- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
中考攻略专题不等式组应用探讨含答案
【2013年中考攻略】专题6：不等式（组）应用探讨 初中数学中一元一次不等式（组）的应用是一项重要内容，也是中考中与列方程（组）解应用题二选一（或同题）的必考内容。一元一次不等式（组）的应用基本步骤为： ①审（审题）； ②找（找出题中的已知量、未知量和所涉及的基本数量关系、相等和不等关系）； ③设（设定未知数，包括直接未知数或间接未知数）； ④表（用所设的未知数的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（列不等式（组））； ⑥解（解不等式（组））； ⑦选（选取适合题意的值）； ⑧答（回答题问）。 一元一次不等式（组）的应用包括（1）根据题中关键字（图）列不等式问题；（2）分配问题；（3）生产能力问题；（4）方案选择与设计问题；（5）分段问题；（6）在函数问题中的应用问题。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。 一、根据题中关键字（图）列不等式问题：这类题一定要抓住题目中的关键文字，比如：大、小、大于、小于、至多、至少、不大于、不小于等，根据这些关键字直接列出不等式。这类问题包括行程问题、工程问题、浓度问题、销售问题、几何问题等。 典型例题： 例1. （2012湖北恩施3分）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高【 】 A．40% B．33.4% C．33.3% D．30% 【答案】B。 【考点】一元一次不等式的应用。 【分析】设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）b元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ab元，但在售出时，大樱桃只剩下（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）a（1+x）b=0.9a（1+x）b元，根据公式：利润率=（售货款－进货款）÷进货款×100%可列出不等式： [0.9a（1+x）b－ab]÷ab·100%≥20%，解得x≥。 ∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%。 故选B。 例2. （2012湖北荆州3分）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是【 】 A． B． C． D． 【答案】A。 【考点】关于x轴对称的点坐标的特征，平面直角坐标系中各象限点的特征，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。 【分析】由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：（1﹣2m，1﹣m）， 又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限， ∴，解得：，在数轴上表示为：。故选A。 例3. （2012山东淄博4分）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2012—2013赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是【 】 (A)≥48 (B)≥48 (C)≤48 (D)≥48 【答案】A。 【考点】一元一次不等式的应用。 【分析】因为假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，则负32－x场。总得分为，根据“全部32场比赛中最少得到48分”得不等式≥48。故选A。 例4. （2012四川凉山4分）某商品的售价是528元，商家出售一件这样的商品可获利润是进价的10%～20%，设进价为x元，则x的取值范围是 ▲ 。 【答案】440≤x≤480。 【考点】一元一次不等式组的应用。 【分析】根据：售价=进价×（1+利润率），可得：进价=售价1+利润率 ，商品可获利润（10%～20%），即售价至少是进价（1+10%）倍，最多是进价的1+20%倍，据此可到不等式组： 528 1+20% ≤x≤528 1+10% ， 解得440≤x≤480。 ∴x的取值范围是440≤x≤480。 例5.（2012贵州安顺4分）如图，a，b，c三种物体的质量的大小关系是 ▲ ． 【答案】a＞b＞c。 【考点】一元一次不等式的应用。 【分析】如图知2a=3b，2b＞3c。 由2a=3b得a＞b；由2b＞3c得b＞c。 ∴a＞b＞c。 例6.（2012青海西宁2分）某饮料瓶上这样的字样：Eatable Date 18 months．如果用x(单位：月)表示Eatable Date(保质期)，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为 ▲ ． 【答案】x≤18。 【考点】一元一次不等式的应用，生活中数学。 【分析】读懂题列出不等关系式即可： 一般饮料和食品应在保质期内，即不超过保质期的时间内食用，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为x≤18。 例7. （2011山东东营4分）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入．铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块妁铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)．且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是cm，若铁钉总长度为6 cm，则的取值范围是 ▲ 。 【答案】 EMBED Equation.DSMT4 。 【考点】一元一次不等式组的应用。 【分析】由题意得敲击2次后铁钉进入木块的长度是+ ，而此时还要敲击1次，所以两次敲打进去的长度要小于6，经过三次敲打后全部进入，所以三次敲打后进入的长度要大于等于6，列出不等式组，解之，得。 例8. （2012广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【 】 A． 5 B． 6 C． 11 D． 16 【答案】C。 【考点】三角形三边关系。 【分析】设此三角形第三边的长为x，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件。故选C。 例9. （2012广东珠海6分）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？ 【答案】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，由第二次每支铅笔进价为x元。 根据题意列方程得，，解得，x=4。 检验：当x=4时，分母不为0， ∴x=4是原分式方程的解。 答：第一次每支铅笔的进价为4元。 （2）设售价为y元，根据题意列不等式为： 解得，y≥6。 答：每支售价至少是6元。 【考点】分式方程和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。设第一次每支铅笔进价为x元，由第二次每支铅笔进价为x元。本题等量关系为： 第一次购进数量－第二次购进数量=30 － =30。 （2）设售价为y元，求出利润表达式，然后列不等式解答。利润表达式为： 第一次购进数量×第一次每支铅笔的利润＋第二次购进数量×第二次每支铅笔的利润 · ＋ · 。 例10. （2012浙江湖州10分）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵． （1）求乙、丙两种树每棵各多少元？ （2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？ （3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？ 【答案】解：（1）已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元， ∴乙种树每棵200元，丙种树每棵×200=300（元）。 （2）设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000－3x）棵． 