中考最值系列之将军饮马

中考最值系列之将军饮马

1 最值系列之——将军饮马 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由 此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【问题描述】 如图，将军在图中点 A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能 使得路程最短？ 【问题简化】 如图，在直线上找一点 P使得 PA+PB最小？ 【问题分析】 这个问题的难点在于 PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我 们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问 题，将折线段变为直线段． 【问题解决】 作点 A关于直线的对称点 A’，连接 PA’，则 PA’=PA，所以 PA+PB=PA’+PB 2 当 A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【思路概述】 作端点（点 A或点 B）关于折点（上图 P点）所在直线的对称，化折线段为直线段． 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在 OA、OB上分别取点 M、N，使得△PMN周长最小． 此处 M、N均为折点，分别作点 P关于 OA（折点 M所在直线）、OB（折点 N所在直线）的 对称点，化折线段 PM+MN+NP为 P’M+MN+NP’’，当 P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长 最小． 【例题】如图，点 P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点 M和点 N分别是射线 OA和射线 OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________． 【分析】△PMN周长即 PM+PN+MN的最小值，此处 M、N均为折点，分别作点 P关于 OB、 OA对称点 P’、P’’，化 PM+PN+MN为 P’N+MN+P’’M． 3 当 P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段 P’P’’长，连接 OP’、OP’’，可 得△OP’P’’为等边三角形，所以 P’P’’=OP’=OP=8． 【两定两动之点点】 在 OA、OB上分别取点 M、N使得四边形 PMNQ的周长最小。 考虑 PQ是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点 P、Q关于 OA、OB对称，化折线段 PM+MN+NQ为 P’M+MN+NQ’，当 P’、M、N、Q’共线时，四边形 PMNQ的周长最小。 【一定两动之点线】 在 OA、OB上分别取 M、N使得 PM+MN最小。 4 此处 M点为折点，作点 P关于 OA对称的点 P’，将折线段 PM+MN转化为 P’M+MN，即过 点 P’作 OB垂线分别交 OA、OB于点 M、N，得 PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线 段最短） 三、几何图形中的将军饮马 【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】 1．正方形中的将军饮马 【关于对角线对称】 如图，正方形 ABCD的边长是 4，M在 DC上，且 DM=1， N是 AC边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________． 【分析】考虑 DM为定值，故求△DMN周长最小值即求 DN+MN最小值． 点 N为折点， 作点 D关于 AC的对称点，即点 B，连接 BN交 AC于点 N，此时△DMN周长最小． 【假装不存在的正方形】 （2019·山东聊城）如图，在 Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点 C在边 AB上， 且 AC:CB=1:3，点 D为 OB的中点，点 P为边 OA上的动点，当点 P在 OA上移动时，使四 边形 PDBC周长最小的点 P的坐标为 ( ) 5 A． (2,2) B． 5( 2 ， 5) 2 C． 