中考数学试题分类汇编考点16：二次函数

中考数学试题分类汇编考点16：二次函数

中考数学试题分类汇编：考点 16 二次函数 一．选择题（共 33 小题） 1．（2018•青岛）已知一次函数 y= x+c 的图象如图，则二次函数 y=ax2+bx+c 在 平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出 ＜0、c＞0，由此即可得出： 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴 x=﹣ ＞0，与 y 轴的交点在 y 轴负正半轴， 再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【解答】解：观察函数图象可知： ＜0、c＞0， ∴二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴 x=﹣ ＞0，与 y 轴的交点在 y 轴负正半轴． 故选：A． 2．（2018•德州）如图，函数 y=ax2﹣2x+1 和 y=ax﹣a（a 是常数，且 a≠0）在 同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A． B． C ． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断 a 的符号，再判断二次函数图象与实际是 否相符，判断正误即可． 【解答】解：A、由一次函数 y=ax﹣a 的图象可得：a＜0，此时二次函数 y=ax2 ﹣2x+1 的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数 y=ax﹣a 的图象可得：a＞0，此时二次函数 y=ax2﹣2x+1 的图象应 该开口向上，对称轴 x=﹣ ＞0，故选项正确； C、由一次函数 y=ax﹣a 的图象可得：a＞0，此时二次函数 y=ax2﹣2x+1 的图象应 该开口向上，对称轴 x=﹣ ＞0，和 x 轴的正半轴相交，故选项错误； D、由一次函数 y=ax﹣a 的图象可得：a＞0，此时二次函数 y=ax2﹣2x+1 的图象应 该开口向上，故选项错误． 故选：B． 3．（2018•临安区）抛物线 y=3（x﹣1）2+1 的顶点坐标是（ ） A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1） 【分析】已知抛物线顶点式 y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）． 【解答】解：∵抛物线 y=3（x﹣1）2+1 是顶点式， ∴顶点坐标是（1，1）．故选 A． 4．（2018•上海）下列对二次函数 y=x2﹣x 的图象的描述，正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是 y 轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的 【分析】A、由 a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项 A 不正确； B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线 x= ，选项 B 不正确； C、代入 x=0 求出 y 值，由此可得出抛物线经过原点，选项 C 正确； D、由 a=1＞0 及抛物线对称轴为直线 x= ，利用二次函数的性质，可得出当 x＞ 时，y 随 x 值的增大而减小，选的 D 不正确． 综上即可得出结论． 【解答】解：A、∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上，选项 A 不正确； B、∵﹣ = ， ∴抛物线的对称轴为直线 x= ，选项 B 不正确； C、当 x=0 时，y=x2﹣x=0， ∴抛物线经过原点，选项 C 正确； D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线 x= ， ∴当 x＞ 时，y 随 x 值的增大而减小，选的 D 不正确． 故选：C． 5．（2018•泸州）已知二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3（其中 x 是自变量），当 x≥2 时，y 随 x 的增大而增大，且﹣2≤x≤1 时，y 的最大值为 9，则 a 的值为（ ） A．1 或﹣2 B． 或 C． D．1 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向 上 a＞0，然后由﹣2≤x≤1 时，y 的最大值为 9，可得 x=1 时，y=9，即可求出 a． 【解答】解：∵二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3（其中 x 是自变量）， ∴对称轴是直线 x=﹣ =﹣1， ∵当 x≥2 时，y 随 x 的增大而增大， ∴a＞0， ∵﹣2≤x≤1 时，y 的最大值为 9， ∴x=1 时，y=a+2a+3a2+3=9， ∴3a2+3a﹣6=0， ∴a=1，或 a=﹣2（不合题意舍去）． 故选：D． 6．（2018•岳阳）抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（ ） A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5） 【分析】根据二次函数的性质 y=a（x+h）2+k 的顶点坐标是（﹣h，k）即可求解． 【解答】解：抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标为（2，5）， 故选：C． 7．（2018•遂宁）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结 论同时成立的是（ ） A． B． C． D． 【分析】利用抛物线开口方向得到 a＞0，利用抛物线的对称轴在直线 x=1 的右 侧得到 b＜0，b＜﹣2a，即 b+2a＜0，利用抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方得到 c ＜0，也可判断 abc＞0，利用抛物线与 x 轴有 2 个交点可判断 b2﹣4ac＞0，利用 x=1 可判断 a+b+c＜0，利用上述结论可对各选项进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在直线 x=1 的右侧， ∴x=﹣ ＞1， ∴b＜0，b＜﹣2a，即 b+2a＜0， ∵抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0， ∵抛物线与 x 轴有 2 个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0， ∵x=1 时，y＜0， ∴a+b+c＜0． 故选：C． 8．（2018•滨州）如图，若二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x=1， 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、点 B（﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为 a+b+c； ②a﹣b+c＜0； ③b2﹣4ac＜0； ④当 y＞0 时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与 x 轴的交点，进而分别分析得 出答案． 【解答】解：①∵二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x=1，且开口向 下， ∴x=1 时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为 a+b+c，故①正确； ②当 x=﹣1 时，a﹣b+c=0，故②错误； ③图象与 x 轴有 2 个交点，故 b2﹣4ac＞0，故③错误； ④∵图象的对称轴为 x=1，与 x 轴交于点 A、点 B（﹣1，0）， ∴A（3，0）， 故当 y＞0 时，﹣1＜x＜3，故④正确． 故选：B． 9．（2018•白银）如图是二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）图象的 一部分，与 x 轴的交点 A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是 x=1．对于下 列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m 为实数）； ⑤当﹣1＜x＜3 时，y＞0，其中正确的是（ ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴判定 b 与 0 的关系以及 2a+b=0；当 x=﹣1 时，y=a ﹣b+c；然后由图象确定当 x 取何值时，y＞0． 