中考数学易错题之填空题

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中考数学易错题之填空题

中考数学易错题之填空70题 ‎1.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=5,点E、F分别在线段AB、BC上,将△BEF沿EF折叠,点B落在B′ 处.如图1,当B′ 在AD上时,B′ 在AD上可移动的最大距离为_________;如图2,当B′ 在矩形ABCD内部时,AB′ 的最小值为______________.‎ A D B CF B′ ‎ EF FF 图1‎ A D B CF B′ ‎ EF FF 图2‎ CF B A ‎2.如图,乐器上一根弦固定在乐器面板上A、B两点,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,若AB=80cm,则AC=______________cm.(结果保留根号)‎ ‎3.已知抛物线y=ax 2-2ax-1+a(a >0)与直线x=2,x=3,y=1,y=2围成的正方形有公共点,则a的取值范围是___________________.‎ ‎4.如图,7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1,则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为_______________.‎ A1‎ A2‎ A6‎ A10‎ A3‎ A7‎ A4‎ A5‎ A9‎ A8‎ x y O ‎5.如图,已知A1(1,0),A2(1,-1),A3(-1,-1),A4(-1,1),‎ A5(2,1),…,则点A2010的坐标是__________________.‎ ‎6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.若以C点为圆心,r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点,则r的取值范围是_________________.‎ ‎7.已知⊙A和⊙B相交,⊙A的半径为5,AB=8,那么⊙B的半径r的取值范围是_________________.‎ ‎8.已知抛物线F1:y=x 2-4x-1,抛物线F2与F1关于点(1,0)中心对称,则在F1和F2围成的封闭图形上,平行于y轴的线段长度的最大值为_____________.‎ ‎9.如图,四边形ABCD中,AB=4,BC=7,CD=2,AD=x,则x的取值范围是( ).‎ A x D B C ‎7‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎10.已知正数a、b、c满足a 2+c 2=16,b 2+c 2=25,则k=a 2+b 2的取值范围是_________________.‎ ‎11.如图,在△ABC中,AB=AC,D在AB上,BD=AB,则∠A的取值范围是_________________.‎ A D B C ‎12.函数y=2x 2+4|x|-1的最小值是____________.‎ ‎13.已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0< a <3),A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上两点,若x1<x2,且x1+x2=1-a,则y1 __________ y2(填“>”、“<”或“=”)‎ ‎14.如图,△ABC中,∠A的平分线交BC于D,若AB=6,AC=4,∠A=60°,则AD的长为___________.‎ A D B C A D B y=‎ P O C y=‎ y x ‎15.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在AB上,DE⊥AC交AC于E,DF⊥AB交BC于F,设AD=x,四边形CEDF的面积为y,则y关于x的函数解析式为__________________________,自变量x的取值范围是_____________________.‎ A D B C E F ‎16.两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示,点P在y=的图象上,PC⊥x轴于点C,交y=的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B,当点P在y=的图象上运动时,以下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②四边形PAOB的面积不会发生变化;③PA与PB始终相等;④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.‎ 其中一定正确的是_________________.(把你认为正确结论的序号都填上,少填或错填不给分).‎ A D B C E F G H K ‎17.如图,△ABC中,BC=8,高AD=6,矩形EFGH的一边EF在边BC上,其余两个顶点G、H分别在边AC、AB上,则矩形EFGH的面积最大值为___________.‎ ‎18.已知二次函数y=a(a+1)x 2-(2a+1)x+1,当a依次取1,2,…,2010时,函数的图像在x轴上所截得的线段A1B1,A2B2,…,A2010B2010的长度之和为_____________.‎ ‎19.如图是一个矩形桌子,一小球从P撞击到Q,反射到R,又从R反射到S,从S反射回原处P,入射角与反射角相等(例如∠PQA=∠RQB等),已知AB=8,BC=15,DP=3.则小球所走的路径的长为_____________.‎A C B S D Q P R A B C G D E F ‎20.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AB,AF=AD,连结EF交对角线AC于G,则=_____________.‎ ‎21.