中考数学5月模拟试卷含解析2

中考数学5月模拟试卷含解析2

江西省赣州市章贡区2016年中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）‎ ‎1．下列各实数中，最小的是（　　）‎ A．﹣π B．（﹣1）0 C． D．|﹣2|‎ ‎2．下列运算错误的是（　　）‎ A．a3+a3=2a6 B．a6÷a﹣3=a9 C．a3•a3=a6 D．（﹣2a2）3=﹣8a6‎ ‎3．已知m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个实数根，则（m﹣2）（n﹣2）为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7‎ ‎4．图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②．则下列图形中，是图②的表面展开图的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图：有一块三角形状的土地平均分给四户人家，现有四种不同的分法，（如图中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是BF、AF的中点），其中正确的分法有（　　）‎ A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎7．分解因式：mn2﹣6mn+9m=　　　　　　．‎ ‎8．分式方程=1﹣的解为　　　　　　．‎ ‎9．（3分）小聪有一块含有30°角的直角三角板，他想只利用量角器来测量较短直角边的长度，于是他采用如图的方法，小聪发现点A处的三角板读数为12cm，点B处的量角器的读数为74°，由此可知三角板的较短直角边的长度约为　　　　　　cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）‎ ‎10．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为过点（1，0）且与y轴平行的直线，点A、B均在图象上，且直线AB与x轴平行，若点A的坐标为（0，），则点B的坐标为　　　　　　．‎ ‎11．如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE折叠，使点A正好与CD上的F点重合，若△FDE的周长为16，△FCB的周长为28，则FC的长为　　　　　　．‎ ‎12．有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎13．计算：﹣12++|﹣1|﹣4cos45°；‎ ‎（2）解不等式组：．‎ ‎14．如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．‎ ‎（1）求x，y的值；‎ ‎（2）在备用图中完成此方阵图．‎ ‎3‎ ‎4‎ x ‎﹣2‎ y a ‎2y﹣x c b 备用图 ‎3‎ ‎4‎ ‎﹣2‎ ‎15．（6分）在8×6的正方形网格中，正方形网格的边长为单位1；已知α，顶点均在格点上；请用无刻度直尺画图：‎ ‎（1）在图1中，画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点在格点上；‎ ‎（2）在图2中，画一个与△ABC面积相等，且以点C为其中一个顶点的正方形，顶点也在格点上．‎ ‎16．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点．过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F．‎ ‎（1）求证：EO=FO；‎ ‎（2）若CE=4，CF=3，你还能得到那些结论？‎ ‎17．学校举办“大爱镇江”征文活动，小明为此次活动设计了一个以三座山为背景的图标（如图），现用红、黄两种颜色对图标中的A、B、C三块三角形区域分别涂色，一块区域只涂一种颜色．‎ ‎（1）请用树状图列出所有涂色的可能结果；‎ ‎（2）求这三块三角形区域中所涂颜色是“两块黄色、一块红色”的概率．‎ ‎　‎ 四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）‎ ‎18．（8分）反比例函数y=（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB=，将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过DC的中点E．‎ ‎（1）求k的值和直线AE的函数表达式；‎ ‎（2）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由．‎ ‎19．某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整统计图（2015•河北模拟）如图1，A1B1和A2B2是水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段）．甲是一名游泳运动健将，乙是一名游泳爱好者，甲在赛道A1B1上从A1处出发，到达B1后，以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程；乙在赛道A2B2上以2m/s的速度从B2处出发，到达A2后以相同的速度回到B2处，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）．若甲、乙两人同时出发，设离开池边B1B2的距离为y（m），运动时间为t（s），甲游动时，y（m）与t（s）的函数图象如图2所示．‎ ‎（1）赛道的长度是　　　　　　m，甲的速度是　　　　　　m/s；‎ ‎（2）经过多少秒时，甲、乙两人第二次相遇？‎ ‎（3）若从甲、乙两人同时开始出发到2分钟为止，甲、乙共相遇了　　　　　　次．2分钟时，乙距池边B1B2的距离为多少米．‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．