中考数学专题复习圆

中考数学专题复习圆

‎ 圆综合复习 教学目标】‎ ‎1、回顾、思考本章所学的知识及思想方法，并能用自己的方式进行梳理，使所学知识系统化 ‎2、进一步丰富对圆及相关结论的认识，并能有条理地、清晰地阐明自己的观点 ‎3、通过复习课的教学，感受归纳的思想方法，养成反思的习惯 ‎【重点难点】‎ 圆的有关概念和性质的应用 ‎【课堂活动】‎ 一、圆的有关概念和性质 二知识点详解 ‎（一）、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；‎ ‎ 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；‎ ‎ 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：‎ ‎1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；‎ ‎（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；‎ ‎ 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；‎ ‎ 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；‎ ‎ 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。‎ ‎（二）、点与圆的位置关系 ‎1、点在圆内 点在圆内；‎ ‎2、点在圆上 点在圆上；‎ ‎3、点在圆外 点在圆外；‎ ‎（三）、直线与圆的位置关系 ‎1、直线与圆相离 无交点；‎ ‎2、直线与圆相切 有一个交点；‎ ‎3、直线与圆相交 有两个交点；‎ ‎（四）、圆与圆的位置关系 外离（图1） 无交点 ；‎ 外切（图2） 有一个交点 ；‎ 相交（图3） 有两个交点 ；‎ 内切（图4） 有一个交点 ；‎ 内含（图5） 无交点 ；‎ ‎ ‎ ‎（五）、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。‎ 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；‎ ‎ （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；‎ ‎ （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 ‎ 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：‎ ‎ ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2个条件推出其他3个结论。‎ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。‎ ‎ 即：在⊙中，∵∥‎ ‎ ∴弧弧 ‎（六）、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，‎ 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，‎ 即：①；②；‎ ‎③；④ 弧弧 ‎（七）、圆周角定理 ‎1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。‎ 即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ‎ ∴‎ ‎2、圆周角定理的推论：‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；‎ 即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ‎ ∴‎ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。‎ 即：在⊙中，∵是直径 或∵‎ ‎ ∴ ∴是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。‎ 即：在△中，∵‎ ‎ ∴△是直角三角形或 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。‎ ‎（八）、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。‎ ‎ 即：在⊙中，‎ ‎ ∵四边形是内接四边形 ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎（九）、切线的性质与判定定理 ‎（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；‎ ‎ 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 ‎ 即：∵且过半径外端 ‎ ∴是⊙的切线 ‎（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）‎ ‎ 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。‎ ‎ 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。‎ 以上三个定理及推论也称二推一定理：‎ 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。‎ 三例题讲析 例1 如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（ ）‎ A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2=d2+（）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．答案C 例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是( )‎ A、60° B、45° C、30° D、15°‎ 解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A 例3 如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，‎ 则∠BOC=（ ）‎ A．130° B．100° C．50° D．65°‎ 解题思路：此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A 例4 如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）．‎ A．5 cm B．2.5cm C．3cm D．4cm 解题思路：直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案 B ‎ 例6、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．‎ ‎（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．‎ ‎（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ (1) (2)‎ ‎ 解题思路：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．‎ ‎ 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．‎ ‎ 解：（1）AB=CD ‎ 理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ‎ ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF ‎ 连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE ‎ 根据垂径定理可得：AB=CD ‎ （2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F ‎ ∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°‎ ‎ ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF ‎ 连接OA、OB、OC、OD ‎ 易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ‎ ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD 例7．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？‎ ‎ 解题思路：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．‎ ‎ 解：BD=CD ‎ 理由是：如图24－30，连接AD ‎ ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90°即AD⊥BC ‎ 又∵AC=AB ∴BD=CD 例8．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．‎ ‎（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．‎ ‎（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．‎ ‎ 解题思路：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．‎ ‎ 由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10‎ ‎ 解：（1）CD与⊙O相切 ‎ 理由：①C点在⊙O上（已知）‎ ‎ ②∵AB是直径 ‎ ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°‎ ‎ ∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A ‎ ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90°‎ ‎ 综上：CD是⊙O的切线．‎ ‎ （2）在Rt△OCD中，∠D=30°‎ ‎ ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30°‎ ‎ ∴BC=BD=10‎ ‎ ∴AB=20，∴r=10‎ ‎ 答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．‎ 四【课堂练习】‎ ‎1、⊙O的半径为6㎝，OA、OB、OC的长分别为5㎝、6㎝、7㎝，‎ 则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在⊙O_____，点B在⊙O_______，点C在⊙O______。‎ ‎2、如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB=____，∠OAB=_____。‎ ‎3、如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于 点 C，‎ 则OD=_______，CD=_______。‎ ‎4、 如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB⊥AC，且AB=8，AC=6，则⊙O的半径等于_______。‎ ‎（第 2题） （第 3题） （第 4题） （第 6题）‎ ‎5、已知两圆的圆心距为3，半径分别为1和 2，则两圆的位置关系为____________________．‎ ‎6、如图，半径为2的两个等圆⊙ ，⊙ 外切于点A， C切⊙ 于点C，弦BC∥ ，连结AB、AC，则图中阴影部分的面积等于_________ ‎ ‎7、 如图，已知点A、B、C在⊙O上，∠COA＝100°，则∠CBA的度数是（ ） ‎ ‎ A.40° B.50° C.80° D.100°‎ ‎8、如图，AB是⊙O的弦，圆心O到AB的距离OD＝1，若AB＝4，则该圆的半径是（ ）‎ ‎ A. B.2 C. D.3‎ ‎9、 如图，D为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E，连接BE、CE，则图中相似三角形共有（ ）‎ A. 8对 B. 6对 C. 4对 D. 2对 ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎10、如图，AB、AC是⊙O的弦，直径AD平分∠BAC，给出下列结论：①AB=AC； ‎ ‎②AB=AC；③AD⊥BC；④AB⊥AC。其中正确结论的个数有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎（第7题） （第 8题） （第 9题） （第 10题）‎ ‎【课后作业】‎ ‎1、如图，为的直径，为的弦，，则__________．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第1题 第2题 第3题 第4题 ‎2、如图，点在以为直径的上，且平分，若，则的长为 ．‎ ‎3、如图所示，、、、是圆上的点，则__________‎ ‎4、如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________．‎ ‎5、已知圆锥的侧面展开图的图心角是72°，它的侧面积为10πcm2，则该圆锥的全面积 是 cm2.‎ ‎6、如图1，AF、AE、CB都是⊙O的切线，AF=4，则ΔABC的周长是 。‎ ‎7、圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，‎ 从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是 A、 B、　　C、 D、3‎ B A M O ‎·‎ 第8题图 ‎ ‎8、如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（ ）‎ ‎ A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5‎ ‎9、如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，‎ BD交CE于点F．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎★（2）若，⊙O的半径为3，求BC的长． ‎