【解答】解：①∵对称轴在 y 轴右侧， ∴a、b 异号， ∴ab＜0，故正确； ②∵对称轴 x=﹣ =1， ∴2a+b=0；故正确； ③∵2a+b=0， ∴b=﹣2a， ∵当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误； ④根据图示知，当 m=1 时，有最大值； 当 m≠1 时，有 am2+bm+c≤a+b+c， 所以 a+b≥m（am+b）（m 为实数）． 故正确． ⑤如图，当﹣1＜x＜3 时，y 不只是大于 0． 故错误． 故选：A． 10．（2018•达州）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0）， 与 y 轴的交点 B 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=2． 下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点 M（ ，y1），点 N（ ，y2）是函 数图象上的两点，则 y1＜y2；④﹣ ＜a＜﹣ ． 其中正确结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：①由开口可知：a＜0， ∴对称轴 x= ＞0， ∴b＞0， 由抛物线与 y 轴的交点可知：c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵抛物线与 x 轴交于点 A（﹣1，0）， 对称轴为 x=2， ∴抛物线与 x 轴的另外一个交点为（5，0）， ∴x=3 时，y＞0， ∴9a+3b+c＞0，故②正确； ③由于 ＜2 ， 且（ ，y2）关于直线 x=2 的对称点的坐标为（ ，y2）， ∵ ， ∴y1＜y2，故③正确， ④∵ =2， ∴b=﹣4a， ∵x=﹣1，y=0， ∴a﹣b+c=0， ∴c=﹣5a， ∵2＜c＜3， ∴2＜﹣5a＜3， ∴﹣ ＜a＜﹣ ，故④正确 故选：D． 11．（2018•恩施州）抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=﹣1，部分图象如图 所示，下列判断中： ①abc＞0； ②b2﹣4ac＞0； ③9a﹣3b+c=0； ④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则 y1＞y2； ⑤5a﹣2b+c＜0． 其中正确的个数有（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据二次函数的性质一一判断即可． 【解答】解：∵抛物线对称轴 x=﹣1，经过（1，0）， ∴﹣ =﹣1，a+b+c=0， ∴b=2a，c=﹣3a， ∵a＞0， ∴b＞0，c＜0， ∴abc＜0，故①错误， ∵抛物线与 x 轴有交点， ∴b2﹣4ac＞0，故②正确， ∵抛物线与 x 轴交于（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c=0，故③正确， ∵点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上， ﹣1.5＞﹣2， 则 y1＜y2；故④错误， ∵5a﹣2b+c=5a﹣4a﹣3a=﹣2a＜0，故⑤正确， 故选：B． 12．（2018•衡阳）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），顶点 坐标（1，n）与 y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结 论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣ ；③对于任意实数 m，a+b≥am2+bm 总成立； ④关于 x 的方程 ax2+bx+c=n﹣1 有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】利用抛物线开口方向得到 a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到 b=﹣2a， 则 3a+b=a，于是可对①进行判断；利用 2≤c≤3 和 c=﹣3a 可对②进行判断；利 用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=n﹣1 有两 个交点可对④进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， 而抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =1，即 b=﹣2a， ∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，所以①正确； ∵2≤c≤3， 而 c=﹣3a， ∴2≤﹣3a≤3， ∴﹣1≤a≤﹣ ，所以②正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n）， ∴x=1 时，二次函数值有最大值 n， ∴a+b+c≥am2+bm+c， 即 a+b≥am2+bm，所以③正确； ∵抛物线的顶点坐标（1，n）， ∴抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=n﹣1 有两个交点， ∴关于 x 的方程 ax2+bx+c=n﹣1 有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：D． 13．（2018•荆门）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐 标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程 a（x+5） （x﹣1）=﹣1 有两个根 x1 和 x2，且 x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程 |ax2+bx+c|=1 有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】根据二次函数的性质一一判断即可． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标（﹣2a，﹣9a）， ∴﹣ =﹣2a， =﹣9a， ∴b=4a，c=5a， ∴抛物线的解析式为 y=ax2+4ax﹣5a， ∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确， 5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误， ∵抛物线 y=ax2+4ax﹣5a 交 x 轴于（﹣5，0），（1，0）， ∴若方程 a（x+5）（x﹣1）=﹣1 有两个根 x1 和 x2，且 x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1， 正确，故③正确， 若方程|ax2+bx+c|=1 有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误， 故选：B． 14．（2018•枣庄）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A（3，0）， 二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是（ ） A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0 【分析】根据抛物线与 x 轴有两个交点有 b2﹣4ac＞0 可对 A 进行判断；由抛物 线开口向上得 a＞0，由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得 c＜0，则可对 B 进行 判断；根据抛物线的对称轴是 x=1 对 C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到 抛物线与 x 轴的另一个交点为（﹣1，0），所以 a﹣b+c=0，则可对 D 选项进行 判断． 【解答】解：∵抛物线与 x 轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即 b2＞4ac，所以 A 选项错误； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， ∴c＜0， ∴ac＜0，所以 B 选项错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线 x=1， ∴﹣ =1，∴2a+b=0，所以 C 选项错误； ∵抛物线过点 A（3，0），二次函数图象的对称轴是 x=1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0，所以 D 选项正确； 故选：D． 15．