‎ ‎（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为　　　　　　；‎ ‎（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值；‎ ‎（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．‎ ‎　‎ 五、（本大题共10分）‎ ‎22．（10分）（2012•镇江）对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：‎ ‎【尝试】‎ ‎（1）当t=2时，抛物线E的顶点坐标是　　　　　　；‎ ‎（2）判断点A是否在抛物线E上；‎ ‎（3）求n的值．‎ ‎【发现】‎ 通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是　　　　　　．‎ ‎【应用1】‎ 二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．‎ ‎【应用2】‎ 以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C、D中的三点，求出所有符合条件的t的值．‎ ‎　‎ 六、（本大题共12分）‎ ‎23．（12分）（2016•马鞍山二模）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．‎ ‎（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．‎ ‎①求证：△ABP∽△BCP；‎ ‎②若PA=3，PC=4，则PB=　　　　　　．‎ ‎（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）‎ ‎①求∠CPD的度数；‎ ‎②求证：P点为△ABC的费马点．‎ ‎　‎ ‎2016年江西省赣州市章贡区中考数学模拟试卷（5月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）‎ ‎1．下列各实数中，最小的是（　　）‎ A．﹣π B．（﹣1）0 C． D．|﹣2|‎ ‎【考点】实数大小比较；零指数幂．‎ ‎【分析】首先求出每个选项中的数各是多少；然后根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，判断出最小的实数是多少即可．‎ ‎【解答】解：﹣π≈﹣3.14，（﹣1）0=1，，‎ ‎∵﹣3.14＜﹣1＜1＜2，‎ ‎∴﹣，‎ ‎∴各实数中，最小的是﹣π．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．‎ ‎（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．‎ ‎（3）此题还考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．‎ ‎（4）此题还考查了绝对值的非负性的应用，要熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎2．下列运算错误的是（　　）‎ A．a3+a3=2a6 B．a6÷a﹣3=a9 C．a3•a3=a6 D．（﹣2a2）3=﹣8a6‎ ‎【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．‎ ‎【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法则及幂的乘方与积的乘方法则，结合各选项进行判断即可．‎ ‎【解答】解：A、a3+a3=2a3，原式计算错误，故本选项正确；‎ B、a6÷a﹣3=a9，原式计算正确，故本选项错误；‎ C、a3•a3=a6，原式计算正确，故本选项错误；‎ D、（﹣2a2）3=﹣8a6，原式计算正确，故本选项错误；‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了同底数幂的乘除法则、合并同类项的法则及幂的乘方与积的乘方运算法则，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．已知m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个实数根，则（m﹣2）（n﹣2）为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【分析】利用根与系数的关系求得m+n=4，mn=﹣3，然后将其代入展开后的所求代数式中并求值即可．‎ ‎【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两个实数根，‎ ‎∴m+n=4，mn=﹣3，‎ ‎∴（m﹣2）（n﹣2）=mn﹣2（m+n）+4=﹣3﹣8+4=﹣7．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．‎ ‎　‎ ‎4．图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②．则下列图形中，是图②的表面展开图的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何体的展开图．‎ ‎【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．‎ ‎【解答】解：由图中阴影部分的位置，首先可以排除C、D，‎ 又阴影部分正方形在左，三角形在右，而且相邻，故只有选项B符合题意．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了几何体的展开图，本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．‎ ‎　‎ ‎5．如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】一次函数综合题；正比例函数的定义．