- 2021-05-13 发布 |
- 37.5 KB |
- 19页
![](https://data.61taotao.com/file-convert/2020/10/20/10/20/249bbe1708870d8359075e74f037b20d/img/1.jpg)
![](https://data.61taotao.com/file-convert/2020/10/20/10/20/249bbe1708870d8359075e74f037b20d/img/2.jpg)
![](https://data.61taotao.com/file-convert/2020/10/20/10/20/249bbe1708870d8359075e74f037b20d/img/3.jpg)
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
山东省日照市中考数学试题及答案解析
2015年山东省日照市中考数学试卷 一、选择题(1-8小题每小题3分,9-12小题每小题3分) 1.(3分)(2015•日照)下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志,在这四个标志中,是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 考点: 轴对称图形.. 分析: 根据轴对称图形的概念求解. 解答: 解:A、不是轴对称图形,故本选项错误; B、不是轴对称图形,故本选项错误; C、不是轴对称图形,故本选项错误; D、是轴对称图形,故本选项正确. 故选D. 点评: 本题考查了轴对称图形的知识,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合. 2.(3分)(2015•日照)的算术平方根是( ) A. 2 B. ±2 C. D. ± 考点: 算术平方根.. 专题: 计算题. 分析: 先求得的值,再继续求所求数的算术平方根即可. 解答: 解:∵=2, 而2的算术平方根是, ∴的算术平方根是, 故选:C. 点评: 此题主要考查了算术平方根的定义,解题时应先明确是求哪个数的算术平方根,否则容易出现选A的错误. 3.(3分)(2015•日照)计算(﹣a3)2的结果是( ) A. a5 B. ﹣a5 C. a6 D. ﹣a6 考点: 幂的乘方与积的乘方.. 分析: 根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解. 解答: 解:(﹣a3)2=a6. 故选C. 点评: 本题考查了幂的乘方和积的乘方,掌握运算法则是解答本题关键. 4.(3分)(2015•日照)某市测得一周PM2.5的日均值(单位:微克/立方米)如下:31,30,34,35,36,34,31,对这组数据下列说法正确的是( ) A. 众数是35 B. 中位数是34 C. 平均数是35 D. 方差是6 考点: 方差;加权平均数;中位数;众数.. 分析: 根据众数、平均数、中位数和方差的计算公式分别进行计算即可得出答案. 解答: 解:A、31和34出现了2次,出现的次数最多,则众数是31和34,故本选项错误; B、把这组数据从小到大排列,最中间的数是34,则中位数是34,故本选项错正确; C、这组数据的平均数是:(31+30+34+35+36+34+31)÷7=33,故本选项错误; D、这组数据的方差是:[2(31﹣33)2+(30﹣33)2+2(34﹣33)2+(35﹣33)2+(36﹣33)2]=,故本选项错误; 故选B. 点评: 本题考查了众数、平均数和中位数的定义.用到的知识点:一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为,则方差S2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2]. 5.(3分)(2015•日照)小红在观察由一些相同小立方块搭成的几何体时,发现它的右视图、俯视图、左视图均为如图,则构成该几何体的小立方块的个数有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 考点: 由三视图判断几何体.. 分析: 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形. 解答: 解:从俯视图发现有3个立方体,从左视图发现第二层最多有1个立方块, 则构成该几何体的小立方块的个数有4个; 故选B. 点评: 此题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆违章”就更容易得到答案. 6.(3分)(2015•日照)小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 考点: 正方形的判定.. 分析: 利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别,结合正方形的判定方法分别判断得出即可. 解答: 解:A、∵四边形ABCD是平行四边形, 当①AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形, 当②∠ABC=90°时,菱形ABCD是正方形,故此选项错误; B、∵四边形ABCD是平行四边形, ∴当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形, 当AC=BD时,这是矩形的性质,无法得出四边形ABCD是正方形,故此选项正确; C、∵四边形ABCD是平行四边形, 当①AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形, 当③AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故此选项错误; D、∵四边形ABCD是平行四边形, ∴当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形, 当④AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形,故此选项错误. 