（2018•湖州）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M，N 的坐标分别为（﹣1， 2），（2，1），若抛物线 y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段 MN 有两个不同的交点， 则 a 的取值范围是（ ） A．a≤﹣1 或 ≤a＜ B． ≤a＜ C．a≤ 或 a＞ D．a≤﹣1 或 a≥ 【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可； 【解答】解：∵抛物线的解析式为 y=ax2﹣x+2． 观察图象可知当 a＜0 时，x=﹣1 时，y≤2 时，且﹣ ≥﹣1，满足条件，可得 a ≤﹣1； 当 a＞0 时，x=2 时，y≥1，且抛物线与直线 MN 有交点，且﹣ ≤2 满足条件， ∴a≥ ， ∵直线 MN 的解析式为 y=﹣ x+ ， 由 ，消去 y 得到，3ax2﹣2x+1=0， ∵△＞0， ∴a＜ ， ∴ ≤a＜ 满足条件， 综上所述，满足条件的 a 的值为 a≤﹣1 或 ≤a＜ ， 故选：A． 16．（2018•深圳）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正 确是（ ） A．abc＞0 B．2a+b＜0 C．3a+c＜0 D．ax2+bx+c﹣3=0 有两个不相等的实数根 【分析】根据抛物线开口方向得 a＜0，由抛物线对称轴为直线 x=﹣ ，得到 b ＞0，由抛物线与 y 轴的交点位置得到 c＞0，进而解答即可． 【解答】解：∵抛物线开口方向得 a＜0，由抛物线对称轴为直线 x=﹣ ，得到 b＞0，由抛物线与 y 轴的交点位置得到 c＞0， A、abc＜0，错误； B、2a+b＞0，错误； C、3a+c＜0，正确； D、ax2+bx+c﹣3=0 无实数根，错误； 故选：C． 17．（2018•河北）对于题目“一段抛物线 L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直 线 l：y=x+2 有唯一公共点，若 c 为整数，确定所有 c 的值，”甲的结果是 c=1，乙 的结果是 c=3 或 4，则（ ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【分析】两函数组成一个方程组，得出一个方程，求出方程中的△=﹣4+4c=0， 求出即可． 【解答】解：把 y=x+2 代入 y=﹣x（x﹣3）+c 得：x+2=﹣x（x﹣3）+c， 即 x2﹣2x+2﹣c=0， 所以△=（﹣2）2﹣4×1×（2﹣c）=﹣4+4c=0， 解得：c=1， 所以甲的结果正确； 故选：A． 18．（2018•台湾）已知坐标平面上有一直线 L，其方程式为 y+2=0，且 L 与二次 函数 y=3x2+a 的图形相交于 A，B 两点：与二次函数 y=﹣2x2+b 的图形相交于 C， D 两点，其中 a、b 为整数．若 AB=2，CD=4．则 a+b 之值为何？（ ） A．1 B．9 C．16 D．24 【分析】判断出 A、C 两点坐标，利用待定系数法求出 a、b 即可； 【解答】解：如图， 由题意 A（1，﹣2），C（2，﹣2）， 分别代入 y=3x2+a，y=﹣2x2+b 可得 a=﹣5，b=6， ∴a+b=1， 故选：A． 19．（2018•长沙）若对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax﹣2a 总不经过点 P （x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点 P（ ） A．有且只有 1 个 B．有且只有 2 个 C．有且只有 3 个 D．有无穷多个 【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数 a，抛物 线 y=ax2+ax﹣2a 总不经过点 P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得点 P 的坐标，从而 可以解答本题． 【解答】解：∵对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax﹣2a 总不经过点 P（x0﹣3， x02﹣16）， ∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a ∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4） ∴（x0+4）≠a（x0﹣1） ∴x0=﹣4 或 x0=1， ∴点 P 的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15） 故选：B． 20．（2018•广西）将抛物线 y= x2﹣6x+21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线 的解析式为（ ） A．y= （x﹣8）2+5B．y= （x﹣4）2+5 C．y= （x﹣8）2+3 D．y= （x﹣4）2+3 【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案． 【解答】解：y= x2﹣6x+21 = （x2﹣12x）+21 = [（x﹣6）2﹣36]+21 = （x﹣6）2+3， 故 y= （x﹣6）2+3，向左平移 2 个单位后， 得到新抛物线的解析式为：y= （x﹣4）2+3． 故选：D． 21．（2018•哈尔滨）将抛物线 y=﹣5x2+1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D ． y= ﹣5（x﹣1）2+3 【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案． 【解答】解：将抛物线 y=﹣5x2+1 向左平移 1 个单位长度，得到 y=﹣5（x+1）2+1， 再向下平移 2 个单位长度， 所得到的抛物线为：y=﹣5（x+1）2﹣1． 故选：A． 22．（2018•广安）抛物线 y=（x﹣2）2﹣1 可以由抛物线 y=x2 平移而得到，下列 平移正确的是（ ） A．先向左平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 B．先向左平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度 C．先向右平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 D．先向右平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度 【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究． 【解答】解：抛物线 y=x2 顶点为（0，0），抛物线 y=（x﹣2）2﹣1 的顶点为（2， ﹣1），则抛物线 y=x2 向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位得到抛物线 y=（x ﹣2）2﹣1 的图象． 故选：D． 23．（2018•潍坊）已知二次函数 y=﹣（x﹣h）2（h 为常数），当自变量 x 的值 满足 2≤x≤5 时，与其对应的函数值 y 的最大值为﹣1，则 h 的值为（ ） A．3 或 6 B．1 或 6 C．1 或 3 D．4 或 6 【分析】分 h＜2、2≤h≤5 和 h＞5 三种情况考虑：当 h＜2 时，根据二次函数 的性质可得出关于 h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当 2≤h≤5 时，由此 时函数的最大值为 0 与题意不符，可得出该情况不存在；当 h＞5 时，根据二次 函数的性质可得出关于 h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结 论． 【解答】解：当 h＜2 时，有﹣（2﹣h）2=﹣1， 解得：h1=1，h2=3（舍去）； 当 2≤h≤5 时，y=﹣（x﹣h）2 的最大值为 0，不符合题意； 当 h＞5 时，有﹣（5﹣h）2=﹣1， 解得：h3=4（舍去），h4=6． 综上所述：h 的值为 1 或 6． 故选：B． 24．（2018•黄冈）当 a≤x≤a+1 时，函数 y=x2﹣2x+1 的最小值为 1，则 a 的值 为（ ） A．﹣1 B．2 C．0 或 2 D．﹣1 或 2 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当 y=1 时 x 的值，结合当 a≤x ≤a+1 时函数有最小值 1，即可得出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：当 y=1 时，有 x2﹣2x+1=1， 解得：x1=0，x2=2． ∵当 a≤x≤a+1 时，函数有最小值 1， ∴a=2 或 a+1=0， ∴a=2 或 a=﹣1， 故选：D． 25．（2018•山西）用配方法将二次函数 y=x2﹣8x﹣9 化为 y=a（x﹣h）2+k 的形 式为（ ） A．y=（x﹣4）2+7 B．y=（x﹣4）2﹣25 C．y=（x+4）2+7 D．