专题4中考数学三角形存在性

专题4中考数学三角形存在性

第四讲 例1如图，已知一次函数y = - x +7与正比例函数y = x的图象交于点A，且与x轴交于点B.‎ ‎（1）求点A和点B的坐标；‎ ‎（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.‎ ‎①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？‎ ‎（备用图）‎ ‎②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎．‎ 解：（1）根据题意，得，解得 ，∴A(3，4) . ‎ 令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）. ‎ ‎（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4.‎ 由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得 (3+7)×4-×3×(4-t)- t(7-t)- t×4=8‎ 整理,得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6（舍） ‎ 当P在CA上运动，4≤t＜7. ‎ 由S△APR= ×(7-t) ×4=8，得t=3（舍） ‎ ‎∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.‎ ‎ ②当P在OC上运动时，0≤t＜4.‎ ‎∴AP=，AQ=t，PQ=7-t 当AP =AQ时， （4-t）2+32=2(4-t)2,‎ 整理得，t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍) ‎ 当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2,‎ 整理得，6t=24. ∴t=4(舍去) ‎ 当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2‎ 整理得，t2-2t-17=0 ∴t=1±3 (舍) ‎ 当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4.‎ 设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.‎ 由cos∠OAC= = ，得AQ = (t-4)．‎ 当AP=AQ时，7-t = (t-4)，解得t = . ‎ 当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= AP 得t-4= (7-t)，解得t =5. ‎ 当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F AF= AQ = ×(t-4). ‎ 在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ ＝ ，得AF＝ AP 即 ×(t-4)= ×(7-t)，解得t= .‎ ‎∴综上所述，t=1或 或5或 时，△APQ是等腰三角形. ‎ 例2如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)‎ ‎(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;‎ ‎(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;‎ ‎(3)当0＜t＜时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;‎ ‎(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程．‎ 解：（1），令得，‎ ‎∴或∴；‎ 在中，令得即；‎ 由于BC∥OA，故点C的纵坐标为－10，由得或 即且易求出顶点坐标为 于是，，顶点坐标为。‎ ‎（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA。故只要QC=PA即可，而故得；‎ ‎（3）设点P运动秒，则，，说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，‎ 由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故 ‎∴∴‎ 又点Q到直线PF的距离，∴，‎ 于是△PQF的面积总为90。‎ ‎（4）由上知，，。构造直角三角形后易得 ‎，‎ ① 若FP=PQ，即，故，‎ ‎∵∴∴‎ ② 若QP=QF，即，无的满足条件；‎ ① 若PQ=PF，即，得，∴或都不满足，故无的满足方程；‎ 综上所述：当时，△PQR是等腰三角形。‎ 例3．如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。‎ ‎⑴求该抛物线的解析式；‎ ‎⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。‎ ‎⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。‎ 解 ‎（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得 ‎∴抛物线的解折式为 ‎（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为 ‎ 即 E点的坐标（，）又∵点E在直线上 ‎∴ 解得（舍去），‎ ‎∴E的坐标为（4，3）‎ ‎（Ⅰ）当A为直角顶点时 过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0） 易知D点坐标为（－2，0） 由Rt△AOD∽Rt△POA得 即，∴a＝ ∴P1（，0）‎ ‎（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）‎ ‎（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（、）由∠OPA+∠FPE＝90°，得∠OPA＝∠FEP Rt△AOP∽Rt△PFE ‎ 由得 解得，‎ ‎∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）‎ 综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）‎ ‎（Ⅲ）抛物线的对称轴为 ‎∵B、C关于x＝对称 ∴MC＝MB 要使最大，即是使最大 ‎ 由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大．‎ 易知直线AB的解折式为∴由 得 ∴M（，－）‎ 例4如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2。动点M、N分别 从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），‎ 当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，‎ 可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的 时间为x秒。试解答下列问题：‎ ‎（1）说明△FMN∽△QWP；‎ ‎（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？‎ 当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？‎ 第22题图（2）‎ A B C D F M N W P Q ‎（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。‎ 第22题图（1）‎ A B M C F D N W P Q ‎（1）提示：∵PQ∥FN，PW∥MN ∴∠QPW =∠PWF，∠PWF =∠MNF ∴∠QPW =∠MNF ‎ 同理可得：∠PQW =∠NFM或∠PWQ =∠NFM ∴△FMN∽△QWP ‎ ‎（2）当时，△PQW为直角三角形；‎ 当0≤x<，

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