中考数学几何一题多解获奖作品

中考数学几何一题多解获奖作品

中考几何母题的一题多解(多变) ‎ 一、三角形一题多解 如图：已知AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D。求证：FD=DE。 证法一     证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，  又EC=BF   从而EM=BF，∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故  FD=DE；  ‎ 证法二 证明：过E点作EM ∥AB交DC延长线于M点，则∠M=∠B，又因为∠ACB=∠B ∠ACB=∠ECM=∠M，所以CE=EM，  又EC=BF   从而EM=BF，∠BFD=∠DEM 则△DBF≌△DME，故  FD=DE； 证法二   证明：过F点作FM∥AE，交BD于点M， 则∠1=∠2 = ∠B   所以BF=FM， 又  ∠4=∠3  ∠5=∠E ‎ 所以△DMF≌△DCE，故 FD=DE。 ‎ 二、平行四边形一题多解 ‎ ‎ 如图4，平行四边形 ABCD中AD=2AB,E、F在直线AB上，且AE=BF=AB,求证：DF⊥CE.‎ 证法一、易知ΔADF、ΔBCE为等腰三角形，故∠1=∠F, ∠2=∠E,又CD∥AB,故∠3=∠F, ∠4=∠E,从而∠1=∠3，∠2=∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，故∠3+∠4=900，表明∠COD=900，所以DF⊥CE。‎ 证法二、如图5，连接MN，则CD=BF,且CD∥BF，故BFCD为平行四边形，则CN=BN=AB,同理,DM=MA=AB,故CN=DM且CN∥DM，得平行四边形CDMN，易见CD=DM，故CDMN也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。‎ 证法三、如图6，连接BM、AN, 可证ΔAFN中，BN=BF=BA,则ΔAFN为直角三角形，即DF⊥AN,利用中位线定理可知AN∥CE，故DF⊥CE。‎ 证法四、如图7，作DG∥CE交AE延长线于G，则EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而DF⊥DG,而DGCE,故DF⊥CE 四一题多解、多变《四边形面积》‎ 1. 如图所示，一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影都是长为c的矩形与平行四边形，则阴影部分面积是多少。‎ 解法一 ‎ 将大矩形进行平移将平行四边形 进行转换。‎ ‎(a-c)(b-c)‎ 解法二 重叠面积为c的平方，大矩形面积为ab，小矩形为ac，平行四边形为bc，阴影面积为ab-ac-bc+cc=（a-c）（b-c）‎ ‎2如图所示一个长为500dm宽为300dm的花坛要修两条过道，两条过道一样宽，花坛面积1340平方米，求过道宽。‎ 方法一：将大矩形进行平移将平行四边形进行转换。‎ 解：1500-80x=1340‎ X=2‎ 过道宽两米。‎ 方法二：‎ 解：（300-x）（500-x）=1340‎ X=2‎ 过道宽两米 五正方形一题多变 ‎ ‎ ‎1已知正方形ABCD ， EOF=90`，O是对角线交点，点E F 在BC ，CD上 ，求证 EO=FO 证明四边形ABCD是正方形 BO=CF BOC=-90 OBE=COF 又EOF=90`‎ BOE=COF △BOE≌△COF EO=FO 变式一 已知正方形ABCD ， EOF=90` ，O是对角线交点，点E F 在BC ，CD边延长线上 ，求证 EO=FO 证明四边形ABCD是正方形 BO=CF BOC=-90 OBE=COF 又EOF=90`‎ BOE=COF △BOE≌△COF EO=FO 变式二 已知正方形ABCD，O 是AC任意一点 BOF=90`点E 在BC边上 ，求证 BO=EO ‎ 过O作ON， OM AB，DC ‎ 四边形ABCD是正方形 OCM=45‎ 又 ON， OM AB，DC MO=CM=NB ONB=OMC MOE=NBO △MOE≌△NBO BO=EO 六 一题多解练习 B F D A E C 如图：已知梯形ABCD，AD∥BC,，以AB、BD为边，作平行四边形ABDE，AD的延长线交CE于F。求证：EF=FC.‎ 参考答案 证法一 ‎∵AD∥BC ‎∴将AB平移到DC 由平行四边形ABDE ‎∴AB∥=DE ‎∵DG∥=AB ‎∴DG=ED ‎∵AD∥BC, 即DF∥BC ‎∴EF=FC A E C ‎ ‎ 证法二 连接BE交AD于O ‎∵平行四边形ABDE ‎∴OB=OE ‎∵AD∥BC, 即OF∥BC 中位线 ‎∴EF=CF O B F D A E C 证法三 AD∥BC，即AF∥BC 将BD平移到CG的位置，‎ 并交AF延长线于G。‎ 可证△AEF≌△GCF ‎∴FE=FC G B F D A E C ‎ ‎