y=（x+4）2 ﹣25 【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案． 【解答】解：y=x2﹣8x﹣9 =x2﹣8x+16﹣25 =（x﹣4）2﹣25． 故选：B． 26．（2018•杭州）四位同学在研究函数 y=x2+bx+c（b，c 是常数）时，甲发现当 x=1 时，函数有最小值；乙发现﹣1 是方程 x2+bx+c=0 的一个根；丙发现函数的最 小值为 3；丁发现当 x=2 时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错 误的，则该同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出 一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出 b、 c 的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）． 【解答】解：假设甲和丙的结论正确，则 ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为 y=x2﹣2x+4． 当 x=﹣1 时，y=x2﹣2x+4=7， ∴乙的结论不正确； 当 x=2 时，y=x2﹣2x+4=4， ∴丁的结论正确． ∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的， ∴假设成立． 故选：B． 27．（2018•贵阳）已知二次函数 y=﹣x2+x+6 及一次函数 y=﹣x+m，将该二次函 数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新 函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线 y=﹣x+m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围是（ ） A．﹣ ＜m＜3 B．﹣ ＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2 【分析】如图，解方程﹣x2+x+6=0 得 A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的 性质求出折叠部分的解析式为 y=（x+2）（x﹣3），即 y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）， 然后求出直线•y=﹣x+m 经过点 A（﹣2，0）时 m 的值和当直线 y=﹣x+m 与抛物 线 y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时 m 的值，从而得到当直线 y=﹣x+m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围． 【解答】解：如图，当 y=0 时，﹣x2+x+6=0，解得 x1=﹣2，x2=3，则 A（﹣2，0）， B（3，0）， 将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方的部分图象的解析式为 y= （x+2）（x﹣3）， 即 y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）， 当直线•y=﹣x+m 经过点 A（﹣2，0）时，2+m=0，解得 m=﹣2； 当直线 y=﹣x+m 与抛物线 y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程 x2﹣x ﹣6=﹣x+m 有相等的实数解，解得 m=﹣6， 所以当直线 y=﹣x+m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围为﹣6＜m＜﹣2． 故选：D． 28．（2018•大庆）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣1，0）、点 B（3，0）、点 C（4，y1），若点 D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数 y=ax2+bx+c 的最小值为﹣4a； ②若﹣1≤x2≤4，则 0≤y2≤5a； ③若 y2＞y1，则 x2＞4； ④一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两个根为﹣1 和 其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用交点式写出抛物线解析式为 y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得 y=a（x ﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算 x=4 时，y=a•5•1=5a，则根据二次函数的 性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于 b= ﹣2a，c=﹣3a，则方程 cx2+bx+a=0 化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，然后解方程可对④进 行判断． 【解答】解：抛物线解析式为 y=a（x+1）（x﹣3）， 即 y=ax2﹣2ax﹣3a， ∵y=a（x﹣1）2﹣4a， ∴当 x=1 时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确； 当 x=4 时，y=a•5•1=5a， ∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误； ∵点 C（1，5a）关于直线 x=1 的对称点为（﹣2，﹣5a）， ∴当 y2＞y1，则 x2＞4 或 x＜﹣2，所以③错误； ∵b=﹣2a，c=﹣3a， ∴方程 cx2+bx+a=0 化为﹣3ax2﹣2ax+a=0， 整理得 3x2+2x﹣1=0，解得 x1=﹣1，x2= ，所以④正确． 故选：B． 29．（2018•天津）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）经过点（﹣ 1，0），（0，3），其对称轴在 y 轴右侧．有下列结论： ①抛物线经过点（1，0）； ②方程 ax2+bx+c=2 有两个不相等的实数根； ③﹣3＜a+b＜3 其中，正确结论的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①由抛物线过点（﹣1，0），对称轴在 y 轴右侧，即可得出当 x=1 时 y ＞0，结论①错误； ②过点（0，2）作 x 轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程 ax2+bx+c=2 有两个不相等的实数根，结论②正确； ③由当 x=1 时 y＞0，可得出 a+b＞﹣c，由抛物线与 y 轴交于点（0，3）可得出 c=3，进而即可得出 a+b＞﹣3，由抛物线过点（﹣1，0）可得出 a+b=2a+c，结合 a＜0、c=3 可得出 a+b＜3，综上可得出﹣3＜a+b＜3，结论③正确．此题得解． 【解答】解：①∵抛物线过点（﹣1，0），对称轴在 y 轴右侧， ∴当 x=1 时 y＞0，结论①错误； ②过点（0，2）作 x 轴的平行线，如图所示． ∵该直线与抛物线有两个交点， ∴方程 ax2+bx+c=2 有两个不相等的实数根，结论②正确； ③∵当 x=1 时 y=a+b+c＞0， ∴a+b＞﹣c． ∵抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）经过点（0，3）， ∴c=3， ∴a+b＞﹣3． ∵当 a=﹣1 时，y=0，即 a﹣b+c=0， ∴b=a+c， ∴a+b=2a+c． ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴a+b＜c=3， ∴﹣3＜a+b＜3，结论③正确． 故选：C． 30．（2018•陕西）对于抛物线 y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当 x=1 时，y＞0，则这 条抛物线的顶点一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】把 x=1 代入解析式，根据 y＞0，得出关于 a 的不等式，得出 a 的取值范 围后，利用二次函数的性质解答即可． 【解答】解：把 x=1，y＞0 代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0， 解得：a＞1， 所以可得：﹣ ， ， 所以这条抛物线的顶点一定在第三象限， 故选：C． 31．