中考数学复习专题三圆的证明与计算试题含答案

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中考数学复习专题三圆的证明与计算试题含答案

专题三 圆的证明与计算 类型一 切线的判定 判定某直线是圆的切线,首先看是否有圆的半径过直线与圆的交点,有半径则证垂直;没有半径,则连接圆心与切点,构造半径证垂直.‎ ‎ (2016·黄石)如图,⊙O的直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),AD⊥CD,‎ ‎(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;‎ ‎(2)若AC是∠DAB的平分线,求证:直线CD是⊙O的切线.‎ ‎ ‎ ‎【分析】 (1)根据直径所对的圆周角为直角,利用勾股定理求AC的长;(2)连接OC,利用AC是∠DAB的平分线,证得∠OAC=∠CAD,再结合半径相等,可得OC∥AD,进而结论得证.‎ ‎ ‎ ‎1.(2016·六盘水)如图,在⊙O中,AB为直径,D,E为圆上两点,C为圆外一点,且∠E+∠C=90°.‎ ‎(1)求证:BC为⊙O的切线;‎ ‎(2)若sin A=,BC=6,求⊙O的半径.‎ ‎ ‎ ‎2.(2017·济宁)如图,已知⊙O的直径AB=12,弦AC=10,D是的中点,过点D作DE⊥AC,交AC的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:DE是⊙O的切线;‎ ‎(2)求AE的长.‎ ‎ ‎ 类型二 切线的性质 已知某条直线是圆的切线,当圆心与切点有线段连接时,直接利用切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径;当圆心与切点没有线段相连时,则作辅助线连接圆心与切点,再利用切线的性质解题.‎ ‎ (2016·资阳)如图,在⊙O中,点C是直径AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线,切点为D,连接BD.‎ ‎(1)求证:∠A=∠BDC;‎ ‎(2)若CM平分∠ACD,且分别交AD,BD于点M,N,当DM=1时,求MN的长.‎ ‎ ‎ ‎【分析】 (1)连接OD,由切线的性质可得∠CDB+∠ODB=90°,由AB是直径,可得∠ADB=90°,进而可得∠A+∠ABD=90°,进而求得∠A=∠BDC;(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM,即∠DMN=∠DNM,再根据勾股定理求得MN的长.‎ ‎ ‎ ‎3.(2016·南平)如图,PA,PB是⊙O切线,A,B为切点,点C在PB上,OC∥AP,CD⊥AP于点D.‎ ‎(1)求证:OC=AD;‎ ‎(2)若∠P=50°,⊙O的半径为4,求四边形AOCD的周长(精确到0.1,参考数据sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19).‎ ‎ ‎ ‎4.(2017·长沙)如图,AB与⊙O相切于点C,OA,OB分别交⊙O于点D,E,=.‎ ‎(1)求证:OA=OB;‎ ‎(2)已知AB=4,OA=4,求阴影部分的面积.‎ ‎ ‎ 类型三 圆与相似的综合 ‎ 圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合,一般结合切线的判定及性质综合考查,求线段长或半径.一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等,进而构造相似三角形,利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径.‎ ‎ (2016·荆门)如图,AB是⊙O的直径,AD是⊙O的弦,点F是DA延长线的一点,AC平分∠FAB交⊙O于点C,过点C作CE⊥DF,垂足为点E.