故选:B. 点评: 此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法,正确掌握正方形的判定方法是解题关键. 7.(3分)(2015•日照)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.. 分析: 分别求出各不等式的解集,并在数轴上表示出来即可. 解答: 解:,由①得,x≤﹣1,由②得,x>﹣5, 故﹣5<x≤﹣1. 在数轴上表示为: . 故选A. 点评: 本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集,熟知“小于向左,大于向右”是解答此题的关键. 8.(3分)(2015•日照)如图,等腰直角△ABC中,AB=AC=8,以AB为直径的半圆O交斜边BC于D,则阴影部分面积为(结果保留π)( ) A. 24﹣4π B. 32﹣4π C. 32﹣8π D. 16 考点: 扇形面积的计算.. 分析: 连接AD,因为△ABC是等腰直角三角形,故∠ABD=45°,再由AB是圆的直径得出∠ADB=90°,故△ABD也是等腰直角三角形,所以=,S阴影=S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD由此可得出结论. 解答: 解:连接AD,OD, ∵等腰直角△ABC中, ∴∠ABD=45°. ∵AB是圆的直径, ∴∠ADB=90°, ∴△ABD也是等腰直角三角形, ∴=. ∵AB=8, ∴AD=BD=4, ∴S阴影=S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD=S△ABC﹣S△ABD﹣(S扇形AOD ﹣S△ABD)=×8×8﹣×4×4﹣+××4×4=16﹣4π+8=24﹣4π. 故选A. 点评: 本题考查的是扇形面积的计算,熟记扇形的面积公式是解答此题的关键. 9.(4分)(2015•日照)某县大力推进义务教育均衡发展,加强学校标准化建设,计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造,2014年县政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,预计2016年投资7.2亿元人民币,那么每年投资的增长率为( ) A. 20% B. 40% C. ﹣220% D. 30% [来源:学科网] 考点: 一元二次方程的应用.. 专题: 增长率问题. 分析: 首先设每年投资的增长率为x.根据2014年县政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,预计2016年投资7.2亿元人民币,列方程求解. 解答: 解:设每年投资的增长率为x, 根据题意,得:5(1+x)2=7.2, 解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(舍去), 故每年投资的增长率为为20%. 故选:A. 点评: 此题主要考查了一元二次方程的实际应用,解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n,其中n为共增长了几年,a为第一年的原始数据,x是增长率. 10.(4分)(2015•日照)如图,在直角△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=BD,连接AC,若tanB=,则tan∠CAD的值( ) A. B. C. D. 考点: 解直角三角形.. 分析: 延长AD,过点C作CE⊥AD,垂足为E,由tanB=,即=,设AD=5x,则AB=3x,然后可证明△CDE∽△BDA,然后相似三角形的对应边成比例可得:,进而可得CE=x,DE=,从而可求tan∠CAD==. 解答: 解:如图,延长AD,过点C作CE⊥AD,垂足为E, ∵tanB=,即=, ∴设AD=5x,则AB=3x, ∵∠CDE=∠BDA,∠CED=∠BAD, ∴△CDE∽△BDA, ∴, ∴CE=x,DE=, ∴AE=, ∴tan∠CAD==. 故选D. 点评: 本题考查了锐角三角函数的定义,相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质,是基础知识要熟练掌握,解题的关键是:正确添加辅助线,将∠CAD放在直角三角形中. 11.(4分)(2015•日照)观察下列各式及其展开式: (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是( ) A. 36 B. 45 C. 55 D. 66 考点: 完全平方公式.. 专题: 规律型. 分析: 归纳总结得到展开式中第三项系数即可. 解答: 解:解:(a+b)2=a22+2ab+b2; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4; (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5; (a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6; (a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7; 第8个式子系数分别为:1,8,28,56,70,56,28,8,1; 第9个式子系数分别为:1,9,36,84,126,126,84,36,9,1; 第10个式子系数分别为:1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1, 则(a+b)10的展开式第三项的系数为45. 