CD
AF
g 12．
在 R △ADE 中，由勾股定理得：AE 2 2 2 212 (6 3)DE AD 6．
30．（眉山）在矩形 ABCD 中，DC 2 3 ，CF⊥BD 分别交 BD、AD 于点 E、F，连接 BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当 F 为 AD 的中点时，求 રi ∠FBD 的值及 BC 的长度．
30．解：（1）∵∠DEC ∠FDC 90 ，∠DCE ∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．
（2）∵F 为 AD 的中点，AD∥BC，
∴FE：EC FD：BC 1：2，FB FC，
∴FE：FC 1：3，
∴રi ∠FBD EF：BF EF：FC 1
3
；
设 EF ，则 FC 3 ，
∵△DEC∽△FDC，
∴ CE CD
CD FC
，即可得：6 2 12，
解得： 2 ，
则 CF 3 2 ，
在 R △CFD 中，DF 2 2 6FC CD ，
∴BC 2DF 2 6 ．
31．（邵阳）如图所示，在 R △ABC 中，AB BC 4，∠ABC 90 ，点 P 是△ABC 的外角∠BCN 的角平
分线上一个动点，点 P′是点 P 关于直线 BC 的对称点，连结 PP′交 BC 于点 M，BP′交 AC 于 D，连结 BP、
AP′、CP′．
（1）若四边形 BPCP′为菱形，求 BM 的长；
（2）若△BMP′∽△ABC，求 BM 的长；
（3）若△ABD 为等腰三角形，求△ABD 的面积．
31．解：（1）∵四边形 BPCP′为菱形，而菱形的对角线互相垂直平分，
∴点 M 为 BC 的中点，
∴BM 1
2 BC 1
2 4 2．
（2）△ABC 为等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，
则△BMP′必为等腰直角三角形，BM MP′．
由对称轴可知，MP MP′，PP′⊥BC，则△BMP 为等腰直角三角形，
∴△BPP′为等腰直角三角形，BP′ BP．
∵∠CBP 45 ，∠BCP 1
2
（180 흐45 ） 67.5 ，
∴∠BPC 180 흐∠CBP흐∠BCP 180 흐45 흐67.5 67.5 ，
∴∠BPC ∠BCP，
∴BP BC 4，
∴BP′ 4．
在等腰直角三角形 BMP′中，斜边 BP′ 4，
∴BM 2
2 BP′ 2 2 ．
（3）△ABD 为等腰三角形，有 3 种情形：
①若 AD BD，如题图②所示．
此时△ABD 为等腰直角三角形，斜边 AB 4，
∴S△ABD 1
2 AD•BD 1
2 2 2 2 2 4；
②若 AD AB，如下图所示：
过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，则△ADE 为等腰直角三角形，
∴DE 2
2 AD 2
2 AB 2 2
∴S△ABD 1
2 AB•DE 1
2 4 2 2 4 2 ；
③若 AB BD，则点 D 与点 C 重合，可知此时点 P、点 P′、点 M 均与点 C 重合，
∴S△ABD S△ABC 1
2 AB•BC 1
2 4 4 8．
32．（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 轴， 轴分别交于点 A（6，0），B（0.8），点 C
的坐标为（0， ），过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，点 D 为 轴上的一动点，连接 CD，DE，以 CD，DE 为
边作▱CDEF．
（1）当 0＜ ＜8 时，求 CE 的长（用含 的代数式表示）；
（2）当 3 时，是否存在点 D，使▱CDEF 的顶点 F 恰好落在 轴上？若存在，求出点 D 的坐标；若不
存在，请说明理由；
（3）点 D 在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得▱CDEF 为矩形，请求出所有满足条件的 的值．
32．解：（1）∵A（6，0），B（0，8）．
∴OA 6，OB 8．
∴AB 10，
∵∠CEB ∠AOB 90 ，
又∵∠OBA ∠EBC，
∴△BCE∽△BAO，
∴ CE BC
OA AB
，即 8
6 10
CE m ，
∴CE 24 3
5 5
；
（2）∵ 3，
∴BC 8흐 5，CE 24 3
5 5
3．
∴BE 4，
∴AE AB흐BE 6．
∵点 F 落在 轴上（如图 2）．
∴DE∥BO，
∴△EDA∽△BOA，
∴ AD AE
OA AB
即 6 6
6 10
OD ．
∴OD 12
5
，
∴点 D 的坐标为（12
5
，0）．
（3）取 CE 的中点 P，过 P 作 PG⊥ 轴于点 G．
则 CP 1
2 CE 12
5 흐 3
10 ．
（Ⅰ）当 ＞0 时，
①当 0＜ ＜8 时，如图 3．易证∠GCP ∠BAO，
∴ 㻐ર∠GCP 㻐ર∠BAO 3
5
，
∴CG CP• 㻐ર∠GCP 3
5
（12
5 흐 3
10 ） 16
25 흐 9
50 ．
∴OG OC+CG + 36
25 흐 9
50 41
50 + 36
25
．
根据题意得，得：OG CP，
∴ 41
50 + 36
25 12
5 흐 3
10 ，
解得： 6
7
；
②当 8 时，OG＞CP，显然不存在满足条件的 的值．
（Ⅱ）当 0 时，即点 C 与原点 O 重合（如图 4）．
（Ⅲ）当 ＜0 时，
①当点 E 与点 A 重合时，（如图 5），
易证△COA∽△AOB，
∴ CO AO
AO OB
，即 6
6 8
m ，
解得： 흐 9
2
．
②当点 E 与点 A 不重合时，（如图 6）．
OG OC흐CG 흐 흐（ 36
25 흐 9
50 ）
흐 41
50 흐 36
25
．
由题意得：OG CP，
∴흐흐 41
50 흐 36
25 12
5 흐 3
10 ．
解得 흐 96
13
．
综上所述， 的值是 6
7
或 0 或흐 9
2
或흐 96
13
．
33．（无锡）如图 1，菱形 ABCD 中，∠A 60 ，点 P 从 A 出发，以 2 /ર 的速度沿边 AB、BC、CD 匀
速运动到 D 终止，点 Q 从 A 与 P 同时出发，沿边 AD 匀速运动到 D 终止，设点 P 运动的时间为 （ર）．△
APQ 的面积 S（ 2）与 （ર）之间函数关系的图象由图 2 中的曲线段 OE 与线段 EF、FG 给出．
（1）求点 Q 运动的速度；
（2）求图 2 中线段 FG 的函数关系式；
（3）问：是否存在这样的 ，使 PQ 将菱形 ABCD 的面积恰好分成 1：5 的两部分？若存在，求出这样的
的值；若不存在，请说明理由．
33．解：（1）由题意，可知题图 2 中点 E 表示点 P 运动至点 B 时的
情形，所用时间为 3ર，则菱形的边长 AB 2 3 6 ．
此时如答图 1 所示：
AQ 边上的高 h AB•રi 60 6 3
2 3 3 ，
S S△APQ 1
2 AQ•h 1
2 AQ 3 3 9 3
2
，解得 AQ 3 ，
∴点 Q 的运动速度为：3÷3 1 /ર．
（2）由题意，可知题图 2 中 FG 段表示点 P 在线段 CD 上运动时的情形．如答图 2 所示：
点 Q 运动至点 D 所需时间为：6÷1 6ર，点 P 运动至点 C 所需时间为 12÷2 6ર，至终点 D 所需时间为
18÷2 9ર．
因此在 FG 段内，点 Q 运动至点 D 停止运动，点 P 在线段 CD 上继续运动，且时间 的取值范围为：6 9．
过点 P 作 PE⊥AD 交 AD 的延长线于点 E，则 PE PD•રi 60 （18흐2 ） 3
2 흐 3 +9 3 ．
S S△APQ 1
2 AD•PE 1
2 6 （흐 3 +9 3 ） 3흐 3 +27 3 ，
∴FG 段的函数表达式为：S 3흐 3 +27 3 （6 9）．
（3）菱形 ABCD 的面积为：6 6 રi 60 18 3 ．
当点 P 在 AB 上运动时，PQ 将菱形 ABCD 分成△APQ 和五边形 PBCDQ 两部分，如答图 3 所示．
此时△APQ 的面积 S 1
2 AQ•AP•રi 60 1
2 •2 3
2 3
2 2，
根据题意，得 3
2 2 1
6 18 3 ，
解得 6 ર；
当点 P 在 BC 上运动时，PQ 将菱形分为梯形 ABPQ 和梯形 PCDQ 两部分，如答图 4 所示．
此时，有 S 梯形 ABPQ 5
6 S 菱形 ABCD，即 1
2
（2 흐6+6） 6 3
2 5
6 18 3 ，
解得 16
3 ર．
∴存在 6 和 16
3
，使 PQ 将菱形 ABCD 的面积恰好分成 1：5 的两部分．
第二十八讲 投影与视图
【基础知识回顾】
一、 投影：
1、定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到得影子叫做物体的 其中照射光线叫做
投影所在的平面叫做
2、平行投影：太阳光可以近似地看作是 光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影
3、中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做 ，如物体在 、 、
等照射下所形成的投影就是中心投影
【名师提醒：1、中心投影的光线 平行投影的光线
2、在同一时刻，不同物体在太阳下的影长与物高成
3、物体投影问题有时也会出现计算解答题，解决这类问题首先要根据图形准确找出比例关系，然后求解】
二、视图：
1、定义：从不同的方向看一个物体，然后描绘出所看到的图形即视图。其中，从 看到的图形
称为主视图，从 看到的图形称为左视图，从 看到的图形称为俯视图
2、三种视图的位置及作用
⑴画三视图时，首先确定 的位置，然后在主视图的下面画出 ，在主视图的右边画出
⑵主视图反映物体的 和 ，左视图反映物体的 和 俯视图反映物体的
和 。
【名师提醒：1、在画几何体的视图时，看得见部分的轮廓线通常画成 线，看不见部分的轮廓线通
常画成 线 2、在画几何体的三视图时要注意主俯 对正，主左 平齐，左俯 相
等】
三、立体图形的展开与折叠：
1、许多立体图形是由平面图形围成的，将它们适当展开即为平面展开图，同一个立体图形按不同的方式
展开，会得到不同的平面展开图
2、常见几何体的展开图：⑴正方体的展开图是
⑵n 边形的直棱柱展开图是两个 n 边形和一个
⑶圆柱的展开图是一个 和两个
⑷圆锥的展开图是一个 与一个
【名师提醒：有时会出现根据物体三视图中标注的数据求原几何体的表面积，体积等题目，这时要注意先
根据三种视图还原几何体的形状，然后想象有关尺寸在几何体展开图中标注的是哪些部分，最后再根据公
式进行计算】
【重点考点例析】
考点一：简单几何体的三视图
例 1 （锦州）下列几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）
A． B． C． D．
思路分析：分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体．
解：A、圆柱的主视图与左视图都是长方形，不合题意，故本选项错误；
B、正方体的主视图与左视图相同，都是正方形，不合题意，故本选项错误；
C、正三棱柱的主视图是长方形，长方形中有一条杠，左视图是矩形，符合题意，故本选项正确；
球正方体 正三棱柱圆柱
D、球的主视图和左视图相同，都是圆，且有一条水平的直径，不合题意，故本选项错误．
故选：C．
点评：本题考查了简单几何体的三视图，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从
物体的左面看得到的视图．
对应训练
1．（•黄石）如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另
一个不同的几何体是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
考点二：简单组合体的三视图