根据题意：200·2x＋200x＋300（1000－3x）=210000， 解得x=30。 ∴2x=600，1000－3x=100， 答：能购买甲种树600棵，乙种树300棵，丙种树100棵。 （3）设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000－y）棵， 根据题意得：200（1000－y）＋300y≤210000＋10120， 解得：y≤201.2。 ∵y为正整数，∴y最大为201。 答：丙种树最多可以购买201棵。 【考点】一元一次方程和一元一次不等式的应用。 【分析】（1）利用已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，即可求出乙、丙两种树每棵钱数。 （2）设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000－3x）棵，利用（1）中所求树木价格以及现计划用210000元资金购买这三种树共1000棵，得出等式方程，求出即可。 （3）设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000－y）棵，根据题意列不等式，求出即可。 例11. （2012福建福州11分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分． (1) 小明考了68分，那么小明答对了多少道题？ (2) 小亮获得二等奖(70～90分)，请你算算小亮答对了几道题？ 例12. （2012湖南岳阳8分）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？ （2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？ 【答案】解：（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x﹣5）个月完成，根据题意得： ，解得：x=15。 经检验x=15是原方程的根。 当x=15时，x﹣5=10。 答：甲队需要10个月完成，乙队需要15个月完成。 （2）根据题意得：15a+9b≤141，，解得：a≤4 b≥9。 ∵a、b都是整数，∴a=2，b=12或a=4，b=9。 ∴有2种施工方案：甲队做2个月，乙队做12个月；甲队做4个月，乙队做9个月。 【考点】分式方程和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x﹣5）个月完成，根据两队合作6个月完成求得x的值即可。 （2）根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可。 例14. （2011江西省B卷9分）小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求需要用同种规格、每根长6米的钢管切割成长0.8米的钢管及长2.5米的钢管.﹙余料作废﹚ （1）现切割一根长6米的钢管，且使余料最少.问能切出长0.8米及2.5米的钢管各多少根？ （2）现需要切割出长0.8米的钢管89根，2.5米的钢管24根.你能用23根长6米的钢管完成切割吗？若能，请直接写出切割方案；若不能，请说明理由. 【答案】解：（1）若只切割1根长2.5米的钢管，则剩下3.5米长的钢管还可以切割长0.8米的钢管4根，此时还剩余料0.3米； 若切割2根长2.5米的钢管，则剩下1米长的钢管还可以切割长0.8米的钢管1根，此时还剩余料0.2米。 ∴当切割2根长2.5米的钢管、1根长0.8米的钢管时，余料最少。 （2）能。切割方案如下： 切割一根长6米的钢管，有三种切割方法： 方法1：切割7根0.8米的钢管； 方法2：切割4根0.8米的钢管，1根长2.5米的钢管； 方法3：切割1根0.8米的钢管，2根长2.5米的钢管。 因此，有12种切割方案： （1）按方法2切割22根，按方法3切割1根； （2） 按方法1切割1根，按方法2切割20根，按方法3切割2根； （3） 按方法1切割2根，按方法2切割18根，按方法3切割3根； （4）按方法1切割3根，按方法2切割16根，按方法3切割4根； （5） 按方法1切割4根，按方法2切割14根，按方法3切割5根； （6）按方法1切割5根，按方法2切割12根，按方法3切割6根； （7） 按方法1切割6根，按方法2切割10根，按方法3切割7根； （8） 按方法1切割7根，按方法2切割8根，按方法3切割8根； （9） 按方法1切割8根，按方法2切割6根，按方法3切割9根； （10）按方法1切割9根，按方法2切割4根，按方法3切割10根； （11）按方法1切割10根，按方法2切割2根，按方法3切割11根； （12）按方法1切割11根，按方法3切割12根。 【考点】三元一次方程组和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）因为两种钢管都要切，切成2.5米的有两种可能性，讨论这这两种可能性看看结果即可得到答案。 （2）设按方法1切割根，按方法2切割根，按方法3切割根，根据题意，得 。 由。 ∵为正整数，∴取1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。 ∴可得12种方案。 练习题： 1.（2011黑龙江龙东五市3分）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的 每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。则共有学生【 】 A、4人 B、5人 C、6人 D、5人或6人 2.（2011山东菏泽3分）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打 A、6折 B、7折 C、8折 D、9折 3. （2011青海省3分）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则物体A的质量m克的取值范围表示在数轴上为 【 】 A B C D 4.（2011山东临沂3分）有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210kg．毎梱材料重20kg．电梯最大负荷为1050kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载 ▲ 捆材枓． 5. （2011湖北襄阳3分）我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题．答对一题记10分，答错（或不答） 一题记﹣5分．小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对 ▲ 道题． 6.（2011宁夏自治区3分）在一次社会实践活动中，某班可筹集到的活动经费最多900元．此次活动租车需300元，每个学生活动期间所需经费15元，则参加这次活动的学生人数最多为 ▲ ． 7. （2012海南省3分）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是【 】 A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm 8. （2012浙江义乌3分）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是【 】 A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C。 【考点】三角形三边关系。 【分析】由题意，令第三边为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8。 ∵第三边长为偶数，∴第三边长是4或6。 ∴三角形的三边长可以为3、5、4或3、5、6。故选C。 9. （2012四川自贡10分）暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周（7天）不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多编2个． 求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？（答案取整数） （2）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？ 10. （2012山东菏泽7分）我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？ 