广西百色市中考数学试题解析

广西百色市中考数学试题解析

‎2019年广西百色市中考数学试卷 一、选择照（本大题共12小题，每小题3分，共6分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）‎ ‎1．（3分）三角形的内角和等于（　　）‎ A．90° B．180° C．270° D．360°‎ ‎2．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是（　　）‎ A．122° B．85° C．58° D．32‎ ‎3．（3分）一组数据2，6，4，10，8，12的中位数是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎4．（3分）方程＝1的解是（　　）‎ A．无解 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝1‎ ‎5．（3分）下列几何体中，俯视图不是圆的是（　　）‎ A．四面体 B．圆锥 ‎ C．球 D．圆柱 ‎6．（3分）一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示为（　　）‎ A．6048×102 B．6.048×105 C．6.048×106 D．0.6048×106‎ ‎7．（3分）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A．正三角形 B．正五边形 ‎ C．等腰直角三角形 D．矩形 ‎8．（3分）不等式组的解集是（　　）‎ A．﹣4＜x≤6 B．x≤﹣4或x＞2 C．﹣4＜x≤2 D．2≤x＜4‎ ‎9．（3分）抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（　　）‎ A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 ‎ B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 ‎ C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 ‎ D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位 ‎10．（3分）小韦和小黄进行射击比赛，各射击6次，根据成绩绘制的两幅折线统计图如下，以下判断正确的是（　　）‎ A．小黄的成绩比小韦的成绩更稳定 ‎ B．两人成绩的众数相同 ‎ C．小韦的成绩比小黄的成绩更稳定 ‎ D．两人的平均成绩不相同 ‎11．（3分）下列四个命题：‎ ‎①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直 其中逆命题是真命题的是（　　）‎ A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①‎ ‎12．（3分）阅读理解：‎ 已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x＝，y＝．‎ 如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2＝9．‎ 设B（m，n），则m，n满足的等式是（　　）‎ A．m2+n2＝9 B．（）2+（）2＝9 ‎ C．（2m+3）2+（2n）2＝3 D．（2m+3）2+4n2＝9‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）﹣16的相反数是　 　．‎ ‎14．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．‎ ‎15．（3分）编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是　 　．‎ ‎16．（3分）观察一列数：﹣3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是　 　．‎ ‎17．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为　 　．‎ ‎18．（3分）四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝　 　．‎ 三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（6分）计算：（﹣1）3+﹣（π﹣112）0﹣2tan60°‎ ‎20．（6分）求式子÷的值，其中m＝﹣2019．‎ ‎21．（6分）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0），C（1，2），函数y＝（k≠0）的图象经过点C．‎ ‎（1）求k的值及直线OB的函数表达式：‎ ‎（2）求四边形OABC的周长．‎ ‎22．（8分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．‎ ‎（1）求证：AE＝BF；‎ ‎（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．‎ ‎23．（8分）九年级（1）班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表：‎ 编号 一 二 三 四 五 人数 a ‎15‎ ‎20‎ ‎10‎ b 已知前面两个小组的人数之比是1：5．‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）a+b＝　 　．‎ ‎（2）补全条形统计图：‎ ‎（3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率．（用树状图或列表把所有可能都列出来）‎ ‎24．（10分）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．‎ ‎（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；‎ ‎（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？‎ ‎25．（10分）如图，已知AC、AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B、C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E、D两点，OB平分∠AOC．‎ ‎（1）求证：△ACD∽△ABO；‎ ‎（2）过点E的切线交AC于F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．[提示：（+1）（﹣1）＝1]‎ ‎26．（12分）已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点．‎ ‎（1）求m、b的值；‎ ‎（2）当△PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；‎ ‎（3）满足（2）的条件时，求sin∠BOP的值．‎ ‎2019年广西百色市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择照（本大题共12小题，每小题3分，共6分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）‎ ‎1．