‎ ‎【分析】从y﹣等于该圆的周长，即列方程式，再得到关于y的一次函数，从而得到函数图象的大体形状．‎ ‎【解答】解：由题意 即，‎ 所以该函数的图象大约为A中函数的形式．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的综合运用，从y﹣等于该圆的周长，从而得到关系式，即解得．‎ ‎　‎ ‎6．如图：有一块三角形状的土地平均分给四户人家，现有四种不同的分法，（如图中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是BF、AF的中点），其中正确的分法有（　　）‎ A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 ‎【考点】作图—应用与设计作图．‎ ‎【分析】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别是线段BD和AD的中点，利用三角形中位线定理，求证△ADF，△BDE，△DEF，△EFC是同底同高，然后即可证明其面积相等，其他3种情况，同理可得．‎ ‎【解答】解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，‎ ‎∴在图①中，DE=AC，EF=AB，DF=BC，‎ ‎∴△ADF，△BDE，△DEF，△EFC是同底同高，‎ ‎∴根据三角形面积公式可得△ADF，△BDE，△DEF，△EFC面积相等．‎ 同理可得图②，‎ ‎∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别是线段BD和AD的中点．‎ 同理可得图③，图④中4个三角形面积相等，所以四种分法都正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查三角形中位线定理和三角形面积的计算，难度不是很大，只是步骤繁琐，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎7．分解因式：mn2﹣6mn+9m=　m（n﹣3）2　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】首先提取公因式m，再利用完全平方公式进行分解即可．‎ ‎【解答】解：mn2﹣6mn+9m，‎ ‎=m（n2﹣6n+9），‎ ‎=m（n﹣3）2．‎ 故答案为：m（n﹣3）2．‎ ‎【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎　‎ ‎8．分式方程=1﹣的解为　x=﹣1　．‎ ‎【考点】解分式方程．‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：2x=x﹣2+1，‎ 解得：x=﹣1，‎ 经检验x=﹣1是分式方程的解．‎ 故答案为：x=﹣1．‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）小聪有一块含有30°角的直角三角板，他想只利用量角器来测量较短直角边的长度，于是他采用如图的方法，小聪发现点A处的三角板读数为12cm，点B处的量角器的读数为74°，由此可知三角板的较短直角边的长度约为　9　cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．‎ ‎【分析】如图所示，连接圆心O和点B，则OA=OB，由题可知∠BOC=2∠CAB=74°．在直角三角形ABC中运用三角函数定义求出BC．‎ ‎【解答】解：如图所示，连接圆心O和点B，‎ 则OA=OB．‎ 由意题可知∠BOC=2∠CAB=74°，‎ ‎∴在直角三角形ABC中，‎ ‎∠CAB=37°．‎ ‎∵AB=12，tan∠BAC=，‎ ‎∴BC=ABtan37°=12×0.75=9．‎ ‎∴短直角边为9cm．‎ 故答案为：9‎ ‎【点评】此题主要考查了正切的定义和应用，关键是把实际问题抽象到解直角三角形中来，本题只要求出∠CAB即可利用正切解题．‎ ‎　‎ ‎10．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为过点（1，0）且与y轴平行的直线，点A、B均在图象上，且直线AB与x轴平行，若点A的坐标为（0，），则点B的坐标为　（2，）　．‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】先确定抛物线的对称轴为x=1，然后求出点A（0，）关于直线x=1的对称点即可．‎ ‎【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为过点（1，0）且与y轴平行的直线，‎ ‎∴抛物线的对称轴为x=1，‎ ‎∵直线AB与x轴平行，‎ ‎∴点A和点B关于直线x=1对称，‎ ‎∴B点坐标为（2，）．‎ 故答案为（2，）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．‎ ‎　‎ ‎11．如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE折叠，使点A正好与CD上的F点重合，若△FDE的周长为16，△FCB的周长为28，则FC的长为　6　．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】根据翻折不变性以及平行四边形的性质，由BF+BC+CF=28，BF=AB=DF+FC，BC=AD=ED+EF，进行等量代换即可解决．‎ ‎【解答】解：∵△BEF是由△BEA翻折，‎ ‎∴EA=EF，BF=BA，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴BC=AD=AE+DE=EF+ED，AB=BF=DC=DF+CF，‎ ‎∵CF+BC+BF=28，DE+EF+DF=16‎ ‎∴CF+DE+EF+DF+CF=28，‎ ‎∴2CF+16=28，‎ ‎∴CF=6，‎ 故答案为6．