11. （2012山东潍坊9分）为了援助失学儿童，初三学生李明从2012年1月份开始，每月一次将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内，准备每6个月一次将储蓄盒内存款一并汇出(汇款手续费不计)．已知2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元，5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元． (1)在李明2012年1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元? (2)为了实现到2015年6月份存款后存款总数超过1000元的目标，李明计划从2013年1月份开始，每月存款都比2012年每月存款多t元(t为整数)，求t的最小值． 12. （2012内蒙古包头10分）某商场用3600元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120 元，售价138 元；乙种商品每件进价100 元，售价120 元。 （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品。购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2 倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售。若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？ 13. （2012黑龙江哈尔滨8分）同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买3 个足球和2个篮球共需310元．购买2个足球和5个篮球共需500元． （1）购买一个足球、一个篮球各需多少元? （2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个．要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球? 14. （2011四川绵阳12分）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． （1）请用表示第三条边长； （2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出的取值范围； （3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由． 15. （2011浙江温州12分）2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题． （1）求这份快餐中所含脂肪质量； （2）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量； （3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值． 二、分配问题：这类题的特点是各种产品中所需的某种原料之和应小于等于所给的这种原料。 典型例题： 例1. （2012山东日照4分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有【 】 （A）29人 （B）30人 （C）31人 （D）32人 【答案】B。 【考点】一元一次不等式组的应用。 【分析】设这个敬老院的老人有x人，则有牛奶（4x＋28）盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式组： ， 解得：29＜x≤32。 ∵x为整数，∴x最少为30。故选B。 例2. （2012辽宁朝阳12分）为支持抗震救灾，我市A、B两地分别的赈灾物资100吨和180吨。需全部运往重灾区C、D两县，根据灾区的情况，这批赈灾物资运往C县的数量比运往D县的数量的2倍少80吨。 （1）求这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是多少吨？ （2）设A地运往C县的赈灾物资为x吨（x为整数），若要B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，且要求B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨，则A、B两地的赈灾物资运往C、D两县的方案有几种？ 例3. （2012浙江温州12分）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将件产品运往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。设安排件产品运往A地。 （1）当时， ①根据信息填表： A地 B地 C地 合计 产品件数（件） 200 运费（元） 30 ②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？ （2）若总运费为5800元，求的最小值。 【答案】解：（1）①根据信息填表 A地 B地 C地 合计 产品件数（件） 200 运费（元） 30 ②由题意，得 ，解得40≤x≤。 ∵x为整数，∴x=40或41或42。 ∴有三种方案，分别是 （i）A地40件，B地80件，C地80件； （ii）A地41件，B地77件，C地82件； （iii）A地42件，B地74件，C地84件。 （2）由题意，得30x+8（n－3x）+50x=5800，整理，得n=725－7x． ∵n－3x≥0，∴x≤72.5。 又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为整数。 ∵n随x的增大而减少，∴当x=72时，n有最小值为221。 【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）①运往B地的产品件数=总件数n－运往A地的产品件数－运往B地的产品件数；运费=相应件数×一件产品的运费。 ②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可。 （2）总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费，从而根据函数的增减性得到的x的取值求得n的最小值即可。 例4. （2012福建龙岩12分）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨； 用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题: （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案； （3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】解：（1）设1辆A型车和1辆车B型车一次分别可以运货x吨，y吨， 根据题意得出，，解得：。 答：1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货3吨，4吨。 （2）∵某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆， ∴3a+4b=31。则 ，解得： 。 ∵a为整数，∴a=1，2，…10。 又∵为整数，∴a=1，5，9。 ∴当a=1，b=7；当a=5，b=4；当a=9，b=1。 ∴满足条件的租车方案一共有3种，a=1，b=7；a=5，b=4；a=9，b=1。 （3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次， ∴当a=1，b=7，租车费用为：W=100×1+7×120=940元； 当a=5，b=4，租车费用为：W=100×5+4×120=980元； 当a=9，b=1，租车费用为：W=100×9+1×120=1020元。 ∴当租用A型车1辆，B型车7辆时，租车费最少。 答：最少租车费为940元。 【考点】二元一次方程组、不等式和一次函数的应用。 【分析】（1）根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可。 （2）由题意理解出：3a+4b=31，解其整数解的个数，即就有几种方案。 （3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，分别求出租车费用即可。 