续61套中考压轴题分类解析汇编09几何综合问题

续61套中考压轴题分类解析汇编09几何综合问题

‎2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题9：几何综合问题 ‎24. （2012湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；‎ ‎（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．‎ ‎【答案】解：（1）证明：连接OB，‎ ‎∵OB=OA，CE=CB，‎ ‎∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。‎ 又∵CD⊥OA，‎ ‎∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。‎ ‎∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。‎ ‎∴BC是⊙O的切线。‎ ‎（2）连接OF，AF，BF，‎ ‎∵DA=DO，CD⊥OA，‎ ‎∴△OAF是等边三角形。‎ ‎∴∠AOF=60°。‎ ‎∴∠ABF=∠AOF=30°。‎ ‎（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，‎ ‎∴EG=BE=5。‎ 易证Rt△ADE∽Rt△CGE，‎ ‎∴sin∠ECG=sin∠A=，‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ 又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，‎ 由Rt△ADE∽Rt△CGE得，即，解得。‎ ‎∴⊙O的半径为2AD=。‎ ‎【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。‎ ‎（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。‎ ‎（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。‎ ‎25. （2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．‎ ‎（1）如图l，求证：PC=AN；‎ ‎（2） 如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°。‎ ‎ ∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN。‎ ‎∵PQ⊥AB MN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA（ASA）。‎ ‎∴AN=PQ，AM=AP。∴∠AMB=∠APM。‎ ‎∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PBC。‎ ‎∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC（角平分线的性质）。∴PC=AN。‎ ‎（2）∵NP=2 PC=3，∴由（1）知PC=AN=3。∴AP=NC=5，AC=8。‎ ‎∴AM=AP=5。∴。‎ ‎∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°，∴∠ABC=∠MAN。‎ ‎∴。‎ ‎∵，∴BC=6。‎ ‎∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。‎ 又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。∴。‎ ‎∵CK：CF=2：3，设CK=2k，则CF=3k。‎ ‎∴，。‎ 过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。‎ ‎∴NE=TF=，∴CT=CF－TF=3k－。‎ ‎∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。‎ ‎∴∠BPC=∠BFH。‎ ‎∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。‎ ‎∴。‎ ‎∴，。‎ ‎∴CT= 。∴ 。∴CK=2×=3，BK=BC－CK=3。‎ ‎∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。‎ ‎∴。∴tan∠BDK=1。‎ 过K作KG⊥BD于G。‎ ‎∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=，∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。‎ ‎∴BK=5n=3，∴n=。∴BD=4n+3n=7n=。‎ ‎∵，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。‎ ‎∴DQ=BQ－BD=6－。‎ ‎【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。‎ ‎【分析】（1）确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN。‎ ‎（2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。‎ ‎26. （2012湖北十堰10分）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．‎ ‎（1）求证：BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；‎ ‎（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求的值．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°。∴∠ABC+∠BAC=90°。‎ 又∵∠CBD=∠BAC，∴∠ABC+∠CBD=90°。∴∠ABD=90°。∴OB⊥BD。‎ ‎∴BD为⊙O的切线。‎ ‎（2）证明：如图，连接CE、OC，BE， ‎ ‎∵OE=ED，∠OBD=90°，∴BE=OE=ED。‎ ‎∴△OBE为等边三角形。∴∠BOE=60°。‎ 又∵OD∥AC，∴∠OAC=60°。‎ 又∵OA=OC，∴AC=OA=OE。∴AC∥OE且AC=OE。‎ ‎∴四边形OACE是平行四边形。‎ 而OA=OE，∴四边形OACE是菱形。‎ ‎（3）∵CF⊥AB，∴∠AFC=∠OBD=90°。‎ 又∵OD∥AC，∴∠CAF=∠DOB。∴Rt△AFC∽Rt△OBD。‎ ‎∴，即。‎ 又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD。‎ ‎∴，即。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，‎ 而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切 线。‎ ‎（2）连接CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=60°，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE，可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形。‎ ‎（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而OD∥AC，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的 判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有，即，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则，即，然后求FG与FC的比即可。‎ ‎27. （2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）。‎ ‎（1）求证：AM=AN；‎ ‎（2）设BP=x。