已知m,n是关于x的方程x 2-2ax+a+6=0的两实根,则(m-1)2+(n-1)2的最小值为_____________.‎ A C B F D E G ‎22.如图,四边形ABCD和BEFG均为正方形,则AG : DF : CE=_____________.‎ A P B C ‎23.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,点P是△ABC内的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB=________.‎ O C D A B ‎24.如图,AB、CD是⊙O的两条弦,∠AOB与∠C互补,∠COD与∠A相等,则∠AOB的度数是________.‎ ‎25.如图,一个半径为的圆经过一个半径为2的圆的圆心,则图中阴影部分的面积为_____________.‎ A C B D D1‎ D2‎ D3‎ C1‎ C2‎ C3‎ C4‎ ‎26.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2.作△ABC的高CD,作△CDB的高DC1,作△DC1B的高C1D1,……,如此下去,则得到的所有阴影三角形的面积之和为__________.‎ ‎27.已知抛物线y=x 2-(2m+4)x+m 2-10与x轴交于A、B两点,C是抛物线顶点,若△ABC为直角三角形,则m=__________.‎ ‎28.已知抛物线y=x 2-(2m+4)x+m 2-10与x轴交于A、B两点,C是抛物线顶点,若△ABC为等边三角形,则该抛物线的解析式为___________________________.‎ ‎29.已知抛物线y=ax 2+(+3a)x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.若△ABC为直角三角形,则a=__________.‎ ‎30.如图,在直角三角形ABC中,∠A=90°,点D在斜边BC上,点E、F分别在直角边AB、AC上,且BD=5,CD=9,四边形AEDF是正方形,则阴影部分的面积为__________.‎ B A D E F C ‎31.小颖同学想用“描点法”画二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象,取自变量x的5个值,分别计算出对应的y值,如下表:‎ x ‎…‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎11‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎…‎ 由于粗心,小颖算错了其中的一个y值,请你指出这个算错的y值所对应的x=__________.‎ ‎32.等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如图所示的平面直角坐标系中,其中BC边在x轴上,BC边上的高OA在y轴上。一只电子虫从A点出发,先沿y轴到达G点,再沿GC到达C点,若电子虫在y轴上运动的速度是它在GC上运动速度的2倍,那么要使电子虫走完全程的时间最短,G点的坐标为_____________.‎ A C D B E F O A B x y C ‎33.如图,等腰梯形纸片ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=7,折叠纸片,使点B与点D重合,折痕为EF,若DF⊥BC,则下列结论:①EF∥AC;②梯形ABCD的面积为25;③△AED∽△DAC;④∠B=67.5°;⑤DE⊥DC;⑥EF=,其中正确的是______________________.‎ A C B E F G 图3‎ D ‎34.如图1是长方形纸带,∠DEF=24°,将纸带沿EF折叠成图2,再沿BF折叠成图3,则图3中的∠CFE的度数是___________.‎ A C B E D F 图1‎ A C B E F G 图2‎ D O A C B D M ‎35.如图,在一块等边三角形铁皮的每个顶点处各剪掉一个四边形,用剩余部分做成一个底面是等边三角形的无盖的盒子(接缝忽略不计).若等边三角形铁皮的边长为10cm,做成的盒子的侧面积等于底面积,那么,盒子的容积为___________cm3.‎ ‎36.已知AC、BD是半径为2的⊙O的两条相互垂直的弦,M是AC与BD的交点,且OM=,则四边形ABCD的面积最大值为___________.‎ C A B D O2‎ O1‎ ‎37.如图,半径为r1的⊙O1内切于半径为r2的⊙O2,切点为P,⊙O2的弦AB过⊙O1的圆心O1,与⊙O1交于C、D,且AC : CD : DB=3 : 4 : 2,则=___________.‎ ‎38.已知实数x ,y满足方程组,则x 2+y 2=___________.‎ ‎39.拋物线y=ax 2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,若△ABC是直角三角形,则ac=___________.‎ C A B D E ‎40.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠C=90°,BC=5,CD=3,AE⊥BC于点E,则AE=__________.‎ ‎41.已知⊙O的半径OA=1,弦AB、AC的长分别是、,则∠BAC的度数是___________.‎ ‎42.已知二次函数y=a(a+1)x 2-(2a+1)x+1(a>0)的图像顶点为A,与x轴的交点为B、C,则tan∠ABC=__________.‎ O B x y A ‎43.如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标为(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,记所得的像是△A′B′C.若点B的对应点B′ 的坐标为(a,b),则点B的坐标为_________________.‎ C A x O B y A′‎ B′‎ ‎-1‎ A B N M O P ‎44.