故选B. 点评: 此题考查了完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键. 12.(4分)(2015•日照)如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论: ①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);⑤当1<x<4时,有y2<y1, 其中正确的是( ) A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D.[来源:Zxxk.Com] ②④⑤ 考点: 二次函数图象与系数的关系;抛物线与x轴的交点.. 专题: 数形结合. 分析: 根据抛物线对称轴方程对①进行判断;由抛物线开口方向得到a<0,由对称轴位置可得b>0,由抛物线与y轴的交点位置可得c>0,于是可对②进行判断;根据顶点坐标对③进行判断;根据抛物线的对称性对④进行判断;根据函数图象得当1<x<4时,一次函数图象在抛物线下方,则可对⑤进行判断. 解答: 解:∵抛物线的顶点坐标A(1,3), ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1, ∴2a+b=0,所以①正确; ∵抛物线开口向下, ∴a<0, ∴b=﹣2a>0, ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方, ∴c>0, ∴abc<0,所以②错误; ∵抛物线的顶点坐标A(1,3), ∴x=1时,二次函数有最大值, ∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,所以③正确; ∵抛物线与x轴的一个交点为(4,0) 而抛物线的对称轴为直线x=1, ∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣2,0),所以④错误; ∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(1,3),B点(4,0) ∴当1<x<4时,y2<y1,所以⑤正确. 故选C. 点评: 本题考查了二次项系数与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点. 二、填空题(每小题4分,共16分) 13.(4分)(2015•日照)若=3﹣x,则x的取值范围是 x≤3 . 考点: 二次根式的性质与化简.. 分析: 根据二次根式的性质得出3﹣x≥0,求出即可. 解答: 解:∵=3﹣x, ∴3﹣x≥0, 解得:x≤3, 故答案为:x≤3. 点评: 本题考查了二次根式的性质的应用,注意:当a≥0时,=a,当a<0时,=﹣a. 14.(4分)(2015•日照)边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放,则△ABC的面积为 . 考点: 正方形的性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形.. 分析: 过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长,再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长,进而得出△ABC的面积即可. 解答: 解:过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长,如图, ∵一个正方形和一个等边三角形的摆放, ∴四边形DBEC是矩形, ∴CE=DB=, ∴△ABC的面积=AB•CE=×1×=, 故答案为:. 点评: 此题考查正方形的性质,关键是根据正方形和等边三角形的性质得出BE和CE的长. 15.(4分)(2015•日照)如果m,n是两个不相等的实数,且满足m2﹣m=3,n2﹣n=3,那么代数式2n2﹣mn+2m+2015= 2026 . 考点: 根与系数的关系.. 分析: 由于m,n是两个不相等的实数,且满足m2﹣m=3,n2﹣n=3,可知m,n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根.则根据根与系数的关系可知:m+n=2,mn=﹣3,又n2=n+3,利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2(n+3)﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2(m+n)﹣mn+2021,然后就可以求出所求的代数式的值. 解答: 解:由题意可知:m,n是两个不相等的实数,且满足m2﹣m=3,n2﹣n=3, 所以m,n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根, 则根据根与系数的关系可知:m+n=1,mn=﹣3, 又n2=n+3, 则2n2﹣mn+2m+2015 =2(n+3)﹣mn+2m+2015 =2n+6﹣mn+2m+2015 =2(m+n)﹣mn+2021 =2×1﹣(﹣3)+2021 =2+3+2021 =2026. 故答案为:2026. 点评: 本题考查一元二次方程根与系数的关系,解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数,然后利用根与系数的关系式求值. 16.(4分)(2015•日照)如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形,点F在x轴的正半轴上,点C在边DE上,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象过点B,E.若AB=2,则k的值为 6+2 . 考点: 反比例函数图象上点的坐标特征.. 