（3分）三角形的内角和等于（　　）‎ A．90° B．180° C．270° D．360°‎ ‎【分析】根据三角形的内角和定理进行解答便可．‎ ‎【解答】解：因为三角形的内角和等于180度，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟记“三角形的内角和等于180度“是解题的关键．‎ ‎2．（3分）如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是（　　）‎ A．122° B．85° C．58° D．32‎ ‎【分析】根据平行线的性质进行解答便可．‎ ‎【解答】解：∵a∥b，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ ‎∵∠1＝58°，‎ ‎∴∠2＝58°，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，是一个基础题，关键是熟记定理．‎ ‎3．（3分）一组数据2，6，4，10，8，12的中位数是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【分析】将数据重新排列，再根据中位数的概念求解可得．‎ ‎【解答】解：将数据重新排列为2、4、6、8、10、12，‎ 所以这组数据的中位数为＝7，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．‎ ‎4．（3分）方程＝1的解是（　　）‎ A．无解 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝1‎ ‎【分析】移项可得﹣1＝＝0，可得x＝0；‎ ‎【解答】解：＝1，‎ ‎∴移项可得﹣1＝＝0，‎ ‎∴x＝0，‎ 经检验x＝0是方程的根，‎ ‎∴方程的根是x＝0；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查分式方程的解法；掌握分式方程的求解方法，验根是关键．‎ ‎5．（3分）下列几何体中，俯视图不是圆的是（　　）‎ A．四面体 B．圆锥 C．球 D．圆柱 ‎【分析】分别找出从图形的上面看所得到的图形即可．‎ ‎【解答】解：A、俯视图是三角形，故此选项正确；‎ B、俯视图是圆，故此选项错误；‎ C、俯视图是圆，故此选项错误；‎ D、俯视图是圆，故此选项错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图是从几何体的上面看所得到的图形．‎ ‎6．（3分）一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示为（　　）‎ A．6048×102 B．6.048×105 C．6.048×106 D．0.6048×106‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：数字604800用科学记数法表示为6.048×105．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎7．（3分）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A．正三角形 B．正五边形 ‎ C．等腰直角三角形 D．矩形 ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；‎ B．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；‎ C．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；‎ D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎8．（3分）不等式组的解集是（　　）‎ A．﹣4＜x≤6 B．x≤﹣4或x＞2 C．﹣4＜x≤2 D．2≤x＜4‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式12﹣2x＜20，得：x＞﹣4，‎ 解不等式3x﹣6≤0，得：x≤2，‎ 则不等式组的解集为﹣4＜x≤2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎9．（3分）抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（　　）‎ A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 ‎ B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 ‎ C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 ‎ D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位 ‎【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．‎ ‎【解答】解：因为y＝x2+6x+7＝（x+3）2﹣2．‎ 所以将抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y＝x2+6x+7．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．‎ ‎10．（3分）小韦和小黄进行射击比赛，各射击6次，根据成绩绘制的两幅折线统计图如下，以下判断正确的是（　　）‎ A．小黄的成绩比小韦的成绩更稳定 ‎ B．两人成绩的众数相同 ‎ C．小韦的成绩比小黄的成绩更稳定 ‎ D．两人的平均成绩不相同 ‎【分析】根据折线统计图得出两人成绩的波动幅度，结合众数、平均数和方差的定义逐一判断即可得．‎ ‎【解答】解：A，由折线统计图知，小黄的成绩波动幅度小，成绩更稳定，此选项正确，C选项错误；‎ B．小韦成绩的众数为10环，小黄成绩的众数为9环，此选项错误；‎ D．小韦成绩的平均数为＝，小黄的平均成绩为＝，此选项错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了折线统计图，方差，平均数，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎11．（3分）下列四个命题：‎ ‎①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直 其中逆命题是真命题的是（　　）‎ A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①‎ ‎【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．‎ ‎【解答】解：①两直线平行，内错角相等；其命题：内错角相等两直线平行是真命题；‎ ‎②对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角是假命题；‎ ‎③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形是真命题；‎ ‎④菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．‎ ‎12．