中考数学复习动点问题中考真题

中考数学复习动点问题中考真题

‎2010中考数学热点专题突破训练――动点问题 ‎ ‎1、（09包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．‎ ‎（1）如果点P在线段BC上以‎3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．‎ ‎①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；‎ ‎②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？‎ ‎（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？‎ A Q C D B P 解：（1）①∵秒，‎ ‎∴厘米，‎ ‎∵厘米，点为的中点，‎ ‎∴厘米．‎ 又∵厘米，‎ ‎∴厘米，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴． （4分）‎ ‎②∵， ∴，‎ 又∵，，则，‎ ‎∴点，点运动的时间秒，‎ ‎∴厘米/秒． （7分）‎ ‎（2）设经过秒后点与点第一次相遇，‎ 由题意，得，‎ 解得秒．‎ ‎∴点共运动了厘米．‎ ‎∵，‎ ‎∴点、点在边上相遇，‎ ‎∴经过秒点与点第一次在边上相遇． （12分）‎ ‎2、（09齐齐哈尔）直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．‎ ‎（1）直接写出两点的坐标；‎ ‎（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；‎ x A O Q P B y ‎（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．‎ 解（1）A（8，0）B（0，6） 1分 ‎（2）‎ 点由到的时间是（秒）‎ 点的速度是（单位/秒） 1分 当在线段上运动（或0）时，‎ ‎ 1分 当在线段上运动（或）时，,‎ 如图，作于点，由，得， 1分 ‎ 1分 ‎（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）‎ ‎（3） 1分 ‎ 3分 ‎3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.‎ ‎（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：（1）⊙P与x轴相切.‎ ‎ ∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），‎ 与y轴交于B（0，－8），‎ ‎∴OA=4，OB=8.‎ 由题意，OP=－k，‎ ‎∴PB=PA=8+k.‎ 在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，‎ ‎∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，‎ ‎∴⊙P与x轴相切.‎ ‎（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.‎ ‎∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，PD=3，‎ ‎ ∴PE=.‎ ‎∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE，‎ ‎∴△AOB∽△PEB，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－－8)，‎ ‎∴k=－－8，‎ ‎∴当k=－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.‎ ‎4（09哈尔滨） 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），‎ 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．‎ ‎ （1）求直线AC的解析式；‎ ‎ （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．‎ ‎ ‎ 解： ‎ ‎5（09河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；‎ A C B P Q E D 图16‎ ‎（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）‎ ‎（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；‎ ‎（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ‎ 解：（1）1，； ‎ ‎（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴．‎ 由△AQF∽△ABC，， ‎ 得．∴． ‎ A C B P Q E D 图4‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎（3）能．‎ ‎ ①当DE∥QB时，如图4．‎ ‎ ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．‎ A C B P Q E D 图5‎ A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图6‎ G A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图7‎ G ‎ 此时∠AQP=90°．‎ 由△APQ ∽△ABC，得，‎ 即． 解得． ‎ ‎②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．‎ 此时∠APQ =90°．‎ 由△AQP ∽△ABC，得 ，‎ 即． 解得． ‎ ‎（4）或．‎ ‎①点P由C向A运动，DE经过点C．‎ 连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．‎ ‎，．‎ 由，得，解得．‎ ‎②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．‎ ‎，】‎ ‎6（09河南））如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．‎ ‎（1）①当 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为 ；‎ ‎②当 度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ；‎ ‎（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．‎ O E C B D A l O C B A ‎（备用图）‎ 解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分 ‎ （2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.‎ ‎ ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.‎ ‎ ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………6分 ‎ 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,‎ ‎∴∠A=300.‎ ‎∴AB=4,AC=2.‎ ‎∴AO== . ……………………8分 在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.‎ ‎∴BD=2.‎ ‎∴BD=BC.‎ 又∵四边形EDBC是平行四边形，‎ ‎∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分 A D C B M N ‎7（09济南）如图，在梯形中，‎ 动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．‎ ‎（1）求的长．‎ ‎（2）当时，求的值．‎ ‎（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．