‎ ①若，BM=，求x的值；‎ ②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；‎ ③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形，‎ ‎ ∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=600，∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。‎ ‎ ∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。‎ ‎（2）①易证△BPM∽△CAP，∴，‎ ‎ ∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴，即。‎ ‎ 解得x=或x=。‎ ‎ ②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。‎ ‎ ∵△ADM≌△APN，∴。‎ ‎∴。‎ 如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T是AP的中点。‎ 在Rt△BPS中，∵∠P=600，BP=x，‎ ‎∴PS=BPsin600=x，BS=BPcos600=x。‎ ‎∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－x。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎∴当x=1时，S的最小值为。‎ ③连接PG，设DE交AP于点O。‎ 若∠BAD=150，‎ ‎∵∠DAP =600，∴∠PAG =450。‎ ‎∵△APD和△APE都是等边三角形，‎ ‎∴AD=DP=AP=PE=EA。‎ ‎∴四边形ADPE是菱形。‎ ‎∴DO垂直平分AP。‎ ‎∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。‎ ‎∴∠PGA =900。‎ 设BG=t，‎ 在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG=。∴AG=PG=。‎ ‎∴，解得t=－1。∴BP=2t=2－2。‎ ‎∴当BP=2－2时，∠BAD=150。‎ 猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。‎ ‎∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=300。‎ ‎∵∠BAD=150，∴易得∠AGO=450，∠HAO=150，∠EAH=450。‎ 设AO=a，则AD=AE=‎2 a，OD=a。∴DG=DO－GO=（－1）a。‎ 又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。‎ ‎∵DH=AD=‎2a，‎ ‎∴GH=DH－DG=‎2a－（－1）a=（3－）a，‎ HE=2DO－DH=‎2‎a－‎2a=2（－1）a。‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴。‎ ‎∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。‎ ‎【分析】（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。‎ ‎ （2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。‎ ‎ ②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得 ‎，‎ 用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。‎ ‎ ③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。‎ ‎ 求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。‎ ‎28. （2012福建三明14分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．‎ ‎（1） 当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（4分）‎ ‎（2）通过观察、测量、猜想：= ▲ ，并结合图②证明你的猜想；（5分）‎ ‎（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，‎ 求的值．（用含α的式子表示）（5分） ‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，‎ ‎∴OB=OP ， ∠BOC=∠BOG=90°。‎ ‎∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。‎ ‎∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE（AAS）。‎ ‎（2）。证明如下：‎ 如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，‎ ‎∴∠PNE=∠BOC=900， ∠BPN=∠OCB。‎ ‎∵∠OBC=∠OCB =450， ∴ ∠NBP=∠NPB。‎ ‎∴NB=NP。‎ ‎∵∠MBN=900—∠BMN， ∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。‎ ‎∴△BMN≌△PEN（ASA）。∴BM=PE。‎ ‎∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。‎ ‎∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900。‎ 又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）。∴BF=MF ，即BF=BM。‎ ‎∴BF=PE， 即。‎ ‎（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，‎ ‎∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900。‎ 由（2）同理可得BF=BM， ∠MBN=∠EPN。 ‎ ‎∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN。‎ ‎∴。‎ 在Rt△BNP中，， ∴，即。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE。‎ ‎（2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出的结论。‎ ‎（3）过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF=BM， ∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由和Rt△BNP中即可求得。‎ ‎29. （2012辽宁沈阳12分）已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.‎ ‎（1）求AP的长；‎ ‎（2）求证：点P在∠MON的平分线上；‎ ‎（3） 如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.‎ ‎①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；‎ ‎②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．‎ ‎【答案】解： (1) 过点P作PQ⊥AB于点Q ∵PA=PB，∠APB=120° ，AB=4，‎ ‎∴AQ=AB=×4=2 ，∠APQ=∠APB=×120°=60°。‎ 在Rt△APQ中， sin∠APQ=‎ ‎∴AP= ＝4。‎ ‎（2）证明：过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，‎ ‎∴∠OSP=∠OTP=90°。‎ 在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，‎ ‎∴∠APB=∠SPT=120°。 ∴∠APS=∠BPT。‎ 又∵∠ASP=∠BTP=90°， AP=BP，∴△APS≌△BPT（AAS）。 ∴PS=PT。‎ ‎∴点P在∠MON的平分线上。‎ ‎（3） ①8+4 ②4+4＜t≤8+4。‎ ‎【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理 ‎【分析】（1）过点P作PQ⊥AB于点Q．根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=‎ AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。‎ ‎（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T）构建全等三角形△APS≌△BPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=OT；最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上。‎ ‎（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。‎ ‎①当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；‎ ‎②当AB⊥OP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值，据此写出t的取值范围。‎ ‎30. （2012辽宁大连12分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A. ‎ ‎  （1）∠BEF=_____(用含α的代数式表示)；‎ ‎  （2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎  （3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求的值（用含m、n的代数式表示）。‎ ‎ 【答案】解：（1）180°－2α。‎ ‎（2）EB=EF。证明如下：‎ 连接BD交EF于点O，连接BF。‎ ‎∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°－2α，‎ ‎∠ADC=180°－∠C=180°-α。‎ ‎∵AB=AD，∴∠ADB=（180°－∠A）=α。‎ ‎∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。‎ 由（1）得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。‎ 又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。∴，即。‎ ‎∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。‎ ‎∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。‎ ‎（3） 延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，‎ 则∠G=∠AEG=。‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。‎ ‎∴∠EDF=∠G。‎ ‎∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。‎ ‎∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。‎ ‎∴△DEF∽△GBE。∴。‎ ‎∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。‎ ‎∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数：‎ ‎∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°。∴∠A=180°－∠ABC=180°－2α。‎ 又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°－2α。‎ ‎（2）连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得 ，从而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF。‎ ‎（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得 的值。‎ ‎31. （2012辽宁鞍山12分）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的 延长线交线段BC于点P，连AP、AG．‎ ‎（1）求证：△AOG≌△ADG；‎ ‎（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；‎ ‎（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，‎ ‎∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，‎ ‎∴△AOG≌△ADG（HL）。‎ ‎（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP。理由如下：‎ 由（1）同理可证△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP。‎ ‎∵由（1）△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG。‎ 又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，‎ ‎∴2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°。∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°。‎ ‎∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP。‎ ‎∴PG=DG+DP=OG+BP。‎ ‎（3）∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD。‎ 又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。‎ 又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。∴∠1=∠2=30°。‎ 在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=，‎ ‎∴G点坐标为：（，0），CG=3﹣。‎ 在Rt△PCG中，PC=，∴P点坐标为：（3，）。‎ 设直线PE的解析式为y=kx+b，‎ 则，解得。‎ ‎∴直线PE的解析式为y=x﹣1。‎ ‎【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。‎ ‎【分析】（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG。‎ ‎（2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。‎ ‎（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式。‎ ‎32. （2012山东威海11分）‎ 探索发现：已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。‎ ‎（1）如图①，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；‎ ‎（2）如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由。‎ 学以致用：仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴。（写出作图步骤，保留作图痕迹）‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵AD=BC，CD∥AB，∴AC=BD，∠DAB=∠CBA。∴AE=BE。‎ ‎ ∴点E在线段AB的垂直平分线上。‎ ‎ 在△ABD和△BAC中，∵AB=BA，AD=BC，AC=BD，‎ ‎ ∴△ABD≌△BAC（SSS）。∴∠DBA=∠CAB。∴OA=OB。‎ ‎ ∴点O在线段AB的垂直平分线上。‎ ‎ ∴直线EM是线段AB的垂直平分线。‎ ‎（2）相等。理由如下：‎ ‎ ∵CD∥AB，∴△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB。‎ ‎∴。∴。∴。‎ ‎ ∵CD∥AB，∴△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB。‎ ‎∴。∴。∴。‎ ‎ ∴。∴AM2=BM2。∴AM=BM。‎ ‎（3）作图如下：‎ ‎ 作法：① 连接AC，BD，两线相交于点O1；‎ ‎ ② 在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H；‎ ‎ ③ 连接BG，AH，两线相交于点O2； ‎ ‎④ 作直线EO2，交AB于点M；‎ ‎⑤ 作直线MO1。‎ 则直线MO1。就是矩形ABCD的一条对称轴。‎ ‎【考点】平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。‎ ‎【分析】（1）一方面由已知可得点E在线段AB的垂直平分线上；另一方面可由SSS证明△ABD≌△BAC，从而得∠DBA=∠CAB，因此OA=OB，得出点O在线段AB的垂直平分线上。从而直线EM是线段AB的垂直平分线。‎ ‎（2）一方面由CD∥AB，得△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB，利用对应边成比例可得；另一方面由CD∥AB，得△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB，利用对应边成比例可得。从而得到，即可得到AM=BM的结论。‎ ‎（3）按（2）的结论作图即可。‎ ‎33. （2012四川泸州9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的弧AD中点，弦CE⊥AB 于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。‎ ‎(1)求证：P是线段AQ的中点；‎ ‎(2)若⊙O的半径为5，AQ=，求弦CE的长。‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，∴。‎ 又∵C是弧的中点，∴。∴。∴∠ACP=∠CAP。∴PA=PC。‎ ‎∵AB是直径．∴∠ACB=90°。‎ ‎∴∠PCQ=90°－∠ACP，∠CQP=90°－∠CAP。∴∠PCQ=∠CQP。∴PC=PQ。‎ ‎∴PA=PQ，即P是AQ的中点。‎ ‎（2）∵，∴∠CAQ=∠ABC。‎ 又∵∠ACQ=∠BCQ，∴△CAQ∽△CBA。∴。‎ 又∵AQ=，BA=10，∴。‎ 设AC=3k， BC=4k，则由勾股定理得，，解得k=2。‎ ‎∴AC=6，BC=8。‎ 根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC=AB•CH，∴6×8=10CH。∴CH=。‎ 又∵CH=HE，∴CE=2CH=。‎ ‎【考点】圆的综合题，圆周角定理。垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）首先利用等角对等边证明：∠ACP=∠CAP得到：PA=PC，然再证明PC=PQ，即可得到P是AQ的中点。‎ ‎（2）首先证明：△CAQ∽△CBA，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC 的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH的长，则可以求得CE的长。‎ ‎34. （2012四川成都10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．‎ ‎ （1）求证：KE=GE；‎ ‎ （2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；‎ ‎ （3） 在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．‎ ‎【答案】解：（1）证明：如答图1，连接OG。‎ ‎∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°。‎ ‎∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°。‎ 又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG。‎ ‎∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。‎ ‎（2）AC∥EF，理由如下：‎ 连接GD，如答图2所示。‎ ‎∵KG2=KD•GE，∴。‎ 又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK。‎ ‎∴∠E=∠AGD。‎ 又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C。∴AC∥EF。‎ ‎（3）连接OG，OC，如答图3所示。‎ ‎ 由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=。‎ ‎∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t。‎ ‎∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。‎ 在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（）2，解得t=。‎ 设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，‎ 由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=。‎ ‎∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形。‎ 在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，‎ ‎∴FG=。‎ ‎【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）如答图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE。‎ ‎（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF。‎ ‎（3）如答图3所示，连接OG，OC．首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度。‎ ‎35. （2012广西钦州10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．‎ ‎（1）求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：AC2=AD•AB；‎ ‎（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【答案】解：（1）证明：连接OC，‎ ‎∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。‎ ‎∵∠DAC=∠BAC，∴∠OCA=∠DAC。∴OC∥AD。‎ ‎∵AD⊥EF，∴OC⊥EF。‎ ‎∵OC为半径，∴EF是⊙O的切线。‎ ‎（2）证明：∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，‎ ‎∴∠BCA=∠ADC=90°。‎ ‎∵∠DAC=∠BAC，∴△ACB∽△ADC。‎ ‎∴。∴AC2=AD•AB。‎ ‎（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，∴∠OCA=60°.‎ ‎∵OC=OA，∴△OAC是等边三角形。∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°。‎ ‎∵在Rt△ACD中，AD=AC=1。‎ 由勾股定理得：DC=，‎ ‎∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA=×（2+1）×﹣。‎ ‎【考点】圆的综合题，等腰（边）三角形的判定和性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积。‎ ‎【分析】（1）连接OC，根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可。‎ ‎（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案。‎ ‎（3）求出等边三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案。‎ ‎36. （2012广西贵港11分）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且 ‎∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3。点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H。‎ ‎（1）直接写出线段AC、AD以及⊙O半径的长；‎ ‎（2）设PH＝x，PC＝y，求y关于x的函数关系式；‎ ‎（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值。‎ ‎【答案】解：（1）AC=4；AD=3，⊙O半径的长为1。‎ ‎（2）在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，则BC=3。‎ ‎ ∵∠C=90°，PH⊥AB，∴∠C=∠PHA=90°。‎ ‎∵∠A=∠A， ∴△AHP∽△ACB。∴，即。‎ ‎∴，即y与x的函数关系式是。‎ ‎（3）如图，P′H′与⊙O相切于点M，连接OD，OE，OF，OM。‎ ‎∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，‎ ‎∴四边形OMH′D是正方形。∴MH′=OM=1。‎ ‎∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE。‎ ‎∴四边形CEOF是正方形，CF=OF=1。‎ ‎∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y。‎ 又由（2）知，，∴，解得。‎ ‎【考点】圆的综合题，圆的切线性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）连接AO、DO，EO，FO，设⊙O的半径为r，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=，‎ ‎∴⊙O的半径r=（AC+BC-AB）=（4+3-5）=1。‎ ‎∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE。∴四边形CEOF是正方形。∴CF=OF=1。‎ 又∵AD、AF是⊙O的切线，∴AF=AD。∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3。‎ ‎（2）通过相似三角形△AHP∽△ACB的对应边成比例知， ，将“PH=x，PC=y”代入求出即可求得y关于x的函数关系式。‎ ‎（3）根据圆的切线定理证得四边形OMH′D、四边形CFOE为正方形；然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；最后将其代入（2）中的函数关系式即可求得y值。‎ ‎37. （2012贵州安顺12分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．‎ ‎（1）求∠B的大小；‎ ‎（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．‎ ‎【答案】解：（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，∠CAB=40°，∠APD=65°，‎ ‎∴∠C=65°﹣40°=25°。‎ ‎∴∠B=∠C=25°。‎ ‎（2）过点O作OE⊥BD于E，则DE=BE，‎ 又∵AO=BO，∴OE=AD=×6=3。‎ ‎∴圆心O到BD的距离为3。‎ ‎【考点】圆周角定理，三角形外角性质，垂径定理，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】（1）根据圆周定理以及三角形外角求出即可。‎ ‎（2）利用三角形中位线定理得出OE= AD，即可得出答案。‎ ‎38. 2012云南省7分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．‎ ‎（1）求证：四边形BMDN是菱形；‎ ‎（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠BNO=∠DMO，∠NBO=∠MDO。‎ ‎∵MN是BD的中垂线，∴OB=OD，BD⊥MN。‎ ‎∴△BNO≌△DMO（AAS）。∴ON=OM。‎ ‎∴四边形BMDN的对角线互相平分。∴四边形BMDN是平行四边形。‎ ‎∵BD⊥MN，∴平行四边形BMDN是菱形。‎ ‎（2）∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD。‎ 设MD长为x，则MB=DM=x，AM=8－x。‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=900。‎ 在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2，即x2=（8－x）2+42，解得：x=5。‎ 答：MD长为5。‎ ‎【考点】矩形的性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，根据OB=OD和AD∥BC推出△BNO≌△DMO ，OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN。‎ ‎（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出 x2=x2－16x＋64＋16，求出即可。‎ ‎39. （2012山东淄博9分）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．‎ ‎（1）当点G与点D重合时，求x的值；‎ ‎（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．‎ ‎【答案】解：（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合。‎ ‎ ∵矩形ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形。‎ ‎ ∵BC=4，∴x= AB= BC=4。‎ ‎ （2）∵点F为AD中点，BC=4，∴AF=2。‎ ‎ ∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴△AEF∽△BEB。∴。‎ ‎ ∴。∴。‎ ‎ ∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=900，‎ ‎ ∴在Rt△ABC和Rt△BAF中由勾股定理得，‎ ‎ 即。‎ ‎ 两式相加，得。‎ ‎ 又∵AC⊥BG，∴在Rt△ABE中，。‎ ‎ ∴，解得（已舍去负值）。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴在Rt△CEF中由勾股定理得。‎ ‎ ∴。∴。‎ ‎【考点】‎ 矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。‎ ‎ （2）由点F为AD中点和矩形的性质，得△AEF∽△BEB，从而得。在Rt△ABC、 Rt△BAF和Rt△ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt△CEF中应用勾股定理求得CF，根据锐角三角函数定义即可求得∠ECF的正弦值。‎