如图,MN是⊙O的直径,MN=2,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN 上一动点,则PA+PB的最小值为____________.‎ ‎45.如图,抛物线y=x 2-x-与直线y=x-2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使点P运动的总路径最短,则点E的坐标为____________,点F的坐标为____________,点P运动的总路径的长为____________.‎ A B N M C D G E F ‎46.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,CD⊥AB于点D,过AC的中点E作AC的垂线,交AB于点F,交CD的延长线于点G,M为CD中点,连结AM交EF于点N,则=____________.‎ ‎47.圆内接四边形ABCD的四条边长顺次为:AB=2,BC=7,CD=6,DA=9,则四边形ABCD的面积为____________.‎ ‎48.已知直角三角形的一边为11,其余两边的长度均为自然数,那么这个三角形的周长等于____________.‎ ‎49.如图,△ABC中,AB=AC=16,sinA=.O为AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆交BC于D,且⊙O与AC相切,则D到AC的距离为_________.‎ A B O ‎6‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎6‎ x y A B C D O A B C O ‎50.如图,△ABC内接于⊙O,CB=a,CA=b,∠A-∠B=90°,则⊙O的半径为_______________.‎ ‎51.如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点,如图,A、B两点在函数y=(x>0)的图象上,则图中阴影部分(不包括边界)所含格点的坐标为_____________________________________.‎ ‎52.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n·90°,则n=_________.‎ A B C D E F G ‎53.如图,在边长为46cm的正方形铁皮上剪下一块圆形和一块扇形铁皮,恰好做成一个圆锥模型,则该圆锥模型的底面半径是______________cm.‎ ‎54.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BE交AC于点E,点D在AB上,DE⊥BE,若AD=6,AE=,则BE=__________.‎ A B C D E A B C D I1‎ I2‎ ‎55.如图,CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心,若AC=3,BC=4,则I1I2=__________.‎ ‎56.已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点,顶点为C,当△ABC为等腰直角三角形时,b 2-4ac=__________;当△ABC为等边三角形时,b 2-4ac=__________.‎ ‎57.已知抛物线y=x 2+kx+1与x轴交于A、B两点,顶点为C,且∠ACB=90°,若使ACB=60°,应将抛物线向________(填“上”、“下”、“左”或“右”)平移________个单位.‎ A C O B x y ‎58.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,顶点A、C分别在x轴、轴的正半轴上滑动,则点B到原点的最大距离是__________.‎ A C O B x y ‎59.如图,边长为1的正三角形ABC的顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,则OC的长的最大值是__________.‎ ‎60.已知实数a≠b,且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2,则的值为__________.‎ A C D B E F ‎61.如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,AD是∠BAC的平分线,E是BC的中点,FE∥AD,则FC的长为__________.‎ ‎62.已知a,b均为正数,抛物线y=x 2+ax+2b和y=x 2+2bx+a都与x轴 有公共点,则a 2+b 2的最小值为__________.‎ ‎63.如图,△ABC中,AB=7,BC=12,CA=11,内切圆O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F,则AD : BE : CF=_______________.‎ A C D B E F ‎64.如图,△ABC的面积为1,AD为中线,点E在AC上,且AE=2EC,AD与BE相交于点O,则△AOB的面积为__________.‎ A′‎ D C F E A B B′‎ B C F E A D P Q R B C D E A O ‎65.如图,等边三角形ABC中,点D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且BD=2DC,BE=2EC,CF=2FA,AD与BE相交于点P,BE与CF相交于点Q,CF与AD相交于点R,则AP : PR : RD=_______________.若△ABC的面积为1,则△PQR的面积为__________.‎ ‎66.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°.将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转,得△A′B′C,斜边A′B′分别与BC、AB相交于点D、E,直角边A′C与AB交于点F.