分析: 设E(x,x),则B(2,x+2),根据反比例函数系数的几何意义得出x2=x(x+2),求得E的坐标,从而求得k的值. 解答: 解:设E(x,x), ∴B(2,x+2), ∵反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象过点B、E. ∴x2=x(x+2), 解得x1=1+,x2=1﹣(舍去), ∴k=x2=6+2, 故答案为6+2. 点评: 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,关键是掌握反比例函数图象上点与反比例函数中系数k的关系. 三、解答题 17.(9分)(2015•日照)(1)先化简,再求值:(+1),其中a=; (2)已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y=0,求实数m的值. 考点: 分式的化简求值;二元一次方程组的解.. 分析: (1)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把a的值代入进行计算即可; (2)先把m当作已知条件求出x、y的值,再根据足x+y=0求出m的值即可. 解答: 解:(1)原式=• =• =a﹣1, 当a=时,原式=﹣1; (2)解关于x,y的二元一次方程组得, ∵x+y=0, ∴2m﹣11+7﹣m=0,解得m=4. 点评: 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 18.(9分)(2015•日照)为进一步推广“阳光体育”大课间活动,某中学对已开设的A实心球,B立定跳远,C跑步,D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查,随机抽取了部分学生,并将调查结果绘制成图1,图2的统计图,请结合图中的信息解答下列问题: (1)请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比,并将两个统计图补充完整; (2)随机抽取了5名喜欢“跑步”的学生,其中有3名女生,2名男生,现从这5名学生中任意抽取2名学生,请用画树状图或列表的方法,求出刚好抽到同性别学生的概率. 考点: 列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图.. 分析: (1)用A的人数除以所占的百分比,即可求出调查的学生数;用抽查的总人数减去A、B、D的人数,求出喜欢“跑步”的学生人数,再除以被调查的学生数,求出所占的百分比,再画图即可; (2)用A表示男生,B表示女生,画出树形图,再根据概率公式进行计算即可. 解答: 解:(1)根据题意得: 15÷10%=150(名). 本项调查中喜欢“跑步”的学生人数是;150﹣15﹣45﹣30=60(人), 所占百分比是:×100%=40%, 画图如下: (2)用A表示男生,B表示女生,画图如下: 共有20种情况,同性别学生的情况是8种, 则刚好抽到同性别学生的概率是=. 点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小. 19.(10分)(2015•日照)如图1所示,某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地,列车匀速行驶,图2为列车离乙地路程y(千米)与行驶时间x(小时)时间的函数关系图象. (1)填空:甲、丙两地距离 900 千米. (2)求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式,并写出x的取值范围. 考点: 一次函数的应用.. 分析: (1)根据函数图形可得,甲、丙两地距离为:900+150=1050(千米); (2)分两种情况:当0≤x≤3时,设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为:y=kx+b,把(0,900),(3,0)代入得到方程组,即可解答;根据确定高速列出的速度为300(千米/小时),从而确定点A的坐标为(3.5,150),当3<x≤3.5时,设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为:y=k1x+b1,把(3,0),(3.5,150)代入得到方程组,即可解答. 解答: 解:(1)根据函数图形可得,甲、丙两地距离为:900+150=1050(千米),故答案为:900. (2)当0≤x≤3时,设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为:y=kx+b, 把(0,900),(3,0)代入得:, 解得:, ∴y=﹣300x+900, 高速列出的速度为:900÷3=300(千米/小时), 150÷300=0.5(小时),3+0.5=3.5(小时) 如图2,点A的坐标为(3.5,150) 当3<x≤3.5时,设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为:y=k1x+b1, 把(3,0),(3.5,150)代入得:, 解得:, ∴y=300x﹣900, ∴y=. 点评: 本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是读懂图象,获取相关信息,用待定系数法求函数解析式. 20.(10分)(2015•日照)如图,已知,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°<α<90°),得到△MCN,连接AM,BN. (1)求证:AM=BN; (2)当MA∥CN时,试求旋转角α的余弦值. 考点: 旋转的性质;全等三角形的判定与性质.. 分析: (1)由CA=CB,E,F分别是CA,CB边的三等分点,得CE=CF,根据旋转的性质,CM=CE=CN=CF,∠ACM=∠BCN=α,证明△AMC≌△BNC即可; (2)当MA∥CN时,∠ACN=∠CAM,由∠ACN+∠ACM=90°,得到∠CAM+∠ACM=90°,所以cotα==. 