（2018•玉林）如图，一段抛物线 y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为 C1，与 x 轴交于 A0，A1 两点，顶点为 D1；将 C1 绕点 A1 旋转 180°得到 C2，顶点为 D2；C1 与 C2 组 成一个新的图象，垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1（x1，y1），P2（x2，y2）， 与线段 D1D2 交于点 P3（x3，y3），设 x1，x2，x3 均为正数，t=x1+x2+x3，则 t 的取 值范围是（ ） A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤12 【分析】首先证明 x1+x2=8，由 2≤x3≤4，推出 10≤x1+x2+x3≤12 即可解决问题； 【解答】解：翻折后的抛物线的解析式为 y=（x﹣4）2﹣4=x2﹣8x+12， ∵设 x1，x2，x3 均为正数， ∴点 P1（x1，y1），P2（x2，y2）在第四象限， 根据对称性可知：x1+x2=8， ∵2≤x3≤4， ∴10≤x1+x2+x3≤12 即 10≤t≤12， 故选：D． 32．（2018•绍兴）若抛物线 y=x2+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物 线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线 x=1，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线过点（ ） A．（﹣3，﹣6） B．（﹣3，0） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣3，﹣1） 【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利 用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数 图象上点的坐标特征即可找出结论． 【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线 x=1， ∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0）， ∴该抛物线解析式为 y=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1． 将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到新抛物线的解析式为 y=（x﹣1+2）2﹣1﹣3=（x+1）2﹣4． 当 x=﹣3 时，y=（x+1）2﹣4=0， ∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）． 故选：B． 33．（2018•随州）如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C 对称轴为直线 x=1．直线 y=﹣x+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 交 于 C、D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3，则下列结论： ①2a+b+c＞0； ②a﹣b+c＜0； ③x（ax+b）≤a+b； ④a＜﹣1． 其中正确的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【分析】利用抛物线与 y 轴的交点位置得到 c＞0，利用对称轴方程得到 b=﹣2a， 则 2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴 的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当 x=﹣1 时，y＜0，于是可对②进行判断； 根据二次函数的性质得到 x=1 时，二次函数有最大值，则 ax2+bx+c≤a+b+c，于 是可对③进行判断；由于直线 y=﹣x+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于 C、D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3，利用函数图象得 x=3 时，一次函数值比二次函数 值大，即 9a+3b+c＜﹣3+c，然后把 b=﹣2a 代入解 a 的不等式，则可对④进行判 断． 【解答】解：∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， ∴c＞0， ∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =1， ∴b=﹣2a， ∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确； ∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）左侧， 而抛物线的对称轴为直线 x=1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧， ∴当 x=﹣1 时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，所以②正确； ∵x=1 时，二次函数有最大值， ∴ax2+bx+c≤a+b+c， ∴ax2+bx≤a+b，所以③正确； ∵直线 y=﹣x+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于 C、D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标 小于 3， ∴x=3 时，一次函数值比二次函数值大， 即 9a+3b+c＜﹣3+c， 而 b=﹣2a， ∴9a﹣6a＜﹣3，解得 a＜﹣1，所以④正确． 故选：A． 二．填空题（共 2 小题） 34．（2018•乌鲁木齐）把拋物线 y=2x2﹣4x+3 向左平移 1 个单位长度，得到的 抛物线的解析式为 y=2x2+1 ． 【分析】将原抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可 得． 【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1， ∴向左平移 1 个单位长度得到的抛物线的解析式为 y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1， 故答案为：y=2x2+1． 35．（2018•淮安）将二次函数 y=x2﹣1 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的 图象所对应的函数表达式是 y=x2+2 ． 【分析】先确定二次函数 y=x2﹣1 的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规 律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出 平移后的抛物线解析式． 【解答】解：二次函数 y=x2﹣1 的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上 平移 3 个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为 y=x2+2． 故答案为：y=x2+2． 三．解答题（共 15 小题） 36．（2018•黄冈）已知直线 l：y=kx+1 与抛物线 y=x2﹣4x． （1）求证：直线 l 与该抛物线总有两个交点； （2）设直线 l 与该抛物线两交点为 A，B，O 为原点，当 k=﹣2 时，求△OAB 的 面积． 【分析】（1）联立两解析式，根据判别式即可求证； （2）画出图象，求出 A、B 的坐标，再求出直线 y=﹣2x+1 与 x 轴的交点 C，然 后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【解答】解：（1）联立 化简可得：x2﹣（4+k）x﹣1=0， ∴△=（4+k）2+4＞0， 故直线 l 与该抛物线总有两个交点； （2）当 k=﹣2 时， ∴y=﹣2x+1 过点 A 作 AF⊥x 轴于 F，过点 B 作 BE⊥x 轴于 E， ∴联立 解得： 或 ∴A（1﹣ ，2 ﹣1），B（1+ ，﹣1﹣2 ） ∴AF=2 ﹣1，BE=1+2 易求得：直线 y=﹣2x+1 与 x 轴的交点 C 为（ ，0） ∴OC= ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC = OC•AF+ OC•BE = OC（AF+BE） = × ×（2 ﹣1+1+2 ） = 37．（2018•湖州）已知抛物线 y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0）， 求 a，b 的值． 【分析】根据抛物线 y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），可以 求得 a、b 的值，本题得以解决． 