初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中一线三等角模型

初中数学突破中考压轴题几何模型之相似三角形中一线三等角模型

一线三等角 ‎ ‎ 相似三角形判定的基本模型 ‎ ‎ ‎ A字型 X字型 反A字型 反8字型 母子型 旋转型 双垂直 三垂直 相似三角形判定的变化模型 ‎ ‎ 一线三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：‎ 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。‎ C A D B E F 典型例题 ‎【例1】如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°‎ ‎（1）求证：△BDE∽△CFD ‎（2）当BD=1，FC=3时，求BE ‎ C D E A B F ‎【例2】如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，‎ 求证：△BDE∽△DFE A B P C M ‎【例3】如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；‎ ‎（1）求证：△ABP∽△PCM；‎ ‎（2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的定义域．‎ ‎（3）当△APM为等腰三角形时， 求PB的长．‎ A B C P Q ‎【例4】（1）在中，，，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.‎ ‎①若点在线段上（如图），且，求线段的长；‎ ‎②若，，求与之间的函数关系式，并写出函数的 ‎ 定义域；‎ ‎（2）正方形的边长为（如图12），点、分别在直线、上 ‎（点不与点、点重合），且保持.‎ A B C D 图12‎ 当时，写出线段的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.‎ A B C 备用图 点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。‎ ‎【例5】已知：菱形ABCD,AB=4m, ∠B=60°,点P、Q分别从点B、C出发，沿线段BC、CD以1m/s的速度向终点C、D运动,运动时间为t秒 ‎（1）连接AP、AQ、PQ，试判断△APQ的形状，并说明理由。‎ ‎（2）当t=1秒时，连接AC，与PQ相交于点K.求AK的长。‎ ‎（3） 当t=2秒时，连接AP、PQ,将∠APQ逆时针旋转，使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F，连接EF.若AN=1,求S△EPF.‎ ‎ ‎ ‎【应用】‎ ‎1.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，BC=1，AB=5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D． （1）直接写出点B的坐标 ． ‎ ‎（2）当点P在线段OA上运动时，使得∠CPD=∠OAB，且BD: AD=3:2 ‎ ‎，求点P的坐标．‎ ‎2、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点．‎ ‎ （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；‎ ‎ （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 ‎ ①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；②当时，求BP的长．‎ E D C B A ‎（备用图）‎ E D C B A P ‎（第25题图）‎ 模型训练：‎ A B C D E 1. 如图，在△ABC中，，，是边上的一个动点，点在边上，且．‎ ‎(1) 求证：△ABD∽△DCE；‎ ‎(2) 如果，，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；‎ ‎(3) 当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．‎ 1. 已知：如图，在△ABC中，，，点D在边AB上，，点E在边BC上．又点F在边AC上，且．‎ ‎(1) 求证：△FCE∽△EBD；‎ ‎(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使．‎ 如果有可能，那么求出BD的长．如果不可能请说明理由．‎ 2. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。‎ ‎（1）求证△BPD∽△CEP ‎（2）是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形？‎ C P E A B D 若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。‎ A B C D E F 1. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PE⊥AB与E，PF⊥BC交AC与F，设PC=x，记PE=，PF=‎ C P E A B F ‎（1）分别求、关于x的函数关系式 ‎（2）△PEF能为直角三角形吗?若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。‎ 2. 已知在等腰三角形中，，是的中点， 是上的动点（不与、重合），连结，过点作射线，使，射线交射线于点，交射线于点.‎ ‎（1）求证：∽；‎ ‎（2）设.‎ ‎①用含的代数式表示；‎ ‎②求关于的函数解析式，并写出的定义域.‎ C D A B P 3. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．‎ ‎（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．‎ ‎①求证；△ABP∽△DPC ‎②求AP的长．‎ ‎（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ‎①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）‎