解答: 解:(1)∵CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点, ∴CE=CF, 根据旋转的性质,CM=CE=CN=CF,∠ACM=∠BCN=α, 在△AMC和△BNC中, , ∴△AMC≌△BNC, ∴AM=BN; (2)∵MA∥CN, ∴∠ACN=∠CAM, ∵∠ACN+∠ACM=90°, ∴∠CAM+∠ACM=90°, ∴∠AMC=90°, ∴cosα===. 点评: 本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质以及锐角三角函数的综合运用,难度适中,掌握旋转的性质是关键. 21.(12分)(2015•日照)阅读资料: 如图1,在平面之间坐标系xOy中,A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2,所以A,B两点间的距离为AB=. 我们知道,圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合,如图2,在平面直角坐标系xoy中,A(x,y)为圆上任意一点,则A到原点的距离的平方为OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2,当⊙O的半径为r时,⊙O的方程可写为:x2+y2=r2. 问题拓展:如果圆心坐标为P(a,b),半径为r,那么⊙P的方程可以写为 (x﹣a)2+(y﹣b)2=r2 . 综合应用: 如图3,⊙P与x轴相切于原点O,P点坐标为(0,6),A是⊙P上一点,连接OA,使tan∠POA=,作PD⊥OA,垂足为D,延长PD交x轴于点B,连接AB. ①证明AB是⊙P的切点; ②是否存在到四点O,P,A,B距离都相等的点Q?若存在,求Q点坐标,并写出以Q为圆心,以OQ为半径的⊙O的方程;若不存在,说明理由. 考点: 圆的综合题;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理;切线的判定与性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义.. 专题: 阅读型. 分析: 问题拓展:设A(x,y)为⊙P上任意一点,则有AP=r,根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出⊙P的方程; 综合应用:①由PO=PA,PD⊥OA可得∠OPD=∠APD,从而可证到△POB≌△PAB,则有∠POB=∠PAB.由⊙P与x轴相切于原点O可得∠POB=90°,即可得到∠PAB=90°,由此可得AB是⊙P的切线; ②当点Q在线段BP中点时,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QO=QP=BQ=AQ.易证∠OBP=∠POA,则有tan∠OBP==.由P点坐标可求出OP、OB.过点Q作QH⊥OB于H,易证△BHQ∽△BOP,根据相似三角形的性质可求出QH、BH,进而求出OH,就可得到点Q的坐标,然后运用问题拓展中的结论就可解决问题. 解答: 解:问题拓展:设A(x,y)为⊙P上任意一点, ∵P(a,b),半径为r, ∴AP2=(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2. 故答案为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2; 综合应用: ①∵PO=PA,PD⊥OA, ∴∠OPD=∠APD. 在△POB和△PAB中, , ∴△POB≌△PAB, ∴∠POB=∠PAB. ∵⊙P与x轴相切于原点O, ∴∠POB=90°, ∴∠PAB=90°, ∴AB是⊙P的切线; ②存在到四点O,P,A,B距离都相等的点Q. 当点Q在线段BP中点时, ∵∠POB=∠PAB=90°, ∴QO=QP=BQ=AQ. 此时点Q到四点O,P,A,B距离都相等. ∵∠POB=90°,OA⊥PB, ∴∠OBP=90°﹣∠DOB=∠POA, ∴tan∠OBP==tan∠POA=. ∵P点坐标为(0,6), ∴OP=6,OB=OP=8. 过点Q作QH⊥OB于H,如图3, 则有∠QHB=∠POB=90°, ∴QH∥PO, ∴△BHQ∽△BOP, ∴===, ∴QH=OP=3,BH=OB=4, ∴OH=8﹣4=4, ∴点Q的坐标为(4,3), ∴OQ==5, ∴以Q为圆心,以OQ为半径的⊙O的方程为(x﹣4)2+(y﹣3)2=25.[来源:学。科。网] 点评: 本题是一道阅读题,以考查阅读理解能力为主,在解决问题的过程中,用到了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角函数的定义等知识,有一定的综合性. 22.(14分)(2015•日照)如图,抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A,B两点,交x轴与D,C两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0). (Ⅰ)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)条件下: (1)P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. (2)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少? 考点: 二次函数综合题;线段的性质:两点之间线段最短;矩形的判定与性质;轴对称的性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义.. 专题: 压轴题. 