例 2 （湛江）如图是由 6 个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
思路分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
解：从物体左面看，是左边 2 个正方形，右边 1 个正方形．
故选 A．
点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而
错误的选其它选项．
对应训练
2．（•襄阳）如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是（ ）
A． B． C． D．
考点三：由三视图判断几何体
例 3（扬州）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．圆柱 C．正方体 D．三棱锥
思路分析：
如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答．
解：如图，俯视图为三角形，故可排除 C、B．
主视图以及侧视图都是矩形，可排除 D．
故选 A．
点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，难度一般，考生做此类题时可利用排除法解答．
例 4 （2015•自贡）某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧
牛肉方便面至少有（ ）碗
A．8 B．9 C．10 D．11
思路分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解：易得第一层有 4 碗，第二层最少有 3 碗，第三层最少有 2 碗，所以至少共有 9 个碗．
故选 B．
点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握
口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
对应训练
3．（云南）图为某个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A． B． C． D．
4．（•玉林）某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体共用了（ ）小方块．
A．12 块 B．9 块 C．7 块 D．6 块
4．C
考点四：几何体的相关计算
例 5（•贺州）如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据（单位： ）可求得这个几何体的体积为（ ）
A．2 3 B．3 3 C．6 3 D．8 3
思路分析：
根据三视图我们可以得出这个几何体是个长方体，它的体积应该是 1 1 3 3 3．
解：该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体，
此长方体的长与宽都是 1，高为 3，
所以该几何体的体积为 1 1 3 3 3．点评：本题考查了由三视图判断几何体及长方体的体积公式，本题要先判断出几何体
的形状，然后根据其体积公式进行计算．
对应训练
5．（宁夏）如图是某几何体的三视图，其侧面积（ ）
A．6 B．4π C．6π D．12π
【聚焦山东中考】
1．（烟台）下列水平放置的几何体中，俯视图不是圆的是（ ）
A． B． C． D．
2．（淄博）下面关于正六棱柱的视图（主视图、左视图、俯视图）中，画法错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（莱芜）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．（滨州）如图所示的几何体是由若干个大小相同的小正方体组成的．若从正上方看这个几何体，则所看
到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
5．（潍坊）如图是常用的一种圆顶螺杆，它的俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（青岛）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（济南）图中三视图所对应的直观图是（ ）
A． B． C． D．
8．（•威海）如图是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）
A．主视图改变，左视图改变
B．俯视图不变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变
D．主视图改变，左视图不变
9．（聊城）如图是由几个相同的小立方块组成的三视图，小立方块的个数是（ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
9．B
10．（临沂）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ）
A．12π 2 B．8π 2 C．6π 2 D．3π 2
10．C
11．（济宁）三棱柱的三视图如图所示，△EFG 中，EF 8 ，EG 12 ，∠EGF 30 ，则 AB 的长为
．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（成都）如图所示的几何体的俯视图可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（昆明）下面几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（安徽）如图所示的几何体为圆台，其主（正）视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本溪）如图放置的圆柱体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（舟山）如图，由三个小立方体搭成的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（义乌）如图几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（株洲）下列几何体中，有一个几何体的俯视图的形状与其它三个不一样，这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
8．（营口）如图，下列水平放置的几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
9．（宜宾）下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是（ ）
A． B． C． D．
10．（•新疆）下列几何体中，主视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
11．（桂林）下列物体的主视图、俯视图和左视图不全是圆的是（ ）
A．橄榄球 B．兵乓球 C．篮球 D．排球
12．（广东）下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）
A． B． C． D．
13．（天津）如图是由 3 个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（ ）
圆锥
圆柱正方体
球
A． B． C． D．
14．（泰州）由一个圆柱体与一个长方体组成的几何体如图所示，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
15．（遂宁）如图所示的是三通管的立体图，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
16．（南平）如图是由六个棱长为 1 的正方体组成的一个几何体，其主视图的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．（宿迁）如图是由六个棱长为 1 的正方体组成的几何体，其俯视图的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
18．（十堰）用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是
（ ）
A． B． C． D．
19．（黔东南州）如图是有几个相同的小正方体组成的一个几何体．它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
20．（盘锦）如图下面几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
21．（茂名）如图，由两个相同的正方体和一个圆锥体组成一个立体图形，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
22．（荆门）过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，
它的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
23．（江西）一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则它的左视图可以是（ ）
A． B． C． D．
24．（大庆）图 1 所示的几何体，它的俯视图为图 2，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
25．（遵义）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
26．（铁岭）如图是 4 块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小方块的个数，
其主视图是（ ）
A． B． C． D
27．（黑龙江）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何
体的小正方体的个数最多有（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
28．（益阳）一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正
方体的个数为（ ）
A．2 个 B．3 个 C．5 个 D．10 个
29．（孝感）如图，由 8 个大小相同的正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图是
（ ）
A． B． C． D．
30．（曲靖）如图是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图是（ ）
A． B． C． D．
31．（乐山）一个立体图形的三视图如图所示．根据图中数据求得这个立体图形的表面积为（ ）
A．2π B．6π C．7π D．8π
31．D
32．（杭州）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．18 3 B．54 3 C．108 3 D．216 3
二、填空题
33．（南通）一个几何体的主视图、俯视图和左视图都是大小相同的圆，则这个几何体是 ．
34．（绥化）由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的
小正方体的个数可能是 ．
35．（•无锡）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是 36，则它的表面积是 ．
第八章 统计与概率
第二十九讲 数据的收集与处理
【基础知识回顾】
一、数据的收集方式。
1、全面调查（普查）：是为了一定的目的对 考察对象进行的全面调查，其中所要考查对象的