【解答】解：∵抛物线 y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0）， ∴ ， 解得， ， 即 a 的值是 1，b 的值是﹣2． 38．（2018•宁波）已知抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点（1，0），（0， ）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）将抛物线 y=﹣ x2+bx+c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的 方法及平移后的函数表达式． 【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出 b 与 c 的值即可； （2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可． 【解答】解：（1）把（1，0），（0， ）代入抛物线解析式得： ， 解得： ， 则抛物线解析式为 y=﹣ x2﹣x+ ； （2）抛物线解析式为 y=﹣ x2﹣x+ =﹣ （x+1）2+2， 将抛物线向右平移一个单位，向下平移 2 个单位，解析式变为 y=﹣ x2． 39．（2018•徐州）已知二次函数的图象以 A（﹣1，4）为顶点，且过点 B（2， ﹣5） ①求该函数的关系式； ②求该函数图象与坐标轴的交点坐标； ③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B 两点随图象移至 A′、B′， 求△O A′B′的面积． 【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式， 然后将 B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式． （2）根据的函数解析式，令 x=0，可求得抛物线与 y 轴的交点坐标；令 y=0，可 求得抛物线与 x 轴交点坐标． （3）由（2）可知：抛物线与 x 轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线 与 x 轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出 A′、B′的坐 标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【解答】解：（1）设抛物线顶点式 y=a（x+1）2+4 将 B（2，﹣5）代入得：a=﹣1 ∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3 （2）令 x=0，得 y=3，因此抛物线与 y 轴的交点为：（0，3） 令 y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与 x 轴的交点为：（﹣3， 0），（1，0） （3）设抛物线与 x 轴的交点为 M、N（M 在 N 的左侧），由（2）知：M（﹣3， 0），N（1，0） 当函数图象向右平移经过原点时，M 与 O 重合，因此抛物线向右平移了 3 个单 位 故 A'（2，4），B'（5，﹣5） ∴S△OA′B′= ×（2+5）×9﹣ ×2×4﹣ ×5×5=15． 40．（2018•黑龙江）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 A（0，2），对称轴 为直线 x=﹣2，平行于 x 轴的直线与抛物线交于 B、C 两点，点 B 在对称轴左侧， BC=6． （1）求此抛物线的解析式． （2）点 P 在 x 轴上，直线 CP 将△ABC 面积分成 2：3 两部分，请直接写出 P 点 坐标． 【分析】（1）由对称轴直线 x=2，以及 A 点坐标确定出 b 与 c 的值，即可求出 抛物线解析式； （2）由抛物线的对称轴及 BC 的长，确定出 B 与 C 的横坐标，代入抛物线解析 式求出纵坐标，确定出 B 与 C 坐标，利用待定系数法求出直线 AB 解析式，作出 直线 CP，与 AB 交于点 Q，过 Q 作 QH⊥y 轴，与 y 轴交于点 H，BC 与 y 轴交于 点 M，由已知面积之比求出 QH 的长，确定出 Q 横坐标，代入直线 AB 解析式求 出纵坐标，确定出 Q 坐标，再利用待定系数法求出直线 CQ 解析式，即可确定出 P 的坐标． 【解答】解：（1）由题意得：x=﹣ =﹣ =﹣2，c=2， 解得：b=4，c=2， 则此抛物线的解析式为 y=x2+4x+2； （2）∵抛物线对称轴为直线 x=﹣2，BC=6， ∴B 横坐标为﹣5，C 横坐标为 1， 把 x=1 代入抛物线解析式得：y=7， ∴B（﹣5，7），C（1，7）， 设直线 AB 解析式为 y=kx+2， 把 B 坐标代入得：k=﹣1，即 y=﹣x+2， 作出直线 CP，与 AB 交于点 Q，过 Q 作 QH⊥y 轴，与 y 轴交于点 H，BC 与 y 轴 交于点 M， 可得△AQH∽△ABM， ∴ = ， ∵点 P 在 x 轴上，直线 CP 将△ABC 面积分成 2：3 两部分， ∴AQ：QB=2：3 或 AQ：QB=3：2，即 AQ：AB=2：5 或 AQ：QB=3：5， ∵BM=5， ∴QH=2 或 QH=3， 当 QH=2 时，把 x=﹣2 代入直线 AB 解析式得：y=4， 此时 Q（﹣2，4），直线 CQ 解析式为 y=x+6，令 y=0，得到 x=﹣6，即 P（﹣6， 0）； 当 QH=3 时，把 x=﹣3 代入直线 AB 解析式得：y=5， 此时 Q（﹣3，5），直线 CQ 解析式为 y= x+ ，令 y=0，得到 x=﹣13，此时 P （﹣13，0）， 综上，P 的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）． 41．（2018•淮安）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为 40 元．经市场 调研，当该纪念品每件的销售价为 50 元时，每天可销售 200 件；当每件的销售 价每增加 1 元，每天的销售数量将减少 10 件． （1）当每件的销售价为 52 元时，该纪念品每天的销售数量为 180 件； （2）当每件的销售价 x 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润 y 最大？并求 出最大利润． 【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加 1 元，每天的销售数量将减少 10 件”， 即可解答； （2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函 数的性质，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）， 故答案为：180； （2）由题意得： y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10（x﹣55）2+2250 ∴每件销售价为 55 元时，获得最大利润；最大利润为 2250 元． 42．（2018•天门）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品 能全部售出．如图，线段 EF、折线 ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价 y1（元）、生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系． （1）求该产品销售价 y1（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式； （2）直接写出生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式； （3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？ 【分析】（1）根据线段 EF 经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表 达式即可； （2）显然，当 0≤x≤50 时，y2=70；当 130≤x≤180 时，y2=54；当 50＜x＜130 时，设 y2 与 x 之间的函数关系式为 y2=mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表 达式即可； （3）利用：总利润=每千克利润×产量，根据 x 的取值范围列出有关 x 的二次函 数，求得最值比较可得． 【解答】解：（1）设 y1 与 x 之间的函数关系式为 y1=kx+b， ∵经过点（0，168）与（180，60）， ∴ ，解得： ， ∴产品销售价 y1（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式为 y1=﹣ x+168（0≤x ≤180）； （2）由题意，可得当 0≤x≤50 时，y2=70； 当 130≤x≤180 时，y2=54； 当 50＜x＜130 时，设 y2 与 x 之间的函数关系式为 y2=mx+n， ∵直线 y2=mx+n 经过点（50，70）与（130，54）， ∴ ，解得 ， ∴当 50＜x＜130 时，y2=﹣ x+80． 