‎ ‎(1)求证:CE是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AE=1,CE=2,求⊙O的半径.‎ ‎ ‎ ‎【分析】 (1)连接CO,证得∠OCA=∠CAE,由平行线的判定得到OC∥FD,再证得OC⊥CE即可;(2)连接BC,由圆周角定理得到∠BCA=90°,再证得△ABC∽△ACE,根据相似三角形的性质即可求得半径.‎ ‎ ‎ ‎5.(2017·德州)如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点.以AC为直径的⊙O交AB于点E.‎ ‎(1)求证:DE是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AE∶EB=1∶2,BC=6,求AE的长.‎ ‎ ‎ ‎6.(2017·黄冈)如图,已知MN为⊙O的直径,ME是⊙O的弦,MD垂直于过点E的直线DE,垂足为点D,且ME平分∠DMN.‎ 求证:(1)DE是⊙O的切线;‎ ‎(2)ME2=MD·MN.‎ ‎ ‎ ‎7.(2016·丹东)如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:∠BDC=∠A;‎ ‎(2)若CE=4,DE=2,求AD的长.‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎【例1】 (1)∵AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴AC==4.‎ ‎(2)如图,连接OC,‎ ‎∵AC平分∠DAB,‎ ‎∴∠OAC=∠CAD.‎ ‎∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,‎ ‎∴∠OCA=∠CAD,‎ ‎∴OC∥AD.‎ ‎∵AD⊥CD,∴OC⊥CD.‎ ‎∵OC是⊙O的半径,∴直线CD是⊙O的切线.‎ ‎【变式训练】 ‎ ‎1.(1)证明:∵∠A与∠E所对的弧都是,‎ ‎∴∠A=∠E.‎ ‎∵∠E+∠C=90°,∴∠A+∠C=90°,‎ ‎∴∠ABC=180°-∠A-∠C=90°.即AB⊥BC.‎ ‎∵AB是直径,∴BC为⊙O的切线.‎ ‎(2)解:∵sin A==,BC=6,∴AC=10.‎ 在Rt△ABC中,AB==8,‎ ‎∴AO=AB=4,即⊙O的半径是4.‎ ‎2.(1)证明:如图,连接OD.∵D是的中点,∴=,‎ ‎∴∠BOD=∠BAE,∴OD∥AE.‎ ‎∵DE⊥AC,∴∠AED=90°,∴∠ODE=90°.‎ ‎∴OD⊥DE,‎ ‎∴DE是⊙O 的切线.‎ ‎(2)解:如图,过点O作OF⊥AC于点F.‎ ‎∵AC=10,‎ ‎∴AF=CF=AC=×10=5.‎ ‎∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,‎ ‎∴四边形OFED是矩形,‎ ‎∴FE=OD=AB=6,‎ ‎∴AE=AF+FE=5+6=11.‎ ‎【例2】 (1)如图,连接OD,‎ ‎∵CD是⊙O的切线,‎ ‎∴∠ODC=90°,‎ ‎∴∠BDC+∠ODB=90°.‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,‎ ‎∴∠A+∠ABD=90°.‎ ‎∵OB=OD,‎ ‎∴∠OBD=∠ODB,‎ ‎∴∠A+∠ODB=90°,∴∠A=∠BDC.‎ ‎(2)∵CM平分∠ACD,∴∠DCM=∠ACM.‎ ‎∵∠A=∠BDC,‎ ‎∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM.‎ 即∠DMN=∠DNM.‎ ‎∵∠ADB=90°,DM=1,∴DN=DM=1,‎ ‎∴MN==.‎ ‎【变式训练】 ‎ ‎3.(1)证明:∵PA是⊙O的切线,A为切点,‎ ‎∴OA⊥PA,即∠OAD=90°.