称为总体，组成总体的 考查对象称为个体
2、抽样调查（抽查）：是指从总体中抽取 对象进行调查，然后根据调查数据推理全体对象的情况，
其中，被抽取的那些 组成一个样本，样本中 的数目叫做样本容量。
【名师提醒：1、对被考查对象进行全面调查还是抽样调查要根据就考查对象的特点而选择，例如：当被
考查对象数量有限时可采取 ，当受条件限制无法对所有个体都进行调查或调查具有破坏性时，
应采用 ，然后用样本估计总体的情况。2、注意：被考察对象不是笼统的某人某物，而是某人某
物的某项指标。】
二、统计图：
1、统计图是表示统计数据的图形，是数据及其关系的直观表现的反映，几种常见的统计图有
统计图 统计图 统计图
2、频数分布直方图：
⑴频数：在统计数据中落在不同小组中 的个数，叫做频数
⑵频率：=
⑶绘制频数直方图的步骤：a：计算 与 的差，b：决定 和 c：确定分点 d：列出
f：画出
【名师提醒：1、各类统计图的特点：条形统计图可以反映 折线统计图能够显示 从
扇形统计图能够看出 ，扇形的圆心角= 3600×
2、频数分布直方圆中每个长方形的高是 所有小长方形高的和为 】
【典型例题解析】
考点一：全面调查与抽样调查
例 1 （遂宁）以下问题，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
思路分析：
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，数量不大，宜用全面调查，故本选项错误；
B、旅客上飞机前的安检，意义重大，宜用全面调查，故本选项错误；
C、学校招聘教师，对应聘人员面试必须全面调查，故本选项错误；
D、了解全市中小学生每天的零花钱，工作量大，且普查的意义不大，不适合全面调查，故本选项正确．
故选 D．
点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活
选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
对应训练
1．（怀化）下列调查适合作普查的是（ ）
A．对和甲型 H7N9 的流感患者同一车厢的乘客进行医学检查
B．了解全国手机用户对废手机的处理情况
C．了解全球人类男女比例情况
D．了解怀化市中小学生压岁钱的使用情况
1．A
考点二：用样本估计总体
例 2 （扬州）为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞 30 条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经
过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞 200 条鱼，发现其中带标记的鱼有 5 条，则鱼塘中
估计有 条鱼．
对应训练
2．（新疆）某校九年级 420 名学生参加植树活动，随机调查了 50 名学生植树的
数量，并根据数据绘制了如下条形统计图，请估计该校九年级学生此次植树活
动约植树 棵．
考点三：统计图表的综合运用
例 3 （•台州）有一学校为了解九年级学生某次体育测试成绩，现对这次体育
测试成绩进行抽样调查，结果统计如下，其中扇形统计图中 C 组所在的扇形的
圆心角为 36 。
被抽取的体育测试成绩频数分布表
组别 成绩 频数
A 20＜ 24 2
B 24＜ 28 3
C 28＜ 32 5
D 32＜ 36 b
E 36＜ 40 20
合计
根据上面的图表提供的信息，回答下列问题：
（1）计算频数分布表中 与 b 的值；
（2）根据 C 组 28＜ 32 的组中值 30，估计 C 组中所有数据的和为 ；
（3）请估计该校九年级学生这次体育测试成绩的平均分（结果取整数）．
思路分析：
（1）首先根据圆心角的度数 360 百分比可算出 C 部分所占百分比，再利用总数 频数÷百分比可得总数
；利用总数减去各部分的频数和可得 b 的值；
（2）利用组中值 频数即可；
（3）首先利用平均数的求法计算出样本平均数，再利用样本估计总体的方法可得该校九年级学生这次体
育测试成绩的平均分．
解：（1） 5÷ 36
360 50，
b 50흐（2+3+5+20） 20；
（2）30 5 150；
（3） 22 2 26 3 30 5 34 20 38 20
50
34.24 34（分）．
可用样本的平均分来估计总体的平均分，
因此该校九年级学生这次体育测试成绩平均分约 34 分．
点评：此题主要考查了频数分布表和扇形图，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记
硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形势给出的数学实际问题．
例 4 （湛江）2013 年 3 月 28 日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全
校 1500 名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为 100 分）进行统计．请
根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
频率分布表
分数段 频数 频率
50.5흐60.5 16 0.08
60.5흐70.5 40 0.2
70.5흐80.5 50 0.25
80.5흐90.5 0.35
90.5흐100.5 24
（1）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中： ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在 70 分以下（含 70 分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意
识不强的学生约有多少人？
思路分析：（1）利用 50.5흐흐60.5 的人数除以频率即可得到抽取总人数； 总人数减去各分数段的人数；
24 除以抽取的总人数；
（2）根据（1）中计算的 的值补图即可；
（3）利用样本估计总体的方法，用总人数 1500 抽取的学生中成绩在 70 分以下（含 70 分）的学生所占
的抽取人数的百分比计算即可．
解：（1）抽取的学生数：16÷0.08 200，
200흐16흐40흐50흐24 70；
24÷200 0.12；
（2）如图所示：
（3）1500 16 40
200
420（人），
答：该校安全意识不强的学生约有 420 人．
点评：此题主要考查了频数分布直方图和频数分布表，以及利用样本估计总体，关键是读懂频数分布直方
图，能利用统计图获取信息；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确
的判断和解决问题．
对应训练
3．（盘锦）为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对该校部分学生“整
理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请根据图表中提供
的信息，解答下列问题：
整理情况 频数 频率
非常好 0.21
较好 70
一般
不好 36
（1）本次抽样共调查了多少学生？
（2）补全统计表中所缺的数据．
（3）该校有 1500 名学生，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？
（4）某学习小组 4 名学生的错题集中，有 2 本“非常好”（记为 A1、A2），1 本“较好”（记为 B），1 本“一般”
（记为 C），这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放
回，从余下的 3 本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非
常好”的概率．
3．解：（1）较好的所占的比例是： 126
360
，
则本次抽样共调查的人数是：70÷ 126
360 200（人）；
（2）非常好的频数是：200 0.21 42（人），
一般的频数是：200흐42흐70흐36 52（人），
较好的频率是： 70
200 0.35，
一般的频率是： 52
200 0.26，
不好的频率是： 36
200 0.18；
（3）该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约有 1500 （0.21+0.35） 840（人），
（4）
则两次抽到的错题集都是“非常好”的概率是： 2 1=12 6
．
4．（襄阳）某中学为了预测本校应届毕业女生“一分钟跳绳”项目考试情况，从九年级随机抽取部分女生进
行该项目测试，并以测试数据为样本，绘制出如图 10 所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六
个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图．
根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并指出这个样本数据的中位数落在第 小组；
（2）若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于 130 次的成绩为优秀，本校九年级女生共有 260 人，请
估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；
（3）如测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于 170 次的成绩为满分，在这个样本中，从成绩为优秀的女
生中任选一人，她的成绩为满分的概率是多少？
4．解：（1）总人数是：10÷20% 50（人），
第四组的人数是：50흐4흐10흐16흐6흐4 10，
，
中位数位于第三组；
（2）该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是： 50- 4-10-16
50 260 104（人）；
（3）成绩是优秀的人数是：10+6+4 20（人），
成绩为满分的人数是 4，则从成绩为优秀的女生中任选一人，她的成绩为满分的概率是 4
20 0.2．
【聚焦山东中考】
1．（聊城）某校七年级共 320 名学生参加数学测试，随机抽取 50 名学生的成绩进行统计，其中 15 名学生
成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有（ ）
A．50 人 B．64 人 C．90 人 D．96 人
2．（青岛）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的 5 个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的
前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：现将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，
记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了 100 次，其中有 10 次摸到白球．因此
小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个．
A．45 B．48 C．50 D．55
3．（日照）如图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为
36 岁统计在 36 ＜38 小组，而不在 34 ＜36 小组），根据图形提供的信息，下列说法中错误的是（ ）
A．该学校教职工总人数是 50 人
B．年龄在 40 ＜42 小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的 20%