例5. （2012四川内江9分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题： （1）符合题意的搭配方案有几种？ （2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？ 造型花卉 甲 乙 A 80 40 B 50 70 【答案】解：（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60－x）个， 则有，解得37≤x≤40， ∵x为正整数，∴x=37或38或39或40。 ∴符合题意的搭配方案有4种： 第一方案：A种造型37个，B种造型23个； 第二种方案：A种造型38个，B种造型22个； 第三种方案：A种造型39个，B种造型21个． 第四种方案：A种造型40个，B种造型20个。 （2）设A、B两种园艺造型分别为x，（50－x）个时的成本为z元， 则：。 ∵－500＜0，∴成本z随着x的增大而减小。 ∴当x=40时，成本最低。最低成本为70000。 答：选择第四种方案成本最低，最低位70000元。 【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用。 【分析】（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60－x）个，根据“4200盆甲种花卉”“3090盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可。 （2）列出成本z关于A种造型个数x的函数关系式，根据一次函数的增减性求出答案。 例6. （2012四川攀枝花8分）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A．B两厂，通过了解获得A．B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t•km”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）： 厂别 运费（元/t•km） 路程（km） 需求量（t） A 0.45 200 不超过600 B a（a为常数） 150 不超过800 （1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含a的代数式表示） 【答案】解：（1）总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式为y=（90﹣150a）x+150000a， 其中200≤x≤600。 （2）当0＜a＜0.6时，90﹣150a＞0，一次函数单调递增。 ∴当x=200时，y最小=（90﹣150a）×200+150000a=120000a+18000。 此时，1000﹣x=1000﹣200=800。 当a=0.6时，y=90000，此时，不论如何，总运费是一样的。 当a＞0.6时，90﹣150a＜0，一次函数单调递减。 又∵运往A厂总吨数不超过600吨， ∴当x=600时，y最小=（90﹣150a）×600+150000a=60000a+54000。 此时，1000﹣x=1000﹣600=400。 答：当0＜a＜0.6时，运往A厂200吨，B厂800吨时，总运费最低，最低运费120000a+18000元；当a＞0.6时，运往A厂600吨，B厂400吨时，总运费最低，最低运费60000a+54000。 【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）根据总费用=运往A厂的费用+运往B厂的费用．经化简后可得出y与x的函数关系式，根据图表中给出的判定吨数的条件，算出自变量的取值范围： 若运往A厂x吨，则运往B厂为（1000﹣x）吨。 依题意得：y=200×0.45x+150×a×（1000﹣x）=90x﹣150ax+150000a，=（90﹣150a）x+150000a。 依题意得：，解得：200≤x≤600。 ∴函数关系式为y=（90﹣150a）x+150000a（200≤x≤600）。。 （2）分0＜a＜0.6 ，a=0.6，a＞0.6三种情况，根据函数的性质来求出所求的方案。 例7. （2012辽宁阜新10分）某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A、B两种共50辆货车运往外地．已知一辆A种货车的运费需0.5万元，一辆B种货车的运费需0.8万元． （1）设A种货车为x辆，运输这批货物的总运费为y万元，试写出y与x的关系表达式； （2）若一辆A种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．按此要求安排A，B两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请设计出来； （3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？ 【答案】解：（1）设A种货车为x辆，则B种货车为（50＋x）辆。 根据题意，得 ，即 。 （2）根据题意，得 ，解这个不等式组，得。 ∵x是整数，∴x可取20、21、22，即共有三种方案： A(辆） B(辆) 一 20 30 二 21 29 三 22 28 （3）由（1）可知，总运费， ∵k=－0.3＜0，∴一次函数的函数值随x的增大而减小。 ∴时，y有最小值，为（万元）。 ∴选择方案三：A种货车为22辆，B种货车为28辆，总运费最少是33.4万元。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）设A种货车为x辆，则B种货车为（50－x）辆，则表示出两种车的费用的和就是总费用，据此即可求解。 （2）仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，两种车的运载量必须不超过360吨，290吨，据此即可得到一个关于x的不等式组，再根据x是整数，即可求得x的值，从而确定运输方案。 （3）运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解。 例8. （2012山东德州10分）现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨． （1）设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表： 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） A x B （2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式 （3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【答案】解：（1）完成填表： 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） A x 14﹣x B 15﹣x x﹣1 （2）W=50x＋30（14－x）＋60（15－x）＋45（x－1）， 整理得，W=5x＋1275。 （3）∵A，B到两地运送的蔬菜为非负数， ∴，解不等式组，得：1≤x≤14。 在W=5x+1275中，W随x增大而增大， ∴当x最小为1时，W有最小值 1280元。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）根据题意A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，可得解。 （2）根据从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨可列出总费用，从而可得出答案。 （3）求出x的取值范围，利用w与x之间的函数关系式，求出函数最值即可。 例9. （2012黑龙江龙东地区10分）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区。现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资。已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 运往地 车 型 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆？ （2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费。 