‎ ‎∵OC∥AP,‎ ‎∴∠COA=180°-∠OAD=180°-90°=90°.‎ ‎∵CD⊥PA,∴∠CDA=∠OAD=∠COA=90°,‎ ‎∴四边形AOCD是矩形,∴OC=AD.‎ ‎(2)解:∵PB切⊙O于点B,∴∠OBP=90°.‎ ‎∵OC∥AP,∴∠BCO=∠P=50°.‎ 在Rt△OBC中,sin∠BCO=,OB=4,‎ ‎∴OC=≈5.22,‎ ‎∴矩形OADC的周长为2(OA+OC)=2×(4+5.22)≈18.4.‎ ‎4.(1)证明:如图,连接OC.‎ ‎∵AB与⊙O相切于点C,‎ ‎∴∠ACO=90°.‎ ‎∵=,‎ ‎∴∠AOC=∠BOC,‎ ‎∴∠A=∠B,‎ ‎∴OA=OB.‎ ‎(2)解:由(1)可知△OAB是等腰三角形,‎ ‎∴BC=AB=2,∴sin∠COB==,‎ ‎∴∠COB=60°,∴∠B=30°,‎ ‎∴OC=OB=2,∴S扇形OCE==,‎ S△OCB=×2×2=2,‎ ‎∴S阴影=S△OCB-S扇形OCE=2-.‎ ‎【例3】 (1)如图,连接CO,‎ ‎∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.‎ ‎∵AC平分∠FAB,∴∠OAC=∠FAC,‎ ‎∴∠OCA=∠FAC,∴OC∥FD.‎ ‎∵CE⊥FD,∴CE⊥OC.‎ ‎∵OC是⊙O的半径,∴CE是⊙O的切线.‎ ‎(2)如图,连接BC,‎ 在Rt△ACE中,AC==.‎ ‎∵AB是⊙O的直径,∴∠BCA=90°,‎ ‎∴∠BCA=∠CEA.‎ ‎∵∠CAE=∠BAC,∴△ACE∽△ABC,‎ ‎∴=,即=,∴AB=5,‎ ‎∴AO=AB=2.5即⊙O的半径是2.5.‎ ‎【变式训练】 ‎ ‎5.(1)证明:如图,连接OE,CE.‎ ‎∵AC是⊙O的直径,∴∠AEC=∠BEC=90°.‎ ‎∵D是BC的中点,‎ ‎∴ED=BC=DC,∴∠1=∠2.‎ ‎∵OE=OC,∴∠3=∠4,‎ ‎∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD.‎ ‎∵∠ACD=90°,∴∠OED=90°,即OE⊥DE.‎ 又∵E是⊙O上一点,‎ ‎∴DE是⊙O的切线.‎ ‎(2)解:由(1)知∠BEC=90°.‎ 在Rt△BEC与Rt△BCA中,∠B为公共角,‎ ‎∴△BEC∽△BCA,‎ ‎∴=,‎ 即BC2=BE·BA.‎ ‎∵AE∶EB=1∶2,设AE=x,则BE=2x,BA=3x.‎ 又∵BC=6,∴62=2x·3x.∴x=,即AE=.‎ ‎6.证明:(1)∵ME平分∠DMN,∴∠OME=∠DME.‎ ‎∵OM=OE,∴∠OME=∠OEM,‎ ‎∴∠DME=∠OEM,∴OE∥DM.‎ ‎∵DM⊥DE,∴OE⊥DE.‎ ‎∵OE是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线.‎ ‎(2)如图,连接EN,‎ ‎∵DM⊥DE,MN为⊙O的直径,‎ ‎∴∠MDE=∠MEN=90°,‎ ‎∵∠NME=∠DME,‎ ‎∴△MDE∽△MEN,‎ ‎∴=,‎ ‎∴ME2=MD·MN.‎ ‎7.(1)证明:如图,连接OD,‎ ‎∵CD是⊙O的切线,‎ ‎∴∠ODC=90°.‎ 即∠ODB+∠BDC=90°.‎ ‎∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°.‎ 即∠ODB+∠ADO=90°.‎ ‎∴∠BDC=∠ADO.‎ ‎∵OA=OD,∴∠ADO=∠A,∴∠BDC=∠A.‎ ‎(2)解:∵CE⊥AE,∴∠E=90°,‎ ‎∴DB∥EC,∴∠DCE=∠BDC.‎ ‎∵∠BDC=∠A,∴∠A=∠DCE.‎ 又∵∠E=∠E,∴△AEC∽△CED,‎ ‎∴=,∴CE2=DE·AE,即16=2(2+AD).∴AD=6.‎
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