C．教职工年龄的中位数一定落在 40 ＜42 这一组
D．教职工年龄的众数一定在 38 ＜40 这一组
4．（枣庄）“六•一”前夕，质检部门从某超市经销的儿童玩具、童车和童装中共抽查了 300 件儿童用品．以
下是根据抽查结果绘制出的不完整的统计表和扇形图：
类别 儿童玩具 童车 童装
抽查件数 90
请根据上述统计表和扇形图提供的信息，完成下列问题：
（1）补全上述统计表和扇形图；
（2）已知所抽查的儿童玩具、童车、童装的合格率分别为 90%、88%、80%，若从该超市的这三类儿童
用品中随机购买一件，买到合格品的概率是多少？
4．解：（1）解：（1）童车的数量是 300 25% 75，
童装的数量是 300흐75흐90 135，
儿童玩具占得百分比是 90
300 100% 30%，
童装占得百分比 1흐30%흐25% 45%，
如图；
类别 儿童玩具 童车 童装
抽查件数 90 75 135
；（2）根据题意得出：
90 90% 75 88% 135 80% 0.85300
．
答：从该超市这三类儿童用品中随机购买一件买到合格品的概率是 0.85．
5．（淄博）某中学积极开展跳绳活动，体育委员统计了全班同学 1 分钟跳绳
的次数，并列出了频数分布表：
次数 60 ＜80 80 ＜100 100 ＜
120
120 ＜
140
140 ＜
160
160 ＜
180
频数 5 6 14 9 4
（1）跳绳次数 在 120 ＜140 范围的同学占全班同学的 20%，在答题卡中完成上表；
（2）画出适当的统计图，表示上面的信息．
5．解：（1）∵跳绳次数 在 120 ＜140 范围的同学占全班同学的 20%，
∴总人数是 9÷20% 45（人），
∴在 140 ＜160 的频数是：45흐5흐6흐14흐9흐4 7（人），
补表如下：
次数 60 ＜80 80 ＜100 100 ＜
120
120 ＜
140
140 ＜
160
160 ＜
180
频数 5 6 14 9 7 4
（2）根据表中的数据，补图如下：
6．（济宁）以“光盘”为主题的公益活动越来越受到社会的关注．某校为培养学生勤俭节约的习惯，随机抽
查了部分学生（态度分为：赞成、无所谓、反对），并将抽查结果绘制成图 1 和图 2（统计图不完整）．请
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共抽查了多少名学生？
（2）将图 1 补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该校 3000 名学生中有多少名学生持反对态度？
6．解：（1）130÷65% 200 名；
（2）200흐130흐50 20 名；补全统计图如图：
（3）3000 20
200 300 名．
7．（东营）东营市“创建文明城市”活动如火如荼的展开．某中学为了搞好“创城”活动的宣传，校学生会就本
校学生对东营“市情市况”的了解程度进行了一次调查测试．经过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅
不完整的统计图（A：59 分及以下；B：60흐69 分；C：70흐79 分；D：80흐89 分；E：90흐100 分）．请你根
据图中提供的信息解答以下问题：
（1）求该校共有多少名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“60흐69 分”部分所对应的圆心角的度数；
（4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90흐100 分”的概率是多少？
7．解：（1）该学校的学生人数是：300÷30% 1000（人）．
（2）1000 10% 100（人），
1000 35% 350（人），
条形统计图如图所示．
（3）在扇形统计图中，“60흐69 分”部分所对应的圆心角的度数是：360 （ 200
1000 100%） 72 ；
（4）从该校中任选一名学生，其测试成绩为“90흐100 分”的概率是： 50
1000 1
20
．
8．（滨州）某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿
校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标
准，共分为 6 种型号）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该班共有多少名学生？其中穿 175 型校服的学生有多少？
（2）在条形统计图中，请把空缺部分补充完整．
（3）在扇形统计图中，请计算 185 型校服所对应的扇形圆心角的大小；
（4）求该班学生所穿校服型号的众数和中位数．
8．解：（1）15÷30% 50（名），50 20% 10（名），
即该班共有 50 名学生，其中穿 175 型校服的学生有 10 名；
（2）185 型的学生人数为：50흐3흐15흐15흐10흐5 50흐48 2（名），
补全统计图如图所示；
（3）185 型校服所对应的扇形圆心角为： 2
50 360 14.4 ；
（4）165 型和 170 型出现的次数最多，都是 15 次，
故众数是 165 和 170；
共有 50 个数据，第 25、26 个数据都是 170，
故中位数是 170．
9．（临沂）2013 年 1 月 1 日新交通法规开始实施．为了解某社区居民遵守交通法规情况，小明随机选取
部分居民就“行人闯红灯现象”进行问卷调查，调查分为“A：从不闯红灯；B：偶尔闯红灯；C：经常闯红灯；
D：其他”四种情况，并根据调查结果绘制出部分条形统计图（如图 1）和部分扇形统计图（如图 2）．请根
据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查共选取 名居民；
（2）求出扇形统计图中“C”所对扇形的圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）如果该社区共有居民 1600 人，估计有多少人从不闯红灯？
9．解：（1）本次调查的居民人数 56÷70% 80 人；
（2）为“C”的人数为：80흐56흐12흐4 8 人，
“C”所对扇形的圆心角的度数为： 8
80 360 36
补全统计图如图；
（3）该区从不闯红灯的人数 1600 70% 1120 人．
10．（•聊城）小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛，两人各投了 10 次，如图是他们投标成绩的统计
图．
（1）根据图中信息填写下表。
平均数 中位数 众数
小亮 7
小莹 7 9
（2）分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好．
10．解：（1）根据题意得：小亮的环数为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，
平均数为 1
10
（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7） 7（环），中位数为 7，众数为 7；
小莹的环数为：3，4，6，9，5，7，8，9，9，10，
平均数为 1
10
（3+4+6+9+5+7+8+9+9+10） 7（环），中位数为 7.5，众数为 9，
填表如下：
平均数 中位数 众数
小亮 7 7 7
小莹 7 7.5 9
（2）平均数相等说明：两人整体水平相当，成绩一样好；小莹的中位数大说明：小莹的成绩比小亮好．．
11．（•莱芜）在学校开展的“学习交通安全知识，争做文明中学生”主题活动月中，学校德工处随机选取了
该校部分学生，对闯红灯情况进行了一次调查，调查结果有三种情况：A．从不闯红灯；B．偶尔闯红灯；
C 经常闯红灯．德工处将调查的数据进行了整理，并绘制了尚不完整的统计图如下，请根据相关信息，解
答下列问题．
（1）求本次活动共调查了多少名学生；
（2）请补全（图二），并求（图一）中 B 区域的圆心角的度数；
（3）若该校有 240 名学生，请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数．
11．解：（1）÷ 20 36
360
÷ 20 1
10
200 （名）．
故本次活动共调查了 200 名学生．
（2）补全图二，
200흐120흐20 60（名）．
× °360 60
200
°108 ．
故 B 区域的圆心角的度数是 108 ．
（3）×2400 60 20
200
× 2400 2
5
960 （人）．
故估计该校不严格遵守信号等指示的人数为 960 人．
12．（潍坊）随着我国汽车产业的发展，城市道路拥堵问题日益严峻，某部门对 15 个城市的交通状况进行
了调查，得到的数据如下表所示．
城市
项目
北
京
太
原
杭
州
沈
阳
广
州
深
圳
上
海
桂
林
南
通
海
口
南
京
温
州
威
海
兰
州
中
山
上班花费时间（分钟） 52 33 34 34 48 46 47 23 24 24 37 25 24 25 18
上班堵车时间（分钟） 14 12 12 12 12 11 11 7 7 6 6 5 5 5 0
（1）根据上班花费时间，将下面的频数分布直方图补充完整；
（2）求 15 个城市的平均上班堵车时间（计算结果保留一位小数）
（ 3 ） 规 定 ： 城 市 的 堵 车 率
-
上班堵车的时间
上班花费时间 上班堵车时间 100% ， 比 如 ， 北 京 的 堵 车 率
14
52-14 %36.8 %100 ；沈阳的堵车率 12
34-12 %54.5 %100 ，某人欲从北京，沈阳，上海，温州四个城
市中任意选取两个作为出发目的地，求选取的两个城市的堵车率都超过 30%的概率．
12．解：（1）在 30 分钟到 40 分钟之间的城市有 4 个，40 分钟到 50 分钟的城市有 3 个，进而得出条形
图，如图所示：
（2）平均上班堵车的时间 1
15
（14+12 4+11 2+7 2+6 2+5 3+0） 25
3 8.3（分钟）；
（3）上海的堵车率： 11
47-11 100% 30.6%，
温州的堵车率： 5
25-5 100% 25.9%，
堵车率超过 30%的城市有北京、上海、沈阳；
从四个城市中选两个的所有方法有 6 种：（北京，沈阳），（北京，上海），（北京，温州），（沈阳，上海），
（沈阳，温州），（上海，温州）．
其中两个城市堵车率均超过 30%的情况有 3 种：
（北京，沈阳），（北京，上海），（沈阳，上海）．
所以，选取的两个城市堵车率都超过 30%的概率 P 3 1=6 2
．
13．（青岛）请根据所给信息，帮助小颖同学完成她的调查报告
2013 年 4 月光明中学八年级学生每天干家务活平均时间的调查报告
调查目
的 了解八年级学生每天干家务活的平均时间
调查内
容 光明中学八年级学生干家务活的平均时间
调查方
式 抽样调查
调查步
骤
1．数据的收集
（1）在光明中学八年级每班随机调查 5 名学生
（2）统计这些学生 2013 年 4 月每天干家务活的平均时间（单位： i ）结果如下（其中 A 表示
10 i ，B 表示 20 i ，C 表示 30 i ）
B A A B B B B A C B B A B B C
A B A A C A B B C B A B B A C
2．数据的处理：
以频数分布直方图的形式呈现上述统计结果 请补全频数分布直方图
3．数据的分析：
列式计算所随机调查学生每天干家务活平均时间的平均数（结果保留整数）
调查结
论
光明中学八年级共有 240 名学生，其中大约有
120
名学生每天干家务活的平均时间是 20 i
13．解：从图表中可以看出 C 的学生数是 5 人，
如图：
每天干家务活平均时间是：（10 10+15 20+5 30）÷30 18（ i ）；
根据题意得：240 15
30 120（人），
光明中学八年级共有 240 名学生，其中大约有 120 名学生每天干家务活的平均时间是 20 i ；
故答案为：120．