‎ ‎【点评】本题考查翻折变换、平行四边形的性质，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会整体代入的数学思想，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎12．有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是　25°或40°或10°　．‎ ‎【考点】等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，‎ 对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，‎ ‎∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣80°=100°，‎ ‎∠C=（180°﹣100°）=40°，‎ ‎②AB=AD，此时∠ADB=（180°﹣∠A）=（180°﹣80°）=50°，‎ ‎∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣50°=130°，‎ ‎∠C=（180°﹣130°）=25°，‎ ‎③AD=BD，此时，∠ADB=180°﹣2×80°=20°，‎ ‎∴∠BDC=180°﹣∠ADB=180°﹣20°=160°，‎ ‎∠C=（180°﹣160°）=10°，‎ 综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°．‎ 故答案为：25°或40°或10°．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．‎ ‎　‎ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎13．计算：﹣12++|﹣1|﹣4cos45°；‎ ‎（2）解不等式组：．‎ ‎【考点】实数的运算；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】（1）原式利用乘方的意义，二次根式性质，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；‎ ‎（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．‎ ‎【解答】解：（1）原式=﹣1+3+1﹣2=；‎ ‎（2）‎ 由①，得x＞﹣3，‎ 由②，得x＜1，‎ ‎∴原不等式组的解集为﹣3＜x＜1．‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．‎ ‎（1）求x，y的值；‎ ‎（2）在备用图中完成此方阵图．‎ ‎3‎ ‎4‎ x ‎﹣2‎ y a ‎2y﹣x c b 备用图 ‎3‎ ‎4‎ ‎﹣2‎ ‎【考点】二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】（1）要求x，y的值，根据表格中的数据，即可找到只含有x，y的行或列，列出方程组即可；‎ ‎（2）根据（1）中求得的x，y的值和每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等即可完成表格的填写．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，得 ‎，‎ 解得；‎ ‎（2）如图 ‎【点评】此题中根据要求的是x，y的值，因此要能够列出关于x，y的方程组，不要涉及a，b，c的行或列．‎ ‎　‎ ‎15．（6分）在8×6的正方形网格中，正方形网格的边长为单位1；已知α，顶点均在格点上；请用无刻度直尺画图：‎ ‎（1）在图1中，画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点在格点上；‎ ‎（2）在图2中，画一个与△ABC面积相等，且以点C为其中一个顶点的正方形，顶点也在格点上．‎ ‎【考点】作图—应用与设计作图；平行四边形的判定；正方形的判定．‎ ‎【分析】（1）根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式可得，平行四边形的BC的对边到BC的距离等于A到BC的距离的一半，然后根据平行四边形的对边相等解答；‎ ‎（2）根据△ABC的面积求得正方形的面积，然后确定边长，即可作出．‎ ‎【解答】解：（1）‎ ‎；‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的判定，正确求得正方形的面积，进而确定边长是关键．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点．过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F．‎ ‎（1）求证：EO=FO；‎ ‎（2）若CE=4，CF=3，你还能得到那些结论？‎ ‎【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理．‎ ‎【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠3，然后求出∠2=∠3，再根据等角对等边可得OE=OC，同理可得OF=OC，从而得到OE=OF；‎ ‎（2）CE是∠ACB的平分线，CF是∠OCD的平分线，所以∠ECF=90°，若CE=4，CF=3，得到EF=5，OE=OF=OC=．‎ ‎【解答】解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴OE=OC，‎ 同理可得OF=OC，‎ ‎∴OE=OF；‎ ‎（2）∵CE是∠ACB的平分线，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵CF是∠OCD的平分线，‎ ‎∴∠4=∠5，‎ ‎∴∠ECF=90°，‎ 在Rt△ECF中，由勾股定理得 EF=．‎ ‎∴OE=OF=OC=EF=．