【答案】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18－x）辆，根据题意得 16x＋10（18－x）=228 ，解得x=8， ∴18－x=18－8=10。 答：大货车用8辆，小货车用10辆。 （2）w=720a＋800（8－a）+500（9－a）+650[10－（9－a）]=70a＋11550， ∴w=70a＋11550（0≤a≤8且为整数）。 （3）由16a＋10（9－a）≥120，解得a≥5。 又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且为整数。 ∵w=70a+11550，k=70＞0，w随a的增大而增大， ∴当a=5时，w最小，最小值为W=70×5+11550=11900。 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元。 【考点】一元一次方程和一次函数的应用 【分析】（1）设大货车用x辆，则小货车用18－x辆，根据运输228吨物资，列方程求解。 （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8－a）辆，前往甲地的小货车为（9－a）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a）]辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式。 （3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案。 练习题： 1. （2011广西百色8分）我市某县政府为了迎接“八一”建军节，加强军民共建活动，计划从花园里拿出1430盆甲种花卉和1220盆乙种花卉，搭配成A、B两种园艺造型共20个，在城区内摆放，以增加节日气氛，已知搭配A、B两种园艺造型各需甲、乙两种花卉数如表所示：（单位：盆） （1）某校某年级一班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮忙设计出来。 （2）如果搭配及摆放一个A造型需要的人力是8人次，搭配及摆放一个B造型需要的人力是11次，哪种方案使用人力的总人次数最少，请说明理由。 花 量 数 型 造 A B 甲种 80 50 乙种 40 90 2. （2011四川眉山9分）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米． （1）求运往两地的数量各是多少立方米？ （2）若A地运往D地立方米（为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？ （3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表： A地 B地 C地 运往D地（元/立方米） 22 20 20 运往E地（元/立方米） 20 22 21 在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？ 3. （2011贵州黔东南12分）在“五·一”期间，某公司组织318名员工到雷山西江千户苗寨旅游，旅行社承诺每辆车安排有一名随团导游，并为此次旅行安排8名导游，现打算同时租甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人。 （1）请帮助旅行社设计租车方案。 （2）若甲种客车租金为800元/辆，乙种客车租金为600元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？此时租金是多少？ （3）旅行前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游随团导游，为保证所租的每辆车安排有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？ 4. （2011云南昆明9分）A市有某种型号的农用车50辆，B市有40辆，现要将这些农用车全部调往C、D两县，C县需要该种农用车42辆，D县需要48辆，从A市运往C、D 两县农用车的费用分别为每辆300元和150元，从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元． （1）设从A市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若此次调运的总费用不超过16000元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用？ 5. （2011湖北黄冈、鄂州8分随州9分）今年我省干旱灾情严重，甲地急需抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有两水库决定各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米 （1）设从A水库调往甲地的水量为万吨，完成下表 （2）请设计一个调运方案，使水的调运总量尽可能小．（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨•千米） 6. （山东潍坊10分）2010年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水120吨. 有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水，两水厂到凤凰社区供水点的路程和运费如下表： 到凤凰社区的路程(千米) 运费（元/吨·千米） 甲厂 20 12 乙厂 14 15 （1）若某天总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？ （2）若每天甲厂最多可调出80吨，乙厂最多可调出90吨. 设从甲厂调运饮用水吨，总运费为W元. 试写出W关于的函数关系式，怎样安排调运方案，才能使每天的总运费最省？ 7. （2011广东深圳9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台相同型号的检测设备，全部运往大运赛场A、B两馆，其中运往A馆18台，运往B馆14台，运往A、B两馆运费如表1： （1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总运费（元）与（台）的函数关系式； （2）要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案； （3）当x为多少时，总运费最少，最少为多少元？ 8. （内蒙古乌兰察布10分）某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆，乙种花卉4盆；搭配一个B种造型需甲种花卉5盆，乙种花卉9盆． (l）某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来； (2）若搭配一个A种造型的成本是200元，搭配一个B种造型的成本是360元，试说明（1）中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？ 9. （2011四川凉山9分）我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会。现有A型、B型、C型三种汽车可供选择。已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满。根据下表信息，解答问题。 （1） 设A型汽车安排辆，B 型汽车安排辆，求与之间的函数关系式。 （2） 如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案。 （3） 为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费。 10. （2011四川达州7分）我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题： （1）设装运A种物资的车辆数为，装运B种物资的车辆数为．求与的函数关系式； （2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案； （3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费． 物资种类 A B C 每辆汽车运载量（吨） 12 10 8 每吨所需运费（元/吨） 240 320 200 三、生产能力问题： 这类题的特点是实际生产某种产品的能力应大于等于所需要生产的数量。 