中考数学专题复习相似模型讲义及答案

中考数学专题复习相似模型讲义及答案

相似模型（一）（讲义）‎ Ø 课前预习 1. 请证明以下结论：‎ ‎①如图 1，在△ABC 中，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC．‎ ‎②如图 2，在△ABC 中，∠B=∠AED，求证：△AED∽△ABC．‎ ‎③如图 3，在△ABC 中，∠B=∠ACD，求证：△ACD∽△ABC．‎ ‎④如图 4，直线 AB，CD 相交于点 O，连接 AC，BD，且 AC∥BD，求证：△AOC∽△BOD．‎ ‎⑤如图 5，直线 AB，CD 相交于点 O，连接 AC，BD，∠B=‎ ‎∠C，求证：△AOC∽△DOB．‎ ‎⑥如图 6，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D， 求证：△ADB∽△CDA，△ADB∽△CAB．‎ D D E A A A D E B C B ‎C B C 图 1 图 2 图 3‎ O C B O D B A A C A ‎D B D C 图 4 图 5 图 6‎ Ø 知识点睛 1. 六种相似基本模型：‎ D D D E A A A E B C B C B C DE∥BC ∠B=∠AED ∠B=∠ACD A 型 当两个三角形相似且有公共边时， 借助对应边成比例往往可以得到 a2=bc 形式的关系． 例如：“母子型”中 ‎△ABD∽△CBA→AB2=BC·BD ‎△ACD∽△BCA→ ‎ ‎△ADB∽△CDA→ ‎ D B C A B O O A C A D B D C AC∥BD ‎∠B=∠C ‎AD 是 Rt△ABC 斜边上的高 X 型 母子型 2. 相似、角相等、比例线段间的关系：‎ 判定 角相等比例线段 ‎相似 性质 ‎角相等比例线段 ‎‎ 列方程（或表达边） 比的传递转移 相似往往与 等信息组合搭配起来使用．多个相似之间一般会通过 来转移条件．一般碰到不熟悉的线段间关系时，常需要还原成 来观察和分析．‎ 3. 影子上墙：‎ ‎ 、 、 是影子上墙时的三种常见处理方式，它们的实质是构造三角形相似．‎ D A G E F B C G D D D H H G G E F H E F E F ‎△DEH∽△ABC △DHG∽△ABC △HEF∽△ABC Ø 精讲精练 1. 如图，在△ABC 中，EF∥DC，∠AFE=∠B，AE=6，ED=3，‎ AF=8，则 AC=‎ E D F A ‎， CD = ．‎ BC A B E F C D B C 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，AB∥CD，线段 BC，AD 相交于点 F，点 E 是线段 AF 上一点且满足∠BEF=∠C，其中 AF=6，DF=3，CF=2，则AE= ．‎ 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，BD=2，‎ AD=8，则 CD= ，AC= ，BC= ．‎ D E G A C B C A D B F 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为 2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点 A 旋转，AF，‎ AG 与边 BC 的交点分别为 D，E（点 D 不与点 B 重合，点 E 不与点 C 重合）．‎ ‎①请写出图中所有的相似三角形 ；‎ ‎②若 BD = 1 ，则 CE= .‎ ‎2‎ 1. 如图，M 为线段 AB 上一点，AE 与 BD 交于点 C，∠DME=‎ ‎∠A=∠B=α，且 DM 交 AE 于点 F，ME 交 BD 于点 G．‎ ‎（1）写出图中的三对相似三角形；‎ ‎（2）连接 FG，当 AM=MB 时，求证：△MFG∽△BMG．‎ F G C D A M B E 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 AD 的中点，连接 BE 交 AC 于点 F，连接 FD．若∠BFA=90°，‎ 给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD；②△FED 与△DEB；‎ ‎③△CFD 与△ABO．其中相似的有 （填写序号）．‎ ‎A E D F O B C 3. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CE⊥AB 于点 E，D 在 AB ‎4 5‎ ‎5‎ 的延长线上，且∠DCB=∠A，BD:CD=1:2， AE = ，则 ‎△BCD 的面积是（ ）‎ A． 1‎ ‎3‎ ‎B． 5‎ ‎3‎ ‎C． 2‎ ‎3‎ ‎D． 2 5‎ ‎3‎ C A E B D 1. 如图，在 Rt△ABD 中，过点 D 作 CD⊥BD，垂足为 D，连接 BC 交AD 于点E，过点E 作EF⊥BD 于点F，若AB=15，CD=10，则 BF:FD= ．