14．（•济南）某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽
样 获 得 的 50 个 家 庭 去 年 月 平 均 用 水 量 （ 单 位 ： 吨 ）， 并 将 调 查 数 据 进 行 如 下 整 理 ：
4.7 2.1 3.1 2.3 5.2 2.8 7.3 4.3 4.8 6.7
4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5
3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2
5.7 3.9 4.0 4.0 7.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5
4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5
频数分布表
分组 划记 频数
2.0＜ 3.5 正正 11
3.5＜ 5.0 19
5.0＜ 6.5
6.5＜ 8.0
8.0＜ 9.5
合计
2
50
（1）把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）；
（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按 1.5 倍价格收费，若要使 60%
的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？
14．解：（1）频数分布表如下：
分组 划记 频数
2.0＜ 3.5 正正 11
3.5＜ 5.0 19
5.0＜ 6.5
6.5＜ 8.0
13
5
8.0＜ 9.5
合计
2
50
频数分布直方图如下：
（2）从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在 2.0 至 6.5 之间；②居民月平均用水量在 3.5＜ 5.0
范围内的最多，有 19 户；
（3）要使 60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为 5 吨，因为月平均用水量不超过 5
吨的有 30 户，30÷50 60%．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（温州）小明对九（1）班全班同学“你最喜欢的球类项目是什么？（只选一项）”的问题进行了调查，把
所得数据绘制成如图所示的扇形统计图，由图可知，该班同学最喜欢的球类项目是（ ）
A．羽毛球 B．乒乓球 C．排球 D．篮球
1．D
2．（玉林）如图是某手机店今年 1흐5 月份音乐手机销售额统计图．根据图中信息，可以判断相邻两个月音
乐手机销售额变化最大的是（ ）
A．1 月至 2 月 B．2 月至 3 月 C．3 月至 4 月 D．4 月至 5 月
3．（衡阳）要调查下列问题，你认为哪些适合抽样调查（ ）
①市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准
②检测某地区空气质量
③调查全市中学生一天的学习时间．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（内江）今年我市有近 4 万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取 1000 名考生的数
学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．这 1000 名考生是总体的一个样本
B．近 4 万名考生是总体
C．每位考生的数学成绩是个体
D．1000 名学生是样本容量
5．（广州）为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A：报纸，B：电视，C：网络，D：身边的人，E：
其他”五个选项（五项中必选且只能选一项）的调查问卷，先随机抽取 50 名中学生进行该问卷调查，根据
调查的结果绘制条形图如图所示，该调查的方式是（ ），图中的 的值是（ ）
A．全面调查，26 B．全面调查，24
C．抽样调查，26 D．抽样调查，24
5．D
6．（贺州）为调查某校 2000 名学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况．随机抽
取部分学生进行调查，并结合调查数据作出如图所示的扇形统计图．根据统计图提供的信息，可估算出该
校喜爱动画节目的学生约有（ ）
A．500 名 B．600 名 C．700 名 D．800 名
7．（丽水）王老师对本班 40 名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班 A 型血的人数是（ ）
组别 A 型 B 型 AB 型 O 型
频率 0.4 0.35 0.1 0.15
A．16 人 B．14 人 C．4 人 D．6 人
8．（武汉）为了了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要求每人
只选取一种喜好的书籍，如果没有喜好的书籍，则作“其它”类统计．图（1）与图（2）是整理数据后绘制
的 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ． 以 下 结 论 不 正 确 的 是 （ ）
A．由这两个统计图可知喜好“科普常识”的学生有 90 人
B．若该年级共有 1200 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的学生约有 360 人
C．这两个统计图不能确定喜好“小说”的人数
D．在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为 72
8．C
二、填空题
9．（贺州）调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，这种调查适用 ．（填全面调查或
者抽样调查）
10．（红河州）某中学为了了解本校 2 000 名学生所需运动服尺码，在全校范围内随机抽取 100 名学生进
行调查，这次抽样调查的样本容量是 ．
11．（三明）八年级（1）班全体学生参加了学校举办的安全知识竞赛，如图是该班学生竞赛成绩的频数分
布直方图（满分为 100 分，成绩均为整数），若将成绩不低于 90 分的评为优秀，则该班这次成绩达到优秀
的人数占全班人数的百分比是 ．
12．（漳州）某班围绕“舞蹈、乐器、声乐、其他等四个项目中，你最喜欢哪项活动（每日只限一项）”的问
题，对全班 50 名学生进行问卷调查，调查结果如下扇形统计图，请问该班喜欢乐器的学生有
名．
三、解答题
13．（云南）近年来，中学生的身体素质普遍下降，某校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在
校学生每天体育锻炼时间不少于 1 小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调查统计．以
下是本次调查结果的统计表和统计图．
组别 A B C D E
时间 （分钟） ＜40 40 ＜60 60 ＜80 80 ＜100 100
人数 12 30 24 12
（1）求出本次被调查的学生数；
（2）请求出统计表中 的值；
（3）求各组人数的众数；
（4）根据调查结果，请你估计该校 2400 名学生中每天体育锻炼时间不少于 1 小时
的学生人数．
13．解：（1）12÷10% 120（人）；
（2） 120흐12흐30흐24흐12 42；
（3）众数是 12 人；
（4）每天体育锻炼时间不少于 1 小时的学生人数是：2400 42 24 12
120
1560
（人）．
14．（咸宁）在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少年体质研究中心随机抽取的 10 名学生的坐位体
前屈的成绩（单位：厘米）如下：
11.2，10.5，11.4，10.2，11.4，11.4，11.2，9.5，12.0，10.2
（1）通过计算，样本数据（10 名学生的成绩）的平均数是 10.9，中位数是 ，众数是 ；
（2）一个学生的成绩是 11.3 厘米，你认为他的成绩如何？说明理由；
（3）研究中心确定了一个标准成绩，等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为“优秀”等级，如果全市
有一半左右的学生能够达到“优秀”等级，你认为标准成绩定为多少？说明理由．
14．解：（1）中位数是 11.2，众数是 11.4．
（2）方法 1：根据（1）中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试中，全市大
约有一半学生的成绩大于 11.2 厘米，有一半学生的成绩小于 11.2 厘米，这位学生的成绩是 11.3 厘米，大
于中位数 11.2 厘米，可以推测他的成绩比一半以上学生的成绩好．
方法 2：根据（1）中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试中，全市学生的平
均成绩是 10.9 厘米，这位学生的成绩是 11.3 厘米，大于平均成绩 10.9 厘米，可以推测他的成绩比全市学
生的平均成绩好．
（3）如果全市有一半左右的学生评定为“优秀”等级，标准成绩应定为 11.2 厘米（中位数）．因为从样本情
况看，成绩在 11.2 厘米以上（含 11.2 厘米）的学生占总人数的一半左右．可以估计，如果标准成绩定为
11.2 厘米，全市将有一半左右的学生能够评定为“优秀”等级．
15．（南京）某校有 2000 名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了 150
名学生进行抽样调查．整理样本数据，得到下列图表：
（1）理解划线语句的含义，回答问题：如果 150 名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？
请说明理由；
（2）根据抽样调查的结果，将估计出的全校 2000 名学生上学方式的情况绘制成条形统计图；
（3）该校数学兴趣小组结合调查获取信息，向学校提出了一些建议，如：骑车上学的学生约占全校的 34%，
建议学校合理安排自行车停车场地，请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化的建议：
．
15．解：（1）不合理，
因为如果 150 名学生全部在同一个年级抽取，这样抽取的学生不具有随机性，比较片面，所以这样的抽样
不合理；
（2）步行人数为：2000 10% 200（人），骑车的人数为：2000 34% 680（人），
乘公共汽车人数为：2000 30% 600（人），乘私家车的人数为：2000 20% 400（人），
乘其它交通工具得人数为：2000 6% 120（人），如图所示：
；
（3）为了节约和保护环境请同学们尽量不要乘坐私家车（答案不唯一）．
16．（龙岩）某市在 2013 年义务教育质量监测过程中，为了解学生的家庭教育情况，就八年级学生平时主
要和谁在一起生活进行了抽样调查．下面是根据这次调查情况制作的不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
代码 和谁一起生活 频数 频率
A 父母 4200 0.7
B 爷爷奶奶 660 a
C 外公外婆 600 0.1
D 其它 b 0.09
合计 6000 1
请根据上述信息，回答下列问题：
（1） ，b ；
（2）在扇形统计图中，和外公外婆一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是 ；
（3）若该市八年级学生共有 3 万人，估计不与父母一起生活的学生有 人．
16．解：（1）根据表格得： 1흐（0.7+0.1+0.09） 0.11，b 6000흐（4200+660+600） 540；