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．学校举办“大爱镇江”征文活动，小明为此次活动设计了一个以三座山为背景的图标（如图），现用红、黄两种颜色对图标中的A、B、C三块三角形区域分别涂色，一块区域只涂一种颜色．‎ ‎（1）请用树状图列出所有涂色的可能结果；‎ ‎（2）求这三块三角形区域中所涂颜色是“两块黄色、一块红色”的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）根据树状图的画法画出即可；‎ ‎（2）根据树状图求出所有可能的情况数，以及恰好是“两块黄色、一块红色”的情况数，然后根据概率公式列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）画树状图法如下：‎ 所有可能为：（黄，黄，黄），（黄，黄，红），（黄，红，黄），（黄，红，红），（红，黄，黄），‎ ‎（红，黄，红），（红，红，黄），（红，红，红）；‎ ‎（2）从树状图看出，所有可能出现的结果共有8种，‎ 恰好“两块黄色、一块红色”的结果有3种，‎ 所以这个事件的概率是．‎ ‎【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ 四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）‎ ‎18．（8分）反比例函数y=（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB=，将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过DC的中点E．‎ ‎（1）求k的值和直线AE的函数表达式；‎ ‎（2）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由．‎ ‎【考点】反比例函数综合题．‎ ‎【分析】（1）由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，求得AB=3，代入y=得到k=xy=6，根据已知条件得到点E的纵坐标为，由点E在双曲线y=（x＞0）的图象上，得到点E的坐标为（4，），解方程组即可得到结论；‎ ‎（2）根据y=﹣x+求得点M（6，0），N（0，），延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，根据全等三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=，‎ ‎∴AB=3，‎ ‎∴A点的坐标为（2，3），‎ ‎∴k=xy=6，‎ ‎∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，‎ ‎∴点E的纵坐标为，‎ 又∵点E在y=（x＞0）的图象上，‎ ‎∴点E的坐标为（4，），‎ 设直线MN的函数表达式为y=k1x+b，‎ 则，‎ 解得，‎ ‎∴直线MN的函数表达式为y=﹣x+；‎ ‎（2）结论：AN=ME，‎ 理由：在表达式y=﹣x+中，‎ 令y=0可得x=6，令x=0可得y=，‎ ‎∴点M（6，0），N（0，），‎ 延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，‎ ‎∴NF=ON﹣OF=x，∵CM=6﹣4=2=AF，EC==NF，‎ 在△ANF与△MEC中，，‎ ‎∴△ANF≌△MEC，‎ ‎∴AN=ME．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，图形与坐标的性质，求的点E的坐标是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．某地为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整统计图（2015•河北模拟）如图1，A1B1和A2B2是水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段）．甲是一名游泳运动健将，乙是一名游泳爱好者，甲在赛道A1B1上从A1处出发，到达B1后，以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程；乙在赛道A2B2上以2m/s的速度从B2处出发，到达A2后以相同的速度回到B2处，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）．若甲、乙两人同时出发，设离开池边B1B2的距离为y（m），运动时间为t（s），甲游动时，y（m）与t（s）的函数图象如图2所示．‎ ‎（1）赛道的长度是　50　m，甲的速度是　2.5　m/s；‎ ‎（2）经过多少秒时，甲、乙两人第二次相遇？‎ ‎（3）若从甲、乙两人同时开始出发到2分钟为止，甲、乙共相遇了　5　次．2分钟时，乙距池边B1B2的距离为多少米．‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）由函数图象可以直接得出赛道的长度为50米，由路程÷时间=速度就可以求出甲的速度．‎ ‎（2）设经过x秒时，甲、乙两人第二次相遇，根据甲游过的路程+乙游过的路程=150米建立方程求出其解即可；‎ ‎（3）分别求出相遇一次的时间就可以求出相遇次数，再由速度与时间的关系就可以求出结论．‎ ‎【解答】解：（1）由图象，得 赛道的长度是：50米，‎ 甲的速度是：50÷20=2.5m/s．‎ 故答案为：50，2.5；‎ ‎（2）设经过x秒时，甲、乙两人第二次相遇，由题意，得 ‎2.5x+2x=150，‎ 解得：x=；‎ ‎（3）由题意可以得出第一次相遇的时间为： =，‎ 第二次相遇的时间为：，‎ 第三次相遇的时间为：，‎ 第四次相遇的时间为：，‎ 第五次相遇的时间为：，‎ 第六次相遇的时间为：．‎ ‎∵＞120s，‎ ‎∴甲、乙共相遇5次．‎ ‎2分钟时，乙距池边B1B2的距离为：2×（120﹣100）=40米．