典型例题： 例1. （2012福建漳州10分）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营养食品，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表： 现要配制这种营养食品20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C.设购买甲种原料x千克． (1)至少需要购买甲种原料多少千克? (2)设食堂用于购买这两种原料的总费用为y元，求y与x的函数关系式．并说明购买 甲种原料多少千克时，总费用最少? 【答案】解：（1）依题意，得600x+400（20－x）≥480×20， 解得x≥8。 ∴至少需要购买甲种原料8千克。 （2）根据题意得：y=9x+5（20－x），即y=4x+100， ∵k=4＞0，∴y随x的增大而增大。 ∵x≥8，∴当x=8时，y最小。 ∴购买甲种原料8千克时，总费用最少。 【考点】一次函数的应用，一元一次不等式的应用。 【分析】（1）先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有480单位的维生素C”这一不等关系列出不等式，即可求出答案。 （2）根据表中所给的数据列出式子，再根据k的值，即可得出购买甲种原料多少千克时，总费用最少。 例2. （2012湖北十堰10分）某工厂计划生产A、B两种产品共50 件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元． （1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ （2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？ （3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费） 【答案】解：（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，则 ，解得。 答：甲材料每千克15元，乙材料每千克25元； （2）设生产A产品m件，生产B产品（50－m）件，则生产这50件产品的材料费为 15×30m＋25×10m＋15×20×（50－m）＋25×20×（50－m）=－100m＋40000， 由题意：，解得20≤m≤22。 又∵m是整数，∴m的值为20， 21，22。 ∴共有三种方案，如下表： A（件） ２０ ２１ ２２ B（件） ３０ ２９ ２８ （3）设总生产成本为W元，加工费为：200m＋300（50－m）， 则W=－100m＋40000＋200m＋300（50－m）=－200m＋55000， ∵－200＜0，∴W 随m的增大而减小。 而m=20，21，22，∴当m=22时，总成本最低，此时W=－200×22＋55000=50600（元）。 【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用。 【分析】（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各 1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元，可列出方程组，解方程组即 可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克25元； （2）设生产A产品m件，生产B产品（50－m）件，先表示出生产这50件产品的材料费，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到－100m＋40000≤38000，根据生产B产品不少于28件得到50－m≥28，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案。 （3）设总生产成本为W元，加工费为：200m＋300（50－m），根据成本=材料费+加工费得到W关于m的函数关系式，根据一次函数的性质得到W 随m的增大而减小，然后把m=22代入计算，即可得到最低成本。 例3. （2012广西贵港9分）某公司决定利用仅有的349个甲种部件和295个乙种部件组装A、B两种型号的简易板房共50套捐赠给灾区。已知组装一套A型号简易板房需要甲种部件8个和乙种部件4个，组装一套B型号简易板房需要甲种部件5个和乙种部件9个。 （1）该公司在组装A、B两种型号的简易板房时，共有多少种组装方案？ （2）若组装A、B两种型号的简易板房所需费用分别为每套200元和180元，问最少总组装费用是多少元？并写出总组装费用最少时的组装方案。 【答案】解：（1）设组装A型号简易板房x套，则组装B型号简易板房（50－x）套， 根据题意得出：，解得：31≤x≤33。 ∵x为整数，∴x=31，32，33。 ∴该公司组装A、B两种型号的简易板房时，共有3种组装方案， ①组装A型号简易板房31套，则组装B型号简易板房19套， ②组装A型号简易板房32套，则组装B型号简易板房18套， ③组装A型号简易板房33套，则组装B型号简易板房17套； （2）设总组装费用为W， 则W＝200x＋180(50－x)＝20x＋9000， ∵20＞0，∴W随x的增大而增大， 当x＝31时，W最小＝20×31＋9000＝9620（元）． 此时x＝31，50－31＝19。 答：最少总组装费用是9620元，总组装费用最少时的组装方案为：组装A型号简易板房31 套，则组装B型号简易板房19套。 【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）根据题中已知条件列出不等式组，解不等式租得出整数即可解得有3种组装方案。 （2）根据组装方案费用W关于x 的方程，解得当x＝31时，组装费用W最小为9620元。 练习题： 1. （2011湖北孝感10分）健身运动已成为时尚，某公司计划组装A、B两种型号的健身器材共40套，捐给社区健身中心.组装一套A型健身器材需甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B型健身器材需甲种部件3个和乙种部件6个.公司现有甲种部件240个，乙种部件196个. （1）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案？ （2）组装一套A型健身器材需费用20元，组装一套B型健身器材需费用18元，求总组装费用最少的组装方案，最少总组装费用是多少？（5分） 2.（2011浙江绍兴12分）筹建中的城南中学需720套单人课桌椅（如图），光明厂承担了这项生产任务．该厂生产桌子的必须5人一组．每组每天可生产12张；生产椅子的必须4人一组，每组每天可生产24把．已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务． （1）问光明厂平均毎天要生产多少套单人课桌椅？ （2）现学校筹建组要求至少提前1天完成这项生产任务．光明厂生产课桌椅的员工增加到84名，试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案． 四、方案选择与设计问题： 这类题先要根据题目要求列出代数式，然后从多方面来讨论它的范围。 典型例题： 例1. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）为庆祝“六·一”国际儿童节，龙沙区某小学组织师生共360人参加公园游园活动，有A、B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为45人、30人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有【 】 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】C。 【考点】一元一次不等式组的应用。 【分析】设租用A型号客车x辆，B型号客车y辆，则45x+30y=360，即。 ∵x，y为非负整数，∴且x为偶数，解得0≤x≤8（x为偶数）。 ∴x=0，2，4，6，8，对应的y=12，9，6，3，0。 ∴师生一次性全部到达公园的租车方案有5种。故选C。 例3. （2012湖南张家界8分）某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A．B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张50 元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票．