（3分）阅读理解：‎ 已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x＝，y＝．‎ 如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2＝9．‎ 设B（m，n），则m，n满足的等式是（　　）‎ A．m2+n2＝9 B．（）2+（）2＝9 ‎ C．（2m+3）2+（2n）2＝3 D．（2m+3）2+4n2＝9‎ ‎【分析】根据中点坐标公式求得点B的坐标，然后代入a，b满足的等式．‎ ‎【解答】解：∵点A（﹣3，0），点P（a，b），点B（m，n）为弦PA的中点，‎ ‎∴m＝，n＝．‎ ‎∴a＝2m+3，b＝2n．‎ 又a，b满足等式：a2+b2＝9，‎ ‎∴（2m+3）2+4n2＝9．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式，难度不大．‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）﹣16的相反数是　16　．‎ ‎【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．‎ ‎【解答】解：﹣16的相反数是16．‎ 故答案为：16‎ ‎【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．‎ ‎14．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥108　．‎ ‎【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．‎ ‎【解答】解：由在实数范围内有意义，得x﹣108≥0．‎ 解得x≥108，‎ 故答案是：x≥108．‎ ‎【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．‎ ‎15．（3分）编号为2，3，4，5，6的乒乓球放在不透明的袋内，从中任抽一个球，抽中编号是偶数的概率是　　．‎ ‎【分析】直接利用概率公式求解可得．‎ ‎【解答】解：在这5个乒乓球中，编号是偶数的有3个，‎ 所以编号是偶数的概率为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．‎ ‎16．（3分）观察一列数：﹣3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是　57　．‎ ‎【分析】根据数列中的已知数得出这列数的第n个数为﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，据此求解可得．‎ ‎【解答】解：由题意知，这列数的第n个数为﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，‎ 当n＝21时，3n﹣6＝3×21﹣6＝57，‎ 故答案为：57．‎ ‎【点评】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是得出数列的变化规律：每次增加3．‎ ‎17．（3分）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为　18　．‎ ‎【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），‎ ‎∴A′（4，4），C′（12，2），‎ ‎∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．‎ 故答案为：18．‎ ‎【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．‎ ‎18．（3分）四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A'＝　30°　．‎ ‎【分析】根据矩形和平行四边形的面积公式可知，平行四边形A'B'C'D'的底边AD边上的高等于AD的一半，据此可得∠A'为30°．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴平行四边形A'B'C'D'的底边AD边上的高等于AD的一半，‎ ‎∴∠A'＝30°．‎ 故答案为：30°‎ ‎【点评】本题主要考查了四边形的不稳定性、矩形与平行四边形的面积公式、30°‎ 角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．‎ 三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19．（6分）计算：（﹣1）3+﹣（π﹣112）0﹣2tan60°‎ ‎【分析】根据实数的运算法则，特殊角的三角函数值，算术平方根的运算分别进行化简即可；‎ ‎【解答】解：原式＝﹣1+3﹣1﹣2×＝1﹣2×3＝﹣5；‎ ‎【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值；牢记特殊角的三角函数值，掌握实数的运算性质是解题的关键．‎ ‎20．（6分）求式子÷的值，其中m＝﹣2019．‎ ‎【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．‎ ‎【解答】解：原式＝•‎ ‎＝（m+3），‎ 当m＝2019时，‎ 原式＝×（﹣2019+3）‎ ‎＝×（﹣2016）‎ ‎＝﹣1512．‎ ‎【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．‎ ‎21．（6分）如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0），C（1，2），函数y＝（k≠0）的图象经过点C．‎ ‎（1）求k的值及直线OB的函数表达式：‎ ‎（2）求四边形OABC的周长．‎ ‎【分析】（1）根据函数y＝（k≠0）的图象经过点C，可以求得k的值，再根据平行四边形的性质即可求得点B的坐标，从而可以求得直线OB的函数解析式；‎ ‎（2）根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长．‎ ‎【解答】解：（1）依题意有：点C（1，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，‎ ‎∴k＝xy＝2，‎ ‎∵A（3，0）‎ ‎∴CB＝OA＝3，‎ 又CB∥x轴，‎ ‎∴B（4，2），‎ 设直线OB的函数表达式为y＝ax，‎ ‎∴2＝4a，‎ ‎∴a＝，‎ ‎∴直线OB的函数表达式为y＝x；‎ ‎（2）作CD⊥OA于点D，‎ ‎∵C（1，2），‎ ‎∴OC＝，‎ 在平行四边形OABC中，‎ CB＝OA＝3，AB＝OC＝，‎ ‎∴四边形OABC的周长为： 3+3+＝6+2，‎ 即四边形OABC的周长为6+2．‎ ‎【点评】‎ 本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎22．（8分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．‎ ‎（1）求证：AE＝BF；‎ ‎（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．‎ ‎【分析】（1）由“AAS”可证△AEB≌△BFC，可得AE＝BF；‎ ‎（2）由线段垂直平分线的性质可得BD＝AB＝2．