8( 3 ， 8) 3 D． (3,3) 【分析】此处点 P为折点，可以作点 D关于折点 P所在直线 OA的对称： 也可以作点 C的对称： 【隐身的正方形】 （2017·辽宁营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D在 BC上，BD=3，DC=1， 点 P是 AB上的动点，则 PC+PD的最小值为 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 6 【分析】作点 C关于 P点所在直线 AB的对称点 C’，当 C’、P、D共线时，PC+PD最小， 最小值为 5，故选 B． 2．三角形中的将军饮马 【等边系列】 如图，在等边△ABC中，AB=6， N为 AB上一点且 BN=2AN， BC的高线 AD交 BC于点 D， M是 AD上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN的最小值是___________． 【分析】M点为折点，作 B点关于 AD的对称点，即 C点，连接 CN，即为所求的最小值． 过点 C作 AB垂线，利用勾股定理求得 CN的长为 2倍根号 7． 【隐身的等边三角形】 7 如图，在 Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为 AB上一点且 BN=2AN， M是 AD上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN的最小值是___________． 【分析】对称点并不一定总是在已知图形上． 【角分线系列之点点】 （2018·山东潍坊）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB， 点 F是 AC的中点，点 E是 AD上的动点，则 CE+EF的最小值为 ( ) A．3 B．4 C．3 3 D． 2 3 【分析】此处 E点为折点，可作点 C关于 AD的对称，对称点 C’在 AB上且在 AB中点，化 折线段 CE+EF为 C’E+EF，当 C’、E、F共线时得最小值，C’F为 CB的一半，故选 C． 8 【角分线系列之点线】 （2018·辽宁营口）如图，在锐角三角形 ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC， 交 AC于点 D，M、N分别是 BD，BC上的动点，则 CM+MN的最小值是 ( ) A． 3 B．2 C． 2 3 D．4 【分析】此处 M点为折点，作点 N关于 BD的对称点，恰好在 AB上，化折线 CM+MN为 CM+MN’． 因为 M、N皆为动点，所以过点 C作 AB的垂线，可得最小值，选 C． 9 3．矩形、菱形中的将军饮马 【菱形高】 （2018广西贵港）如图，在菱形 ABCD中，AC= 6 2，BD=6，E是 BC的中点，P、M分别 是 AC、AB上的动点，连接 PE、PM，则 PE+PM的最小值是 ( ) A．6 B．3 3 C． 2 6 D．4.5 【分析】此处 P为折点，作点 M关于 AC的对称点 M’，恰好在 AD上，化折线 EP+PM为 EP+PM’． 当 E、P、M’共线时，EP+PM最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：AC·BD/2=BC·EM’ 10 【折点在边上】 （2017山东菏泽）如图，矩形 ABOC的顶点 A的坐标为（-4,5），D是 OB的中点，E是 OC 上的一点，当△ADE的周长最小时，点 E的坐标是 ( ) A． 4(0, ) 3 B． 5(0, ) 3 C． (0,2) D． 10(0, ) 3 【分析】点 E为折点，E是 y轴上一点，作点 D关于 y轴的对称点 D’，连接 AD，与 y轴交 点即为所求 E点． 【折点与面积】 （2019西藏）如图，在矩形 ABCD中，AB=6，AD=3，动点 P满足 1 3PAB ABCDS S  矩形 ，则点 P到 A、B两点距离之和 PA+PB的最小值为 ( ) A． 2 13 B． 2 10 C．3 5 D． 41 【分析】由 1 3PAB ABCDS S  矩形 可作出 P点轨迹为直线 MN（AM=BN=2），作点 B关于 MN的 对称点 B’，化折线 PA+PB为 PA+PB’． 11 当 A、P、B’共线时，取到最小值，选 A． 【全等与对称】 （2017江苏南通）如图，矩形 ABCD中，AB=10，BC=5，点 E、F、G、H分别在矩形 ABCD 各边上，且 AE=CG，BF=DH，则四边形 EFGH周长的最小值为 ( ) A． 5 5 B．10 5 C．10 3 D．15 3 【分析】考虑到四边形 EFGH是平行四边形，即求 EH+EF最小值，此处 E为折点，作 F 关于 AB对称点 F’，则 BF’=BF=DH=CM，∴MF’=BC=5，MH=DC=10，∴HF’为 5倍根号 5， 周长最小值为 10倍根号 5，故选 B． 12 四、特殊角的对称 【60°角的对称】 （2018 滨州）如图，∠AOB=60°，点 P是∠AOB内的定点且 OP= 3，若点 M、N分别是 射线 OA、OB上异于点 O的动点，则△PMN周长的最小值是 ( ) A． 