综 上 所 述 ， 生 产 成 本 y2 （ 元 ） 与 产 量 x （ kg ） 之 间 的 函 数 关 系 式 为 y2= ； （3）设产量为 xkg 时，获得的利润为 W 元， ①当 0≤x≤50 时，W=x（﹣ x+168﹣70）=﹣ （x﹣ ）2+ ， ∴当 x=50 时，W 的值最大，最大值为 3400； ②当 50＜x＜130 时，W=x[（﹣ x+168）﹣（﹣ x+80）]=﹣ （x﹣110）2+4840， ∴当 x=110 时，W 的值最大，最大值为 4840； ③当 130≤x≤180 时，W=x（﹣ x+168﹣54）=﹣ （x﹣95）2+5415， ∴当 x=130 时，W 的值最大，最大值为 4680． 因此当该产品产量为 110kg 时，获得的利润最大，最大值为 4840 元． 43．（2018•扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒， 成本为 30 元/件，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系， 如图所示． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少元时， 每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出 150 元给希望工 程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 3600 元，试确定该漆器笔筒销售单价 的范围． 【分析】（1）可用待定系数法来确定 y 与 x 之间的函数关系式； （2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出 利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润； （3）首先得出 w 与 x 的函数关系式，进而利用所获利润等于 3600 元时，对应 x 的值，根据增减性，求出 x 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得： ， 解得： ． 故 y 与 x 之间的函数关系式为：y=﹣10x+700， （2）由题意，得 ﹣10x+700≥240， 解得 x≤46， 设利润为 w=（x﹣30）•y=（x﹣30）（﹣10x+700）， w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000， ∵﹣10＜0， ∴x＜50 时，w 随 x 的增大而增大， ∴x=46 时，w 大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840， 答：当销售单价为 46 元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3840 元； （3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600， ﹣10（x﹣50）2=﹣250， x﹣50=±5， x1=55，x2=45， 如图所示，由图象得： 当 45≤x≤55 时，捐款后每天剩余利润不低于 3600 元． 44．（2018•衢州）某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有 一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平 方向为 x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状 不变的前提下，把水池的直径扩大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心 保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出 a 值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当 y=1.8 时 x 的值，由此即可得 出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与 y 轴的交点坐标，由抛 物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=﹣ x2+bx+ ，代入点（16，0）可求出 b 值，再利用配方法将二次函数表达 式变形为顶点式，即可得出结论． 【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=a（x ﹣3）2+5（a≠0）， 将（8，0）代入 y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0， 解得：a=﹣ ， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=﹣ （x﹣3）2+5（0＜x ＜8）． （2）当 y=1.8 时，有﹣ （x﹣3）2+5=1.8， 解得：x1=﹣1，x2=7， ∴为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心 7 米以内． （3）当 x=0 时，y=﹣ （x﹣3）2+5= ． 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=﹣ x2+bx+ ， ∵该函数图象过点（16，0）， ∴0=﹣ ×162+16b+ ，解得：b=3， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y=﹣ x2+3x+ =﹣ （x﹣ ）2+ ． ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米． 45．（2018•威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供 10 万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收 5 名 员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无 息贷款．已知该产品的成本为每件 4 元，员工每人每月的工资为 4 千元，该网店 还需每月支付其它费用 1 万元．该产品每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元） 万件之间的函数关系如图所示． （1）求该网店每月利润 w（万元）与销售单价 x（元）之间的函数表达式； （2）小王自网店开业起，最快在第几个月可还清 10 万元的无息贷款？ 【分析】（1）y（万件）与销售单价 x 是分段函数，根据待定系数法分别求直线 AB 和 BC 的解析式，又分两种情况，根据利润=（售价﹣成本）×销售量﹣费用， 得结论； （2）分别计算两个利润的最大值，比较可得出利润的最大值，最后计算时间即 可求解． 【解答】解：（1）设直线 AB 的解析式为：y=kx+b， 代入 A（4，4），B（6，2）得： ， 解得： ， ∴直线 AB 的解析式为：y=﹣x+8，（2 分） 同理代入 B（6，2），C（8，1）可得直线 BC 的解析式为：y=﹣ x+5，（3 分） ∵工资及其它费用为：0.4×5+1=3 万元， ∴当 4≤x≤6 时，w1=（x﹣4）（﹣x+8）﹣3=﹣x2+12x﹣35，（5 分） 当 6≤x≤8 时，w2=（x﹣4）（﹣ x+5）﹣3=﹣ x2+7x﹣23；（6 分） （2）当 4≤x≤6 时， w1=﹣x2+12x﹣35=﹣（x﹣6）2+1， ∴当 x=6 时，w1 取最大值是 1，（8 分） 当 6≤x≤8 时， w2=﹣ x2+7x﹣23=﹣ （x﹣7）2+ ， 当 x=7 时，w2 取最大值是 1.5，（9 分） ∴ = =6 ， 即最快在第 7 个月可还清 10 万元的无息贷款．（10 分） 46．（2018•福建）如图，在足够大的空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，某人 利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，其中 AD≤MN，已知矩形菜园的一边 靠墙，另三边一共用了 100 米木栏． （1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米，求所利用旧墙 AD 的长； （2）求矩形菜园 ABCD 面积的最大值． 