若CD=AC=2,则△ABC至少旋转_________度才能得到△A′B′C,此时△ABC与△A′B′C的重叠部分(即四边形CDEF)的面积为_______________.‎ C B x O A y ‎67.如图,已知反比例函数y=(m为常数)的图象经过点A(-1,6),过A点的直线交函数y=的图象于另一点B,与x轴交于点C,且AB=2BC,则点C的坐标为_____________.‎ ‎68.若实数x、y满足=1,=1,‎ 则x+y=___________.‎ ‎69.在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点.已知一个 圆的圆心在原点,半径等于5,那么这个圆上的格点有__________个.‎ A′‎ N M A B y x O ‎70.如图,直角三角形纸片AOB中,∠AOB=90°,OA=2,OB=1.折叠纸片,使顶点A落在底边OB上的A′处,折痕为MN,若NA′⊥OB,则点A′ 的坐标为________________.‎ 答案 ‎1.2 -5‎ 解:如图1,当点F与点C重合时,B′D====4‎ AB′=5-4=1‎ 如图2,当点E与点A重合时,AB′=AB=3‎ 所以B′ 在AD上可移动的最大距离为3-1=2‎ 如图3,当B′ 在对角线AC上时,AB′ 最小(连结AC、AB′ 、B′C,则AB′ ≥AC-B′C,当且仅当点B′ 在线段AC上时取等号,所以AB′ 的最小值为AC-B′C,即AC-BC)‎ AB′=-5=-5‎ A D B CF B′ ‎ EF ‎(F)‎ 图3‎ A D B CF B′ ‎ EF ‎(F)‎ 图1‎ A D B CF B′ ‎ FF 图2‎ ‎(E)‎ ‎2.40(-1)‎ 解:设AC=x,则AB=x=x=80,x=40(-1)‎ ‎3.≤ a ≤3‎ 解:当a >0时,a值越大,抛物线开口越小 设正方形的四个顶点为A、B、C、D(如图),显然抛物线经过A(2,2)和C(3,1)时,分别得到a的最大值和最小值 把A(2,2)和C(3,1)分别代入y=ax 2-2ax-1+a,得a=和a=3,∴≤ a ≤3‎ O B x y y=2‎ y=1‎ x=2‎ x=3‎ A C D x=1,y=2代入y=ax 2,得a=2;把x=2,y=1代入y=ax 2,得a=,故 ‎4.‎ 解:添加辅助线如图 ‎5.(503,-503)‎ 解:通过观察,不难发现以下规律:‎ A1、A5、A9、…An在同一直线上,其通式为4n-3(n为正整数)‎ A2、A6、A10、…An在同一直线上,其通式为4n-2(n为正整数)‎ A3、A7、A11、…An在同一直线上,其通式为4n-1(n为正整数)‎ A4、A8、A12、…An在同一直线上,其通式为4n(n为正整数)‎ 当An为A2010时,只有4n-2=2010的解为整数,n=503‎ 故点A2010的坐标是(503,-503)‎ ‎6.r=或3<r≤4‎ 解:过C作CD⊥AB于D,则CD=‎ 当r=CD=时,圆与斜边AB只有一个公共点D;‎ 当<r≤AC=3时,圆与斜边AB有两个公共点;‎ ‎1‎ y O x F1‎ F2‎ 当3<r≤BC=4时,圆与斜边AB也只有一个公共点 当r>4时,圆与斜边AB没有公共点 综上所述,r=或3<r≤4‎ ‎7.解:当⊙A和⊙B外切时,r=3;当⊙A和⊙B内切时,r=13,故3<r<13‎ ‎8.解:F1:y=x 2-4x-1=(x-2)2-5‎ ‎∵F2与F1关于点(1,0)中心对称,∴F2:y=-x 2+5‎ 联立 解得x=-1或x=3‎ ‎∴当-1≤ x ≤3时,F1和F2围成的一个封闭图形,如图所示 封闭图形上,平行于y轴的线段的长度就是对应于同一个横坐标,两抛物线上的点的纵坐标的差 当-1≤ x ≤3时,设F1上的点P1(x1,y1),F2上的点P1(x2,y2)‎ 则y2-y1=(-x 2+5)-(x 2-4x-1)=-2x 2+4x+6=-2(x-1)2+8‎ ‎∵-2<0,∴y2-y1有最大值 当x=1时,y2-y1的最大值为8,即线段长度的最大值是8‎ ‎9.1<x<13‎ 解:考虑图1和图2的两种极端情形 A D B C ‎7‎ ‎4‎ ‎2‎ 图1‎ x A D B C ‎7‎ ‎4‎ ‎2‎ 图2‎ x ‎10.9<a 2+b 2<41‎ 解:∵a 2+c 2=16,∴c 2=16-a 2,∴0<c 2<16‎ 同理,由b 2+c 2=25得,0<c 2<25,∴0<c 2<16‎ 两式相加,得a 2+b 2+2c 2=41,a 2+b 2=41-2c 2‎ 由0<c 2<16得9<41-2c 2<41,即9<a 2+b 2<41‎ ‎11.60°<∠A<90°‎ x y O 解:∵BD=AB=AC,∴∠ADB=∠A,∠C=(180°-∠A)‎ ‎∵∠ADB>∠C,∴∠A>(180°-∠A),∴∠A>60°‎ 由∠A+∠ADB<180°,得2∠A<180°,A<90°‎ 故60°<∠A<90°‎ ‎12.-1‎ ‎(x≥0)‎ ‎(x≤0)‎ 解:y=2x 2+4|x|-1=2(|x|+1)2-3=‎ 其图象如图,由图象可知,当x=0时,y最小为-1‎ ‎13.<‎ 解:由题意得:y1=ax 12+2ax1+4,y2=ax 22+2ax2+4‎ y1-y2=a(x 12-x 22)+2a(x 1-x 2)=a(x 1-x 2)(x 1+x 2+2)=a(x 1-x 2)(3-a)‎ ‎∵x1<x2,0< a <3,∴y1-y2<0,∴y1<y2‎ ‎14.‎ 解:过C作CE⊥AB于E,过D作DF⊥AB于F,DG⊥AC于G A D B C E F G ‎∵S△ABC =AB·CE=AB·AC·sin60°‎ S△ABC =S△ABD+S△ADC =AB·DF+AC·DG=AB·AD·sin30°+AC·AD·sin30°‎ ‎∴AB·AC·sin60°=AB·AD·sin30°+AC·AD·sin30°‎ 解得AD=‎ ‎15.y=-x 2+x-,<x<10‎ 解:AB2=AC 2+BC 2=6 2+8 2=100,AB=10‎ 由△ADE∽△ABC得DE=x,AE=x,CE=6-x 由△BFD∽△ABC得BF=-x,CF=8-(-x)=x-‎ y=(CF+DE)·CE=(x-+x)(6-x)=-x 2+x-‎ 当点F与点C重合时,由△ACD∽△ABC得AD=‎ 故<x<10‎ ‎16.