（2）根据题意得：和外公外婆一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是 360 0.1 36 ；
（3）根据题意得：30000 （1흐0.7） 9000（人），
则估计不与父母一起生活的学生有 9000 人．
故答案为：（1）0.11；540；（2）36 ；（3）9000．
17．（张家界）某班在一次班会课上，就“遇见路人摔倒后如何处理”的主题进行讨论，并对全班 50 名学生
的处理方式进行统计，得出相关统计表和统计图．
组别 A B C D
处理方式 迅速离开 马上救助 视情况而定 只看热闹
人数 30 5
请根据表图所提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的 ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校有 2000 名学生，请据此估计该校学生采取“马上救助”方式的学生有多少人？
17．解：（1）根据条形图可以得到： 5， 50흐5흐30흐5 10（人）
故答案是：5，10；
（2）
；
（3）2000 30
50 1200（人）．
18．（齐齐哈尔）齐齐哈尔市教育局非常重视学生的身体健康状况，为此在体育考试中对部分学生的立定
跳远成绩进行了调查（分数为整数，满分 100 分），根据测试成绩（最低分为 53 分）分别绘制了如下统计
表和统计图．（如图）
分数 59.5 分以下 59.5 分以上 69.5 分以上 79.5 以上 89.5 以上
人数 3 42 32 20 8
（1）被抽查的学生为 人．
（2）请补全频数分布直方图．
（3）若全市参加考试的学生大约有 4500 人，请估计成绩优秀的学生约有多少人？（80 分及 80 分以上为
优秀）
（4）若此次测试成绩的中位数为 78 分，请直接写出 78.5～89.5 分之间的人数最多有多少人？．
18．解：（1）∵59.5 分以上的有 42 人，59.5 分以下的 3 人，
∴这次参加测试的总人数为 3+42 45（人）；
（2）∵总人数是 45 人，
∴在 76.5흐84.5 这一小组内的人数为：
45흐3흐7흐10흐8흐5 12 人；
补图如下：
（3）根据题意得： 20
45 4500 2000（人），
答：成绩优秀的学生约有 2000 人．
（4）∵共有 45 人，中位数是第 23 个人的成绩，中位数为 78 分，
∴78 分以上的人数是 9+8+5 22（人），
∵89.5 分以上的有 8 人，
∴78.5～89.5 分之间的人数最多有 22흐8 14（人）．
故答案为：45．
19．（福州）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，
男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
身高情况分组表（单位： ）
组别 身高
A ＜155
B 155 ＜160
C 160 ＜165
D 165 ＜170
E 170
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）样本中，男生的身高众数在 组，中位数在 组；
（2）样本中，女生身高在 E 组的人数有 人；
（3）已知该校共有男生 400 人，女生 380 人，请估计身高在 160 ＜170 之间的学生约有多少人？
19．解：∵B 组的人数为 12，最多，
∴众数在 B 组，
男生总人数为 4+12+10+8+6 40，
按照从低到高的顺序，第 20、21 两人都在 C 组，
∴中位数在 C 组；
（2）女生身高在 E 组的频率为：1흐17.5%흐37.5%흐25%흐15% 5%，
∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴样本中，女生身高在 E 组的人数有 40 5% 2 人；
（3）400 10 8
40
+380 （25%+15%） 180+152 332（人）．
答：估计该校身高在 160 ＜170 之间的学生约有 332 人．
故答案为（1）B，C；（2）2．
20．（乐山）中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了某市城区若干名中
学生家长对这种现象的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果
绘制成频数折线统计图 1 和扇形统计图 2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 名中学生家长；
（2）将图 1 补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区 6000 名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
20．解：（1）根据题意得：40÷20% 200（人），
则此次抽样调查中，共调查了 200 名中学生家长；
（2）“赞成”的人数为 200흐（30+40+120） 10（人），
补全条形统计图，如图所示；
（3）根据题意得：6000 120
200 3600（人），
则 6000 名中学生家长中持反对态度的人数为 3600 人．
21．（锦州）以下是根据全国人力资源和社会保障部公布的相关数据绘制的统计图的一部分，请你根据图
中信息解答下列问题：
（1）求 2013 年全国普通高校毕业生数年增长率约是多少？（精确到 0.1%）
（2）求 2011 年全国普通高校毕业生数约是多少万人？（精确到万位）
（3）补全折线统计图和条形统计图．
21．解：（1） 699 680
680
100% 2.8%，
故 2013 年全国普通高校毕业生数年增长率约是 2.8%；
（2）设 2011 年的毕业生人数约是 万人，
根据题意得， 631
631
x 4.6%，
解得 660，
故 2011 年全国普通高校毕业生数约是 660 万人；
（3）补全统计图如图所示．
22．（永州）某县为了了解 2013 年初中毕业生毕业后的去向，对部分初三学生进行了抽样调查，就初三学
生的四种去向（A．读普通高中； B．读职业高中 C．直接进入社会就业； D．其它）进行数据统计，并
绘制了两幅不完整的统计图（ ）、（b）．
请问：
（1）该县共调查了 名初中毕业生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）若该县 2013 年初三毕业生共有 4500 人，请估计该县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数．
22．解：（1）40÷40% 100 名，
所以，该县共调查了 100 名初中毕业生；
（2）B 的人数：100 30% 30 名，
C 所占的百分比为： 25
100 100% 25%，
补全统计图如图；
（3）4500 40% 1800 名，
答：估计该县今年的初三毕业生中读普通高中的学生人数是 1800．
23．（扬州）为声援扬州“运河申遗”，某校举办了一次运河知识竞赛，满分 10 分，学生得分为整数，成绩
达到 6 分以上（包括 6 分）为合格，达到 9 分以上（包含 9 分）为优秀．这次竞赛中甲乙两组学生成绩分
布的条形统计图如图所示．
（1）补充完成下面的成绩统计分析表：
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 6.7 3.41 90% 20%
乙组 7.5 1.69 80% 10%
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了 7 分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小明是
甲
组的学生；（填“甲”或“乙”）
（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意
甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由．
23．解：（1）甲组的成绩为：3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，甲组中位数为 6，乙组成绩为 5，5，6，
7，7，8，8，8，8，9，平均分为 1
10
（5+5+6+7+7+8+8+8+8+9） 7.1（分），
填表如下：
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 6.7 6 3.41 90% 20%
乙组 7.1 7.5 1.69 80% 10%
（2）观察上表可知，小明是甲组的学生；
（3）乙组的平均分，中位数高于甲组，方差小于甲组，故乙组成绩好于甲组．
故答案为：（1）6；7.1；（2）甲
24．（铁岭）为迎接十二运，某校开设了 A：篮球，B：毽球，C：跳绳，D：健美操四种体育活动，为了
解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的
同学必须选择而且只能在 4 中体育活动中选择一种）．将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完
整）．
（1）这次调查中，一共查了 名学生：
（2）请补全两幅统计图：
（3）若有 3 名最喜欢毽球运动的学生，1 名最喜欢跳绳运动的学生组队外出参加一次联谊互活动，欲从
中选出 2 人担任组长（不分正副），求两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率．
24．解：调查的总学生是 40
20% 200（名）；
故答案为：200．
（3）B 所占的百分比是 1흐15%흐20%흐30% 35%，
C 的人数是：200 30% 60（名），
补图如下：
（3）用 A1，A2，A3 表示 3 名喜欢毽球运动的学生，B 表示 1 名跳绳运动的学生，
则从 4 人中选出 2 人的情况有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A2，A3），（A2，B），（A3，B），共计 6
种，
选出的 2 人都是最喜欢毽球运动的学生有（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）共计 3 种，
则两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率 3 1
6 2
．
25．（天津）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校 1900 名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐
款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相
关信息，解答下列是问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中 的值是 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为 10 元的学生人数．
25．解：（1）根据条形图 4+16+12+10+8 50（人），
100흐20흐24흐16흐8 32；
（2）∵ 1
50x （5 4+10 16+15 12+20 10+30 8） 16，
∴这组数据的平均数为：16，
∵在这组样本数据中，10 出现次数最多为 16 次，
∴这组数据的众数为：10，
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 15，
∴这组数据的中位数为： 1
2
（15 15） 15；
（3）∵在 50 名学生中，捐款金额为 10 元的学生人数比例为 32%，
∴由样本数据，估计该校 1900 名学生中捐款金额为 10 元的学生人数比例为 32%，有 1900 32% 608，