【分析】（1）设 AB=xm，则 BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到 x（100 ﹣2x）=450，解方程得 x1=5，x2=45，然后计算 100﹣2x 后与 20 进行大小比较即 可得到 AD 的长； （2）设 AD=xm，利用矩形面积得到 S= x（100﹣x），配方得到 S=﹣ （x﹣50） 2+1250，讨论：当 a≥50 时，根据二次函数的性质得 S 的最大值为 1250；当 0＜ a＜50 时，则当 0＜x≤a 时，根据二次函数的性质得 S 的最大值为 50a﹣ a2． 【解答】解：（1）设 AB=xm，则 BC=（100﹣2x）m， 根据题意得 x（100﹣2x）=450，解得 x1=5，x2=45， 当 x=5 时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去； 当 x=45 时，100﹣2x=10， 答：AD 的长为 10m； （2）设 AD=xm， ∴S= x（100﹣x）=﹣ （x﹣50）2+1250， 当 a≥50 时，则 x=50 时，S 的最大值为 1250； 当 0＜a＜50 时，则当 0＜x≤a 时，S 随 x 的增大而增大，当 x=a 时，S 的最大值 为 50a﹣ a2， 综上所述，当 a≥50 时，S 的最大值为 1250；当 0＜a＜50 时，S 的最大值为 50a ﹣ a2． 47．（2018•十堰）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山 水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专 门接待游客，合作社共有 80 间客房．根据合作社提供的房间单价 x（元）和游 客居住房间数 y（间）的信息，乐乐绘制出 y 与 x 的函数图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）合作社规定每个房间价格不低于 60 元且不超过 150 元，对于游客所居住的 每个房间，合作社每天需支出 20 元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天 获利最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式； （2）根据题意可以得到利润与 x 之间的函数解析式，从而可以求得最大利润． 【解答】解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b， ，得 ， 即 y 与 x 之间的函数关系式是 y=﹣0.5x+110； （2）设合作社每天获得的利润为 w 元， w=x（0.5x+110）﹣20（0.5x+110）=0.5x2+100x﹣2200=0.5（x+100）2﹣7200， ∵60≤x≤150， ∴当 x=150 时，w 取得最大值，此时 w=24050， 答：房价定为 150 元时，合作社每天获利最大，最大利润是 24050 元． 48．（2018•眉山）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约 定这批粽子的出厂价为每只 4 元，按要求在 20 天内完成．为了按时完成任务， 该企业招收了新工人，设新工人李明第 x 天生产的粽子数量为 y 只，y 与 x 满足 如下关系： y= （1）李明第几天生产的粽子数量为 280 只？ （2）如图，设第 x 天生产的每只粽子的成本是 p 元，p 与 x 之间的关系可用图 中的函数图象来刻画．若李明第 x 天创造的利润为 w 元，求 w 与 x 之间的函数 表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本） 【分析】（1）把 y=280 代入 y=20x+80，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本 p 与 x 之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本 价，然后整理即可得到 W 与 x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数 的增减性解答； 【解答】解：（1）设李明第 x 天生产的粽子数量为 280 只， 由题意可知：20x+80=280， 解得 x=10． 答：第 10 天生产的粽子数量为 420 只． （2）由图象得，当 0≤x＜10 时，p=2； 当 10≤x≤20 时，设 P=kx+b， 把点（10，2），（20，3）代入得， ， 解得 ， ∴p=0.1x+1， ①0≤x≤6 时，w=（4﹣2）×34x=68x，当 x=6 时，w 最大=408（元）； ②6＜x≤10 时，w=（4﹣2）×（20x+80）=40x+160， ∵x 是整数， ∴当 x=10 时，w 最大=560（元）； ③10＜x≤20 时，w=（4﹣0.1x﹣1）×（20x+80）=﹣2x2+52x+240， ∵a=﹣3＜0， ∴当 x=﹣ =13 时，w 最大=578（元）； 综上，当 x=13 时，w 有最大值，最大值为 578． 49．（2018•青岛）某公司投入研发费用 80 万元（80 万元只计入第一年成本）， 成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投 产后，生产成本为 6 元/件．此产品年销售量 y（万件）与售价 x（元/件）之间 满足函数关系式 y=﹣x+26． （1）求这种产品第一年的利润 W1（万元）与售价 x（元/件）满足的函数关系式； （2）该产品第一年的利润为 20 万元，那么该产品第一年的售价是多少？ （3）第二年，该公司将第一年的利润 20 万元（20 万元只计入第二年成本）再 次投入研发，使产品的生产成本降为 5 元/件．为保持市场占有率，公司规定第 二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过 12 万 件．请计算该公司第二年的利润 W2 至少为多少万元． 【分析】（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可； （2）构建方程即可解决问题； （3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质 即可解决问题； 【解答】解：（1）W1=（x﹣6）（﹣x+26）﹣80=﹣x2+32x﹣236． （2）由题意：20=﹣x2+32x﹣236． 解得：x=16， 答：该产品第一年的售价是 16 元． （3）由题意：14≤x≤16， W2=（x﹣5）（﹣x+26）﹣20=﹣x2+31x﹣150， ∵14≤x≤16， ∴x=14 或 16 时，W2 有最小值，最小值=88（万元）， 答：该公司第二年的利润 W2 至少为 88 万元． 50．（2018•温州）温州某企业安排 65 名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生 产 2 件甲或 1 件乙，甲产品每件可获利 15 元．根据市场需求和生产经验，乙产 品每天产量不少于 5 件，当每天生产 5 件时，每件可获利 120 元，每增加 1 件， 当天平均每件利润减少 2 元．设每天安排 x 人生产乙产品． （1）根据信息填表 产品种类 每天工人数 （人） 每天产量 （件） 每件产品可获利润 （元） 甲 65﹣x 2（65﹣x） 15 乙 x x 130﹣2x （2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多 550 元，求 每件乙产品可获得的利润． （3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产 品的产量相等．已知每人每天可生产 1 件丙（每人每天只能生产一件产品），丙 产品每件可获利 30 元，求每天生产三种产品可获得的总利润 W（元）的最大值 及相应的 x 值． 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可； （3）根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到 m 与 x 之间的关系式，用 x 表示 总利润利用二次函数性质讨论最值． 【解答】解：（1）由已知，每天安排 x 人生产乙产品时，生产甲产品的有（65 ﹣x）人，共生产甲产品 2（65﹣x）件． 在乙每件 120 元获利的基础上，增加 x 人，利润减少 2x 元每件，则乙产品的每 件利润为（130﹣2x）元． 故答案为：65﹣x；2（65﹣x）；130﹣2x （2）由题意 15×2（65﹣x）=x（130﹣2x）+550 ∴x2﹣80x+700=0 解得 x1=10，x2=70（不合题意，舍去） ∴130﹣2x=110（元） 答：每件乙产品可获得的利润是 110 元． （3）设生产甲产品 m 人 W=x（130﹣2x）+15×2m+30（65﹣x﹣m） =﹣2（x﹣25）2+3200 ∵2m=65﹣x﹣m ∴m= ∵x、m 都是非负数 ∴取 x=26 时，m=13，65﹣x﹣m=26 即当 x=26 时，W 最大值=3198 答：安排 26 人生产乙产品时，可获得的最大利润为 3198 元．