①②④‎ ‎17.12‎ 解:设FG=x,则AK=6-x ‎∵HG∥BC,∴△AHG∽△ABC ‎∴=,HG=(6-x)‎ S矩形EFGH=(6-x)x=-(x-3)2+12‎ 当x=3时,矩形EFGH的面积取得最大值12‎ ‎18.‎ 解:设An(x1,0),Bn(x2,0),则x1,x2是方程y=a(a+1)x 2-(2a+1)x+1的两个不相等的实数根 故x1+x2=,x1x2=‎ ‎|AnBn|=|x1-x2|===‎ ‎∵a为正整数,∴|AnBn|=‎ 当a依次取1,2,…,2010时,所截得的线段长分别为|A1B1|=,|A2B2|=,…,‎ ‎|A2010B2010|=‎ ‎∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2010B2010|=++…+‎ ‎=(1-)+(-)+…+(-)=1-=‎ ‎19.34‎ 解:方法一:易知四边形PQRS是平行四边形.‎ 由△QBR≌△SDP及△SDP∽△SCR,得=,∴DS=‎ SP==,PQ==4×‎ 因而小球所走的路径长为:2(SP+PQ)=10×=34‎ 方法二:利用轴对称可发现SP+PQ=DB==17‎ 所以2(SP+PQ)=34‎ A B C G H D E F ‎20.‎ 解:如图,延长EF交CD的延长线于H ‎∵AB∥CD,∴==,∴DH=3AE,‎ ‎∴====,∴=‎ ‎21.8‎ 解:由题意得m+n=2a,mn=a+6‎ ‎△=4a 2-4(a+6)≥0,即a 2-a -6≥0,解得a ≤-2或a ≥3‎ ‎(m-1)2+(n-1)2=m 2+n 2-2(m+n)+2=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2=4a 2-6a-10=4(a-)2-‎ ‎∴a=3时,(m-1)2+(n-1)2有最小值,最小值为4(3-)2-=8‎ A C B F D E G ‎22.1 :: 1‎ 解:如图,连结BD、BF.‎ ‎∵∠ABG+∠GBD=∠DBF+∠GBD=45°,∴∠ABG=∠DBF.‎ 又∵==,∴△ABG∽△DBF.‎ ‎∵AB=BC,∠ABG=90°-∠GBC=∠CBG,BG=BE ‎∴△ABG≌△CBE,∴AG=CE.‎ ‎∴AG : DF : CE=1::1.‎ ‎23.‎ 解:∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°,∠APB=∠BPC=∠CPA ‎∴∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,∴∠PCB+∠PBC=60°‎ 又∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°,∴∠PCB=∠ABP ‎∴△PAB∽△PBC,∴=‎ 即=,∴PB=‎ ‎24.108°‎ 解:设∠AOB=x,则∠C=∠D=180°-x ‎∠COD=180°-2∠C=2x-180°‎ ‎∠A=∠B=(180°-x)‎ ‎∵∠COD=∠A ‎∴2x-180°=(180°-x)‎ 解得x=108°‎ O1‎ C A B O2‎ ‎25.2‎ 解:如图,连结O1O2、AB,则有O1O2⊥AB于点C 在Rt△AO1C和Rt△ACO2中,AC 2=AO1 2-O1C 2=AO2 2-O2C 2‎ ‎∴2 2-(±O2C)2=()2-O2C 2,∴O2C =0‎ 即点O2在AB上且与点C重合,易知AB是圆O2的直径,△AO1B是等腰直角三角形 所以S阴影=×π×()2-(×π×2 2-×2 2)=2‎ ‎26.‎ 解:由已知条件得AB=4,BC=,CD=‎ ‎∵所有的直角三角形都是相似三角形 ‎∴RtCDC1的面积 : Rt△△ACD的面积=CD 2 : AC 2=()2 : 2 2=‎ 从而Rt△tCDC1的面积 : 直角梯形ACC1D的面积=‎ 叠加得所有阴影三角形的面积之和 : Rt△ABC的面积=‎ 故所有阴影三角形的面积之和=××2×=‎ ‎27.-‎ 解:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程x 2-(2m+4)x+m 2-10=0的两个不相等的实数根 故x1+x2=2m+4,x1x2=m 2-10‎ ‎∴AB=|x1-x2|===‎ 判别式△=(2m+4) 2-4(m 2-10)>0,解得m>-‎ ‎∵y=x 2-(2m+4)x+m 2-10,∴-=m+2,==-4m-14‎ ‎∴A(m+2,-4m-14)‎ 由抛物线的对称性可知,AC=BC,若△ABC为直角三角形,则△ABC为等腰直角三角形 ‎∴AB=2(4m+14),即=2(4m+14)‎ 整理得8m 2+54m+91=0,即(2m+7)(4m+13)=0,解得m=-或m=-‎ ‎∵m>-,∴m=-不合题意,舍去;而m=->-,符合题意 ‎∴m=-‎ ‎28.y=x 2+x-‎ 解:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程x 2-(2m+4)x+m 2-10=0的两个不相等的实数根 故x1+x2=2m+4,x1x2=m 2-10‎ ‎∴AB=|x1-x2|===‎ 判别式△=(2m+4) 2-4(m 2-10)>0,解得m>-‎ ‎∵y=x 2-(2m+4)x+m 2-10,∴-=m+2,==-4m-14‎ ‎∴A(m+2,-4m-14)‎ 若△ABC为等边三角形,则4m+14=AB ‎∴4m+14=×,即4m+14=‎ 整理得8m 2+50m+77=0,即(2m+7)(4m+11)=0,解得m=-或m=-‎ ‎∵m>-,∴m=-不合题意,舍去;而m=->-,符合题意,∴m=-‎ 把m=-代入y=x 2-(2m+4)x+m 2-10并整理得:y=x 2+x-‎ ‎29.