∴该校本次活动捐款金额为 10 元的学生约有 608 名．
故答案为：50，32．
第三十讲 数据分析
【基础知识回顾】
一、数据的代表：
1、 平均数：⑴算术平均数 如果有 n 个数 x1 ,x2 ,x3 …xn 那么它们的平均数
x =
⑵加权平均数：若在一组数据中 x1 出现 f1 次，x2 出现 f2 次...... xk 出现 fk 次,则其平均数
x =
（其中 f1+ f2+...... fk=n）
2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 或 叫做这组数据的中位数。
3、众数：在一组数据出现次数 的数据，称为该组数据的众数
【名师提醒：1、平均数：中位数和众数从不同的角度描述了一组数据的
2、在一组数据中，平均数、中位数都是唯一的，而众数可能 ，求中位数时 一定要先将原数
据 】
二、数据的波动：
1、极差：一组数据中 与 的差，叫做这组数据的极差
2、方差：n 个数据 x1 ,x2 ,x3 …xn 的平均数为
x ，则这组数据的方差
S 2=
3、标准差：方差的 叫做标准差。
【名师提醒：极差、方差、标准差都是反应一组数据 大小的，其值越大，说明这组数据波
动 】
【典型例题解析】
考点二：算术平均数与加权平均数
例 1 牡丹江）若五个正整数的中位数是 3，唯一的众数是 7，则这五个数的平均数是 ．
思路分析：首先根据众数与中位数的定义，得出这五个数据中的三个数，再根据一组数据由五个正整数组
成，得出其它两个数，最后由平均数的意义得出结果．
解：∵五个正整数的中位数是 3，唯一的众数是 7，
∴知道的三个数是 3，7，7；
∵一组数据由五个正整数组成，
∴另两个为 1，2；
∴这五个正整数的平均数是（1+2+3+7+7）÷5 4；
故答案为：4．
点评：本题考查了平均数、众数与中位数的意义，掌握平均数、众数与中位数的计算公式是解题的关键．
例 2 （北京）某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时） 5 6 7 8
人数 10 15 20 5
则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ）
A．6.2 小时 B．6.4 小时 C．6.5 小时 D．7 小时
思路分析：根据加权平均数的计算公式列出算式（5 10+6 15+7 20+8 5）÷50，再进行计算即可．
解：根据题意得：
（5 10+6 15+7 20+8 5）÷50
（50+90+140+40）÷50
320÷50
6.4（小时）．
故这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4 小时．
故选 B．
点评：此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出
算式是解题的关键．
对应训练
1．（•张家界）若 3， ，4，5 的众数是 4，则这组数据的平均数是 。
2．（大连）在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组 8 名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：
金额/元 5 6 7 10
人数 2 3 2 1
这 8 名同学捐款的平均金额为（ ）
A．3.5 元 B．6 元 C．6.5 元 D．7 元
考点二：众数与中位数
例 3 （自贡）某班七个合作学习小组人数如下：4、5、5、 、6、7、8，已知这组数据的平均数是 6，则
这组数据的中位数是（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
思路分析：根据平均数的定义先求出这组数据 ，再将这组数据从小到大排列，然后找出最中间的数即可．
解：∵4、5、5、 、6、7、8 的平均数是 6，
∴（4+5+5+ +6+7+8）÷7 6，
解得： 7，
将这组数据从小到大排列为 4、5、5、6、7、7、8，
最中间的数是 6；
则这组数据的中位数是 6；
故选 C．
点评：此题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）
重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
例 4 （•成都）今年 4 月 20 日在雅安市芦山县发生了 7.0 级的大地震，全川人民众志成城，抗震救灾．某
班组织“捐零花钱，献爱心”活动，全班 50 名学生的捐款情况如图所示，则本次捐款金额的众数是
元．
思路分析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合条形统计图即可作出判断．
解：捐款 10 元的人数最多，
故本次捐款金额的众数是 10 元．
故答案为：10．
点评：本题考查了众数及条形统计图的知识，解答本题的关键是掌握众数的定义．
对应训练
3．（玉林）已知一组从小到大的数据：0，4， ，10 的中位数是 5，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（铜仁地区）某公司 80 名职工的月工资如下：
月工资
（元） 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500 1200
人数 1 2 3 4 10 20 22 12 6
则该公司职工月工资数据中的众数是 ．
4．2000
考点三：极差与方差
例 5 （乐山）乐山大佛景区 2013 年 5 月份某周的最高气温（单位：℃）分别为：29，31，23，26，29，
29，29．这组数据的极差为（ ）
A．29 B．28 C．8 D．6
思路分析：根据极差的定义即可求解．
解：由题意可知，极差为 31흐23 8．
故选 C．
点评：本题考查了极差的知识，极差反映了一组数据变化范围的大小，解答本题的关键是掌握求极差的方
法：用一组数据中的最大值减去最小值．
例 6 （茂名）小李和小林练习射箭，射完 10 箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，根据
图中的信息，估计这两人中的新手是 ．
思路分析：根据图中的信息找出波动性大的即可．
解：根据图中的信息可知，小李的成绩波动性大，
则这两人中的新手是小李；
故答案为：小李．
点评：本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平
均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均
数越小，即波动越小，数据越稳定．
对应训练
5．（贵港）若一组数据 1，7，8， ，4 的平均数是 5、中位数是 、极差是 ，则 + ．
6．（•营口）甲、乙、丙三人进行射击测试，每人 10 次射击成绩的平均数均是 9.1 环，方差分别为 2S甲 0.56 ，
2S乙 0.45 ， 2S丙 0.61 ，则三人中射击成绩最稳定的是 ．
考点四：统计量的选择
例 7 （德宏州）某品牌鞋店在一个月内销售某款女鞋，各种尺码鞋的销量如下表所示：
尺码/厘米 22.5 23 23.5 24 24.5
销售量/双 35 40 30 17 8
通过分析上述数据，对鞋店业主的进货最有意义的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
思路分析：众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是
数据的众数．
解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选 B．
点评：考查了众数、平均数、中位数和标准差意义，比较简单．
对应训练
7．（深圳）某校有 21 名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前 11 名参加决赛，小颖已经知道了自
己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这 21 名同学成绩的（ ）
A．最高分 B．中位数 C．极差 D．平均数
7．B
【聚焦山东中考】
1．（莱芜）一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是（ ）
A．10，10 B．10，12.5 C．11，12.5 D．11，10
2．（泰安）实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：5，4，3，
5，5，2，5，3，4，1，则这组数据的中位数，众数分别为（ ）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
3．（临沂）在一次歌咏比赛中，某选手的得分情况如下：92，88，95，93，96，95，94．这组数据的众
数和中位数分别是（ ）
A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94
4．（潍坊）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有 9 名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中
的一名学生要想知道自己能否进入前 5 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这 9 名学生成绩的（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
5．（东营）一组数据 1，3，2，5，2， 的众数是 ，这组数据的中位数是 ．
6．（青岛）某校对甲、乙两名跳高运动员的近期调高成绩进行统计分析，结果如下： 2S甲 1.69 ，
2S乙 1.69 ，S2 甲 0.0006，S2 乙 0.00315，则这两名运动员中 的成绩更稳定．
7．（2013•济南）甲乙两种水稻试验品中连续 5 年的平均单位面积产量如下（单位：吨/公顷）
品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
经计算， x 10， x 10，试根据这组数据估计 中水稻品种的产量比较稳定．
7．甲
8．（菏泽）在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如下表所示：
成绩（ ） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 1 2 4 3 3 2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．1.70，1.65 B．1.70，1.70 C．1.65，1.70 D．3，4
9．（威海）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为 100 分．前 6 名
选手的得分如下：
序号
项目 1 2 3 4 5 6
笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80
面试成绩/分 90 88 86 90 80 85
根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折和成综合成绩（综合成绩的满分仍为 100 分）
（1）这 6 名选手笔试成绩的中位数是 分，众数是 分．
（2）现得知 1 号选手的综合成绩为 88 分，求笔试成绩和面试成绩个占的百分比．
（3）求出其余五名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选．
9．解：（1）把这组数据从小到大排列为，80，84，84，85，90，92，
最中间两个数的平均数是（84+85）÷2 84.5（分），