‎ ‎【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形 ‎∴AB＝BC，AD∥BC ‎∴∠A＝∠CBF ‎∵BE⊥AD、CF⊥AB ‎∴∠AEB＝∠BFC＝90°‎ ‎∴△AEB≌△BFC（AAS）‎ ‎∴AE＝BF ‎（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD ‎∴直线BE为AD的垂直平分线 ‎∴BD＝AB＝2‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．‎ ‎23．（8分）九年级（1）班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表：‎ 编号 一 二 三 四 五 人数 a ‎15‎ ‎20‎ ‎10‎ b 已知前面两个小组的人数之比是1：5．‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）a+b＝　5　．‎ ‎（2）补全条形统计图：‎ ‎（3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率．（用树状图或列表把所有可能都列出来）‎ ‎【分析】（1）由题意知a+b＝50﹣（15+20+10）＝5；‎ ‎（2）a＝3，b＝50﹣（3+15+20+10）＝2，a+b＝5；‎ ‎（3）一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种，所求概率是：P＝．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知a+b＝50﹣（15+20+10）＝5，‎ 故答案为：5；‎ ‎（2）∵a＝3，‎ ‎∴b＝50﹣（3+15+20+10）＝2，‎ ‎∴a+b＝5，‎ 故答案为5；‎ ‎（2）补全图形如下：‎ ‎（3）由题意得a＝3，b＝2‎ 设第一组3位同学分别为A1、A2、A3，设第五组2位同学分别为B1、B2，‎ 由上图可知，一共有20种等可能的结果，其中两名同学是同一组的有8种，所求概率是：P＝．‎ ‎【点评】本题考查了统计图与概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键．‎ ‎24．（10分）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．‎ ‎（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；‎ ‎（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？‎ ‎【分析】（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，根据时间＝路程÷速度，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，‎ 依题意，得：，‎ 解得：．‎ 答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时．‎ ‎（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，‎ 依题意，得：＝，‎ 解得：a＝．‎ 答：甲、丙两地相距千米．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．‎ ‎25．（10分）如图，已知AC、AD是⊙O的两条割线，AC与⊙O交于B、C两点，AD过圆心O且与⊙O交于E、D两点，OB平分∠AOC．‎ ‎（1）求证：△ACD∽△ABO；‎ ‎（2）过点E的切线交AC于F，若EF∥OC，OC＝3，求EF的值．[提示：（+1）（﹣1）＝1]‎ ‎【分析】（1）由题意可得∠BOE＝∠AOC＝∠D，且∠A＝∠A，即可证△ACD∽△ABO；‎ ‎（2）由切线的性质和勾股定理可求CD的长，由相似三角形的性质可求AE＝3，由平行线分线段成比例可得，即可求EF的值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵OB平分∠AOC ‎∴∠BOE＝∠AOC ‎∵OC＝OD ‎∴∠D＝∠OCD ‎∵∠AOC＝∠D+∠OCD ‎∴∠D＝∠AOC ‎∴∠D＝∠BOE，且∠A＝∠A ‎∴△ACD∽△ABO ‎（2）∵EF切⊙O于E ‎∴∠OEF＝90°‎ ‎∵EF∥OC ‎∴∠DOC＝∠OEF＝90°‎ ‎∵OC＝OD＝3‎ ‎∴CD＝＝3‎ ‎∵△ACD∽△ABO ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴AE＝3‎ ‎∵EF∥OC ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴EF＝6﹣3‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，勾股定理，求出AE的长是本题的关键．‎ ‎26．（12分）已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于A、B两点．‎ ‎（1）求m、b的值；‎ ‎（2）当△PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；‎ ‎（3）满足（2）的条件时，求sin∠BOP的值．‎ ‎【分析】（1）根据点M的坐标，利用待定系数法可求出m，b的值；‎ ‎（2）由（1）可得出抛物线及直线AB的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，设点P的坐标为（x，x2），结合点A，M的坐标可得出PA2，PM2的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于x的方程，解之即可得出结论；‎ ‎（3）过点P作PN⊥y轴，垂足为点N，由点P的坐标可得出PN，PO的长，再利用正弦的定义即可求出sin∠BOP的值．‎ ‎【解答】解：（1）将M（﹣2，4）代入y＝mx2，得：4＝4m，‎ ‎∴m＝1；‎ 将M（﹣2，4）代入y＝﹣x+b，得：4＝2+b，‎ ‎∴b＝2．‎ ‎（2）由（1）得：抛物线的解析式为y＝x2，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．‎ 当y＝0时，﹣x+2＝0，‎ 解得：x＝2，‎ ‎∴点A的坐标为（2，0），OA＝2．‎ 设点P的坐标为（x，x2），则PA2＝（2﹣x）2+（0﹣x2）2＝x4+x2﹣4x+4，PM2＝（﹣2﹣x）2+（4﹣x2）2＝x4﹣7x2+4x+20．‎ ‎∵△PAM是以AM为底边的等腰三角形，‎ ‎∴PA2＝PM2，即x4+x2﹣4x+4＝x4﹣7x2+4x+20，‎ 整理，得：x2﹣x﹣2＝0，‎ 解得：x1＝﹣1，x2＝2，‎ ‎∴点P的坐标为（﹣1，1）或（2，4）．‎ ‎（3）过点P作PN⊥y轴，垂足为点N，如图所示．‎ 当点P的坐标为（﹣1，1）时，PN＝1，PO＝＝，‎ ‎∴sin∠BOP＝＝；‎ 当点P的坐标为（2，4）时，PN＝2，PO＝＝2，‎ ‎∴sin∠BOP＝＝．‎ ‎∴满足（2）的条件时，sin∠BOP的值的值为或．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m，b的值；（2）利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于x的方程；（3）通过解直角三角形，求出sin∠BOP的值．‎