‎ E A A N M C D B F D ‎B E C 第 8 题图 第 9 题图 2. 如图，在□ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE，AC，分别交 BD 于 M，N，则 BM:DN= ．‎ ‎10. 如图，直线 l1∥l2，若 AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，则CE:AE= ．‎ A G D ‎ F ‎ E G A l1‎ F E ‎ l2‎ B C D B C 第 10 题图 第 11 题图 11. 如图，在□ABCD 中，E 是 BA 延长线上一点，CE 分别与 AD，‎ BD 交于点 G，F．则下列结论：① EG = AG ；② EF = BF ；‎ GC GD ‎③ FC = BF ；④ CF 2 = GF × EF ．其中正确的是 GF FD ‎FC FD ‎．‎ 12. 如图所示，AB∥CD，AD，BC 交于点 E，过 E 作 EF∥AB 交 BD 于点 F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；② EF ‎= BF ；‎ ‎③ EF + EF = FD + BF ‎CD BD = 1 ；④ 1 + 1 = 1 ．其中正确的 AB CD BD BD 有 ．‎ ‎AB CD EF A E C B F D 11. 如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，正方形 EFGH 的四个 顶点都在△ABC 的边上．求证： 1 + 1 = 1 ．‎ AB CD EF C E F A H D G B 12. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），这部分影长为 1.2 米，落在地面上的影长为 2.4 米，则树高为 ．‎ A D B C 第 14 题图 第 15 题图 13. 小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上， 量得 CD=8 米，BC=20 米，CD 与地面成 30°角，且此时测得 ‎1 米杆的影长为 2 米，则电线杆的高度为（ ）‎ A．9 米 B．28 米 C． (7 + 3) 米 D． (14 + 2 3) 米 11. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔 AB，B 是 CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影 DE 留在坡面上．若铁塔底座宽 CD=12 m，塔影长 DE=18 m，小明和小华的身高都是 ‎1.6 m，同一时刻小明站在点 E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2 m 和 1 m， 则塔高 AB 为（ ）‎ A．24 m B．22 m C．20 m D．18 m A C B D E ‎【参考答案】‎ Ø 课前预习 1. 证明略；‎ Ø 知识点睛 2. 角相等、比例线段，比例的传递与整合，比例形式 3. 推墙法、抬高地面法、砍树法框内答案 框 1： AC 2 = BC × CD ； AD2 = CD × DB ．‎ Ø 精讲精练 ‎1. 12， 3‎ ‎4‎ ‎2. 10‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3. 4， 4 5 ， 2‎ 4. ‎①△ABE∽△DAE；△DAC∽△DEA；△ABE∽△DCA；△ABC ‎≌△GAF．‎ ‎② 2 ．‎ ‎3‎ 5. ‎（1）△AMF∽△BGM；△AME∽△MFE；△BMD∽△MGD；‎ ‎（2）证明略．‎ ‎6. ①②③‎ ‎7. A ‎8. 3:2‎ ‎9. 2:3‎ ‎10. 1:2‎ ‎11. ①②③④‎ ‎12. ①②③④‎ ‎13. 证明略 ‎14. 4.2 米 15. D 16. A 相似模型（一）（习题）‎ Ø 例题示范 例 1：如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 ‎9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度．‎ D A B C 解：如图，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E，则四边形 BCDE 为 D E 矩形． A 由题意，BC=9.6，CD=2，‎ ‎∴BC=DE=9.6，CD=BE=2‎ 由题意，‎ AE = ED ‎1‎ ‎1.2‎ ‎∴AE=8 B C ‎∴AB=AE+EB=8+2=10‎ ‎∴旗杆的高度为 10 m．‎ Ø 巩固练习 1. 