-‎ 解:令x=0,得y=4,∴C(0,4)‎ 设A(x1,0),B(x2,0),令y=ax 2+(+3a)x+4=0,解得x1=-3,x2=-‎ ‎∴A(-3,0),B(-,0)‎ ‎∴AB=|-+3|,AC===5,BC==‎ ‎∴AB 2=|-+3|2=-+9,AC 2=25,BC 2=+16‎ ‎①若∠ACB=90°,则AB 2=AC 2+BC 2,得-+9=25++16,解得a=-‎ 当a=-时,点B的坐标为(,0),AB 2=,AC 2=25,BC 2=‎ 于是AB 2=AC 2+BC 2‎ ‎∴当a=-时,△ABC为直角三角形 ‎②若∠ABC=90°,则AC 2=AB 2+BC 2,得25=-+9++16,解得a=‎ 当a=时,-=-=-3,点B(-3,0)与点A重合,不合题意 ‎③若∠BAC=90°,则BC 2=AB 2+AC 2,得+16=-+9+25,解得a=,不合题意 综上所述,当a=-时,△ABC为直角三角形.‎ B A D E F C G ‎30.‎ 解:如图,将△BDE绕点D顺时针旋转90°,得到直角三角形GDC 故阴影部分的面积=×5×9=‎ ‎31.2‎ 解:由(-1,2),(0,-1),(1,2)可知该二次函数的图象的对称轴为y轴 因为(-2,11),所以由抛物线的对称性可知当x=2时,y=11,故算错的y值所对应的x=2‎ ‎32.(0,-)‎ 解:如图,过C点作CH⊥AB于点H,则CH与y轴的交点即为所求的G点,理由如下:‎ O A B x y C H G 假设电子虫在y轴上运动的速度与它在GC上运动的速度相同,那么,要使电子虫在y轴上运动的时间不变,在y轴上所走的路程应该是原来的一半。因为∠BAO=30°,所以当CG⊥AB时,电子虫在y轴上所走的路程是原来的一半,即HG=AG ‎∵△ABC为等边三角形,AC=6,∴OC=3,∠BCH=30°‎ 在Rt△OCG中,OG=OC·tan∠BCH=3tan30°=‎ ‎∴G点的坐标为(0,-)‎ ‎33.①②⑤‎ 解:如图,过D作DG∥AC交BC的延长线于点G,连结BD,交EF于点H,则BH=DH ‎∵AD∥BC,DG∥AC,∴四边形ACGD是平行四边形 A C D B E F H G K M ‎∴CG=AD=3,DG=AC ‎∵AB=DC,∴DB=AC=DG ‎∵DF⊥BC,∴BF=FG ‎∴FH是△BGD的中位线,∴FH∥DG ‎∴EF∥AC,故①对 BG=BC+CG=7+3=10‎ ‎∵BF=DF,BF=FG,∴BF=DF=FG=5‎ ‎∴S梯形ABCD =×(3+7)×5=25,故②对 ‎∵DF⊥BC,∴△DBG、△DBF、△DFG都是等腰直角三角形,∴∠DBF=∠G=45°‎ FC=BC-BF=7-5=2,∴DC===,∴AB=‎ ‎∵EF∥AC,∴==,∴AE=AB=‎ ‎∴=,而==,∴≠‎ ‎∴△AED与△DAC不相似,故③错 ‎∵∠DBF=45°,∴∠DAC=∠D ‎∵△AED与△DAC不相似,∴∠AED≠∠DAC 又∠DAC=∠ACB=∠DBF=45°,∴∠AED≠45°‎ ‎∵∠EBD=∠EDB,∠AED=∠EBD+∠EDB,∴∠EBD=∠AED ‎∴∠EBD≠22.5°,∴∠B≠67.5°,故④错 设AC与BD相交于点K,AC与DE相交于点M,则∠DKM=90°‎ ‎∴∠DMC+∠EDB=90°,又∠DCM=∠EBD=∠EDB ‎∴∠DMC+∠DCM=90°,∴DE⊥DC,故⑤对 ‎∵DBG是等腰直角三角形,∴DB==AC ‎∵EF∥AC,∴==,∴EF=AC=,故⑥错 综上所述,正确的结论是①②⑤‎ ‎34.108°‎ 解:∠EFG=∠DEF=24°,∠FGD=∠BGE=2∠DEF=48°‎ ‎∠GFC=180°-48°=132°,∠CFE=132°-24°=108°‎ ‎35.‎ 解:如图,设盒子底面等边三角形的边长为x,盒子的高为y,则有:‎ x+y=10,∴x=10-y 由题意得:3xy=x 2,即3y=x,‎ ‎∴3y=(10-y),解得:y=,代入得x=‎ 盒子的容积V=×()2×=(cm3)‎ ‎36.5‎ 解:如图,过O分别作OE⊥AC于E,OF⊥BD于F,则四边形MEOF为矩形 O A C B D E F M ‎∴OE 2+OF 2=MF 2+OF 2=OM 2=3‎ S四边形ABCD=AC·BM+AC·DM=AC·BD ‎≤×( AC 2+BD 2)=( 4AE 2+4BF 2)‎ ‎=AE 2+BF 2=OA 2-OE 2+OB 2-OF 2‎ ‎=2OA 2-(OE 2+OF 2)=2×2 2-3=5‎ 故四边形ABCD的面积最大值为5‎ ‎37.‎ 解:如图,过O2作O2H⊥AB于H,连结O2A、O2O1‎ 设AC=3k,则CD=4k,DB=2k,∴r1=2k,AO1=5k,O1B=4k,AB=9k,O2O1=r2-r1=r2-2k ‎∴HO1=5k-k=k 在Rt△O2AH中,O2H 2=O2A 2-AH 2=r22-(k)2在Rt△O2HO1中,∵O2H 2+HO12=O2O12‎ C A B D O2‎ O1‎ H ‎∴r22-(k)2+(k)2=(r2-2k)2,解得r2=6k ‎∴==‎ ‎38.13‎ 解:由x 3+y 3=19得(x+y)[(x+y)2-3xy]=19,把x+y=1代入,得xy=-6‎ 所以x 2+y 2=(x+y)2-2xy=13‎ ‎39.-1‎ 解:易知C点坐标为(0,c),若△ABC是直角三角形,则∠C=90°‎ 设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程ax 2+bx+c=0的两个不相等的实数根 故x1+x2=-,x1x2=‎ ‎∴AB 2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-)2-4×=‎ AC 2=x12+c 2,BC 2=x22+c 2‎ 由AC 2+BC 2=AB 2得x12+c 2+x22+c 2=,即(x1+x2)2-2x1x2+2c 2=‎ C A B D E F ‎∴(-)2-2×+2c 2=‎ 整理得ac=-1‎ ‎40.4‎ 解:如图,将△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADF,则AE=4‎ 图1‎ O B A C 图2‎ O B A C ‎41.15°或75°‎ 解:如图1,当AB、AC在OA的同侧时,∠BAC=15°;‎ 如图2,当AB、AC在OA的异侧时,∠BAC=75°‎ ‎42.