‎ 解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形 ‎∴ 1分 在中，‎ ‎ 2分 在中，由勾股定理得，‎ ‎∴ 3分 ‎（图①）‎ A D C B K H ‎（图②）‎ A D C B G M N ‎（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ 4分 由题意知，当、运动到秒时，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又 ‎∴‎ ‎∴ 5分 即 解得， 6分 ‎（3）分三种情况讨论：‎ ‎①当时，如图③，即 ‎∴ 7分 A D C B M N ‎（图③）‎ ‎（图④）‎ A D C B M N H E ‎②当时，如图④，过作于 解法一：‎ 由等腰三角形三线合一性质得 在中，‎ 又在中，‎ ‎∴‎ 解得 8分 解法二：‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 ‎∴ 8分 ‎③当时，如图⑤，过作于点.‎ 解法一：（方法同②中解法一）‎ ‎（图⑤）‎ A D C B H N M F 解得 解法二：‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 ‎∴‎ 综上所述，当、或时，为等腰三角形 9分 ‎8（09江西）如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.‎ ‎（1）求点到的距离；‎ ‎（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.‎ ‎①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；‎ ‎②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.‎ A D E B F C 图4（备用）‎ A D E B F C 图5（备用）‎ A D E B F C 图1‎ 图2‎ A D E B F C P N M 图3‎ A D E B F C P N M ‎（第25题）‎ 解（1）如图1，过点作于点 1分 图1‎ A D E B F C G ‎∵为的中点，‎ ‎∴‎ 在中，∴ 2分 ‎∴‎ 即点到的距离为 3分 ‎（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．‎ ‎∵∴‎ ‎∵∴，‎ 同理 4分 如图2，过点作于，∵‎ 图2‎ A D E B F C P N M G H ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 则 在中，‎ ‎∴的周长= 6分 ‎②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．‎ 当时，如图3，作于，则 类似①，‎ ‎∴ 7分 ‎∵是等边三角形，∴‎ 此时， 8分 图3‎ A D E B F C P N M 图4‎ A D E B F C P M N 图5‎ A D E B F（P）‎ C M N G G R G ‎ 当 时，如图4，这时 此时，‎ 当时，如图5，‎ 则又 ‎∴‎ 因此点与重合，为直角三角形．‎ ‎∴‎ 此时，‎ 综上所述，当或4或时，为等腰三角形． 10分 ‎9（09兰州）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， ‎ 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动， ‎ 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， ‎ 设运动的时间为t秒．‎ ‎(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；‎ ‎(2)求正方形边长及顶点C的坐标；‎ ‎(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；‎ ‎(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．‎ 解：（1）（1，0） 1分 ‎ 点P运动速度每秒钟1个单位长度． 2分 ‎（2） 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．‎ ‎ ∴．‎ ‎ 在Rt△AFB中， 3分 ‎ 过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．‎ ‎∵ ∴△ABF≌△BCH． ‎ ‎ ∴． ‎ ‎∴．‎ ‎∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分 ‎（3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，‎ 则△APM∽△ABF．‎ ‎ ∴． ． ‎ ‎ ∴． ∴．‎ 设△OPQ的面积为（平方单位）‎ ‎∴（0≤≤10） 5分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分．‎ ‎ ∵<0 ∴当时， △OPQ的面积最大． 6分 ‎ 此时P的坐标为（，） ． 7分 ‎（4） 当 或时， OP与PQ相等． 9分 ‎10（09临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．‎ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．‎ 在此基础上，同学们作了进一步的研究：‎ ‎（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；‎ ‎ （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．‎ A D F C G E B 图1‎ A D F C G E B 图2‎ A D F C G E B 图3‎ 解：（1）正确． （1分）‎ A D F C G E B M 证明：在上取一点，使，连接． （2分）‎ ‎．，．‎ 是外角平分线，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎（ASA）． （5分）‎ ‎． （6分）‎ ‎（2）正确． （7分）‎ 证明：在的延长线上取一点．‎ A D F C G E B N 使，连接． （8分）‎ ‎．‎ ‎．‎ 四边形是正方形，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎（ASA）． （10分）‎ ‎． （11分）‎ ‎11（09天津）已知一个直角三角形纸片，其中．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点．‎ x y B O A ‎（Ⅰ）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；‎ x y B O A ‎（Ⅱ）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标． ‎ x y B O A 解（Ⅰ）如图①，折叠后点与点重合，‎ 则.‎ 设点的坐标为.‎ 则.‎ 于是.‎ 在中，由勾股定理，得，‎ 即，解得.‎ 点的坐标为. 4分 ‎（Ⅱ）如图②，折叠后点落在边上的点为,‎ 则.‎ 由题设，‎ 则，‎ 在中，由勾股定理，得.‎ ‎，‎ 即 6分 由点在边上，有，‎ ‎ 解析式为所求.‎ ‎ 当时，随的增大而减小，‎ 的取值范围为. 7分 ‎（Ⅲ）如图③，折叠后点落在边上的点为，且.‎ 则.‎ 又，有.‎ ‎.‎ 有，得. 9分 ‎ 在中，‎ 设，则.‎ 由（Ⅱ）的结论，得，‎ 解得.‎ 点的坐标为. 10分 ‎ ‎12（09太原）问题解决 图（1）‎ A B C D E F M N 如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．‎ 方法指导：‎ 为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2‎ 类比归纳 在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ 联系拓广 图（2）‎ N A B C D E F M ‎ 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ 解：方法一：如图（1-1），连接．‎ N 图（1-1）‎ A B C D E F M ‎ 由题设，得四边形和四边形关于直线对称．‎ ‎ ∴垂直平分．∴ 1分 ‎ ∵四边形是正方形，∴‎ ‎ ∵设则 ‎ 在中，．‎ ‎ ∴解得，即 3分 ‎ 在和在中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ 5分 ‎ 设则∴‎ ‎ 解得即 6分 ‎ ∴ 7分 ‎ 方法二：同方法一， 3分 ‎ 如图（1－2），过点做交于点，连接 N 图（1-2）‎ A B C D E F M G ‎　　　‎ ‎∵∴四边形是平行四边形．‎ ‎ ∴‎ ‎ 同理，四边形也是平行四边形．∴‎ ‎　　　∵‎ ‎　　　‎ ‎　　　在与中 ‎　　　∴ ５分 ‎∵ 6分 ‎∴ 7分 类比归纳 ‎（或）；； 10分 联系拓广 ‎ 12分