则这 6 名选手笔试成绩的中位数是 84.5，
84 出现了 2 次，出现的次数最多，
则这 6 名选手笔试成绩的众数是 84；
故答案为：84.5，84；
（2）设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是 ， ，根据题意得：
1
85 90 88
x y
x y
，
解得： 0.4
0.6
x
y
，
笔试成绩和面试成绩各占的百分比是 40%，60%；
（3）2 号选手的综合成绩是 92 0.4+88 0.6 89.6（分），
3 号选手的综合成绩是 84 0.4+86 0.6 85.2（分），
4 号选手的综合成绩是 90 0.4+90 0.6 90（分），
5 号选手的综合成绩是 84 0.4+80 0.6 81.6（分），
6 号选手的综合成绩是 80 0.4+85 0.6 83（分），
则综合成绩排序前两名人选是 4 号和 2 号．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（宿迁）下列选项中，能够反映一组数据离散程度的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2．（陕西）我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为：111、96、47、68、70、77、105，
则这七天空气质量指数的平均数是（ ）
A．71.8 B．77 C．82 D．95.7
3．（株洲）孔明同学参加暑假军事训练的射击成绩如下表：
射击次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
成绩（环） 9 8 7 9 6
则孔明射击成绩的中位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（•荆门）在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校 10 名学生参赛成绩统计如图所示．对于这 10 名
学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（ ）
A．众数是 90 B．中位数是 90 C．平均数是 90 D．极差是 15
5．（岳阳）某组 7 名同学在一学期里阅读课外书籍的册数分别是：14，12，13，12，17，18，16．则这
组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．12，13 B．12，14 C．13，14 D．13，16
6．（襄阳）七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，下表是从七年级
400 名学生中选出 10 名学生统计各自家庭一个月的节水情况：
节水量（ 3） 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数（个） 1 2 2 4 1
那么这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A．0.4 和 0.34 B．0.4 和 0.3 C．0.25 和 0.34 D．0.25 和 0.3
7．（乌鲁木齐）种植能手李大叔种植了一批新品种黄瓜，为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部
分黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到如图的条形图，则抽查的这部分黄瓜株上所结黄瓜根数的中位数和众数
分别是（ ）
A．13.5，20 B．15，5 C．13.5，14 D．13，14
8．（昭通）已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数是 9 B．中位数是 9 C．众数是 5 D．极差是 5
9．（重庆）某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了 1000 米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在
相同条件下，两人各射靶 10 次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是 99.68 环，甲的方差是 0.28，
乙的方差是 0.21，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩的稳定性相同
D．无法确定谁的成绩更稳定
10．（•贵阳）在端午节到来之前，儿童福利院对全体小朋友爱吃哪几种粽子作调查，以决定最终买哪种粽
子．下面的调查数据中最值得关注的是（ ）
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数
11．（巴中）体育课上，某班两名同学分别进行了 5 次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通
常需要比较两名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．方差 C．频数分布 D．中位数
二、填空题
12．（沈阳）一组数据 2，4， ，흐1 的平均数为 3，则 的值是 ．
13．（•柳州）学校组织“我的中国梦”演讲比赛，每位选手的最后得分为去掉一个最低分、一个最高分后的
平均数．7 位评委给小红同学的打分是：9.3，9.6，9.4，9.8，9.5，9.1，9.7，则小红同学的最后得分是 ．
14．（•株洲）某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按 60%、面试按 40%计算加权平均数，作为总成
绩．孔明笔试成绩 90 分，面试成绩 85 分，那么孔明的总成绩是 分．
15．（•资阳）若一组 2，흐1，0，2，흐1， 的众数为 2，则这组数据的平均数为 ．
16．（•内江）一组数据 3，4，6，8， 的中位数是 ，且 是满足不等式组 -3 0
5- 0
x
x
的整数，则这组数
据的平均数是 ．
17．（十堰）某次能力测试中，10 人的成绩统计如表，则这 10 人成绩的平均数为 ．
分数 5 4 3 2 1
人数 3 1 2 2 2
18．（•黔西南州）有 5 个从小到大排列的正整数，中位数是 3，唯一的众数是 8，则这 5 个数的和为 ．
19．（•崇左）据崇左市气象预报：我市 6 月份某天中午各县（区）市的气温如下：
地名 江州区 扶绥县 天等县 大新县 龙州县 宁明县 凭祥市
气温 37（℃） 33（℃） 30（℃） 31（℃） 33（℃） 36（℃） 34（℃）
则我市各县（区）市这组气温数据的极差是 ．
20．（•铁岭）甲、乙两名射击手的 50 次测试的平均成绩都是 8 环，方差分别是 S 0.4 2，S 1.2 2，则成绩
比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）
21．（•眉山）为筹备班级里的新年晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买什么水果，
该由调查数据的 决定（在横线上填写：平均数或中位数或众数）．
22．（•莆田）统计学规定：某次测量得到 个结果 1， 2，…， ．当函数 )x x2(1+)x x2(2+…+)x xn2(
取最小值时，对应 的值称为这次测量的“最佳近似值”．若某次测量得到 5 个结果 9.8，10.1，10.5，10.3，
9.8．则这次测量的“最佳近似值”为 ．
23．（龙岩）下列说法：
①对顶角相等；
②打开电视机，“正在播放《新闻联播》”是必然事件；
③若某次摸奖活动中奖的概率是 1
5
，则摸 5 次一定会中奖；
④想了解端午节期间某市场粽子的质量情况，适合的调查方式是抽样调查；
⑤若甲组数据的方差 ર2 0.01，乙组数据的方差 ર2 0.05，则乙组数据比甲组数据更稳定．
其中正确的说法是 ．（写出所有正确说法的序号）
三、解答题
24．（梧州）某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将
甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下：
候选人
百分制
教学技能考核成绩 专业知识考核成绩
甲 85 92
乙 91 85
丙 80 90
（1）如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则候选人 将被录取．
（2）如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们 6 和 4 的权．计算他们
赋权后各自的平均成绩，并说明谁将被录取．
24．解：（1）甲的平均数是：（85+92）÷2 88.5（分），
乙的平均数是：（91+85））÷2 88（分），
丙的平均数是：（80+90）÷2 85（分），
∵甲的平均成绩最高，
∴候选人甲将被录取．
故答案为：甲．
（2）根据题意得：
甲的平均成绩为：（85 6+92 4）÷10 87.8（分），
乙的平均成绩为：（91 6+85 4）÷10 88.6（分），
丙的平均成绩为：（80 6+90 4）÷10 84（分），
因为乙的平均分数最高，
所以乙将被录取．
25．（遂宁）我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出 5 名选手
组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的 5 名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
平均数
（分）
中位数
（分） 众数（分）
初中部 85
高中部 85 100
25．解：（1）填表：初中平均数为： 1
5
（75+80++85+85+100） 85（分），
众数 85（分）；高中部中位数 80（分）．
（2）初中部成绩好些．因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．
（3）∵ 2S1 1
5
（75흐85）2+（80흐85）2+（85흐85）2+（85흐85）2+（100흐85）2 70，
2S2 1
5
（70흐85）2+（100흐85）2+（100흐85）2+（75흐85）2+（80흐85）2 160．
∴ 2S1 ＜ 2S2 ，因此，初中代表队选手成绩较为稳定．
26．（•曲靖）甲、乙两名工人同时加工同一种零件，现根据两人 7 天产品中每天出现的次品数情况绘制成
如下不完整的统计图和表，依据图、表信息，解答下列问题：
相关统计量表：
量
数
人
众数 中位数 平均数 方差
甲 2 10
7
乙 1 1 1 4
7
次品数量统计表：
天
数
人
1 2 3 4 5 6 7
甲 2 2 0 3 1 2 4
乙 1 0 2 1 1 0
（1）补全图、表．
（2）判断谁出现次品的波动小．
（3）估计乙加工该种零件 30 天出现次品多少件？
26．解：（1）：从图表（2）可以看出，甲的第一天是 2，
则 2 出现了 3 次，出现的次数最多，众数是 2，
把这组数据从小到大排列为 0，1，2，2，2，3，4，最中间的数是 2，
则中位数是 2；
乙的平均数是 1，则乙的第 7 天的数量是 1 7흐1흐0흐2흐1흐1흐0 2；
填表和补图如下：
量
数
人
众数 中位数 平均数 方差
甲 2 2 2 10
7
乙 1 1 1 4
7
次品数量统计表：
天
数
人
1 2 3 4 5 6 7
甲 2 2 0 3 1 2 4
乙 1 0 2 1 1 0 2
（2）∵S 甲 2 10
7
，S 乙 2 4
7
，
∴S 甲 2＞S 乙 2，
∴乙出现次品的波动小．
（3）∵乙的平均数是 1，
∴30 天出现次品是 1 30 30（件）．