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查了行程问题的数量关系速度=路程÷时间的运用，相遇问题的数量关系的运用，解答时认真分析函数图象的意义是关键．‎ ‎　‎ ‎21．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．‎ ‎（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为　45°或135°　；‎ ‎（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值；‎ ‎（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；‎ ‎（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；‎ ‎（3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则=，即=，解得CF=，再利用勾股定理计算出OF=，则可得到C点坐标；‎ ‎②由于OC=3，CF=，所以∠COF=30°，则可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADO=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），‎ ‎∴OA=OB=6，‎ ‎∴△OAB为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠OBA=45°，‎ ‎∵OC∥AB，‎ ‎∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；‎ 当C点在y轴右侧时，∠BOC=90°+∠OBA=135°；‎ ‎（2）∵△OAB为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=OA=6，‎ ‎∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，‎ 过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，‎ ‎∴OE=AB=3，‎ ‎∴CE=OC+OE=3+3，‎ ‎△ABC的面积=CE•AB=×（3+3）×6=9+18．‎ ‎∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，‎ ‎△ABC的面积最大，最大值为9+18．‎ ‎（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，‎ ‎∵OC∥AD，‎ ‎∴∠COF=∠DAO，‎ 又∵∠ADO=∠CFO=90°‎ ‎∴Rt△OCF∽Rt△AOD，‎ ‎∴=，即=，解得CF=，‎ 在Rt△OCF中，OF==，‎ ‎∴C点坐标为（﹣，）；‎ 故所求点C的坐标为（﹣，），‎ 当C点在第一象限时，同理可得C点的坐标为（，），‎ 综上可得，点C的坐标为（﹣，）或（，）．‎ ‎②当C点坐标为（﹣，）或（，）时，直线BC是⊙O的切线．理由如下：‎ 在Rt△OCF中，OC=3，CF=，‎ ‎∴∠COF=30°，‎ ‎∴∠OAD=30°，‎ ‎∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，‎ ‎∵在△BOC和△AOD中 ‎，‎ ‎∴△BOC≌△AOD（SAS），‎ ‎∴∠BCO=∠ADO=90°，‎ ‎∴OC⊥BC，‎ ‎∴直线BC为⊙O的切线；‎ 当C点坐标为（﹣，）或（，）时，显然直线BC与⊙O相切．‎ 综上可得：C点坐标为（，）或（﹣，）时，显然直线BC与⊙O相切．‎ ‎【点评】本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．‎ ‎　‎ 五、（本大题共10分）‎ ‎22．（10分）（2012•镇江）对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4，把y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：‎ ‎【尝试】‎ ‎（1）当t=2时，抛物线E的顶点坐标是　（1，﹣2）　；‎ ‎（2）判断点A是否在抛物线E上；‎ ‎（3）求n的值．‎ ‎【发现】‎ 通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是　A（2，0）、B（﹣1，6）　．‎ ‎【应用1】‎ 二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．‎ ‎【应用2】‎ 以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C、D中的三点，求出所有符合条件的t的值．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】【尝试】‎ ‎（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；‎ ‎（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；‎ ‎（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．‎ ‎【发现】‎ 将抛物线E展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．‎ ‎【应用1】‎ 将【发现】中得到的两个定点坐标代入二次函数y=﹣3x2+5x+2中进行验证即可．‎ ‎【应用2】‎ 该题的关键是求出C、D的坐标；首先画出相应的图形，过C、D作坐标轴的垂线，通过构建相似三角形或全等三角形来求解．在求得C、D的坐标后，已知抛物线E必过A、B，因此只需将C或D的坐标代入抛物线E的解析式中，即可求出符合条件的t值．