如图，在锐角三角形 ABC 中，高 CD，BE 相交于点 H，则图中与△CEH 相似（除△CEH 自身外）的三角形有（ ）‎ A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 A E F B A D D E H C B C 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，E 是□ABCD 的边 CD 上一点，连接 AC，BE 交于点 F． 若 ‎ DE:EC=1:2，则 BF:EF= ．‎ 1. 1. 如图，小明在 A 时刻测得某树 B时 A时的影长为 2 m，B 时刻又测得 该树的影长为 8 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．‎ 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D，若 BD:CD=3:2，则 AC:AB=（ ）‎ A． 3‎ ‎2‎ ‎B． 2‎ ‎3‎ A ‎C． 6‎ ‎2‎ ‎D． 6‎ ‎3‎ G A F D E C B D C B 第 4 题图 第 5 题图 3. 如图，已知□ABCD，过点 B 的直线依次与 AC，AD 及 CD 的延长线相交于点 E，F，G．若 BE=5，EF=2，则 FG 的长为 ‎ ．‎ 4. 如图，梯形 ABCD 的中位线 EF 分别交对角线 BD，AC 于点 M，N，AD=1，BC=3，则 EF= ，MN= ．‎ E M N F A F G D A D B C E B C 第 6 题图 第 7 题图 5. 如图，D 是 AB 的中点，AF∥CE，若 CG:GA=3:1，BC=8，‎ 则 AF= ． ‎ 6. 如图，P 是□ABCD 的对角线 BD 上一点，一直线过点 P 分别 交 BA，BC 的延长线于点 Q，S，交 AD，CD 于点 R，T． 有下列结论：①△RQA∽△RTD；② PS × PD = PR × PB ；‎ ‎③ PQ = PB ；④ PQ × PR = PS × PT .其中正确的是 .‎ PT PD ‎ ‎9.如图，在△ABC 中，D 为 AC 边的中点，AE∥BC，ED 交 AB 于点 G，交 BC 的延长线于点 F．若 BG:GA=3:1，BC=10， 则 AE= ．‎ E G A D C B ‎ ‎10.‎ ‎11.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为 D，E 是 AC 上的点，若 AF⊥BE，垂足为 F．求证：∠BFD=∠C．‎ A E F B D C ‎12.如图，一同学在某时刻测得 1 m 长的标杆竖直放置时影子长为 1.6 m，同一时刻测量旗杆的影子长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为 11.2 m，留在墙上的影子高为 1 m，则旗杆的高度是 ．‎ A D B C 第 11 题图 第 12 题图 ‎13.如图，小明想测量电线杆 AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，量得 CD=4 m，BC=10 m，‎ CD 与地面成 30°角，且此时测得 1 m 杆的影子长为 2 m，则电线杆的高度为 ．‎ ‎14.如图，在斜坡的顶部有一竖直铁塔 AB，B 是 CD 的中点，且 CD 是水平的．在阳光的照射下，塔影 DE 留在坡面上，已知铁塔底座宽 CD=14 m，塔影长 DE=36 m，小明和小华的身高都是 1.6 m，小明站在点 E 处，影子也在斜坡面上，小华站在沿 DE 方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为 4 m， 2 m，那么塔高 AB= ．‎ C B D E A ‎ ‎ 第 13 题图 第 14 题图 ‎15.某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为 1 m 的竹竿的影长为 0.4 m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为 0.2 m，一级台阶高为 0.3 m，如图所示，若此时落在地面上的影长为 4.4 m，则树高为 ．‎ 1. Ø 思考小结 1. 相似基本模型除了图形本身往往有公共角、对顶角相等之外， 还需要满足一些其他特征，这些特征能够帮助我们快速验证模型．‎ ‎①平行线，往往配合对顶角相等（X 型）、有公共角（A 型）‎ ‎②一组角对应相等，往往配合对顶角相等（X 型）、有公共角 ‎（A 型）‎ ‎③多直角结构，往往利用互余关系得到角相等后，配合有公共角（母子型）‎ 2. 影子上墙问题的常见处理方法：推墙法、砍树法、抬高地面法，这三种方法的实质都是构造三角形相似，在构造的时候， 我们主要是想办法构造出来太阳光线与地面的夹角．‎ 3. ‎【参考答案】‎ Ø 巩固练习 ‎1. C ‎2. 3:2‎ 1. ‎4 m 2. D ‎5. 21‎ ‎2‎ ‎6. 2，1‎ ‎7. 4‎ ‎8. ①②③④‎ ‎9.5‎ ‎10.证明略 ‎11.证明略 ‎12.8 m ‎13. (7 + ‎14. 20 m ‎3) m ‎15. 11.8 m