二次函数中考考点例题全面解析

二次函数中考考点例题全面解析

二次函数中考考点分析 考点1、确定a、b、c的值．二次函数：y=ax2+bx+c （a,b,c是常数，且a≠0） 开口向上， 开口向下．抛物线的对称轴为: ，由图像确定的正负，由a的符号确定出b的符号,a,b符号左 右 ．即当抛物线的对称轴在y轴的左边时，a,b 号。由x=0时,y= ，知c的符号取决于图像与y轴的交点纵坐标，与y轴交点在y轴的正半轴时，c 0，与y轴交点在y轴的负半轴时，c 0．确定了a、b、c的符号，易确定abc的符号．‎ ‎ 考点 2、确定a+b+c的符号．x=1时，y= ，由图像y的值确定a+b+c的符号．与之类似的还经常出现判断4a+2b+c的符号（易知x=2时，y= ），由图像y的值确定4a+2b+c的符号．还有判断a－b+c的符号（x=－1时，y= ）等等．‎ 考点3、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号．抛物线的对称轴为x=，根据对称性知：取到对称轴 距离相等 的两个不同的x值时， 值相等，即当x=+m或x=－m时，y值相等．中考考查时，通常知道x=+m时y值的符号，让确定出x=－m时y值的符号．‎ 考点4、由对称轴x=的确定值判断a与b的关系．如：=1能判断出a = b．‎ 考点5、顶点与最值．若x可以取全体实数，开口向下时，y在顶点处取得最大值，开口向上时，y在顶点处取得最小值．‎ ‎ 例1、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（的实数）其中正确的结论有（ ）．‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 解析：此题考查了考点1、2、3、4、5． ①错误．因为：开口向下＜0;对称轴x==1，可以得出b＞0; x=0时,y=c＞0，故abc＜0．②错误．因为：由图知x=－1时，y=a－b+c＜0，即b＞a+c．③正确．因为：由对称轴x=1知,x=0时和x=2时y值相等，由x=0时，y＞0，知x=2时，y=4a+2b+c＞0．④正确．因为：由对称轴x==1，可以得出a =－0.5 b，代入前面已经证出b＞a+c，得出1.5b＞c,即3b＞2c．⑤正确．因为：抛物线开口向下，故顶点处y值最大，即x =1，y= a+b+c最大，此时a+b+c＞am2+bm+c（），即，（）．答案：B．‎ 考点6、图象与x轴交点．∵ ＞0，ax2+bx+c=0有两个不相等的实根； ＜0，ax2+bx+c=0无实根； =0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根．∴b2-4ac＞0，抛物线与x轴有 个交点；b2-4ac＜0，抛物线与x轴 交点；b2-4ac=0，抛物线与x轴 个交点．‎ ‎ 例2、二次函数与x轴的交点个数是（ ）．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 解析：求图象与x轴的交点应令y=0，即x2－2x+1=0,∵b2-4ac＝4－4=0,∴二次函数图象与x轴只有一个交点．答案：B．‎ 考点7、判断在同一坐标系中两种不同的图形的正误．如：在同一种坐标系中正确画出一次函数 和二次函数，关键是 两个式子中的a、b值应相同．‎ ‎ 例3、在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）．‎ O x y O x y O x y O x y A B C D 解析：二次函数过点（0，0），故排除答案B与C．若a＞0，抛物线开口向上，一次函数的y值随着x值的增大而增大；若a＜0，抛物线开口向下，一次函数的y值随着x值的增大而减小．答案：A.‎ 考点8、能分别判断出在对称轴的左右两侧二次函数y值随x值的变化而变化情况．抛物线当开口向上时，在对称轴的左侧二次函数y值随 的增大而减小，在对称轴的 侧二次函数y值随x值的增大而增大．抛物线开口 时，在对称轴的左侧二次函数y值随x值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而减小．‎ ‎ 例4、已知二次函数(a≠0)的图象经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )．‎ A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大 B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小 C. 存在一个负数x0，使得当x x0时，函数值y随x的增大而增大 D. 存在一个正数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大 ‎ 解析：二次函数(a≠0)的图象没说明开口方向，故过点(-1，2)，(1，0)的抛物线有可能开口向上或向下，见图再结合选项，抛物线当开口向上时，在对称轴x=x0（x0>0）的左侧二次函数y值随x值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而增大．抛物线开口向下时，在对称轴x=x0（x0<0）的左侧二次函数y值随x值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而减小．答案：D．‎ 考点9、二次函数解析式的几种形式． (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). ‎ (2) 顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). 抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在 轴上；当k＝0时，抛物线y＝a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在 .‎ (3) ‎ (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根. 求解析式时若已知抛物线过三点坐标一般设成一般式，已知抛物线过的顶点坐标时设成顶点式，已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标时设成两根式．‎ ‎ 例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．求该二次函数的解析式为 ．‎ 解析：（1）设二次函数解析式为，二次函数图象过点，，得 ‎． 二次函数解析式为，即．‎ ‎ ‎ ‎【知识梳理】‎ ‎1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.‎ ‎2.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.‎ ‎3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.‎ ‎①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；‎ 相等，抛物线的开口大小、形状相同.‎ ‎②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.‎ ‎4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.‎ ‎5.求抛物线的顶点、对称轴的方法 ‎（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.‎ ‎ （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.‎ ‎ （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.‎ ‎6.抛物线中，的作用 ‎（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.‎ ‎（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、‎ 异号）时，对称轴在轴右侧.‎ ‎（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.‎ ‎ 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.‎ ‎ 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .‎ ‎7.用待定系数法求二次函数的解析式 ‎（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.‎ ‎（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.‎ ‎12.直线与抛物线的交点 ‎（1）轴与抛物线得交点为(0, ).‎ ‎（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).‎ ‎（3）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：‎ ‎ ①有两个交点抛物线与轴相交；‎ ‎ ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；‎ ‎ ③没有交点抛物线与轴相离.‎ ‎（4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.‎ ‎（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.‎ ‎（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 ‎ ‎ 练一练：‎ ‎ 1、如图，二次函数的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．(以下有（1）、（2）两问，每个考生只须选答一问，若两问都答，则只以第（2）问计分) ‎ ‎　　第（1）问：给出四个结论：①＞0；②＞0；③＞0； ④a+b+c=0‎ 其中正确的结论的序号是 （答对得3分，少选、错选均不得分）．‎ 第（２）问：给出四个结论：①abc＜0；②2a+＞0；③a+c=1；④a＞1．其中正确的结论的序号是 （答对得5分，少选、错选均不得分）．‎ ‎2、二次函数 的图像可能是 【 】‎ A.‎ x y B.‎ x y C.‎ x y D.‎ x y x y O ‎3‎ ‎ －9‎ ‎－1‎ ‎－1‎ A B ‎ 3、 如图，已知二次函数的图像经过点A和点B．‎ ‎（1）求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；‎ ‎（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．‎ ‎ 4、 有一抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m， 如图所示，把它的图形放在直角坐标系中 ‎①求这条抛物线所对应的函数关系式；‎ ‎②如图，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？‎ ‎【参考答案】： ‎ ‎ 1、（1）①，④． （2）②，③，④‎ ‎ 2、B.‎ ‎3、解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得 解得 ‎ ‎∴二次函数的表达式为． ‎ ‎（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）． ‎ ‎（3）将（m，m）代入，得 ，‎ 解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去．‎ ‎∴ m=6． ‎ ‎∵点P与点Q关于对称轴对称，‎ ‎∴点Q到x轴的距离为6．‎ ‎4、①y＝－0.16x2＋1.6x；②3.84m．‎