‎ ‎【解答】解：【尝试】‎ ‎（1）将t=2代入抛物线E中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，‎ ‎∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．‎ ‎（2）将x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y=0，‎ ‎∴点A（2，0）在抛物线E上．‎ ‎（3）将x=﹣1代入抛物线E的解析式中，得：‎ n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6．‎ ‎【发现】‎ 将抛物线E的解析式展开，得：‎ y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4‎ ‎∴抛物线E必过定点（2，0）、（﹣1，6）．‎ ‎【应用1】‎ 将x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．‎ 将x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，计算得：y=﹣6≠6，‎ 即可得抛物线y=﹣3x2+5x+2不经过点B，‎ 二次函数y=﹣3x2+5x+2不是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”．‎ ‎【应用2】‎ 如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过B作BM⊥x轴于点M，‎ 易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△MBA，‎ 则： =，即=，求得 C1K=，所以点C1（0，）．‎ 易知△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1=，‎ ‎∴点D1（3，）．‎ 易知△OAD2∽△GAD1， =，由AG=1，OA=2，GD1=，求得 OD2=1，∴点D2（0，﹣1）．‎ 易知△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1，所以点C2（﹣3，5）．‎ ‎∵抛物线E总过定点A（2，0）、B（﹣1，6），‎ ‎∴符合条件的三点可能是A、B、C或A、B、D．‎ 当抛物线E经过A、B、C1时，将C1（0，）代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），求得t1=﹣；‎ 当抛物线E经过A、B、D1，A、B、C2，A、B、D2时，可分别求得t2=，t3=﹣，t4=．‎ ‎∴满足条件的所有t的值为：﹣，，﹣，．‎ ‎【点评】该题通过新定义的形式考查了二次函数、矩形、相似三角形、全等三角形等综合知识，理解新名词的含义尤为关键．最后一题的综合性较强，通过几何知识找出C、D点的坐标是此题的难点所在．‎ ‎　‎ 六、（本大题共12分）‎ ‎23．（12分）（2016•马鞍山二模）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．‎ ‎（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．‎ ‎①求证：△ABP∽△BCP；‎ ‎②若PA=3，PC=4，则PB=　2　．‎ ‎（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）‎ ‎①求∠CPD的度数；‎ ‎②求证：P点为△ABC的费马点．‎ ‎【考点】相似形综合题．‎ ‎【分析】（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；‎ ‎②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；‎ ‎（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数；‎ ‎②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．‎ ‎【解答】（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，‎ ‎∴∠PAB=∠PBC，‎ 又∵∠APB=∠BPC=120°，‎ ‎∴△ABP∽△BCP，‎ ‎②解：∵△ABP∽△BCP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴PB2=PA•PC=12，‎ ‎∴PB=2；‎ 故答案为：2；‎ ‎（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，‎ ‎∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，‎ ‎∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，‎ 在△ACE和△ABD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACE≌△ABD（SAS），‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵∠3=∠4，‎ ‎∴∠CPD=∠6=∠5=60°；‎ ‎②证明：∵△ADF∽△CFP，‎ ‎∴AF•PF=DF•CF，‎ ‎∵∠AFP=∠CFD，‎ ‎∴△AFP∽△CDF．‎ ‎∴∠APF=∠ACD=60°，‎ ‎∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，‎ ‎∴∠BPC=120°，‎ ‎∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，‎ ‎∴P点为△ABC的费马点．‎ ‎【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，费马点的定义，以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．‎