分析: (Ⅰ)只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n,就可得到抛物线的解析式,然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标,过点B作BH⊥x轴于H,如图1.易得∠BCH=∠ACO=45°,BC=,AC=3,从而得到∠ACB=90°,然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值; (Ⅱ)(1)过点P作PG⊥y轴于G,则∠PGA=90°.设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得x>0,则PG=x,易得∠APQ=∠ACB=90°.若点G在点A的下方,①当∠PAQ=∠CAB时,△PAQ∽△CAB.此时可证得△PGA∽△BCA,根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x.则有P(x,3﹣3x),然后把P(x,3﹣3x)代入抛物线的解析式,就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时,△PAQ∽△CBA,同理,可求出点P的坐标;若点G在点A的上方,同理,可求出点P的坐标;(2)过点E作EN⊥y轴于N,如图3.易得AE=EN,则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN.作点D关于AC的对称点D′,连接D′E,则有D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠DCA=45°,从而可得∠D′CD=90°,DE+EN=D′E+EN.根据两点之间线段最短可得:当D′、E、N三点共线时,DE+EN=D′E+EN最小.此时可证到四边形OCD′N是矩形,从而有ND′=OC=3,ON=D′C=DC.然后求出点D的坐标,从而得到OD、ON、NE的值,即可得到点E的坐标. 解答: 解:(Ⅰ)把A(0,3),C(3,0)代入y=x2+mx+n,得 , 解得:. ∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+3. 联立, 解得:或, ∴点B的坐标为(4,1). 过点B作BH⊥x轴于H,如图1. ∵C(3,0),B(4,1), ∴BH=1,OC=3,OH=4,CH=4﹣3=1, ∴BH=CH=1. ∵∠BHC=90°, ∴∠BCH=45°,BC=. 同理:∠ACO=45°,AC=3, ∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°, ∴tan∠BAC===; (Ⅱ)(1)存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似. 过点P作PG⊥y轴于G,则∠PGA=90°. 设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得x>0,则PG=x. ∵PQ⊥PA,∠ACB=90°, ∴∠APQ=∠ACB=90°. 若点G在点A的下方, ①如图2①,当∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB. ∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠CAB, ∴△PGA∽△BCA, ∴==. ∴AG=3PG=3x. 则P(x,3﹣3x). 把P(x,3﹣3x)代入y=x2﹣x+3,得 x2﹣x+3=3﹣3x, 整理得:x2+x=0 解得:x1=0(舍去),x2=﹣1(舍去). ②如图2②,当∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA. 同理可得:AG=PG=x,则P(x,3﹣x), 把P(x,3﹣x)代入y=x2﹣x+3,得 x2﹣x+3=3﹣x, 整理得:x2﹣x=0 解得:x1=0(舍去),x2=, ∴P(,); 若点G在点A的上方, ①当∠PAQ=∠CAB时,则△PAQ∽△CAB, 同理可得:点P的坐标为(11,36). ②当∠PAQ=∠CBA时,则△PAQ∽△CBA. 同理可得:点P的坐标为P(,). 综上所述:满足条件的点P的坐标为(11,36)、(,)、(,); (2)过点E作EN⊥y轴于N,如图3. 在Rt△ANE中,EN=AE•sin45°=AE,即AE=EN, ∴点M在整个运动中所用的时间为+=DE+EN. 作点D关于AC的对称点D′,连接D′E, 则有D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠DCA=45°, ∴∠D′CD=90°,DE+EN=D′E+EN. 根据两点之间线段最短可得: 当D′、E、N三点共线时,DE+EN=D′E+EN最小. 此时,∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°, ∴四边形OCD′N是矩形, ∴ND′=OC=3,ON=D′C=DC. 对于y=x2﹣x+3, 当y=0时,有x2﹣x+3=0, 解得:x1=2,x2=3. ∴D(2,0),OD=2, ∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1, ∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2, ∴点E的坐标为(2,1). 点评: 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识,综合性强,难度大,准确分类是解决第(Ⅱ)(1)小题的关键,把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第(Ⅱ)(2)小题的关键.查看更多