3 6 2 B． 3 3 2 C．6 D．3 【分析】此处 M、N均为折点，分别作点 P关于 OB、OA的对称点 P’、P’’，化△PMN周长 为 P’N+NM+MP’’． 当 P’、N、M、P’’共线时，得最小值，利用 60°角翻倍得∠P’OP’’=120°，OP’=OP’’=OP，可 得最小值． 13 【30°角的对称】 （2017湖北随州）如图，∠AOB的边 OB与 x轴正半轴重合，点 P是 OA上的一动点，点 N （3,0）是 OB上的一定点，点 M是 ON的中点，∠AOB=30°，要使 PM+PN最小，则点 P 的坐标为 ． 【分析】此处点 P为折点，作点 M关于 OA的对称对称点 M’如图所示，连接 PM’，化 PM+PN 为 PM’+PN． 当 M’、P、N共线时，得最小值，又∠M’ON=60°且 ON=2OM’，可得∠OM’N=90°，故 P点 坐标可求． 14 【20°角的对称】 如图，已知正比例函数 y=kx（k>0）的图像与 x轴相交所成的锐角为 70°，定点 A的坐标为 （0，4），P为 y轴上的一个动点，M、N为函数 y=kx（k>0）的图像上的两个动点，则 AM+MP+PN 的最小值为____________． 【分析】先考虑 M为折点，作点 P关于 OM对称点 P’，化 AM+MP+PN为 AM+MP’+P’N 此处 P’为折点，作点 N关于 OP’对称点 N’，化 AM+MP’+P’N为 AM+MP’+P’N’ 当 A、M、P、’N’共线且 AN’⊥ON’时，值最小． 15 最值系列之——将军饮马（二） 【将军过桥】 已知将军在图中点 A处，现要过河去往 B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在 何处能使路程最短？ 考虑 MN长度恒定，只要求 AM+NB最小值即可．问题在于 AM、NB彼此分离，所以首先通 过平移，使 AM与 NB连在一起，将 AM向下平移使得 M、N重合，此时 A点落在 A’位置． 问题化为求 A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置． 【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】 16 【将军过两个桥】 已知将军在图中点 A处，现要过两条河去往 B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥 建在何处能使路程最短？ 考虑 PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于 AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段， 可以通过平移使其连接到一起． AP平移至 A’Q，NB平移至 MB’，化 AP+QM+NB为 A’Q+QM+MB’． 当 A’、Q、M、B’共线时，A’Q+QM+MB’取到最小值，再依次确定 P、N位置． 17 【将军遛马】 如图，将军在 A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营， 问怎么走路程最短？ 【问题简化】已知 A、B两点，MN长度为定值，求确定 M、N位置使得 AM+MN+NB值最 小？ 【分析】考虑 MN为定值，故只要 AM+BN值最小即可．将 AM平移使 M、N重合，AM=A’N， 将 AM+BN转化为 A’N+NB． 构造点 A关于 MN的对称点 A’’，连接 A’’B，可依次确定 N、M位置，可得路线． 【例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的顶点 B在原点，点 A、C在坐标轴上， 点 D的坐标为（6，4），E为 CD的中点，点 P、Q为 BC边上两个动点，且 PQ=2，要使四 边形 APQE的周长最小，则点 P的坐示应为______________． 18 【分析】考虑 PQ、AE为定值，故只要 AP+QE最小即可，如图，将 AP平移至 A’Q，考虑 A’Q+QE最小值． 作点 A’关于 x轴的对称点 A’’，连接 A’’E，与 x轴交点即为 Q点，左移 2个单位即得 P点． 【练习】如图，矩形 ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对角线，E、F分别为边 AB、CD上的 动点，且 EF⊥AC于点 M，连接 AF、CE，求 AF+CE的最小值． 【分析】此题难点在于要得到 AF与 CE之间的关系，方能将这两条线段联系到一起．过点 E作 EH⊥CD交 CD于 H点，由相似可得：FH=1． 19 连接 BH，则 BH=CE 问题转化为 BH+AF最小值． 参考将军遛马的作法，作出图形，得出 AF+BH=A’H+B’H=A’B’=5．