某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算？ 【答案】解：设某游客一年中进入该公园x次，依题意得不等式组： ， 解①得：x＞10， 解②得：x＞25。 ∴不等数组的解集是：x＞25。 ∴某游客一年进入该公园超过25次时，购买A类年票合算。 【考点】一元一次不等式组的应用。 【分析】由于购买A年票首先要花100元，以后就不用再花钱了，那么可让另外两种购票方式所花的费用分别大于100，可得出不等式组，求解后即判断除至少超过多少次，购买A才合算。 例4. （2012四川广安8分）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元． （1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？ （2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？ （3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？ 【答案】解：（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得： ，解得：。 答：购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元。 （2）设购买购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得： ，解得：。 ∵a为整数，∴a=99，100，101，则电脑依次买：297，296，295。 ∴该校有三种购买方案： 方案一：购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块； 方案二：购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块； 方案三：购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块。 （3）设购买笔记本电脑数为z台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元， 则W=4000z+15000（396﹣z）=﹣11000z+5940000， ∵W随z的增大而减小，∴当z=297时，W有最小值=2673000（元） ∴当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时，最省钱，共需费用2673000元。 【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得等量关系：①买1块电子白板的钱=买3台笔记本电脑的钱+3000元，②购买4块电子白板的费用+5台笔记本电脑的费用=80000元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案。 （2）设购买购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得不等关系：①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000元，根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可。 （3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与电子白板数，再算出总费用。 例5. （2012四川资阳8分）为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进） （1）(3分)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？ （2）(5分)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案． 【答案】（1）设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元，得 ，解得。 ∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元。 （2）设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳20m套，由题意有 1600≤80000－120×20m－200×m≤24000， 解得，。 ∵m为整数，∴m=22、23、24，有三种购买方案： 方案一 方案二 方案三 课桌凳（套） 440 460 480 办公桌椅（套） 22 23 24 【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）根据一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元以及用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅，得出等式方程求出即可。 （2）利用购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元，得出不等式组求出即可。 例6. （2012四川南充8分）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客车，若租用1辆大车2辆小车供需租车费1000元；若若租用2辆大车1辆小车供需租车费1100元. （1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？ （2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案。 例7. （2012广西河池10分）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆. (1)若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？ (2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案. 【答案】解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x，则 125（1+x）2=180，解得x1=0.2=25%，x2=－2.2（不合题意，舍去）。 ∴180（1+20%）=216（辆）。 答：该小区到2012年底家庭电动自行车将达到216辆。 （2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，则 ， 由①得b=150－5a，代入②得20≤a≤ ∵a是正整数，∴a=20或21。 当a=20时b=50；当a=21时b=45。 ∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个； 方案二：室内车位21个，露天车位45个。 【考点】一元二次方程和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）设年平均增长率是x，根据某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆，可求出增长率，进而可求出到2012年底家庭电动车将达到多少辆。 （2）设建x个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的3倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况。 例8. （2012黑龙江绥化10分）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某市计划对A、B两类学校的校舍进行改造，根据预算，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元． （1）改造一所A类学校的校舍和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？ （2）该市某县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所？ 【答案】解：（1）设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元， 则 ，解得 。 答：改造一所A类学校和一所B类学校的校舍分别需资金90万元，130万元。 （2）设A类学校应该有a所，则B类学校有（8－a）所． 则 ，解得 。∴1≤a≤3，即a=1，2，3。 ∴共有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所。 【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解。本题等量关系为： 改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元； 改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元。 （2）不等式（组）的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式（组）求解。本题不等量关系为： 地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210； 国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770。 例9. （2012广东深圳8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种 生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示： （1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？ （2）在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000 元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？ 【答案】解：（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台， 根据题意得： ， 解得：8≤x≤10。 ∵x是整数，从8到10共有3个正整数，∴有3种进货方案： 方案一：购进电视机8台，洗衣机是8台，空调是24台； 方案二：购进电视机9台，洗衣机是9台，空调是22台； 方案三：购进电视机10台，洗衣机是10台，空调是20台； （2）三种电器在活动期间全部售出的金额y=5500x+2160x+2700（40－2x）， 即y=2260x+10800。 ∵y=2260x+10800是单调递增函数，∴当x最大时，y的值最大。 ∵x的最大值是10，∴y的最大值是：2260×10+10800=33400（元）。 ∵现金每购1000元送50元家电消费券一张， ∴33400元，可以送33张家电消费券。 【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。 【分析】（1）设购进电视机x台，则洗衣机是x台，空调是（40－2x）台，根据空调的数量不超过电视机的数量的3倍，且x以及40－2x都是非负整数，即可确定x的范围，从而确定进货方案。 （2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成x的函数，根据函数的性质，即可确定y的最大值，从而确定购物卷的张数。 例10. （2012辽宁鞍山12分）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元． （1）求两人学习桌和三人学习桌的单价； （2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案． 【答案】解：（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元， 根据题意得：，解得。 答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元。 （2）设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元， 则W与x的函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860； 根据题意得：，解得43≤x≤46。 ∵x为整数，∴x=43，44，45，46。 ∴所有购买方案为：购买两人桌43张，购买三人桌58张； 购买两人桌44张，购买三人桌54张； 购买两人桌45张，购买三人桌53张； 购买两人桌46张，购买三人桌52张。 【考点】二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用 【分析】（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元分别得出等式方程，组成方程组求出即可。 （2）根据购买两种学习桌共98张，设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，根据以至少满足248名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过6000元得出不等式，进而求出即可。 练习题： 1. （2012辽宁铁岭12分）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品.小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元. （1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？ （2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24 名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？ 2. （2012贵州铜仁12分）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 3. （2012广西北海8分）某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：5。 （1）求出该班男生与女生的人数； （2）学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上。请问男、女生人数有几种选择方案？ 4. （2012黑龙江牡丹江10分）某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题： （1）求出足球和篮球的单价； （2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？ 5. （2012辽宁本溪12分）某商店购进甲、乙两种型号的滑板车，共花费13000元，所购进甲型车的数量不少于乙型车数量的二倍，但不超过乙型车数量的三倍。现已知甲型车每辆进价200元，乙型车每辆进价400元，设商店购进乙型车x辆。 （1）商店有哪几种购车方案？ （2）若商店将购进的甲、乙两种型号的滑板车全部售出，并且销售甲型车每辆获得利润70元，销售乙型车每辆获得利润50元，写出此商店销售这两种滑板车所获得的总利润y（元）与购进乙型车的辆数x（辆）之间的函数关系式？并求出商店购进乙型车多少辆时所获得的利润最大？ 6. （2012贵州黔西南14分）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润。 7. （2012河南省10分）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，，且购买4套A型和6套B型课桌凳共需1820元。 （1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？ （2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？ 8. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价l80元，售价320元；乙种服装每件进价l50元，售价280元． (1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件? (2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元， 且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案? (3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(0查看更多