‎ 解:如图,设B(x1,0),C(x2,0)‎ 令a(a+1)x 2-(2a+1)x+1=0,即(ax-1 )[(a+1)x-1]=0‎ O B x y A C D ‎∵a>0,∴x1=,x2=‎ ‎∴BC=x2-x1=-=,BD=‎ 又∵顶点A(,),∴AD=‎ A B N M O P A′‎ 故tan∠ABC=tan∠ABD===‎ ‎43.(-,-)‎ ‎44.‎ 解:如图,作点A关于MN的对称点A′,连结A′B,交MN于点P,连结OB、OA′,则PA+PB最小 易证∠A′OB=90°,所以△A′OB是等腰直角三角形 故PA+PB=PA′+PB=A′B=OB=MN=‎ ‎45.E(,-)、F(,0),点P运动的总路径的长为 解:联立 解得 ‎ ‎∵点A在点B的左侧,∴A(,-),B(1,-1)‎ 抛物线的对称轴为x=,如图,作点A关于对称轴的对称点A′,点B关于x轴的对称点B′‎ 则A′(0,-),B′(1,1)‎ 设直线A′B′ 的解析式为y=kx+b,则:‎ ‎ 解得 ‎∴直线A′B′ 的解析式为y=x-,令y=0,得x=,∴直线A′B′ 与x轴的交点为F(,0)‎ 把x=代入y=x-,得y=-,∴直线A′B′ 与直线x=的交点为E(,-)‎ O B x y A C F E A′‎ B′‎ H 故点E(,-)、F(,0)为所求 过点B 作BH ⊥ AA′ 的延长线于点H ,则A′ H=1,B′ H=‎ 在Rt△A′B′ H中,A′B′==‎ ‎∴点P运动的总路径的长为AE+EF+FB=A′B′=‎ ‎46.‎ A B N M C D G E F H 解:如图,延长AM交BC于H,设BC=1,则AC=2,AB=,从而CD=‎ 由EC=AC=1=BC,∠GCE=∠ABC,可证Rt△GCE≌Rt△ABC 得CG=AB=,∴DG=,∴=‎ 由Rt△FGD∽Rt△BCD得FG=·BC=‎ 由M为CD中点得MG=MD+DG=+=,∴MG=4CM 设EN=x,则CH=2x 由△MNG∽△MHC得NG=·CH=8x 又由Rt△GCE≌Rt△ABC得EG=AC=2‎ 而EG=EN+NG=x+8x=9x ‎∴9x=2,x=,即EN=‎ ‎∴==‎ ‎47.30‎ 解:∵7 2+6 2=85=9 2+2 2,即BC 2+CD 2=DA 2+AB 2‎ ‎∴△BCD与△DAB都是直角三角形 故S四边形ABCD=S△BCD+S△DAB=(7×6+9×2)=30‎ ‎48.132‎ 解:若11为直角边,设另一条直角边为a,斜边为c,则a 2+11 2=c 2‎ 即(c+a)(c-a)=11 2=121×1‎ ‎∴c+a=121,c-a=1,解得a=60,c=61,‎ ‎∴三角形的周长为11+60+61=132‎ 若11为斜边,设两条直角边分别为a,b,则a 2+b 2=11 2=121,方程无正整数解,这种情况不存在 故三角形的周长等于132‎ ‎49.15‎ 解:如图,设⊙O与AC相切于E点,连接OE,则OE⊥AC A B C D O E F 过D作DF⊥AC于F,连结OD,则OE∥DF ‎∵AB=AC,OB=OD,∴∠B=∠C=∠ODB ‎∴OD∥AC,∴四边形ODFE是平行四边形 又OD=OE,∠OEF=90°,∴四边形ODFE是正方形,∴DF=OE 在Rt△AOE中,sinA==,∴OA=OE 又AB=OA+OB=16,∴OE+OE=16‎ ‎∴OE=6,∴DF=6‎ 故D到AC的距离为6‎ ‎50.‎ A B C D O 解:如图,连结CO并延长交⊙O于D,连结BD,则CBD=90°‎ ‎∴∠ABD=90°+∠B=∠A,∴= ‎∴=,∴AC=BD ‎∴CD=‎ 故⊙O的半径为 A B O ‎6‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎6‎ x y ‎51.(2,4),(3,3),(4,2)‎ 解:(1)由图象可知,函数y=(x>0)的图象经过点A(1,6),可得k=6‎ 设直线AB的解析式为y=ax+b,把A(1,6),B(1,6)代入,解得a=-1,b=7‎ ‎∴直线AB的解析式为y=-x+7‎ 故图中阴影部分(不包括边界)所含格点的坐标为(2,4),(3,3),(4,2)‎ ‎52.6‎ 解:如图,设AF与BG相交于点H,则∠AHG=∠A+∠D+∠GA B C D E F G H 于是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠B+∠C+∠E+∠F+∠AHG ‎=∠B+∠C+∠E+∠F+∠BHF=540°=6×90°‎ 故n=6‎ ‎53.-4‎ 解:如图,设该圆锥模型的底面半径为x,扇形的半径为y,则x+x+y=‎ 又∵扇形的弧长=圆形的周长,∴πy=2πx,∴y=4x ‎∴5x+x=,解得x=-4(cm)‎ ‎54.‎ 解:如图,∵DE⊥BE,∴DB是△DBE外接圆的直径,DB的中点O是外接圆的圆心 A B C D O E 连结OE,则OE=OB,∴∠OEB=∠OBE 又∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC ‎∴OE∥BC,∴AE是△DBE外接圆的切线 ‎∴AE 2=AD·AB,即()2=6AB ‎∴AB=12,∴OE=OD=(12-6)=3,AO=6+3=9‎ ‎∵OE∥BC,∴△AOE∽△ABC ‎∴=,即=,∴BC=4‎ ‎∵∠DBE=∠EBC,∠DEB=∠ECB=90°,∴△DBE∽△EBC A B C D I1‎ I2‎ E F ‎∴=,即=,∴BE=‎ ‎55.‎ 解:如图,作I1E⊥AB于E,I2F⊥AB于F 在Rt△ABC中,∵AC=3,BC=4,∴AB=5‎ ‎∴CD=‎ 又CD⊥AB,由射影定理可得AD=‎ ‎∴BD=5-=,‎ ‎∵I1E为Rt△ACD的内切圆的半径,∴I1E=(AD+CD-AC)=‎ 同理可求得I2F=‎ 连接DI1、DI2,则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线 ‎∴∠I1DC=∠I1DA=∠I2DC=∠I2DB=45°,∴∠I1DI2=90°‎ 又I1D=I1E=,I2D=I2F=‎ 故I1I2==‎ ‎56.4;12‎ O B x y A C D 图1‎ 解:设A(x1,0),B(x2,0)‎ 当△ABC为等腰直角三角形时,显然∠ACB=90°‎ 如图1,过C作CD⊥AB于D,则AB=2CD ‎∵抛物线与x轴有两个交点,∴△=b 2-4ac>0‎ AB=|x1-x2|====‎ CD=‎ O B x y A C D 图2‎ ‎∵a≠0,∴=‎ ‎∵b 2-4ac≠0,∴=2‎ ‎∴b 2-4ac=4‎ 当△ABC为等边三角形时,如图2,过C作CD⊥AB于D,则CD=AB 即=,∴=‎ ‎∴b 2-4ac=12‎ ‎57.下,2‎ 解:由上题知,当∠ACB=90°时,b 2-4ac=4‎ 即k 2-4=4,∴k =±‎ ‎∴y=x 2±x+1‎ 因为向左或向右平移抛物线时,∠ACB的度数不变,所以只需将抛物线y=x 2±x+1向上或向下平移即可 设向上或向下平移后抛物线的解析式为y=x 2±x+1+m 由上题知,当∠ACB=60°时,b 2-4ac=12‎ 即(±)2-4(1+m)=12,∴m=-2‎ 故应将抛物线向下平移2个单位 A C O B x y E ‎58.+1‎ 解:如图,取AC的中点E,连结BE、OE,则BE=,OE=1‎ 若点O、E、B不在一条直线上,则OB<BE+OE=+1‎ 若点O、E、B在一条直线上,则OB=BE+OE=+1‎ 所以,当O、E、B三点在一条直线上时,点B到原点的距离最大,为+1‎ ‎59.‎ 解:方法同上题 ‎60.-23‎ 解:∵a、b是关于x的方程(x+1)2+3(x+1)-3=0的两个根,整理此方程,得 x 2+5x+1=0,∵△=25-4>0,∴a+b=-5,ab=1,故a、b均为负数 ‎∵ ,‎ ‎∴====-23‎ ‎61.9‎ A C D B E F G 解:过E作EG∥AB交AC于G ‎∵FE∥AD,EG∥AB,AD是∠BAC的平分线,∴∠GEF=∠GFE ‎∴FG=EG=AB=‎ ‎∵E是BC的中点,EG∥AB,∴GC=AC=‎ ‎∴FC=FG+GC=+=9‎ ‎62.20‎ 解:由题设知a 2-8b≥0,4b 2-4a≥0,∴a 4≥64b 2,64b 2≥64a ‎ ‎∴a 4≥64a,b 2≥a,‎ ‎∵a,b均为正数,∴a 3≥64,∴a≥4,∴b≥2‎ 又当a=4,b=2时,抛物线y=x 2+ax+2b和y=x 2+2bx+a都与x轴有公共点 故a 2+b 2的最小值为20‎ ‎63.3 : 4 : 8‎ 解:由切线长定理可知,AD=AF,BD=BE,CE=CF ‎∴AD+BE+CF=(AB+BC+CA)=(7+12+11)=15‎ 又AD+BD=AB=7,BE+CE=BC=12,CF+AF=CA=11‎ ‎∴AD=15-12=3,BE=15-11=4,CF=15-7=8‎ ‎∴AD : BE : CF=3 : 4 : 8‎ ‎64.‎ B C D E A O F 解:如图,过D作DF∥AC交BE于F,则DF=CE=AE 由△AOE∽△DOF得==4‎ ‎∴S△AOB =S△ADB =×S△ABC =‎ ‎65.3 : 3 : 1,‎ B C F E A D P Q R G H 解:如图,过D作DG∥AB交CF于G,则△DCG∽△BCF ‎∴==,∴DG=BF=×AB=AB ‎∵DG∥AB,∴△AFR∽△DGR ‎∴AR : RD=AF : DG=AB : AB=6 : 1‎ ‎∴AR =AD,RD=AD 过D作DH∥BE交AC于H,则==2‎ ‎∴EH=EC=×AC=AC 又AE=AC,∴AP : PD=AE : EH=AC : AC=3 : 4‎ ‎∴AP=AD,∴PR=AD ‎∴AP : PR : RD=AD : AD : AD=3 : 3 : 1‎ 连结PF、PC,同理QR=CF ‎∴S△PQR =S△PFC =×S△AFC =××S△ABC =‎ ‎66.30,6-‎ 解:∵CD=AC,A′C=AC,∴CD=A′C 又∵∠A′=∠A=60°,∴△A′CD是等边三角形 ‎∴∠A′CD=60°,∴∠ACA′=30°‎ 故△ABC至少旋转30°才能得到△A′B′C ‎∵A′F=A′C-FC=AC-AC=2-,∴FE=A′F=-3‎ ‎∴S△A′FE =(2-)(-3)=-6‎ S△A′CD =×2××2=‎ ‎∴重叠部分(即四边形CDEF)的面积=S△A′CD -S△A′FE =-(-6)=6-‎ ‎67.(-4,0)‎ 解:把A(-1,6)代入y=,解得m=2‎ ‎∴y=- ①‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b,把(-1,6)代入,得b=k+6‎ ‎∴y=kx+k+6 ②‎ 联立①②,解得 ‎ ‎∴B(-,k)‎ ‎∵AB=2BC,∴6-k=2k,∴k=2,∴b=8‎ ‎∴直线AC的解析式为y=2x+8,令y=0,得x=-4‎ ‎∴点C的坐标为(-4,0)‎ O y x ‎68.224‎ 解:易知23、43是关于t的方程=1的两根 化简得:t 2-(x+y-33-53)t-(53x+33y-33·53)=0‎ 由根与系数的关系得:23+43=x+y-33-53‎ ‎∴x+y=23+33+43+53=224‎ ‎69.12‎ 解:如图,易知符合条件的格点为(5,0),(4,3),(3,4),(0,5),(-3,4),(-4,3),‎ ‎(-5,0),(-4,-3),(-3,-4),(0,-5),(3,-4),(4,-3),共12个.‎ ‎70.解:∵A′N∥OM,∴∠OMA′=∠MA′N 又∵∠MAN=∠MA′N,∴∠OMA′=∠MAN ‎∴MA′∥AB,∴Rt△MOA′∽Rt△AOB ‎∴==2,∴OM=2OA′‎ 设OA′=x,则OM=2x,MA′=AM=2-2x 在Rt△MOA′ 中,由勾股定理得:x 2+4x 2=(2-2x)2‎ 整理得:x 2+8x-4=0,解得x=--4(舍去)或x=-4‎ ‎∴点A′ 的坐标为(-4,0)‎
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